3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE"

Transkrypt

1 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił wewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sens fizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodami zestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach. Tabela.. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń Metoda sił Metoda przemieszczeń Niewiadomymi są: nadliczbowe siły przemieszczenia węzłów Równania kanoniczne wyrażają: O liczbie niewiadomych decyduje: przemieszczenia w miejscu odrzuconych więzów stopień statycznej niewyznaczalności (SSN). Jest to liczba więzów przesztywniających układ, które trzeba odrzucić. reakcje w miejscu dołożonych więzów stopień kinematycznej niewyznaczalności (SKN). Jest to liczba więzów, które trzeba wprowadzić aby układ usztywnić... Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeń Określenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłów układu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona o liczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny. W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się z łańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór na przeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności. Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów oraz dodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie. Przykład Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys..) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnym obciążeniem ciągłym q. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodą przemieszczeń. q Rys.. Belka ciągła statycznie niewyznaczalna

2 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (SSN = ). Możemy zatem przyjąć układ podstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą X (rys..). X Rys... Układ podstawowy w metodzie sił Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X (korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak na rysunku.. S w s (q) w(q) S w s (x ) w(x ) X w(q) = w(x ) S Rys... Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X Warunek geometrycznej zgodności: w s q w s X zapisujemy w postaci równania kanonicznego: X P Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle S (SKN = ). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaci utwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys..4). W przeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony. φ s Rys..4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń

3 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postaci kąta obrotu φ. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję we wprowadzonym więzie: które jest równaniem kanonicznym: M s M s =M q M L M P r r P Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia q jak i od kąta obrotu φ korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys..5). M(q) = q M(q) M L (φ) φ M(φ ) M P (φ) Rys..5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ Wykonując linię ugięcia (rys..6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wyniku rozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody. φ w(q,φ ) Rys..6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ Przykład Analizie poddamy ramę płaską (rys..7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q. q P A r B s s h l Rys..7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna

4 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemy traktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów pod wpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznają przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów φ oraz niezależne przesuwy Δ (które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów ψik). Przyjmijmy więc te wielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzie przemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku φ, φ) oraz dodatkową podporę (blokada przesuwu po kierunku Δ). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys..). M A,φ q P A r B,φ R H B,Δ s s h l Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzając dodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości: { M A R B H (.) Warunki (.) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistości tych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiały być równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane. Rozpisując każde z równań otrzymujemy: {M A P M A M A M A P R H B P R H B R H B R H B (.) Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałej od jednostkowego przemieszczenia r ik (reakcja po kierunku niewiadomej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k): {r r r R P r r r R P R r R R P (.) Zastępując symbole niewiadomych φ, φ, Δ zmienną uogólnioną Zj otrzymujemy ostateczny układ równań:

5 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 {r Z r Z r Z R P r Z r Z r Z R P R Z r Z R Z R P (.4) który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej: n j= r ij Z j R ip (.5) Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta sama konstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram, układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą, w innych przypadkach jest na odwrót (rys..9). X 7 X 6 X 5 z X X 4 X X z z z z 6 z 5 z 4 X Rys..9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładach liczbowych. Zadanie Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys..0), korzystając z metody przemieszczeń. P = 6 kn q = 4 kn/m A B C 6 [m] Rys..0. Belka statycznie niewyznaczalna

6 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 Przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia węzłowe. W tym przypadku będzie to tylko kąt obrotu na pośredniej podporze (rys..). Wobec tego SKN =, natomiast w metodzie sił należałoby odrzucić dwa więzy (SSN = ): φ B, 4 6 [m] Rys... Układ podstawowy z wprowadzonym dodatkowym wewnętrznym więzem Ta krótka analiza dowodzi, że korzystniej (łatwiej) jest rozwiązać zadanie metodą przemieszczeń. Aby układ podstawowy był zgodny z rzeczywistym, reakcja we wprowadzonym więzie musi być równa zero MB = 0 (warunek statecznej zgodności). Warunek ten będzie spełniony, jeżeli moment powstały od obciążenia zewnętrznego będzie zrównoważony momentem powstałym od obrotu przekroju w podporze B: q (.6) Najpierw wykonujemy wykres momentów od jednostkowego przemieszczenia. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach belki. Część belki AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów od kąta obrotu wyznaczone ze wzorów transformacyjnych mają wartości: dla pręta AB (φ A = 0, φ B =, brak przesuwu ψ AB = 0) M AB = l A B AB = dla pręta BC (φb =, brak przesuwu ψbc = 0) (.7) A = l B A AB = (.) C = l B BC = (.9) Ponieważ w podporze C jest przegub M CB (.0) Korzystając z gotowych wzorów (tabela.) obliczymy wartości momentów przywęzłowych od obciążenia przęsłowego: dla pręta AB M AB = Pl = knm (.) A = Pl = knm (.)

