8. Metody bezsiatkowe i inne metody komputerowe na tle MES

Transkrypt

1 8. Metody bezsatkowe nne metody komputerowe na tle MES Sławomr Mlewsk e-mal: Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

2 Tematyka Wprowadzene Krytera klasyfkacj metod komputerowych Sformułowana problemów brzegowych Dyskretyzacja aproksymacja rozwązana Przegląd metod komputerowych wg kryterów Metoda różnc skończonych MRS na tle MES Przykład oblczenowy program nr (MRS / MES D) w Matlabe Metody bezsatkowe Bezsatkowa metoda różnc skończonych BMRS na tle MES Przykład oblczenowy program nr (BMRS D) w Matlabe Podsumowane Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

3 Wprowadzene Metoda Elementów Skończonych MES Ogólna, najbardzej rozpowszechnona, najbardzej rozwnęta Podstawa wększośc programów komercyjnych (Abaqus, Adna, Ansys, Dana, FELT, Feap, Mark, Robot, ) Stosowana przy wększośc zadań nżynerskch mechank fzyk Rozwnęte klasy typy elementów skończonych, podstawy matematyczne, opracowane wynków, metody szacowana błędów Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

4 Wprowadzene Dlaczego mówmy o nnych metodach komputerowych? Względy hstoryczne (MES ne jest najstarsza ) Względy dydaktyczne (łatwej rozwązać zadane ręczne za pomocą np. metody różnc skończonych) Względy praktyczne Nektóre zastosowana (analza płyt, ruchomy brzeg, szczelna, ) Dostępne oprogramowane (własne lub komercyjne) Kombnacje metod (np. MES + BMRS) Potrzeba weryfkacj oblczeń MES nną metodą Efektywność szybkość algorytmu Potrzeba częstej przebudowy satk (adaptacja) Dokładność rozwązana jego pochodnych (nadzbeżność) Końcowe opracowane wynków (podejśce hybrydowe) Aktualne trendy w nauce (metody bezsatkowe) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

5 Krytera klasyfkacj metod Sformułowane problemu brzegowego Podstawa dyskretyzacj zadana (obszar, brzeg, podobszar, ) Sposób dyskretyzacj obszaru brzegu (węzły, elementy + węzły) Sposób dyskretyzacj rozwązana (wartośc węzłowe, nne s.s.) Sposób aproksymacj rozwązana Sposób całkowana numerycznego Sposób opracowana wynków Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

6 SFORMUŁOWANIE LOKALNE Ω Ω SFORMUŁOWANIA GLOBALNE Ω Ω SFORMUŁOWANIA MIESZANE (NP. GLOBALNO LOKALNE) v = Ω v = ( ) v = Sformułowana brzegowe L u = f u u ( P ) P Ω = Gu = g P Ω L,G - operatory różnczkowe n-tego m-tego rzędu FUNKCJONAŁ I( u)= B( u, u) Lu RÓWNANIE WARIACYJNE B( u, v) = L( v) for v V B( u, v) L( v) for v V adm ZASADA WARIACYJNA SPEŁNIONA W PODOBSZARACH Ω PRZYPISANYCH KOLEJNYM WĘZŁOM b( u, v) = l( v) v Ω, =,..., N Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

7 Dyskretyzacja obszaru Ω Ω METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH METODY BEZSIATKOWE BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH METODY RESIDUÓW WAŻONYCH METODY ENERGETYCZNE INNE Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

8 Aproksymacja rozwązana Metody brzegowe Metody bezsatkowe Metody elementowe Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

9 Klasyfkacja metod komputerowych NAZWA METODY SFOR- -MUŁOWANIE PODSTAWA DYSKRETYZACJI SPOSÓB DYSKRETYZACJI SPOSÓB APROKSYMACJI CAŁKOWANIE NUMERYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH SŁABE (WARIACYJNE / FUNKCJONAŁ) OBSZAR WĘZŁY + + ELEMENTY INTERPOLACJA F.KSZTAŁTU W ELEMENCIE W ELEMENCIE MES + INNE METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH RÓWNANIE CAŁKOWE OBSZAR BRZEG ELEMENTY INTERPOLACJA BRZEGOWA NA BRZEGU (CAŁKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE) MEB + INNE METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MOCNE (LOKALNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE NIE JEST POTRZEBNE APROKSYMACJA WARIACYJNA MRS SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE DOOKOŁA LUB POMIĘDZY WĘZŁAMI APROKSYMACJA METODY BEZSIATKOWE (BEZSIATKOWA MRS) MOCNE / SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY METODA MWLS RÓŻNE SPOSOBY MWLS METODY RESIDUALNE (GALERKIN, NK, KOL.) SŁABE (WARIACYJNE) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALITYCZNIE INTERPOLACJA METODY ENERGETYCZNE (RITZ) SŁABE (FUNKCJONAŁ) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALITYCZNIE INTERPOLACJA Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

10 MRS (lokalna) na tle MES MRS lokalna MES Sformułowane problemu brzegowego Lokalne L u = f u u ( P ) P Ω = G u = g P Ω - Waracyjne - Funkcjonał B( u, v) = L( v) for v V I( u)= B( u, u) Lu Generacja satk Aproksymacja Generacja równań dyskretnych Całkowane Warunk brzegowe Macerz Układu równań Typ (prostokątna, trójkątna) + moduł h Generacja wzorów różncowych dla pochodnych z równana Kolokacja Brak Dodatkowe wzory różncowe brzegowe Na ogół nesymetryczna Specjalne programy - generatory Interpolacja rozwązana w elemence za pomocą funkcj kształtu Spełnene równana waracyjnego w elemence Kwadratury Gaussa w elemence Modyfkacja układu równań Symetryczna pasmowa Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

11 Etapy MRS generacja satk Źródło: Orksz J., Fnte Dfference Method, part III n Handbook of Computatonal Mechancs, ed: Kleber, Sprnger, 998 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

12 Etapy MRS generacja wzorów różncowych D: h h D:, j + h + h, j Sposoby generacj: - Składane wzorów złożonych ze wzorów prostych:, j +, j h, j h u+ u u u + u+ u ', u '' u ''' = ( u '' )' h h - Wymuszene zgodnośc dla jednomanów - Interpolacja różnczkowane - Metoda współczynnków neoznaczonych (metoda Taylora) u au + bu + cu '' + u = u hu + h u + u = u u u hu h u '.5 ''... + = + ' +.5 '' +... ( ) u '' u a + b + c + u ' ( ah + ch) + u '' (.5h a +.5 h c) a = h b = h c = h Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

13 Etapy MRS generacja równań różncowych L u = f u u ( P ) P Ω = G u = g P Ω Kolokacja we węzłach Lu G u = f P Ω = g P j Ω j Uwzględnene warunków brzegowych Operator budowany tylko na węzłach wewnętrznych Operator budowany na węzłach wewnętrznych - z wykorzystanem uogólnonych stopn swobody Operator budowany na węzłach wewnętrznych zewnętrznych fkcyjnych węzłach Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

14 MRS waracyjna numeryczne całkowane I( u)= B( u, u) Lu lub B( u, v) = L( v) for v V Np. b I( u)= ( '), mn ( )? u + fud I u = ( u) a wzór prostokątów lub b a [ ] b u ' v ' d + u ' v = fvd for v V a b a wzór trapezów h h + + wzory centralne ' u u u, v' v = = v h h u u v v u ' v' d h h h + + fvd h v f + v f + agregacja! ( ) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

15 Przykład oblczenowy MRS w zagadnenach D Zagadnene: Analza ugęć belk swobodne podpartej dla różnych obcążeń P = [kn] q = [kn/m] EI = L = [m] P = [kn] Sf. Lokalne: ( ) u ''( ) = M u() = u( L) = EJ Metody: MRS lokalna MRS waracyjna MES Sf. Słabe: L L M ( ) u ' v ' d = vd, v() = u() = v( L) = u( L) = EJ Cele: Porównane jakośc rozwązań MRS MES Analza zbeżnośc na satkach regularnych Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

16 Blans MRS MES MRS: Najstarsza metoda komputerowa Łatwość mplementacj Istnene wersj lokalnej Łatwa generacja satk Dydaktyczny charakter Trudnośc przy krzywolnowym brzegu Ne można przeprowadzć adaptacj Ne można lokalne zagęszczać satk (naroża, obcążena skupone, ) Trudna do automatyzacj MES: Najbardzej powszechna metoda komputerowa Podstawa paketów komputerowych Szeroke pole zastosowań Ogromna bbloteka elementów skończonych Duża dokładność rozwązana Kłopotlwa generacja satk dla obszarów o skomplkowanej geometr Mało efektywna przy częstej przebudowe satk Uwzględnane nelnowośc geometrycznych (duże przemeszczena, ) Ruchomy brzeg, rozwój szczelny Zjawsko blokady Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

17 Bezsatkowa (Uogólnona) Metoda Różnc Skończonych BMRS DOWOLNIE NIEREGULARNE CHMURY WĘZŁÓW (WĘZŁY NIE POWIĄZANE ZE SOBĄŻADNĄ STRUKTURĄ TYPU SIATKA REGULARNA CZY ELEMENT) KAŻDY WĘZEŁ MOŻE BYĆ USUNIĘTY, DODANY, PRZESUNIĘTY (ADAPTACJA TYPU h, OBCIĄŻENIE SKUPIONE, SZCZELINA, WĘDRUJĄCY BRZEG,...) Cecha metod bezsatkowych MB ZAMIANA OPERATORÓW RÓŻNICZKOWYCH NA RÓŻNICOWE Cecha metod różncowych MRS APROKSYMACJA LOKALNA JEST OPARTA NA GRUPIE WĘZŁÓW, DOKONYWANA METODĄ NAJMNIEJSZYCH WAŻONYCH KROCZĄCYCH KWADRATÓW Cecha metody BMRS METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA BEZSIATKOWA (np. BMRS) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

18 Klasyfkacja metod bezsatkowych (kryterum: sposób lokalnej aproksymacj) () METODY OPARTE NA METODZIE LOKALNEJ APROKSYMACJI WAŻONYMI NAJMNIEJSZYMI KROCZĄCYMI KWADRATAMI (MWLS) - BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH (BMRS) Meshless Fnte Dfference Method (MFDM) Jensen 7; Nay, Utku 7, Wyatt et al.. 75; Perrone et al.. 75; Lszka, Orksz 76 - ELEMENT FREE GALERKIN (EFG) Belytschko et al DIFFUSIVE ELEMENT METHOD (DEM) Vllon et al. 9 - FINITE POINT METHOD (FPM) Onate, Idelsohn et al. 94 () METODY APROKSYMACJI JĄDRA CAŁKOWEGO - SMOOTH PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH) Lucy 77; Gngold, Monaghan 77 - REPRODUCING KERNEL PARTICLE METHOD (RKPM) Lu et al. 96 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

19 () METODY PODZIAŁU JEDNOŚCI - PARTITION OF UNITY FEM (PUFEM) Babushka, Melenk 96 - HP-CLOUDS Duarte, Oden 95 (v) METODY ELEMENTÓW NATURALNYCH (MEN) Traverson 94; Braun, Sambrdge 95; Sukumar et al. 98 (v) PARTICLE IN CELL TYPE METHODS (PIC) Brackbll et al. 86; L, Lu revew (v) INNE METODY BEZSIATKOWE - MESHLESS LOCAL PETROV GALERKIN Atlur et al FINITE VOLUME METHODS Henrch 88 Ω Ω Ω v Ω v Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

20 . MESHLESS FINITE DIFFERENCE METHOD MFDM. SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH) SPH 3. FINITE SUPPORT KERNAL METHOD (FSKM) SPH 4. MULTIPLE SCALE REPRODUCING KERNAL METHOD (MSRKM) SPH 5. WAVELET REPRODUCING KERNAL PARTICLE METHOD (WRKPM) SPH 6. MOVING LEAST SQUARE REPRODUCING KERNAL METHOD (MLSRKM) SPH 7. PSEUDO DIVERGENCE-FREE ELEMENT FREE GALERKIN METHOD MFDM 8. CORRECTED SMOOTH PARTICLE HYDRODYNAMICS (CSPH) SPH 9. MLSPH METHOD: MOVING LEAST SQUARES SPH. MESHFREE METHODS (MM) MFDM. HAMILTONIAN PARTICLE MESH METHOD PM. MULTI-LEVEL MESHLESS METHOD MFDM 3. PARTICLE-PARTITION OF UNITY METHOD (PPUM) PU 4. FINITE VOLUME PARTICLE METHOD (FVPM) FV 5. UPWIND FINITE POINT SET METHOD (UFPSM) MFDM 6. GALERKIN PARTICLE METHOD (GPM) PM 7. DISTINCT ELEMENT METHOD (DEM) 8. ADVANCE DIFFRACTION METHODS (ADM) EFG 9. STOCHASTIC WEIGHTED PARTICLE METHOD (SWPM) SPH. FINITE-COVER BASED ELEMENT FREE METHOD (FCEFM) EFG Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

21 . FINITE MASS METHOD (FMM) PIC. MULTI-SCALE MESHFREE PARTICLE METHOD (MSMPM) RBF-PM 3. MULTI-QUADRICS METHOD (MQM) RBF-PM 4. RADIAL BASIS FUNCTION BASED ON MESHLESS BOUNDARY KNOT METHODS MFDM 5. BOUNDARY PARTICLE METHODS (BPM) BMP 6. MATRIX-FREE MULTILEVEL MOVING LEAST SQUARES METHODS MFDM 7. MOVING LEAST-SQUARE REPRODUCING KERNEL METHOD (MLSRKM) KPM 8. RBF COLLOCATION METHODS KM 9. DIFFUSE ELEMENT METHOD (DEM) 3. ELEMENT FREE GALERKIN (EFG) EFG 3. REPRODUCING KERNEL PARTICLE METHOD (RKPM) KPM 3. FINITE POINT METHOD, FREE MESH METHOD (FPM) FDM 33. FINITE SPHERES METHOD (FSM) PU 34. PARTITION OF UNITY FINITE ELEMENT (PUFEM) PU 35. EXTENDED FEM (XFEM) PU 36. FINITE VOLUME PARTICLE IN CELL (PIC) PIC 37. MATERIAL POINT METHOD (MPM) PIC 38. LOCAL BOUNDARY INTEGRAL EQUATION (LBIE) 39. MESHLESS LOCAL PETROV-GALERKIN METHOD (MLPGM) MLPG 4. NATURAL ELEMENT METHOD (NEM) NEM 4. CORRECTIVE SPH (CSPH) SPH Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

22 Generacja węzłów Topologa - welokąty Topologa - trójkąty Generacja gwazd Generacja wzorów różncowych (MWLS) f Du = u (, ) K q u (, ) Całkowane numeryczne u u u 3 u j Gauss ponts nodes central pont a) ntegraton over the Vorono polygons b) ntegraton over the Delaunay trangles c) ntegraton over the element of the ndependent mesh d) ntegraton over the support of the appromaton weght Uwzględnene warunków brzegowych (, u ) (, u ) j j Generacja równań różncowych - kolokacja - mnmum funkcjonału - równane waracyjne Rozwązane układu Równań + Postprocessng Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

23 Aproksymacja MWLS u(,y) u(,y) u(,y) aproksymacja globalna krocząca lokalna aproksymacja Aproksymacja lokalna: u = u + h + k u =, y j l! y u u h k = h k hk... u y = u... t t = p Du + e p Du l Shepard 968 Wyatt et al. 975 Lszka, Orksz 976 Krok, Orksz 98 Lancaster and Salkauskas 98 Nayroles, Vllon 99 Belytschko et al. 994 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

24 WAŻONY FUNKCJONAŁ BŁĘDU t T T T w p P Du q P Du q J = ( - ) ( ) Du( ) u = ( ) W ( ) P ( )... Pr ( ) w ( )... P = , W = P ( )... P ( )... w ( ) q T = n r n n n [ ] u,..., u n I = = = Du gdze ( ) ( ) T T T P Du q WP Du P WP P Wq = Mq T ( W ) M = P P P Aproksymacja MWLS Du T = u u u y u... T W Macerz wzorów różncowych M q skąd h u ( ) = Φ ( ) u Φ n = ( ) = p( ) M ( ) P ( ) W ( ) Aproksymacja MWLS Pseudo - funkcja kształtu Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

25 FUNKCJE WAGOWE ( I ) ( ) Aproksymacja MWLS w = f d d = powszechne stosowane I KLASYFIKACJA osoblwe nterpolacja nośnk neskończony (wygodne dla oblczeń) BMRS: operatory różncowe nośnk skończony (wygodne dla matematycznych dowodów) BMRS: operatory różncowe neosoblwe wygładzane BMRS: wygładzane danych a EFG, metody jądrowe, hp-clouds BMRS: wygładzane danych Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego a

26 Całkowane w BMRS a) CAŁKOWANIE DOOKOŁA WĘZŁA PO WIELOKĄTACH VORONOI (NAJLEPSZE DLA PARZYSTYCH OPERATORÓW) TAK JAK W KLASYCZNEJ MRS b) CAŁKOWANIE POMIĘDZY WĘZŁAMI PO TRÓJKĄTACH DELAUNAY (D) (NAJLEPSZE DLA NIEPARZYSTYCH OPERATORÓW) TAK JAK W MES c) CAŁKOWANIE PO SIATCE TŁA NIEZALEŻNEJ OD WĘZŁÓW TAK JAK W METODACH BEZSIATKOWYCH d) CAŁKOWANIE PO STREFACH WPŁYWU FUNKCJI WAGOWYCH APROKSYMACJI MWLS TAK JAK W MET. BEZSIATK. Gauss ponts nodes central pont a) ntegraton over the Vorono polygons b) ntegraton over the Delaunay trangles c) ntegraton over the element of the ndependent mesh d) ntegraton over the support of the appromaton weght Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

27 Warunk brzegowe w BMRS (, u ) użyce jedyne wewnętrznych węzłów słaba jakość m u = a u j j j= użyce węzłów wewnętrznych uogólnonych stopn swobody m m ( k) = j j + j j j= j= u a u b u podejśce welopunktowe użyce wewnętrznych dodatkowych zewnętrznych węzłów m m f = j j + k k j= k = u a u b u, f f (, u ) (, u ) użyce węzłów wewnętrznych z warunkem brzegowym równanem z obszaru zapsanym na brzegu Lu = f, Gu = g, P Ω m kombnacje powyższych sposobów m a u = b f j j j j j= j= k k j ( j, uj, f j, gj) (, u ) (, u ) j (, u ) j j (, u ) j j Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

28 Rozwnęca BMRS ANALIZA BŁĘDU A POSTERIORI ADAPTACJA SIATKI PODEJŚCIE WIELOSIATKOWE (MULTIGRID) UOGÓLNIONE STOPNIE SWOBODY APROKSYMACJA PODWYŻSZONEGO RZĘDU BMRS NA ROZMAITOŚCI RÓŻNICZKOWEJ KOMBINACJE BMRS / MES WYGŁADZANIE DANYCH EKSPERYMENTALNYCH I NUMERYCZNYCH ROZWÓJ OPROGRAMOWANIA S n Old nodes Lu f p 3 p D pn, n r n, n r r 3 Proposed locaton of new nodes P p 3 p pn, n S eact soluton for the gven mesh D defect of the FD equaton P correcton yelded on the gven mesh H HO soluton for the corrected FD equaton Accepted new nodes Lu = f S Lu f + D Lu = f + r n, n r r p 3 3 P p pn, n T (, y,.) T (, y,.) T (, y,.) H ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE a) eplct scheme b) standard mplct scheme c) C-N mplct scheme Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

29 Polepszene jakośc rozwązana BMRS Zwększene lczby węzłów Podnesene rzędu aproksymacj # (n=6) #5 (n=7) #9 (n=4) #3 (n=5) #7.5 (n=6) #.5 (n=67) #5.5 (n=75) #9.5 (n=86).5.5 #33.5 (n=99) #49 (n=53) #37 (n=3).5 #53 (n=65) #4 (n=7).5 #57 (n=7) #45 (n=4).5 #6 (n=79).5 Operatory wyższego rzędu (Lszka, Orksz, Krok, 98) Uogólnone stopne swobody Aproksymacja wyższego rzędu (Lszka, Orksz, 978 Przybylsk, Leżańsk, Orksz, 994 Mlewsk, Orksz, 5) (Hackbush, 98) u (Jaworska, Orksz, 4) = Podejśce welopunktowe f (Mlewsk, Orksz, 3) Człony korekcyjne + Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

30 Estymacja błędu w BMRS ( Ω, e ) h ( P, e ) ( P, e ) h = Ω ( Ωh, e ) LOKALNY BŁĄD ROZWIĄZANIA GLOBALNY BŁĄD ROZWIĄZANIA e = u u e u u ( LT ) ( L) ( T ) ( LH ) ( L) ( H ) e ( HT ) ( H ) ( T ) = u u = η E ( ) = b( e, e ), η = e dω L Ω LOKALNY BŁĄD RESIDUALNY r = Lu R f r = Lu f ( L) r = Lu f ( H ) r = Lu f ( T ) ESTYMATORY: - HIERARCHICZNE (h, p, HO) - WYGŁADZENIOWE (ZZ, HO) - RESIDUALNE (JAWNY, NIEJAWNY) = + e e η INDEKS EFEKTYWNOŚCI Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

31 Adaptacja węzłów w BMRS h Ω ( h = Ω, e ) Ω KRYTERIA GENERACJI WĘZŁÓW BŁĄD RESIDUALNY Lu f r = > p rma, p, f [ ] GŁADKOŚĆ SIATKI Ω Ω η η ρ ( ) ( y y ) j j = adm, j = j + j ρj Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

32 (.5,.5) (,3) y BENCHMARK NO. - EXACT SOLUTION y.6 y y y BENCHMARK NO. - RIGHT HAND SIDE y D PROBLEMS D TEST PROBLEMS w''( ) + a w'( ) = f ( ), (, 4) w() = w(4) =, a = D TEST PROBLEMS w = f (, y) n Ω w = w on Ω Ω = {(, y),, y } D PROBLEMS BENCHMARK NO. - EXACT SOLUTION BENCHMARK NO. - RIGHT HAND SIDE SIMPLY SUPPORTED BEAM WITH NONLINEAR CONSTITUTIVE LAW E( w) J w''( ) = M ( ), (, L), w() = w( L) = CANTILEVER BEAM WITH LARGE DEFLECTIONS w''( ) = M ( ), 3/ [ + ( w'( )) ] EJ w() =, w'() =, (, L) FUZZY SETS ANALYSIS M ( ) u ''( ) = f ( ), f ( ) = EJ u() = u(4) =,, 4 ( ) RELIABILITY ESTIMATION M (, P) u ''( ) = f ( ), f ( ) = EJ u() = u(4) =,, 4 R = Ω f Ω f +Ωs ( ) p( ) dω p( ) dω f y, w L EJ b.v. problem (beam deflecton) wth fuzzy data (varant locatons of concentrated loads) safe locaton Ω s w L P (.5,.5) Ω f dw (,3) ds d + d u ''( f ( = ) ), (, 4) u() = u(4) = (.5,.5) (,3) falure locaton safe falure p( ) Ωs safe STRESS ANALYSIS IN PRISMATIC BAR SUBJECTED TO TORSION Φ = C n Ω Φ = on Ω Φ Φ τ z =, τ zy =, y τ = τ + τ z zy LO (ma=.5, mean=.7) LO STRESS (ma=.64, mean=7.4) STRESS ANALYSIS IN RAILROAD RAIL SUBJECTED TO TORSION 3 Φ = C n Ω Φ = on Ω τ Φ,, y τ Φ = = τ = τ + τ z zy z zy HO (ma=.5, mean=.7) HO STRESS (ma=.68, mean=7.7) NONSTATIONARY HEAT FLOW ANALYSIS IN RAILROAD RAIL T T (, y, t) T = = Ω t T (, y, t = ) = 5 T (, y,.) T(, y,.) T (, y,.) a) eplct scheme b) standard mplct scheme c) C-N mplct scheme TRUE (ma=.5, mean=.7) TRUE STRESS (ma=.68, mean=7.7) CLOUD OF NODES (3) WITH DELAUNAY TRIANGULATION (463) CLOUD OF NODES (3) WITH DELAUNAY TRIANGULATION (463) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

33 Przykład oblczenowy BMRS w zagadnenach D Zagadnene: Wyznaczene całkowtych naprężeń skręcających w pręce pryzmatycznym Ω Ω τ z τ = τ + τ z zy Φ Φ =, τzy = y Sf. Lokalne: Φ = C w Ω Sf. Słabe: Φ = na Ω Φ ' v ' + Φ ' v ' dω + Φ ' v n + Φ ' v n d Ω = C vdω, Φ = Ω y y y y y Ω Ω Ω Metody: BMRS w sformułowanu lokalnym BMRS w sformułowanu waracyjnym Φ FUNKCJA PRANDTL A Cele: Porównane jakośc rozwązań BMRS Analza zbeżnośc na satkach regularnych Przykładowa adaptacja satk Przekrój Przekrój Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

34 PROBLEM FORMULATION: FIND TOTAL SHEAR STRESSES Φ = C n Ω Φ Φ τz =, τzy = Φ = on Ω y Φ PRANDTL FUNCTION τ = τ + τ z zy IN THE RAILROAD RAIL GIVEN BELOW 3 RAILROAD RAIL CONTOUR CONTOUR CLOUD OF NODES CLOUD OF NODES (3) (3) WITH DELAUNAY TRIANGULATION TRIANGLES (463) (463) 3 y y CLOUD OF 3 NODES WAS USED FOR CALCULATIONS Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

35 SF_LOK / HO MFDM Φ(, y) SF_MLPG 7 / HO MFDM Φ(, y) SF_LOK / HO MFDM τ = τ + τ z zy SF_MLPG 7 / HO MFDM τ = τ + τ z zy Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

36 FEM Φ(, y) SF_MLPG 7 / HO MFDM Φ(, y) FEM τ = τ + τ z zy SF_MLPG 7 / HO MFDM τ = τ + τ z zy Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

37 Kombnacje metod (MES + BMRS) Użyce dwóch metod w tym samym czase do dyskretyzacj w różnych podobszarach t = t t = Użyce jednej metody drugej metody na różnych etapach oblczeń, np. opracowane wynków MES za pomocą technk BMRS Użyce BMRS do generacj charakterystycznych welkośc elementowych w MES, np. macerzy sztywnośc Użyce MES do generacj wzorów różncowych poprzez różnczkowane nterpolacj J.Krok, M.Stanuszek, J.Orksz, On combnaton of the adaptve meshless FD and FE methods n the NAFDEM system of analyss of b.v. problem, 8th US Natonal Congress on Computatonal Mechancs, Austn, July 5-7 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

38 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład u = f (, y) w Ω u = u na Ω Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

39 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład Błąd rozwązana BMRS Oszacowane rozwązana BMRS za pomocą estymatora BMRS η e = e Błąd rozwązana MES Oszacowane rozwązana MES za pomocą estymatora BMRS S.Mlewsk, J.Orksz, Improvements n the global a-posteror error estmaton of the FEM and MFDM solutons, KUKDM AGH Cyfronet, 8-9 marzec,, Zakopane, Polska Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

40 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład u = f (, y) w Ω u = u na Ω Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

41 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład Błąd rozwązana BMRS Oszacowane rozwązana BMRS za pomocą estymatora BMRS η e = e Błąd rozwązana MES Oszacowane rozwązana MES za pomocą estymatora BMRS S.Mlewsk, J.Orksz, Improvements n the global a-posteror error estmaton of the FEM and MFDM solutons, KUKDM AGH Cyfronet, 8-9 marzec,, Zakopane, Polska Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

42 Podsumowane Metody bezsatkowe, w tym BMRS, są ntensywne rozwjane na całym śwece Udzał uczonych: USA EU AZJA PL I. Babuska, Melenk JT.Oden, A.Duarte, T.Lszka, W.Tworzydło T.Belytshko, W.K. Lu, S.Shen, J.S.Chen J.K.Bathe, S.De, S.Atlur O.C.Zenkewcz E.Onate, S.Idelsohn A.Huerta, M.Grebel, M.Schwetzer, P.Boullard, J.V.Sladek, P.Vllon G.R.Lu, H. Noguch Z.Kączkowsk, R.Trbłło, J.Cendrowcz, J.Ktowsk, Cracow Group: J.Orksz, T.Lszka, W.Tworzydło, J.Krok, W.Karmowsk, M.Pazdanowsk, J.Magera, S.Mlewsk, I.Jaworska Konferencje, semnara, sympozja: WCCM, CMM, ICCES, US Congress, ECCM Publkacje, opracowana, monografe: T.P. Fres, H.G. Matthes Classfcaton and Overvew of Meshfree Methods, Technsche Unverstat Braunschweg, 4 S.N. Atlur, S.Shen The Meshless Local Petrov-Galerkn (MLPG) Method, Tech Scence Press, S. L, WK Lu, Meshfree Partcle Methods, Sprnger, 4 S.N. Atlur The Meshless Method (MLPG) for Doman & Be Dscretzatons, Tech Scence Press, 4 T.P. Fres, H.G. Matthes Classfcaton and Overvew of Meshfree Methods,Techn. Unv. Branschweg, 4 M. Grebel, M.A.Schwetzer Meshfree Methods for Partal Dfferental Equatons, Sprnger, - 8 V.M.A. Letao, C.J.S. Alves, C.A. Duarte Advances n Meshless Technques, Sprnger, 7 Orksz J., Fnte Dfference Method, part III n Handbook of Computatonal Mechancs, ed: Kleber, Sprnger, 998 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego