3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE"

Transkrypt

1 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił wewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sens fizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodami zestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach. Tabela.. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń Metoda sił Metoda przemieszczeń Niewiadomymi są: nadliczbowe siły przemieszczenia węzłów Równania kanoniczne wyrażają: O liczbie niewiadomych decyduje: przemieszczenia w miejscu odrzuconych więzów stopień statycznej niewyznaczalności (SSN). Jest to liczba więzów przesztywniających układ, które trzeba odrzucić. reakcje w miejscu dołożonych więzów stopień kinematycznej niewyznaczalności (SKN). Jest to liczba więzów, które trzeba wprowadzić aby układ usztywnić... Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeń Określenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłów układu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona o liczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny. W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się z łańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór na przeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności. Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów oraz dodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie. Przykład Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys..) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnym obciążeniem ciągłym q. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodą przemieszczeń. q Rys.. Belka ciągła statycznie niewyznaczalna

2 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (SSN = ). Możemy zatem przyjąć układ podstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą X (rys..). X Rys... Układ podstawowy w metodzie sił Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X (korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak na rysunku.. S w s (q) w(q) S w s (x ) w(x ) X w(q) = w(x ) S Rys... Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X Warunek geometrycznej zgodności: w s q w s X zapisujemy w postaci równania kanonicznego: X P Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle S (SKN = ). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaci utwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys..4). W przeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony. φ s Rys..4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń

3 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postaci kąta obrotu φ. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję we wprowadzonym więzie: które jest równaniem kanonicznym: M s M s =M q M L M P r r P Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia q jak i od kąta obrotu φ korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys..5). M(q) = q M(q) M L (φ) φ M(φ ) M P (φ) Rys..5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ Wykonując linię ugięcia (rys..6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wyniku rozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody. φ w(q,φ ) Rys..6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ Przykład Analizie poddamy ramę płaską (rys..7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q. q P A r B s s h l Rys..7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna

4 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemy traktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów pod wpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznają przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów φ oraz niezależne przesuwy Δ (które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów ψik). Przyjmijmy więc te wielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzie przemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku φ, φ) oraz dodatkową podporę (blokada przesuwu po kierunku Δ). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys..). M A,φ q P A r B,φ R H B,Δ s s h l Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzając dodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości: { M A R B H (.) Warunki (.) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistości tych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiały być równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane. Rozpisując każde z równań otrzymujemy: {M A P M A M A M A P R H B P R H B R H B R H B (.) Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałej od jednostkowego przemieszczenia r ik (reakcja po kierunku niewiadomej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k): {r r r R P r r r R P R r R R P (.) Zastępując symbole niewiadomych φ, φ, Δ zmienną uogólnioną Zj otrzymujemy ostateczny układ równań:

5 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 {r Z r Z r Z R P r Z r Z r Z R P R Z r Z R Z R P (.4) który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej: n j= r ij Z j R ip (.5) Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta sama konstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram, układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą, w innych przypadkach jest na odwrót (rys..9). X 7 X 6 X 5 z X X 4 X X z z z z 6 z 5 z 4 X Rys..9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładach liczbowych. Zadanie Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys..0), korzystając z metody przemieszczeń. P = 6 kn q = 4 kn/m A B C 6 [m] Rys..0. Belka statycznie niewyznaczalna

6 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 Przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia węzłowe. W tym przypadku będzie to tylko kąt obrotu na pośredniej podporze (rys..). Wobec tego SKN =, natomiast w metodzie sił należałoby odrzucić dwa więzy (SSN = ): φ B, 4 6 [m] Rys... Układ podstawowy z wprowadzonym dodatkowym wewnętrznym więzem Ta krótka analiza dowodzi, że korzystniej (łatwiej) jest rozwiązać zadanie metodą przemieszczeń. Aby układ podstawowy był zgodny z rzeczywistym, reakcja we wprowadzonym więzie musi być równa zero MB = 0 (warunek statecznej zgodności). Warunek ten będzie spełniony, jeżeli moment powstały od obciążenia zewnętrznego będzie zrównoważony momentem powstałym od obrotu przekroju w podporze B: q (.6) Najpierw wykonujemy wykres momentów od jednostkowego przemieszczenia. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach belki. Część belki AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów od kąta obrotu wyznaczone ze wzorów transformacyjnych mają wartości: dla pręta AB (φ A = 0, φ B =, brak przesuwu ψ AB = 0) M AB = l A B AB = dla pręta BC (φb =, brak przesuwu ψbc = 0) (.7) A = l B A AB = (.) C = l B BC = (.9) Ponieważ w podporze C jest przegub M CB (.0) Korzystając z gotowych wzorów (tabela.) obliczymy wartości momentów przywęzłowych od obciążenia przęsłowego: dla pręta AB M AB = Pl = knm (.) A = Pl = knm (.)

7 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7 dla pręta BC C = q = knm (.) M CB (.4) Po obliczeniu momentów możemy narysować ich wykresy (rys..): M (0) P [knm] (q) (φ) Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego oraz od przemieszczenia φ= M φ Z równowagi momentów w węźle B możemy wyznaczyć wartości reakcji w poszczególnych stanach q = = = (.5) Ponieważ reakcje te muszą się równoważyć: czyli: Kąt obrotu przekroju B musi być równy: q B = B B (.6) = 0 B B = 0 (.7) Końcowe, rzeczywiste wartości momentów możemy obliczyć korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.) lub podstawiając do wzorów transformacyjnych obliczoną wartość kąta obrotu φb. Ich wykres w układzie niewyznaczalnym przedstawiono na rys...

8 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M (.) M AB = 0 = 4 0 = 4 knm (.9) A = 0 = 4 0 = 44 knm (.0) C = 0 = 54 0 = 44 knm (.) n (.) M CB 44 4 M P (n) [knm] 7 Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Rozwiązać zadaną ramę (rys..4) korzystając z metody przemieszczeń. B C q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..4. Rama płaska statycznie niewyznaczalna Najpierw przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia. W tym przypadku będzie to kąt obrotu oraz przesuw poziomy (rys..5) SKN = : φ, B C Δ R C H q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..5. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

9 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 We wprowadzonych dodatkowo podporach powstaną reakcje, które w rzeczywistości powinny być równe zero. Najpierw utworzymy wykresy momentów od jednostkowych przemieszczeń (φ i Δ ) oraz od obciążenia zewnętrznego w przyjętym układzie podstawowym. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach. Część AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów wywołane jednostkowym przemieszczeniem podpory B wyznaczamy ze wzorów transformacyjnych przyjmując φ = φb = : dla pręta AB ( φ A = 0, φ B =, ψ AB = 0) dla pręta BC ( φb =, ψbc = 0) M AB = l A B AB = (.) A = l B A AB = (.4) C = l B BC = (.5) M CB (.6) (φ ) M (φ ) = Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = Wartości momentów od przesuwu poziomego Δ = wyznaczamy z tych samych wzorów po określeniu kątów obrotu cięciw prętów ψ. Na skutek jednostkowego przesuwu po kierunku Δ cięciwy prętów obrócą się. Wartości kątów obrotu wyznaczymy ze związków geometrycznych. Δ Δ B Ψ BC C Ψ BC = 0 4 Δ tg Ψ AB = 4 Ψ AB Δ Ψ AB = 4 A Rys..7. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D W stanie Δ = wyznaczamy wartości momentów:

10 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 dla pręta AB ( φa = 0, φb = 0, Δ =, AB = 4 ) M AB = l A B AB = A = l B A AB = (.7) (.) dla pręta BC ( φ B = 0, ψ BC = 0) C = l B BC (.9) M CB (.0) (Δ ) M (Δ ) = - Rys... Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ = Wartości momentów od obciążenia wyznaczamy na podstawie gotowych wzorów (tabela.): dla pręta AB (obustronnie utwierdzonego) dla pręta BC M AB = q = knm (.) A = q = knm (.) C (.) M CB (.4) (P) M P (0) (P) = Rys..9. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego

11 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Warunek statycznej zgodności (reakcje we wprowadzonych węzłach są równe zero): { R H C (.5) można rozpisać jako sumę reakcji od poszczególnych wpływów: { M P M M B B B R P R R (.6) Wprowadzając oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń, otrzymujemy układ równań kanonicznych: { r Z r Z R P r Z r Z R P (.7) gdzie r ik to reakcja po kierunku zmiennej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k, R ip to reakcja po kierunku i wywołana obciążeniem zewnętrznym, Z i to nieznane przemieszczenie. Z równowagi momentów w węźle B otrzymujemy pierwsze równanie: po uporządkowaniu: (.) Natomiast drugie równanie otrzymamy korzystając z równania pracy wirtualnej (praca sił zewnętrznych jest równa pracy wirtualnych sił wewnętrznych L z = L w ) (rys..9). Praca sił rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach równa jest pracy sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach. Ponieważ wirtualnym przemieszczeniem jest jednostkowy przesuw = a układ rzeczywisty nie przemieszcza się to: R C M ik M ki ik P i i (.9) Stan φ = Stan Δ = Stan P R C (φ =) R C (Δ =) R C (P) Ψ = 4 - Ψ = 4 - Q - δ Q Ψ = 4 Q = q 4 = 4 4 =6 kn δ Q = = Rys..0. Reakcja w poziomej podporze w poszczególnych stanach

12 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Reakcje po kierunku Δ wyznaczymy w poszczególnych stanach. Dla stanu φ = : R C 4 R C R C = (.40) Następnie dla stanu Δ = : 4 R C R C = 4 4 = 6 (.4) Na koniec reakcja w stanie P: 4 Q R C R C P = (.4) Podstawiając powyższe wartości do drugiego równania (.6) otrzymujemy jego ostateczną postać: 6 (.4) Wykorzystując zależności (.) i (.4) zapisujemy układ równań kanonicznych: { (.44) 6 którego rozwiązaniem są rzeczywiste przemieszczenia: {Z = = 64 5 Z = = 44 5 (.45) Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.46). Końcowe wartości momentów przedstawiono na wykresie w układzie niewyznaczalnym (rys..): M n P =M o P M M (.46) M AB = = 76 knm 5 (.47)

13 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M M (.46) A = = 64 knm 5 (.4) C = 64 knm 5 (.49) n (.50) M CB M (n) Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Wyznaczyć wartości reakcji w zadanej ramie korzystając z metody przemieszczeń. q P l l Rys... Rama płaska statycznie niewyznaczalna Układ podstawowy otrzymujemy wprowadzając dodatkowe więzy: φ φ P q l l Δ 0 Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą

14 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Stateczną zgodność naruszonego układu zapewniamy równaniami: { M A R B H (.5) Możemy je także zapisać w postaci wskaźnikowej n k= r ik Z k R ip (.5) Obliczając wartości kątów obrotu przyjmujemy poniższe zależności: =a =b = = l = Z l (.5) Δ= Ψ =Ψ r l Ψ 0 =Ψ Ψ =Ψ 0 Rys..4. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku r Wartości wszystkich reakcji obliczymy po wyznaczeniu wartości momentów dla poszczególnych stanów oraz korzystając z równania pracy wirtualnej: Stan φ = r r 4 φ = r l 4 M 0 l Rys..5. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ =

15 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 r = 4 l 4 r = (.5) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej (.9): M 0 M 0 M M M r (.54) r = 6 l a 6 b (.55) Stan φ = r r φ = 4 r l M 0 Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = r = 4 l r = (.56) Wartość reakcji r wyznaczamy analogicznie jak dla reakcji r, czyli z równania pracy wirtualnej: Stan Δ = M 0 M 0 M M M r (.57) r = 6 b l (.5) r 6b r l Δ = r 6a l l 6a l l 0 6b l l M Rys..7. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ =

16 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 r = 6 a l l 6 b l r = 6 b l l (.59) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej: M 0 M 0 M M r = a l l M r (.60) b l (.6) Stan P: R P P R P q q l P P R P q l 0 P M P Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego R P = q P R P = P (.6) Wartość reakcji r P wyznaczamy, jak poprzednio z równania pracy wirtualnej, które w tym przypadku rozszerzone jest o pracę sił Q i P: M P P 0 M 0 M P P M M P R P Q l P (.6) r P = Q l a l P b l (.64) Obliczone wartości reakcji podstawiamy do układu równań kanonicznych z którego już bardzo prosto można wyznaczyć szukane przemieszczenia. Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub też korzystając ze wzoru superpozycyjnego przedstawionego poniżej: M P n =M P 0 M Z M Z M Z (.65)

17 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7.. Sprawdzenie wyników Podczas rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń trudno jest ocenić poprawność uzyskanych wyników. Istnieje jednak możliwość przeprowadzenia pewnych kontroli w trakcie obliczeń.... Symetria macierzy sztywności Porównanie współczynników rik i rki jest pośrednim sposobem kontroli wyników. Macierz sztywności powinna być symetryczna, dlatego obowiązuje zależność : r ik =r ki Dowód tego założenia opiera się na twierdzeniu Rayleigha: Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego a wywołana jednostkowym przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji r ki odpowiadającej k-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu. Współczynniki r ik można sprawdzić również opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, które mówi: Dla ciał liniowo sprężystych praca przygotowana (wirtualna, możliwa) zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu obciążenia I na przemieszczeniach stanu obciążenia II równa jest pracy przygotowanej zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu II na przemieszczeniach stanu I. L z =L w Sens tego twierdzenia można zilustrować na poniższym przykładzie. Na rys..9 przedstawiono układ o SKN =. Po przyjęciu układu podstawowego wykonujemy wykresy momentów. Najpierw rozwiązano układ, któremu nadano kąt obrotu = (Stan I). Na rys..0 widzimy ten sam układ, lecz kąt obrotu o wartości działa w drugim węźle (Stan II). φ = l r r r l 4 l M I Rys..9. Wykres momentów M I dla φ =

18 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE r = l 4 EI r = φ = 4 r r r 4 l l M II l Rys..0. Wykres momentów M II dla φ = Pracę sił zewnętrznych (reakcji ze stanu I na przemieszczeniach ze stanu II) można zapisać w następujący sposób: L z =r 0 r r 0 R j 0 =r Natomiast pracę sił wewnętrznych wyznaczamy korzystając z metody Wereszczagina - Mohra: L w = M I M II stąd otrzymujemy wartość reakcji ds = [ 4 4 EI 4 ] = r = Jeżeli wyznaczamy pracę sił ze stanu II na przemieszczeniach ze stanu I, to: a praca sił wewnętrznych: L z =r r 0 r 0 R j 0 =r Ponieważ tym razem L w = M II M I ds= r =

19 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 ostatecznie można zapisać r =r Opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, możemy sprawdzić współczynniki rik, jednak sprawdzenie wielkości r ip (wpływu sił zewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ obliczając pracę sił zewnętrznych (P) powinniśmy znać linie przemieszczeń prętów wywołanych obrotami bądź przesuwami węzłów. Linie te są krzywymi wyższego stopnia, których w zadaniu nie wyznaczamy. Widać to na przykładzie ramy, której wykres momentów w stanie odkształconym z = przedstawiony jest na rys.., a od obciążenia zewnętrznego na rys... Z = Z r r r δ Rys... Wykres momentów i postać odkształcona w stanie Z = Praca sił ze stanu P na przemieszczeniach ze stanu Z = wymaga skomplikowanego całkowania. L z =r P r P 0 r P 0 q ds s q r P r P rp Rys... Schemat obciążenia i wykres momentów od obciążenia ciągłego... Sprawdzenie kinematyczne W metodzie przemieszczeń sprawdzenie kinematyczne nie daje pewności poprawnego rozwiązania zadania, jak było w metodzie sił. Pozwala ono jedynie ocenić czy wykres momentów zginających jest poprawny. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na zależności: i P i i i R k k = { j s M M P EI t t h n R n R n P ds s f m B m b m N N P EA t t ds s T T P GA ds }

20 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 gdzie: MP, NP, TP - wewnętrzne siły rzeczywiste, Δ i P i R k Δ k R n R n P - niewiadome przemieszczenie, - jednostkowa siła wirtualna, - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia), - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej, - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m, B m - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.... Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: X Y M Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns) WIERZBICKI JĘDRZEJ 4 (ns) CZĘŚĆ 1a BELKA 1. Zadanie Przeprowadzić analizę kinematyczną oraz wyznaczyć reakcje w więzach belki, danej schematem przedstawionym na rys. 1. Wymiary oraz obciążenia przyjąć

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Badanie ugięcia belki

Badanie ugięcia belki Badanie ugięcia belki Szczecin 2015 r Opracował : dr inż. Konrad Konowalski *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest: 1. Sprawdzenie doświadczalne ugięć belki obliczonych

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE,

Bardziej szczegółowo

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego Streszczenie Dobór elementów struktury konstrukcyjnej z warunku ustalonej niezawodności, mierzonej wskaźnikiem niezawodności β. Przykład liczbowy dla ramy statycznie niewyznaczalnej. Leszek Chodor, Joanna

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016 Termin zajęć: poniedziałek 1 odkształconej 05.10.15r. postaci ramy z zasady prac wirtualnych. 2 12.10.15r. Liczenie przemieszczeń w ramie Zasada Prac Wirtualnych. 3 19.10.15r. Rysowanie odkształconej postaci

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Program zajęć z przedmiotu Mechanika Budowli I na studiach niestacjonarnych I stopnia, na 2 roku Wydziału Inżynierii Lądowej (semestry: 5 i 6)

Program zajęć z przedmiotu Mechanika Budowli I na studiach niestacjonarnych I stopnia, na 2 roku Wydziału Inżynierii Lądowej (semestry: 5 i 6) Program zajęć z przedmiotu Mechanika Budowli I na studiach niestacjonarnych I stopnia, na 2 roku Wydziału Inżynierii Lądowej (semestry: 5 i 6) Wymagania: Zaliczenie Wytrzymałości materiałów z semestru

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

zredukować w układzie NQ, więc poza siłami P 1 i P 2 trzeba rozłożyć na składowe równoległą i prostopadłą do odcinka CD wypadkową od q1 10

zredukować w układzie NQ, więc poza siłami P 1 i P 2 trzeba rozłożyć na składowe równoległą i prostopadłą do odcinka CD wypadkową od q1 10 Rozwiązać podaną ramę (wykresy M Q N ) q 1 =5 D P 2 = x 3 D q 2 = y 3 40 P 1 =20 2 α B C x 3 /y 3 =2/1 2 c=2/ 5 A E F P 3 = s=1/ 5 Wq 1 =5*2 5 = 5 P 4 = 2 2 2 2 Po prawej stronie tematu narysowano w którą

Bardziej szczegółowo

1. Projekt techniczny Podciągu

1. Projekt techniczny Podciągu 1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami

Bardziej szczegółowo

Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice

Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice Tematyka wykładu 2 Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych ręty obciążone osiowo Kratownice Mechanika budowli - kratownice Kratownicą lub układem kratowym nazywamy układ prostoliniowych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011 Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności Magdalena Krokowska KBI III 010/011 Wyznaczyć zakres strefy spręŝystej dla belki o zadanym przekroju poprzecznym

Bardziej szczegółowo

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej Opracowanie: Spis treści Strona 1. Cel badania 3 2. Opis stanowiska oraz modeli do badań 3 2.1. Modele do badań 3

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk) Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Inżynierski problem komputerowego modelowania pracy żelbetowej płyty dwuprzęsłowej z uwzględnieniem sprężystej podatności belki

Inżynierski problem komputerowego modelowania pracy żelbetowej płyty dwuprzęsłowej z uwzględnieniem sprężystej podatności belki Inżynierski problem komputerowego modelowania pracy żelbetowej płyty dwuprzęsłowej z uwzględnieniem sprężystej podatności belki Dr inż. Paweł Kossakowski, Katedra Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji

Bardziej szczegółowo

5. Zginanie ze ścinaniem

5. Zginanie ze ścinaniem 5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1.1.1. Człon mechanizmu Człon mechanizmu to element konstrukcyjny o dowolnym kształcie, ruchomy bądź nieruchomy, zwany wtedy podstawą, niepodzielny w aspekcie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DYDAKTYCZNE

MATERIAŁY DYDAKTYCZNE 1/25 2/25 3/25 4/25 ARANŻACJA KONSTRUKCJI NOŚNEJ STROPU W przypadku prostokątnej siatki słupów można wyróżnić dwie konfiguracje belek stropowych: - Belki główne podpierają belki drugorzędne o mniejszej

Bardziej szczegółowo

Obwody elektryczne prądu stałego

Obwody elektryczne prądu stałego Obwody elektryczne prądu stałego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 12 grudnia 2015 Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wyjaśnienie w sprawie różnic wyników obliczeń statycznych otrzymanych z programu TrussCon Projekt 2D i innych programów

Wyjaśnienie w sprawie różnic wyników obliczeń statycznych otrzymanych z programu TrussCon Projekt 2D i innych programów Wyjaśnienie w sprawie różnic wyników obliczeń statycznych otrzymanych z programu TrussCon Projekt 2D i innych programów Szanowni Państwo! W związku z otrzymywanymi pytaniami dlaczego wyniki obliczeń uzyskanych

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02

Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02 MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Anna Kusina Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005

Bardziej szczegółowo

Pale wbijane z rur stalowych zamkniętych

Pale wbijane z rur stalowych zamkniętych Pale Atlas Pale Omega Pale TUBEX Pale wbijane z rur stalowych zamkniętych Pale wbijane z rur stalowych otwartych Pale wbijane z rur stalowych otwartych Mikropale Mikropale są przydatne do wzmacniania fundamentów,

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Uwzględnienie wpływu sprężystej podatności belek w numerycznym modelowaniu stropów żelbetowych

Uwzględnienie wpływu sprężystej podatności belek w numerycznym modelowaniu stropów żelbetowych Uwzględnienie wpływu sprężystej podatności belek w numerycznym modelowaniu stropów żelbetowych Dr inż. Paweł Kossakowski, Politechnika Świętokrzyska 1. Wprowadzenie Obserwowana od wielu lat cyfryzacja

Bardziej szczegółowo

Metody analizy obwodów w stanie ustalonym

Metody analizy obwodów w stanie ustalonym Metody analizy obwodów w stanie ustalonym Stan ustalony Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią

Bardziej szczegółowo