7 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7 dla pręta BC C = q = knm (.) M CB (.4) Po obliczeniu momentów możemy narysować ich wykresy (rys..): M (0) P [knm] (q) (φ) Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego oraz od przemieszczenia φ= M φ Z równowagi momentów w węźle B możemy wyznaczyć wartości reakcji w poszczególnych stanach q = = = (.5) Ponieważ reakcje te muszą się równoważyć: czyli: Kąt obrotu przekroju B musi być równy: q B = B B (.6) = 0 B B = 0 (.7) Końcowe, rzeczywiste wartości momentów możemy obliczyć korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.) lub podstawiając do wzorów transformacyjnych obliczoną wartość kąta obrotu φb. Ich wykres w układzie niewyznaczalnym przedstawiono na rys...

8 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M (.) M AB = 0 = 4 0 = 4 knm (.9) A = 0 = 4 0 = 44 knm (.0) C = 0 = 54 0 = 44 knm (.) n (.) M CB 44 4 M P (n) [knm] 7 Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Rozwiązać zadaną ramę (rys..4) korzystając z metody przemieszczeń. B C q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..4. Rama płaska statycznie niewyznaczalna Najpierw przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia. W tym przypadku będzie to kąt obrotu oraz przesuw poziomy (rys..5) SKN = : φ, B C Δ R C H q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..5. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

9 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 We wprowadzonych dodatkowo podporach powstaną reakcje, które w rzeczywistości powinny być równe zero. Najpierw utworzymy wykresy momentów od jednostkowych przemieszczeń (φ i Δ ) oraz od obciążenia zewnętrznego w przyjętym układzie podstawowym. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach. Część AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów wywołane jednostkowym przemieszczeniem podpory B wyznaczamy ze wzorów transformacyjnych przyjmując φ = φb = : dla pręta AB ( φ A = 0, φ B =, ψ AB = 0) dla pręta BC ( φb =, ψbc = 0) M AB = l A B AB = (.) A = l B A AB = (.4) C = l B BC = (.5) M CB (.6) (φ ) M (φ ) = Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = Wartości momentów od przesuwu poziomego Δ = wyznaczamy z tych samych wzorów po określeniu kątów obrotu cięciw prętów ψ. Na skutek jednostkowego przesuwu po kierunku Δ cięciwy prętów obrócą się. Wartości kątów obrotu wyznaczymy ze związków geometrycznych. Δ Δ B Ψ BC C Ψ BC = 0 4 Δ tg Ψ AB = 4 Ψ AB Δ Ψ AB = 4 A Rys..7. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D W stanie Δ = wyznaczamy wartości momentów:

10 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 dla pręta AB ( φa = 0, φb = 0, Δ =, AB = 4 ) M AB = l A B AB = A = l B A AB = (.7) (.) dla pręta BC ( φ B = 0, ψ BC = 0) C = l B BC (.9) M CB (.0) (Δ ) M (Δ ) = - Rys... Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ = Wartości momentów od obciążenia wyznaczamy na podstawie gotowych wzorów (tabela.): dla pręta AB (obustronnie utwierdzonego) dla pręta BC M AB = q = knm (.) A = q = knm (.) C (.) M CB (.4) (P) M P (0) (P) = Rys..9. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego

11 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Warunek statycznej zgodności (reakcje we wprowadzonych węzłach są równe zero): { R H C (.5) można rozpisać jako sumę reakcji od poszczególnych wpływów: { M P M M B B B R P R R (.6) Wprowadzając oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń, otrzymujemy układ równań kanonicznych: { r Z r Z R P r Z r Z R P (.7) gdzie r ik to reakcja po kierunku zmiennej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k, R ip to reakcja po kierunku i wywołana obciążeniem zewnętrznym, Z i to nieznane przemieszczenie. Z równowagi momentów w węźle B otrzymujemy pierwsze równanie: po uporządkowaniu: (.) Natomiast drugie równanie otrzymamy korzystając z równania pracy wirtualnej (praca sił zewnętrznych jest równa pracy wirtualnych sił wewnętrznych L z = L w ) (rys..9). Praca sił rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach równa jest pracy sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach. Ponieważ wirtualnym przemieszczeniem jest jednostkowy przesuw = a układ rzeczywisty nie przemieszcza się to: R C M ik M ki ik P i i (.9) Stan φ = Stan Δ = Stan P R C (φ =) R C (Δ =) R C (P) Ψ = 4 - Ψ = 4 - Q - δ Q Ψ = 4 Q = q 4 = 4 4 =6 kn δ Q = = Rys..0. Reakcja w poziomej podporze w poszczególnych stanach

12 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Reakcje po kierunku Δ wyznaczymy w poszczególnych stanach. Dla stanu φ = : R C 4 R C R C = (.40) Następnie dla stanu Δ = : 4 R C R C = 4 4 = 6 (.4) Na koniec reakcja w stanie P: 4 Q R C R C P = (.4) Podstawiając powyższe wartości do drugiego równania (.6) otrzymujemy jego ostateczną postać: 6 (.4) Wykorzystując zależności (.) i (.4) zapisujemy układ równań kanonicznych: { (.44) 6 którego rozwiązaniem są rzeczywiste przemieszczenia: {Z = = 64 5 Z = = 44 5 (.45) Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.46). Końcowe wartości momentów przedstawiono na wykresie w układzie niewyznaczalnym (rys..): M n P =M o P M M (.46) M AB = = 76 knm 5 (.47)

13 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M M (.46) A = = 64 knm 5 (.4) C = 64 knm 5 (.49) n (.50) M CB M (n) Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Wyznaczyć wartości reakcji w zadanej ramie korzystając z metody przemieszczeń. q P l l Rys... Rama płaska statycznie niewyznaczalna Układ podstawowy otrzymujemy wprowadzając dodatkowe więzy: φ φ P q l l Δ 0 Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą

14 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Stateczną zgodność naruszonego układu zapewniamy równaniami: { M A R B H (.5) Możemy je także zapisać w postaci wskaźnikowej n k= r ik Z k R ip (.5) Obliczając wartości kątów obrotu przyjmujemy poniższe zależności: =a =b = = l = Z l (.5) Δ= Ψ =Ψ r l Ψ 0 =Ψ Ψ =Ψ 0 Rys..4. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku r Wartości wszystkich reakcji obliczymy po wyznaczeniu wartości momentów dla poszczególnych stanów oraz korzystając z równania pracy wirtualnej: Stan φ = r r 4 φ = r l 4 M 0 l Rys..5. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ =

15 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 r = 4 l 4 r = (.5) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej (.9): M 0 M 0 M M M r (.54) r = 6 l a 6 b (.55) Stan φ = r r φ = 4 r l M 0 Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = r = 4 l r = (.56) Wartość reakcji r wyznaczamy analogicznie jak dla reakcji r, czyli z równania pracy wirtualnej: Stan Δ = M 0 M 0 M M M r (.57) r = 6 b l (.5) r 6b r l Δ = r 6a l l 6a l l 0 6b l l M Rys..7. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ =

16 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 r = 6 a l l 6 b l r = 6 b l l (.59) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej: M 0 M 0 M M r = a l l M r (.60) b l (.6) Stan P: R P P R P q q l P P R P q l 0 P M P Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego R P = q P R P = P (.6) Wartość reakcji r P wyznaczamy, jak poprzednio z równania pracy wirtualnej, które w tym przypadku rozszerzone jest o pracę sił Q i P: M P P 0 M 0 M P P M M P R P Q l P (.6) r P = Q l a l P b l (.64) Obliczone wartości reakcji podstawiamy do układu równań kanonicznych z którego już bardzo prosto można wyznaczyć szukane przemieszczenia. Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub też korzystając ze wzoru superpozycyjnego przedstawionego poniżej: M P n =M P 0 M Z M Z M Z (.65)

17 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7.. Sprawdzenie wyników Podczas rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń trudno jest ocenić poprawność uzyskanych wyników. Istnieje jednak możliwość przeprowadzenia pewnych kontroli w trakcie obliczeń.... Symetria macierzy sztywności Porównanie współczynników rik i rki jest pośrednim sposobem kontroli wyników. Macierz sztywności powinna być symetryczna, dlatego obowiązuje zależność : r ik =r ki Dowód tego założenia opiera się na twierdzeniu Rayleigha: Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego a wywołana jednostkowym przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji r ki odpowiadającej k-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu. Współczynniki r ik można sprawdzić również opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, które mówi: Dla ciał liniowo sprężystych praca przygotowana (wirtualna, możliwa) zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu obciążenia I na przemieszczeniach stanu obciążenia II równa jest pracy przygotowanej zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu II na przemieszczeniach stanu I. L z =L w Sens tego twierdzenia można zilustrować na poniższym przykładzie. Na rys..9 przedstawiono układ o SKN =. Po przyjęciu układu podstawowego wykonujemy wykresy momentów. Najpierw rozwiązano układ, któremu nadano kąt obrotu = (Stan I). Na rys..0 widzimy ten sam układ, lecz kąt obrotu o wartości działa w drugim węźle (Stan II). φ = l r r r l 4 l M I Rys..9. Wykres momentów M I dla φ =

18 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE r = l 4 EI r = φ = 4 r r r 4 l l M II l Rys..0. Wykres momentów M II dla φ = Pracę sił zewnętrznych (reakcji ze stanu I na przemieszczeniach ze stanu II) można zapisać w następujący sposób: L z =r 0 r r 0 R j 0 =r Natomiast pracę sił wewnętrznych wyznaczamy korzystając z metody Wereszczagina - Mohra: L w = M I M II stąd otrzymujemy wartość reakcji ds = [ 4 4 EI 4 ] = r = Jeżeli wyznaczamy pracę sił ze stanu II na przemieszczeniach ze stanu I, to: a praca sił wewnętrznych: L z =r r 0 r 0 R j 0 =r Ponieważ tym razem L w = M II M I ds= r =

19 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 ostatecznie można zapisać r =r Opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, możemy sprawdzić współczynniki rik, jednak sprawdzenie wielkości r ip (wpływu sił zewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ obliczając pracę sił zewnętrznych (P) powinniśmy znać linie przemieszczeń prętów wywołanych obrotami bądź przesuwami węzłów. Linie te są krzywymi wyższego stopnia, których w zadaniu nie wyznaczamy. Widać to na przykładzie ramy, której wykres momentów w stanie odkształconym z = przedstawiony jest na rys.., a od obciążenia zewnętrznego na rys... Z = Z r r r δ Rys... Wykres momentów i postać odkształcona w stanie Z = Praca sił ze stanu P na przemieszczeniach ze stanu Z = wymaga skomplikowanego całkowania. L z =r P r P 0 r P 0 q ds s q r P r P rp Rys... Schemat obciążenia i wykres momentów od obciążenia ciągłego... Sprawdzenie kinematyczne W metodzie przemieszczeń sprawdzenie kinematyczne nie daje pewności poprawnego rozwiązania zadania, jak było w metodzie sił. Pozwala ono jedynie ocenić czy wykres momentów zginających jest poprawny. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na zależności: i P i i i R k k = { j s M M P EI t t h n R n R n P ds s f m B m b m N N P EA t t ds s T T P GA ds }

20 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 gdzie: MP, NP, TP - wewnętrzne siły rzeczywiste, Δ i P i R k Δ k R n R n P - niewiadome przemieszczenie, - jednostkowa siła wirtualna, - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia), - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej, - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m, B m - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.... Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: X Y M Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns) WIERZBICKI JĘDRZEJ 4 (ns) CZĘŚĆ 1a BELKA 1. Zadanie Przeprowadzić analizę kinematyczną oraz wyznaczyć reakcje w więzach belki, danej schematem przedstawionym na rys. 1. Wymiary oraz obciążenia przyjąć

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE,

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016 Termin zajęć: poniedziałek 1 odkształconej 05.10.15r. postaci ramy z zasady prac wirtualnych. 2 12.10.15r. Liczenie przemieszczeń w ramie Zasada Prac Wirtualnych. 3 19.10.15r. Rysowanie odkształconej postaci

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego Streszczenie Dobór elementów struktury konstrukcyjnej z warunku ustalonej niezawodności, mierzonej wskaźnikiem niezawodności β. Przykład liczbowy dla ramy statycznie niewyznaczalnej. Leszek Chodor, Joanna

