SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

Transkrypt

1 KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami sił oraz różne sposoby przedstawiania momentów skręcających ten wał Na kolejnym rysunku pokazano niejednoznaczne oznaczania kierunków momentów przyczyniać się do błędnej interpretacji omenty skręcające wał Różne metody zaznaczania momentów skręcających Niejednoznaczne określanie momentów Równanie równowagi: suma momentów względem osi wału Hipoteza płaskich przekrojów: potwierdzona doświadczalnie hipoteza zakładająca że okrągłe przekroje poprzeczne wału pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe obracając się wokół osi wału o niewielki kąt Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie mechanizmu odkształceń wału oparciu o tą hipotezę wyprowadzono wzory pozwalające na obliczanie naprężeń stycznych w wale oraz kąta skręcenia wału kręcanie wałów okrągłychdoc

2 Naprężenia w skręcanym wale: dla dowolnego promienia s J dla promienia = r sr s r J J biegunowy moment bezwładności wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie Liniowe rozkłady naprężeń stycznych przy skręcaniu dla wału pełnego i wydrążonego Definicja wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie: iloraz biegunowego momentu bezwładności J J i odległości skrajnego włókna od środka ciężkości r przekroju: d d d Dla wału pełnego J Jx 6 d z dw J Dla wału wydrążonego: J d L L Kąt skręcenia wału o długości L: rad L 8 z 8 zględny kąt skręcenia wału: rad / m / m L Iloczyn nosi nazwę sztywności przekroju na skręcanie (por EA przy rozciąganiu) G moduł odkształcenia postaciowego E G [Pa] moduł ścinania moduł Kirchhoffa: ( ) arunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać: praktycznych obliczeniach na skręcanie bardzo często jest wykorzystywany warunek na sztywność: kręcanie wałów okrągłychdoc

3 PRZYKŁAD ał o średnicy d wykonuje n = obr/min i przenosi moc N = 6 k Korzystając z warunków wytrzymałościowego i sztywnościowego wyznaczyć średnicę wału Przyjąć = 5 Pa = /m G = 8 Pa arunek wytrzymałościowy: d 6 d 6 Dla wału przenoszącego moc z zależności N = można określić wartość momentu skręcającego N n 6 N 955 n N m N k n obr min powyższym wzorze liczba 955 (dokładnie: 959) to przelicznik jednostek obliczony w przykładzie Po wykorzystaniu tego wzoru średnicę wału oblicza się z zależności N d 65 n N n cm Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału arunek sztywnościowy: 6 d 65 9cm 5 8 J d G N d 565 ng ng N ng cm Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału z warunku sztywnościowego 6 d 565 8cm 8 Dla spełnienia obu warunków należy przyjąć d = 9 cm arto zwrócić uwagę że dla = /m średnica wału d = 5 cm natomiast dla = /m średnica d = cm kręcanie wałów okrągłychdoc 5

4 PRZYKŁAD ał pokazany na rysunku jest skręcany momentami = 5 Nm i = 5 Nm ykonać wykresy: momentów skręcających naprężeń stycznych oraz kątów obrotów poprzecznych przekrojów wału Przyjąć G = 8 Pa Lewy koniec wału jest utwierdzony prawy jest swobodny Zadanie jest statycznie wyznaczalne Równanie równowagi (suma rzutów momentów na oś wału) ma postać: N m A A iły wewnętrzne w poszczególnych odcinkach wału wyznacza się korzystając z metody myślowych przekrojów Zasady tworzenia granic przedziału w którym można dokonać myślowego przekroju są takie same jak w układach prętowych a więc granicami tymi są punkty przyłożenia obciążenia oraz miejsca zmiany wielkości przekroju poprzecznego rozpatrywanym wale należy uwzględnić dwa myślowe przekroje Przekrój : Przekrój : Przekrój : Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem I I z warunku równowagi otrzymuje się: N m A Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem II II równanie równowagi ma postać: 5 5 Nm A celu kontroli poprawności obliczeń należy rozpatrzyć pozostałą część wału: 5 N m kręcanie wałów okrągłychdoc 6

5 powyższych równaniach równowagi przyjęto znak momentu skręcającego według rys b Dla ułatwienia obliczeń we wszystkich myślowych przekrojach korzystnie jest przyjmować ten sam kierunek siły wewnętrznej Uskoki na wykresie odpowiadają wartościom sił zewnętrznych biernych (reakcja w utwierdzeniu) i czynnych (momenty obciążające) Biegunowe momenty bezwładności wynoszą: d z dw d 78 cm J 795 cm J skaźniki wytrzymałości przekroju na skręcanie: J 78 d 859 cm 5 cm d 6 6 z aksymalne naprężenia styczne na odcinku AB oraz BC wału: 5 AB 8 Pa BC 9 Pa przy czym przelicznik jednostek jest tutaj równy Naprężenia styczne na wewnętrznej powierzchni wału na odcinku AB dw AB 76 Pa J 78 Kąt skręcenia odcinka AB oraz BC wału L 8 8 BA CB L Całkowity kąt skręcenia swobodnego końca wału CA BA ykres naprężeń stycznych i kątów skręcenia pokazano na rysunku CB PRZYKŁAD Dla wału przedstawionego na rysunku wykonać wykresy momentów naprężeń oraz kątów skręcenia przekrojów poprzecznych Przyjąć: = knm = 5 knm L = m d = cm G = 8 Pa ał w tym przykładzie jest utwierdzony na obu końcach zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne Po uwolnieniu wału z więzów równanie równowagi momentów względem osi wału ma postać: A B A B 5kNm Zadanie zostanie rozwiązane metodą myślowych przekrojów oraz metodą wykorzystującą zasadę superpozycji kręcanie wałów okrągłychdoc 7

6 etoda myślowych przekrojów Zgodnie z regułami określania myślowych przekrojów w odniesieniu do wału pokazanego na rys a należy rozpatrzyć cztery myślowe przekroje Dla pierwszego przekroju od lewej strony wału (rys b) z równania równowagi otrzymuje się A Dla kolejnych przekrojów (rys c d e): A A A Równanie równowagi dla brakującego odcinka wału pozwala na sprawdzenie poprawności obliczeń (rys f): = B Do rozwiązania zadania konieczne jest drugie równanie określane jako równanie geometryczne mówiące że kąt skręcenia wału w utwierdzeniu jest równy zeru Dla utwierdzenia B równanie kąta skręcenia przekroju B względem A ma postać: BA L L L L Po określeniu biegunowych momentów bezwładności: d 8d d d 6d J 59 J oraz po uproszczeniu równania geometrycznego A A J 795 knm d 96 Z równania statyki określa się drugi moment oporowy: B = 5 A = 95 knm Znak oznacza że na rys a przyjęto niewłaściwy kierunek reakcji B kręcanie wałów okrągłychdoc 8

7 Zasada superpozycji edług zasady superpozycji każde obciążenie działające na wał może być rozpatrywane oddzielnie a ich skutki można sumować Zgodnie z tym oblicza się kąty skręcenia przekroju B wału wywołane działaniem momentów oraz B przy czym moment oporowy B jest traktowany tutaj równoważnie z pozostałymi momentami (rys g h i) Równanie geometryczne ma wówczas postać B L L B B B B BB L L L 95 knm B BB BL BL BL oment A wyznacza się z równania statyki etoda superpozycji jako narzędzie do napisania równania geometrycznego jest pod względem pracochłonności porównywalna z metodą myślowych przekrojów celu wykonania wykresów należy zastosować metodę przekrojów pozwalająca wyznaczyć i Po obliczeniu J i oraz i można wykonać odpowiednie wykresy AC DE J cm J 9875 J cm J 595 cm 965 5d DE EB AC CD Pa 685 Pa CD EB cm cm cm 6 Pa 9 Pa Poprawność obliczeń można sprawdzić za pomocą poniższego równania geometrycznego AC CD DE EB szystkie wykresy pokazano na rys a kręcanie wałów okrągłychdoc 9

8 KRĘCANIE OBODNE PRĘTÓ O PRZEKROJU NIEOKRĄGŁY l b h J * b h spółczynniki określa się z tabeli dla stosunku h/b (h > b) Przykładowe wartości : h/b 5 5 μ μ μ Dla h / > h J h yroby hutnicze: kątowniki ceowniki teowniki dwuteowniki Pręt cienkościenny o profilu otwartym: J Ji i J n J i i J J aksymalne występuje w tej części pręta dla której J i / i osiąga maksymalną wartość i i Pręt cienkościenny o przekroju zamkniętym: L J A min A ds (wzory Bredta) A pole powierzchni ograniczone linią środkową grubość ścianki w miejscu obliczania n J hii I J największa szerokość prostokątnej części składowej przekroju współczynnik korygujący wg tabeli: kręcanie wałów okrągłychdoc