3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE"

Transkrypt

1 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił wewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sens fizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodami zestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach. Tabela.. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń Metoda sił Metoda przemieszczeń Niewiadomymi są: nadliczbowe siły przemieszczenia węzłów Równania kanoniczne wyrażają: O liczbie niewiadomych decyduje: przemieszczenia w miejscu odrzuconych więzów stopień statycznej niewyznaczalności (SSN). Jest to liczba więzów przesztywniających układ, które trzeba odrzucić. reakcje w miejscu dołożonych więzów stopień kinematycznej niewyznaczalności (SKN). Jest to liczba więzów, które trzeba wprowadzić aby układ usztywnić... Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeń Określenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłów układu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona o liczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny. W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się z łańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór na przeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności. Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów oraz dodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie. Przykład Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys..) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnym obciążeniem ciągłym q. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodą przemieszczeń. q Rys.. Belka ciągła statycznie niewyznaczalna

2 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (SSN = ). Możemy zatem przyjąć układ podstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą X (rys..). X Rys... Układ podstawowy w metodzie sił Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X (korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak na rysunku.. S w s (q) w(q) S w s (x ) w(x ) X w(q) = w(x ) S Rys... Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X Warunek geometrycznej zgodności: w s q w s X zapisujemy w postaci równania kanonicznego: X P Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle S (SKN = ). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaci utwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys..4). W przeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony. φ s Rys..4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń

3 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postaci kąta obrotu φ. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję we wprowadzonym więzie: które jest równaniem kanonicznym: M s M s =M q M L M P r r P Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia q jak i od kąta obrotu φ korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys..5). M(q) = q M(q) M L (φ) φ M(φ ) M P (φ) Rys..5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ Wykonując linię ugięcia (rys..6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wyniku rozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody. φ w(q,φ ) Rys..6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ Przykład Analizie poddamy ramę płaską (rys..7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q. q P A r B s s h l Rys..7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna

4 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemy traktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów pod wpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznają przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów φ oraz niezależne przesuwy Δ (które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów ψik). Przyjmijmy więc te wielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzie przemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku φ, φ) oraz dodatkową podporę (blokada przesuwu po kierunku Δ). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys..). M A,φ q P A r B,φ R H B,Δ s s h l Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzając dodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości: { M A R B H (.) Warunki (.) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistości tych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiały być równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane. Rozpisując każde z równań otrzymujemy: {M A P M A M A M A P R H B P R H B R H B R H B (.) Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałej od jednostkowego przemieszczenia r ik (reakcja po kierunku niewiadomej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k): {r r r R P r r r R P R r R R P (.) Zastępując symbole niewiadomych φ, φ, Δ zmienną uogólnioną Zj otrzymujemy ostateczny układ równań:

5 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 {r Z r Z r Z R P r Z r Z r Z R P R Z r Z R Z R P (.4) który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej: n j= r ij Z j R ip (.5) Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta sama konstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram, układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą, w innych przypadkach jest na odwrót (rys..9). X 7 X 6 X 5 z X X 4 X X z z z z 6 z 5 z 4 X Rys..9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładach liczbowych. Zadanie Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys..0), korzystając z metody przemieszczeń. P = 6 kn q = 4 kn/m A B C 6 [m] Rys..0. Belka statycznie niewyznaczalna

6 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 Przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia węzłowe. W tym przypadku będzie to tylko kąt obrotu na pośredniej podporze (rys..). Wobec tego SKN =, natomiast w metodzie sił należałoby odrzucić dwa więzy (SSN = ): φ B, 4 6 [m] Rys... Układ podstawowy z wprowadzonym dodatkowym wewnętrznym więzem Ta krótka analiza dowodzi, że korzystniej (łatwiej) jest rozwiązać zadanie metodą przemieszczeń. Aby układ podstawowy był zgodny z rzeczywistym, reakcja we wprowadzonym więzie musi być równa zero MB = 0 (warunek statecznej zgodności). Warunek ten będzie spełniony, jeżeli moment powstały od obciążenia zewnętrznego będzie zrównoważony momentem powstałym od obrotu przekroju w podporze B: q (.6) Najpierw wykonujemy wykres momentów od jednostkowego przemieszczenia. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach belki. Część belki AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów od kąta obrotu wyznaczone ze wzorów transformacyjnych mają wartości: dla pręta AB (φ A = 0, φ B =, brak przesuwu ψ AB = 0) M AB = l A B AB = dla pręta BC (φb =, brak przesuwu ψbc = 0) (.7) A = l B A AB = (.) C = l B BC = (.9) Ponieważ w podporze C jest przegub M CB (.0) Korzystając z gotowych wzorów (tabela.) obliczymy wartości momentów przywęzłowych od obciążenia przęsłowego: dla pręta AB M AB = Pl = knm (.) A = Pl = knm (.)

7 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7 dla pręta BC C = q = knm (.) M CB (.4) Po obliczeniu momentów możemy narysować ich wykresy (rys..): M (0) P [knm] (q) (φ) Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego oraz od przemieszczenia φ= M φ Z równowagi momentów w węźle B możemy wyznaczyć wartości reakcji w poszczególnych stanach q = = = (.5) Ponieważ reakcje te muszą się równoważyć: czyli: Kąt obrotu przekroju B musi być równy: q B = B B (.6) = 0 B B = 0 (.7) Końcowe, rzeczywiste wartości momentów możemy obliczyć korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.) lub podstawiając do wzorów transformacyjnych obliczoną wartość kąta obrotu φb. Ich wykres w układzie niewyznaczalnym przedstawiono na rys...

8 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M (.) M AB = 0 = 4 0 = 4 knm (.9) A = 0 = 4 0 = 44 knm (.0) C = 0 = 54 0 = 44 knm (.) n (.) M CB 44 4 M P (n) [knm] 7 Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Rozwiązać zadaną ramę (rys..4) korzystając z metody przemieszczeń. B C q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..4. Rama płaska statycznie niewyznaczalna Najpierw przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia. W tym przypadku będzie to kąt obrotu oraz przesuw poziomy (rys..5) SKN = : φ, B C Δ R C H q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..5. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

9 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 We wprowadzonych dodatkowo podporach powstaną reakcje, które w rzeczywistości powinny być równe zero. Najpierw utworzymy wykresy momentów od jednostkowych przemieszczeń (φ i Δ ) oraz od obciążenia zewnętrznego w przyjętym układzie podstawowym. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach. Część AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów wywołane jednostkowym przemieszczeniem podpory B wyznaczamy ze wzorów transformacyjnych przyjmując φ = φb = : dla pręta AB ( φ A = 0, φ B =, ψ AB = 0) dla pręta BC ( φb =, ψbc = 0) M AB = l A B AB = (.) A = l B A AB = (.4) C = l B BC = (.5) M CB (.6) (φ ) M (φ ) = Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = Wartości momentów od przesuwu poziomego Δ = wyznaczamy z tych samych wzorów po określeniu kątów obrotu cięciw prętów ψ. Na skutek jednostkowego przesuwu po kierunku Δ cięciwy prętów obrócą się. Wartości kątów obrotu wyznaczymy ze związków geometrycznych. Δ Δ B Ψ BC C Ψ BC = 0 4 Δ tg Ψ AB = 4 Ψ AB Δ Ψ AB = 4 A Rys..7. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D W stanie Δ = wyznaczamy wartości momentów:

10 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 dla pręta AB ( φa = 0, φb = 0, Δ =, AB = 4 ) M AB = l A B AB = A = l B A AB = (.7) (.) dla pręta BC ( φ B = 0, ψ BC = 0) C = l B BC (.9) M CB (.0) (Δ ) M (Δ ) = - Rys... Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ = Wartości momentów od obciążenia wyznaczamy na podstawie gotowych wzorów (tabela.): dla pręta AB (obustronnie utwierdzonego) dla pręta BC M AB = q = knm (.) A = q = knm (.) C (.) M CB (.4) (P) M P (0) (P) = Rys..9. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego

11 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Warunek statycznej zgodności (reakcje we wprowadzonych węzłach są równe zero): { R H C (.5) można rozpisać jako sumę reakcji od poszczególnych wpływów: { M P M M B B B R P R R (.6) Wprowadzając oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń, otrzymujemy układ równań kanonicznych: { r Z r Z R P r Z r Z R P (.7) gdzie r ik to reakcja po kierunku zmiennej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k, R ip to reakcja po kierunku i wywołana obciążeniem zewnętrznym, Z i to nieznane przemieszczenie. Z równowagi momentów w węźle B otrzymujemy pierwsze równanie: po uporządkowaniu: (.) Natomiast drugie równanie otrzymamy korzystając z równania pracy wirtualnej (praca sił zewnętrznych jest równa pracy wirtualnych sił wewnętrznych L z = L w ) (rys..9). Praca sił rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach równa jest pracy sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach. Ponieważ wirtualnym przemieszczeniem jest jednostkowy przesuw = a układ rzeczywisty nie przemieszcza się to: R C M ik M ki ik P i i (.9) Stan φ = Stan Δ = Stan P R C (φ =) R C (Δ =) R C (P) Ψ = 4 - Ψ = 4 - Q - δ Q Ψ = 4 Q = q 4 = 4 4 =6 kn δ Q = = Rys..0. Reakcja w poziomej podporze w poszczególnych stanach

12 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Reakcje po kierunku Δ wyznaczymy w poszczególnych stanach. Dla stanu φ = : R C 4 R C R C = (.40) Następnie dla stanu Δ = : 4 R C R C = 4 4 = 6 (.4) Na koniec reakcja w stanie P: 4 Q R C R C P = (.4) Podstawiając powyższe wartości do drugiego równania (.6) otrzymujemy jego ostateczną postać: 6 (.4) Wykorzystując zależności (.) i (.4) zapisujemy układ równań kanonicznych: { (.44) 6 którego rozwiązaniem są rzeczywiste przemieszczenia: {Z = = 64 5 Z = = 44 5 (.45) Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.46). Końcowe wartości momentów przedstawiono na wykresie w układzie niewyznaczalnym (rys..): M n P =M o P M M (.46) M AB = = 76 knm 5 (.47)

13 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M M (.46) A = = 64 knm 5 (.4) C = 64 knm 5 (.49) n (.50) M CB M (n) Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Wyznaczyć wartości reakcji w zadanej ramie korzystając z metody przemieszczeń. q P l l Rys... Rama płaska statycznie niewyznaczalna Układ podstawowy otrzymujemy wprowadzając dodatkowe więzy: φ φ P q l l Δ 0 Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą

14 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Stateczną zgodność naruszonego układu zapewniamy równaniami: { M A R B H (.5) Możemy je także zapisać w postaci wskaźnikowej n k= r ik Z k R ip (.5) Obliczając wartości kątów obrotu przyjmujemy poniższe zależności: =a =b = = l = Z l (.5) Δ= Ψ =Ψ r l Ψ 0 =Ψ Ψ =Ψ 0 Rys..4. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku r Wartości wszystkich reakcji obliczymy po wyznaczeniu wartości momentów dla poszczególnych stanów oraz korzystając z równania pracy wirtualnej: Stan φ = r r 4 φ = r l 4 M 0 l Rys..5. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ =

15 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 r = 4 l 4 r = (.5) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej (.9): M 0 M 0 M M M r (.54) r = 6 l a 6 b (.55) Stan φ = r r φ = 4 r l M 0 Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = r = 4 l r = (.56) Wartość reakcji r wyznaczamy analogicznie jak dla reakcji r, czyli z równania pracy wirtualnej: Stan Δ = M 0 M 0 M M M r (.57) r = 6 b l (.5) r 6b r l Δ = r 6a l l 6a l l 0 6b l l M Rys..7. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ =

16 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 r = 6 a l l 6 b l r = 6 b l l (.59) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej: M 0 M 0 M M r = a l l M r (.60) b l (.6) Stan P: R P P R P q q l P P R P q l 0 P M P Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego R P = q P R P = P (.6) Wartość reakcji r P wyznaczamy, jak poprzednio z równania pracy wirtualnej, które w tym przypadku rozszerzone jest o pracę sił Q i P: M P P 0 M 0 M P P M M P R P Q l P (.6) r P = Q l a l P b l (.64) Obliczone wartości reakcji podstawiamy do układu równań kanonicznych z którego już bardzo prosto można wyznaczyć szukane przemieszczenia. Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub też korzystając ze wzoru superpozycyjnego przedstawionego poniżej: M P n =M P 0 M Z M Z M Z (.65)

17 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7.. Sprawdzenie wyników Podczas rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń trudno jest ocenić poprawność uzyskanych wyników. Istnieje jednak możliwość przeprowadzenia pewnych kontroli w trakcie obliczeń.... Symetria macierzy sztywności Porównanie współczynników rik i rki jest pośrednim sposobem kontroli wyników. Macierz sztywności powinna być symetryczna, dlatego obowiązuje zależność : r ik =r ki Dowód tego założenia opiera się na twierdzeniu Rayleigha: Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego a wywołana jednostkowym przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji r ki odpowiadającej k-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu. Współczynniki r ik można sprawdzić również opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, które mówi: Dla ciał liniowo sprężystych praca przygotowana (wirtualna, możliwa) zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu obciążenia I na przemieszczeniach stanu obciążenia II równa jest pracy przygotowanej zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu II na przemieszczeniach stanu I. L z =L w Sens tego twierdzenia można zilustrować na poniższym przykładzie. Na rys..9 przedstawiono układ o SKN =. Po przyjęciu układu podstawowego wykonujemy wykresy momentów. Najpierw rozwiązano układ, któremu nadano kąt obrotu = (Stan I). Na rys..0 widzimy ten sam układ, lecz kąt obrotu o wartości działa w drugim węźle (Stan II). φ = l r r r l 4 l M I Rys..9. Wykres momentów M I dla φ =

18 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE r = l 4 EI r = φ = 4 r r r 4 l l M II l Rys..0. Wykres momentów M II dla φ = Pracę sił zewnętrznych (reakcji ze stanu I na przemieszczeniach ze stanu II) można zapisać w następujący sposób: L z =r 0 r r 0 R j 0 =r Natomiast pracę sił wewnętrznych wyznaczamy korzystając z metody Wereszczagina - Mohra: L w = M I M II stąd otrzymujemy wartość reakcji ds = [ 4 4 EI 4 ] = r = Jeżeli wyznaczamy pracę sił ze stanu II na przemieszczeniach ze stanu I, to: a praca sił wewnętrznych: L z =r r 0 r 0 R j 0 =r Ponieważ tym razem L w = M II M I ds= r =

19 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 ostatecznie można zapisać r =r Opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, możemy sprawdzić współczynniki rik, jednak sprawdzenie wielkości r ip (wpływu sił zewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ obliczając pracę sił zewnętrznych (P) powinniśmy znać linie przemieszczeń prętów wywołanych obrotami bądź przesuwami węzłów. Linie te są krzywymi wyższego stopnia, których w zadaniu nie wyznaczamy. Widać to na przykładzie ramy, której wykres momentów w stanie odkształconym z = przedstawiony jest na rys.., a od obciążenia zewnętrznego na rys... Z = Z r r r δ Rys... Wykres momentów i postać odkształcona w stanie Z = Praca sił ze stanu P na przemieszczeniach ze stanu Z = wymaga skomplikowanego całkowania. L z =r P r P 0 r P 0 q ds s q r P r P rp Rys... Schemat obciążenia i wykres momentów od obciążenia ciągłego... Sprawdzenie kinematyczne W metodzie przemieszczeń sprawdzenie kinematyczne nie daje pewności poprawnego rozwiązania zadania, jak było w metodzie sił. Pozwala ono jedynie ocenić czy wykres momentów zginających jest poprawny. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na zależności: i P i i i R k k = { j s M M P EI t t h n R n R n P ds s f m B m b m N N P EA t t ds s T T P GA ds }

20 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 gdzie: MP, NP, TP - wewnętrzne siły rzeczywiste, Δ i P i R k Δ k R n R n P - niewiadome przemieszczenie, - jednostkowa siła wirtualna, - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia), - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej, - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m, B m - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.... Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: X Y M Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 1 8. 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie

Bardziej szczegółowo

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns) WIERZBICKI JĘDRZEJ 4 (ns) CZĘŚĆ 1a BELKA 1. Zadanie Przeprowadzić analizę kinematyczną oraz wyznaczyć reakcje w więzach belki, danej schematem przedstawionym na rys. 1. Wymiary oraz obciążenia przyjąć

Bardziej szczegółowo

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów. 2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 1.1. Płaskie układy tarcz sztywnych naliza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być konstrukcją budowlaną. Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 2 WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, I ROK Wykonał:

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera Wyznaczenie reakcji w elkach erbera Sposób obliczania: by policzyć elkę erbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach uzyskując pojedyncze belki by móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Badanie ugięcia belki

Badanie ugięcia belki Badanie ugięcia belki Szczecin 2015 r Opracował : dr inż. Konrad Konowalski *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest: 1. Sprawdzenie doświadczalne ugięć belki obliczonych

Bardziej szczegółowo

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH

ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH 1. Rodzaje więzów i reakcje więzów KaŜda konstrukcja budowlana, stanowiąca przedmiot analizy nauki wytrzymałości materiałów, jest w jakiś sposób posadowiona,

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016 Termin zajęć: poniedziałek 1 odkształconej 05.10.15r. postaci ramy z zasady prac wirtualnych. 2 12.10.15r. Liczenie przemieszczeń w ramie Zasada Prac Wirtualnych. 3 19.10.15r. Rysowanie odkształconej postaci

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego Streszczenie Dobór elementów struktury konstrukcyjnej z warunku ustalonej niezawodności, mierzonej wskaźnikiem niezawodności β. Przykład liczbowy dla ramy statycznie niewyznaczalnej. Leszek Chodor, Joanna

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Część 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ

Część 1 9. METODA SIŁ 1 9. METODA SIŁ Część 1 9. METOD SIŁ 1 9. 9. METOD SIŁ Metoda ił jet poobem rozwiązywania układów tatycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza ię ona do rozwiązania

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Program zajęć z przedmiotu Mechanika Budowli I na studiach niestacjonarnych I stopnia, na 2 roku Wydziału Inżynierii Lądowej (semestry: 5 i 6)

Program zajęć z przedmiotu Mechanika Budowli I na studiach niestacjonarnych I stopnia, na 2 roku Wydziału Inżynierii Lądowej (semestry: 5 i 6) Program zajęć z przedmiotu Mechanika Budowli I na studiach niestacjonarnych I stopnia, na 2 roku Wydziału Inżynierii Lądowej (semestry: 5 i 6) Wymagania: Zaliczenie Wytrzymałości materiałów z semestru

Bardziej szczegółowo

wszystkie elementy modelu płaskiego są w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną modelu

wszystkie elementy modelu płaskiego są w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną modelu Schemat statyczny zawiera informacje, takie jak: geometria i połoŝenie tarcz (ciał sztywnych), połączenia tarcz z fundamentem i ze sobą, rodzaj, połoŝenie i wartość obciąŝeń czynnych. wszystkie elementy

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie

Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1. Projekt techniczny Podciągu

1. Projekt techniczny Podciągu 1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami

Bardziej szczegółowo

Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice

Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice Tematyka wykładu 2 Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych ręty obciążone osiowo Kratownice Mechanika budowli - kratownice Kratownicą lub układem kratowym nazywamy układ prostoliniowych

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 10. 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego =0 (10.1) Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011 Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności Magdalena Krokowska KBI III 010/011 Wyznaczyć zakres strefy spręŝystej dla belki o zadanym przekroju poprzecznym

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II

Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II Konstrukcje betonowe Wykład, cz. II Dr inż. Jacek Dyczkowski Studia stacjonarne, KB, II stopień, rok I, semestr I 1 K. Kopuły Rys. K-1 [5] 2 Obciążenia i siły od ciężaru własnego kopuły, pokazanej na rys.

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk) Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek Wprowadzenie nr 2* do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw w semestrze zimowym 2012/2013 1.Zakres

Bardziej szczegółowo

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE Część 3 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 5.. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI PŁASKICH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Na wstępie przypomnijmy, że podział na

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

zredukować w układzie NQ, więc poza siłami P 1 i P 2 trzeba rozłożyć na składowe równoległą i prostopadłą do odcinka CD wypadkową od q1 10

zredukować w układzie NQ, więc poza siłami P 1 i P 2 trzeba rozłożyć na składowe równoległą i prostopadłą do odcinka CD wypadkową od q1 10 Rozwiązać podaną ramę (wykresy M Q N ) q 1 =5 D P 2 = x 3 D q 2 = y 3 40 P 1 =20 2 α B C x 3 /y 3 =2/1 2 c=2/ 5 A E F P 3 = s=1/ 5 Wq 1 =5*2 5 = 5 P 4 = 2 2 2 2 Po prawej stronie tematu narysowano w którą

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4 MECHNIK OGÓLN wykład 4 D R I N Ż. G T M R Y N I K Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych. K R T O W N I C E KRTOWNIC UKŁD PRĘTÓW PROSTOLINIOWYCH Przegubowe połączenia w węzłach Obciążenie węzłowe

Bardziej szczegółowo

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej Opracowanie: Spis treści Strona 1. Cel badania 3 2. Opis stanowiska oraz modeli do badań 3 2.1. Modele do badań 3

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo