Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus)

Transkrypt

1 Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Nazwa Przedmiotu: Analiza matematyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: podstawowy Rok studiów, semestr: rok pierwszy, semestr I Liczba punktów ECTS: 8 Metody nauczania: 45 godz. wykład, 45 godz. ćwiczeń Język wykładowy: polski Imię i nazwisko wykładowcy: dr Krzysztof Kucab Wymagania wstępne: Ukończony kurs matematyki na poziomie szkoły średniej. Cele przedmiotu (efekty kształcenia i kompetencji): Poznanie i opanowanie rachunkowe narzędzi analizy matematycznej stosowanych w fizyce. Po zakończeniu kursu student posiada wiadomości dotyczące rachunku zbiorów, ciągów, funkcji jednej zmiennej, w tym: pochodnych, podstawowych twierdzeń związanych z funkcjami, potrafi badać przebieg zmienności funkcji. Student posiada także wiedzę na temat rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej oraz zastosowania całek w fizyce. Omówione zostaną także szeregi funkcyjne i równania różniczkowe zwyczajne. LP. Treści merytoryczne przedmiotu LICZBA GODZIN Wykład 1. Wiadomości wstępne. Oznaczenia logiczne, wartości logiczne, kwantyfikatory. Zbiory. Rachunek zbiorów. 2. Zasada indukcji zupełnej. Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych. Odwzorowania i ich własności. Funkcje. Działania na funkcjach.. Ciągi. Definicja granicy ciągu liczbowego; własności ciągów zbieżnych (ograniczoność, jednoznaczność granicy, zbieżność podciągów). 4. Funkcje własności podstawowe. Granice funkcji, ciągłość, asymptoty. 5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Definicja pochodnej; styczna. Twierdzenia o różniczkowaniu sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej. Twierdzenie Rolle a i Lagrange a. Reguła de L Hospitala. Pochodne rzędów wyższych niż jeden. wzór Taylora. Badanie przebiegu zmienności funkcji.. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. Funkcje pierwotne. Twierdzenie o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez podstawienie. Definicja Riemanna całki oznaczonej. Całki niewłaściwe. Kryteria zbieżności. Zastosowanie całek oznaczonych w geometrii i fizyce.

2 7. Szeregi Definicja szeregu liczbowego. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Rodzaje zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych i kryteria zbieżności takich szeregów. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora. Szereg Fouriera. 8. Równania różniczkowe zwyczajne Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego. Proste typy równań różniczkowych. Równania i układy równań różniczkowych liniowych (o stałych współczynnikach). Klasyfikacja równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu. Zależność rozwiązań od warunków początkowych. Razem Ćwiczenia 1. Rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów: - sprawdzanie tautologii, wypowiadanie twierdzeń; - przekształcenia wyrażeń zawierających kwantyfikatory; - zbiór liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych; - dowodzenie zależności spełnianych przez zbiory; - badanie ograniczeń zbiorów oraz ich kresów górnych i dolnych. 2. Indukcja zupełna, ciągi liczbowe: - dowodzenie twierdzeń przy pomocy indukcji zupełnej; - ciągi ograniczone, monotoniczność ciągu, granica właściwa i niewłaściwa, arytmetyka granic ciągów, twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o dwóch ciągach, liczba e.. Funkcje wiadomości podstawowe: - funkcje elementarne własności; - funkcja okresowa, parzysta, nieparzysta, ograniczona, monotoniczna; - funkcja złożona; - funkcja odwrotna. 4. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: - kolokwium z działów 1, 2 i (2 godz.) - różniczkowanie sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia oraz funkcji odwrotnej; - twierdzenie Rolle a i Lagrange a; - reguły de L Hospitala; - pochodne rzędów wyższych niż jeden; - wzór Taylora; - badanie prze biegu zmienności funkcji. 5. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: - kolokwium z działu 4. (2 godz.) - funkcje pierwotne; - podstawowe metody całkowania (całkowanie przez części oraz przez podstawienie); - całka oznaczona; - zastosowanie całek oznaczonych; - całki niewłaściwe; kryteria zbieżności. 45h 12

3 . Szeregi: - kolokwium z działu 5. (2 godz.) - kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych; - rodzaje zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych i kryteria zbieżności takich szeregów; - ciągi i szeregi funkcyjne; - szeregi potęgowe; - szereg Taylora; - szereg Fouriera. 7. Równania różniczkowe zwyczajne - proste typy równań różniczkowych; - równania i układy równań różniczkowych liniowych (o stałych współczynnikach); - zależność rozwiązań od warunków początkowych. Razem 45h Metody oceny: Ćwiczenia: Zaliczone trzy kolokwia, pozytywne odpowiedzi przy tablicy. Egzamin: Do egzaminu można przystąpić po zaliczeniu ćwiczeń rachunkowych. Egzamin będzie się składał z części pisemnej (h) i ustnej. Spis zalecanych lektur: 1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, GiS, Wrocław W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w zadaniach, PWN, M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, GiS, Wrocław L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, UMK, Toruń H.J. Musielakowie, Analiza matematyczna, tom 1, UAM, Poznań 1. /podpis prowadzącego/ /podpis Kierownika Zakładu/

4 II. (B) Opis poszczególnych przedmiotów Podstawowy, średnio-zaawansowany, zaawansowany. II.B.4 II.B.7 Poziom przedmiotu (level of course) Metody nauczania (teaching methods) Poziom można zdefiniować przy pomocy takich czynników jak: * Warunki wstępne (dopuszczające) * Efekty kształcenia (learning outcomes) * Informacje bibliograficzne Szczegółowe informacje na temat form zajęć/metod nauczania, w tym liczba godzin tygodniowo oraz całkowita liczba tygodni obejmujących: * wykłady * konsultacje (zarówno regularne, jak też organizowane w indywidualnych przypadkach) * seminaria i warsztaty grupowe * praca w laboratorium * projekty i prace terenowe * inne ćwiczenia/zajęcia praktyczne * formy kształcenia na odległość (jeśli są stosowane) * inne metody/formy II.B.10 Wymagania wstępne (prereguisites) Zakres wiadomości/ umiejętności/ kompetencji, jakie powinien już posiadać student przed rozpoczęciem nauki przedmiotu, a także specyfikacja innych przedmiotów lub programów, które należy zaliczyć wcześniej. II.B.11 II.B.12 II.B.1 Cele przedmiotu (wskazane jest określenie celów jako efektów kształcenia i kompetencji) (objectives of the course, preferably expressed in terms of learning outcomes and competences) Treści merytoryczne przedmiotu (course contents) Metody oceny (assessment methods) Opis zakładanych kompetencji i umiejętności jakie student nabywa w wyniku zaliczenia przedmiotu. Jasny i zwięzły opis treści przedmiotu pozwalający określić jego zakres tematyczny. Powinien się tu znaleźć dokładny opis metod oceny pracy studenta, w ramach danego przedmiotu, z uwzględnieniem takich elementów jak forma, czas trwania, kalendarz (okres, częstotliwość), a także terminy zapisów na egzaminy i sesji egzaminacyjnych (także terminy odbiegające od regulaminowych). Do najbardziej popularnych form pomiaru/oceny pracy studenta należą: * egzaminy ustne lub pisemne * eseje/ wypracowania * dysertacje * prace semestralne/ roczne/ dyplomowe * projekty i ćwiczenia praktyczne * praktyki * ocenianie ciągłe

5 II.B.14 Spis zalecanych lektur (recommended reading) Wykaz lektur i innych materiałów zalecanych studentom podejmującym naukę przedmiotu.