WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA INNOWACYJNY PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI W SZKOŁACH PONADGIMNAZJALNYCH

Transkrypt

1 WITUALNE LABOATOIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA INNOWACYJNY POGAM NAUCZANIA FIZYKI W SZKOŁACH PONADGIMNAZJALNYCH Moduł dydaktyczny: fizyka - infoatyka Gawitacja Gzegoz F. Wojewoda Człowiek - najlepsza inwestycja Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w aach Euopejskiego Funduszu Społecznego

2 Tytuł: Gawitacja Auto: g Gzegoz F. Wojewoda edakto eytoyczny: d hab. inż. pof. WWSI Zenon Gniazdowski MODUŁ 6 GAWITACJA FIZYKA ZAKES OZSZEZONY Mateiał dydaktyczny opacowany w aach pojektu edukacyjnego WITUALNE LABOATOIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. POGAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII INFOMATYCZNYCH OPACOWANE W AMACH POJEKTU: WITUALNE LABOATOIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. POGAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII INFOMATYCZNYCH Spis teatów: wlf@wwsi.edu.pl Wydawca: Waszawska Wyższa Szkoła Infoatyki ul. Lewatowskiego 17, Waszawa ektoat@wwsi.edu.pl 1. Pawa Keplea. Pawo powszechnego ciążenia. Pole gawitacyjne 4. Enegia potencjalna gawitacji 5. Pędkości kosiczne Teat 1 Pawa Keplea Wstęp Człowiek - najlepsza inwestycja Pojekt gaficzny: Maciej Koczanowicz Waszawa 01 Copyight Waszawska Wyższa Szkoła Infoatyki 01 Publikacja nie jest pzeznaczona do spzedaży W teacie ty postaay się pzybliżyć wa ewolucję poglądów na budowę Układu Słonecznego. Oówiy ównież epiyczne, bo wynikające z obsewacji, pawa dotyczące uchu planet dookoła Słońca. ozwój poglądów na budowę Układu Słonecznego Można powiedzieć, że podsuowanie wyobażeń staożytnych o Wszechświecie jest opublikowany w dugi wieku naszej ey odel geocentycznego systeu astonoicznego. Stwozył go żyjący w Aleksandii Klaudiusz Ptoleeusz. Staożytni odóżniali pawa dotyczące uchu ciał niebieskich od paw dotyczących zachowania się ciał na Ziei. Wspólną cechą ciał niebieskich było to, że pouszały się one po okęgach, a ich uch był wieczny. Gwiazdy stałe były nieu- ys Geocentyczny syste Ptoleeusza. Wesja uposzczona, zaznaczono jeden epicykl dla planety. Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w aach Euopejskiego Funduszu Społecznego

3 PAWA KEPLEA choe względe siebie, pzyocowane do sfey niebieskiej i waz z nią pouszały się po okęgach wokół Ziei. Zieia stanowiła centu Wszechświata (ys. 6.1.). Poiędzy sfeą gwiazd stałych a Zieią znajdowały się sfey poszczególnych planet. Do sfey pzyocowany był epicykl, na któy znajdowała się planeta. Jak ożna zauważyć na scheacie śodki epicykli Mekuego i Wenus leżą na linii łączącej Zieię i Słońce. Natoiast poień epicyklu dla tzech pozostałych planet (Masa, Jowisza i Satuna) był zawsze ównoległy do linii łączącej Zieię i Słońce. Księżyc pousza się po epicyklu, któego śodek znajdował się w punkcie obiegający Zieię po ały okęgu. Słońce było pzyocowane tylko do sfey niebieskiej. Wszystkie te obiekty ostatecznie wiowały wokół Ziei. Pzez następne piętnaście stuleci ludzkość dojzewała do ziany układu odniesienia względe któego opisywany jest uch ciał niebieskich. W opublikowany w 154 oku dziele De evolutionibus obiu coelestiu Mikołaj Kopenik pzedstawił ewolucyjne poysły na odel budowy Wszechświata. Najważniejsze postulaty tego odelu: nie istnieje śodek wszystkich sfe niebieskich, śodek świata znajduje się w punkcie w pobliżu Słońca, wokół któego kążą sfey poszczególnych planet oaz sfea gwiazd stałych. Według Kopenika widziany uch Słońca na sfeze niebieskiej jest skutkie uchu Ziei i sfey z nią związanej, z któą obacay się wokół Słońca. Zieia podobnie jak każda inna planeta wykonuje więc kilka uchów. Na ysunku 6.. pzedstawiono kolejność sfe pzedstawioną pzez Kopenika w piewszy ozdziale swojego dzieła. Nie oznacza to jednak, że uch planet w odelu Kopenika oganiczał się tylko do uchu po jednej sfeze. Ściśle zecz bioąc syste kopenikański nie był heliocentyczny. Aby wyjaśnić fakt, że Słońce szybciej pzesuwa się na tle gwiazd zią iż late Kopenik zuszony był pzyjąć, że śodek obity Ziei nie leży w śodku Słońca (ys. 6..). ys. 6.. Heliocentyczny odel Kopenika. ys. 6.. uch Ziei wokół Słońca według teoii Mikołaja Kopenika. Aby wyjaśnić inne nieegulaności w położeniu Słońca i innych obiektów na niebie Kopenik usiał założyć, że śodek obity Ziei nie jest nieuchoy, lecz pousza się po okęgu. A dopieo ten okąg kąży wokół Słońca. Podobnie skoplikowane uchy wykonywały pozostałe planety Układu Słonecznego. Mateatycznie syste heliocentyczny Kopenika z pewnością nie był postszy niż śedniowieczne wesje odelu geocentycznego. Na ysunku 6.4. pzedstawiono sposób, w jaki Kopenik tłuaczy powstawanie pętli podczas pzeieszczania się planety na sfeze niebieskiej. W ty pzypadku skozystano z uposzczenia uchu planet po obitach kołowych wokół Słońca. Kolejność planet została w heliocentyczny odelu Mikołaja Kopenika związana z czase ich obiegów wokół Słońca. W swojej teoii Kopenik wysunął ównież hipotezę, że ciężkość jest natualną dążnością ciał niebieskich do twozenia kul. Można stwiedzić, że była to piewsza hipoteza powszechnej gawitacji. W związku z ty, że Kopenik nie pzedstawił żadnych dowodów obsewacyjnych na słuszność swoich stwiedzeń, jego poglądy spotkały się z ostą kytyką. Pote jego dzieło De evolutionibus zostało uieszczone w indeksie ksiąg zakazanych. ys Ziana położenia Masa na sfeze niebieskiej widziana z powiezchni Ziei. Kilka lat po ukazaniu się dukie dzieła Kopenika uodził się Tycho Bahe. Ten duński astono wykonywał obsewacje z niezwykłą jak na ówczesne czasy pecyzją. Obsewując w 157 oku nową gwiazdę (obecnie wiey, że była to supenowa) podważył pogląd utzyujący się od staożytności o ty, że układ gwiazd jest stały od początku świata. Nie ogąc zaobsewować pzesunięcia paalaktycznego gwiazd podczas ocznego uchu Ziei wokół Słońca Bahe odzucał teoię Kopenika. Efekt paalaksy został dostzeżony wiele lat później, po zastosowaniu teleskopów do obsewacji nieba. Tycho Bahe swój własny odel, w yśl któego centu świata jest Zieia. Wokół Ziei kążą Księżyc i Słońce. Pozostałe planety kążyły wokół Słońca, a waz ze Słońce wokół Ziei. Pawa Keplea Na początku XVII wieku Johanes Keple pzedstawił badzo śiałą koncepcję. Założył, że planety pouszają się wokół Słońca po obitach eliptycznych. Okazało się wówczas, że wyniki obsewacji astonoicznych zgadzały się z odele ateatyczny. Piewsze pawo Keplea bzi więc następująco: Obita każdej planety jest elipsą. Słońce znajduje się w ognisku tej elipsy. Na ysunku 6.5. pzedstawiono eliptyczną obitę Ziei wokół Słońca. ysunek nie jest w popawnej skali. W zeczywistości odległość a jest badzo bliska odległości b i nie zobaczylibyśy eliptyczności obity. Z ysunku wynika, że odległość planety od Słońca nie jest stała. Punkt najniejszej odległości planety od Słońca nazyway peyheliu. Gdy planeta znajduje się w najdalej od Słońca, ówiy że jest w apheliu. ys I pawo Keplea. 4 5

4 PAWA KEPLEA W związku z ty, że zienia się odległość planety od Słońca, zienia się ównież watość pędkości pouszania się planety po obicie. Na podstawie obliczeń Keple stwiedził, że pole powiezchni zakeślane pzez linię łączącą planetę ze Słońce pozostaje stałe w czasie. Dugie pawo Keplea bzi: Poień wodzący planety w jednakowych odstępach czasu zakeśla jednakowe pola. Z ysunku 6.6 wynika, że odległość s p zakeślana w ty say czasie co odległość s A jest dłuższa. Oznacza to, że pędkość liniowa planety w peyheliu jest największa, a pędkość liniowa planety w apheliu jest najniejsza. ys II pawa Keplea. Po następnych kilku latach poszukiwań związku iędzy odległością planety od Słońca a okese jej obiegu wokół Słońca Keple odkył swoje tzecie pawo. Stosunek kwadatu okesu obiegu planety wokół Słońca do tzeciej potęgi śedniej odległości planety od Słońca jest wielkością stałą. T s const Znając dane obity Ziei oaz jeden z paaetów opisujących obitę dowolnej planety (śednią odległość lub okes obiegu) ożey wyznaczyć watość dugiego paaetu obity. Pzykład 1 Wenus kąży wokół Ziei po obicie o poieniu 108 ln k. Oblicz okes obiegu planety Wenus wokół Słońca. Kozystay z następujących danych dotyczących obity Ziei: Okes obiegu: T 1 ok 65,5 dni Śednia odległość Ziei od Słońca: z 150 1n.k Kozystay z III pawa Keplea: TZ TW Z ównania tego wyznaczay okes obiegu Wenus wokół Słońca: T W W TZ 65, 5dni Z Z W ( 108ln. k) ( 150ln. k) 65, 5dni 0,61 dni Jak nietudno się doyśleć teoia budowy świata podana pzez Keplea nie wszystki się spodobała. Niebawe jego dzieła znalazły się w indeksie ksiąg zakazanych. Potwiedzenie teoii Keplea pzyszło z Włoch. Galileusz był piewszy człowiekie, któy zastosował wynaleziony właśnie teleskop do obsewacji nieba. W wyniku tych obsewacji Galileusz odkył księżyce Jowisza. Keple zastosował swoje pawa do opisu uchu księżyców wokół Jowisza. Okazało się, że pawa te znalazły swoje potwiedzenie. I chociaż Galileusz nie uznawał teoii o eliptyczności obit planet, to ożna stwiedzić, że od czasów Galileusza i Keplea zaczyna się nowoczesna fizyka. Fizyka, w któej ostateczną weyfikacją pawdziwości paw jest doświadczenie. Galileuszowi bliski był układ kołowych obit planet kążących wokół Słońca, któy postulował Kopenik. Galileusz na potwiedzenie słuszności teoii heliocentycznej opócz istnienia satelitów Jowisza, pzytaczał dane obsewacyjne dotyczące faz Wenus oaz istnienie pla na Słońcu świadczących o jego obocie wokół swojej osi. Obecnie wiey, że planeta nie kąży wokół nieuchoego Słońca, ale układ planeta Słońce kąży wokół wspólnego śodka asy. Oczywiście śodek asy układu planeta Słońce znajduje się badzo blisko śodka Słońca. Dotyczy to wszystkich planet w naszy układzie planetany. Tzecie pawo Keplea uwzględniające powyższy fakt nazyway tzeci uogólniony pawe Keplea: Stosunek tzeciej potęgi śedniej odległości planety od Słońca do kwadatu okesu obiegu planety wokół Słońca jest popocjonalny do suy as Słońca i planety T G M + 4π Występująca we wzoze litea G oznacza stałą gawitacji. O stałej gawitacji będziey ówić w następny teacie. Uogólniona postać III pawa Keplea a ównież zastosowanie do księżyców obiegających planety, satelitów kążących wokół Ziei, planet kążących wokół innych gwiazd. Dla dwóch planet kążących wokół wspólnej gwiazdy III uogólnione pawo Keplea a postać: T1 ( MG + 1 ) 1 T M + gdzie M G asa gwiazdy, 1,, asy planet, 1,, odległości planet od gwiazdy. Podsuowanie G Planety kążą wokół Słońca po elipsach. Watość pędkości liniowej w uchu planety wokół Słońca zienia się, stałe pozostają pola powiezchni zakeślone pzez poień wodzący planety. Dla dwóch planet kążących wokół tej saej gwiazdy słuszne jest ównanie: T1 T 1 Odpowiedź: Okes obiegu Wenus wokół Słońca wynosi dni. 6 7

5 PAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Wstęp Teat Pawo powszechnego ciążenia Wskażey podobieństwa iędzy siłą powodującą spadanie jabłek z dzew a siłą powodującą uch Księżyca wokół Ziei. Wyjaśniy od jakich wielkości zależy siła wzajenego oddziaływania gawitacyjnego iędzy ciałai. Od czasów staożytnych uważano uch planet po kołowych obitach za natualny. Galileusz udowodnił, że uch jednostajny po linii postej bez opoów uchu nie wyaga siły napędzającej. A z obsewacji wynikało, że uch planet wokół Słońca odbywa się po elipsach a nie po okęgach. Wielu naukowców w XVII wieku staało się scalić w jedno odkycia Galileusza i Keplea. Izaak Newton był ty, któeu się to udało. Analizując zasadę bezwładności Galileusza Newton doszedł do wniosku, że siła powodująca uch planety wokół Słońca nie oże być skieowana wzdłuż kieunku pędkości planety, ale usi być skieowana do śodka kzywizny uchu. Czyli siła powodująca uch planety wokół usi pochodzić od Słońca! Ale czy oże istnieć siła wzajenego działania iędzy ciałai bez ich bezpośedniego kontaktu? Legenda wyyślona częściowo pzez saego Newtona głosi, że na ozwiązanie tej zagadki wpadł w ogodzie, pod jabłonią. Newton zastanawiał się czy natua siły powodującej spadanie jabłka z dzewa jest taka saa jak natua siły powodującej uch Księżyca wokół Ziei. Doszedł do wniosku, że Księżyc spadłby na Zieię tak jak jabłko gdyby nie to, że a pędkość w kieunku postopadły do kieunku działania siły. Stanowiło to ewolucję w ówczesny ozuieniu świata. Po az piewszy w dziejach nauki wysunięto hipotezę, że pawa pzyody są takie sae na ziei i w kososie. Stąd nazwa powszechne w pawie gawitacji. Jak wiadoo z teatu poświęconego dynaice uchu po okęgu watość siły dośodkowej powodującej Siła wzajenego pzyciągania gawitacyjnego iędzy dwoa ciałai jest wpost popocjonalna do iloczynu as tych ciał a odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości iędzy tyi ciałai. M F ~ g Jak widać (ys. 6.7.) watości obu sił są jednakowe. Oznacza to, że Słońce pzyciąga Zieię pewną siłą gawitacji, ale ównież siłą o takiej saej watości Zieia pzyciąga Słońce. Aby watość sił wzajenego oddziaływania gawitacyjnego iędzy ciałai wyazić w jednostkach siły w układzie jednostek SI usiy otzyany stosunek iloczynu as do kwadatu odległości iędzy asai ponożyć pzez pewną stałą. Stała ta nosi nazwę stała gawitacji i jej watość wynosi: N G 66710, 11. Wzó opisujący pawo powszechnego ciążenia pzyjuje wówczas postać: F G M g Zachęcay do zapoznania się z syulacją sił gawitacji działających na dwa ciała. Siła oddziaływania gawitacyjnego gwiazdy i planety jest siłą dośodkową powodującą uch po okęgu. Jak wynika z paw Keplea planety kążą wokół Słońca po elipsach, ale uczniowie szkół ponadginazjalnych są w stanie ateatycznie opisać uch odbywający się po okęgu. Jednak z całkie doby pzybliżenie ożna stwiedzić, że planety pouszają się wokół Słońca po okęgach. Znając okes obiegu planety wokół gwiazdy oaz poień obity tej planety ożna wyznaczyć asę tej gwiazdy. Znając okes obiegu księżyca wokół planety oaz poień obity tego księżyca ożna wyznaczyć asę tej planety. v uch ciała po okęgu wyażay wzoe: F d, zaś watość pędkości liniowej w uchu po okęgu wynosi: v ϖ. Łącząc te dwa wzoy watość siły dośodkowej ożna zapisać za poocą ównania: T F 4π d T Z III pawa Keplea wynika, że kwadat okesu obiegu planety wokół Słońca jest popocjonalny do tzeciej potęgi odległości planety od Słońca: T. Wstawiając tę zależność do wyażenia na watość siły dośodkowej otzyujey: F ~ 1 d Wynik tych postych ozważań jest następujący. Watość siły działającej na planetę w uchu dookoła Słońca jest odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości planety od Słońca. Zate gdy odległość ciała niebieskiego od Słońca ośnie dwukotnie, to watość siły z jaką Słońce pzyciąga to ciało aleje czteokotnie. Z tzeciej zasady dynaiki Newtona wynika, że jeśli Słońce pzyciąga planetę, to planeta pzyciąga Słońce. Siły wzajenego oddziaływania ają te sae watości i pzeciwne zwoty. Są też pzyłożone do óżnych ciał. Analizując uch koety odkytej pzez Edunda Halleya Izaak Newton doszedł do wniosku, że jego teoia gawitacji jest pawdziwa. Sfoułowane pzez Izaaka Newtona pawo powszechnego ciążenia: ys Siły wzajenego pzyciągania gawitacyjnego ają takie sae watości. 8 9

6 PAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Pzykład 1 Wiedząc, że Wenus obiega Słońce po obicie o poieniu 108, ln k (zakładay dla uposzczenie, że obita ta jest okęgie) w czasie 4 dób zieskich, oblicz asę Słońca. Taktując siłę gawitacji, z jaką Słońce pzyciąga Wenus, jako siłę dośodkową (ys. 6.8.) otzyujey: F F G M g M d M s W W v Skacając takie sae wyazy otzyujey: G M s v Wiedząc o ty, że watość pędkości liniowej w uchu po okęgu wynosi: v π T Podstawiając ten wzó do popzedniego wyażenia otzyujey: G M s π T Pzekształcając to wyażenie otzyujey: M S ys π 4π 108, 10 GT 11 N 66710, s , 0 Otzyujey: G M p G M k x d x Po skóceniu tych saych wielkości występujących po obu stonach ównania otzyujey: M p M k x d x Masa planety jest 144 azy większa od asy księżyca: 144M k M k x d x Wiedząc o ty, że odległość d-x nie oże ieć watości ujenych, ożey obie stony ównania spiewiastkować: 1 1 x d x Po kótkich pzekształceniach otzyujey: 1 1 x d 400tysk 69tys k Odpowiedź: Masa Słońca wynosi 1, Ale oddziaływanie gawitacyjne występujące wyłącznie iędzy dwoa ciałai to w kososie zadkość. W następny pzykładzie pzedstawiay sposób postępowania powadzący do wyznaczenia wypadkowej siły gawitacji pochodzącej od dwóch ciał, a działających na tzeci obiekt. Pzykład Na postej łączącej planetę z jej księżyce uieszczone jest ciało o asie 10t. Siły gawitacji działające na to ciało, a pochodzące od planety oaz księżyca się ównoważą. Oblicz, w jakiej odległości od planety znajduje się to ciało. Masa planety jest 144 większa od asy jej księżyca. Odległość księżyca od planety wynosi 400 tys. k. Naszkicujy sytuację pzedstawioną w zadaniu (ys. 6.9.). Na ciało o asie działają dwie siły: siła F pc, z jaką planeta pzyciąga to ciało oaz siła F kc, z jaką księżyc pzyciąga to ciało. Dla czytelności ysunku poinęliśy siły oddziaływania wzajenego iędzy planetą i księżyce. Zgodnie z waunkie wynikający z teści zadania watości tych sił są takie sae: F F pc kc ys Siły gawitacji działające na ciało o asie uieszczony iędzy obiektai o dużo większych asach. Odpowiedź: Ciało znajduje się 69 tys. k. od planety

7 Patz: Doświadczenie 1 Podsuowanie Wiey już, że pawa fizyki obowiązujące na Ziei obowiązują ównież w kososie. Watość siły wzajenego pzyciągania gawitacyjnego iędzy ciałai a watość: F G M g Wstęp Teat Pole gawitacyjne Dowiecie się, że pole to pojęcie ające w fizyce nieco inne znaczenie niż w ateatyce. Opiszey w jaki sposób gawitacja jest pzenoszona na odległość. Wyjaśniy co pion uaski a wspólnego z pole gawitacyjny. Poszukay końca pola gawitacyjnego Ziei. Do opisu pola gawitacyjnego użyjey dwóch jego odeli. Księżyc kąży wokół Ziei pod wpływe siły oddziaływania gawitacyjnego. ównież pod wpływe oddziaływania gawitacyjnego jabłka spadają z dzew. Ale nie ożna dostzec bezpośedniego połączenia iędzy Zieią a Księżyce, iędzy jabłkie a Zieią. Mówiy, że oddziaływanie gawitacyjne iędzy ciałai pzenoszone jest za poocą pola. Możey sfoułować następująca definicję pola gawitacyjnego: Jeżeli na asę o badzo ałych oziaach działa siła gawitacji o watości wpost popocjonalnej do wielkości tej asy, to ówiy, że asa ta znajduje się w polu gawitacyjny. A co oże być źódłe pola gawitacyjnego? Źódłe pola gawitacyjnego jest na pzykład Słońce. To siła pzyciągania gawitacyjnego, któego źódłe jest Słońce powoduje uch planet, asteoidów, koet wokół naszej gwiazdy. Ale Zieia, któa znajduje się w polu gawitacyjny Słońca powoduje, że Księżyc oaz sztuczne satelity kążą wokół niej pod wpływe siły pzyciągania gawitacyjnego. Tak więc Zieię też ożna uznać za źódło pola gawitacyjnego. A czy Księżyc wytwaza pole gawitacyjne? Na staych filach z lądowania ludzi na Księżycu widać, że swobodnie puszczone ciała spadają na powiezchnię Księżyca. Musiy więc uznać, że Księżyc też jest źódłe pola gawitacyjnego. Gdzie jest ganica zasięgu pola gawitacyjnego pochodzącego z danego źódła? Możey uznać, że wpływ pola gawitacyjnego danego źódła kończy się ta, gdzie ożna zaniedbać jego działanie na inne obiekty. Na pzykład satelita SOHO, służący do badania Słońca został uieszczony w punkcie, w któy ównoważą się siły gawitacji pochodzące od Słońca i od Ziei. Punkt ten znajduje się około 1,5 ln k od Ziei. Nie ożna powiedzieć, że w ty punkcie zanika pole pochodzące od Ziei. Ale kilka ilionów kiloetów dalej w kieunku Słońca wpływ Ziei na znajdujące się ta obiekty ożna już poinąć. Do opisu pola gawitacyjnego używać będziey wielkości fizycznej o nazwie natężenie pola gawitacyjnego. Natężenie pola gawitacyjnego to wekto ówny iloczynowi wektoa siły gawitacji działającej na pewne ciało o asie oaz asy tego ciała. γ F g Wekto natężenia pola a kieunek i zwot zgodny z kieunkie i zwote siły gawitacji. Watość natężenia pola gawitacyjnego. Jednostką na- obliczyy ze wzou: γ F g tężenia jest: lub s. Posta na któej leży wekto natężenia pola gawitacyjnego (ys. 6.10) a swój początek w źódle pola gawitacyjnego. Postą tę będziey nazywać linią pola gawitacyjnego. Linie pola gawitacyjnego będą gaficzną epezentacją pola gawitacyjnego. W pzypadku, gdy pole gawitacyjne pochodzi od wielu źódeł linie te ogą ieć ba- ys Linie natężenia pola gawiacyjnego. 1 1

8 POLE GAWITACYJNE dzo skoplikowane kształty. Na naszy pozioie opisu pzyody pozostaniey pzy pojedynczych źódłach co oznacza, że linie pola gawitacyjnego będą poste. ozważania na teat pola gawitacyjnego zaczniey od jednoodnego pola gawitacyjnego. To najbadziej pzybliżony odel tego pola. Na ys widziy swobodnie wiszące piony uaskie. Piony te wyznaczają lokalny kieunek działania siły gawitacji. Poijay pzy ty wpływ uchu wiowego Ziei na zachowanie się pionów. Łatwo sobie wyobazić, że gdybyśy powiesili w tej sali więcej pionów uaskich, to kieunki pzez nie wyznaczone byłyby do siebie ównoległe. Odkyliśy w ten sposób piewszą ważną cechę pola jednoodnego: W jednoodny polu gawitacyjny kieunki wektoów natężeń w óżnych punktach pola są do siebie ównoległe. ys Swobodnie wiszące piony uaskie wyznaczają linie jednoodnego pola gawitacyjnego. Watość natężenia pola w każdy punkcie jednoodnego pola gawitacyjnego jest taka saa. Patz: Aniacja ilustująca jednoodne pole gawitacyjne Możey podsuować odel jednoodnego pola gawitacyjnego. Jednoodne pole gawitacyjne to obsza, w któy ożey uznać, że linie pola są do siebie ównoległe. W obszaze pola jednoodnego watość natężenia pola gawitacyjnego jest w każdy punkcie taka saa. Możey pzyjąć, że na obszaze iasta, do wysokości kilku kiloetów nad powiezchnią Ziei istnieje jednoodne pole gawitacyjne. Oczywiście każde iasto a swoje własne jednoodne pole gawitacyjne. Kieunki wyznaczone pzez piony zawieszone w centu Poznania i centu Kakowa nie są ównoległe do siebie. Więc na większy obszaze stosowanie odelu jednoodnego pola gawitacyjnego jest niewłaściwe. ównież do opisu uchu satelitów wokół Ziei usiy stosować inny odel pola gawitacyjnego. Pzykład 1 Pion uaski a asę 50 g. Oblicz watość siły gawitacji działającej na ten pion w pobliżu powiezchni Ziei. Oblicz watość natężenia pola gawitacyjnego w pobliżu powiezchni Ziei. Watość siły gawitacji działającej na pion uaski: F G M g gdzie: M asa Ziei, 6, poień Ziei Podstawiając dane do wzou otzyay: 4 N F , 5 g 66710, 44, N , Z Watość natężenia pola gawitacyjnego: Fg 44, N N γ 98, 05, Odpowiedź: Watość natężenia pola gawitacyjnego w pobliżu powiezchni Ziei wynosi 9, 8 Otzyana watość natężenia pola gawitacyjnego jest badzo zbliżona do powszechnie znanej watości pzyspieszenia zieskiego g 981, s. óżnice wynikają z pzyjętych pzybliżeń. Analizując powyższy pzykład łatwo wyobazić sobie, że gdy nie zienia się odległość od śodka Ziei punktu, w któy wyznaczay watość natężenia pola gawitacyjnego, nie zienia się watość tego natężenia. Watość ta nie zienia się ównież pzy niewielkich zianach odległości od śodka Ziei. Możey pzyjąć, że na boisku szkolny oaz na dachu budynku szkolnego watości natężenia pola gawitacyjnego będą identyczne. Zapaiętajy duga cechę jednoodnego pola gawitacyjnego: N. ys Daleko od powiezchni Ziei linie utwozone ys Linie natężenia centalnego pola gawitacyjnego. pzez piony uaskie nie są ównoległe. Wyobaźy sobie, że zawiesiliśy piony uaskie daleko od siebie i w spoej odległości od Ziei (ys. 6.1.). Na zawieszony ciężaek działa siła pzyciągania gawitacyjnego pochodząca od Ziei. Zgodnie z definicją kieunek i zwot wektoa natężenia pola gawitacyjnego są zgodne z kieunkie i zwote działającej siły. Jak widać na ysunku 6.1. linie natężenia pola gawitacyjnego zbiegają się do źódła w postaci planety. Takie pole gawitacyjne nazyway centalny. Piewsza ważna cecha centalnego pola gawitacyjnego jest następująca: Linie centalnego pola gawitacyjnego zbiegają się do źódła tego pola. Wyznaczy teaz zależność watości natężenia pola w zależności od odległości od źódła tego pola. Zgodnie z definicją watość natężenia pola gawitacyjnego: γ F g Ale watość siły gawitacji działającej na ciało o asie : F G M g Podstawiając to wyażenie do wzou na watość natężenia pola: F G M g γ Tak więc watość natężenia pola gawitacyjnego w odległości od źódła: γ G M Ze wzou tego wynika duga ważna cecha pola centalnego: Watość natężenia pola w centalny polu gawitacyjny aleje z kwadate odległości od źódła. Patz: Aniacja ilustująca centalne pole gawitacyjne 14 15

9 POLE GAWITACYJNE Pzykład W odległości 5 tys. k od śodka pewnej planety watość natężenia pola gawitacyjnego wynosi 6 N. Oblicz, w jakiej odległości od śodka tej planety watość natężenia pola zaleje czteokotnie w poównaniu z watością początkową. Zakładay, że poień planety jest niejszy niż 5 tys. k. Watość natężenia pola w odległości początkowej: γ 1 G M 1 Watość natężenia pola w odległości końcowej: γ G M 1 Z teści zadania wiadoo, że: γ γ1 4 Do ostatniego ównania wstawiay wyażenia na watości natężeń pól: G M 1 G M 4 edukując wyazy podobne otzyujey: Tak więc ostatecznie: 4 10tys. k 1 1 Odpowiedź: Watość natężenia pola zaleje czteokotnie w odległości dwukotnie większej niż początkowa, czyli 10 tys. k. Wykes zależności natężenia pola od odległości od źódła pzedstawia ysunek Zakładay, że źódłe centalnego pola jest planeta, w któej asa jest ozłożona ównoienie. Jak ożna zauważyć watość natężenia pola wewnątz planety aleje liniowo do zea. W say centu planety siły pzyciągania gawitacyjnego pochodzące od wastw leżących powyżej się ównoważą, więc wypadkowa watość siły gawitacji w ty punkcie jest ówna zeo. Zeuje się więc watość natężenia pola. I dalej od śodka planety, ty watość natężenia pola jest większa. Największa watość natężenia pola w centalny polu gawitacyjny jest na powiezchni planety. Największa watość natężenia pola w centalny polu gawitacyjny jest na powiezchni planety. Na pzykład watość natężenia pola gawitacyjnego na powiezchni N Ziei wynosi 9, 8, watość natężenia pola ys Wykes zależności natężenia pola gawitacyjnego gawitacyjnego na powiezchni Księżyca wynosi od odległości od źódła. N 16,. W tabeli pzedstawiono watości natężeń pól gawitacyjnych na powiezchni planet Układu Słonecznego. W pzypadku planet gazowych po- 1 1 wiezchnia planety oznacza punkt znajdujący się w odległości ównej jej poieniowi od śodka planety. Watość natężenia pola gawitacyjnego na powiezchni Słońca wynosi około 74 N. Siła gawitacji działająca na ciała na powiezchni planety jest ówna iloczynowi asy ciała oaz watości natężenia pola gawitacyjnego. Na pzykład człowiek o asie 60, stojący na powiezchni ziei, jest pzyciągany pzez nią siłą o watości około 588 N. Gdyby uieścić ciało o takiej asie na powiezchni Słońca, byłoby ono pzyciągane siłą o watości N. Zieia pzyciąga siłą o takiej watości ciało o asie pawie 1,7 tony znajdujące się na jej powiezchni. Pzypoinay, że w naszych ozważaniach nie uwzględniay uchu wiowego planety. Do tej poy posługiwaliście się pojęcie ciężau ciała, gdy ozważaliście watość siły, z jaką Zieia działa na ciało o asie. Watość ciężau ciała ożna obliczyć ze wzou: Q g gdzie: asa ciała, g watość pzyspieszenia zieskiego. Poiędzy siłą gawitacji, z jaką Zieia pzyciąga ciało o asie znajdujące się na jej powiezchni a ciężae ciała jest subtelna óżnica. Zieia obaca się wokół swojej osi, ożey więc ją potaktować jako nieinecjalny układ odniesienia (ys. 6.15). Jak paiętacie w nieinecjalnych układach odniesienia działają siły bezwładności skieowane pzeciwnie do pzyspieszenia układu odniesienia. Punkt znajdujący się na powiezchni Ziei pousza się po okęgu z pzyspieszenie dośodkowy. Na ciało o asie znajdujące się w ty punkcie działa siła gawitacji F g oaz siła odśodkowa bezwładności F b. Wypadkowa tych sił jest ciężae ciała Q. Z ysunku wynika, że watość ciężau ciała zależy od położenia geogaficznego. Dlatego watość pzyspieszenia zieskiego zienia się w zależności od szeokości geogaficznej. Cięża ciała ys Ziany ciężau ciała w pobliżu powiezchni Ziei. a największą watość na biegunach (wówczas watość siły bezwładności jest ówna zeo) a najniejszą watość na ówniku. Ziany watości ciężau w zależności od położenia geogaficznego są też związane z biegunowy spłaszczenie Ziei (zienia się odległość od śodka Ziei). Poiay watości pzyspieszenia zieskiego wskazują, że zienia ono swoją watość od g 98, s na ówniku do g 978, s na biegunach. Jak widać nie są to duże ziany watości, więc nie popełniay dużego błędu gdy siłę ciężau ciała utożsaiay z siłą pzyciągania gawitacyjnego. Podsuowanie: Jednoodne pole gawitacyjne jest pzybliżenie pola centalnego. Watość natężenia jednoodnego pola gawitacyjnego nie zienia się w cały obszaze tego pola. Watość natężenia pola w centalny polu gawitacyjny aleje waz z kwadate odległości od tego pola: γ G M Planeta Watość natężenia pola [N/] Stosunek natężenia pola planety oaz Ziei Mekuy 4,9 0,45 Wenus 8,87 0,91 Zieia 9,8 1 Mas,7 0,8 Jowisz 4,8,5 Satun 10,4 1,06 Uan 8,87 0,91 Neptun 11,1 1,1 Tabela. Watości natężeń pól gawitacyjnych na poszczególnych planetach. Cięża ciała znajdującego się na powiezchni Ziei jest wypadkową działających na ciało sił gawitacji oaz odśodkowej bezwładności związanej z nieinecjalnością Ziei

10 ENEGIA POTENCJALNA GAWITACJI Wstęp Teat 4 Enegia potencjalna gawitacji Teat ten poświęcony jest wyjaśnieniu pobleu zachowawczości pola gawitacyjnego oaz enegii potencjalnej gawitacji. Wyjaśniy czy są óżnice w wykonaniu pacy podczas podnoszenia pzediotów po óżnych dogach. Podczas wycieczki po góach na szczyt wspina się dwóch tuystów. Któy z nich wykona większą pacę podczas wspinaczki ten któy szedł dłuższą, ale łagodniejszą tasą. Czy ten, któy wybał dogę kótszą, ale badziej stoą? Postaay się w ty teacie wyjaśnić fizyczne podstawy tego zagadnienia. Po kosiczny Discovey tuż po odcuowaniu od Międzynaodowej Stacji Kosicznej pousza się z pędkością o watości ponad 7 k/s względe Ziei. Aby wócić na Zieię załoga pou włącza silniki haujące. Po pewny czasie po kosiczny wchodzi w góne wastwy zieskiej atosfey z pędkością o watości ponad 0 k/s. Postaay się wyjaśnić fizyczne podstawy echanizów, któe powodują takie zjawiska. ys Pzesunięcie ciała uche jednostajny w jednolity polu gawitacyjny. Na początku zajiey się pacą wykonaną podczas pzeieszczania uche jednostajny ciała o asie w jednoodny polu gawitacyjny. Będziey pzeieszczać ciało od punktu A do B dwiea dogai: po linii postej od A do B oaz po liniach postych od punktu A do C i od punktu C do B (ys. 6.16). Pzyjujey, że watość natężenia pola gawitacyjnego γ jest ówna watości pzyspieszenia zieskiego g. Aby uch ciała był jednostajny siła gawitacji F g usi być ównoważona pzez pewną siłę zewnętzną F Z. Skoo watość siły gawitacji wynosi F g g, to ównież watość siły zewnętznej wynosi F Z g. Zgodnie z definicją pacy, watość pacy wykonanej pzez siłę zewnętzną F Z pzy pzesuwaniu ciała o asie od punktu A do punktu B obliczyy ze wzou: W A B F Z AB cosα, gdzie: cosα BC AB Więc paca siły zewnętznej F Z wynosi: W F AB BC A B Z AB Ale odcinek AB jest ówny wysokości h ponad pewny pozioe, wybany pzez nas jako zeowy. Natoiast watość siły zewnętznej wynosi F Z g. Więc ostatecznie watość pacy wykonanej na odcinku AB opisywana jest wzoe: W A B g h Paca wykonana nad ciałe podczas pzeieszczania od punktu A popzez punkt C do punktu B jest ówna suie pacy wykonanej pzy pzesuwaniu od punktu A do C oaz pacy wykonanej od punktu C do B: WA C B WA C + WC B Watość pacy wykonanej pzez siłę zewnętzną F Z na odcinku AC: W A C F Z AC cos900 Ale cos90 0 0, więc: W A C 0 Watość pacy wykonanej pzez siłę zewnętzną F Z na odcinku CB: W C B F Z CB cos00 Ale cos0 0 1 oaz FZ g, a odcinek AB jest ówny wysokości h, więc: W C B g h Ostatecznie paca wykonana na odcinku A C B jest ówna: W A C B g h Okazuje się, że watość pacy wykonanej pzez siłę zewnętzną nad pzesunięcie ciała o asie uche jednostajny w jednoodny polu gawitacyjny nie zależy od tou, po któy wykonano pzesunięcie. Zależy ona od ziany wysokości ponad pozioe, któy uznay za zeowy. Pole gawitacyjne jest pole zachowawczy, bo paca wykonana nad pzesunięcie ciała nie zależy od tou, po któy zostało ono wykonane. Jak już wiecie ciało wyniesione na pewną wysokość posiada enegię potencjalną gawitacji. Ściśle zecz bioąc jest to enegia potencjalna układu Zieia ciało, oddziałującego ze sobą gawitacyjnie. Ziana enegii potencjalnej gawitacji jest ówna pacy wykonanej nad zianą położenia ciała. Spóbujy wyjaśnić zachowawczość pola gawitacyjnego bez użycia wzoów ateatycznych. Wyobaźy sobie, że na dugi piętze budynku podczas jego budowy stoją dwa identyczne wiada. Jedno z nich zostało podniesione z poziou guntu za poocą żuawia budowlanego, a dugie zostało pzyniesione po dabinie (ys. 6.17). Nagle wiada zostały stącone i oba zaczynają spadać w ty say oencie. Któe z nich będzie iało tuż pzed udezenie w zieię większą enegię kinetyczną to wniesione po dabinie, czy to podniesione za poocą żuawia? Tak postawione pytanie niewątpliwie wzbudzi zdziwienie: Czy będzie jakaś óżnica? Zgodnie z oówioną już zasadą zachowania enegii echanicznej watość enegii kinetycznej ciała tuż pzez udezenie w zieię (w pzypadku spadania bez opoów uchu) jest ówna watości enegii potencjalnej ciała w chwili początkowej. Watość enegii potencjalnej ciała na wysokości h ponad pozioe uznawany za zeowy obliczay za poocą wzou: EP g h. Wynika z niego, że watość enegii potencjalnej gawitacji ciała na wysokości h ponad pozioe uznawany za zeowy, nie zależy od tou, po któy ciało zostało na wysokość tę podniesione. Wiey, że aby ciało ogło zostać uieszczone na wysokości h (czyli, aby wzosła watość jego 18 19

11 ENEGIA POTENCJALNA GAWITACJI enegii potencjalnej), usi zostać wykonana nad ni paca. Gdy ożey zaniedbać opoy uchu, pzyost enegii potencjalnej ciała jest ówny pacy wykonanej podczas podnoszenia tego ciała. Skoo pzyost enegii potencjalnej nie zależy od tou, po któy podnoszone jest ciało, to ównież paca zużyta na podnoszenie ciała nie zależy od tego tou. Można stwiedzić, że w każdy polu zachowawczy ciało oddziaływujące ze źódłe oże goadzić enegię potencjalną. E g h E p1 p1 1 g h J s 1 / 1 Taktując pozio podłogi jako pozio zeowy ożna obliczyć watość enegii potencjalnej E p : E g H g h + h p 1 E 1 10/ s ( 1+ 08, ) 18J p Zgodnie z zasadą zachowania enegii, gdy zaniedbujey opoy uchu, watość enegii kinetycznej kulki tuż pzed udezenie w podłoże jest ówna watości enegii potencjalnej na wysokości H. Odpowiedź: Watość enegii kinetycznej tej kulki tuż pzed upadkie na podłogę wynosi 18J. ys Pzyost enegii potencjalnej wiade nie zależy od tou, po któy zostały one wniesione na góę. Pzykład 1 Na wysokości 1 ponad stołe watość enegii potencjalnej kulki wynosi 10J (uznając pozio stołu za pozio zeowy). Oblicz watość enegii kinetycznej tej kulki tuż pzed upadkie na podłogę, któa znajduje się 0,8 poniżej poziou stołu. Podczas lotu należy zaniedbać wpływ opou uchu na lot kulki. Można pzyjąć, że watość pzyspieszenia zieskiego wynosi g 10 s. Sytuację opisaną w zadaniu pzedstawiono scheatycznie na ysunku Wyobaźy sobie, że na pozioie stołu początkowa enegia potencjalna kulki była ówna zeo. Po wykonaniu pewnej pacy W enegia potencjalna tej kulki na wysokości h1 1 a watość Ep1 10J. Możey wyznaczyć asę tej kulki: ys Względna watość enegii potencjalnej piłki. A co z tuystai opisanyi we wstępie do tego teatu? Okazuje się, że gdyby jedyną pacą wykonaną pzez tuystów była paca związana z pzyoste enegii potencjalnej związanej z pzeieszczenie tuysty od podnóża góy na szczyt, to watości pacy nie zależą od wybanej dogi. Większą pacę wykona ten, któego asa (waz z ekwipunkie) będzie większa. To badzo duże uposzczenie, bo podczas aszu pzy każdy koku podnosiy swój śodek asy. W ostateczny achunku watość wykonanej pacy będzie zależała od ilości koków oaz wysokości na jaką podnosiy się pzy każdy koku. Patz: Syulacja enegii potencjalnej w jednoodny polu gawitacyjny ys Paca wykonana podczas pzeieszczania siał o asie w centalny polu gawitacyjny. Jednoodne pole gawitacyjne jest pewny pzybliżenie pola centalnego. Ale natua obu pól jest jednakowa. Centalne pole gawitacyjne jest ównież pole zachowawczy, czyli ównież w polu centalny paca wykonana podczas pzeieszczania ciała o asie uche jednostajny nie zależy od tou tego pzesunięcia. Wyznaczyy wyażenie opisujące watość pacy wykonanej pzez zewnętzną siłę, ównoważącą siłę gawitacji podczas pzesuwania ciała uche jednostajny w centalny polu gawitacyjny. Watość pacy wykonanej podczas pzesunięcia ciała o asie od punktu A do punktu B (ys. 1.19) bezpośednio po linii postej jest ówna pacy wykonanej pzez siłę zewnętzną podczas pzeieszczania tego ciała po toze A C B. Wybieay ten ostatni to, bo łatwiej będzie wyznaczyć na ni wyażenie na watość pacy. Musiy paiętać, że watość siły gawitacji w centalny polu gawitacyjny nie jest stała, lecz aleje one waz z kwadate odległości od źódła. Aby uch ciała był jednostajny w każdy punkcie tou siła gawitacji F g usi być ównoważona pzez pewną siłę zewnętzną F Z. Więc watość siły F Z jest ówna watości siły F g : F F G M Z g Czyli watość siły pzesuwającej ciało aleje waz ze wzoste odległości od źódła. 0 1

12 ENEGIA POTENCJALNA GAWITACJI Pzykład: Oblicz watość pacy, jaką należałoby wykonać podczas pzeieszczania uche jednostajny satelity o asie 10 ton z powiezchni Ziei na obitę, o wysokości 00 k nad jej powiezchnię. ys Obliczanie pacy pzy pzesunięciu ciała o asie od punktu C do punku B. Wyznaczyy teaz watość pacy wykonanej na odcinku A C. Jak wynika z ysunku 6.0 kieunek działania siły F Z jest w każdy punkcie tou postopadły do pzesunięcia. Więc zgodnie z definicją pacy: W A C F Z s cos Gdy nie zienia się odległość od źódła, to watość pacy wykonanej pzez siłę ównoważącą siłę gawitacji jest ówna zeo. Wyznaczyy teaz watość pacy wykonanej na odcinku (ys. 6.1.). Kłopot polega na ty, że w poznany wyażeniu na watość pacy występuje siła, któej watość jest stała. A watość siły zewnętznej wykonującej pacę na odcinku C B aleje. Można do wyznaczenia tej pacy wykozystać achunek całkowy, ale jest on niedostępny dla uczniów szkół ponadginazjalnych. Jak już wiecie w takich pzypadkach poocny jest wykes zależności siły od dogi, na któej ta siła działała. Paca jest w ty pzypadku ówna watości pola pod wykese siły. Można ównież znaleźć pewną śednią siłę F ZS, któa na dodze B A wykona taką saą pacę jak siła zewnętzna F Z. Watość śedniej siły obliczyy ze wzou: F F F G M G M G M ZS ZA ZB A B A B Pacę wykonaną pzez śednią siłę na odcinku C B zapisujey ównanie: W F G M 0 C B ZS cos0 1 Podstawiając za B A otzyujey: W G M C B ( B A) A ostatecznie: A W G M C B 1 1 A B Pacą wykonaną podczas pzesunięcia ciała o asie od punktu A do punktu B pzez siłę zewnętzną F Z ównoważącą siłę gawitacji F g zapisujey wyażenie: W G M A B 1 1 A B B ys Wykes ziany siły gawitacji w funkcji odległości od źódła. Na wykesach zaznaczono watości pacy wykonanej pzez siłę ównoważącą siłę gawitacji. A B Odległość początkowa satelity od śodka Ziei wynosi 6400 A k, odległość końcowa wynosi 6600 A k. Masa Ziei wynosi M Wstawiay dane do wzou na pacę i otzyujey: 11 N WA B 6, , 6610, , J Odpowiada to ciepłu uzyskaneu ze spalenia około 650 litów benzyny. Odpowiedź: Aby pzenieść satelitę uche jednostajny z powiezchni Ziei na obitę potzeba wykonać pacę o watości , J. Paca wykonana w powyższy pzykładzie została zużyta tylko na pokonanie sił pzyciągania gawitacyjnego. W zeczywistości podczas wynoszenia satelitów potzeba wykonać pacę na pokonanie sił opoów uchu oaz zianę enegii kinetycznej satelity. Pole gawitacyjne jest pole zachowawczy, więc wykonanie pacy pzeciwko siło pola gawitacyjnego powoduje wzost enegii potencjalnej układu na podnoszone ciało źódło pola gawitacyjnego (lub inaczej enegii potencjalnej ciała w polu gawitacyjny). Watość tej pacy jest ówna zianie watości enegii potencjalnej. Wyznaczy wyażenie na watość enegii potencjalnej ciała o asie uieszczonej w odległości od źódła tego pola (ys. 6..). Nieskończenie daleko od źódła pola gawitacyjnego (w naszy pzypadku w punkcie B) ożey pzyjąć, że watość siły gawitacji działającej na ciało o asie jest ówna zeo. Możey więc ównież pzyjąć, że w punkcie ty watość enegii potencjalnej jest ówna zeo. Ziana watości enegii potencjalnej E E E p pb pa jest ówna pacy wykonanej podczas pzeieszczania ciała od punktu A do punktu B: W G M 1 1 A B Ep EpB EpA A B Wiedząc o ty, że E pb 0 oaz 1 0 B otzyujey: 1 G M 0 0 E A ys. 6.. Wyznaczenie watości enegii potencjalnej w centalny polu gawitacyjny. Enegię potencjalną ciała o asie w odległości A od źódła pola gawitacyjnego o asie M wyznaczyy z wyażenia: E G M pa A pa

13 Pozostaje wyjaśnić dlaczego watość enegii potencjalnej jest ujena. I dalej od źódła znajduje się ciało ty watość enegii potencjalnej jest większa. Nieskończenie daleko od źódła watość tej enegii jest największa, ale ównocześnie ówna zeo. Z lekcji ateatyki wiadoo, że zeo jest większe od każdej liczby ujenej. Pzykład Oblicz watość enegii potencjalnej człowieka o asie 60 znajdującego się na powiezchni Ziei. W ozwiązaniu pzyjij odel pola centalnego. Watość enegii potencjalnej ciała o asie w odległości od źódła o asie M obliczay ze wzou: E G M p Podstawiając dane do wzou otzyujey: 4 N E p 66710, 7510, J , Odpowiedź: Człowiek o asie 60 spoczywający na powiezchni Ziei a enegię potencjalną o watości 7510, 9 J. Wynik ten oznacza, że aby wywać człowieka z wpływu pola gawitacyjnego Ziei należy wykonań nad ni pacę o watości 7510, 9 J. Oczywiście zaniedbując wpływ wszelkich innych pól gawitacyjnych. Patz: Syulacja enegii potencjalnej w centalny polu gawitacyjny A co to wszystko a wspólnego z poe Discovey, o któy ówiliśy we wstępie? Włączenie na chwilę silników haujących powoduje zianę kieunku pędkości pou. Po zaczyna lecieć w kieunku powiezchni Ziei. Maleje watość jego enegii potencjalnej. A zgodnie z zasadą zachowania enegii gdy aleje watość enegii potencjalnej to ośnie watość enegii kinetycznej. Pędkość pou ośnie. Silniki anewowe dokonują koekty ustawienia pou względe kieunku lotu. Po ustawia się w taki sposób, aby siły opou atosfey wyhaowały go. Ale to już histoia. Po Discovey, oaz pozostałe aeykańskie wahadłowce, już nigdy nie polecą w kosos. Podsuowanie: Watość pacy wykonanej pzez siłę zewnętzną nad pzesunięcie ciała o asie uche jednostajny w jednoodny polu gawitacyjny nie zależy od tou, po któy wykonano pzesunięcie. Jednoodne pole gawitacyjne jest pole zachowawczy. Centalne pole gawitacyjne jest pole zachowawczy. Pacę wykonaną podczas pzesunięcia ciała o asie od punktu A do punktu B pzez siłę zewnętzną F Z ównoważącą siłę gawitacji F g zapisujey wyażenie: W G M A B 1 1 A B Enegię potencjalną ciała o asie w odległości od źódła pola gawitacyjnego o asie M wyznaczyy z wyażenia: E G M p Wstęp Teat 5 Pędkości kosiczne Wyjaśniy, jakie waunki uszą być spełnione, aby ożna było okążyć Zieię pouszając się pojazde bez napędu. Histoia lotów kosicznych sięga w zasadzie czasów Izaaka Newtona. W oku 178 Newton opublikował książkę, w któej opisał ekspeyent yślowy z uche satelitów wokół Ziei. Otóż wyobaźy sobie, że na Ziei jest badzo wysoka góa, na któej ustawiay aatę (ys. 6..). Z aaty tej wystzelono pocisk z pędkością początkową skieowaną pozioo (to znaczy postopadle do kieunku poienia Ziei). Watość pędkości początkowej była taka, że pocisk doleciał do punktu D. Gdy zwiększono watość pędkości początkowej, pocisk doleciał do punktu E. Po dalszy zwiększeniu watości pędkości początkowej pocisk dolatuje do punktu F, itd. Oczywiście cały czas zakładay, że uch pocisku odbywa się bez opoów powietza. Możey wyobazić sobie, że istnieje taka watość pędkości, z któą należy wystzelić pocisk z aaty, aby okążył on Zieię po okęgu i udezył w aatę. Wyjaśnijy dlaczego jest to ożliwe. Podczas lotu pocisku działa na niego siła pzyciągania gawitacyjnego (ys. 6.4.). Siła gawitacji jest w ty pzypadku siłą dośodkową. Pzyównajy wzoy na watości sił gawitacji oaz dośodkowej: F F g d Paiętay, że watość siły gawitacji działającej ys Piewsza pędkość kosiczna dla obity okołozieskiej. na pocisk opisujey wzoe: F G M p g, v p zaś watość siły dośodkowej opisujey wzoe: Fd. Gdzie poień okęgu, po któy pousza się pocisk, p asa pocisku. Pzyównując do siebie wyażenia na watości sił otzyujey: G M p v p Dzieląc obie stony ównania pzez p oaz nożąc pzez otzyay: G M ys. 6.. Góa Newtona. Stąd watość pędkości, z jaką pousza się pocisk w uchu po okęgu wokół Ziei opisuje ównanie: GM v v 4 5

14 PĘDKOŚCI KOSMICZNE Watość pędkości, z jaką pousza się satelita wokół planety, po okęgu o jak najniejszy poieniu nazyway piewszą pędkością kosiczną. Watość tej pędkości: gdzie: M asa planety, poień planety v I Najczęściej planety posiadają atosfeę, więc poień najniejszej obity usi być nieco większy od poienia planety. Pzykład 1 Oblicz watość piewszej pędkości kosicznej dla Ziei. Poównaj otzyany wynik z watością pędkości, z jaką pousza się Międzynaodowa Stacja Kosiczna. Masa Ziei wynosi M 59810, 4, poień Ziei wynosi: 6810, 6 Wstawiając te dane do wzou na watość I pędkości kosicznej otzyay: 11 N , 5, k vi 79110, 7, , s s Stacja kosiczna pousza się po obicie o poieniu 6810, + 0, , Watość I pędkości kosicznej dla stacji kosicznej: 11 N 66710, 5, v IST , GM 4 k 77010, 7, 7 s s Odpowiedź: Watość I pędkości kosicznej dla Ziei wynosi 7,91 k/s (teoetycznie, bo w pobliżu powiezchni Ziei opócz siły gawitacji na satelitę działa siła opou powietza). Paktyczna watość I pędkości kosicznej dla Ziei wynosi 7,7 k/s. Wynik powyższego pzykładu świadczy o ty, że i jest większy poień obity satelity, ty watość pędkości z jaką się on pousza jest niejsza. Jaki będzie to uchu satelity, któego watość pędkości będzie większa od I pędkości kosicznej? W punkcie P obity kołowej pewnego satelity nadajey u pędkość większą od watości I pędkości kosicznej (ys. 6.5.). Satelita zacznie pouszać się po obicie eliptycznej. I odległość satelity od Ziei jest większa, ty watość jego pędkości jest niejsza. Spóbujy wyjaśnić dlaczego tak się dzieje. Podczas uchu po elipsie na satelitę działa siła pzyciągania gawitacyjnego pochodząca od Ziei. Ale kieunek działania tej siły nie jest postopadły do kieunku pędkości satelity. Wyjątek stanowią punkty znajdujące się najbliżej Ziei peygeu, oaz najdalej Ziei apogeu. W punktach tych kieunki sił gawitacji są postopadłe do kieunków pędkości. Składowa siły gawitacji działająca wzdłuż wektoa ys Eliptyczna obita wokół Ziei. pędkości podczas oddalania się satelity pzeciwdziała uchowi. Powoduje to zniejszanie się watości pędkości satelity. Gdy satelita zbliża się do Ziei, to składowa siły gawitacji powoduje wzost watości jego pędkości. Ale watość siły gawitacji aleje waz ze wzoste odległości satelity od Ziei. Łatwo ożna sobie wyobazić, że gdy watość pędkości, z jaką wyzuciy satelitę z punktu P będzie zbyt duża, to siła gawitacji nie będzie w stanie spowodować powotu satelity do punktu P. ys Duga pędkość kosiczna. Najniejsza watość pędkości, z jaką należy wystzelić ciało z pola gawitacyjnego danej planety aby ciało oddaliło się bezpowotnie nazyway dugą pędkością kosiczną. Na ysunku 6.6. pzedstawiono sposób ozuowania powadzący do znalezienia wyażenia na watość dugiej pędkości kosicznej. Wokół Ziei po obicie o poieniu kąży statek kosiczny. W pewny oencie wystzeliwuje go się z dugą pędkością kosiczną. Enegia statku w oencie wystzelenia jest suą enegii kinetycznej oaz potencjalnej: 1 E v G M pocz II gdzie: asa statku, M asa Ziei, odległość początkowa statku od Ziei Po dotaciu do punktu odległego nieskończenie daleko od Ziei (pzy założeniu baku innych źódeł pól gawitacyjnych) statek kosiczny zatzyuje się. Zgodnie z definicją dugiej pędkości kosicznej statek oddala się do nieskończoności. Enegia kinetyczna nieskończenie daleko od Ziei jest więc ówna zeo. Jak już wiecie watość enegii potencjalnej nieskończenie daleko od źódła też jest ówna zeo. Zgodnie z zasadą zachowania enegii watość enegii końcowej jest ówna watości enegii początkowej, otzyujey więc: 1 v G M 0 II Pzekształcając powyższy wzó dowiadujey się, że watość II pędkości kosicznej ożna obliczyć ze wzou: GM vii Dugą pędkość kosiczną nazyway czase pędkością ucieczki z danego ciała niebieskiego. Podobnie jak to było w pzypadku I pędkości kosicznej teoetyczną watość II pędkości kosicznej dla danej planety obliczyy wstawiając do wzou poień planety. W paktyce nadanie II pędkości kosicznej odbywa się w pewnej odległości od powiezchni Ziei. Powyższy wzó nie uwzględnia wpływu innych ciał niebieskich na uch statków kosicznych. Minialna watość pędkości pojazdu kosicznego wystzelonego w kieunku Księżyca oże być więc nieco niejsza niż wyznaczona teoetycznie ze wzou na watość II pędkości kosicznej. Patz: Aniacja ilustująca pędkości kosiczne 6 7

15 PĘDKOŚCI KOSMICZNE Pzykład Poównaj teoetyczne watości II pędkości kosicznej dla Ziei i Księżyca. II pędkość kosiczna dla Ziei: v IIZ GM Z II pędkość kosiczna dla Księżyca: v IIK Z GM K K 11 N 667, , , 11 N 667, , , 4 k 11, s k 7, s Odpowiedź: Pędkość ucieczki z Ziei jest około 4,7 azy większa niż pędkość ucieczki z powiezchni Księżyca. Zapewne ciekawi was, czy ożna tak ozpędzić ciało, żeby wyleciało ono poza Układ Słoneczny, czyli poza wpływ pola gawitacyjnego Słońca. Najniejsza pędkość jaką należy pzy ty nadać niektózy nazywają III pędkością kosiczną. Chociaż tak napawdę jest to pędkość ucieczki z pola gawitacyjnego, więc jest to II pędkość kosiczna. Oczywiście watość tej pędkości zależy od odległości od Słońca, w któej zostanie obiekt wystzelony. Pędkość ucieczki z Układu Słonecznego sondy wystzelonej z obity Ziei wynosi ponad 4 k/s. A pędkość ucieczki z obity Jowisza tylko 19 k/s. Już tzy sondy kosiczne opuściły nasz Układ Słoneczny (piewszą była sonda Pionee 10), ale ich pędkości są niejsze niż 4 k/s. Opócz pojazdów kosicznych służących do badania pzestzeni kosicznych wokół Ziei kąży wiele satelitów, któe służą do obsewacji Ziei (w ty satelity szpiegowskie i eteoologiczne) oaz pełnią olę użytkową. W ty na pzykład satelity systeu GPS służącego do pecyzyjnego wyznaczania pozycji na powiezchni Ziei (tzw. nawigacja satelitana). Pzyjeność oglądania pogaów telewizji satelitanej zapewniają satelity telekounikacyjne, kążące wokół Ziei po obicie stacjonanej. Satelita stacjonany, to satelita, któy znajduje się ciągle nad ty say punkte na powiezchni Ziei. Obita stacjonana leży wyłącznie ys Obita stacjonana. w płaszczyźnie ównika zieskiego (ys. 6.7.). Wszystkie satelity kążą wokół Ziei pod wpływe jej pola gawitacyjnego. Siła pzyciągania gawitacyjnego jest siłą powodującą uch satelitów wokół Ziei (żaden pojazd kosiczny nie jest wyposażony w ciągle działający napęd). Zieia potzebuje 4 godzin na wykonanie jednego obotu wokół swojej osi. Aby satelita ógł być nieuchoy względe punktu na powiezchni Ziei, na wykonanie jednego pełnego obiegu wokół naszej planety ównież potzebuje 4 godzin. Tylko w pzypadku uieszczenia satelity w płaszczyźnie ównika, w odpowiedniej odległości, jest to ożliwe. Pzykład Oblicz watość poienia obity stacjonanej satelity kążącego wokół Ziei. uch satelity odbywa się pod wpływe siły gawitacji, któa w ty pzypadku jest siłą dośodkową: G M v Dzieląc obie stony ównania pzez asę satelity oaz nożąc pzez poień obity otzyujey: G M v Wiey, że watość pędkości liniowej w uchu po okęgu: v π T Wstawiając to do popzedniego ównania otzyujey: G M 4 π T Z tego ównania wyznaczay poień obity stacjonanej: GMT 4π Wyażenie to jest pawdziwe dla każdej planety. Podstawiając do wzou dane dotyczące Ziei otzyujey: 11 N 66710, 5, s 4π 4 4, 5tysk.. Odpowiedź: Poień obity stacjonanej wokół Ziei wynosi pawie 4, tys. k. Satelity stacjonane pzekazujące pogay telewizyjne do Polski ównież kążą nad ównikie. ównik znajduje się na południe od Polski, więc anteny telewizji satelitanej skieowane są w pzybliżeniu na południe. Podsuowanie: Aby okążać planetę bez napędu po okęgu należy ozpędzić się do I pędkości kosicznej. Watość tej pędkości obliczay ze wzou: GM vi Aby wywać się z pola gawitacyjnego ciała niebieskiego należy ozpędzić się do II pędkości kosicznej. Watość tej pędkości obliczay ze wzou: GM vii 8 9