Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia"

Transkrypt

1 Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

2 Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate 3. Cenzorowanie danych 4. Metoda Kaplana-Meiera 5. Metoda Flemingtona-Harringtona 6. Krzywe prze»ycia - testowanie ró»nic 7. Pakiet Survival Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 2/33

3 Wprowadzenie Gªówne cechy modelu prze»ycia: mo»e wystapi co najwy»ej jedno zdarzenie na 'przedmiot' badania (umrze mo»na tylko raz) rozkªad ma du» sko±no±, zazwyczaj dodatni mo»e wyst powa cenzorowanie danych (zdarzenia obserwujemy tylko do pewnego czasu) Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 3/33

4 Wprowadzenie Czemu tradycyjne metody mog zawodzi? zazwyczaj wyst puje zaªo»enie o normalno±ci (brak normalno±ci psuje wszystko) standardowo nie wyst puje cenzurowanie danych (cenzurowanie powoduje brak zgodno±ci estymatora) Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 4/33

5 Wprowadzenie Podstawowe poj cia: survival time - czas do momentu zaj±cia jakiego± zdarzenia failure - zdarzenie na które czekamy Przykªady: prze»ywalno± pacjentów chorych na raka dªugo±»ycia dªugo± trwania maª»e«stwa po ±lubie Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 5/33

6 Wprowadzenie - powi zanie czasu i wydarze«niech T b dzie (nieujemn ) zmienn losow oznaczaj c czas do interesuj cego nas zdarzenia (survival time). Wtedy dystrybuanta F (t) = P(T t), t > 0 oznacza prawdopodobie«stwo,»e nasze zdarzenie wydarzy si przed czasem t. W bioinformatyce (oraz biomedycynie) u»ywa si funkcji prze»ycia (survival function) S(t) = P(T t) = 1 F (t ) wtedy S(t) oznacza,»e obiekt przezyje do czasu t. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 6/33

7 Wprowadzenie - powi zanie czasu i wydarze«wªasno±ci S(t) = P(T t) = 1 F (t ): w t = 0 mamy S(t) = 1, czyli nikt jeszcze nie umarª w t = + mamy S(t) = 0, czyli ka»dy musi kiedy± umarze Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 7/33

8 Hazard rate Podstawowe poj cia: mortality rate - procent populacji, dla której b dzie miaªo miejsce oczekiwane zdarzenie (np. ±mier ) w okresie mi dzy t oraz t +1, dla których zdarzenie nie zaszªo do czasu t. hazard rate m(t) = P(t T < t + 1 T t) P(t T < t + t T t) λ(t) = lim t 0 t Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 8/33

9 Hazard rate Wzór: P(t T < t + t T t) λ(t) = lim t 0 t mo»na zapisa jako λ(t) = P(t T < t + t) lim t 0 t P(T t) = f (t) S(t) = S (t) S(t) = = d log[s(t)] dt Caªkuj c obie strony otrzymujemy skumulowan funkcj hazardu Λ(t) = t 0 λ(u)du = log[s(0)] log[s(t)] = log[s(t)] Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 9/33

10 Hazard rate Ze wzoru: mo»na wyliczy S(t) Λ(t) = log[s(t)] UWAGA!!! ( t ) S(t) = exp ( Λ(t)) = exp λ(u)du 0 hazard rate nie jest prawdopodobie«stwem, mo»e by wi kszy od 1. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 10/33

11 Hazard rate Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 11/33

12 Cenzurowanie danych Cenzurowane s te obserwacje, dla których oczekiwane zdarzenie nie miaªo miejsca do ko«ca rozpatrywanego czasu prawostronne cenzurowanie: je±li zdarzenie miaªo miejsce po czasie obserwacji lewostronne cenzurowanie: je±li zdarzenie miaªo miejsce przed rozpocz ciem obserwacji Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 12/33

13 Cenzurowanie danych Wykluczenie (truncation) w odróznieniu od cenzorowania nie po- lega na ograniczeniu wartosci zmiennej lecz na caªkowitym jej wy- kluczeniu z próbki. Oczywiscie takie wykluczenie nie powinno byc losowe. wykluczenie cenzurowanie Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 13/33

14 Metoda Kaplana-Meiera Zaªo»enie: czas prze»ycia jest niezale»ny od czynnika powoduj cego cenzurowanie danych. Estymator Kaplana-Meiera funkcji prze»ycia: Ŝ(t) = r j d j, dla0 t t + r j j:t j t gdzie {t j : j = 1, 2,..., n} - zbiór wszystkich momentów wyst pienia zdarzenia d j - liczba wyst pie«zdarzenia w chwili t j r j = n j w j - liczba obserwowanych obiektów zagro»onych w chwili t j n j - liczba obserwowanych obiektów w chwili t j w j - liczba obiektów ucietych w okresie (t j 1, t j ) t + - moment zako«czenia badania Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 14/33

15 Metoda Kaplana-Meiera Przykªad obliczania Ŝ: Czas Start Zdarzenie Uci te Zagro»enie Prawdop. prze»ycia Funkcja prze»ycia j n j d j w j r j P j = (r j d j )/r j S j = P j S j =28 (28-2)/28= x 1= =24 (24-1)/24= x 0.93= =21 (21-1)/21= x 0.89= =18 (18-1)/18= x 0.85=0.80 itd. Tablica : Mark Stevenson, An Introduction to Survival Analysis, s. 7. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 15/33

16 Metoda Kaplana-Meiera Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 16/33

17 Metoda Flemingtona-Harringtona Zale»no± mi dzy funkjcj prze»ycia, a skumulowanym hazardem ma posta : S(t) = exp ( Λ(t)) Estymator Nelsona-Aalena skumulowanego hazardu ma posta : Λ(t) = j:t j t d j r j, 0 t t + gdzie t j, r j, d j - jak w przypadku estymatora Kaplana-Meiera. Estymator Flemingtona-Harringtona funkcji prze»ycia otrzymamy poprzez podstawienie estymatora Nelsona-Aalena do funkcji skumulowanego hazardu Š(t) = exp ( Λ(t)) Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 17/33

18 Porównanie estymatorów KM i FH Dla dowolnego t mamy oszacowanie Š(t)=exp ( Λ(t)) = exp = j:t j t exp ( dj r j j:t j t ) j:t j t d j = r j ( 1 d ) j = r Ŝ(t) j Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 18/33

19 Parametry funkcji prze»ycia Wariancja hazardu skumulowanego: posta Greenwooda: j posta Aalena: j posta Kleina: j d j rj 2 d j (r j d j ) r 2 j d j r j (r j d j ) Zale»no± wariancji funkcji przezycia od wariancji hazardu skumulowanego: var(ŝ(t)) = Ŝ 2 (t)var( Λ(t)) Do obliczania wariancji Λ - preferowana posta Aalena; Do obliczania wariancji Ŝ - posta Greenwooda podstawiona do wzoru powy»ej. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 19/33

20 Parametry funkcji prze»ycia redni czas przetrwania: gdzie µ = t + 0 Ŝ(t)dt = m (t j t j 1 )Ŝ(t j) i=1 t 0 = 0 - pocz tek badania t m = t + - moment zako«czenia badania Zakªadamy,»e Ŝ(t) = 0 dla t t+ estymator µ mo»e by obci»ony. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 20/33

21 Krzywe prze»ycia - testowanie ró»nic Po co testujemy ró»nice krzywych prze»ycia? Poniewa» szukamy odpowiedzi na pytania: Czy dªu»ej»yj pacjenci poddani jednej terapii, czy drugiej? Czy dªugo± trwania maª»e«stwa zale»y od statusu maj tkowego maª»onków? itd. Szukamy czynników, które wpªywaj na prze»ycie. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 21/33

22 Krzywe prze»ycia - testowanie ró»nic Brak obserwacji cenzurowanych uzywamy standardowych nieparametrycznych testów do porównania 2 funkcji prze»ycia dla 2 grup. Grupy: niezale»ne: np. test serii, test U Manna-Whitney'a zale»ne: np. test znaków Wyst puj obserwacje cenzurowane: Log-rank test test Breslow'a Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 22/33

23 Krzywe prze»ycia - testowanie ró»nic Analiza oparta jest na momentach, w których obserwujemy zdarzenia. Dla kazdej takiej chwili liczymy zaobserwowana oraz oczekiwana liczbe zdarzen w kazdej grupie. O t1, O t2 s sumami obserwowanych zdarzen we wszystkich momentach w grupie 1. i 2. odpowiednio; E t1, E t2 s sumami oczekiwanych zdarzen we wszystkich momentach w grupie 1. i 2. odpowiednio; Statystyka testowa: L = (O t1 E t1 ) 2 E t1 + (O t2 E t2 ) 2 E t2 L χ 2 1 Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 23/33

24 Pakiet survival U»yteczne funkcje pakietu survival: Surv - tworzy obiekt typu Surv survt - oblicza m.in. wartosci funkcji prze»ycia, które nastepnie mo»na przedstawic w formie krzywej prze»ycia. survdi - testuje ró»nice mi dzy krzywymi prze»ycia Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 24/33

25 Pakiet survival Skªadnia Surv: >Surv(time,event) gdzie time - zmienna reprezentuj ca dªugo± czasu obserwacji obiektów event - zmienna zero-jedynkowa okre±laj ca, czy dla danego obiektu ze zbioru danych wyst piªo w okresie obserwacji badane zdarzenie Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 25/33

26 Pakiet survival Skªadnia survt: >survt(formula,data,type,conf.int,error) gdzie formula - formuªa postaci ob. Surv var1+var2+...+vark data - nazwa uzytego w analizie zbioru danych type - metoda estymacji funkcji prze»ycia, do wyboru: 'kaplanmeier', 'eming-harrington'. Domyslnie u»ywana jest funkcja Kaplana-Meiera. conf.int - poziom ufno±ci dla przedziaªów ufno±ci; domyslnie error - metoda obliczania odchylenia standardowego; do wyboru: greenwood, tsiatis; domy±lnie greenwood. Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 26/33

27 Pakiet survival Skªadnia survdi : >survdi(formula,data,rho=0) gdzie formula - formuªa postaci ob. Surv var1+var2+...+vark data - nazwa uzytego w analizie zbioru danych rho - warto± okre±laj ca typ testu Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 27/33

28 Pakiet survival Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 28/33

29 Pakiet survival Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 29/33

30 Pakiet survival Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 30/33

31 Pakiet survival Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 31/33

32 Bibliograa Branicka, P kalski - Survival Analysis, Seminarium 2008 UW Niemyska, raªek - Krzywe prze»ycia - testowanie ró»nic, Seminarium 2008 UW Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 32/33

33 Dzi kuj za uwag Tomasz Suchocki, Podstawy... Analiza prze»ycia 33/33

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia. Tomasz Suchocki

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia. Tomasz Suchocki Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate 3. Cenzurowanie danych 4. Metoda Kaplana-Meiera i Flemingtona-Harringtona 5. Krzywe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 1 13 pa¹dziernik 2014 1 / 49 Plan wykªadu 1. Analizy prze»ycia na przykªadach 2. Podstawowe idee statystyki matematycznej wykorzystywane w analizie

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Krzywe przeżycia - testowanie różnic

Krzywe przeżycia - testowanie różnic 5 listopada 2008 Podstawowe pojęcia Przypomnienie Cel testowania Badamy np.: przeżywalność pacjentów po operacji; długość trwania małżeństwa. T zmienna losowa oznaczająca czas do interesującego nas zdarzenia

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia Survival Analysis

Analiza przeżycia Survival Analysis Analiza przeżycia Survival Analysis 2013 Analiza przeżycia Doświadczenie dynamiczne - zwierzęta znikają lub pojawiają się w czasie doświadczenia Obserwowane zdarzenia: zachorowanie, wyzdrowienie, zejście,

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia?

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia? ANALIZA PRZEŻYCIA Analiza przeżycia Czym zajmuje się analiza przeżycia? http://www.analyticsvidhya.com/blog/2014/04/survival-analysis-model-you/ Analiza przeżycia Jest to inaczej analiza czasu trwania

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia Survival Analysis

Analiza przeżycia Survival Analysis Analiza przeżycia Survival Analysis 2016 Analiza przeżycia Analiza takich zdarzeń jak zachorowanie, wyzdrowienie, zejście, ciąża, Ważne jest nie tylko wystąpienie zdarzenia, ale również czas do momentu

Bardziej szczegółowo

Informatyka w selekcji - Wykªad 1

Informatyka w selekcji - Wykªad 1 Informatyka w selekcji - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1 Podstawowe informacje o przedmiocie 2 Wst p do pakietu

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Kasietczuk Magdalena. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska Katedra Kształtowania i Ochrony Środowiska

Mgr inż. Kasietczuk Magdalena. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska Katedra Kształtowania i Ochrony Środowiska Akademia Górniczo Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie Pakiet SURVIVAL w R Mgr inż. Kasietczuk Magdalena Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska Katedra Kształtowania i Ochrony Środowiska Kraków,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Metody analizy funkcji przeżycia

Metody analizy funkcji przeżycia Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.

Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia, teoria i przykład zastosowania w badaniu długości życia pacjentek z rakiem piersi

Analiza przeżycia, teoria i przykład zastosowania w badaniu długości życia pacjentek z rakiem piersi Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Aleksandra Urbaniec Nr albumu: 220775 Analiza przeżycia, teoria i przykład zastosowania w badaniu długości życia pacjentek z rakiem piersi

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH Nazwa w języku angielskim STATISTICAL DATA ANALYSIS Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Przykªadowe analizy. Grzegorz Kemski. 26 listopada 2008

Przykªadowe analizy. Grzegorz Kemski. 26 listopada 2008 26 listopada 2008 Plan wykªadu Prezentacja danych i metod statystycznych u»ytych w artykuªach: 'Why living-donor renal transplant yields better outcomes than cadaver renal transplant?' L. Guirado, E. Vela,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)

Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 16 kwietnia 2016 Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) 16 kwietnia 2016 1 /

Bardziej szczegółowo

Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów

Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów Mikoªaj Herbst EUROREG UW Piotr Wójcik WNE UW Konferencja Ministerstwa Rozwoju Regionalnego Budowanie spójno±ci terytorialnej i przeciwdziaªanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski Funkcje charakteryzujące proces eksploatacji Dr inż. Robert Jakubowski Niezawodność Niezawodność Rprawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od do t cechy funkcjonalne statku powietrznego Ubędą się mieścić

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami Załącznik nr 1 do raportu końcowego z wykonania pracy badawczej pt. Handel zagraniczny w województwach (NTS2) realizowanej przez Centrum Badań i Edukacji Statystycznej z siedzibą w Jachrance na podstawie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Dwuczynnikowa analiza wariancji (2-way

Bardziej szczegółowo

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz

Bardziej szczegółowo

Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem

Metody stochastyczne w zarz dzaniu ryzykiem O niegaussowskiej naturze danych Instytut Matematyczny Politechnika Krakowska Kraków Kraków,8 grudnia 2012 Plan referatu I 1 Uj cie stochastyczne Zwrot arytmetyczny i geometryczny Poj cie kwantyla Jak

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE CZASU TRWANIA MODEL PROPORCJONALNEGO HAZARDU COXA

MODELOWANIE CZASU TRWANIA MODEL PROPORCJONALNEGO HAZARDU COXA MODELOWANIE CZASU TRWANIA MODEL PROPORCJONALNEGO HAZARDU COXA Grzegorz Harańczyk, StatSoft Polska Sp. z o.o. W wielu zastosowaniach analiza czasu trwania pewnego zjawiska jest interesującym przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska

WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska Temat wiczenia: Wyznaczanie stosunku przekrojów czynnych na aktywacj neutronami termicznymi

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1 E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,...,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

Szkolenie Analiza przeżycia

Szkolenie Analiza przeżycia Analiza przeżycia program i cennik Łukasz Deryło Analizy statystyczne, szkolenia www.statystyka.c0.pl Analiza przeżycia - program i cennik Analiza przeżycia Co obejmuje? Analiza przeżycia (Survival analysis)

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623

Twierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Chess. Joanna Iwaniuk. 9 marca 2010

Chess. Joanna Iwaniuk. 9 marca 2010 9 marca 2010 Plan prezentacji 1. Co to jest? 2. Jak u»ywa? 3. Prezentacja dziaªania 4. kontrola przeplotów model checking odtwarzanie wadliwego wykonania 5. Ogólna idea Wynik dziaªania Co to jest? program

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 0/03 WydziałZarządzania i Komunikacji Społecznej Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

AUTOR MAGDALENA LACH

AUTOR MAGDALENA LACH PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo