Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym.

Transkrypt

1 Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich, dla których forma zdaniowa: n staje się zdaniem logicznym prawdziwym. Odpowiedź uzasadnij. 4 n 7 Zadanie. ( pkt. ) 8 Wykaż, że liczba 3 8 jest podzielna przez 9. Zadanie 3. ( 3 pkt. ) 5 Usuń niewymierność z mianownika ułamka: Zadanie 4. ( 3 pkt. ) Liczby a, b, c, d, e, f, g to różne liczby ze zbioru,, 3, 4, 5, 6, 7. Wykaż, że liczba a b c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 jest liczbą parzystą. Zadanie 5. ( 4 pkt. ) W pięciokącie ABCDE wpisanym w okrąg przekątna AC przechodzi przez środek okręgu i zawiera się w dwusiecznej kąta EAB. Wykaż, że zarówno pole jak i obwód trójkąta ABC są mniejsze od odpowiednio pola i obwodu czworokąta ACDE. Zadanie 6. ( 4 pkt. ) Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których liczba n 4n 9 jest podzielna przez n. Zadanie 7. ( 4 pkt. ) W kwadrat o boku długości a wpisano koło K. Oblicz pole koła stycznego zewnętrznie do koła K i do dwóch boków kwadratu. Zadanie 8. ( 4 pkt. ) Wykaż, że jeżeli pomiędzy każde dwie kolejne cyfry liczby wpiszemy tę samą liczbę zer to otrzymamy kwadrat pewnej liczby naturalnej. Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym. Wykaż, że R r 4. Zadanie 0. ( 5 pkt. ) K-tą iteracją funkcji f k N nazywamy funkcję f k taką, że wartość tej funkcji dla dowolnego argumentu wyznaczamy w następujący sposób: k f f f f... f f.... Wyprowadź wzór na f f k razy. Oblicz f k w zależności od k jeżeli Życzymy powodzenia!

2 Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa II z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Wyznacz wszystkie liczby całkowite nieujemne n spełniające nierówność: n n 3 5. Zadanie. ( pkt. ) Wyznacz cyfry X, Y, Z takie, że XYZ ZX ZZX. (Uwaga: zapis ABC oznacza liczbę: 00A 0B C.) Zadanie 3. ( 3 pkt. ) Reszta z dzielenia wielomianu W przez resztę z dzielenia wielomianu W przez 4. 4 równa jest 3 6. Wyznacz Zadanie 4. ( 3 pkt. ) W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB o długościach 4 3 AD, DB 4 3. Oblicz długości odcinków, na które symetralna boku AB dzieli bok 3 BC wiedząc, że BC 8. Zadanie 5. ( 4 pkt. ) Wykaż, że nie istnieją liczby całkowite, y, z, dla których prawdziwa jest równość: y 4z 3. Zadanie 6. ( 4 pkt. ) Wiadomo, że rozwiązaniami równania a b 0 są liczby naturalne dodatnie. Wykaż, że liczba a b jest złożona. Zadanie 7. ( 4 pkt. ) Rozwiąż równanie: 6 6. Zadanie 8. ( 4 pkt. ) 3 Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 3 y y Zadanie 9. ( 5 pkt. ) wiedząc, że y 4. Dana jest funkcja g f. Określ dziedzinę funkcji g D g wiedząc, że f 4 ( - cecha liczby - jest to największa liczba całkowita, która nie jest większa od ), a następnie narysuj wykres funkcji f dla D g.

3 Zadanie 0. ( 5 pkt. ) Prostokąt ABCD o bokach długości AB 8 i BC zginamy wzdłuż prostej AP tak, aby pole trójkątów PCE i EB F były równe. Wyznacz stosunek pola trójkąta ADF do pola prostokąta ABCD. Rysunek pomocniczy: Życzymy powodzenia!

4 Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa III z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Oceń wartość logiczną zdania: Istnieje trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi, z których każda przy dzieleniu przez 3 daje resztę. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie. ( pkt. ) log Sporządź wykres funkcji: f. Zadanie 3. ( 3 pkt. ) Wiadomo, że sin7 a. Wyznacz przy pomocy a wartość: cos3. Zadanie 4. ( 3 pkt. ) W pewnym turnieju szachowym każdy zawodnik rozegrał dokładnie jedną partię z każdym innym uczestnikiem turnieju. Trzech szachistów przegrało tylko po jednej partii, a jeden przegrał wszystkie. Pozostali uczestnicy turnieju wygrali dokładnie po partie. Ilu szachistów brało udział w turnieju, jeżeli wiadomo, że żadna partia nie zakończyła się remisem? Zadanie 5. ( 4 pkt. ) 4 n 3n Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej nie mniejszej niż ułamek: 4 n n n jest ułamkiem właściwym. Zadanie 6. ( 4 pkt. ) Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa, a kąt między nimi zawarty ma miarę 0. Dla jakich długości boków obwód trójkąta jest najmniejszy? Zadanie 7. ( 4 pkt. ) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: m sin 3m 4sin ma rozwiązanie w przedziale:,. Zadanie 8. ( 4 pkt. ) W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B. Dwusieczna kąta przy wierzchołku C przecina bok AB w punkcie D. Wykaż, że AC AB AD. Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Liczby naturalne dodatnie pogrupowano w następujący sposób:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, itd... W której grupie jest liczba 005? Oblicz sumę liczb z tej grupy. Oblicz sumę liczb z n-tej grupy. Zadanie 0. ( 5 pkt. ) Ciąg a n określony jest rekurencyjnie: a a 3 4 n n a n dla n Sformułuj hipotezę dotyczącą wzoru na n-ty wyraz ciągu oraz udowodnij słuszność hipotezy stosując zasadę indukcji matematycznej. Życzymy powodzenia!

5 Propozycja punktowania zadań dla klas pierwszych z rozszerzonym programem nauczania matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych. Zad.( pkt.) Jeżeli uczeń wyznaczy tylko zbiór: 5, 6, 7 Zad. (pkt.) Jeżeli skomentuje poprawnie ten wybór (Razem nie więcej niż punkt) Jeżeli uczeń właściwie ustali zbiór:,, 3, 4, 5, 6, 7 Jeżeli skomentuje poprawnie ten wybór 8 Zapisanie w postaci iloczynu: Zapisanie w postaci iloczynu: Zapisanie w postaci iloczynu: i udzielenie odpowiedzi Zad 3.(3 pkt.) 3 3 Rozszerzenie ułamka przez 3 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i 3 3 zapisanie liczby w postaci 3 Zad 4. (3 pkt.) Zauważenie, że w podanym zbiorze jest więcej liczb nieparzystych niż parzystych zatem w jednym z nawiasów otrzymamy różnicę liczb nieparzystych czyli liczbę parzystą Sformułowanie wniosku: Iloczyn liczb, z których jedna jest parzysta jest liczbą parzystą Zad 5. (4 pkt.) Sporządzenie rysunku Zauważenie, że trójkąty AEC i ABC są przystające, zatem mają równe pola Zapisanie: P P P p P p AEDC AEC EDC ABC EDC ABC Stwierdzenie, że z nierówności trójkąta mamy: ED CD EC BC co dowodzi odpowiedniej nierówności między obwodami czworokąta ACDE i trójkąta ABC. Zad 6. (4 pkt.) Zapisanie sumy n 4n 9 w postaci n n 3 6 ewentualnie zapisanie ułamka: n n, w postaci n 3 n n Zapisanie założenia: n Zauważenie, że n n 4n 9 n 6 co oznacza, że:

6 n 6, 6, 3, 3,,,, Wyznaczenie n spełniających warunki zadania: n 5, 7,, 4,, 3, 0, Zad 7. (4 pkt.) Sporządzenie rysunku i przyjęcie stosownych oznaczeń Zapisanie zależności między a i r w postaci równania np: a a,5 r r Wyznaczenie r z równania: r a 3 Uwaga! (Istnieje wiele metod uzależnienia r od a. Proponujemy przyznać,5 punktu za poprawność metody wyznaczenia r oraz punkt za poprawność rachunkową.) Wyznaczenie pola koła Zad 8. (4 pkt.) Zapisanie liczby w postaci (wstawiamy między cyfry,, po n zer) Sprowadzenie liczby do postaci: 0 0 Zapisanie liczby w postaci: 0 n n n Zad 9. (5 pkt.) Sporządzenie rysunku i przyjęcie stosownych oznaczeń Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Proponujemy: Za poprawność metody rozwiązywania zadania Za poprawność rachunkową Za przedstawienie stosunku długości promieni w wymaganej postaci Uwaga! Uważamy, że jeżeli uczeń zostawi wynik zawierający np: cos, 5 to za całość rozumowania możemy przyznać maksymalnie punkty: punkt za rysunek i jeden punkt za wynik Zad 0. (5 pkt.) Wyznaczenie f f, f f f. Zapisanie wzoru funkcji f dla k 3n, n N k : k f dla k 3n, n N,5 dla k 3n, n N Zauważenie, że liczba 004 jest podzielna przez 3 Obliczenie i udzielenie odpowiedzi: f

7 Propozycja punktowania zadań dla klas drugich z rozszerzonym programem nauczania matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych. Zad.( pkt.) Zauważenie, że Rozwiązanie nierówności: n 4. Udzielenie odpowiedzi: n 0,,, 3. Zad. (pkt.) Udzielenie poprawnej odpowiedzi: X 9, Y 7, Z 8. Uwaga! Uważąmy, że za rozwiązania nie dające prawidłowego wyniku nie przyznajemy punktów. Zad 3.(3 pkt.) Zauważenie, że reszta z dzielenia wielomianu W przez 4 to reszta z dzielenia 3 6 przez 4. Podzielenie i wyznaczenie reszty: R 3. Zad 4. (3 pkt.) Uwaga! Zadanie można rozwiązać wieloma metodami. Proponujemy: Za zastosowanie prawidłowej metody rozwiązania zadania Za poprawność rachunkową i udzielenie odpowiedzi. ( Długości odcinków równe są odpowiednio: 8 6, ) 3 3 Zad 5. (4 pkt.) Wykazanie, że gdy, y są parzyste to równość nie jest spełniona Wykazanie, że gdy, y są nieparzyste to równość nie jest spełniona Wykazanie, że gdy, y są różnej parzystości to równość nie jest spełniona Sformułowanie ostatecznego wniosku. Zad 6. (4 pkt.) Skorzystanie ze wzorów Viéte a: b, a. Wyznaczenie a b. Zapisanie a b w postaci: Stwierdzenie, że a b jest liczbą złożoną, zauważenie, że dla dowolnych, naturalnych dodatnich liczby i są większe od Zad 7. (4 pkt.) Zapisanie założenia 0. Zapisanie równania w postaci: 6 6

8 Zapisanie założenia 6. 4 Zapisanie równania w postaci: 30 0 Rozwiązanie powyższego równania:,5 3. Wybranie spełniającego warunek zadania: 3. Zad 8. (4 pkt.) Zapisanie danego wyrażenia w postaci funkcji jednej zmiennej: f Zad 9. (5 pkt.) Powołanie się na własności funkcji kwadratowej, zauważenie, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla odciętej wierzchołka paraboli będącej wykresem danej funkcji. Obliczenie najmniejszej wartości tej funkcj: 0 i udzielenie odpowiedzi Rozwiązanie nierówności f 0, 3. Za podanie rozwiązania w postaci:, lub, proponujemy przyznać pkt, w innych sytuacjach przyznajemy 0 punktów Sporządzenie właściwego wykresu funkcji: 3 Uwaga! Za sporządzenie poprawnego wykresu funkcji: dla, lub, proponujemy przyznać pkt. Za sporządzenie poprawnego wykresu w innych przedziałach proponujemy przyznać maksymalnie punkt. Zad 0. (5 pkt.) Zauważenie, że EFB ' PEC. Zauważenie, że EFB ' ~ ADF. Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć DF. Rozwiązani powyższego układu równań, obliczenie DF 9.,5 Obliczenie stosunku pól: 4.

9 Propozycja punktowania zadań dla klas trzecich z rozszerzonym programem nauczania matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych. Zad.( pkt.) Wykazanie, że reszta z dzielenia a b przez 3 jest równa Wykazanie, że reszta z dzielenia c przez 3 jest równa. Udzielenie odpowiedzi: Zdanie jest fałszywe. Zad. (pkt.) Określenie dziedziny funkcji f: D f \ Zapisanie funkcji f w postaci: f. Narysowanie wykresu funkcji f. Zad 3.(3 pkt.) Zapisanie cos3 cos 50 7 i zastosowanie wzoru na cosinus różnicy kątów. Obliczenie cos50. Obliczenie sin50. Obliczenie cos7 a. Obliczenie cos3 a 3 a Zad 4. (3 pkt.) Wyznaczenie liczby rozegranych partii gdy w turnieju uczestniczy n zawodników: n n. Ustalenie założenia: n 5, n N. Wyznaczenie liczby partii wygranych przez zawodników: 3 n n 4 Zad 5. (4 pkt.) Zapisanie równania: n n 3 n n 4. Rozwiązanie powyższego równania: n 4 n 7 Wskazanie n sełniającego warunki zadania: n 7. Zapisanie licznika w postaci iloczynu: n n n n.,5 Zapisanie mianownika w postaci iloczynu: n n n n. Zapisanie ułamka w postaci: n n n n Uzasadnienie, że ułamek jest właściwy. Zad 6. (4 pkt.)

10 Wyznaczenie długości boku przeciwległego kątowi o mierze 0 : a c c 4, wykonanie założenia: c 0,. Stwierdzenie że obwód trójkąta jest najmniejszy, gdy c c 4 przyjmuje wartość najmniejszą (powołanie się na własności funkcji kwadratowej, ewentualnie zastosowanie rachunku różniczkowego do,5 wyznaczenia minimum funkcji ) Wyznaczenie c, dla którego obwód jest najmniejszy: c Wyznaczenie długości boków trójkąta o najmniejszym obwodzie:,, 3. Zad 7. (4 pkt.) 3m Zapisanie równania m sin 3m 4sin w postaci: sin dla m 4 m m. Zauważenie,że dla m m równanie: m sin 3m 4sin jest sprzeczne 3m Zauważenie, że równanie sin ma rozwiązanie w przedziale m 4 3m, gdy 0 m 4 3m Rozwiązanie nierówności: m 4 0: m, 0, 3m Rozwiązanie nierówności: m 4 : m, 4,,. Wyznaczenie m spełniających warunki zadania: m, 4 0,.,5 Zad 8. (4 pkt.) Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń. Zauważenie, że w trójkącie ACD ADC ACD. Zauważenie podobieństwa trójkątów ABC i ADC. (powołanie się na odpowiednią cechę podobieństwa) AC AB Zapisanie proporcji: AD AC. Przekształcenie proporcji do postaci AC AB AD. Zad 9. (5 pkt.) Ustalenie, że liczba 005 jest w 63 grupie (wraz z uzasadnieniem) Obliczenie sumy liczb tej grupy: 5055 Obliczenie sumy liczb n - tej grupy: n n Sn wraz z uzasadnieniem

11 Zad 0. (5 pkt.) Postawienie hipotezy: n N 3 n : an. (Za obliczenie kilku 8n,5 początkowych wyrazów ciągu bez postawienia prawidłowej hipotezy proponujemy przyznać punktu.) Dowód I kroku indukcyjnego Dowód II kroku indukcyjnego,5 Powołanie się na zasadę indukcji matematycznej celem stwierdzenia prawdziwości hipotezy.