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali

Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej. Opracowanie: Centrum Promocji Jakości Stali Badanie wpływu plastyczności zbrojenia na zachowanie się dwuprzęsłowej belki żelbetowej Opracowanie: Spis treści Strona 1. Cel badania 3 2. Opis stanowiska oraz modeli do badań 3 2.1. Modele do badań 3

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011 Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności Magdalena Krokowska KBI III 010/011 Wyznaczyć zakres strefy spręŝystej dla belki o zadanym przekroju poprzecznym

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk) Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

5. Zginanie ze ścinaniem

5. Zginanie ze ścinaniem 5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1.1.1. Człon mechanizmu Człon mechanizmu to element konstrukcyjny o dowolnym kształcie, ruchomy bądź nieruchomy, zwany wtedy podstawą, niepodzielny w aspekcie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Wyjaśnienie w sprawie różnic wyników obliczeń statycznych otrzymanych z programu TrussCon Projekt 2D i innych programów

Wyjaśnienie w sprawie różnic wyników obliczeń statycznych otrzymanych z programu TrussCon Projekt 2D i innych programów Wyjaśnienie w sprawie różnic wyników obliczeń statycznych otrzymanych z programu TrussCon Projekt 2D i innych programów Szanowni Państwo! W związku z otrzymywanymi pytaniami dlaczego wyniki obliczeń uzyskanych

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie

Bardziej szczegółowo

Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02

Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02 MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Anna Kusina Obliczanie obciążeń konstrukcji budowlanych 311[04].Z1.02 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO

Ć w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO Ć w i c z e n i e POMIAY W OBWODACH PĄDU STAŁEGO. Wiadomości ogólne.. Obwód elektryczny Obwód elektryczny jest to układ odpowiednio połączonych elementów przewodzących prąd i źródeł energii elektrycznej.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Pale wbijane z rur stalowych zamkniętych

Pale wbijane z rur stalowych zamkniętych Pale Atlas Pale Omega Pale TUBEX Pale wbijane z rur stalowych zamkniętych Pale wbijane z rur stalowych otwartych Pale wbijane z rur stalowych otwartych Mikropale Mikropale są przydatne do wzmacniania fundamentów,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

PROJEKT I BUDOWA STANOWISKA DO POMIARÓW ODKSZTAŁCEŃ PROFILI ZE STOPÓW METALI NIEŻELAZNYCH

PROJEKT I BUDOWA STANOWISKA DO POMIARÓW ODKSZTAŁCEŃ PROFILI ZE STOPÓW METALI NIEŻELAZNYCH Mateusz Marzec, Seweryn Łapaj, Nicole Respondek, dr inż. Marcin Kubiak, dr inż. Tomasz Domański Politechnika Częstochowska, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki, Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji

Bardziej szczegółowo

E, J H 2 E, J H 1. Rysunek 9.1. Schemat statyczny słupa. 1. Kinematycznie dopuszczalna (zgodna z więzami) postać odkształcona analizowanej struktury:

E, J H 2 E, J H 1. Rysunek 9.1. Schemat statyczny słupa. 1. Kinematycznie dopuszczalna (zgodna z więzami) postać odkształcona analizowanej struktury: Przykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach Wyznaczyć wartość krytyczną siły P obciążającej głowicę słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku. Słup jest zamocowany w undamencie.

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Rys. 29. Schemat obliczeniowy płyty biegowej i spoczników

Rys. 29. Schemat obliczeniowy płyty biegowej i spoczników Przykład obliczeniowy schodów wg EC-2 a) Zebranie obciąŝeń Szczegóły geometryczne i konstrukcyjne przedstawiono poniŝej: Rys. 28. Wymiary klatki schodowej w rzucie poziomym 100 224 20 14 9x 17,4/28,0 157

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

1.1. Przykład projektowania konstrukcji prętowej z wykorzystaniem ekranów systemu ROBOT Millennium

1.1. Przykład projektowania konstrukcji prętowej z wykorzystaniem ekranów systemu ROBOT Millennium ROBOT Millennium wersja 20.0 - Podręcznik użytkownika (PRZYKŁADY) strona: 3 1. PRZYKŁADY UWAGA: W poniższych przykładach została przyjęta następująca zasada oznaczania definicji początku i końca pręta

Bardziej szczegółowo

Zadania z podstaw kształtowania elementów konstrukcji

Zadania z podstaw kształtowania elementów konstrukcji Zadania z podstaw kształtowania elementów konstrukcji Podręczniki Politechnika Lubelska Politechnika Lubelska Wydział Budownictwa i Architektury ul. Nadbystrzycka 40 20-618 Lublin Cyprian Komorzycki Przemysław

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna statyka

Mechanika ogólna statyka Mechanika ogóna statyka kierunek Budownictwo, sem. II materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: dr inż. iotr Dębski, dr inż. Irena Wagner TREŚĆ WYKŁADU ojęcia podstawowe, działy mechaniki. ojęcie punktu

Bardziej szczegółowo

Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7

Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7 Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7 I. Dane do projektowania - Obciążenia stałe charakterystyczne: V k = (pionowe)

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Zastosowanie optymalizacji

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

2 Zależności geometryczne i wzory wytrzymałościowe

2 Zależności geometryczne i wzory wytrzymałościowe dr inż. Witold Kurski Instruktor Sportu w Żeglarstwie Nr 3259/I/S/99 Instruktor Żeglarstwa Lodowego PZŻ Nr 29 PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O MECHANICE MASZTU ŚLIZGU LODOWEGO GDAŃSK PAŹDZIERNIK 2007 Materiały

Bardziej szczegółowo

ANALIZA RAMY PRZESTRZENNEJ W SYSTEMIE ROBOT. Adam Wosatko Tomasz Żebro

ANALIZA RAMY PRZESTRZENNEJ W SYSTEMIE ROBOT. Adam Wosatko Tomasz Żebro ANALIZA RAMY PRZESTRZENNEJ W SYSTEMIE ROBOT Adam Wosatko Tomasz Żebro v. 0.1, marzec 2009 2 1. Typ zadania i materiał Typ zadania. Spośród możliwych zadań(patrz rys. 1(a)) wybieramy statykę ramy przestrzennej

Bardziej szczegółowo

Opracowanie pobrane ze strony: http://www.budujemy-przyszlosc.cba.pl

Opracowanie pobrane ze strony: http://www.budujemy-przyszlosc.cba.pl Opracowanie pobrane ze strony: http://www.budujemy-przyszlosc.cba.pl Plik przeznaczony do celów edukacyjnych. Kopiowanie wyrywkowych fragmentów do użytku komercyjnego zabronione. Autor: Bartosz Sadurski

Bardziej szczegółowo

STRESZCZENIE PRACY MAGISTERSKIEJ

STRESZCZENIE PRACY MAGISTERSKIEJ WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego STRESZCZENIE PRACY MAGISTERSKIEJ MODELOWANIE D I BADANIA NUMERYCZNE BELKOWYCH MOSTÓW KOLEJOWYCH PODDANYCH DZIAŁANIU POCIĄGÓW SZYBKOBIEŻNYCH Paulina

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

1. Dostosowanie paska narzędzi.

1. Dostosowanie paska narzędzi. 1. Dostosowanie paska narzędzi. 1.1. Wyświetlanie paska narzędzi Rysuj. Rys. 1. Pasek narzędzi Rysuj W celu wyświetlenia paska narzędzi Rysuj należy wybrać w menu: Widok Paski narzędzi Dostosuj... lub

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie 9. OSIOWE ROZIĄGIE I ŚISIE 9.. aprężenia i odkształcenia Osiowe rozciąganie pręta pryzmatycznego występuje wówczas, gdy układ sił zewnętrznych

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

RAMA STALOWA 3D MODELOWANIE, ANALIZA ORAZ WYMIAROWANIE W FEM-DESIGN 11.0

RAMA STALOWA 3D MODELOWANIE, ANALIZA ORAZ WYMIAROWANIE W FEM-DESIGN 11.0 Structural Design Software in Europe AB Strona: http://www.strusoft.com Blog: http://www.fem-design-pl.blogspot.com Goldenline: http://www.goldenline.pl/forum/fem-design Facebook: http://www.facebook.com/femdesignpolska

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Uwagi dotyczące mechanizmu zniszczenia Grunty zagęszczone zapadają się gwałtownie po dobrze zdefiniowanych powierzchniach poślizgu według ogólnego

Uwagi dotyczące mechanizmu zniszczenia Grunty zagęszczone zapadają się gwałtownie po dobrze zdefiniowanych powierzchniach poślizgu według ogólnego Uwagi dotyczące mechanizmu zniszczenia Grunty zagęszczone zapadają się gwałtownie po dobrze zdefiniowanych powierzchniach poślizgu według ogólnego mechanizmu ścinania. Grunty luźne nie tracą nośności gwałtownie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo