Zbiór zadań z Badań operacyjnych

Transkrypt

1 Adam Kucharski Zbiór zadań z Badań operacyjnych Wydanie 3 Łódź 2015 ISBN

2 Spis treści 1. Programowanie liniowe Programowanie liniowe w liczbach całkowitych Zadanie transportowe Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero Zarządzanie projektami Odpowiedzi do zadań

3 1. Programowanie liniowe Zadanie 1 Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela: Halabarda A Halabarda B Zapas [t] Stal Drewno Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej jednostek rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw. Zadanie 2 (Jędrzejczyk, Kukuła) Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej hl benzyny oraz hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi hl. Zadanie 3 Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

4 4 1. Programowanie liniowe 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie produkcja wyłącznie dużych wózków. 2. Podczas produkcji zużyte zostanie 2240 kg prętów. 3. Zapas tworzywa sztucznego nie zostanie wykorzystany w całości. 4. Zwiększenie zapasu prętów o 1 tonę podniesie przychód maks. o 160 zł. 5. Zwiększanie proporcji na korzyść dużych wózków powodować będzie wzrost przychodu maksymalnego. 6. Przy cenie za duży wózek wynoszącej 180 zł optymalna ilość wytworzonych małych wózków nie ulegnie zmianie. 7. Przy cenie za mały wózek równej 50 zł rozwiązanie optymalne może ulec zmianie. 8. Zwiększenie zapasu tworzywa sztucznego o 20 kg podniesie przychód maksymalny o 320 zł. Zadanie 4 Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela: Składnik Vitarevival Komandirskaja S1 2 2 S2 1 2 S3 3 6 Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty zakupu. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie kupić tylko jedną markę odżywki. 2. Składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej wymaganej ilości. 3. Składnik S2 zostanie dostarczony w maksymalnej dopuszczalnej ilości. 4. Zwiększenie limitu składnika S1 o jednostkę podniesie minimalny koszt zakupu o 4 zł. 5. Dodatkowe 10 jednostek limitu składnika S2 podniesie minimalny koszt zakupu o 10 zł. 6. Przy cenie odżywki Vitarevival wynoszącej 2,5 zł za opakowanie rozwiązanie optymalne nie może ulec zmianie. 7. Koszt minimalny zostanie osiągnięty przy dostarczeniu 15 jednostek limitu składnika S3. 8. Jeżeli limit S2 wynosić będzie co najwyżej 30 jednostek wycena dualna dla tego ograniczenia nie może ulec zmianie. Zadanie 5 Fabryka farb produkuje 3 typy farb A, B i C. Do ich wyrobu potrzeba 3 składników C1, C2, C3, których zapasy wynoszą odpowiednio 8000, 9000, kg. Wykorzystanie poszczególnych składników (w kg) do wszystkich typów prezentuje tabela:

5 5 Zawartość Składnik Farba A Farba B Farba C C C C Zamówienia na typ A oznaczają, że produkcja nie może spaść poniżej 1100 kg. Jaka powinna być struktura produkcji aby fabryka osiągnęła maksymalny zysk jeżeli zysk jednostkowy na poszczególnych typach farb wynosi odpowiednio 3, 2, 5 PLN za 1 kg. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie produkcja wyłącznie farb typu A i C. 2. Zapas składnika C1 zostanie wykorzystany w całości. 3. Optymalna wielkość produkcji farby typu A nie przekroczy limitu wcześniejszego zamówienia. 4. Zwiększenie zapasu składnika C3 o jednostkę podniesie zysk maksymalny o 2 zł. 5. Dodatkowe 20 kg zapasu C2 podniesie zysk maksymalny o 40 zł. 6. Przy zysku jednostkowym z farby typu A równym 7 zł rozwiązanie optymalne nie może ulec zmianie. 7. Przy zysku jednostkowym z farby typu B równym 1 zł rozwiązanie optymalne nie może ulec zmianie. 8. Jeżeli zapas składnika C1 wynosić będzie 3000 kg wycena dualna dla tego ograniczenia może ulec zmianie. Zadanie 6 Akwarysta amator rozważa zakup pokarmu dla rybek. Pod uwagę bierze trzy marki: Rybex, Babyshark i DXVC15. Dla właściwego rozwoju pupilów hobbysty znaczenie ma zawartość pewnych składników odżywczych oznaczonych jako S1, S2 i S3. W poniższej tabeli znalazły się: zawartość składników w każdym rodzaju pokarmu oraz cena jednego dekagrama pokarmu danej marki. S1 S2 S3 Cena [zł] Rybex Babyshark DXVC ,5 Rybkom należy dostarczyć co najmniej 10 jednostek S1 oraz co najmniej 9 jednostek S3. Zawartość S2 powinna być nie większa niż 20 jednostek, ale jednocześnie nie może go być mniej niż 8 jednostek. Opracować plan zakupów pokarmów tak, aby łączny koszt zakupu był minimalny. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie zakup wszystkich marek pokarmu. 2. Składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej wymaganej ilości. 3. Limit zawartości składnika S3 zostanie przekroczony. 4. Zwiększenie wymagań co do limitu składnika S3 o jednostkę może podniesie minimalny koszt zakupu o 2 zł.

6 6 1. Programowanie liniowe 5. Dostarczenie dodatkowych 20 jednostek S1 ponad wymagany limit podniesie minimalny koszt zakupu o 12 zł. 6. Przy cenie Rybexu równej 7 zł za 1 dag rozwiązanie optymalne nie może ulec zmianie. 7. Przy cenie Babyshark równej 7 zł za 1 dag rozwiązanie optymalne nie może ulec zmianie. 8. Jeżeli limit dla składnika S3 wynosić będzie co najmniej 30 jednostek wycena dualna nie może ulec zmianie. Zadanie 7 Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym łączny koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela: Herbata 1 Herbata 2 Herbata 3 Czas przebywania w komorze [min] Zawartość garbnika [mg/100g] Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Gotowy do sprzedaży produkt ma wyróżniać się specyficznym aromatem, który zapewnia obecność herbaty 1-go gatunku. Jej 100g zawiera 15 mg stosownej substancji zaś w mieszance powinno znaleźć się co najmniej 120 mg aromatu na 100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie zakup herbaty 1 i 2 gatunku. 2. Minimalny koszt zakupu będzie niższy o 2550 zł od planowanego. 3. Zawartość garbnika w optymalnej mieszance wyniesie dokładnie 350 mg. 4. Zwiększenie wymaganej ilości garbnika o jednostkę podniesie minimalny koszt zakupu o 20 zł. 5. Dodatkowe 10 godz. limitu pracy komory obniży koszt minimalny o 20 zł. 6. Przy cenie herbaty 1 wynoszącej 300 zł za tonę rozwiązanie optymalne nie może ulec zmianie. 7. Jeżeli wymagana zawartość aromatu wynosić będzie co najmniej 240 mg zakładany limit garbnika zostanie przekroczony. 8. Jeżeli cena 1 tony herbaty 3 wzrośnie o 100 zł rozwiązanie optymalne może ulec zmianie. Zadanie 8 Student ma rozwiązać podczas sprawdzianu 3 zadania. Decydujące znaczenie ma czas ich rozwiązania, który powinien być jak najkrótszy (tak, aby pozostał jeszcze czas na zinterpretowanie wyników). Rozwiązanie pierwszego zadania powinno zająć nie więcej niż 30 minut, lecz potrwa przynajmniej 20 minut. Rozwiązanie zadania drugiego zajmie co najmniej 10 minut. Podobnie rzecz ma się z zadaniem trzecim czyli na wykonanie wszystkich poleceń potrzeba w

7 7 nim co najmniej 10 minut. Ile czasu należy przeznaczyć na rozwiązywanie poszczególnych zadań, aby łącznie nie przekroczyć czasu trwania sprawdzianu, który wynosi 60 minut? Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Na rozwiązanie wszystkich zadań potrzeba całe 60 min. sprawdzianu. 2. Na rozwiązanie zadania 1 optymalnie będzie przeznaczyć 15 min. 3. Należy wykorzystać całkowicie cały dostępny czas przeznaczony na zadanie Dodatkowa jednostka czasu przeznaczona na rozwiązywanie zadania 2 podniesie łączny czas rozwiązywania sprawdzianu o 2 min. 5. Wydłużenie czasu sprawdzianu o 2 min. spowoduje, że rozwiązanie wszystkich zadań zajmie 2 min. więcej. 6. Dodatkowe 10 min. przeznaczona na rozwiązywanie zadania 3 podniesie czas rozwiązywania całego sprawdzianu o 10 min. 7. Jeżeli łączny czas sprawdzianu wyniesie 70 min. zmienna dualna dla tego ograniczenia nie może ulec zmianie. 8. Jeżeli maksymalny limit czasu przeznaczony na zadanie 3 wyniesie 35 min. zmienna dualna dla tego ograniczenia nie może ulec zmianie. Zadanie 9 Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji stanowią telewizory 32 i 36 oraz 42 calowe. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy specjalistycznej linii montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela: Telewizor 32 cale Telewizor 36 cali Telewizor 42 cale Czas pracy linii mont. [min.] Zysk z 1 szt. [zł] Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w analizowanym okresie nie spadnie poniżej zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów 32 calowych powinien wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz jednocześnie tego modelu należy wytworzyć nie więcej niż 1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wyprodukować co najmniej 500 szt. odbiorników 36 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że sprzedana zostanie cała produkcja). Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie produkcja wszystkich typy telewizorów. 2. Osiągnięty zysk maksymalny przekroczy 1 mln zł. 3. Udział produkcji odbiorników 32 cal. wyniesie dokładnie 20%. 4. Zwiększanie udziału produkcji odbiorników 32 cal. będzie powodowało spadek zysku. 5. Dodatkowe 100 godz. limitu pracy linii montażowej zwiększy zysk maksymalny o 50 tys. zł. 6. Przy zysku jednostkowym z telewizorów 42 cal. równym 500 zł struktura produkcji może ulec zmianie. 7. Przy zysku jednostkowym z telewizorów 42 cal. równym 300 zł struktura produkcji nie może ulec zmianie.

8 8 1. Programowanie liniowe 8. Jeżeli limit produkcji telewizorów 32 cal. wzrośnie o 3000 szt. zmienna dualna dla tego ograniczenia może ulec zmianie. Zadanie 10 Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce S1 i S2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela: Produkt Koszt [zł] Marża [zł] S1 [kg] S2 [litr] Czas pracy [min] A B C Zapas surowca S1 wynosi 3,3 t, surowca S2 100 hl. Normy technologiczne wymagają, aby S2 zużyć co najmniej 20 hl. Dostępny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 godzin. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalna wielkość produkcji wyrobu C wynosi 800 szt. 2. Zapas surowca S1 zostanie wykorzystany w całości. 3. Zapas surowca S2 zostanie wykorzystany w całości. 4. Zwiększenie dopuszczalnego limitu czasu pracy o 1 godz. podniesie przychód maksymalny o 600 zł. 5. Przy przychodzie z 1 szt. wyrobu A równym 20 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie. 6. Jeżeli zapas S1 wzrośnie o 100 kg, optymalny przychód wzrośnie o 1000 zł. 7. Niewykorzystane pozostanie około 317 godzin dostępnego czasu pracy. 8. Jeżeli zapas S2 wzrośnie o 10 hl zmienna dualna dla tego ograniczenia nie może ulec zmianie. Zadanie 11 Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m 2, druga 490 m 2 a trzecia 450 m 2. Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m 2. Negocjacje prowadzono oddzielnie z poszczególnymi właścicielami. W razie konieczności inwestor może odkupić tylko część danej działki. Zaoferowano ceny za 1 m 2 wynoszące odpowiednio: 200, 180, 170 zł. Opracować plan wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu był jak najmniejszy. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Działki druga i trzecia zostaną wykupione w całości. 2. Minimalny koszt zakupu przekroczy zł. 3. Podniesienie dolnej granicy łącznej powierzchni do 1100 m 2 spowoduje wzrost kosztów zakupu o 200 zł. 4. Działka 1 zostanie wykupiona w całości. 5. Przy cenie za pierwszą działkę równej 250 zł/m 2 rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie.

9 9 6. Przy cenie równej 250 zł/m 2 za trzecią działkę, inwestor być może wykupi tę działkę w całości. 7. Gdyby działka druga była większa o 50 m 2 zmienna dualna dla tego ograniczenia nie mogłaby ulec zmianie. 8. Gdyby działka pierwsza była większa o 50 m 2 konieczne byłoby przynajmniej częściowe wykupienie wszystkie działek. Zadanie 12 Opracować strukturę produkcji lodów trzech rodzajów A, B i C zapewniającą maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że cała produkcja znajdzie nabywców). Jednostkowe zyski z 1 porcji danego rodzaju lodów oraz zużycie podstawowych składników czyli mleka i cukru zawiera poniższa tabela. Zapas mleka wynosi 5 litrów zaś cukru 5 kg. Rodzaj A Rodzaj B Rodzaj C Zysk jednostkowy [zł] 3 5 3,5 Zużycie mleka [ml] Zużycie cukru [g] Lody B i C zawierają w swoim składzie czekoladę (jej zapas wynosi 1 kg), przy czym na jedną porcję rodzaju B zużywa się 4 g a na jedną porcję rodzaju C 1 g tego składnika. Wymagane jest, aby lodów B sprzedać co najmniej 100 szt. Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym będzie nie wytwarzać lodów rodzaju A. 2. Maksymalny zysk przekroczy 500 zł. 3. Zapas mleka zostanie wykorzystany w całości. 4. Zapas cukru zostanie wykorzystany w połowie. 5. Zwiększenie wymagań co do produkcji lodów B o 10 szt. spowoduje wzrost zysku o 10 zł. 6. Zwiększenie zapasu czekolady o 0,5 kg spowoduje spadek zysku. 7. Jeżeli zysk jednostkowy z lodów B wzrośnie o 1 zł zysk maksymalny nie ulegnie zmianie. 8. Jeżeli zapas mleka wzrośnie o 1 litr struktura produkcji może ulec zmianie. Zadanie 13 Opracowano model decyzyjny maksymalizujący przychód ze sprzedaży powierzchni reklamowej na billboardach, które mają być zamontowane w 3 miastach. Model ten przedstawia się następująco: X 1 liczba billboardów postawionych w mieście I [szt.], X 2 liczba billboardów postawionych w mieście II [szt.], X 3 liczba billboardów postawionych w mieście III [szt.] f(x 1,X 2,X 3 ) = 700X X X 3 max (przychód, [zł]) 700X X X (zakładany, minimalny poziom przychodu ze sprzedaży powierzchni, [zł]) X 1 + X 2 + X 3 70 (ograniczenie liczby dostępnych lokalizacji, [szt.]) 400X X X (dopuszczalny limit kosztu montażu billboardów, [zł])

10 10 1. Programowanie liniowe X 1 0,1(X 1 + X 2 + X 3 ) (minimalny wymagany udział billboardów X 1 w łącznej liczbie zamontowanych billboardów) X 1 0, X 2 0, X 3 0 Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Optymalnym rozwiązaniem będzie wykupienie lokalizacji we wszystkich miastach. 2. Limit kosztu montażu zostanie wykorzystany w całości. 3. Zwiększenie liczby dostępnych lokalizacji o 2 spowoduje wzrost przychodu maksymalnego o 1580 zł. 4. Jeżeli przychód z 1 billboardu w mieście I spadnie o 100 zł, optymalna wartość funkcji celu nie ulegnie zmianie. 5. Jeżeli zakładany poziom przychodu wzrośnie o 3000 zł należy postawić billboardy w mieście III. 6. Jeżeli przychód z 1 billboardu w mieście III wzrośnie o 200 zł konieczne będzie postawienie billboardów w tym mieście. 7. Jeżeli zakładany poziom przychodu wzrośnie o połowę zmienna dualna dla tego ograniczenia nie może ulec zmianie. 8. Jeżeli ograniczenie kosztu montażu wzrośnie o połowę zmienna dualna może ulec zmianie. Zadanie 14 Dla problemu optymalizacyjnego, wyrażającego minimalizację dziennego kosztu wydobycia rudy 2 rodzajów, zbudowano następujący model decyzyjny: X 1 wydobycie rudy pierwszego rodzaju [tony], X 2 wydobycie rudy drugiego rodzaju [tony] f(x 1,X 2 ) = 105X X 2 min (koszt wydobycia, [zł]) 105X X (zakładany maksymalny poziom kosztu wydobycia, [zł]) 210X X (zakładany minimalny przychód ze sprzedaży rudy, [zł]) 2X 1 + 2X (czas pracy maszyn górniczych, [roboczogodz.]) X 1 50 (wymagana minimalna wielkość wydobycia rudy pierwszego rodzaju, [tony]) X 1 0, X 2 0 Na podstawie otrzymanego rozwiązania zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE) tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie: 1. Wydobycie rudy drugiego rodzaju nie będzie konieczne, aby osiągnąć rozwiązanie optymalne. 2. Limit kosztu nie zostanie wykorzystany całkowicie. 3. Czas pracy maszyn kształtować się będzie na maksymalnym dostępnym poziomie. 4. Zwiększenie limitu przychodu o 5000 zł może spowodować zmianę struktury wydobycia. 5. Zmniejszenie jednostkowego kosztu wydobycia rudy drugiego rodzaju do 100 zł może spowodować zmianę kosztu optymalnego. 6. Dwukrotne zwiększenie dostępnego czasu pracy maszyn może spowodować, że zmieni się struktura wydobycia. 7. Zmniejszenie wymagań co do przychodu o 1000 zł spowoduje spadek kosztu minimalnego o 500 zł.

11 8. Zwiększenie limitu wydobycia rudy pierwszego rodzaju o jednostkę nie może spowodować zmiany ceny dualnej dla tego ograniczenia. 11 Zadanie 15 Właściciel remontowanego domu rozważa zakup płytek ceramicznych. Pod uwagę bierze trzy ich wzory: P1, P2 i P3. Zakupione płytki mają wystarczyć na pokrycie co najmniej 50 m 2 powierzchni. Za 1 m 2 płytek P1 należy zapłacić 50 zł, płytek P2 48 zł zaś P3 45 zł. Łączny koszt zakupu nie powinien przekroczyć 4 tys. zł, ale właściciel zakłada wydanie na ten cel co najmniej 2 tys. zł. Właściciel chce, aby wzór P1 stanowił co najwyżej 25% wszystkich zakupionych płytek. Z kolei wizja remontu przyjęta przez jego żonę oznacza, że konieczny będzie zakup co najmniej 10 kartonów tych płytek. Jeden karton mieści 15 płytek o wymiarach 30 na 30 cm. Z tego powodu na płytki te uzyskano 10% rabat od ceny wyjściowej. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający minimalny koszt zakupu płytek przy podanych ograniczeniach i znajdź jego rozwiązanie. 1. O ile procent faktyczny koszt zakupu jest niższy od założonej górnej granicy? 2. Czy zakupione płytki wystarczą na pokrycie większej powierzchni niż pierwotnie zakładana? 3. O ile udział płytek wzoru P1 będzie niższy od zakładanego? 4. Ile powinny kosztować płytki P2, aby właściciel zaczął rozważać zmianę struktury zakupu? 5. O ile wzrośnie łączny koszt zakupu jeżeli właściciel podniesie limit zakupu płytek P1 do co najmniej 11 kartonów? 6. Czy pokrycie co najmniej 60 m 2 powierzchni może spowodować zmianę struktury zakupu płytek? Zadanie 16 Producent opakowań rozważa wprowadzenie trzech nowych wzorów kartonowych pudeł K1, K2 i K3. Pudła składa się dzięki wycięciom w kartonie, po których pozostaje odpad nienadający się do dalszego wykorzystania. Z tego powodu producent chce, aby całkowita masa odpadów była nie większa niż 90 kg. Przychód ze sprzedaży rozumiany jako suma kosztów wytworzenia i nakładanej marży powinien wynieść co najmniej 10 tys. zł. Jednostkowe wielkości kosztów, marży oraz odpadów poprodukcyjnych przedstawia poniższa tabela. Wzór pudła Koszt [zł/szt.] Marża [zł/szt.] Odpad [dag/szt.] K K K Wiadomo ponadto, że pudeł K1 należy wytworzyć co najmniej tyle samo co pudeł K3. Pudła K2 i K3 pokrywa się jednokolorowym nadrukiem. Na jedną sztukę K2 należy zużyć 5 g a na jedną sztukę K3 4 g farby. Jej zapas wynosi 10 kg. Ograniczenie produkcji tylko do K1 spowodowałoby wytworzenie dokładnie 1000 pudeł, produkcja jedynie K2 pozwoliłaby wyprodukować 1500 sztuk zaś produkcja K3 w takiej samej sytuacji równałaby się 1250 sztuk. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalizację przychodu ze sprzedaży produkowanych pudeł i znajdź jego rozwiązanie. 1. O ile procent osiągnięty przychód maksymalny będzie wyższy od wymaganego?

12 12 1. Programowanie liniowe 2. Czy można sprzedać połowę posiadanego zapasu farby bez naruszania rozwiązania optymalnego? 3. Czy maksymalnie wykorzystane zostaną możliwości produkcyjne dla wyrobu K2? 4. Dla jakiego poziomu przychodu jednostkowego produkcja pudeł K3 może stać się opłacalna? 5. Jaki poziom wymagań co do wartości przychodu może spowodować zmiany w optymalnej wielkości produkcji pudeł? 6. O ile należałoby zwiększyć dopuszczalny limit odpadów, aby przychód maksymalny wzrósł do zł? Zadanie 17 Pewna gmina postanowiła poddać rekultywacji teren pozostały po kopalni odkrywkowej. Rekultywacja ta ma polegać na wysianiu traw, posadzeniu drzew i przygotowaniu zbiorników wodnych. Oszacowano, że koszt zasiania 1 m 2 traw wynosi 100 zł, posadzenia 1 m 2 drzew 150 zł a utworzenia 1 m 2 powierzchni zbiornika wodnego równa się 200 zł. Przedsięwzięcie w całości finansowane będzie z rządowej dotacji, która wyniesie nie więcej niż 900 tys. zł. Ministerstwo Ochrony Środowiska postawiło jednak warunek, że rekultywacja ma objąć co najmniej 8000 m 2 dawnej odkrywki. Przygotowane plany przewidują, że zbiorniki wodne mają mieć łącznie co najmniej 500, ale nie więcej niż 5000 m 2 rekultywowanej powierzchni. Tereny zalesione mają zająć co najmniej 10% całej, objętej rekultywacją powierzchni. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający minimalny łączny koszt rekultywacji przy podanych ograniczeniach i znajdź jego rozwiązanie. 1. Który sposób rekultywacji obejmie największą powierzchnię? 2. Czy uda się wykorzystać maksymalnie kwotę dotacji? 3. Ile procent powierzchni stanowić będą zbiorniki wodne? 4. Przy jakim koszcie jednostkowym powierzchnia obsadzona drzewami może ulec zmianie? 5. Jaka kwota dotacji spowodowałaby, że optymalna struktura rekultywacji uległaby zmianie? 6. O ile wzrosłyby łączne koszty rekultywacji gdyby całkowita objęta nią powierzchnia objęła co najmniej 500 m 2 więcej niż obecnie?

13 2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych Każde zadanie rozwiązać jako zadanie programowania liniowego w liczbach całkowitych. Zadanie 1 Podjęto się realizacji zamówienia na 4 części, których jednostkowy koszt wytworzenia wynosi odpowiednio: 85, 70, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny jest półfabrykat, którego zapas wynosi 1000 kg. Jednostkowe zużycie tego półfabrykatu wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2 kilograma. Łącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej 25 sztuk. Części 2 i 4 należy wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 2 ma powstać nie więcej niż 30% łącznej wielkości produkcji. Opracować plan realizacji zamówienia gwarantujący jak najniższy koszt jego realizacji. 1. Które części nie będą produkowane? 2. Czy można powiedzieć, że przy otrzymanej strukturze produkcji firma przechowuje zbyt duży zapas półfabrykatu? 3. Rozwiązać zadanie przy założeniu, że jednostkowy koszt wytworzenia części nr 1 spadł do 65 zł. Uwzględnić również maksymalną produktywność każdej z części na poziomie 50 sztuk. Omówić różnice między jednym i drugim rozwiązaniem. Zadanie 2 Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk jednostkowy na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek wynieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien przekroczyć 20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 7 zł od każdego sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował zł i nie ma zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100 arkuszy wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy papieru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie arkuszy). Zakładamy, że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży. 1. Czy osiągnięty zysk maksymalny będzie wyższy od zakładanego? 2. Czy kwotę przeznaczoną na wynagrodzenia można uznać za prawidłowo oszacowaną? 3. Rozwiązać zadanie przy dotychczasowych ograniczeniach przyjmując jako kryterium minimalizację łącznego kosztu wydania książek. Jednostkowy koszt książki pierwszego autora wynosi 15 zł zaś drugiego 25 zł. Omówić różnice między jednym i drugim rozwiązaniem.

14 14 2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych Zadanie 3 Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pralek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów nie dostarczy więcej niż 250 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypadnie 16 zł na promocję a drugiego 11 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów charakteryzujący się maksymalnym przychodem. 1. Czy rozwiązanie optymalne zakłada sprzedaż obu typów pralek w podobnych ilościach? 2. Który z producentów dostarczy zakładaną maksymalną liczbę pralek? 3. Czy dla właściciela hurtowni opłacalne będzie zwiększenie budżetu na promocję do 4000 zł? Zadanie 4 Niewielki zakład produkuje torby sportowe trzech rodzajów. Łączny koszt wytworzenia wszystkich toreb nie może być większy niż 9000 zł. Po doliczeniu do kosztu marży otrzymamy przychód, którego całkowita wartość ma wynieść co najmniej 10 tys. zł. Dostępny czas pracy robotnic, które szyją torby wynosi łącznie 100 roboczogodzin. Tabela poniżej zawiera jednostkowe wartości kosztu, marży oraz czasu pracy potrzebnego do uszycia toreb. Torba 1 Torba 2 Torba 3 Koszt jednost Marża jednost Czas pracy [min.] Wiadomo ponadto, że po analizie sprzedaży z okresów poprzednich podjęto decyzję, aby udział toreb drugiego rodzaju w ogólnej wielkości produkcji wyniósł co najmniej 20%. Opracować strukturę produkcji pozwalającą na osiągnięcie jak najniższego kosztu produkcji przy podanych założeniach. 1. Czy wprowadzenie wymagań co do udziału toreb drugiego rodzaju spowodowało, że będą one produkowane w największej ilości? 2. Ocenić stopień wykorzystania limitu czasu pracy potrzebnego na uszycie toreb. 3. Rozwiązać zadanie przy założeniu, że celem jest maksymalizacja przychodu przy ograniczeniach pozostających na dotychczasowym poziomie. Omówić różnice między jednym i drugim rozwiązaniem. Zadanie 5 Firma produkująca materiały szkolne i biurowe ma w swojej ofercie dwa rodzaje tradycyjnych kredek. Zysk osiągany z 1 pudełka kredek pierwszego rodzaju wynosi 5 zł, a z 1 pudełka kredek drugiego rodzaju 6 zł. Do produkcji wykorzystuje się dwa podstawowe surowce: drewno i wypełnienie grafitowe. Normy zużycia surowców oraz czas pracy maszyn w przeliczeniu na jedno pudełko kredek danego rodzaju wraz z dostępnymi limitami podaje tabela.

15 15 Kredki 1 Kredki 2 Drewno [dag.] 5 8 Grafit [dag.] 1 2 Czas pracy [min.] 7 8 Firma dysponuje następującymi zapasami surowców: 120 kg drewna i 50 kg grafitu. Dostępny, maksymalny czas pracy maszyn wynosi 120 godzin. Dodatkowo wymaga się, aby kredek 1 rodzaju wyprodukować co najmniej 3 razy tyle co kredek 2 rodzaju. Opracować plan produkcji, zapewniający maksymalny łączny zysk. 1. Czy proporcja optymalnych wielkości produkcji kredek została dokładnie zachowana? 2. Który z zasobów (surowców i czasu pracy) został wykorzystany w największym, a który w najmniejszym stopniu? 3. Jak bardzo opłacalne będzie z punktu widzenia rozwiązania zwiększenie zysku z pudełka kredek pierwszego rodzaju o 1 zł? Zadanie 6 Opracować plan produkcji wieszaków dwóch rodzajów A i B zapewniający maksymalny całkowity zysk wiedząc, że 1 wieszak A przynosi 6 zł zysku zaś 1 wieszak B 8 zł. Produkcja obu wyrobów ma zapewnić co najmniej 10 tys. zł zysku. Do produkcji wieszaka A potrzeba 10 cm drutu stalowego i 7 dag tworzywa sztucznego. Z kolei wytworzenie wieszaka B wymaga 15 cm drutu i 4 dag tworzywa. Dysponujemy zapasem 300 m drutu stalowego i 150 kg tworzywa sztucznego. Z uwagi na złożone wcześniej zamówienia wieszaków A należy wyprodukować nie więcej niż trzykrotność ilości wyprodukowanych wieszaków B. 1. Czy rozwiązanie optymalne zapewni zysk większy od zakładanego? 2. Czy dostępne surowce zostaną wykorzystane w całości? 3. Rozwiązać zadanie wprowadzając dodatkowy warunek zakładający, że wieszaków rodzaju B należy wytworzyć co najmniej 1000 sztuk. Czy rozwiązanie w liczbach ciągłych różni się od tego w liczbach całkowitych? Jak wprowadzone zmiany odbiją się na poziomie zysku maksymalnego.

16 3. Zadanie transportowe Zadanie 1 Trzy punkty skupu dostarczają złom do trzech hut. Punkty dysponują odpowiednio 25, 26 i 24 tonami złomu, podczas gdy huty mogą przyjąć: 29, 26 i 20 tony. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = Opracować plan dostaw złomu minimalizujący łączne koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego planu transportowego. 1. Ile kosztować będzie wywiezienie złomu z punktu nr 2? 2. Czy istnieją inne, alternatywne rozwiązania tego problemu? Zadanie 2 Trzech rolników dostarcza mleko do trzech mleczarni. Rolnicy owi dostarczają odpowiednio 200, 150, 220 hl mleka. Poszczególne mleczarnie mogą przyjąć następujące ilości: 100, 300 i 150 hl. Koszty przewiezienia jednego hl mleka (zł) między rolnikami a mleczarniami przedstawia macierz: C = Opracować plan dostarczenia całego mleka tak, aby łączny koszt przewozu był jak najmniejszy (pierwszy plan przewozowy wyznaczyć metodą kąta północno-zachodniego). 1. Ile kosztować będzie dowiezienie mleka do pierwszego punktu skupu? 2. Czy istnieją inne rozwiązania tego problemu? Jeśli tak, wyznaczyć je. Zadanie 3 Trzy cementownie zaopatrują w cement cztery budowy. Cementownie dysponują odpowiednio 20, 30 i 40 tonami cementu, podczas gdy zapotrzebowanie na budowach wynosi: 15, 20, 20 i 30 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C =

17 17 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego. 1. Która z cementowni nie wyśle całego posiadanego cementu? 2. Czy istnieją inne rozwiązania tego problemu? Jeśli tak, wyznaczyć je. Zadanie 4 Czterech producentów dostarcza do 2 kontrahentów wyroby metalowe. Dysponują oni odpowiednio 50, 30, 45 i 23 tonami wyrobów, podczas gdy zapotrzebowanie wynosi u każdego z odbiorców po 60 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = Z powodu remontu, droga między drugim producentem a drugim odbiorcą jest całkowicie nieprzejezdna. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego. 1. Czy któryś z dostawców będzie zaopatrywał tylko jednego odbiorcę? 2. Jak na czas rozwiązywania wpłynie użycie metody minimum w macierzy do wyznaczenia wyjściowego planu przewozowego? Zadanie 5 Trzy autobusy muszą rozwieźć ludzi w trzy różne miejsca. Pojemności autobusów, liczbę osób mających znaleźć się w punktach docelowych oraz macierz kosztów jednostkowych (zł) podaje poniższa tabela: Miejsce 1 Miejsce 2 Miejsce 3 a Autobus 1 2,5 3 1,5 31 Autobus 2 1,2 1, Autobus 3 3,2 3, b Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego. 1. Które autobusy odwiedzą więcej niż jedno miejsce? 2. Czy istnieją inne rozwiązania tego problemu? Jeśli tak, wyznaczyć je. Zadanie 6 Dwa duże gospodarstwa rolne zaopatrują w buraki cukrowe cztery punkty skupu. W tym roku pierwsze gospodarstwo dostarczy 75 a drugie 60 ton buraków. Punkty skupu skłonne są przyjąć odpowiednio: 40, 30, 32, 29 ton buraków. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:

18 18 3. Zadanie transportowe Punkt skupu 1 Punkt skupu 21 Punkt skupu 3 Punkt skupu 4 Gospodarstwo 1 2,5 2,3 2,7 2,3 Gospodarstwo 2 2,9 3,0 2,1 2,1 Na trasie z gospodarstwa 2 do trzeciego punktu skupu zorganizowano objazd, w związku z czym można na tej trasie przewieźć do 25 ton ładunku. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia wyjściowego planu przewozowego. 1. Które z gospodarstw będzie musiało przechować część buraków na własny koszt? 2. Czy użycie metody minimum w macierzy do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego wpłynie na czas rozwiązywania? Zadanie 7 Konserwy z trzech wojskowych magazynów mają trafić do trzech jednostek. Z magazynu pierwszego wyjedzie 20, z drugiego 30, a z trzeciego 24 tony konserw. Do jednostek ma trafić odpowiednio: 28, 26, 20 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = Trasa z magazynu 1 do jednostki 3 jest całkowicie nieprzejezdna Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego. 1. Ile będzie kosztować przewiezienie konserw do jednostki nr 3? 2. Czy istnieją inne rozwiązania tego problemu? Jeśli tak, wyznaczyć je. Zadanie 8 Producenci serialu A jak alabaster zamówili u dwóch dostawców elementy dekoracji, które tymczasowo mają znaleźć się w jednym z czterech magazynów wytwórni. Dostawca 1 może zapewnić 200 a drugi 180 kg owych elementów. W pierwszym magazynie ma się znaleźć 120, w drugim 60, w trzecim 130 a w czwartym 70 kg elementów. Z powodu koczowania licznej grupy fanów, trasa od pierwszego dostawcy do trzeciego magazynu jest nieprzejezdna. Macierz jednostkowych kosztów przewozu jest następująca: [ ] C = Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego. 1. Ile będzie kosztować dostarczenie elementów od pierwszego z dostawców? 2. Czy usunięcie blokady wpłynie na wartość kosztu minimalnego?

19 Zadanie 9 W związku z oczekiwaną serią kontroli sanepidu właściciel zakładów mięsnych musi zabrać część wędlin z objętych kontrolą zakładów i zawieźć je do dwóch firm zajmujących się utylizacją. Pierwsza z nich jest w stanie przyjąć 16, a druga 17 ton wędlin. Z każdego zakładu należy usunąć po 11 ton wędlin. Na drodze z pierwszego zakładu do pierwszej firmy należy pokonać most, przez który na raz przejedzie tylko 5 ton wędliny. Macierz jednostkowych kosztów transportu jest następująca: C = Opracować plan przewozu minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego rozwiązania. 1. Czy użycie metody minimum w macierzy do wyznaczenia pierwszego planu przewozowego wpłynie na czas rozwiązywania? 2. Jaką liczbę tras wykorzysta algorytm w rozwiązaniu optymalnym przed scaleniem wierszy lub kolumn? 19 Zadanie 10 Czterech producentów ma dostarczyć czterem sklepom korę do celów ogrodniczych. W tabeli poniżej podane zostały: podaż producentów, zapotrzebowanie zgłaszane przez sklepy oraz jednostkowe koszty przewozu (zł/t). Trasa pomiędzy drugim producentem a pierwszym sklepem jest zamknięta z powodu przebudowy centrum miasta. Z kolei między trzecim producentem a trzecim sklepem, z powodu ograniczenia dopuszczalnej masy pojazdów, przewieźć można co najwyżej 10 ton kory. Sklep 1 Sklep 2 Sklep 3 Sklep 4 Podaż [t] Producent Producent Producent Producent Zapotrzebowanie [t] Opracować plan przewozu minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego do wyznaczenia pierwszego rozwiązania. 1. Który z producentów nie sprzeda całej posiadanej kory? 2. Czy istnieją inne rozwiązania tego problemu? Jeśli tak, wyznaczyć je.

20 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka Wszystkie zaprezentowanych poniżej zagadnienia przeanalizować pod kątem podejmowania decyzji w warunkach niepewności i ryzyka. Zadanie 1 Zarząd firmy musi podjąć decyzję odnośnie wielkości produkcji. Przeprowadzone analizy wskazują na możliwość wystąpienia jednego z trzech stanów rynku, rzutujących na wysokość osiąganego zysku (tys. zł). Stosowne dane zawiera poniższa tabela. Stany rynku Skłonność do S1 S2 S3 bycia optymistą Decyzja ,4 Decyzja ,4 P (s j ) 0,3 0,2 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku Wyznacz kryteria podejmowania decyzji w warunkach niepewności i ryzyka. Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium optymisty najlepsza jest decyzja Według kryterium minimalnego żalu najlepsza jest decyzja Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepsza jest decyzja Oczekiwana korzyść z doskonałej informacji jest równa 43. Zadanie 2 Shrek wybiera się w odwiedziny do teściów, mieszkających w Zasiedmiogórogrodzie. Pogoda ma duży wpływ na szybkość podróżowania. Spodziewamy się trzech możliwych stanów warunków pogodowych, które przekładają się na liczbę pokonywanych dziennie mil. Stosowne dane zawiera poniższa tabela. Stany warunków pogodowych S1 S2 S3 Droga z zachodu Droga z północy P (s j ) 0,3 0,2 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku UWAGA! Potraktować powyższą macierz jako macierz strat.

21 21 Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium minimalnego żalu najlepszą decyzją jest droga z zachodu. 2. Według kryterium Laplace a najlepszą decyzją jest droga z zachodu. 3. Według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest droga z północy. 4. Przy zmianie prawdopodobieństw stanów natury decyzja podjęta według kryterium optymisty nie ulegnie zmianie. Zadanie 3 Należy dokonać wyboru asortymentu stoiska cukierniczego oferującego jeden z trzech możliwych wypieków w zależności od sposobu reakcji konkurencji. Poniższa tabela zawiera dzienną [zł] wartość sprzedanych wyrobów. Konkurencja Skłonność do Asortyment S1 S2 S3 S4 bycia optymistą Pączki ,3 Kremówki ,3 Napoleonki ,6 P (s j ) 0,2 0,1 0,5 0,2 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danej reakcji konkurencji Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest wybór pączków. 2. Według kryterium Hurwicza najlepszą decyzją jest wybór kremówek. 3. Według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest wybór napoleonek. 4. OKPI wynosi 117 zł. Właściciel cukierni w związku ze zbliżającym się długim weekendem spodziewa się dodatkowego wzrostu popytu na swoje wyroby. W związku z tym rozważa dwa możliwe scenariusze: duży (o 40%) i mały (o 10%) wzrost popytu. Konkurencja również jednak również zamierza skorzystać na tej sytuacji. Dlatego oszacowane zostały prawdopodobieństwa zrealizowania się danego wariantu wzrostu popytu w zależności od reakcji konkurencji. Znalazły się one w poniższej tabeli. Wzrost popytu S1 S2 S3 S4 Duży 0,3 0,8 0,4 0,1 Mały 0,7 0,2 0,6 0,9 Ocenić wpływ dodatkowej informacji o zmianie popytu na podejmowanie decyzji dotyczącej asortymentu sprzedaży. Zadanie 4 Inwestor planuje inwestycję w jedną z trzech akcji. W tym celu oszacował stopę zwrotu w zależności od jednego z przewidywanych stanów rynku. Stosowne wyniki zawiera tabela.

22 22 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka Stany rynku Skłonność do Inwestycja S1 S2 S3 bycia optymistą Akcja A ,3 Akcja B ,3 Akcja C ,6 P (s j ) 0,7 0,2 0,1 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest akcja A. 2. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest akcja A. 3. Według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest akcja C. 4. CGPI wynosi 13,8. Walne zgromadzenia akcjonariuszy wyżej wymienionych spółek podjęły decyzje o wypłacie dywidend. Ich wysokość uzależniają jednak od przewidywanej sytuacji rynkowej. Zakładając, że inwestora interesuje łączna kwota otrzymanych dywidend oszacowane zostały prawdopodobieństwa uzyskania jednego z trzech wariantów wypłaty w zależności od sytuacji rynkowej. Szacunki owe znalazły się w poniższej tabeli. Wysokość wypłaty S1 S2 S3 W1 0,1 0,5 0,6 W2 0,2 0,5 0,1 W3 0,7 0 0,3 Które akcje będą najbardziej atrakcyjne po uwzględnieniu dodatkowej informacji na temat wypłaty dywidend? Przeprowadź stosowną analizę i zinterpretuj jej wyniki. Zadanie 5 Przygotowywane są obchody z okazji założenia miasta. Firma zainteresowana reklamowaniem się na tej imprezie musi zadecydować czy lepszym rozwiązaniem będzie rozdawanie ulotek przy głównym wejściu czy też hostessy powinny wręczać je krążąc po terenie obchodów. Liczba spodziewanych osób zależy od pogody. Poniższa tabela zawiera spodziewane ilości wręczonych ulotek w zależności od pogody i miejsca. Stany warunków pogodowych S1 S2 S3 Wejście główne Teren obchodów P (s j ) 0,1 0,4 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest teren obchodów.

23 23 2. Według kryterium minimalnego żalu najlepszą decyzją jest teren obchodów. 3. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest wejście główne. 4. Przy zmianie prawdopodobieństw stanów natury maksymalna oczekiwana wartość może ulec zmianie. Firma postanowiła uwzględnić w analizie dodatkowe informacje dotyczące spodziewanej frekwencji na festynie. W zależności od warunków pogodowych rozważa trzy warianty frekwencji: małą (5 tys. osób), średnią (10 tys. osób) i dużą (25 tys. osób). W tabeli poniżej znalazły się oszacowane wartości prawdopodobieństw wystąpienia danej frekwencji w zależności od pogody. Frekwencja S1 S2 S3 Mała 0,6 0,2 0,1 Średnia 0 0,5 0,1 Duża 0,4 0,3 0,8 Przeanalizować wpływ informacji na temat frekwencji na decyzję o wyborze miejsca rozdawania ulotek. Zadanie 6 Zakład wodociągowy planuje uruchomienie dodatkowych ujęć wody. Do wyboru są cztery decyzje. Oszacowano zyski (w tys. zł) w zależności od przewidywanego zużycia wody przez klientów (stany natury). Wyniki zawarto w poniższej tabeli. Liczba Stany natury ujęć S1 S2 S3 Jedno Dwa Trzy Cztery P (s j ) 0,4 0,3 0,3 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu natury Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium pesymisty, najlepszą decyzją są dwa ujęcia. 2. Według kryterium Laplace a należy wybudować dwa ujęcia. 3. Według kryterium Hurwicza (α = 0,6 dla każdej z decyzji) najlepszą decyzją jest jedno ujęcie. 4. OKPI wynosi 54. Za namową i z pomocą władz gminy zakład wystąpił do Ministerstwa Środowiska o przyznanie dofinansowania ze środków pomocy unijnej rozbudowy sieci wodociągowej. Wynajęta firma oszacowała prawdopodobieństwo otrzymania dotacji w zależności od spodziewanego zużycia wody przez mieszkańców. Wartości szacunków znajdują się w tabli poniżej. Przyznanie dotacji S1 S2 S3 Tak 0,5 0,1 0,8 Nie 0,5 0,9 0,2

24 24 4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka Jak na decyzję o uruchomieniu nowych ujęć wody wpłynie dodatkowa informacja o przyznaniu bądź nie ministerialnej dotacji. Zadanie 7 Firma motoryzacyjna rozważa montaż katalizatora nowego typu. Urządzenia tego typu wytwarza czterech producentów zewnętrznych. W poniższej tabeli znalazł się koszt zakupu jednego katalizatora u danego producenta (tys. euro) z uwzględnieniem zmian sytuacji rynkowej (działalność konkurencji, zmiany przepisów dotyczących emisji szkodliwych substancji przez samochody itp.). Wyodrębniono w ten sposób cztery możliwe warianty zachowania rynku. Stany rynku Skłonność S1 S2 S3 S4 do ryzyka Producent 1 2,5 3 1,8 1,9 0,7 Producent 2 2 2,5 1,5 3,6 0,7 Producent ,6 2 0,7 Producent 4 3,5 2,7 1,9 2,1 0,7 P (s j ) 0,1 0,3 0,1 0,5 P (s j ) prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami. 1. Według kryterium pesymisty nie można podjąć jednoznacznej decyzji. 2. Według kryterium Hurwicza najlepszą decyzją jest wybór producenta Według kryterium minimalnego oczek. żalu najlepszą decyzją jest wybór producenta CGPI będzie równe 0,23. Nowy katalizator zawierać będzie siatkę pokrytą jednym z rzadko występujących metali. Oszacowano prawdopodobieństwo zachowania się ceny tego metalu na giełdzie (trend rosnący, trend malejący, stały poziom) w zależności od stanu rynku. Wartości szacunków znajdują się w tabeli poniżej. Rodzaj trendu S1 S2 S3 S4 Rosnący 0,3 0,1 0,6 0,7 Malejący 0,3 0,1 0,1 0,1 Stały poziom 0,4 0,8 0,3 0,2 Jak na decyzję o wyborze producenta katalizatora wpłynie zachowanie ceny metalu na giełdzie?

25 5. Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero Zadanie 1 W grze bierze udział dwóch graczy: A i B. Każdy z nich dysponuje kartami opatrzonymi cyframi od 1 do 5. Na dany sygnał wybierają jedną kartę i kładą ją na stole. Gracz, który wyłoży kartę o numerze wyższym o jeden zdobywa 1 punkt, wyższym o dwa 2 punkty. Jeżeli liczba jest wyższa, zwycięzca zdobywa 3 punkty. W pozostałych przypadkach gracze dostają po 0 punktów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry. Zadanie 2 1 Gra toczy się pomiędzy dwoma graczami: P 1 i P 2. Każdy z nich ma po jednej monecie 1-, 2- i 5-złotowej. Jednocześnie wybierają po jednej monecie. Jeżeli wybrane zostały te same typy monet gracz, P 1 wygrywa monetę graczap 2, natomiast gdy monety są różne to graczp 2 wygrywa monetę gracza P 1. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry. Zadanie 3 Dwóch graczy A i B wybrało z talii kart trzy karty: 1, 6 i 10. Gra polega na jednoczesnym okazaniu przez każdego z nich wybranej karty. Wygrywa starsza karta a zwycięzca zdobywa liczbę punktów równą różnicy między nominałami kart. Wyjątkiem jest wybranie pary 10 gdyż wówczas gracz A zdobywa 5 punktów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry. Zadanie 4 Dla podanych poniżej macierzy wypłat wyznaczyć punkt siodłowy i odpowiadające mu strategie. (a) (b) (c) (d) [ ] 1 Na podst. Rogalska D. (1991), s. 243