Zastosowanie funkcji copula w nansach i statystyce

Transkrypt

1 UNIWERSYTET JAGIELLO SKI WYDZIAŠ MATEMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT MATEMATYKI Marcin Pitera Zastosowanie funkcji copula w nansach i statystyce ze szczególnym uwzgl dnieniem wyceny instrumentów opartych o ryzyko kredytowe oraz instrumenty dªu»ne PRACA MAGISTERSKA NAPISANA POD KIERUNKIEM dr hab. Armena Edigariana, Prof. UJ KRAKÓW 2010

2 Spis tre±ci Wst p 4 1 Funkcje Copula Podstawowe denicje Denicja kopuªy Podstawowe twierdzenia Twierdzenie Sklara Monotoniczne przeksztaªcenie zmiennej losowej i kopuªa warunkowa G sto± kopuªy, reprezentacja kanoniczna Kopuªy prze»ycia Kopuªy archimedesowe Wi cej wymiarów Ryzyko kredytowe, kredytowe instrumenty pochodne Podstawy Credit default swap, basket default swap (CDS, BDS) Collateral debt obligation (CDO) Funkcje prze»ycia Kopuªy w nansach Wprowadzenie Przydatne rodziny kopuª Wielowymiarowe kopuªy Gaussa Wielowymiarowe kopuªy t-studenta Wielowymiarowe kopuªy Franka Wielowymiarowa sko±na kopuªa t-studenta Inne Rodziny Kilka przykªadów Wycena opcji binarnej i model Blacka-Scholesa Ryzyko kredytowe ratingi Wycena BDS Wycena CDO Opcja koszykowa Estymacja i dopasowanie si do danych Metoda MLE Metoda IFM

3 3.4.3 Metoda CML Inne metody Przykªady konkretnych algorytmów Tworzenie modelu i wizualizacja pakiet R Wst p Przykªady numeryczne Modelowanie portfela trzech spóªek Wycena dwuwymiarowej opcji binarnej - model BS Wizualizacja danych Kopuªa z brzegami Losowanie próbek i ich prezentacja

4 Wst p Funkcje copula (kopuªy, rzadziej funkcje powi za«lub funkcje ª cz ce, ang. copulas) s ±ci±le zwi zane ze statystyk wielowymiarow. S to funkcje, które ª cz (spajaj ) wielowymiarowy rozkªad ª czny z rozkªadami brzegowymi. Mówi c w du»ym skrócie, s one odpowiedzialne za wyra»anie zale»no±ci mi dzy zmiennymi losowymi. W niniejszej pracy skupimy si na ogólnym przedstawieniu tych funkcji, opisaniu podstawowych wªasno±ci, omówieniu najbardziej znanych rodzin oraz wytªumaczeniu, dlaczego funkcji tych u»ywa si w statystyce. Omówimy tak»e ich zastosowania w szczególno±ci w nansach oraz przedstawimy zalety, jakie wynikaj z ich u»ycia. Szczególn uwag po±wi cimy zastosowaniu kopuª w wycenie instrumentów opartych o instrumenty dªu»ne. Funkcj copula s bardzo popularne w nansach. Wynika to z faktu, i» umo»liwiaj du»o bardziej dokªadn analiz zale»no±ci, które wyst puj na przykªad mi dzy cenami poszczególnych akcji, indeksów gieªdowych, czy instrumentów dªu»nych. Podstawowe trzy zalety zwi zane z funkcjami copula, to: 1. Mo»liwo± osobnego modelowania rozkªadów brzegowych oraz rozkªadu ª cznego. 2. Niezmienniczo± kopuªy wzgl dem ±ci±le rosn cych przeksztaªce«zmiennych losowych. 3. Szeroki wybór rodzin kopuª. Pierwsza zaleta ma fundamentalne znaczenie w teorii kopuª. Po pierwsze pozwala znacznie skróci procedur estymacji (a w zasadzie w sensie numerycznym j umo»liwia) w przypadku niektórych bardziej skomplikowanych modeli. Umo»liwia to tak»e swobodny dobór rozkªadów brzegowych w modelu wielowymiarowym w konsekwencji odej±cie od zaªo»enia normalno±ci (czy eliptyczno±ci) modelu. Druga zaleta jest zwi zana z odchodzeniem od liniowego mierzenia korelacji mi dzy zmiennymi wspóªczynnik korelacji liniowej Pearsona cz sto jest niedostateczn miar zale»no±ci mi dzy nimi. Nie jest on niezmienniczy wzgl dem przeksztaªce«rosn cych (chyba,»e s to liniowe przeksztaªcenia), co cz sto stwarza niedogodno±ci. Wystarczy tutaj wymieni problemy zwi zane z obserwacjami odstaj - cymi. Wprowadzenie tzw. rang w statystyce miaªo pomóc w radzeniu sobie z tego typu problemami. Wspóªczynniki rangowe (wspóªczynniki monotonicznej zgodno±ci) takie jak τ Kendalla, czy ρ S Spearmana s niezmiennicze wzgl dem ±ci±le rosn cych przeksztaªce«zmiennych losowych podobnie jak kopuªa. Sprawia to, i» wyra»anie ich w j zyku kopuª jest stosunkowo ªatwe. Wspóªczynników tych u»ywa si te» cz sto, do estymowania konkretnych rozkªadów z rodzin kopuª. Tak»e inne miary zwi zane z badaniem zale»no±ci (np. PQD) s ±ci±le zwi zane z j zykiem kopuª. Trzecia zaleta jest zwi zana z mo»liwo±ci lepszego dostosowania si do danych. Oprócz standardowych kopuª (kopuªa zwi zana z wielowymiarowym rozkªadem normalnym, czy kopuªa t-studenta) mamy do dyspozycji caª klas kopuª archimedesowych. W poª czeniu ze swobodn mo»liwo±ci doboru rozkªadów brzegowych powoduje to, i» rodzina rozkªadów wielowymiarowych opisanych przez kopuªy jest bardzo szeroka. 4

5 W nansach zalety te prowadz do mo»liwo±ci radzenia sobie z szeregiem problemów takich jak: odst pstwo od normalno±ci (zwi zane m.in. z problemem grubych ogonów), tzw. smile eect, brak zupeªno±ci, ryzyko kredytowe (np. zwi zane z transakcjami na rynku OTC). Mo»liwo± wychwycenia nieliniowej zale»no±ci pomi dzy cenami akcji, rynkami czy modelowania zaj± zdarze«kredytowych tak»e jest bardzo wa»n zalet u»ycia funkcji copula. Przy±pieszenie procedury wielowymiarowej estymacji umo»liwia wycen i pomiar ryzyka bardziej skomplikowanych instrumentów takich, jak np. CDO (instrument taki cz sto jest oparty nawet o 100 instrumentów podstawowych). Pierwszy rozdziaª b dzie po±wi cony ogólnemu omówieniu funkcji copula w rozdziale tym postaram si skupi na teorii zwi zanej z tymi funkcjami. Postaramy si tak»e przybli»y czytelnikowi intuicj, która stoi za tymi funkcjami oraz przedstawi najwa»niejsze twierdzenia zwi zane z t cz ±ci statystyki. Drugi rozdziaª b dzie po±wi cony ryzyku kredytowemu oraz instrumentom pochodnym opartym o instrumenty dªu»ne. Skupimy si tutaj na modelach, które opisuj to zjawisko oraz na wycenie samych instrumentów. Omówimy podstawowe wªasno±ci instrumentów takich jak CDS, czy CDO. Wprowadzimy tak»e poj cie funkcji prze»ycia. Trzeci najwa»niejszy rozdziaª b dzie po±wi cony zastosowaniu funkcji copula w nansach. Poka»emy tutaj na podstawowych przykªadach jak mo»na wykorzysta funkcj copula w nansach oraz jakich rodzin u»ywa si najcz ±ciej do modelowania. Omówimy zalety z tego wynikaj ce oraz poka»emy kilka przykªadów konkretnego zastosowania kopuª w ró»nych dziaªach zwi zanych z matematyk nansow. Przybli»ymy tak»e podstawowe metody zwi zane z estymacj i dopasowaniem si do danych empirycznych. Na zako«czenie podamy kilka konkretnych algorytmów, które pozwalaj wyestymowa konkretn kopuª z wcze±niej okre±lonej rodziny. W ostatnim rozdziale skupimy si na pokazaniu przykªadowej wyceny konkretnych instrumentów, mierzeniu ich ryzyka oraz na sposobach prezentacji danych zwi zanych z funkcjami copula. W szczególno±ci omówimy kilka komend zwi zanych z pakietem copula, dost pnym dla ±rodowiska R. Poka»emy tak»e kilka prostych skryptów napisanych w ±rodowisku R, które pozwalaj na lepsze zobrazowanie uzyskanych wyników oraz na wykorzystanie konkretnych modeli (b dziemy na przykªad stosowa pakiet fgarch). Na zako«czenie chciaªbym zwróci uwag na fakt u»ycia funkcji copula w - nansach na ±wiecie oraz w Polsce. Model ten jest bardzo popularny i cz sto u»ywany do wyceny na przykªad na ameryka«skim rynku. Mo»na wycenia przy jego u»yciu przede wszystkim wielowymiarowe, bardziej zªo»one instrumenty, takie jak CDO, CLO, BDS, czy opcje koszykowe. Model ten jest na tyle skomplikowany, i» warto si nim zaj, aby w peªni zrozumie co opisuje i jakie s tego konsekwencje. Posªugiwanie si samymi suchymi wzorami - bez zrozumienia stoj cej za nimi idei - mo»e by bardzo niebezpieczne i w konsekwencji narazi nas na straty nansowe. Niektórzy twierdz, i» to funkcje copula (a raczej ich niewªa±ciwe u»ycie) spowodowaªy niedawy kryzys nansowy. 1. Wydaje si tak»e, i» pojawienie si tego typu instrumetów w Polsce jest tylko kwesti czasu, wi c znajomo± cho w ogólnym stopiu modelu ich wyceny, jest przydatna. 1 Polecam artykuª Felixa Salmona Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street dla Wired magazine (wydanie 17.03) dost pny pod adresem: 5

6 1 Funkcje Copula 1.1 Podstawowe denicje Przed wprowadzeniem denicji funkcji copula (któr b dziemy nazywa tak»e kopuª ) przedstawi kilka denicji podstawowych poj, których b d u»ywa w niniejszej pracy (niektóre z tych denicji s ró»ne w zale»no±ci od publikacji chciaªbym unikn ewentualnych bª dów, które mog z tego wynika ). W tym rozdziale chciaªbym zaj si przede wszystkich przypadkiem dwuwymiarowym, poniewa» teoria dla niego jest du»o bardziej przejrzysta, a wi kszo± wielowymiarowych uogólnie«jest intuicyjnych. Przez R b dziemy oznacza domkni cie zbioru liczb rzeczywistych tj. zbiór [, ] (rozró»niaj c od ). R 2 b dzie oznacza R R. Przez prostok t B w R 2 b dziemy rozumie zbiór B = [x 1, x 2 ] [y 1, y 2 ] z wierzchoªkami (x 1, x 2 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 1 ), (x 2, y 2 ) nale» cymi do R 2. Je»eli nie b dzie zaznaczone inaczej, to I = [0, 1], a I 2 = [0, 1] 2 = [0, 1] [0, 1]. Przez Dom(f) i Ran(f) b d oznacza odpowiednio dziedzin oraz zbiór warto±ci funkcji f (ang. domain i range). Maj c dane zmienne losowe X i Y przez H(x, y) = P [X x, Y y] b d oznacza dystrybuant ª czn zmiennych X i Y lub mówi c inaczej dystrybuant wektora losowego (X, Y ). Funkcj F (x) = H(x, ) = P [X x] oraz G(y) = H(, y) = P [Y y] b d nazywa dystrybuantami brzegowymi wektora losowego (X, Y ). (Czasami do funkcji F i G b d si odnosi w zwykªym kontek±cie jako dystrybuant funkcji odpowiednio X i Y mam nadziej,»e b dzie to jasno wynikaªo z kontekstu). Przejd¹my teraz do denicji pomocnych przy zdeniowaniu funkcji copula. Na potrzeby tych denicji zrezygnujemy z tradycyjnego oznaczenia funkcji H oraz F i G, wprowadzaj c je w szerszym kontek±cie. Niech S 1 R, S 2 R, H : S 1 S 2 R, R = [x 1, x 2 ] [y 1, y 2 ] prostok t na S 1 S 2 (tzn. wierzchoªki musz nale»e do Dom(H)). Denicja 1.1. Pole (obj to± ) funkcji H na B (ang. H-volume of B) 2 oznaczane przez V H (B) dane jest wzorem V H (B) = H(x 2, y 2 ) H(x 1, y 2 ) H(x 2, y 1 ) + H(x 1, y 1 ) = Rysunek 1: Geometryczna (intuicyjna) interpretacja pola funkcji Denicja 1.2. Funkcj H nazywamy 2-rosn c (ang. 2-increasing, quasi-monotone), je»eli dla dowolnego prostok ta B okre±lonego na S 1 S 2 mamy V H (B) 0 2 Czasami przy speªnieniu specycznych warunków przez funkcj H mo»na spotka te» nazw H-measure of B co b dzie oznaczaªo miar H na B. 6

7 Denicja 1.3. Niech S 1 ma najmniejszy element a 1 oraz niech S 2 ma najmniejszy element a 2. Funkcj H nazywamy przytwierdzon od doªu (ang. grounded) je»eli (x, y) S 1 S 2 mamy H(a 1, y) = H(x, b 1 ) = 0 Dobrze zda sobie spraw,»e z faktu, i» funkcja H jest 2-rosn ca nie wynika,»e funkcja H jest niemalej ca ze wzgl du na ka»d ze wspóªrz dnych (przeciwna implikacja tak»e nie zachodzi) 3. Znany jest jednak»e nast puj cy Lemat: Lemat 1.1. Niech H : S 1 S 2 R b dzie przytwierdzon, 2-rosn c funkcj. Wtedy H jest niemalej ca ze wzgl du na ka»d z wspóªrz dnych. Oczywi±cie w lemacie zakªadamy tak»e fakt, i» S 1 i S 2 maj elementy najmniejsze. Je»eli b dziemy mówi o przytwierdzeniu (b d¹ o funkcjach brzegowych patrz denicja ni»ej) to zakªadamy istnienie odpowiednio elementów najmniejszych i najwi kszych. Dowód lematu 1.1 mo»na znale¹ w [1]. Denicja 1.4. Niech S 1 ma najwi kszy element b 1 oraz niech S 2 ma najwi kszy element b 2. Mówimy,»e funkcja H : S 1 S 2 R ma funkcje brzegowe F i G (ang. margins) oraz,»e s one dane wzorem: F : S 1 R, F (x) = H(x, b 2 ), G : S 2 R, G(y) = H(b 1, y). Lemat 1.2. Niech H : S 1 S 2 R b dzie przytwierdzon, 2-rosn c funkcj z funkcjami brzegowymi F i G. Niech (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) S 1 S 2 Wtedy: H(x 2, y 2 ) H(x 1, y 1 ) F (x 2 ) F (x 1 ) + G(y 2 ) G(y 1 ) Dowód lematu 1.2 mo»na znale¹ w [1]. 1.2 Denicja kopuªy Maj c dane powy»sze denicj mo»emy zdeniowa dwuwymiarow sub-kopuª oraz kopuª. Denicja 1.5. Dwuwymiarow subkopuª (2-subkopuª. ang. subcopula, 2-subcopula) nazywamy funkcj C, która speªnia nast puj ce warunki: 1. C : S 1 S 2 R, gdzie S 1 oraz S 2 s podzbiorami I zawieraj cymi 0 oraz 1 2. C jest przytwierdzona i 2-rosn ca 3. Dla ka»dego u S 1 oraz v S 2 : C (u, 1) = u oraz C (v, 1) = v Denicja 1.6. Dwuwymiarow kopuª (2-kopuª. ang. copula, 2-copula) nazywamy 2-subkopuª, której dziedzin jest I 2. Zbieraj c wcze±niejsze warunki dochodzimy do równowa»nej denicji: Denicja kopuª nazywamy funkcj C : I 2 I, która speªnia nast puj ce warunki: 1. Dla ka»dego u, v I, C(u, 0) = C(0, v) = 0, C(u, 1) = u oraz C(1, v) = v 2. Dla u 1, u 2, v 1, v 2 I takich,»e u 1 u 2, v 1 v 2 mamy C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 ) + C(u 1, v 1 ) 0 3 Przykªady takich funkcji to odpowiednio (2x-1)(2y-1) oraz max(x,y) 7

8 1 C(u,v) C(u,v)= 0 na = C(u,v)= u na = C(u,v)= v na = 0 1 Rysunek 2: Warunki brzegowe funkcji copula 1.3 Podstawowe twierdzenia Lemat 1.3. Niech C b dzie 2-subkopuª, (u, v) Dom(C ). Wtedy: max(u + v 1, 0) C (u, v) min(u, v) Oczywi±cie oszacowanie to jest równie» prawdziwe dla 2-kopuªy C. Wprowadzamy wtedy oznaczenia: M(u, v) = min(u, v) oraz W (u, v) = max(u + v 1, 0). M nazywamy górnym, a W dolnym ograniczeniem Frecheta-Hoedinga (ang. Frechet- Hoeding upper bound, lower bound). Okazuje si,»e M i W tak»e s kopuªami. Na podstawie lematu 1.2 dochodzimy do nast puj cego wniosku: Wniosek 1.4. Niech C b dzie 2-subkopuª. Wtedy dla (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ) Dom(C ) zachodzi warunek: C (u 2, v 2 ) C (u 1, v 1 ) u 2 u 1 + v 2 + v 1 Wynika st d,»e C jest jednostajnie ci gªa na swojej dziedzinie (warunek Lipschitza). Podobnie dla kopuªy C. Prosta posta funkcji C oraz speªnianie przez ni warunku Lipschitza prowadz nas do nast puj cego wniosku dotycz cego pochodnych kierunkowych (dowód w [1]). Twierdzenie 1.5. Niech C b dzie kopuª. Dla ustalonego v I istnieje pochodna dla prawie wszystkich u I. Dla takich u i v mamy: C(u,v) u 0 C(u, v) u 1 Podobnie dla ustalonego u i prawie wszystkich v. Co wi cej, funkcje u C(u, v) v v s okre±lone prawie wsz dzie oraz niemalej ce. C(u, v) u Wprowad¹my jeszcze poj cie sekcji: Denicja 1.8. Niech C b dzie kopuª, oraz a I 8

9 Sekcj poziom C (ang. horizontal section of C) nazywamy funkcj h : t C(t, a) (h : I I). Sekcj pionow C (ang. vertical section of C) nazywamy funkcj g : t C(a, t) (g : I I). Sekcj przek tniow C (ang. diagonal section of C) nazywamy funkcj δ C (t) = C(t, t) (δ C : I I). Tak zdeniowane sekcj s niemalej cymi, jednostajnie ci gªymi funkcjami okre±lonymi na I. 1.4 Twierdzenie Sklara Od tego miejsca funkcje H, F i G b dziemy rozumie tak, jak zaznaczono na pocz tku. Jednym z centralnych twierdze«zwi zanych z kopuªami jest Twierdzenie Sklara. Pozwala ono zwi za dystrybuant ª czn wektora losowego (X, Y ) z dystrybuantami brzegowymi X oraz Y. Twierdzenie 1.6. (Sklar 1959) Niech H b dzie dystrybuant ª czn z funkcjami brzegowymi F oraz G. Istnieje wtedy kopuªa C taka,»e: x, y R : H(x, y) = C(F (x), G(y)) Ponadto: 1. Je»eli F i G s ci gªe, to C jest jedyna. W przeciwnym przypadku C jest jednoznacznie okre±lona na Ran(F ) Ran(G). 2. Podobnie je»eli C jest kopuª oraz F i G s dystrybuantami, to funkcja H zdeniowana powy»ej jest dystrybuant ª czn o funkcjach brzegowych F i G. Dowód tego twierdzenie mo»na znale¹ w [1]. Skªada si on z dwóch kroków najpierw wykazujemy,»e istnieje jednoznacznie okre±lona subkopuªa speªniaj ca tez lematu, a nast pnie rozszerzamy ja (nie zawsze w sposób jednoznaczny) do kopuªy. Przydatnym wydaje si te» twierdzenie odwrotne, które dawaªoby nam jawny wzór na funkcj C: H(F ( 1) (x), G ( 1) (y)) = C(x, y) Nale»y jednak pami ta,»e funkcj F i G nie zawsze da si odwróci. Mo»na to jednak zrobi tam, gdzie jest to istotne (bez zbiorów miary zero). Trzeba jednak zdeniowa do tego funkcj quasi-odwrotn (ang. quasi-inverse of function). Zadajemy j wzorem: Denicja 1.9. Niech F b dzie dystrybuant. Funkcj quasi-odwrotn F ( 1) nazywamy funkcj o dziedzinie I tak,»e: 1. Dla t Ran(F ), to F ( 1) (t) jest dowoln liczb x R tak,»e F (x) = t, tzn. F (F ( 1) (t)) = t 2. Je»eli t / Ran(F ), to F ( 1) (t) = inf{x : F (x) t} = sup{x : F (t) t} Dla przejrzysto±ci twierdze«b dziemy zakªada ci gªo± dystrybuant. C XY b dziemy rozumie kopuª okre±lon dla wektora losowego (X, Y ). Przez 9

10 Rysunek 3: Po lewej rozkªady wielowymiarowe, po prawej ich kopuªy. Jak wida, jedna kopuªa mo»e wyznacza bardzo ró»ne rozkªady, je»eli tylko dystrybuanty brzegowe s ró»ne. 1.5 Monotoniczne przeksztaªcenie zmiennej losowej i kopuªa warunkowa Jedn z rzeczy, która czyni kopuªy u»ytecznymi w statystyce, czy rachunku prawdopodobie«stwa jest fakt,»e zachowuj si one w przewidywalny sposób, gdy przepuszczamy zmienn losow przez monotoniczne funkcje. Mamy nast puj ce twierdzenie: Twierdzenie 1.7. Niech X i Y b d ci gªymi zmiennymi losowymi z kopuª C XY. Niech funkcje α i β b d ±ci±le monotoniczne na Ran(X) i Ran(Y ). Wtedy: 1. α, β ±ci±le rosn ca, to C α(x)β(y ) (u, v) = C XY (u, v) 2. α ±ci±le rosn ca, β ±ci±le malej ca, to C α(x)β(y ) (u, v) = u C XY (u, 1 v) 3. α ±ci±le malej ca, β ±ci±le rosn ca, to C α(x)β(y ) (u, v) = v C XY (1 u, v) 4. α, β ±ci±le malej ca, to C α(x)β(y ) (u, v) = u + v 1 + C XY (1 u, 1 v) Jest to o tyle wa»ne,»e wiele "miar"(nazwa mo»e by myl ca chodzi o wspóªczynniki mierz ce korelacj zale»no± mi dzy dwoma zmiennymi losowymi), które wprowadzamy 10

11 w statystyce jest niezale»nych od monotonicznych przeksztaªce«. Powoduje to,»e ich denicje bardzo ªatwo wyrazi w j zyku kopuª. Dobrym przykªadem takich miar s miary monotonicznej zgodno±ci (ang. measures of association) takie, jak τ Kendalla i ρ s Spearmana. Dla zmiennych X i Y z kopuª C mamy: Twierdzenie 1.8. τ = 4 C(u, v)dc(u, v) 1 I 2 ρ s = 12 uvdc(u, v) 3 = 12 I 2 I 2 C(u, v)dudv 3 Dowód tych faktów mo»na znale¹ w [1]. Warto sobie u±wiadomi,»e je»eli zaªo»ymy normalno± wielowymiarowego rozkªadu, to istnieje jednoznaczne przeksztaªcenie tych miar na wspóªczynnik korelacji liniowej: τ = 2 π arcsin(ρ) ρ s = 6 π arcsin(ρ 2 ) Wyja±nienie tego oraz dowód mo»na znale¹ w [17]. Wa»nym dla zastosowa«jest tak»e fakt,»e dosy ªatwo policzy kopuª warunkow. Powoduje to,»e na przykªad algorytm losowania próbki z rozkªadu wielowymiarowego (metod dystrybuanty warunkowej) staje si du»o bardziej czytelny i przejrzysty. Chcemy wylosowa punkt (u, v) maj c dane zmienne losowe U i V (U F ( 1) (x), V G ( 1), czyli s to zmienne o rozkªadzie jednostajnym na odcinku [0, 1]) oraz dystrybuant ª czn C. Jedna z metod, które to robi korzysta z dystrybuanty warunkowej. Znaj c funkcj C mo»emy skorzysta z nast puj cego faktu: C(u + u, v) C(u, v) C(u, v) P [V v U = u] = lim = u 0 u u 1.6 G sto± kopuªy, reprezentacja kanoniczna G sto± kopuªy mo»emy wyrazi wzorem: c(u, v) = 2 C(s, t) s t Funkcje copula mo»emy (jak to cz sto si robi w analizie) podzieli na dwie cz ±ci. Cz ± absolutnie ci gª (ang. absolutely continous) oraz cz ± singularn (ang. singular). Mamy: C(u, v) = A c (u, v) + S c (u, v) gdzie A c (u, v) := u v C(s, t)dsdt s t S(c) := C(u, v) A c (u, v) 11

12 Wa»nym poj ciem jest te» tzw. reprezentacja kanoniczna. Dla ci gªych zmiennych losowych, z dwuwymiarow dystrybuant ª czna H zwi zana jest g sto± rozkªadu h, któr nazywamy reprezentacj kanoniczn H. Mamy: gdzie oczywi±cie h(x, y) = c(f (x), G(y)) f(x) g(y) c(f (x), G(y)) = 2 C(F (x), G(y)) F (x) G(y) tak jak wcze±niej, a f i g to g sto±ci rozkªadów brzegowych, tzn: 1.7 Kopuªy prze»ycia f(x) = df (x) dx g(y) = dg(y) dy W zastosowaniach cz sto rozwa»amy kopuªy prze»ycia. Š czn funkcj prze»ycia oznaczamy jako: H(x, y) = P [X > x, Y > y] Funkcjami brzegowymi H s funkcje: H(x, ) = F (x) H(, y) = Ḡ(y) deniujemy funkcj (C jest kopuª X i Y ) Ĉ(u, v) = u + v 1 + C(1 u, 1 v) mamy wtedy H(x, y) = Ĉ( F (x), Ḡ(y)) Funkcja Ĉ jest równie» kopuª. Mówimy,»e Ĉ jest kopuª prze»ycia (ang. survival copula) X i Y. 1.8 Kopuªy archimedesowe Jedn z najwa»niejszych rodzin kopuª s tzw. kopuªy archimedesowe (ang. archimedean copulas). Najpro±ciej mówi c s to kopuªy, które mo»na przedstawi w postaci: C(u, v) = φ [ 1] (φ(u) + φ(v)) φ : I [0, ] jest przy tym ci gª, ±ci±le malej c funkcj tak,»e φ(1) = 0 oraz φ jest wypukªa. Przez φ [ 1] rozumiemy funkcj : { φ [ 1] φ (t) = 1 (t) 0 t φ(0) 0 φ(0) t Je»eli φ(0) =, to φ [ 1] = φ 1. Funkcj φ nazywamy generatorem kopuªy. Przedstawmy kilka wªasno±ci kopuª z tej rodziny: Twierdzenie 1.9. Niech C b dzie kopuª archimedesow z generatorem φ. Wtedy: 1. C(u, v) = C(v, u) dla wszystkich u, v I 12

13 Rysunek 4: Przykªady generatorów. Lewo góra rodzina Claytona z parametrem 3; lewo dóª rodzina Franka z parametrem 3; prawo góra rodzina Gumbela z parametrem 3; prawo dóª rodzina Gumbela-Housgaarda z parametrem C(C(u, v), w) = C(u, C(v, w)) dla wszystkich u, v I 3. Je»eli c > 0, to cφ jest tak»e generatorem C Twierdzenie Je»eli C jest kopuª speªniaj c warunek C(C(u, v), w) = C(u, C(v, w)) dla wszystkich u, v I oraz δ C (u) < u dla u (0, 1), to C jest archimedesowa. Jedn z rzeczy, która czyni kopuªy archimedesowe przydatnymi w statystyce jest fakt,»e znaj c generator takiej kopuªy jeste±my w stanie odtworzy wiele wªasno±ci funkcji C. Przykªadowo, je»eli C jest absolutnie ci gªa oraz jej generator jest klasy C 2 to g sto± kopuªy mo»na wyrazi wzorem: φ (C(u, v))φ (u)φ (v) [φ (C(u, v))] 3 Inny przykªad τ Kendalla dla kopuªy archimedesowej mo»na wyrazi wzorem: 1 φ(t) τ = φ (t) dt Z ciekawostek, je»eli szukamy generatorów, to okazuje si,»e je»eli we¹miemy transformat Laplace'a dystrybucji, to otrzymamy generator. Tzn. Je»eli Λ(θ) jest dystrybucj tak,»e Λ(0) = 0 oraz Ψ(t) = 0 e θt dλ(θ) to φ = Ψ 1 jest generatorem kopuªy archimedesowej. 13

14 1.9 Wi cej wymiarów Wszystkie podstawowe denicje przenosimy na wi ksz liczb wymiarów. Wierzchoªki B, to c = (c 1, c 2,..., c n ) gdzie c k = a k albo c k = b k. Denicja n-wymiarow kopuª nazywamy funkcj C, która speªnia nast puj ce warunki: 1. C : I n I 2. C jest przytwierdzona i n-rosn ca. 3. Dla ka»dego u 1 I, u 2 I,..., u n I : C(u 1, 1, 1,...) = u 1, C(1, u 2, 1,...) = u 2,... Przez przytwierdzenie rozumiemy,»e C(x) = 0, je»eli na którejkolwiek wspóªrz dnej x znajduje si 0. Obj to± n-wymiarowej funkcji wyra»amy wzorem: V H (B) = c sgn(c)h(c) gdzie { 1 je»eli ck = a sgn(c) = k dla parzystej ilo±ci k 1 je»eli c k = a k dla nieparzystej ilo±ci k funkcja jest n-rosn ca je»eli V H (B) 0 dla dowolnego B. Twierdzenie Sklara Je»eli chodzi o twierdzenie Sklara to mamy: Denicja Niech H b dzie dystrybuant n-wymiarow z funkcjami brzegowymi F 1,..., F n. Istnieje wtedy kopuªa C taka,»e: Ponadto: x R n : H(x 1, x 2,..., x n ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F n (x n )) 1. Je»eli F 1,..., F n s ci gªe, to C jest jedyna. W przeciwnym przypadku C jest jednoznacznie okre±lona na Ran(F 1 )... Ran(F n ). Podobnie twierdzenie odwrotne dla funkcji quasi-odwrotnych. Ograniczenia F-H Je»eli chodzi o ograniczenia Frecheta-Hoedinga, to mamy gdzie M n (u) = min(u 1, u 2,..., u n ) W n (u) C(u) M n (u) 14

15 W n (u) = max(u 1 + u u n n + 1, 0) Funkcja W n nie jest kopuª. Funkcja M n jest kopuª. Funkcja W n jest jednak najlepszym mo»liwym ograniczeniem, tzn. u I n jest taka n-kopuªa C,»e C(u) = W n (u). G sto±, reprezentacja kanoniczna G sto± n-kopuªy wyra»a si wzorem c(u 1, u 2,..., u n ) = n C(u 1, u 2,..., u n ) u 1 u 2... u n a reprezentacja kanoniczna (dla dystrybuanty ª cznej F i dystrybuant brzegowych F 1,..., F n ) jest dana przez: f(x 1, x 2,..., x n ) = c(f 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F n (x n )) z oznaczeniami podobnie jak przy 2-kopule. n-kopuªy archimedesowe n-kopuªy archimedesowe maj zazwyczaj posta 4 : C(u 1,..., u n ) = φ 1 (φ(u 1 ) φ(u n )) n f j (x j ) gdzie generator φ : I [0, ], podobnie jak poprzednio, jest ±ci±le malej c funkcj, φ(1) = 0, φ(0) =. Dodatkowo od φ wymagamy, aby byªa kompletnie monotoniczna tzn. aby istniaªy pochodne wszystkich rz dów oraz zachodziªa nierówno± : Podsumowanie ( 1) k φ (k) (t) 0 dla k=0,1,2,... Du»a cz ± twierdze«tak»e ma swoje odpowiedniki dla wielowymiarowych kopuª. Nie chciaªbym ich wszystkich wypisywa, wi c je»eli b dzie to pó¹niej konieczne, to korzystaj c z wielowymiarowej wersji danego twierdzenia, zrobi do niego odpowiedni komentarz. j=1 2 Ryzyko kredytowe, kredytowe instrumenty pochodne 2.1 Podstawy Ryzyko kredytowe jest bardzo szerokim poj ciem. W niniejszej pracy b dziemy je traktowa w najbardziej ogólnym sensie (uwzgl dniaj c na przykªad ryzyko niewypªacalno±ci dªu»nika, instrumenty pochodne zwi zane z instrumentami dªu»nymi itd.) próbuj c si jednocze±nie skupi nad cz ±ci tej dziedziny najbardziej zwi zan z 4 mo»na wprowadzi bardziej ogóln denicj z funkcj φ [ 1] ([1] str.154), zakªadaj c tylko n-monotoniczno±. Dla przejrzysto±ci nie b dziemy tego jednak robi 15

16 matematyk nansow w szczególno±ci nad wycen instrumentów nansowych zwi zanych z ryzykiem kredytowym. Wykorzystywanie instrumentów pochodnych do zarz dzania ryzykiem daje nam wiele dodatkowych korzy±ci dobry ich opis mo»na znale¹ w [4] (Rozdziaª 3.4). Zakªadam tak»e, i» czytelnik jest zaznajomiony z terminologi oraz podstawowymi twierdzeniami z matematyki nansowej (miary martyngaªowe, twierdzenie Girsanowa, model Blacka-Scholesa, proces Ito itd.), wi c nie ma potrzeby formalnego ich wprowadzania. Omówmy (id c za [2]) kilka podstawowych przykªadów zwi zanych z wykorzystaniem instrumentów pochodnych w zarz dzaniu ryzykiem kredytowym). Dobrym przykªadem potrzeby wprowadzania ryzyka zwi zanego z mo»liw niewypªacalno±ci drugiej strony s kontrakty terminowe forward. Jak wiemy kontrakty forward (w przeciwie«stwie do kontraktów futures) s instrumentami typu OTC (ang. overthe-counter) obrót nimi odbywa si poza gieªd. W samej wycenie takiego kontraktu dobrze wi c uwzgl dni ryzyko, i» druga strona stanie si niewypªacalna (np. zbankrutuje). Ogólnym sposobem na przedstawienie funkcji wypªaty takiego instrumentu jest nast puj ca formuªa: G(S, T )[1 1 DEF (T )LGD] gdzie G(S, T ) to kontrakt z cen S i czasem realizacji T, 1 DEF jest funkcj charakterystyczn opisuj c prawdopodobie«stwo pojawienia si niewypªacalno±ci (ang. default) w czasie T, LGD (ang. Loss Given Default) jest to procentowo wyra»ona strata, któr poniesiemy, je»eli pojawi si niewypªacalno± 5 mówi c inaczej LGD 1 RR, gdzie RR (ang. recovery rate) to wska¹nik odzyskania nale»no±ci. Mówi c ogólnie cena takiego kontraktu w czasie t wyliczona przy u»yciu miary martyngaªowej Q b dzie wynosiªa (r jest jak ± funkcj modeluj c zachowanie si stopy procentowej): [ T ] ] E Q [exp r(u)du G(S, T )[1 1 DEF (T )LGD] t W modelu takim mamy trzy czynniki ryzyka ryzyko zwi zane ze zmian ceny instrumentu bazowego (dla G), ryzyko zwi zane ze zmian stopy procentowej (r) oraz ryzyko zwi zane z mo»liwo±ci pojawienia si niewypªacalno±ci. Wprowadzenie miary martyngaªowej forward Q T (ang. forward martingale measure) powoduje,»e mo»emy powy»sze wyra»enie zapisa jako: D(t, T )E QT [G(S, T )[1 1 DEF (T )LGD]] D(t,T) to po prostu czynnik dyskontuj cy (tak, jak wcze±niej). Je»eli chcemy wyceni w ten sposób jak ± obligacj, to przyjmujemy G(S, T ) = 1. Cz sto te» instrumenty zwi zane z ryzykiem kredytowym mo»na traktowa jako opcje put lub call. Wyobra¹my sobie,»e jakie± przedsi biorstwo nansuje projekt, którego warto± w chwili t wynosi V (t). W tym celu rma zaci ga po»yczk (zero-kuponowa obligacja z terminem zapadalno±ci T) o warto±ci nominalnej DD. Je»eli w chwili T projekt b dzie warty wi cej, to wtedy rma dostanie ró»nic V (t) DD i wypªaci j akcjonariuszom w formie dywidendy, je»eli natomiast warto± projektu b dzie mniejsza, to zakªadamy,»e rma bankrutuje, a instytucja, która 5 nazywa si to: Proporcj ekspozycji kredytowej, która zostanie utracona w przypadku wyst pienia niewykonania zobowi zania 16

17 udzieliªa nam kredytu przejmuje rm akcjonariusze nic nie dostan. Warto± "dywidendy"mo»na wi c przedstawi jako: C(T ) = max(v (T ) DD, 0) Mo»emy to traktowa jako warto± opcji call. Ogólny model to opisuj cy mo»emy znale¹ w [19] (podobne rozumowanie jak przy modelu B-S), a uogólnienia tego modelu w pracach [20], [21] i [22]. Instrumenty, które b d nas interesowa b d zazwyczaj zale»ne od wi cej ni» jednego instrumentu podstawowego (mówi c inaczej ich instrumentem podstawowym b dzie np. portfel zªo»ony z kilku akcji). Skupimy si gªównie na swapach kredytowych. Zajmiemy si w szczególno±ci instrumentami, które pozwalaj nam oddzieli ryzyko kredytowe od ryzyka rynkowego, takimi jak CDS. Poni»ej przedstawimy kilka instrumentów tego typu na ich temat b dzie ta praca, wi c postaram si je dokªadniej opisa. Istniej te» oczywi±cie inne, podobne instrumenty, takie jak na przykªad TRS (Total Return Swap), jednak»e nie b d one tematem tej pracy. Ich opis mo»na znale¹ na przykªad w [4] (Rozdziaª 3.4). Przedstawimy tak»e instrument nansowy, jakim jest CDO (Collateral Debt Obligation) 2.2 Credit default swap, basket default swap (CDS, BDS) Credit Default swap (CDS) Je»eli chodzi o kontrakty swap, to w zasadzie mo»na je traktowa jako uogólniony kontrakt forward, a raczej jako portfel kontraktów forward z ró»nymi terminami realizacji. Po dokªadniejsz denicj i przykªady odsyªam do [3] lub [4]. Je»eli chodzi o Credit Default Swap 6 (CDS), to cytuj c [3] instrument ten wygl da nast puj co: "W kontrakcie tym jedna strona, nazwijmy j A, pªaci w regularnych okresach staª premi drugiej stronie, nazwijmy j B. Z kolei B pªaci ustalon sum pieni»n w wypadku zaj±cia zdarzenia kredytowego, powoduj cego strat strony A z tytuªu niepªacenia zobowi za«przez trzeci stron ". Dobry opis tego instrumentu (nie chciaªbym wchodzi w dalsze szczegóªy z nim zwi zane) mo»na tak»e znale¹ w [2] ª cznie z przykªadami zdarze«kredytowych (oprócz bankructwa, mo»e by to na przykªad zwykªe przekroczenie terminu pªatno±ci ogólnie zdarzenia te (ang. credit event) reguluje ISDA ang. International Swaps and Derivatives Association). Je»eli chodzi o pªatno±, która nast puje w wyniku zaj±cia zdarzenia kredytowego 7, to jest kilka mo»liwo±ci. Je»eli np. zostanie wcze±niej ustalona konkretna kwota (niezale»na od RR), to instrument taki nazywamy: digital binary default swap. Spróbujemy wyceni jednak instrument w mo»liwie ogólnym sensie. Oznaczmy przez τ czas zaj±cia zdarzenia kredytowego. Niech S(t) oznacza funkcj prze»ycia dla czasu t: F (t) = S(t) = P [τ > t] = E[1 {τ>t} ] Aby model byª dobrze okre±lony, to w przypadku odnoszenia si do czasu t 0, S(t 0, t) = P [τ > t τ > t 0 ] = S t0 (t) jest funkcj prze»ycia dla odcinka czasu (t 0, t). 6 W Polsce mo»na spotka nazw : swap na zdarzenie kredytowe, ewentualnie swap zaprzestania spªat kredytu. B dziemy jednak si trzyma angielskich oznacze«7 zazwyczaj mo»emy mówi o dwóch sposobach rozliczenia: rozliczenie zyczne i gotówkowe. Nie chciaªbym jednak tutaj wprowadza zamieszania 17

18 Spróbujmy teraz okre±li warto± caªkowitej wypªaty 8 (ang. premium leg), któr A pªaci B pªatn w ratach. Niech t 1, t 2,..., t M oznacza daty pªatno±ci poszczególnych wypªat (T = t M to termin zapadalno±ci kontraktu). Poniewa» wypªaty nie s wypªacane po wyst pieniu zdarzenia kredytowego, wi c warto± bie» ca caªkowitej wypªaty w czasie t, to 9 : P L(t) = W N (t m t m 1 ) E[B(t, t m ) 1 {τ>tm }] t m >t dla W oznaczaj cego premi za ryzyko (ang. premium) warto± wszystkich skªadek za "ubezpieczenie", N oznacza warto± kontraktu (maksymaln nale»no± jak mo»e zapªaci B, gdy np. RR = 0), B(t, t m ) oznaczaj cego czynnik dyskontuj cy w okresie (t, t m ). Mo»emy tak»e wyliczy warto± kontraktu dla A (czyli, tego co B pªaci A, je»eli zajdzie zdarzenie kredytowe 10 (ang. default leg). Warto± kontraktu w czasie t wynosi: DL(t) = N E[(1 R(θ, τ)) B(t, τ) 1 {τ T } ] gdzie R(θ, τ) oznacza procentow nale»no±, któr uda si odzyska w przypadku zaj±cia zdarzenia kredytowego (funkcja ta b dzie zale»na od czasu, jak i od innych czynników powi zanych z czynnikami makroekonomicznymi i mikroekonomicznymi 11 nie chciaªbym tutaj wchodzi w szczegóªy). Zaªó»my teraz,»e warto± funkcji R nie zale»y od czasu zaj±cia zdarzenia kredytowego (podobnie zakªadamy,»e stopa procentowa i terminy zaj± zdarze«kredytowych s niezale»ne). Warto± kontraktu CDS mo»na przedstawi jako ró»nic funkcji dwóch funkcji wypªat. Przyrównuj c to wyra»enie do zera, otrzymamy uczciw cen premii za ryzyko: P L(t) DL(t) = 0 (1 R) E[B(t, τ) 1 {τ T } ] W = t m t (t m t m 1 ) B(t, t m ) E[1 {τ>tm}] W praktyce, ludzie wyceniaj cy CDS znaj rynkow warto± ryzyka dla ka»dego instrumentu bazowego. W celu ustalenia ceny rynkowej CDS mo»emy wi c skorzysta z bootstrapingu, aby uzyska warto± funkcji prze»ycia w dniu ka»dej wypªaty. Dalsze szczegóªy pó¹niej. Basket Default Swap (BDS) Najpro±ciej mówi c Basket Default swap (BDS) jest kontraktem bardzo podobnym do CDS tyle tylko,»e odnosi si do koszyka instrumentów bazowych (zazwyczaj wyst puje w nim od trzech do pi ciu instrumentów bazowych). Cytuj c [2] Mo»emy spotka wiele ró»nych typów takich instrumentów, przykªadowo: 8 mówi c wypªata b d miaª na my±li wynagrodzenie przepªyw gotówki, który A pªaci B 9 Warto± oczekiwana odnosi si do miary prze»ycia P m okre±lonej dla t m dokªadn denicj mo»na znale¹ w [18] 10 Zakªadamy,»e DL = DP. (default payment) Czasami odejmuje si od tego jeszcze tzw. accrued premium, czyli DL = DP AP. Wycen to uwzgl dniaj c mo»na znale¹ w [5]. 11 zwi zanych z caª ekonomia, specykacj danej bran»y itd. du»o instytucji przyjmuje ten wska¹nik na ustalonym poziomie 30% 18

19 First to default oferuje zabezpieczenie tylko przed pierwszym zdarzeniem kredytowym (kontrakt zostaje zrealizowany w wyniku jego zaj±cia). Second to default oferuje zabezpieczenie przez drugim zdarzeniem kredytowym. First k out of n to default oferuje zabezpieczenie przed pierwszymi k zdarzeniami. Last j out of n to default oferuje zabezpieczenie przed ostatnimi j zdarzeniami. Šatwo zauwa»y,»e ostatnie instrumenty mo»emy skªada z tych pierwszych. Przykªadowo dla koszyka pi ciu instrumentów: rst-to-default oraz second-to-default da nam rst-2-out-of-5-to-default itd. Jego wycen zajmiemy si z kolejnym rozdziale. 2.3 Collateral debt obligation (CDO) CDO (Collateralized Debt Obligation) w najprostszym uj ciu jest papierem warto±ciowym opartym o portfel aktywów dªu»nych (np. po»yczki, obligacje, CDS). Aktywa te pakuje si w portfel i emituje jako nowe papiery warto±ciowe w transzach dla ró»nych inwestorów. Wysoko± pªatno±ci odsetkowych, odsetek kapitaªowych i moment zapadalno±ci s uzale»nione od wyników portfela. Najlepiej wyobrazi sobie CDO jako fundusz, który przy pomocy emisji papierów warto±ciowych pozyskuje ±rodki na zakup koszyka instrumentów podstawowych, a nast pnie wypªaca inwestorom zyski stosowne do warto±ci tego koszyka. (Fundusz mo»e te» zmienia zawarto± koszyka zarz dza nim wtedy tzw. CDO manager). CDO skªada si z koszyka instrumentów podstawowych (ang. collateral), na podstawie których wydaje si bony dªu»ne z ró»nym priorytetem wypªacalno±ci. Bony te odzwierciedlaj ró»ny poziom ryzyka, w zale»no±ci od priorytetu z którym s wypªacane. Ró»ny priorytet bonów wynika z tego, i» transze w CDO dzieli si na kilka kategorii (i sprzedaje si osobno). Standardowo mamy nast puj cy podziaª: Senior tranche te bony wypªacane s z najwy»szym priorytetem. Rating kredytowy dla tych bonów zazwyczaj jest na poziomie AAA (wi ksza cz ± CDO, to aktywa z najwy»szym ratingiem). Mezzanine tranche nast pne w kolejno±ci bony, odpowiadaj ce zazwyczaj ryzyku kredytowemu na poziomie od AA do BB. Wypªaca si je po wypªaceniu bonów Senior. Equity (lower) tranche najbardziej ryzykowne bony, wypªacane jako ostatnie. Tutaj zazwyczaj nie przydziela si ratingu. Je»eli chodzi o typy CDO, to mo»na wyró»ni kilka ich typów: Cash ow CDO koszyk instrumentów podstawowych nie jest zale»ny od aktywnego handlu przez CDO managera. Ryzyko skupia si tutaj gªównie na potencjalnych zdarzeniach kredytowych gªównie od nich zale» te» warto±ci wypªat. Koszyk cz sto skªada si z obligacji, czy po»yczek. 19

20 Market-value CDO tutaj warto± wypªat bonów zale»y w du»ym stopniu, od wyników CDO managera mo»e on np. sprzedawa, b d¹ kupowa nowe instrumenty bazowe, zmienia ich wagi, czy te» zarz dza wygenerowanym zyskiem. Synthetic CDO syntetyczny instrument (zazwyczaj opieraj cy si na CDS i nie zawieraj cy takich aktywów, jak obligacje, czy po»yczki). Zazwyczaj wypªaty w takim instrumencie s z góry ustalone. wpªywaj na nie tylko zdarzenia kredytowe. B dziemy si zajmowa gªównie pierwszym i trzecim typem CDO, poniewa» chcieliby±my unikn konieczno±ci u»ycia poj z teorii gier, czy funkcji u»yteczno±ci znanych z mikroekonomii, które warunkuj nasz preferencj w stosunku do CDO managera itd. Wycen CDO zajmiemy si w nast pnym rozdziale. 2.4 Funkcje prze»ycia Jak pokazali±my na stronie 18 w przypadku wyceny instrumentu CDS uczciwa premia za ryzyko wynosi: (1 R) E[B(t, τ) 1 {τ T } ] W = t (t m t m t m 1 ) B(t, t m ) E[1 {τ>tm }] Jednym z problemów, które pojawiaj si w tym wzorze jest kwestia doprecyzowania co rozumiemy przez wyra»enia: E[1 {τ>tm}] oraz E[B(t, τ) 1 {τ T } ] W tym celu b dziemy oczywi±cie korzysta z funkcji prze»ycia wprowadzimy tak»e tzw. funkcj hazardu. Dla uproszczenia przyjmiemy te», i» wyceniamy ten instrument w chwili 0. (operowanie na zmiennych losowych zamiast na liczbach mo»e zaciemni obraz). Przypomnimy teraz te podstawowe poj cia. Zaªó»my,»e τ jest jakim± momentem stopu 12. Funkcj prze»ycia okre±lamy wtedy wzorem S(t) = P [τ > t] (mówi c intuicyjnie prawdopodobie«stwo,»e zdarzenie τ zajdzie pó¹niej ni» w czasie t).przez funkcj hazardu rozumiemy funkcj : h(t) = lim h 0 P [t < τ < t + h τ > t] Dla S ró»niczkowalnej (b dziemy tak zakªada ), mo»emy j wyrazi wzorem: h(t) = S (t) S(t) Mamy wtedy relacj : S(t) = e t 0 h(u)du F (t) = 1 S(t) 12 Mam nadziej,»e jest to jasne. Formalnie mamy dan przestrze«probabilistyczn z zadan ltracj, a τ jest momentem stopu wzgl dem tej ltracji. Nie chciaªbym jednak zbytnio wszystkiego formalizowa. 20

21 Zaªó»my teraz, i» zdarzenie kredytowe jest modelowane procesem Poissona z intensywno±ci λ(t) (tzn. P [τ > t 1 τ > t 0 ] = e t 1 t λ(u)du 0, proces ten ma wªasno± braku pami ci itd. dokªadny opis tego procesu mo»na znale¹ w [5] 13. Okazuje si wtedy,»e zachodzi relacja h(t) = λ(t). Maj c t informacje i zakªadaj c, i» zdarzenie kredytowe jest modelowane procesem Poissona z intensywno±ci λ(t) mo»emy dokªadniej opisa przytoczone wcze±niej warto±ci oczekiwane, tzn. oraz E[B(0, τ) 1 {τ T } ] = dostajemy wi c: E[1 {τ>tm }] = P [τ > t m ] = e tm 0 λ(u)du T 0 B(0, u)d(f (u)) = T 0 B(0, u)λ(u)e u 0 λ(s)ds du W = (1 R) T 0 B(0, u u)λ(u)e 0 λ(s)ds du t (t m 0 m t m 1 ) B(0, t m ) e tm 0 λ(u)du Nie b dziemy dokªadnie zajmowa si tym, jak modelowa funkcj λ(t). Najcz ±ciej robi si to zakªadaj c i» funkcja ta jest kawaªkami liniowa, a warto± na poszczególnych kawaªkach estymujemy przy u»yciu cen instrumentów które ju» znajduj si na rynku. (kawaªki czasowe (0, T 1 ), (T 1, T 2 ),..., (T p 1, T ) to b d przedziaªy mi dzy poszczególnymi terminami wykupu instrumentów na dan opcj, dost pnymi na rynku). Warto± na poszczególnych kawaªkach mo»na ªatwo dosta przy u»yciu równania: h ti = W t 1 R na kawaªku (0, T 1 ) wyliczamy t warto± wprost, korzystaj c z instrumentu o terminie zapadalno±ci T 1, na kawaªku (T 1, T 2 ) estymujemy ten parametr, przy u»yciu instrumentów o czasie zapadalno±ci T 1 i T 2 i tak dalej. Istniej te» alternatywne podej±cia mo»na to robi np. wykorzystuj c do tego ratingi kredytowe, czy model Mertona. 3 Kopuªy w nansach 3.1 Wprowadzenie W pierwszym rozdziale wprowadzili±my poj cie kopuªy i udowodnili±my podstawowe wªasno±ci zwi zane z t rodzin funkcji. Dobrze odpowiedzie sobie na pytanie szczególnie je»eli chodzi o zastosowania w nansach dlaczego w ogóle warto si ni zajmowa. Wspomnieli±my ju» o tym w ogólnej formie we wst pie. Chciaªbym teraz pokaza kilka elementarnych zastosowa«oraz opisa najwa»niejsze wªasno±ci, które sprawiaj,»e w praktyce korzysta si z funkcji copula. 13 mo»na te» zakªada, i» λ(t) jest zmienn losow i rozwa»a proces Coxa, ale tego nie b dziemy robi. 21

22 Zaªó»my,»e chcemy naby opcj binarn zale»n od dwóch instrumentów podstawowych (ang. bivariate digital option). Niech instrumentami tymi b d cena akcji PEKAO i PKOBP. Instrument ten wypªaca nam 1 PLN, je»eli ceny PEKAO i PKOBP b d mniejsze odpowiednio od K PEKAO i K PKOBP. Na zupeªnym rynku (przy ci gªej kapitalizacji i niezmiennej stopie procentowej) instrument taki powinien mie cen : e r(t t) Q(K PEKAO, K PKOBP ) gdzie Q(K PEKAO, K PKOBP ) jest prawdopodobie«stwem zdarzenia (okre±lonym na mierze martyngaªowej), takiego,»e indeksy b d poni»ej ustalonych poziomów cen (czyli w zasadzie dystrybuant dwuwymiarow ), a r to oczywi±cie stopa procentowa. Wiemy,»e ceny pojedynczych akcji powinny rozkªada si wedªug rozkªadu log-normalnego. Przy pomocy znanych z matematyki nansowej modeli (np. w najprostszym wypadku modelu B-S) mo»emy okre±li rozkªad cen akcji PEKAO oznaczmy jego dystrybuant przez Q PEKAO, oraz PKOBP Q PKOBP. Z drugiej strony chcieliby±my zna rozkªad ª czny opisuj cy zale»no± mi dzy cen akcji PEKAO, a PKOBP. Na podstawie twierdzenia 1.6 z pierwszego rozdziaªu (twierdzenie Sklara), mo»emy zapisa : Q(K PEKAO, K PKOBP ) = C(Q PEKAO (K PEKAO ), Q PKOBP (K PKOBP )) gdzie C jest jak ± funkcj 2-copula. Takie podej±cie umo»liwia nam osobne potraktowanie dwóch problemów: 1. Badania cen pojedynczych instrumentów (tzn. rozkªadów brzegowych) 2. Modelowania zale»no±ci mi dzy nimi (funkcji copula) Jest to o tyle przydatne,»e maj c do dyspozycji ró»ne rodziny kopuª, mo»emy dobrze modelowa rozkªad ª czny. Mo»emy tak»e bada zmian ceny, gdy na przykªad zmienimy rozkªady brzegowe, pozostawiaj c jednocze±nie niezmienion funkcj copula pozwala nam to lepiej zrozumie i mie wi ksza kontrol nad np. tzw. grubymi ogonami, czy asymetri rozkªadu. Zaczyna by to szczególnie przydatne, gdy nasz koszyk b dzie si skªadaª z du»ej ilo±ci instrumentów podstawowych. Mo»emy bada tak»e zale»no± od siebie ró»nych rynków. Przykªadowo mo»emy wzi WIG oraz Nikkei 225. Aby zbada zale»no± od siebie tych dwóch indeksów mo»na zastosowa wspóªczynnik korelacji liniowej τ Pearsona. Zakªadaj c normalno± rozkªadu indeksów, jest on dosy dobrze zbadany. Jak wiemy bada on tylko liniow zale»no±, wi c porzucaj c to zaªo»enie (co ostatnio cz sto si czyni) mo»e si okaza,»e wyniki które otrzymamy nie b d zadowalaj ce. (W szerszym uj ciu np. τ Pearsona jest podatne na próbki odstaj ce, czy przeksztaªcenia ±ci±le monotoniczne, ale nieliniowe). Alternatyw mog by miary monotonicznej zgodno±ci takie jak ρ s Spearmana, czy τ Kendalla. Reprezentuj one podej±cie rangowe. Wspóªczynniki te s niezmiennicze wzgl dem ±ci±le monotonicznych przeksztaªce«. Funkcja copula ma analogiczn wªasno± jak to udowodnili±my w twierdzeniu 1.7 w pierwszym rozdziale. Powoduje to,»e wyra»anie tych miar w j zyku kopuª jest bardzo wygodne. Cz sto te» wyliczaj c jedn z tych warto±ci dla jakiego± szeregu czasowego, mo»emy potem na jej podstawie dobra kopuª z jakiej± okre±lonej rodziny. Daj 22

23 one nam wi c dobr metod estymacji. Je»eli chodzi o badanie innego typu zale»no±ci tail dependance, to tutaj tak»e kopuªy s pomocne. Mamy dwa zdarzenia: 1. Indeks WIG spadnie poni»ej krytycznej warto±ci (ustalmy krytyczn warto± jako warto± dla której VaR jest na poziomie v, czyli k 0 := Q 1 WIG (v)). 2. Indeks Nikkei 225 spadnie poni»ej krytycznej warto±ci (ustalmy krytyczn warto± jako warto± dla której VaR jest na poziomie v, czyli k 1 := Q 1 NIK (v)). Zastanówmy si teraz z jakim prawdopodobie«stwem zajdzie pierwsze zdarzenie, je»eli zaszªo drugie (np. mamy zaªamanie indeksu w Japonii i chcemy wiedzie jaka jest szansa,»e spowoduje to zaªamanie indeksu w Polsce). Wykonuj c proste operacje (i korzystaj c z tw. odwrotnego do tw. Sklara zakªadamy tutaj ci gªo± rozkªadu): λ(v) = P [WIG k 0 NIK k 1 ] = P [Q WIG (WIG) v Q NIK (NIK) v] = P [Q WIG (WIG) v, Q NIK (NIK) v] P [Q NIK (NIK) v] = C(v, v) v Dla jakiej± kopuªy C. W szerszym uj ciu maj c zmienne losowe X i Y oraz ich dystrybuanty odpowiednio F i G z kopuª C, mo»na policzy te» tzw. tail index wyra»ony wzorem C(v, v) λ L = lim P [F (X) v G(Y ) v] = lim v 0 + v 0 + v oraz jego górny odpowiednik upper tail index (zamiast kryzysu rozwa»amy boom gospodarczy): 1 2v + C(v, v) λ U = lim P [F (X) > v G(Y ) > v] = lim v 1 v 1 1 v Je»eli chodzi o produkty zwi zane z ryzykiem kredytowym, to jak pisali±my wcze±niej mo»emy rozwa»y swap kredytowy rst-to-default. Niech b dzie on nas zabezpieczaª przed zaj±ciem jakich± dwóch zdarze«kredytowych je»eli którekolwiek z nich zajdzie, to dostajemy 1 PLN (najprostszy przypadek, zakªadamy,»e RR=0). Wycenia si go wtedy nast puj cym wzorem: FTD = e r(t t) (1 P [τ 1 > T, τ 2 > T ]) kontrakt jest zawarty na czas T a τ 1 i τ 2 oznaczaj zaj±cie odpowiednio pierwszego i drugiego zdarzenia kredytowego. r to stopa procentowa. U»ywaj c kopuªy prze»ycia, mo»emy to równowa»nie zapisa jako lub przy pomocy zwykªej kopuªy: FTD = e r(t t) (1 Ĉ[ ˆQ 1 (T ), ˆQ 2 (T )]) FTD = e r(t t) (Q 1 (T ) + Q 2 (T ) C[Q 1 (T ), Q 2 (T )]) 23

24 Cz sto w tym wypadku przyjmuje si parametryczny model zakªadaj cy rozkªad normalny. Mamy wtedy: C[Q 1 (T ), Q 2 (T )] = Φ 2 [Φ 1 (Q 1 (T )), Φ 1 (Q 2 (T )); ρ] gdzie Φ, to dystrybuanta standardowego rozkªadu normalnego, a Φ 2 to dwuwymiarowy rozkªad normalny ze wspóªczynnikiem korelacji ρ. Dokªadniejszy wzór znajdziemy w dalszej cz ±ci tego rozdziaªu. Oczywi±cie rozkªady brzegowe modelujemy funkcjami prze»ycia dobrymi modelami s tutaj np. model Coxa lub Poissona. Zastanówmy si teraz jak wygl da b dzie model dla ryzyka kredytowego zwi zanego z zaci ganiem kredytu przez rm tak jak byªo to opisane w poprzednim rozdziale (Model Mertona zakªadamy,»e ryzyko kredytowe mo»na przedstawi jako opcj call). Zaªó»my,»e mamy dwie rmy rm A i B. Podobnie jak oznaczali±my to wcze±niej, zaªó»my,»e V A (t) i V B (t) to warto± projektu w chwili t nansowanego przez zaci gni ciu kredytu o warto±ci (w chwili zapadalno±ci T ) odpowiednio D A i D B. Zdarzenie kredytowe nast puje w przypadku, gdy w chwili T warto± danego projektu jest poni»ej warto±ci danego kredytu. Zakªadamy,»e warto±ci te zachowuj si podobnie jak w modelu Blacka-Scholesa, tj: Stopa procentowa dana jest przez r, Zmienne losowe ln(v A (T )/V A (0)) oraz ln(v B (T )/V B (0)) maj rozkªad normalny. Zmienne te maj wariancje (w chwili T) oznaczan odpowiednio przez σ 2 V A T oraz σ 2 V B T, Ich rednia (w chwili T) dana jest wzorem odpowiednio (r σ2 V A 2 )T oraz (r σ 2 V B 2 )T, Wtedy prawdopodobie«stwo zaj±cia zdarzenia kredytowego (odpowiednio dla A i B) dane jest przez: [ P [V A (T ) D A ] = Φ ln(v A(0)/D A ) + (r (σv 2 A /2)T )] = Φ[ d 2VA (V A (0))] σ VA T [ P [V B (T ) D B ] = Φ ln(v B(0)/D B ) + (r (σv 2 B /2)T )] = Φ[ d 2VB (V B (0))] σ VB T Prawdopodobie«stwo zaj±cia obydwu tych zdarze«, to: P [V A (T ) D A, V B (T ) D B ] = C(Φ[ d 2VA (V A (0))], Φ[ d 2VB (V B (0))]) dla jakiej± 2-kopuªy C w wielu modelach zakªada si,»e jest to wielowymiarowy rozkªad normalny albo korzysta si z kopuª z rodziny Franka. 24

25 3.2 Przydatne rodziny kopuª W tym dziale przedstawimy kilka szczególnie przydatnych w nansach rodzin kopuª. Zaczniemy od kopuªy zwi zanej z wielowymiarowym rozkªadem normalnym. Od tego rozkªadu coraz cz ±ciej si odchodzi (¹le modeluje grube ogony, jest symetryczny itd.) Wci» jednak wyst puje on w wielu modelach ekonomicznych. Poka»emy równie» rozkªad t-studenta (zarówno jego standardow form rozkªad eliptyczny, jak i jego wersj sko±n ). Ka»dy z tych rozkªadów równie» ma swoje wady (rozkªad t-studenta jest symetryczny, jako rozkªad eliptyczny, z kolei sko±ny rozkªad t-studenta sprawia du»e problemy numeryczne nawet przy dwóch wymiarach). Przedstawimy tak»e przykªad kopuªy archimedesowej. Warto zwróci uwag,»e dobieraj c ró»ne rozkªady brzegowe mo»emy otrzyma bardzo ró»ne rozkªady wielowymiarowe cz sto na przykªad sko±no± uwzgl dnia si tylko w rozkªadach brzegowych. Oczywi±cie w literaturze spotyka si wiele innych rodzin kopuª, tutaj nie opisanych wspomnimy o tym w ostatniej cz ±ci tego dziaªu Wielowymiarowe kopuªy Gaussa Wielowymiarowe kopuªy Gaussa, czy mo»e lepiej powiedzie kopuªy wielowymiarowego rozkªadu normalnego (ang. Multivariate Gaussian copula) w skrócie MGC peªni wa»n rol w wielowymiarowej statystyce i nansach. Bardzo wiele rzeczy mo»na dobrze opisa (czy estymowa ) przy ich u»yciu. Wiele aplikacji nansowych z nich korzysta (cho by CreditMetric, czy KMV Portfolio Manager). Denicja n-kopuªy Gaussa wygl da nast puj co: ) CR Ga (u) := Φ R (Φ 1 (u 1 ), Φ 1 (u 2 ),..., Φ 1 (u n ) = Φ 1 (u 1 ) Φ 1 (u n)... 1 (2π) n 2 R 1 2 ( exp 1 ) 2 xt R 1 x dx 1... dx n gdzie Φ R oznacza dystrybuant wielowymiarowego rozkªadu normalnego z macierz korelacji R, a Φ oznacza standardowy, jednowymiarowy rozkªad normalny. G sto± tego rozkªadu wyra»a si wzorem gdzie c Ga R (u 1, u 2,..., u n ) = 1 ( exp 1 ) R ςt (R 1 I)ς ς = ( Φ 1 (u 1 ), Φ 1 (u 2 ),..., Φ 1 (u n ) ) T Warto sobie równie» zda spraw z faktu,»e je»eli dodatkowo zaªo»ymy, i» rozkªady brzegowe maj standardowy rozkªad normalny, to dostaniemy (na podstawie tw. Sklara) standardowy ª czny wielowymiarowy rozkªad normalny. 25

26 Rysunek 5: G sto± 2-kopuªy Gaussa, ρ = 0.5 i ρ = Rysunek 6: Próbka 1000 elementowa dla 2-kopuªy Gaussa, ρ = 0.5 i ρ = Wielowymiarowe kopuªy t-studenta Wielowymiarowe kopuªy t-studenta (ang. Multivariate Student's t copula) w skrócie MTC s tak»e cz sto stosowan w statystyce rodzin funkcji. Ostatnio zaczyna si ich u»ywa w matematyce nansowej w zwi zku z tym,»e lepiej modeluj tzw. "grube ogony". Denicja n-kopuªy t-studenta wygl da nast puj co: = t 1 v (u 1 ) C Stud R,v (u) := t R,v (t 1 v (u 1 ),..., t 1 v (u n )) t 1 v (u n ) Γ( v+n 2... ) R 1 2 ( Γ( v 2 )(vπ) n 2 v xt R 1 x ) v+n 2 dx 1... dx n gdzie t R,v oznacza dystrybuant wielowymiarowego rozkªadu t-studenta o v stopniach swobody, z macierz korelacji R, a t v oznacza standardowy, jednowymiarowy rozkªad t-studenta o v stopniach swobody. 26