2. Podstawy Mathcada Dlaczego Mathcad?

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Podstawy Mathcada. 2.1. Dlaczego Mathcad?"

Transkrypt

1 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada. Podsawy Mahcada.. Dlaczgo Mahcad? Spośród wilu programów ompurowych wspomagaących rozwiązywani róŝngo rodzau zagadniń lrochnicznych Mahcad wyróŝnia się względną prosoą, wyazuąc przy ym pwną ogólność w rozwiązywaniu zagadniń. Dlago właśni zdcydowano się na go zasosowani oraz omówini i zasosowani na laboraorium. MoŜ być zasosowany do rozwiązania zadania proowgo

2 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada.. Podsawy Mahcada (na podsawi pliu pomocy Mahcada) PoniŜszy s nalŝy na biŝąco ilusrować w Mahcadzi. Prznowany mariał w Ŝadn sposób ni wyczrpu opisu programu, lcz sanowi dyni wsęp do go moŝliwości.... Doumn programu Mahcad Doumn Mahcada, zwany aruszm, nalŝy do zw. doumnów inracynych. KaŜda zmiana w doumnci znadu naychmias odzwircidlni w dalsz części doumnu (a a w Exclu, gdzi zmiana w dn omórc odzwircidla się naychmias w omórach z nią powiązanych). Mahcad łączy inrfs Ŝywgo doumnu ypu arusza alulacyngo z sysmm WYSIWYG (Wha You S Is Wha You G - dosasz o co widzisz) procsora su, pozwalaąc rozwiązać dowoln oryczni zagadnini. W aruszu moŝna umiszczać równania, s i grafię w dowolny sposób miszaąc z sobą. UmoŜliwia o ław śldzni złoŝonych opraci oraz prznowani wyniów obliczń na dwu- lub rówymiarowych wyrsach. Obszar ona Mahcada słada się z arusza, bli mnu, pasa przycisów szybigo dosępu, pasa formaowania oraz wnualni oin przycisów (pal)

3 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada Arusz Mahcada o zbiór równań, su oraz grafii. KaŜdy ai lmn o zw. rgion. Mahcad worzy niwidzialny prosoą ograniczaący aŝdy rgion. Aby uworzyć rgion nalŝy linąć pusy obszar arusza, co umiszcza mały rzyŝy w miscu linięcia. Nasępni moŝna wpisać równani, s lub uworzyć wyrs. JŜli raz zacznimy coś wpisywać z lawiaury, o domyślni Mahcad porau o ao wyraŝni mamayczn (zwan dal równanim). Aby wpisać s, nalŝy zacząć od naciśnięcia cudzysłowu " (zn. SHIT + ) lub po prosu wpisać pirwszy wyraz i spacę, aby Mahcad auomayczni zminił rgion z równania na s. Z oli grafię umiszcza się za pomocą odpowidnich polcń mnu, przycisów lub sróów lawiaurowych. W razi porzby rgiony moŝna przsuwać w inn misc, zminiać ich rozmiary, usuwać, opiować id

4 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Mahcad ao alulaor W Mahcadzi moŝna obliczyć warość wyraŝnia mamayczngo. W ym clu wpisumy wyraŝni i nacisamy lawisz. Powodu o wyświlni po praw sroni wyniu. MoŜna uŝywać sandardowych opraorów, ór wpisumy np. za pomocą lawiszy: + - dodawani (SHIT + ), - odmowani lub zmiana znau, * - mnoŝni (SHIT + 8 ) - wyświla ao, / - dzilni - wsawia szablon, ^ - poęgowani (SHIT + 6 ) - wsawia szablon, \ - pirwias wadraowy (o niumn części rzczywis) - wsawia szablon, Crl + \ - pirwias dowolngo sopnia - wsawia, ( i ) - nawiasy (SHIT + 9 i SHIT + ), ' - obmu nawiasami aualni wybran podwyraŝni, - warość bzwzględna - wsawia. Przyładowo, aby wpisać 5 3 moŝmy wpisywać olno:, +, /, \, 5, Spac, +,, ^,, Tab,,, Crl + \,, Tab, 3, Spac, Spac, Spac, *, 3. ZauwaŜmy, Ŝ Tab przchodzi pomiędzy olnymi polami, a Spac wychodzi z podwyraŝnia o dn poziom wyŝ. Zwróćmy przy oazi uwagę, Ŝ podczas dyci wyraŝnia mamayczngo poawiaą się zw. lini dycyn, ór wsazuą podwyraŝni, ór s aualni dyowan. Po naciśnięciu dosamy wyni: MoŜmy uŝywać sandardowych funci, np. sin, cos, an, xp, ln ip. Argumny funci poda się w nawiasach orągłych i oddzila przcinami. Mahcad rozróŝnia mał i duŝ liry - nazwy funci podamy na ogół małymi lirami, chyba Ŝ w nazwi s aura duŝa lira, np. funcę Bssla J n (x) wpisumy ao Jn(n, x). Mahcad ofru ila sandardowych sałych mamaycznych, z órych nawaŝnisz o π, oraz, ór wpisu się odpowidnio ao Crl + P, oraz CTL + Z. Ponado dfiniu ao duŝą liczbę, co pozwala aŝ uŝywać go symbolu w obliczniach. Klawiszologia: - wyświla wyni numryczny, Spaca - przści poziom wyŝ w wyraŝniu, Tab - przści do nasępngo pola, Crl + P - wpisu π, Crl + Z - wpisu

5 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..3. Liczby zspolon Mahcad ma wbudowaną obsługę liczb zspolonych. Np. liczbę + 3 wpiszmy ao, +, 3 (zamias moŝna uŝyć i). Al uwaga: liczbę + wpisumy ao +. Ta więc do symbolizowania dnosi uroon Mahcad uŝywa i lub. Wyonuąc oblicznia na liczbach zspolonych, moŝmy orzysać z sandardowych funci aich a, Im, (moduł, wpisywany ao ), arg. Argumn liczby zspolon podawany s w radianach. JŜli np. napiszmy arg( + i), o dosanimy.785. Aby uzysać wyni w sopniach, posępumy nasępuąco: liamy myszą w obszar wyraŝnia lub wyniu - za wyniim.785 poawi się dodaow pol, w ór wpisumy dg: arg( i).785 arg( i) 45 dg Wsazu o dnosi, w órych chcmy uzysać wyni. Jao wyni uzysamy wdy 45. SprzęŜni wpisu się ao " (SHIT + ' ). Mahcad oznacza sprzęŝni rsą nad danym wyraŝnim. ( 3i) 3i Liczby zspolon mogą być argumnami wilu funci udosępnianych przz Mahcada, w ym sin, cos, xp, ln, aan ip. W udosępnion wrsi ni moŝna sosować liczb zspolonych ao argumnów funci spcalnych, np. funci Bssla I n czy funci błędu rf. Klawiszologia: i lub - dnosa uroona, (z) - część rzczywisa liczby z, Im(z) - część uroona liczby z,, z - moduł liczby z (poawia się z ), arg(z) - argumn liczby z, z, " - sprzęŝni liczby z (poawia się z )

6 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..4. Wyrsy funci dn zminn Aby narysować wyrs funci dn zminn, worzymy wyrs za pomocą sróu (SHIT + ). Poawi się rgion grafii, na razi w formi szablonu. W misc czarnych prosoąciów (pól) wpisumy odpowidni wyraŝnia. Np. aby narysować wyrs sin(x), w doln pol wpisumy x, a w lw - sin(x). JŜli ni wypłnimy aigoś pola, ór s wymagan, o poawi się ono na czrwono, np. JŜli dna wypłnimy pola zgodni z wczśniszym opism, o dosanimy wyrs sin( x) x Przy ońcach osi poziom znaduą się pola zarsu osi - dwa podrślon misca, w órych począowo znaduą się liczby oraz. MoŜmy zminić zars zminn x na od do

7 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada sin( x) x 7 TaŜ przy osi pionow znaduą się pola zarsu osi, ór domyślni zawiraą warości auomayczni wyznaczon przz Mahcada a, aby zmiścił się cały wyrs. J aŝ moŝmy zminić. W dnym rgioni moŝ być więc wyrsów. Aby dodać wyrs drugi funci, usawiamy ursor uŝ za sin(x), wpisumy przcin oraz drugą funcę, np. x (. \, x) sin( x) x x 7 Dodamy raz lini siai. Dwuroni linięci na obszar wyrsu powodu wyświlni oina formaowania wyrsu, w órym moŝna orślić indywidualn prfrnc rysowania wyrsów. Zaznaczamy Grid Lins dla obydwu osi i orzymumy 4-3-9

8 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada sin( x) x x 7 Za pomocą go samgo szablonu moŝna narysować wyrs funci zadan paramryczni, np. x() sin(), y() sin(). W ym clu w pol osi poziom wpisumy sin(), a w pol osi pionow sin() sin( ) sin( ) Mahcad domyślni rysu fragmn wyrsy dla od do. Późni poznamy sposób, aby o zminić. Klawiszologia: SHIT + - wsawia szablon wyrsu, podwón linięci na wyrsi - ono opci wyrsu

9 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..5. Dfiniowani zminnych salarnych Aby zdfiniować zminną, piszmy nazwę i uŝywamy :, co wpisu się za pomocą dwuropa : (SHIT + ; ). JŜli nazwa zminn s dla Mahcada niznana, o moŝna Ŝ nacisnąć, co da n sam f. Np. dfinicę zminn o nazwi d: d, : Nasępni wpisumy wyraŝni dfiniuąc zminną i zawirdzamy Enr. d d sin Od chwili w wszysich rgionach poniŝ dfinici moŝna uŝywać zdfiniowan zminn d. Np. d.97 d.943 Pamięamy, Ŝ Mahcad prowadzi oblicznia o góry na dół i od lw do praw, więc nasza zminna widoczna s dyni przz rgiony znaduąc się fizyczni za rgionm dfiniuącym zminną. KaŜda zmiana w dfinici powodu auomayczn przliczni dalszych formuł i uaualnini grafii. Np. Ŝli wrócimy do d i zminimy dfinicę na d π o auomayczni dosanimy d.77 d 4.4 Ta ccha auomayczn aualizaci s bardzo pomocna w badaniu ypu a co śli?. Zminiaąc warości róŝnych paramrów moŝmy od razu przonać się a wpływaą on na wynii obliczń. Jdna Ŝli z aigoś powodu ni chcmy, aby Mahcad auomayczni przliczał arusz (np. chcmy wyonać ila zmian, a oblicznia po aŝd zmiani byłyby bardzo czasochłonn), o moŝmy wyłączyć auomayczn przliczani: w mnu Mah liamy na Auomaic calculaion i usuwamy pasz. W n sam sposób przywracamy auomayczn oblicznia. JŜli w wyraŝniu uŝymy aigoś nizdfiniowango wyŝ symbolu, poawi się on na czrwono, np. q p Próbowaliśmy ua zdfiniować zminną q za pomocą wyraŝnia p +, yl, Ŝ Mahcad ni wi co o s p

10 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..6. Dfiniowani funci unc dfiniu się podobni a zminn, al dodaowo funca posiada argumny podawan w nawiasach i oddzilon przcinaami, ór mogą być uŝy po praw sroni znau przypisania,. w dfinici funci. Zdfiniumy funcę obliczaącą wadra liczby i nazwimy ą wadra. unca powinna mić dn argumn, óry nazwimy x. J dfinica wygląda nasępuąco wadra( x) x co w Mahcadzi zapisumy ao: wadra(x), :, x, ^,, Enr. Od chwili moŝmy pisać np. wadra(5) orzymuąc w wyniu 5. Przyład funci dwóch zminnych: powr( x, n) x n unc zdfiniowan są raowan a a func wbudowan. MoŜmy więc rślić ich wyrsy i wyonywać ai sam oprac a na funcach wbudowanych...7. Nazwy dfiniowanych symboli Nazwa zminn - lub ogólni dfiniowango symbolu - moŝ zawirać liry alfabu angilsigo (mał lub duŝ) lub grcigo (mał lub duŝ), cyfry, zna aposrofu ' (prim), zna podrślnia _, zna procnu %, symbol nisończoności. Do wpisania liry grci moŝna zasosować palę alfabu grcigo lub sró lawiaurowy Crl + G. Np. aby wpisać α, nacisamy a, a pom Crl + G. Nazwa moŝ Ŝ zawirać indsy doln, ór wpisu się za pomocą ropi. - np. zminną o nazwi a p wpisumy ao a,., p. a p Klawiszologia: : - dfinica zminn lub funci,. - inds dolny w nazwi, Crl + G - zamiana poprzdni liry na lirę grcą

11 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..8. ozwiązywani równań algbraicznych Mahcad umoŝliwia rozwiązywania równań i uładów równań algbraicznych, a aŝ róŝniczowych. Ofru w ym clu całim sporo funci. Tua ograniczymy się do prosych przyładów Znadowani dngo z rozwiązań podynczgo równania za pomocą roo Aby znalźć dno z rozwiązań równania posaci f(x), moŝmy posąpić wyorzysać funcę wbudowaną roo. Przypuśćmy, Ŝ chcmy wyznaczyć rozwiązani równania x cos( x ) 4 Narysowawszy wyrs lw i praw srony swirdzamy, Ŝ równani o ma rzy rozwiązania znaduąc się w pobliŝu x, x oraz x cos( x) x x Aby sorzysać z funci roo, musimy orślić przybliŝon rozwiązani. JŜli napiszmy x a nasępni orzysamy z funci roo, o orzymamy roo cos ( x) x 4, x.5 Ja widać, na podsawi warości począow Mahcad znalazł doładnisz rozwiązani równ ooło,5. Kliaąc na n wyni i nacisaąc CTL + SHIT + N, dosamy na dolnym pasu wyni zawiraący więc cyfr. Aby znalźć inn rozwiązani, musimy podać inny pun sarowy i znowu wyorzysać funcę roo, np. x roo cos ( x) x 4, x.33 x 4 roo cos ( x) x 4, x

12 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..8.. Znadowani rozwiązania uładu równań za pomocą blou Givn-ind ozwiąŝmy uład równań x + y 9 y x órgo rozwiązaniami są pary punów (x, y) znaduąc się na przcięciu oręgu o środu w punci O i prominiu 3 oraz pros y x +. obimy rysun 4 4 x 3 sin( ) x, 3 cos( ) 4 Z obraza widzimy, Ŝ są dwa rozwiązania: ooło (, ) oraz (, ). Podobni a przy roo, musimy podać warości domyśln, np. x y Traz budumy zw. blo Givn-ind: napirw wpisumy słowo Givn, pom równania. Zna równości w równaniach wpisumy ao CTL + - Mahcad wyświla wdy pogrubiony zna równości - opraor rlaci równości (s o inny opraor niŝ : - opraor przypisania, a aŝ inny niŝ - opraor waluaci numryczn). W ońcu wpisumy ind(x,y) i nacisamy (ua właśni s zwył równa się - opraor waluaci numryczn). Orzymumy wyni w posaci wora, órgo pirwsza warość odpowiada x, a druga - y. Givn x y 9 y x ind( x, y)

13 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada Znadowani rozwiązań symbolicznych Mahcad porafi Ŝ znalźć rozwiązania symboliczn (w pwnym zarsi). MoŜmy np. znalźć symboliczni pirwiasi poprzdnigo zagadninia. Wsawiwszy y x + do pirwszgo równania dosanimy x ( x ) a gdzi zamias 9 napisano a (a s prominim oręgu). Traz zaznaczamy ę zminną, względm ór chcmy znalźć pirwias powyŝszgo wyraŝnia (. rozwiązani równania orzymango po przyrównaniu go wyraŝnia do zra). W naszym przypadu zaznaczamy x i z mnu Symbolics Variabl wybiramy Solv. Mahcad poda wyni... a. a óry oznacza, Ŝ mamy dwa rozwiązania dla x. Podan ua mody ni wyczrpuą wszysich moŝliwości rozwiązywania równań ofrowanych przz Mahcada

14 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..9. Zminn zarsow i indsow Oprócz zminnych salarnych (o podyncz warości) Mahcad ofru zw. zminn zarsow, ór przymuą przliczalni wil warości z podango przdziału. MoŜmy np. zdfiniować zminną i przymuącą warości od do co. W ym clu piszmy olno i, :,, ;,, co powodu poawini się na rani i.. (zauwaŝmy, Ŝ zna.. wpisumy lawiszm ; ). JŜli raz zaŝądamy wyświlnia warości i poprzz napisani i,, o dosanimy poniŝ ablę z olnymi warościami przymowanymi przz i: i W powyŝszym przyładzi warość zminn i wzrasała co, al moŝmy uzysać zmianę o dowolną liczbę, np. o.. Ogólni po znau dfinici : wpisumy wdy napirw pirwszą warość zminn, pom drugą, pom zna.., a na ońcu osanią warość zminn. Np. Ŝli chcmy, aby,.,.4,.6,, 5, o wpisumy, :,,,,., ;, 5, co powodu wyświlni,... 5 Zminn zarsow, ór przymuą warości liczb nauralnych, nazywać będzimy zminnymi indsowymi (np. zminna i powyŝ, al ni zminna ). Zminn indsow wyorzysu się do numrowania lmnów lisy, wora, macirzy. Ponado zminn zarsow moŝna wyorzysać do przprowadznia srii obliczń lub do narysowania wyrsu funci orślon paramryczni, np. x() sin(), y() sin(). Wimy uŝ, a uworzyć wyrs ai funci, al pamięamy, Ŝ ni miliśmy sposobu, aby powidzić Mahcadowi, Ŝ chcmy, aby przymowało warości z zarsu do π. Traz uŝ moŝmy o zrobić - wysarczy przd wyrsm zdfiniować :, π/.. π, wpisuąc, :,,,, /,, p, Crl + G, Tab,, Spac, ;,, p, Crl + G

15 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Lisy W Mahcadzi moŝna oprować ni ylo na zminnych salarnych lub zarsowych, al na zminnych indsowanych liczbami nauralnymi,. lisach. Np. aby uworzyć lisę warości funci x w wybranych punach, moŝmy posąpić nasępuąco: - dfiniumy zminną zarsową i :.. 5, - dfiniumy lisę warości y ao: y i : i. Wpisumy o ao: y, [, i, :, i, ^,. ZauwaŜmy, Ŝ lawisz [ powodu wsawini dolngo indsu (szablonu posaci ). MoŜmy wyświlić warość y poprzz: y,. Mahcad wyświli lisę w posaci wora olumnowgo. i.. 4 y i i y JŜli wor ai zawira wil lmnów, Mahcad wyświli oino z blą przwiania (wysarczy w ym przyładzi zminić 5 na ). Dosęp do indywidualnych lmnów lisy uzysu się za pomocą wsazania lmnu. Np. aby wyświlić y 3, piszmy: y, [, 3,. Lisy moŝna uwaŝać za func dysrn argumnu w posaci liczby nauraln. óŝnica s aa, Ŝ dla funci ciągł piszmy f(x), a dla lisy f n

16 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Wyrsy danych dysrnych Wyrs danych w posaci lisy (danych dysrnych) worzy się podobni a wyrs funci ciągł. Napirw musimy mić aąś lisę. Wyorzysamy ua lisę y uworzoną poprzdnio. PoniŜ dfinici lisy worzymy rgion wyrsu ). W pol osi poziom wpisumy i, a w pol osi pionow - y i. 6 y i 4 i 4 Kliaąc dwuroni w wyrs wyświlamy oino opci wyrsu. Wybiramy arę Tracs KaŜdy wyrs rprznowany s przz rac. Zminiaąc paramry wybrango śladu, moŝmy uzysać inny wygląd wyrsu, np y i y i y i 4 i 4 4 i 4 4 i

17 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada... Wory Zminn lisow są rprznowan przz wory olumnow. Dlago wory moŝna dfiniować a samo a lisy. Isni Ŝ bzpośrdni sposób orślnia sładowych wora poprzz ich wyszczgólnini. Aby orślić wor olumnowy w o sładowych, 3, 6, piszmy olno: w, : i nacisamy Crl + M. Wyświli się oino, w órym orślamy liczbę wirszy i olumn. PoniwaŜ chcmy mić wor olumnowy, o podamy 3 wirsz i olumna. Po zawirdzniu dosamy szablon w w óry wpisumy olno:, Tab, 3, Tab, 6 i zawirdzamy Enr. w 3 6 Ta uworzony wor moŝmy raować a lisę o rzch lmnach, przy czym lmn nr ma warość, lmn nr - 3, a lmn nr - 6. Zwróćmy uwagę, Ŝ w Mahcadzi numrowani lmnów lis (a aŝ worów i macirzy) rozpoczyna się od zra, al moŝna o zminić przypisuąc prdfiniowan zminn OIGIN warość - wdy numraca będzi od. Mahcad udosępnia sandardow oprac na worach, ai a: iloczyn wora przz liczbę, np. 6 3 w 9 8 iloczyn salarny dwóch worów w v, wpisywany ao: w, *, v - obydwa wory muszą mić dnaową długość, np. v 4 w. v 6 iloczyn worowy dwóch worów, np. w v, wpisywany ao: w, Crl + 8, v - w ym przypadu wory w i v muszą mić długość doładni 3, gdyŝ iloczyn worowy s orślony dyni w aim przypadu, np

18 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada 8 v 4 w v 5 długość wora w, wpisywana ao, w; np. w 7 sumę lmnów wora Σw, wpisywaną ao Crl + 4, w; np. w MoŜmy Ŝ zaminić wor olumnowy na wirszowy lub odwroni poprzz doonani ranspozyci za pomocą Crl +, co powodu poawini się liry T w indsi górnym wsazuąc na ranspozycę. Np. w, Crl +, da w wyniu wor wirszowy, óry s zwyl dogodniszy do wyświlnia: w T 3 6 Częso Ŝ dfiniumy wor olumnowy ao wor wirszowy poddany ranspozyci, np. w moglibyśmy zdfiniować ao: w, :, Crl + M, wpisumy wirsz i 3 olumny, pom, Tab, 3, Tab, 6, Spac, Crl +. w ( 3 6 ) T Js o dłuŝszy sposób, al dogodni gospodaru miscm na rani

19 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..3. Macirz Macirz w Mahcadzi moŝna dfiniować na ila sposobów. Omówimy na razi dwa z nich. Sposób pirwszy polga na ręcznym wpisaniu lmnów macirzy; s on dogodny, gdy znamy wszysi lmny macirzy i macirz mała. Np. moŝmy zdfiniować macirz o lmnach cos sin ( α ) sin( α ) ( α ) cos( α ) Js o macirz obrou wora na płaszczyźni Oxy o ą α. Nazwimy ę macirz (α), zn. będzi o funca paramru α zwracaąca macirz. Piszmy: (a, Crl + G, ), :, Crl + M. W oinu wpisumy wirsz i olumny. Poawia się szablon ( α) W oln pola wpisumy odpowidni warości, przy czym pomiędzy polami przchodzimy lawiszm Tab. Orzymumy ( α) cos ( α ) sin( α) sin( α ) cos ( α) Drugi sposób dfiniowania macirzy s podobny do dfiniowania lisy (w isoci lisa s przciŝ worm olumnowym, a więc szczgólnym przypadim macirzy). Nich nasza macirz ma 4 wirsz oraz 6 olumn. Dfiniumy dwi zminn indsow, dna do numrowania wirszy, druga do numrowania olumn, np. i :.. 3, :.. 5. Traz moŝmy orślić lmny macirzy A programowo, np. Ŝli lmn A i s równy numrowi wirsza podnisionmu do poęgi o numrz olumny, o moŝmy zapisać: A i, : i (A, [, i,,,, :, i, +,, Enr): i A i, i MoŜmy raz wyświlić macirz A, pisząc: A, i dosanimy A JŜli rozmiar macirzy będzi duŝy, o wyświli się oino z blami przwiania, w órym moŝna przrzć całą macirz. Aby uworzyć macirz ransponowaną, sosumy sró Crl +. Np. A, Crl +, : 4-3-9

20 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada 3 A T Do lmnów macirzy moŝna odwoływać się poprzz inds dolny ( [ ), np. A,. MoŜna Ŝ oprować na całych olumnach macirzy: olumnę wyodrębniamy z macirzy za pomocą sróu Crl + 6, co wsawia szablon < >.Np. A, Crl + 6, 3 da olumnę nr 3 (licząc od zra), czyli A < 3> 8 7 Ni ma oddziln moŝliwości oprowania na wirszach macirzy, al moŝna o zrobić opruąc na olumnach macirzy ransponowan. Dlago Ŝ wirsz macirzy moŝmy uzysać nasępuąco A T < >T Macirz moŝna przmnoŝyć przz liczbę lub przz inną macirz o odpowidnim wymiarz. Do go clu sosu się zwyczany zna * (a do mnoŝnia liczb). Macirz moŝna Ŝ dodawać lub odmować. W przypadu macirzy wadraow moŝmy obliczyć wyznaczni za pomocą sróu (go samgo, órgo uŝywamy do oblicznia warości bzwzględn liczby czy Ŝ długości wora). Dla macirzy wadraow B o nizrowym wyznaczniu isni macirz odwrona, órą obliczamy aa B (B do poęgi ). Np. i B i, i B B B W rozparywan wrsi Mahcada ni moŝna uŝywać ablic o wymiarz więszym niŝ, np. ablicy rówymiarow

21 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..4. Wyrsy funci dwóch zminnych uncę dwóch zminnych moŝna zobrazować w Mahcadzi na 4 sposoby: ao wyrs powirzchni 3D, ao wyrs onurowy, ao wyrs słupowy i ao wyrs punowy. Aby narysować wyrs funci dwóch zminnych, Mahcad uŝywa macirzy. Narysumy np. wyrs funci x y dla x [, 3] i y [, 3]. Dfiniumy macirz B ao f( x, y) x y i.... B i, f i, 4 4 Tworzymy raz szablon wyrsu 3D poprzz naciśnięci Crl +. W dyn dosępn pol wpisumy nazwę macirzy,. B, orzymuąc 5 5 B Ni wygląda o nalpi, więc moŝmy poombinować. Kliaąc dwuroni na wyrs owiramy ono opci Napirw sprawdzimy f działania zsawu opci Display As. Kliamy na oln opc i nacisamy Zasosu, aby zobaczyć f działania

22 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada B B B Conour Plo Daa Poins 3D Bar Plo Wybirzmy Conour Plo. Kilaąc dwuroni owiramy oino opci i na załadc Color & Lins wybiramy Color. Dodaowo na załadc Axs wpisumy zarsy dla obydwu osi od do 3, orzymuąc B Wyrs onurowy moŝna Ŝ uworzyć od razu sróm Crl

23 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..5. Jdnoczsn oprac na lmnach wora lub macirzy Mahcad ofru bardzo pomocą niidy opracę wyonania dan opraci dnoczśni na wszysich lmnach macirzy lub wora, co wyonu się polcnim CTL + -, co wsawia szablon r. Przyładowo, w onści poprzdni dfinici macirzy B: B moŝmy np. obliczyć pirwias wadraowy aŝdgo z lmnu. W ym clu wpisumy \, B, Spac, CTL + -,, co da B Mahcad wyonu podaną opracę indywidualni na aŝdym lmnci. Inn przyłady: cos( B) B Porównamy szcz o: B B Pirwsz wyraŝni o macirz będącą wadraami lmnów macirzy B, podczas gdy drugi s macirzą będącą wadram cał macirzy B, czyli wyraŝnim B B

24 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada..6. Obliczani pochodn i całi z funci Mahcad umoŝliwia ni ylo oblicznia numryczn, al aŝ symboliczn. MoŜ np. obliczyć pochodną lub całę z funci. W clu oblicznia pochodn piszmy? (SHIT + / ), co powodu poawini się szablonu pochodn Nasępni wypłniamy pola, np. d d d d x sin( x) Traz wydamy polcni obliczń symbolicznych lawiszm CTL +., co wyświla srzałę ; po wyściu z wyraŝnia lub naciśnięciu ENTE Mahcad wyonu oblicznia symboliczn: d dx sin( x). cos (. x) Zwróćmy uwagę, Ŝ Ŝądaąc wyniu symboliczngo musimy uŝyć CTL +., a ni. W clu oblicznia n- pochodn uŝywamy CTL + SHIT + /, co wsawia szablon Po wypłniniu pól dosamy np. rzcią pochodną sin(x ) d d d 3 d x3 sin x 8. cos x. x 3. sin x. x Podobni obliczamy całę nioznaczoną - szablon całi wsawiamy przz CTL + I : d Po wypłniniu pól nacisamy CTL +. i ENTE, orzymuąc sin( x) dx. cos (. x ) Z oli aby obliczyć całę oznaczoną, uŝywamy SHIT + 7, co wsawia d Obliczymy np. całę z xsin(x) w granicach od do : x. sin( x) dx sin( ) cos( )

25 Wyłady z Inf - MKE. Podsawy Mahcada Zwróćmy uwagę na wyni - ma on posać symboliczną. Aby uzysać wyni numryczny powinniśmy racz uŝyć zamias CTL +. : x. sin( x) dx.3 Całę oznaczoną moŝmy obliczyć naw wdy, gdy funca podcałowa ni ma funci pirwon w ym snsi, Ŝ ni da się wyrazić przz func lmnarn. Np. ln( x. cos( x) )dx ln( x. cos ( x) ) dx Mahcad ni moŝ obliczyć całi nioznaczon z podan funci, więc zwraca wyni w nizminion posaci. Al dla całi oznaczon mamy ln( x. cos ( x) )dx.35 Ja o działa? Mahcad sosu numryczny sposób obliczania ai całi

26 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3.. Obwody lryczn - podsawy 3... Napięci, prąd i ich oznaczani w obwodzi Prąd lryczny o ruch ładunów lrycznych. Miarą prądu s go naęŝni wyznaczan ao ilość ładunu lryczngo przmiszczaącgo się przz usaloną powirzchnię w dnosc czasu i oznaczan lirą i. Jdnosą naęŝnia prądu s ampr ( A). Napięci lryczn u pomiędzy dwoma punami s miarą pracy, aą nalŝy wyonać, aby przmiścić ładun z dngo punu do drugigo. Jdnosą napięcia s wol ( V). Poncałm punu nazywamy napięci pomiędzy ym punm a pwnym punm odnisinia, órgo poncał przymumy równy zru (zw. masą). Sąd wynia, Ŝ napięci pomiędzy punami s róŝnicą poncałów ych punów. W ogólności naęŝni prądu oraz napięci są wilościami zalŝnymi od czasu i oznaczanymi wdy małymi lirami i oraz u, czasm i() oraz u(). W przypadu wilości nizalŝnych od czasu, czyli prądów i napięć sałych sosumy duŝ liry: I oraz U. Analiza obwodu lryczngo polga na znalziniu wszysich lub wybranych prądów i napięć. W obwodach lrycznych prądy i napięcia symbolizu się na ogół srzałami. Są róŝn onwnc srzałowania, al naczęści sosu się ę, órą i my będzimy sosować. Ta więc: - Srzała prądu dla dodanich warości prądu wsazu irun ruchu ładunów dodanich. - Srzała napięcia dla dodanich warości napięcia wsazu pun o wyŝszym poncal

27 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3... Podsawow lmny obwodu lryczngo Obwód lryczny zawira pwną liczbę lmnów. Wśród nich wyróŝnia się zw. dwónii - lmny o dwóch zacisach. KaŜdy z nich chararyzu się pwną zalŝnością pomiędzy prądm płynącym przz nigo i napięcim panuącym na go zacisach. Tua ograniczymy się do ilu aich lmnów, órych paramry ni zalŝą od warości prądu czy napięcia. Tai lmny nazywamy liniowymi. Zsawiono w abli. Zwróćmy uwagę, Ŝ na lmnach pasywnych (ni będących źródłami napięcia czy prądu) srzała napięcia s przciwna do srzałi prądu. Elmn Orślni Oznacznia Prąd i napięci idaln lmn, na órgo zacisach u źródło panu napięci nizalŝn od u, i zalŝy rszy obwodu i napięcia płynącgo przzń prądu lmn, przz óry płyni u idaln prąd nizalŝny od napięcia źródło prądu i na go zacisach i, u zalŝy od rszy obwodu rzysor lmn przszałcaący nrgię lryczną na ciplną i u u i (prawo Ohma) ondnsaor lmn magazynuący nrgię w posaci pola lryczngo i u C q Cu du i C d cwa lmn magazynuący nrgię w posaci pola magnyczngo i u L ψ Li di u L d

28 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC Elmny mogą być na róŝn sposoby łączon, worząc w obwodzi ocza i węzły. Oczim nazywamy zamnięy ciąg połączń lmnów nizawiraący w swoim wnęrzu gałęzi, a węzł s miscm, w órym zbigaą się więc niŝ dwi gałęzi. Ponado pomocn s zw. poęci oła napięć,. wyimaginowan rzyw zamnię wzdłuŝ ór sumumy napięcia. gałąź oczo węzł oło napięć Prawa Kirchhoffa Napięcia i prądy spłniaą w obwodzi dwa podsawow prawa, zn. prawa Kirchhoffa: I prawo Kirchhoffa: Suma algbraiczna prądów wpływaących do węzła s równa zru. II prawo Kirchhoffa: Suma algbraiczna napięć w dowolnym ol napięć s równa zru. I prawo Kirchhoffa: ( i ) II prawo Kirchhoffa: ( u,) u i 5 i i 4 i i 3 u C u L L i i + i + i i u u u L C C Prawa wraz z związami pomiędzy prądami i napięciami poszczgólnych lmnów są podsawą analizy obwodów lrycznych

29 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3.. Analiza liniowych obwodów prądu sałgo 3... Podsawow lmny obwodu dla prądu sałgo JŜli załoŝymy, Ŝ napięcia i prądy w obwodzi są sał w czasi, o wdy orzymamy: Elmn Oznacznia Związ pomiędzy prądm i napięcim U idaln źródło napięcia I E U E, I zalŝy rszy obwodu U idaln źródło prądu I J I J, U zalŝy od rszy obwodu U rzysor I U I (prawo Ohma) ondnsaor sa się przrwą I U I, U zalŝy od rszy obwodu, Q CU cwa sa się zwarcim I U U, I zalŝy od rszy obwodu, Ψ LI

30 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC 3... Moda równań Kirchhoffa Moda równań Kirchhoffa polga na ułoŝniu ylu równań, il s gałęzi w obwodzi. Poazu się, Ŝ w ym clu wysarczy ułoŝyć równania dla aŝdgo ocza oraz równania dla aŝdgo węzła z pominięcim dowolngo z nich. Po rozwiązaniu ych równań orzymamy prądy w obwodzi, wnualni napięcia na lmnach obwodu. Prawa Kirchhoffa dla obwodu lryczngo prądu sałgo przymuą posać ( I ), ( U, E) Przyład 3.. UłoŜyć równania Kirchhoffa dla podango obwodu U U I I I 3 E U 3 3 J U J ozwiązani. Mamy ua dwa ocza oraz dwa węzły. Zam wg pirwszgo prawa uładamy dno równani, np. dla górngo węzła: I + I I3 Zwróćmy uwagę, Ŝ dla dolngo węzła orzymalibyśmy ai samo równani z doładnością do znau. Dla ocz uładamy równania E I I I I 3 3 U J przy czym sorzysaliśmy ua z prawa Ohma. Ponado mamy I J

31 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC ozwiązywani obwodów prądu sałgo w Mahcadzi Do rozwiązywania obwodów w Mahcadzi naprości s zasosować blo Givn-ind. Dla obwodów liniowych moŝna Ŝ zasosować zapis macirzowy i funcę lsolv. Przdsawimy dwa sposoby na powyŝszym przyładzi. Przyład 3.. ozwiązać poprzdni obwód za pomocą bou Givn-ind. Przyąć nasępuąc warości liczbow: E 4 V, J 3 A, Ω, 5 Ω, 3 3 Ω. ozwiązani. Wpisumy dan: E 4 J Indsy doln wpisumy za pomocą., np. o,.,. Nasępni orślamy warości wsępn szuanych prądów I, I, I 3 i napięcia U. MoŜna przyąć, Ŝ są on równ zru: I I I 3 U J Wpisumy Givn oraz równania (zna wpisumy ao CTL + ): Givn I I I 3 E. I. 3 I 3. 3 I 3. I U J I J Wrszci uŝywamy ind do rozwiązania wpisanych równań (zauwaŝmy, Ŝ w Mahcadzi moŝna uŝyć zw. przypisania równolgłgo,. zminnym I, I, I 3 i U J przypisu się odpowidni lmny wora gnrowango przz ind): T I I I 3 U J ind I, I, I 3, U J I I 3 I 3 4 U J 7 (aby wpisać wor, uŝywamy CTL + M ; zna : wpisumy ao :, ransponowani o CTL +, znai równości wpisumy ao )

32 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC Przyład 3.3. ozwiązać rozparywany obwód modą macirzową. ozwiązani. Napirw usalmy, co ai wilości są niwiadomymi. Są o I, I, I 3 oraz U J. Zapisumy równania obwodu w posaci, w ór niwiadom znaduą się po lw sroni, a wiadom - po praw: J I U I I E I I I I I J co s równowaŝn J E U I I I J Wpisumy więc do Mahcada dan: E 4 J a nasępni orślamy macirz uładu A oraz wor wyrazów wolnych B: A 3 3 B E J Sąd wor rozwiązań wynosi A B Zawira on olno I, I, I 3 oraz U J. Zamias osani opraci moŝmy uŝyć lsolv: lsolv A B, ( ) co wyonu doładni o samo, co A B.

33 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC Przyład 3.4. ozwiązać poniŝszy obwód. Orślić napięcia na ondnsaorach, ich ładuni oraz srumiń magnyczny cwi. U U C I I 3 I C E U U C C U L L Przyąć: E 6 V, 5 Ω, Ω, C µ, C 3 µ, L mh. ozwiązani. Wpisumy warości lmnów E 6 5 L 3 C 6 C 3. 6 oraz warości wsępn rozwiązania: I I I 3 U L ψ q q U C U C W ym miscu nalŝy zauwaŝyć, Ŝ dla prądu sałgo cwa sanowi zwarci, więc U L bz względu na płynący przz nią prąd (pomiamy rzysancę), a ondnsaor s przrwą, więc I 3. Dlago równania uładamy ylo dla pozosałych wilości: Givn I I E. I. I. I U C U C q C. U C q C. U C q q ψ L. I i rozwiązumy : ind I, I, q, q, U C, U C, ψ T

34 Wyłady z Inf - MKE 3. Analiza liniowych obwodów lrycznych DC i AC Obwody prądu sałgo z źródłami srowanymi Oprócz rozparywanych wyŝ lmnów w obwodach lrycznych mogą poawić się zw. lmny srowan, z órych ua uwzględnimy dyni źródła. Paramry aich lmnów (zn. E lub J) ni są sał, lcz zalŝą od napięcia lub prądu w inn części obwodu. Mówimy wdy o lmnci srowanym napięciowo (Volag Conrol) lub prądowo (Currn Conrol). Mamy czry moŝliwości, ór przdsawia abla: Elmn Oznaczni Opis źródło napięciow srowan napięciowo (VCV) U au Napięci s proporconaln do napięcia U w inn części obwodu źródło napięciow srowan prądowo (CCV) I ri Napięci s proporconaln do prądu I w inn części obwodu źródło prądow srowan napięciowo (VCC) U gu Prąd s proporconalny do napięcia U w inn części obwodu źródło prądow srowan prądowo (CCC) I bi Prąd s proporconalny do prądu I w inn części obwodu

Sygnały, ich klasyfikacja, parametry, widma

Sygnały, ich klasyfikacja, parametry, widma ndrz Lśnici Synały, ich lasyfiaca, paramry, widma / Synały, ich lasyfiaca, paramry, widma ndrz Lśnici, PG Kadra Sysmów Mulimdialnych, Gdańs. Poęci synału W współczsnych społczńswach w obiu znadu się oromna

Bardziej szczegółowo

Stanowisko laboratoryjne do badań przesuwników fazowych

Stanowisko laboratoryjne do badań przesuwników fazowych Polichnika Śląska Wydział Elkryczny Insyu Mrologii i Auomayki Elkrochniczn Tma pracy: Sanowisko laboraoryn do badań przsuwników fazowych Promoor: Dr inż. Adam Cichy Dyploman: Adam Duna Srukura rfrau. Wsęp.

Bardziej szczegółowo

Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów SZEREGI FOURIERA

Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów SZEREGI FOURIERA Ćwiczenie Zmodyfiowano 7..5 Prawa auorsie zasrzeżone: Kaedra Sysemów Przewarzania Sygnałów PWr SZEREGI OURIERA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z analizą i synezą sygnałów oresowych w dziedzinie częsoliwości.

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 11 OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STRUKTURY ELEKTRONICZNEGO SYSTEMU BEZPIECZEŃSTWA

ĆWICZENIE 11 OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STRUKTURY ELEKTRONICZNEGO SYSTEMU BEZPIECZEŃSTWA ĆWICZENIE OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STUKTUY ELEKTONICZNEGO SYSTEMU EZPIECZEŃSTWA Cl ćwicznia: zapoznani z analizą nizawodnościowo-ksploaacyjną lkronicznych sysmów bzpiczńswa; wyznaczni wybranych wskaźników

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK SK ADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC

WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK SK ADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 27, 22 Anna Szymasa WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK SKADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC Srszzni. Podsaw dziaalnoi ubzpizniowj

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

1. Obwody prądu stałego

1. Obwody prądu stałego Obwody prądu stałego 3 1. Obwody prądu stałego 1.1. Źródła napięcia i źródła prądu. Symbol źródła pokazuje rys. 1.1. Pokazane źródła są źródłami idealnymi bezrezystancyjnymi i charakteryzują się jedynie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 11 Badanie materiałów ferromagnetycznych

Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 11 Badanie materiałów ferromagnetycznych Laboratorium Półprzwodniki Dilktryki Magntyki Ćwiczni nr Badani matriałów frromagntycznych I. Zagadninia do przygotowania:. Podstawow wilkości charaktryzując matriały magntyczn. Związki pomiędzy B, H i

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Szybkość reakcji chemicznej jest proporcjonalna do iloczynu stężeń. reagentów w danej chwili. n A + m B +... p C + r D +... v = k 1 C A n C B m...

Szybkość reakcji chemicznej jest proporcjonalna do iloczynu stężeń. reagentów w danej chwili. n A + m B +... p C + r D +... v = k 1 C A n C B m... 9 KINETYKA CHEMICZNA Zagadnienia eoreyczne Prawo działania mas. Szybość reacji chemicznych. Reacje zerowego, pierwszego i drugiego rzędu. Cząseczowość i rzędowość reacji chemicznych. Czynnii wpływające

Bardziej szczegółowo

- Jeśli dany papier charakteryzuje się wskaźnikiem beta równym 1, to premia za ryzyko tego papieru wartościowego równa się wartości premii rynkowej.

- Jeśli dany papier charakteryzuje się wskaźnikiem beta równym 1, to premia za ryzyko tego papieru wartościowego równa się wartości premii rynkowej. Śrdni waŝony koszt kapitału (WACC) Spółki mogą korzystać z wilu dostępnych na rynku źródł finansowania: akcj zwykł, kapitał uprzywiljowany, krdyty bankow, obligacj, obligacj zaminn itd. W warunkach polskich

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Prztwarzani sygnałów biomdycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowik- najlpsza inwstycja Projkt współfinansowany przz Unię Europjską w ramach Europjskigo Funduszu Społczngo Wykład XI Filtracja

Bardziej szczegółowo

Projektowanie procesu doboru próby

Projektowanie procesu doboru próby Projkowai procsu doboru próby Okrśli populacji gralj i badaj Okrśli jdoski próby 3 Okrśli wykazu badaj populacji 4 Okrśli liczbości próby 5 Wybór mody doboru próby losowgo ilosowgo Usali ko lub co moż

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2 - 1 - MS EXCEL CZ.2 FUNKCJE Program Excel zawiera ok. 200 funkcji, będących predefiniowanymi formułami, słuŝącymi do wykonywania określonych obliczeń. KaŜda funkcja składa się z nazwy funkcji, która określa

Bardziej szczegółowo

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia. Program ćwiczenia

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia. Program ćwiczenia Pomiary częsoliwości i przesunięcia fazowego sygnałów okresowych POMIARY CZĘSOLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Cel ćwiczenia Poznanie podsawowych meod pomiaru częsoliwości i przesunięcia

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie PA6. Badanie działania regulatora PID zaimplementowanego w sterowniku S7-1200 firmy Siemens

Ćwiczenie PA6. Badanie działania regulatora PID zaimplementowanego w sterowniku S7-1200 firmy Siemens INSYU AUOMAYKI i ROBOYKI WYDZIAŁ MECHARONIKI - laboratorium Ćwiczni PA6 Badani działania rgulatora PID zaimplmntowango w strowniu S7-00 firmy Simns Instrucja laboratoryjna Opracowani : dr inż. Danuta Holjo

Bardziej szczegółowo

42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe

42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe 42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie praw obowiązujących w obwodach prądu stałego,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012 Wymagania ocen z matematyki klasa 1 gimnazjum Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P -

Bardziej szczegółowo

XXXIV Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Kraków 31 marca 2011. Test dla grupy elektronicznej

XXXIV Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Kraków 31 marca 2011. Test dla grupy elektronicznej XXXIV Olimpiada Wiedzy lekrycznej i lekronicznej Kraków marca Tes dla grupy elekronicznej.ezysancja zasępcza widziana z zacisków B wynosi:,,4,6,8 B. W poniższym układzie do wyznaczenia prądu w rezysancji

Bardziej szczegółowo

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 )

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 1 S t r o n a Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 14-20 Liczby. Rozwinięcia liczb dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. MnoŜenie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Elektroenergetyki, Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetycznej

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Elektroenergetyki, Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetycznej POLITECHIA WARSZAWSA Insyu Elkronrgyki, Zakład Elkrowni i Gospodarki Elkronrgycznj Ekonomika wywarzania, przwarzania i uŝykowania nrgii lkrycznj - laboraorium Insrukcja do ćwicznia p.: Obliczani koszów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

5. Funkcje w standardzie SPICE i w programie Probe. Parametry globalne. Funkcje wbudowane w programie PSPICE pakietu MicroSim

5. Funkcje w standardzie SPICE i w programie Probe. Parametry globalne. Funkcje wbudowane w programie PSPICE pakietu MicroSim 5. Funkcje w standardzie SPICE i w programie Probe Definiowanie parametrów globalnych Funkcje wbudowane w programie PSPICE pakietu MicroSim Definiowanie funkcji Zastosowanie formuł w programie PSPICE pakietu

Bardziej szczegółowo

2. Obwody prądu zmiennego

2. Obwody prądu zmiennego . Obwody prądu ziennego.. Definicje i wielkości charakteryzujące Spośród wielu oŝliwych przebiegów ziennych w czasie zajiey się jedynie przebiegai haronicznyi (sinusoidalnyi lub cosinusoidalnyi). Prądy

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce

Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce Ekonomiczno-chniczn aspky wykorzysania gazu w nrgyc anusz oowicz Wydział Inżynirii i Ochrony Środowiska Polichnika Częsochowska zacowani nakładów inwsycyjnych na projky wykorzysania gazu w nrgyc anusz

Bardziej szczegółowo

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium

Elektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium Wybrane zagadnienia teorii obwodów Osoba odpowiedzialna za przedmiot (wykłady): dr hab. inż. Ryszard Pałka prof. PS ćwiczenia i projekt: dr inż. Krzysztof Stawicki e-mail: ks@ps.pl w temacie wiadomości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I KRYTERIA OCENIANIA KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena bardzo dobra

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO

ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO Łukasz MACH Strszczni: W artykul przdstawiono procs budowy modlu rgrsji logistycznj, którgo clm jst wspomagani

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 5 4 EWA DZIAWGO Uniwersye Miołaa Kopernia w Toruniu ANALIZA WRA LIWO CI CENY KOSZYKOWEJ OPCJI KUPNA WPROWADZENIE

Bardziej szczegółowo

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk PROJEKT nr 1 Projek spawanego węzła kraownicy Sporządził: Andrzej Wölk Projek pojedynczego węzła spawnego kraownicy Siły: 1 = 10 3 = -10 Kąy: α = 5 o β = 75 o γ = 75 o Schema węzła kraownicy Dane: Grubość

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników Dodawanie

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-2 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1 1-2 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Bardziej szczegółowo

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO

Ć w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO Ć w i c z e n i e POMIAY W OBWODACH PĄDU STAŁEGO. Wiadomości ogólne.. Obwód elektryczny Obwód elektryczny jest to układ odpowiednio połączonych elementów przewodzących prąd i źródeł energii elektrycznej.

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 0 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 4. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich 1 1-

Bardziej szczegółowo

Farmakokinetyka furaginy jako przykład procesu pierwszego rzędu w modelu jednokompartmentowym zawierającym sztuczną nerkę jako układ eliminujący lek

Farmakokinetyka furaginy jako przykład procesu pierwszego rzędu w modelu jednokompartmentowym zawierającym sztuczną nerkę jako układ eliminujący lek 1 Matriał tortyczny do ćwicznia dostępny jst w oddzilnym dokumnci, jak równiż w książc: Hrmann T., Farmakokintyka. Toria i praktyka. Wydawnictwa Lkarski PZWL, Warszawa 2002, s. 13-74 Ćwiczni 6: Farmakokintyka

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI I CZAS BEZAWARYJNEJ PRACY ODPOWIADAJĄCY EKSPONENCJALNEJ INTENSYWNOŚCI USZKODZEŃ

FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI I CZAS BEZAWARYJNEJ PRACY ODPOWIADAJĄCY EKSPONENCJALNEJ INTENSYWNOŚCI USZKODZEŃ CZSOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISK I RCHIEKURY JOURNL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMEN ND RCHIECURE JCEE,. XXXII, z. 62 (3/I/5), lipi-wrzsiń 25, s. 3-327 Lszk OPYRCHŁ FUNKCJ NIEZWODNOŚCI I CZS EZWRYJNEJ

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2

29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2 Włodzimierz Wolczyński 29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2 Opory bierne Indukcyjny L - indukcyjność = Szeregowy obwód RLC Pojemnościowy C pojemność = = ( + ) = = = = Z X L Impedancja (zawada) = + ( ) φ R X C =

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil 1 Działania na ułamkach Wyłączanie całości z dodatnich ułamków niewłaściwych Formuła

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

TERMOMECHANICZNY OPIS PROCESU PEŁZANIA DREWNA

TERMOMECHANICZNY OPIS PROCESU PEŁZANIA DREWNA ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 8/8 Komisja Inżynirii Budowlanj Oddział Polskij Akadmii Nauk w Kaowicach TERMOMECHANICZNY OPIS PROCESU PEŁZANIA DREWNA Kamil PAWLIK Polichnika Opolska, Opol. Wprowadzni

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo