Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej

Transkrypt

1 Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej Uniwersytet Jagiello«ski 9 maja 2012

2 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Kilka wst pnych sªów: Denicja kowariancji i korelacji Kowariancja Liczba okre±laj ca zale»no± liniow mi dzy zmiennymi losowymi X i Y. cov(x, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )] Korelacja Wspóªczynnik korelacji liniowej Pearsona - unormowana kowariancja. Z Wikipedii: ρ X,Y = cov(x, Y ) σ X σ Y

3 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Wady wspóªczynnika korelacji liniowej Najcz ±ciej cytowane wady 1. Wspóªczynnik ten nie jest niezmienniczy wzgl dem przeksztaªce«monotonicznych. owo, korelacja mi dzy X i Y jest ró»na od korelacji mi dzy ln X i ln Y. 2. Cz sto ze wzgl du na rozkªad zmiennych, warto± korelacji jest bardzo ograniczona. owo, je±li ln X N(0, 1) oraz ln Y N(0, 4), to ρ XY ( 0.09, 0.66). 3. Z caªkowitej dodatniej zale»no±ci (monotonicznej) jednej zmiennej od drugiej nie wynika, i» ρ XY = 1. Podobnie w drug stron (z 1). 4. Zerowa warto± korelacji wcale nie oznacza niezale»no±ci zmiennych losowych (np. dla 2 wymiarowego rozkªadu t-studenta). 5. Cz sto nie da si poprawnie zdeniowa wspóªczynnika korelacji (gdy wariancje zmiennych losowych s niesko«czone). 6. Podatno± na próbki odstaj ce. 7. Nie jest zbyt 'odporna'.

4 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Co to s grube ogony? Kilka obrazków jednowymiarowy: pokaza w R. Wiele wymiarów Je»eli mamy model wielowymiarowy, to ªatwiej 'zapomnie ' o grubych ogonach. Pokaza w R.

5 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci ρ Spearmana Rangowanie Mamy np. 2 obserwacje z rozkªadu dwuwymiarowego (1, 5), (2, 3), (4, 6).. Zamiast rozwa»a bezpo±rednio warto±ci warto±ci, spróbujmy je uporz dkowa i rozwa»a miejsce danej warto±ci wzgl dem innych. Tzn: dla 'pierwszego' wymiaru dostajemy ( 1, 2, 3 ), dla drugiego ( 2, 1, 3 ). W tedy otrzymujemy próbk ( 1 3, 2 3 ), ( 2 3, 1 3 ), ( 3 3, 3 3 ). Dla takiej próbki liczymy standardowe ρ Pearsona. Otrzyman w ten sposób warto± nazywamy ρ Spearmana. Uwaga Jest to tzw. miara monotonicznej zgodno±ci. Opowiemy o tym dokªadniej w dalszej cz ±ci referatu.

6 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Czym jest kopuªa? Uproszczenie Ograniczymy si do dwóch wymiarów. Teoria wielowymiarowa jest bardzo podobna. Dystrybuanty brzegowe Zaªó»my,»e mamy dan par zmiennych losowych X, Y (okre±lon na R). Rozwa»my dwuwymiarow dystrybuant ª cz c X i Y dan wzorem: H(x, y) = P(X x, Y y) Jednowymiarowe dystrybuanty F (x) = P(X x) = H(x, ) oraz G(x) = P(Y y) = H(, y) nazywamy wtedy dystrybuantami brzegowymi. Czym jest kopuªa? Funkcj, która ª czy dystrybuant wielowymiarow z jej jednowymiarowymi dystrybuantami brzegowymi. Funkcj opisuj c zale»no± mi dzy zmiennymi.

7 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Denicja 2-kopuªy Denicja 2-kopuª nazywamy funkcj C : I 2 I, która speªnia nastepuj ce warunki: 1. Dla ka»dego u, v I, C(u, 0) = C(0, v) = 0, C(u, 1) = u oraz C(1, v) = v 2. Dla u 1, u 2, v 1, v 2 I takich,»e u 1 u 2, v 1 v 2 C jest 2-rosn ca. Mamy C(u 2, v 2) C(u 2, v 1) C(u 1, v 2) + C(u 1, v 1) 0 1 C(u,v) C(u,v)= 0 na = C(u,v)= u na = C(u,v)= v na = =

8 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Twierdzenie Sklara Twierdzenie (Sklar 1959) Niech H b dzie dystrybuant dwuwymiarow z funkcjami brzegowymi F oraz G. Istnieje wtedy kopuªa C taka,»e: x, y R : H(x, y) = C(F (x), G(y)) Ponadto: 1. Je»eli F i G s ci gªe, to C jest jedyna. W przeciwnym przypadku C jest jednoznacznie okre±lona na Ran(F ) Ran(G). 2. Podobnie je»eli C jest kopuª oraz F i G s dystrybuantami, to funkcja H zdeniowana powy»ej jest dystrybuant ª czn o funkcjach brzegowych F i G. Odwrócenie dystrybuant Zakªadaj c,»e dystrybuanty s ±ci±le rosn ce albo rozwa»aj c funkcje quasi-odwrotne dostajemy te» wzór: x, y R : C(x, y) = H(F ( 1) (x), G ( 1) (y))

9 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Miary monotonicznej zgodno±ci Najbardziej znane 1. ρ S Spearmana. Wspóªczynnik korelacji rang. Wzór w j zyku kopuª: ρ S = 12 uvdc(u, v) 3 = 12 C(u, v)dudv 3 I 2 I 2 2. τ Kendalla - stanowi ró»nic mi dzy prawdopodobie«stwem,»e porównywane zmienne b d ukªadaªy si w tym samym porz dku dla dwóch obserwacji, a prawdopodobie«stwem,»e uªo» si w przeciwnym porz dku. τ = P[(x 1 x 2)(y 1 y 2) > 0] P[(x 1 x 2)(y 1 y 2) < 0] W j zyku kopuª: τ = Q(C, C) = 4 C(u, v)dc(u, v) 1 I 2

10 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube ogony ρ Spearmana Czym jest kopuªa? Denicja kopuªy Twierdzenie Sklara Miary monotonicznej zgodno±ci Inne Zachowanie w ogonach - tail index tail index: C(v, v) λ L = lim P[F (X ) v G(Y ) v] = lim v 0 + v 0 + v upper tail index: λ U = lim P[F (X ) > v G(Y ) > v] = lim 1 2v + C(v, v) v 1 v 1 1 v PQD - Positive quadratic dependance P[X x, Y y] P[X x]p[y y] C(u, v) uv

11 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Zalety u»ycia funkcji Copula Kilka udogodnie«1. Twierdzenie sklara H(x, y) = C(F (x), G(y)) Pozwala nam to na osobne modelowanie rozkªadów brzegowych i funkcji copula. 2. Monotoniczne przeksztaªcenia C α(x )β(y ) = C XY monotoniczne przeksztaªcenia nie zmieniaj kopuªy. 3. Znamy du»o rodzin kopuª Tworzenie wielowymiarowych rozkªadów innych ni» normalne/eliptyczne [np. kopuªy archimedesowe (Gumbel, Clayton, Frank), vine copula, sko±na kopuªa t-studenta].

12 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kilka znanych rodzin kopuª Kopuªy zwi zane z rozkªadami eliptycznymi 1. Kopuªa Gaussa 2. Kopuªa t-studenta 3. Sko±na kopuªa t-studenta (praca, str 26) Zalety Cz sto znane procedury estymacji. Szczególnie dla kopuªy Gaussa. - np. przez macierz kowariancji, czy macierz z τ Kendalla. (potem b d algorytmy) Dosy dobrze opisuj zale»no± przy bardzo du»ej liczbie wymiarów. I numerycznie umo»liwiaj jej opis. (CDO, czy bankructwa) pakiet 'copula' w R oraz inne programy (szczególnie nansowe)

13 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kopuªy zwi zane z rozkªadami eliptycznymi Kopuªa Gaussa ) C Ga R (u) := Φ R (Φ 1 (u 1), Φ 1 (u 2),..., Φ 1 (u n) Rysunek: G sto± i próbka z 2-kopuªy Gaussa, ρ = 0.5 i ρ = 0.3

14 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kopuªy zwi zane z rozkªadami eliptycznymi Kopuªa t-studenta C Stud R,v (u) := t R,v (t 1 (u 1),..., t 1 (u n)) v v Rysunek: G sto± i próbka z 2-kopuªy t-studenta, (ρ = 0.5, v = 3) i (ρ = 0.1, v = 5)

15 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kopuªy zwi zane z rozkªadami eliptycznymi Sko±na kopuªa t-studenta Rysunek: Próbka 1000 elementowa dla sko±nej 2-kopuªy t-studenta, (v = 3, µ = (0.5, 0), ρ = 0.5, γ = (0.9, 0)) oraz (v = 4, µ = (0, 0), ρ = 0.5, γ = ( 0.7, 0.7))

16 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kilka znanych rodzin kopuª Kopuªy Archimedesowe C(u, v) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v)) ϕ : I [0, ], ci gªa, ±ci±le malej ca, ϕ(1) = 0, ϕ jest wypukªa. owe rodziny 1. Kopuªa Franka 2. Kopuªa Gumbela 3. Kopuªa Claytona Zalety Šatwa estymacja z u»yciem τ Kendalla. Du»o procedur estymacji. (równie» nieparametrycznych) Dobre dopasowanie do danych maªowymiarowych. Du»o uogólnie«(np.vine Copula)

17 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kopuªy Archimedesowe Kopuªa Franka C α(u 1,..., u n) = 1 α ln [1 + ( ) e Generator: ϕ α(u) = ln αu 1 α > 0 e α 1 n i=1 (e αu i 1) (e α 1) n 1 ] Rysunek: G sto± i próbka z 2-kopuªy Franka, α = 4 i α = 15

18 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kopuªy Archimedesowe Kopuªy Gumbela i Claytona Rysunek: Próbka 1000 elementowa dla jednoparametrowych 2-kopuª z rodziny Gumbela i Claytona (α = 2.5)

19 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Kilka znanych rodzin kopuª Inne Rodziny 1. Extreme-value Copulas (modelowanie rzadko wyst puj cych procesów) 2. Kopuªy zwi zane z funkcjami prze»ycia (Survival copulas) 3. Lévy copulas, Markov copulas, semimartingale copula (w nansach - dynamiczne podej±cie).

20 Wst p Rodziny kopuª Estymacja Estymacja - przegl d metod Podstawowy podziaª - MLE 1. MLE (Exact Maximum Likelihood Estimation) 2. IFM (Infrence Functions for Margins) 3. CML (Canonical Maximum Likelihood) Podstawowy podziaª - Inne 1. KA - τ Kendalla Clayton: τ = θ (τ [0, 1]\{0}) Gumbel: τ = 1 θ 1 (τ [0, 1]) 2. KA - Estymacja generatora (przez 'poziomice' kopuªy) 3. Du»o innych..

21 3-wymiarowy model stóp zwrotu 1. Mamy trzy akcje - PKO, PEKAO, ORBIS. Ich notowania w okre±lonym czasie 2. Chcemy stworzy 3-wymiarowy model logarytmicznych stóp zwrotu, zakªadaj c kopuª normaln i brzegi t-studenta. U»yjemy modelu GARCH(1,1)-Copula. GARCH(1,1): y t ψ t 1 N(0, h t) h t = α 0 + α 1y 2 t 1 + β 1h t 1

22 rodowisko R