Konstrukcje metalowe Wykład IV Klasy przekroju

Transkrypt

1 Konstrukcje metalowe Wykład IV Klasy przekroju

2 Spis treści Wprowadzenie #t / 3 Eksperyment #t / 12 Sposób klasyfikowania #t / 32 Przykłady obliczeń - stal #t / 44 Przykłady obliczeń - aluminium #t / 72 Obliczanie nośności #t / 76 Zagadnienia egzaminacyjne #t / 83

3 Wprowadzenie Belka dwuteowa jest najczęściej stosowanym typem przekroju w konstrukcjach stalowych. Smukłość półek i środników może być różna. Różnym smukłościom przypisuje się różne klasy przekroju.

4 Klasy przekroju definiują różną odporność elementu na lokalną utratę stateczności. Zjawisko to zachodzi pod wpływem naprężeń ścickających. Klasy przekroju definiowane są wyłącznie w odniesieniu do przekrojów podlegających ściskaniu (siła osiowa lub / i moment zginający). Dla różnych przypadków mamy różne wzory określające granice klas przekrojów i różne nośności dla tych klas. Czyste ścinanie i czyste rozciąganie nie daje w efekcie ściskania, stąd dla tego typu obciążeń nie liczy się klasy przekroju i nie różnicuje nośności.

5 Klasy przekroju elementów różny stopień odporności na niestateczność lokalną #3 / 73 Different formulas of R

6 #3 / 64 Na poziomie przekroju: F charakterystyka geometryczna R = F f y E / R 1,0 Elementy i węzły, gdy zagadnienie stateczności nie jest istotne; śruby, nity, sworznie

7 Na poziomie elementu: #3 / 65 F charakterystyka geometryczna χ współczynnik stateczności (zależy od długości elementu i sposobu podparcia) R = χ F f y E / R 1,0 Węzły i elementy w warunkach utraty stateczności

8 Analiza spręzysta i plastyczna #3 / 75 Analiza Sprężysta Klasy przekroju #3 / 68 I, II, III, IV Zależność odkształcenienaprężenie Plastyczna I Różne wzory na nośność dla obu rodzajów analizy.

9 Różne klasy różne wzory na nośność przekroju; Która klasa? obliczenie granic między klasami; Który wzór? odrębny wzór dla każdej klasy; Jaka nośność? policzenie nośności dla konkretnej klasy;

10 PN EN I wszystko jasne...

11 EN Po angielsku nie lepiej

12 Eksperyment Belka dwuprzesłowa, obciążona parą sił P o zmiennej wartości. M sup = 6 PL / 32 M sp = 5 PL / 32 M max = M sup s max = s(m sup )

13 Co się będzie działo dla różnych klas przekroju? IV III II I P 0 = 0 M = 0

14 IV III II I P 1 0 M sup = 6 P 1 L / 32 M sp = 5 P 1 L / 32 M sup / M sp = 1,2 = stała wartość dla wszystkich belek

15 IV III II I P 2 = P 1 + DP M sup = 6 P 2 L / 32 M sp = 5 P 2 L / 32 M sup / M sp = 1,2 = stała wartość dla wszystkich belek

16 IV III II I P 3 = P 2 + DP Niestateczność lokalna środnika w części ściskanej; pojawi się w przekroju obciążonym największym momentem zginającym (przekrój podporowy) Kres nośności dla belki o IV klasie przekroju..

17 IV III II I P 4 = P 3 + DP M sup = 6 P 4 L / 32 M sp = 5 P 4 L / 32 M sup / M sp = 1,2 = stała wartość dla belek I, II, III

18 IV III II I P 5 = P 4 + DP s max = s(m sup ) = f y Kres nośności belki o III klasie przekroju. Koniec pracy sprężystej dla belek I i II.

19 IV III II I P 6 = P 5 + DP M sup = 6 P 6 L / 32 M sp = 5 P 6 L / 32 M sup / M sp = 1,2 = stałą wartość dla belek I i II Sprężysto-plastyczna praca belek I i II

20 IV III II I P 7 = P 6 + DP Cały przekrój nadpodporowy pracuje plastycznie. Kres nośności belki o II klasie przekroju.

21 Przekrój w stanie plastycznym zachowuje się tak samo jak przegub.

22 Przekrój w stanie plastycznym = przegób plastyczny "Normalny" przegub M = 0 Przegub plastyczny M = M pl 0 Wykres naprężeń w przegubie plastycznym wygląda jak następuje: M pl to maksymalna wartość momentu zginającego, jaką może przenieść dany przekrój.

23 Dla P < P 7 : Momenty zginające liczone są jak dla układu statycznie niewyznaczalnego

24 Dla P = P 7 : Zmiana schematu statycznego: Statycznie niewyznaczalna belka dwuprzęsłowa dwie statycznie wyznaczalne belki jednoprzęsłowe, oparte na wspólnej podporze środkowej Zmiana obciążenia: Para sił P para sił P i moment zginający M pl w przegubie plastycznym

25 Dla P = P 7 : Wykres momentów to suma wykresów od P i M pl Wykres momentów od M pl liczony jak dla dwu belek jednoprzęsłowych Wykres momentów od sił P, liczony jak dla dwu belek jednoprzęsłowych Suma

26 Dla P > P 7 : Wciąż jest możliwość zwiększania wartości siły P; wartość momentu M pl nie ulega już zmianie. Zmieniać będzie się tylko część wykresu sumarycznego od sił P. Wykres momentów od M pl liczony jak dla dwu belek jednoprzęsłowych Wykres momentów od sił P, liczony jak dla dwu belek jednoprzęsłowych Suma

27 Dla P > P 7 : Kres nośności nastąpi, gdy pod siłami P osiągnie się maksymają wartość momentu zginającego, jaki może być przyłożony do przekroju. M max = M pl = const Wykres momentów od M pl liczony jak dla dwu belek jednoprzęsłowych Wykres momentów od sił P, liczony jak dla dwu belek jednoprzęsłowych Suma

28 Dla P > P 7 : W przekrojach, w których M max = M pl, powstają przeguby plastyczne. Kresem nośności dla belki o przekroju I klasy jest więc zmiana w mechanizm.

29 IV III II I P 8 = P 7 + DP M sup = 6 P 8 L / 32 M sp = 6 P 8 L / 32 M sup / M sp = 1,0

30 Podsumowanie Klasa przekroju Zniszczenie przez / kres nośności Obliczenia IV III II Niestateczność lokalna ściskanej części przekroju s max = f y Pierwszy przegub plastyczny Normalne obliczenia statyczne (metoda sił, metoda przemieszczeń, komputer...) I Zmiana konstrukcji w mechanizm Konieczność uwzględnienia zmiany schematu statycznego plastyczna redystrybucja momentów zginających

31 Dla przeanalizowanej sytuacji, jeśli charakterystyki geometryczne są takie same: P 3 < P 5 zniszczenie belki IV P 5 zniszczenie belki III P 7 (1,1 1,2) P 5 zniszczenie belki II P 8 (1,24 1,35) P 5 zniszczenie belki I Jest możliwe wykonanie przekrojów o tych samych charakterystykach (A, J, W), ale najczęściej A IV < A III < A II < A I Koszt materiału A

32 Sposób klasyfikowania EN Klasa = Klasa [wytrzymałość stali ( t/35) ; kształt przekroju ( t/36) ; rozkład naprężeń ściskających ( t/37) ; smukłość gałęzi przekroju ( t/38)]

33 W konstrukcjach stalowych najczęściej używamy trzech rodzaj przekrojów: Gorącowalcowane Spawane Zimnogięte Photo: tradekorea.com Photo: cnzjbs.en.made-in-china.com Photo: cedricbodeengineering.com

34 Zgodnie z EN Możemy liczyć gorącowalcowane i spawane. Dla zimnogiętych dedykowana jest norma EN , omawiana na Konstrukcjach cienkościennych

35 Wytrzymałość materiału Bezwymiarowa wytrzymałość materiału: e = (235 / f y ) f y granica plastyczności [MPa] 235 [MPa] bazowa granica plastyczności

36 Kształt przekroju Zgodnie z EN , tab. 5.2, wszystkie przekroje (oprócz L i O) musimy podzielić na gałęzie. Każdy rodzaj gałęzi opisany jest w innej cześci tabeli: quasi-środnik (tab. 5.2 część 1) quasi-półka (jeden koniec swobodny; tab. 5.2 część 2) kątowniki i rury okrągłe (CHS = circular hollow section; tab. 5.2 część 3)

37 Tabekla 5.2 definiuje granice klas przekrojów dla wszystkich rodzajów gałęzi: 0 wartośćpodstawowa, nie uwidoczniona w tabeli;; A = A(σ c ) B = B(σ c ) C = C(σ c ) σ c rozkład naprężeń ściskających

38 Smukłość gałęzi Dla każdej gałęzi policzyć należy smukłość l: szerokość lub długość podzieloną przez grubość d d d d d / t

39 Klasa przekroju dla gałęzi 0 < l Ae I klasa Ae < l Be II klasa Be < l Ce III klasa Ce < l IV klasa

40 Klasa całego przekroju Klasa przekroju = max (klasa I gałęzi ; klasa II gałęzi ; klasa III gałęzi ;... ) Przykład: Półka I klasa Środnik - IV klasa Klasa przekroju = max (1, 4) = IV klasa

41 Podział na klasy przekroju jest ważny dla elementów w których występuje naprężenie ściskające. Chodzi zatem o elementy, obciążone osiową siłą ściskającą, momentem zginającym i momentem zginającym wraz z siłą ściskającą lub rozciągającą. Podział ten nie jest ważny dla elementów tylko rozciąganych lub tylko ścinanych.

42 Różne procedury obliczania wartości A, B, C EN , tab. 5.2 Obciążenie CZĘŚĆ 1 CZĘŚĆ 2 CZĘŚĆ 3 CZĘŚĆ 3 inne zimnogięte web flange O L Proc. 1 Proc. 4 Proc. 8 Proc. 2 Proc. 3a Proc. 3b Proc. 4 or 5 or 6 Proc. 7 Obciążenie niezalecane dla tego przekroju Obciążenie niezalecane dla tego przekroju EN (inne zasady) brak σ c brak σ c Obciążenie niezalecane dla tego przekroju Obciążenie niezalecane dla tego przekroju

43 EN tab 5.2 część 1 (quasi-środnik)

44 Przykład obliczeniowy - stal IPE A 600 h b t f t w r ,5 9,8 24 d w = h w = h - 2 t f - 2r d f = (b - t w - 2r) / 2

45 λ w = (h - 2t f - 2r) / t w = ( ,5-2 24) / 9.8 = 52,449 λ f = (b - t w - 2r) / (2t f ) = (220-9,8-2 24) / (2 17,5) = 4,634 S235 f y = 235 MPa ε 235 = (235 / f y ) = (235 / 235) = 1,000 S355 f y = 355 MPa ε 355 = (235 / f y ) = (235 / 355) = 0,814

46 Środnik, czyste ściskanie Proc. 1 f y = 235 MPa Aε = 33ε = 33,000 Bε = 38ε = 38,000 Cε = 42ε = 42,000 λ w = 52,449 > Cε IV klasa f y = 355 MPa Aε = 33ε = 26,862 Bε = 38ε = 30,932 Cε = 42ε = 34,188 λ w = 52,449 > Cε IV klasa Jak zmieniłyby się wyniki, gdyby λ w = 35,0?

47 Środnik, czyste zginanie Proc. 2 f y = 235 MPa Aε = 72ε = 72,000 Bε = 83ε = 83,000 Cε = 124ε = 124,000 λ w = 52,449 < Aε I klasa f y = 355 MPa Aε = 72ε = 58,608 Bε = 83ε = 67,562 Cε = 124ε = 100,936 λ w = 52,449 < Aε I klasa Jak zmieniłyby się wyniki, gdyby λ w = 70,0?

48 Środnik, interakcja momentu zginającego i ściskania Aε = 396 ε / (13 α - 1) Bε = 456 ε / (13 α - 1) Cε = 42 ε / (0,66 + 0,33 Ψ) Ściskanie z momentem α 0,5 Proc. 3a rozciąg. ściskanie y s s Def: Ψ = s / s Ψ (tens.) < 0 Ψ (comp.) > 0

49 S235 f y = 235 MPa ε = 1,000 N Ed = 164,829 kn s max = 0,1 f y M Ed = 221,441 knm s max = 0,3 f y s max = 0,400 f y ściskanie s = 0,358 f y c = 514 mm ac = 357 mm a = 0,694 s max = -0,200 f y rozciąg. y s = -0,158 f y y = -0,441

50 Aε = 396 ε / (13 α - 1) = 49,364 Bε = 456 ε / (13 α - 1) = 56,843 Cε = 42 ε / (0,66 + 0,33 Ψ) = 81,637 λ w = 52,449 Aε < λ w < Bε II klasa przekroju

51 Moment zginający i siła osiowa α 0,5 N Ed 0 M Ed 0 Ψ 1,0 α 1,0 Aε 33 ε Bε 38 ε Cε 42 ε ściskanie s N Ed 0 M Ed 0 Ψ -1,0 α 0,5 Aε 72 ε Bε 82,9 ε 83 ε Cε 127,3 ε 124 ε Granice te same jak dla czystego ściskania rozciąg. y s Granice niemal te same jak dla czystego zginania

52 Środnik, rozciąganie z momentem zginającym Rozciąganie z momentem α 0,5 Aε = 36 ε / α Bε = 41,5 ε / α Cε = 62 ε (1 - Ψ) (-Ψ) Proc. 3b rozciąg. ściskanie s Def: Ψ = s / s Ψ (tens.) < 0 Ψ (comp.) > 0 y s

53 S235 f y = 235 MPa ε = 1,000 N Ed = 164,829 kn s max = 0,1 f y M Ed = 221,441 knm s max = 0,3 f y s max = 0,200 f y ściskanie s = 0,158 f y rozciąg. c = 514 mm ac = 157 mm a = 0,306 s max = -0,400 f y y s = -0,358 f y y = -2,266

54 Aε = 36 ε / α = 117,647 Bε = 41,5 ε / α = 135,621 Cε = 62 ε (1 - Ψ) (-Ψ) = 306,816 λ w = 52,449 λ w < Aε I klasa przekroju

55 Moment zginający i siła osiowa α 0,5 N Ed 0 M Ed 0 Ψ 1,0 α 0 Aε ściskanie s N Ed 0 M Ed 0 Ψ -1,0 α 0,5 Aε 72 ε Bε 83 ε Cε 124 ε Sytuacja taka sama, jak dla czystego rozciągania rozciąg. y s Granice te same, jak dla czystego zginania

56

57 Wniosek z przykładów #t / 46-55: klasa przekroju bardzo silnie zależy od proporcji między M Ed i N Ed. Rzecz w tym, ze dla konkretnej ramy proporcja ta zmienia się w zależności od analizowanej kombinacji obciążeń i punktu, w którym sprawdza się wartości sił przekrojowych. M Ed = 0 ; N Ed 0 M Ed = max ; N Ed 0 M Ed = 0 ; N Ed 0 Może się więc okazać, że dla M Ed = 0 N Ed 0, przekrój będzie III lub IV klasy. Jednocześnie zaś, dla M Ed = max N Ed 0, będzie to klasa I lub II. Teoretycznie zatem należałoby wzdłuż elementu zmieniać klasę i sposób obliczania nośności przekroju.

58 Przyjmuje się, że klasę przekroju liczymy dla całego pręta raz, w punkcie najbardziej obciążonym (w tym przypadku M Ed = max) dla każdej z kombinacji. Klasę traktujemy jako stałą po długości elementu. M Ed = max ; N Ed 0

59 Półka, równomierne ściskanie ściskanie Proc. 4 ściskanie f y = 235 MPa Aε = 9ε = 9,000 Bε = 10ε = 10,000 Cε = 14ε = 14,000 λ f = 4,634 < Aε I klasa f y = 355 MPa Aε = 9ε = 7,326 Bε = 10ε = 8,140 Cε = 14ε = 11,396 λ f = 4,634 < Aε I klasa

60 Półka, M z 0 Proc. 4 ściskanie ściskanie rozciąg. rozciąg. Dla półki rozciąganej nie definiujemy klasy. Półę w całości ściskaną nierównomiernie traktujemy jak półkę ściskaną równomiernie.

61 Półka, M z 0 i siła osiowa rozciągająca Proc. 5 ściskanie ściskanie rozciąg. rozciąg. Aε = 9 ε / α Bε = 10 ε / α Cε = 21 ε k σ Ψ = σ 2 / σ 1 < 0 0 > Ψ > -1 k σ = 0,57-0,28 Ψ Ψ < -1 k σ = 0,57-0,21 Ψ + 0,07 Ψ 2

62 S235 f y = 235 MPa ε = 1,000 N Ed = 164,829 kn s max = 0,1 f y M Ed = 94,475 knm s max = 0,3 f y s = 47,000 MPa ściskanie ściskanie rozciąg. s = 94,000 MPa rozciąg. s 1 = 47,000 MPa s 2 = 4,978 MPa a = 0,984 Ψ = σ 2 / σ 1 = -0,106

63 Aε = 9 ε / α = 9,146 Bε = 10 ε / α = 10,163 k σ = 0,57-0,28 Ψ = 0,600 Cε = 21 ε k σ = 16,267 λ f = 4,634 λ w < Aε I klasa przekroju

64 Pólka, M z 0 i siłą osiowa ściskająca ściskanie Proc. 6 ściskanie rozciąg. rozciąg. Aε = 9 ε / (α α) Bε = 10 ε / (α α) Cε = 21 ε k σ Ψ = σ 2 / σ 1 < 0 k σ = 1,7-5 Ψ + 17,1 Ψ 2

65 S235 f y = 235 MPa ε = 1,000 N Ed = 164,829 kn s max = 0,1 f y M Ed = 94,475 knm s max = 0,3 f y s = 94,000 MPa ściskanie ściskanie rozciąg. rozciąg. s = 47,000 MPa s 1 = 4,978 MPa s 2 = 47,000 MPa a = 0,096 Ψ = σ 2 / σ 1 = -9,442

66 Aε = 9 ε / (α α) = 302,577 Bε = 10 ε / (α α) = 336,196 k σ = 1,7-5 Ψ + 17,1 Ψ 2 = 1573,398 Cε = 21 ε k σ = 832,988 λ f = 4,634 λ w < Aε I klasa przekroju

67 CHS dowolny rodzaj obciążenia Proc. 7 λ = d / t Aε = 50 ε 2 Bε = 70 ε 2 Cε = 90 ε 2

68 CHS; S 355 ε = 0,814 Aε = 50 ε 2 = 33,099 Bε = 70 ε 2 = 46,338 Cε = 90 ε 2 = 59,577 f 101,6 / 8,8 d = 101,6 mm ; t = 8,8 mm d / t = 11,545 < 33,099 I klasa przekroju f 244,5 / 7,1 d = 244,5 mm ; t = 7,1 mm d / t = 34,437 > 33,099 II klasa przekroju f 508,0 / 11,00 d = 508 mm ; t = 11 mm d / t = 46,182 > 33,099 II klasa przekroju

69 Kątownik, czyste ściskanie Proc. 8 h b λ = h / t h b λ = (h+b) /2t Cε = 11,5ε Cε = 15ε Jeśli dla obu warunków λ > C ε IV klasa

70 Kątownik; S 235 ε = 1, x100x10 h = b = 100 mm; t = 10 mm h / t = 10,0 < 15ε ; (h + b) / (2t) = 10,0 < 11,5ε Oba warunki spełnione nie jest to IV klasa przekroju 150x150x12 h = b = 150 mm; t = 12 mm h / t = 12,5 < 15ε ; (h + b) / (2t) = 12,5 > 11,5ε I spełniony, II niespełniony nie jest to IV klasa przekroju 200x100x10 h = 200 mm; b = 100 mm; t = 10 mm h / t = 20,0 > 15ε ; (h + b) / (2t) = 15,0 > 11,5ε Oba niespełnione IV klasa przekroju

71 Przekrój sigma, zimnogięty, liczony według EN Photo: guardrailbarrier.net Gdybyśmy chcieli go w uproszczeniu policzyć według , musimy pamiętac, że składa się on głownie ze środników.

72 Przykłady obliczeniowe - aluminium EN , Płaska ścianka wspornikowa Płaska ścianka przęsłowa Zakrzywiona ścianka symetryczna niesymetryczna nieużebrowana użebrowana przęsłowa Rura okrągła nieużebrowana użebrowana

73 Photo: EN fig. 6.1

74 Płaska przęsłowa nieużebrowana: 3 przypadki s c Płaska przęsłowa użebrowana: 4 typy niestateczności Siła ścinająca ma wpływ na klasy przekroju Kilkanaście różnych możliwości obliczeń.

75 EN tab 6.2

76 Obliczanie nośności Stal - różne wzory dla różnych klas przekroju Obciążenie I klasa II klasa III klasa IV klasa N Ed / N c,rd (1-3) 1,0 N Ed / N c,rd (4) 1,0 M Ed (1) / M Rd (1-2) 1,0 M Ed / M Rd (1-2) 1,0 M Ed / M Rd (3) 1,0 M Ed / M Rd (4) 1,0 Interakcja interakcja Interakcja interakcja M Ed N Ed M Ed N Ed M Ed N Ed M Ed N Ed N Ed / N t,rd 1,0 V Ed / V Rd 1,0 (lub, dla IV klasy, inaczej, gdy istnieje interakcja między M Ed i V Ed )

77 IV klasa przekroju - liczenie przekroju efektywnego: Przykład - wykład #17

78 III klasa przekroju: Nośność na zginanie odwołuje się do sprężystego wskaźnika wytrzymałości W el, y Photo: europrofil.lu

79 I i II klasa przekroju Nośność na zginanie odwołuje się do plastycznego wskaźnika wytrzymałości W pl, y Photo: europrofil.lu W y, pl = 2 S y (1/2 I)

80 N c,rd (1-3) = A f y / g M0 N c,rd (4) = A eff f y / g M0 M Rd (1-2) = W pl f y / g M0 M Rd (3) = W el f y / g M0 M Rd (4) = W eff f y / g M0 N t,rd = A f y / g M0 V Rd = A v f y / (g M0 3)

81 Tylko moment zginający: M Ed / M Rd 1,0 Klasa przekroju IV III II I M Rd = W eff f y / g M0 W el f y / g M0 W pl f y / g M0 M Ed = Normalne obliczenia statyczne Redystrybucja przeliczenie do nowego schematu statycznego i nowych obciążeń (wykład #16) W eff wykład #17 W el tablice do projektowania W pl tablice lub wzór #t / 79

82 Aluminium - analogicznie

83 Zagadnienia egzaminacyjne Algorytm ustalania klas przekroju Podobieństwa i różnice dla I i II klasy przekroju Podobieństwa i różnice dla III i IV klasy przekroju

84 Dziękuję za uwagę 2017 dr inż. Tomasz Michałowski