Wykład 5. Zderzenia w mechanice

Transkrypt

1 Wykład 5 Zderzena w echance Zderzene nazyway zjawsko, wskutek którego zachodzą raptowne zany ruchu dwóch albo klku zderzających sę cał. Warto podkreślć, że przy zderzenu sły, które dzałają ędzy cząstka występują przez bardzo krótk czas, tak że ożey zawsze powedzeć, że to było do zderzena, a to po zderzenu. Sły krótkotrwałe pulsowe, które dzałają przy zderzenu nazyway sła zderzenowy. Popęd sły Poneważ sły zderzenowe dzałają przez bardzo krótk czas t, to korzystając z drugego prawa Newtona ożey napsać, że zana pędu p cała podczas dzałana sł zderzenowych F wynos p p f p F t. V. Tu wskaźnk f odnoszą sę do czasu przed po zderzenu. Welkość F t popędu sły. A zate, zana pędu cała pod wpływe zderzenowej sły F popędow sły. nos nazwę jest równa Rozważy teraz zderzene poędzy dwea cząstka o asach rys.v. RysV. Na podstawe wzoru V. ożey zapsać, że zany pędów cząstek pod wpływe zderzena wynoszą p F t, V. p F t, V.3 gdze F F są, odpowedno sły zderzenowe, dzałające na perwsze druge cało. Zgodne z trzecą zasadą Newtona sły zderzenowe F F uszą być równe, względe wartośc bezwzględnej być przecwne do sebe skerowane F F. V.4 Borąc pod uwagę wzór V.4 otrzyujey, że całkowta zana pędu zderzena równa sę zeru P układu w wynku 45

2 P p p 0. V.5 Wzór V.5 wyraża, prawo zachowana całkowtego pędu cząstek podczas zderzena. Należy podkreślć, że poneważ sły zderzenowe są sła wewnętrzny, prawo zachowana pędu cząstek podczas zderzena, wynka bezpośredno z prawa zachowana pędu zolowanego układu cząstek patrz Wykład 3 wzór III.9. Ze wzoru V. wynka, że krótszy jest czas zderzena, ty wększa jest zana pędu cząstk. Rozważy przykład lustrujący to zdane. Zadane. Płka ważąca 0, kg z prędkoścą 30 s uderza prostopadle w ścanę, po czy odbja sę od nej z prędkoścą ne zenoną co do wartośc. Jaka sła zderzenowa dzała na płkę, jeżel czas zderzena wynos t 0, 0 s? Rozwązane: Wyberzy oś Ox układu współrzędnych wzdłuż prędkośc płk po zderzenu. Wtedy, zgodne z treścą zadana, ożey zapsać Uwzględnając V.6, ze wzoru V. otrzyujey fx x. V.6 p x F t. V.7 fx x x Skąd ay 0,00kG 30 s F x 00kG t 9,8 s 0,0s. V.8 Dla krótszych czasów średna sła będze jeszcze wększa. Na przykład, jeżel t 0, 00 s, to F x 000kG. Zderzena doskonale nesprężyste Zderzene dwóch cał nazyway zderzene doskonale całkowce nesprężysty, gdy po zderzenu oba cała łączą sę poruszają sę dalej jako całość. Przykłade takego zderzena jest uderzene kul w zaweszony worek z paske. Procesy fzyczne, które zachodzą podczas tego zderzena są bardzo złożone. Jednak ne rozważając tych zjawsk, ożey znaleźć prędkość połączonego cała, korzystając tylko z zasady zachowana pędu. Rozważy zderzena dwóch cał punktów ateralnych o asach, poruszających sę ruche postępowy z prędkośca. Na dwa zderzające sę cała ne dzała żadna sła zewnętrzna, a zate, zgodne z zasadą zachowana pędu dla 46

3 odosobnonego układu, wypadkowy pęd dwóch cał do po zderzenu us być ten sa. Oznaczając prędkość połączonego cała przez V zapszy prawo zachowana pędu V, skąd dla prędkośc V otrzyujey V. V.9 Znajdzey teraz energę knetyczną dwóch cał do po zderzenu. Do zderzena energa knetyczna dwóch cał była równa: T do. V.0 Po zderzenu energa knetyczna układu jest równa: V T po. V. Po podstawenu V.9 do V., znajdujey V T po. V. Wydzely w ty wzorze energą knetyczną do T, dodając odejując człon : T po ] {[ } 47

4 T do T µ. V.3 do Tu jest asą zredukowaną. µ V.4 Ze wzoru V.3 wnoskujey, że przy zderzenu nesprężysty energa knetyczna układu dwóch zderzających sę cał aleje: A T po Tdo µ. V.5 Ze wzoru V.5 wynka, że podczas zderzena nesprężystego całkowta energa układu ne zachowuje sę. Zana energ knetycznej jest równa, jak wey, pracy, którą wykonują sły zderzenowe występujące przy zderzenu. A zate znejszene całkowtej energ knetycznej układu oże być wykorzystane wykorzystuje sę do wykonana pracy, na przykład kuca albo wbjana gwoźdz. Z równana V.5 wdzy, że najwększa zana energ knetycznej powstaje gdy wektory są skerowane w strony przecwne. Zadane. Rozważy zderzene dwóch saochodów o asach w przypadku a saochody przed zderzene ały równe, co do wartośc bezwzględnej, prędkośc b prędkość jednego saochodu wynos a drug saochód jest neruchoy 0. Rozwązane: a Zgodne z V.0 całkowta energa knetyczna dwóch saochodów do zderzena wynos T do. V.6 Po zderzenu, zgodne z V.5 praca sł zderzenowych jest równa tu µ A T po T do µ. V.7 Prędkość saochodów po zderzenu, zgodne z V.9, wynos 48

5 V 0. V.8 A zate po zderzenu dwa saochody zatrzyują sę, a cała energa knetyczna saochodów dze na znszczene saochodów. b Zgodne z V.0, V.5 V.9 ay T do A. V.9 4 Tpo Tdo µ. V.0 V. V. Ze wzoru V. wynka, że po zderzenu dwa saochody poruszają sę jako całość z prędkoścą. Z porównana wzorów V.0 V.7 wdzy, że w ty przypadku tylko połowa energ knetycznej saochodów dze na ch znszczene. Zderzena doskonale sprężyste Zderzene dwóch cał nazyway zderzene doskonale sprężysty, jeżel podczas tego zderzena energa całkowta ne ulega zane. To oznacza, że przy zderzenu wewnętrzna energa cał ne zena sę. Rozważy zderzene dwóch cał o asach, poruszających sę ruche postępowy z prędkośca. Oznaczając przez prędkośc cząstek po zderzenu, zapszy prawo zachowana pędu prawo zachowana energ dla takego układu:, V.a. V.b Układ równań V. to układ czterech równań: wektorowe równane V.a jest układe trzech równań dla składowych wektorów plus jedno równane V.b. Natoast newadoych w ty układze równań ay sześć: po trzy składowe dla wektorów. A zate, poneważ, jak to zwykle bywa, ne znay rzeczywstych sł zderzenowych, ne ożey rozwązać, w ogólny przypadku, zagadnena sprężystego zderzena dwóch cał. Istneje jednak przypadek, dla którego ożey znaleźć rozwązane, korzystając tylko z 49

6 równań V.. Jest to przypadek, tak zwanego zderzena czołowego, czyl zderzena, dla którego pędy zderzających sę cał znajdują sę na ln zderzena, czyl na ln łączącej dwa zderzające sę cała. Rozważy ten przypadek. Wyberzy oś Ox wzdłuż ln łączącej środk as cał oznaczy x, x, x, x. Korzystając z tych oznaczeń przepszy wzory V.a V.b w postac:, V.3. V.4 Ze wzoru V.4, borąc pod uwagę, że po uwzględnenu wzoru V.3 znajdujey. V.5 Równana V.4 V.3 tworzą układ dwóch równań algebracznych względe dwóch ne wadoych prędkośc :. V.6a. V.6b Mnożąc V.6a przez suując otrzyane równane z równane V.6b znajdujey. V.7 Skąd. V.8 W podobny sposób, nożąc V.6a przez odejując otrzyane równane od równana V.6b znajdujey. V.9 Skąd. V.30 50

7 Welkość C V.3 określa prędkość środka as dwóch zderzających sę cał w wybrany laboratoryjny układze odnesena. W przypadku ruchu zolowanego ta prędkość, zgodne z zasadą zachowana całkowtego pędu zolowanego układu, jest welkoścą stałą. A zate, z uwzględnene V.3 wzory V.8 V.30 ożey zapsać w postac. V.3 C. V.33 C Jeżel, ze wzoru V.3 ay A zate ze wzorów V.3 V.33 otrzyujey: C. V.34, V.35, czyl dwa cała o jednakowej ase po zderzenu sprężysty zaenają sę prędkośca. Czasa dogodne jest rozważać zderzena cząstek w układze odnesena, w który środek as spoczywa 0. Tak układ odnesena nazyway układe środka asy. W C układze środka asy, zgodne ze wzora V.3 V.33 ay,. V.36 A zate w układze środka as po zderzenu sprężysty prędkośc cząstek zenają swoje kerunk. Wartośc bezwzględne prędkośc cząstek pozostają take sae. Zadane 3. Cząstka o ase zderza sę z cząstką o tej saej ase, która początkowo spoczywa. Prędkość ruchoej cząstk do zderzena była równa Po zderzenu perwsza cząstka porusza sę pod kąte θ do perwotnego kerunku ruchu rys.v.. Zakładając, że zderzene cząstek jest doskonale sprężyste, znajdzey prędkość każdej cząstk po zderzenu kąt, jak tworzy odrzucona cząstka z kerunke perwotny cząsteczk padającej. 5

8 Rozwązane. Stosując zasadę zachowana pędu otrzyujey dwa równana skalarne dla składowych x składowych y pędów: Rys.V. θ, V.37a f cosθ f cos 0 θ. V.37b f snθ f sn Z zasady zachowana energ ożey zapsać trzece równane f f. V.37c May trzy równana względe trzech newadoych:, f f θ. Przepszy równana V.37 w postac f cosθ f cos θ, V.38 snθ snθ f f, V.39. V.40 f f Podnosząc do kwadratu równane V.38 równane V.39 otrzyujey f cosθ f cos θ f cos θ. V.4 sn θ sn θ f f, V.4 5

9 Suując strona równana V.4 V.4 przyponając, że cos θ sn θ, znajdujey. V.43 f f cosθ f Borąc pod uwagę wzór V.40, znajdujey f f f cosθ f. V.44 Skąd ay cosθ f. V.45 Dalej z równana V.40 otrzyujey f f cos. V.46 θ Skąd wynka, że f snθ. V.47 Ostateczne z równana V.39 ay f snθ snθ. V.48 f Po uwzględnenu V.45 V.47 znajdujey snθ f snθ cos f θ. V.49 Lteratura do Wykładu 5.. Robert Resnk, Davd Hallday: Fzyka, Wydawnctwo PWN, Warszawa, 994, str Sz. Szczenowsk, Fzyka dośwadczalna, t., PWN, Warszawa 980, str Zadana do Wykładu 5. Płka o ase 00 g porusza sę z prędkoścą 50 s, w chwl, gdy uderza w ną kj, który zena kerunek jej ruchu na przecwny nadaje jej prędkość 50 s. Jaką przecętną słę wywarł na płkę kj, jeżel oddzałuje na ną 5 s. Odpowedź: 4000 N.. Płka o ase 500 g spadając ponowo na podłogę a chwl zderzena prędkość 0 s. Płka odbja sę od podłog z prędkoścą początkową 0 s. a Oblczyć popęd 53

10 dzałający na płkę w czase kontaktu z podłogą. b Jaką słą dzała płka na podłogę, jeżel kontakt trwał 0,0 s? Odpowedź: a 5 N s; b 750 N. 3. Dwa statk kosczne rozdzelły sę wskutek wybuchu ładunku ueszczonego ędzy n. Jeżel asy statków wynoszą odpowedno 000 kg 000 kg, a popęd sły wybuchu 000 N s, to jaka jest względna prędkość oddalana sę dwóch statków? Odpowedź: 0,75 s. 4. Rozważyć zderzene nesprężyste dwóch cał o asach > > w przypadku, gdy cała przed zderzene ały równe, co do wartośc bezwzględnej, prędkośc. 5. Rozważyć zderzene nesprężyste dwóch cał o asach > > w przypadku, gdy prędkość jednego cała wynos a druge cało jest neruchoe Dwe cząstk ateralne, jedna o ase cztery razy wększej od drugej, połączone są ścśnętą sprężyną. Energa zagazynowana w sprężyne wynos 5 J. Ile energ knetycznej a każda cząstka po puszczenu sprężyny? Odpowedź: 0 J cząstka lżejsza, 5 J cząstka cęższa. 7. Z atoe wodoru, znajdujący sę w spoczynku, elektron zderza sę czołowo w sposób sprężysty. Ruch przed po zderzenu odbywa sę wzdłuż tej saej prostej. Jaką część energ knetycznej elektronu otrzya wskutek zderzena ato wodoru? Masa atou wodoru jest 840 razy wększa od asy elektronu. Odpowedź: 0,% 8. Na sank o ase 6 kg, poruszające sę po lodze z prędkoścą 0 s, rzucono ponowo z góry paczkę o ase 4 kg. Opsać ruch sanek po ch obcążenu. Odpowedź: prędkość sanek znejszy sę do 6 s. 9. Pokazać, że gdy zderzene jest sprężyste oraz jednowyarowe, prędkość środka asy dwóch cząstek o ase poruszającej sę z prędkoścą poruszającej sę z prędkoścą wynos oraz o ase. śr. 0. Cało o ase zderza sę sprężyśce z nny całe będący w spoczynku, po zderzenu cało to porusza sę dalej w ty say kerunku, lecz z prędkoścą o α nejszą od prędkośc początkowej. Jaka jest asa cała pozostającego początkowo w spoczynku? Odpowedź: α α. 54