8. Metody bezsiatkowe i inne metody komputerowe na tle MES

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "8. Metody bezsiatkowe i inne metody komputerowe na tle MES"

Transkrypt

1 8. Metody bezsatkowe nne metody komputerowe na tle MES Sławomr Mlewsk e-mal: Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

2 Tematyka Wprowadzene Krytera klasyfkacj metod komputerowych Sformułowana problemów brzegowych Dyskretyzacja aproksymacja rozwązana Przegląd metod komputerowych wg kryterów Metoda różnc skończonych MRS na tle MES Przykład oblczenowy program nr (MRS / MES D) w Matlabe Metody bezsatkowe Bezsatkowa metoda różnc skończonych BMRS na tle MES Przykład oblczenowy program nr (BMRS D) w Matlabe Podsumowane Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

3 Wprowadzene Metoda Elementów Skończonych MES Ogólna, najbardzej rozpowszechnona, najbardzej rozwnęta Podstawa wększośc programów komercyjnych (Abaqus, Adna, Ansys, Dana, FELT, Feap, Mark, Robot, ) Stosowana przy wększośc zadań nżynerskch mechank fzyk Rozwnęte klasy typy elementów skończonych, podstawy matematyczne, opracowane wynków, metody szacowana błędów Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

4 Wprowadzene Dlaczego mówmy o nnych metodach komputerowych? Względy hstoryczne (MES ne jest najstarsza ) Względy dydaktyczne (łatwej rozwązać zadane ręczne za pomocą np. metody różnc skończonych) Względy praktyczne Nektóre zastosowana (analza płyt, ruchomy brzeg, szczelna, ) Dostępne oprogramowane (własne lub komercyjne) Kombnacje metod (np. MES + BMRS) Potrzeba weryfkacj oblczeń MES nną metodą Efektywność szybkość algorytmu Potrzeba częstej przebudowy satk (adaptacja) Dokładność rozwązana jego pochodnych (nadzbeżność) Końcowe opracowane wynków (podejśce hybrydowe) Aktualne trendy w nauce (metody bezsatkowe) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

5 Krytera klasyfkacj metod Sformułowane problemu brzegowego Podstawa dyskretyzacj zadana (obszar, brzeg, podobszar, ) Sposób dyskretyzacj obszaru brzegu (węzły, elementy + węzły) Sposób dyskretyzacj rozwązana (wartośc węzłowe, nne s.s.) Sposób aproksymacj rozwązana Sposób całkowana numerycznego Sposób opracowana wynków Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

6 SFORMUŁOWANIE LOKALNE Ω Ω SFORMUŁOWANIA GLOBALNE Ω Ω SFORMUŁOWANIA MIESZANE (NP. GLOBALNO LOKALNE) v = Ω v = ( ) v = Sformułowana brzegowe L u = f u u ( P ) P Ω = Gu = g P Ω L,G - operatory różnczkowe n-tego m-tego rzędu FUNKCJONAŁ I( u)= B( u, u) Lu RÓWNANIE WARIACYJNE B( u, v) = L( v) for v V B( u, v) L( v) for v V adm ZASADA WARIACYJNA SPEŁNIONA W PODOBSZARACH Ω PRZYPISANYCH KOLEJNYM WĘZŁOM b( u, v) = l( v) v Ω, =,..., N Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

7 Dyskretyzacja obszaru Ω Ω METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH METODY BEZSIATKOWE BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH METODY RESIDUÓW WAŻONYCH METODY ENERGETYCZNE INNE Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

8 Aproksymacja rozwązana Metody brzegowe Metody bezsatkowe Metody elementowe Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

9 Klasyfkacja metod komputerowych NAZWA METODY SFOR- -MUŁOWANIE PODSTAWA DYSKRETYZACJI SPOSÓB DYSKRETYZACJI SPOSÓB APROKSYMACJI CAŁKOWANIE NUMERYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH SŁABE (WARIACYJNE / FUNKCJONAŁ) OBSZAR WĘZŁY + + ELEMENTY INTERPOLACJA F.KSZTAŁTU W ELEMENCIE W ELEMENCIE MES + INNE METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH RÓWNANIE CAŁKOWE OBSZAR BRZEG ELEMENTY INTERPOLACJA BRZEGOWA NA BRZEGU (CAŁKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE) MEB + INNE METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MOCNE (LOKALNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE NIE JEST POTRZEBNE APROKSYMACJA WARIACYJNA MRS SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE DOOKOŁA LUB POMIĘDZY WĘZŁAMI APROKSYMACJA METODY BEZSIATKOWE (BEZSIATKOWA MRS) MOCNE / SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY METODA MWLS RÓŻNE SPOSOBY MWLS METODY RESIDUALNE (GALERKIN, NK, KOL.) SŁABE (WARIACYJNE) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALITYCZNIE INTERPOLACJA METODY ENERGETYCZNE (RITZ) SŁABE (FUNKCJONAŁ) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALITYCZNIE INTERPOLACJA Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

10 MRS (lokalna) na tle MES MRS lokalna MES Sformułowane problemu brzegowego Lokalne L u = f u u ( P ) P Ω = G u = g P Ω - Waracyjne - Funkcjonał B( u, v) = L( v) for v V I( u)= B( u, u) Lu Generacja satk Aproksymacja Generacja równań dyskretnych Całkowane Warunk brzegowe Macerz Układu równań Typ (prostokątna, trójkątna) + moduł h Generacja wzorów różncowych dla pochodnych z równana Kolokacja Brak Dodatkowe wzory różncowe brzegowe Na ogół nesymetryczna Specjalne programy - generatory Interpolacja rozwązana w elemence za pomocą funkcj kształtu Spełnene równana waracyjnego w elemence Kwadratury Gaussa w elemence Modyfkacja układu równań Symetryczna pasmowa Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

11 Etapy MRS generacja satk Źródło: Orksz J., Fnte Dfference Method, part III n Handbook of Computatonal Mechancs, ed: Kleber, Sprnger, 998 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

12 Etapy MRS generacja wzorów różncowych D: h h D:, j + h + h, j Sposoby generacj: - Składane wzorów złożonych ze wzorów prostych:, j +, j h, j h u+ u u u + u+ u ', u '' u ''' = ( u '' )' h h - Wymuszene zgodnośc dla jednomanów - Interpolacja różnczkowane - Metoda współczynnków neoznaczonych (metoda Taylora) u au + bu + cu '' + u = u hu + h u + u = u u u hu h u '.5 ''... + = + ' +.5 '' +... ( ) u '' u a + b + c + u ' ( ah + ch) + u '' (.5h a +.5 h c) a = h b = h c = h Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

13 Etapy MRS generacja równań różncowych L u = f u u ( P ) P Ω = G u = g P Ω Kolokacja we węzłach Lu G u = f P Ω = g P j Ω j Uwzględnene warunków brzegowych Operator budowany tylko na węzłach wewnętrznych Operator budowany na węzłach wewnętrznych - z wykorzystanem uogólnonych stopn swobody Operator budowany na węzłach wewnętrznych zewnętrznych fkcyjnych węzłach Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

14 MRS waracyjna numeryczne całkowane I( u)= B( u, u) Lu lub B( u, v) = L( v) for v V Np. b I( u)= ( '), mn ( )? u + fud I u = ( u) a wzór prostokątów lub b a [ ] b u ' v ' d + u ' v = fvd for v V a b a wzór trapezów h h + + wzory centralne ' u u u, v' v = = v h h u u v v u ' v' d h h h + + fvd h v f + v f + agregacja! ( ) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

15 Przykład oblczenowy MRS w zagadnenach D Zagadnene: Analza ugęć belk swobodne podpartej dla różnych obcążeń P = [kn] q = [kn/m] EI = L = [m] P = [kn] Sf. Lokalne: ( ) u ''( ) = M u() = u( L) = EJ Metody: MRS lokalna MRS waracyjna MES Sf. Słabe: L L M ( ) u ' v ' d = vd, v() = u() = v( L) = u( L) = EJ Cele: Porównane jakośc rozwązań MRS MES Analza zbeżnośc na satkach regularnych Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

16 Blans MRS MES MRS: Najstarsza metoda komputerowa Łatwość mplementacj Istnene wersj lokalnej Łatwa generacja satk Dydaktyczny charakter Trudnośc przy krzywolnowym brzegu Ne można przeprowadzć adaptacj Ne można lokalne zagęszczać satk (naroża, obcążena skupone, ) Trudna do automatyzacj MES: Najbardzej powszechna metoda komputerowa Podstawa paketów komputerowych Szeroke pole zastosowań Ogromna bbloteka elementów skończonych Duża dokładność rozwązana Kłopotlwa generacja satk dla obszarów o skomplkowanej geometr Mało efektywna przy częstej przebudowe satk Uwzględnane nelnowośc geometrycznych (duże przemeszczena, ) Ruchomy brzeg, rozwój szczelny Zjawsko blokady Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

17 Bezsatkowa (Uogólnona) Metoda Różnc Skończonych BMRS DOWOLNIE NIEREGULARNE CHMURY WĘZŁÓW (WĘZŁY NIE POWIĄZANE ZE SOBĄŻADNĄ STRUKTURĄ TYPU SIATKA REGULARNA CZY ELEMENT) KAŻDY WĘZEŁ MOŻE BYĆ USUNIĘTY, DODANY, PRZESUNIĘTY (ADAPTACJA TYPU h, OBCIĄŻENIE SKUPIONE, SZCZELINA, WĘDRUJĄCY BRZEG,...) Cecha metod bezsatkowych MB ZAMIANA OPERATORÓW RÓŻNICZKOWYCH NA RÓŻNICOWE Cecha metod różncowych MRS APROKSYMACJA LOKALNA JEST OPARTA NA GRUPIE WĘZŁÓW, DOKONYWANA METODĄ NAJMNIEJSZYCH WAŻONYCH KROCZĄCYCH KWADRATÓW Cecha metody BMRS METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA BEZSIATKOWA (np. BMRS) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

18 Klasyfkacja metod bezsatkowych (kryterum: sposób lokalnej aproksymacj) () METODY OPARTE NA METODZIE LOKALNEJ APROKSYMACJI WAŻONYMI NAJMNIEJSZYMI KROCZĄCYMI KWADRATAMI (MWLS) - BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH (BMRS) Meshless Fnte Dfference Method (MFDM) Jensen 7; Nay, Utku 7, Wyatt et al.. 75; Perrone et al.. 75; Lszka, Orksz 76 - ELEMENT FREE GALERKIN (EFG) Belytschko et al DIFFUSIVE ELEMENT METHOD (DEM) Vllon et al. 9 - FINITE POINT METHOD (FPM) Onate, Idelsohn et al. 94 () METODY APROKSYMACJI JĄDRA CAŁKOWEGO - SMOOTH PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH) Lucy 77; Gngold, Monaghan 77 - REPRODUCING KERNEL PARTICLE METHOD (RKPM) Lu et al. 96 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

19 () METODY PODZIAŁU JEDNOŚCI - PARTITION OF UNITY FEM (PUFEM) Babushka, Melenk 96 - HP-CLOUDS Duarte, Oden 95 (v) METODY ELEMENTÓW NATURALNYCH (MEN) Traverson 94; Braun, Sambrdge 95; Sukumar et al. 98 (v) PARTICLE IN CELL TYPE METHODS (PIC) Brackbll et al. 86; L, Lu revew (v) INNE METODY BEZSIATKOWE - MESHLESS LOCAL PETROV GALERKIN Atlur et al FINITE VOLUME METHODS Henrch 88 Ω Ω Ω v Ω v Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

20 . MESHLESS FINITE DIFFERENCE METHOD MFDM. SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH) SPH 3. FINITE SUPPORT KERNAL METHOD (FSKM) SPH 4. MULTIPLE SCALE REPRODUCING KERNAL METHOD (MSRKM) SPH 5. WAVELET REPRODUCING KERNAL PARTICLE METHOD (WRKPM) SPH 6. MOVING LEAST SQUARE REPRODUCING KERNAL METHOD (MLSRKM) SPH 7. PSEUDO DIVERGENCE-FREE ELEMENT FREE GALERKIN METHOD MFDM 8. CORRECTED SMOOTH PARTICLE HYDRODYNAMICS (CSPH) SPH 9. MLSPH METHOD: MOVING LEAST SQUARES SPH. MESHFREE METHODS (MM) MFDM. HAMILTONIAN PARTICLE MESH METHOD PM. MULTI-LEVEL MESHLESS METHOD MFDM 3. PARTICLE-PARTITION OF UNITY METHOD (PPUM) PU 4. FINITE VOLUME PARTICLE METHOD (FVPM) FV 5. UPWIND FINITE POINT SET METHOD (UFPSM) MFDM 6. GALERKIN PARTICLE METHOD (GPM) PM 7. DISTINCT ELEMENT METHOD (DEM) 8. ADVANCE DIFFRACTION METHODS (ADM) EFG 9. STOCHASTIC WEIGHTED PARTICLE METHOD (SWPM) SPH. FINITE-COVER BASED ELEMENT FREE METHOD (FCEFM) EFG Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

21 . FINITE MASS METHOD (FMM) PIC. MULTI-SCALE MESHFREE PARTICLE METHOD (MSMPM) RBF-PM 3. MULTI-QUADRICS METHOD (MQM) RBF-PM 4. RADIAL BASIS FUNCTION BASED ON MESHLESS BOUNDARY KNOT METHODS MFDM 5. BOUNDARY PARTICLE METHODS (BPM) BMP 6. MATRIX-FREE MULTILEVEL MOVING LEAST SQUARES METHODS MFDM 7. MOVING LEAST-SQUARE REPRODUCING KERNEL METHOD (MLSRKM) KPM 8. RBF COLLOCATION METHODS KM 9. DIFFUSE ELEMENT METHOD (DEM) 3. ELEMENT FREE GALERKIN (EFG) EFG 3. REPRODUCING KERNEL PARTICLE METHOD (RKPM) KPM 3. FINITE POINT METHOD, FREE MESH METHOD (FPM) FDM 33. FINITE SPHERES METHOD (FSM) PU 34. PARTITION OF UNITY FINITE ELEMENT (PUFEM) PU 35. EXTENDED FEM (XFEM) PU 36. FINITE VOLUME PARTICLE IN CELL (PIC) PIC 37. MATERIAL POINT METHOD (MPM) PIC 38. LOCAL BOUNDARY INTEGRAL EQUATION (LBIE) 39. MESHLESS LOCAL PETROV-GALERKIN METHOD (MLPGM) MLPG 4. NATURAL ELEMENT METHOD (NEM) NEM 4. CORRECTIVE SPH (CSPH) SPH Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

22 Generacja węzłów Topologa - welokąty Topologa - trójkąty Generacja gwazd Generacja wzorów różncowych (MWLS) f Du = u (, ) K q u (, ) Całkowane numeryczne u u u 3 u j Gauss ponts nodes central pont a) ntegraton over the Vorono polygons b) ntegraton over the Delaunay trangles c) ntegraton over the element of the ndependent mesh d) ntegraton over the support of the appromaton weght Uwzględnene warunków brzegowych (, u ) (, u ) j j Generacja równań różncowych - kolokacja - mnmum funkcjonału - równane waracyjne Rozwązane układu Równań + Postprocessng Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

23 Aproksymacja MWLS u(,y) u(,y) u(,y) aproksymacja globalna krocząca lokalna aproksymacja Aproksymacja lokalna: u = u + h + k u =, y j l! y u u h k = h k hk... u y = u... t t = p Du + e p Du l Shepard 968 Wyatt et al. 975 Lszka, Orksz 976 Krok, Orksz 98 Lancaster and Salkauskas 98 Nayroles, Vllon 99 Belytschko et al. 994 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

24 WAŻONY FUNKCJONAŁ BŁĘDU t T T T w p P Du q P Du q J = ( - ) ( ) Du( ) u = ( ) W ( ) P ( )... Pr ( ) w ( )... P = , W = P ( )... P ( )... w ( ) q T = n r n n n [ ] u,..., u n I = = = Du gdze ( ) ( ) T T T P Du q WP Du P WP P Wq = Mq T ( W ) M = P P P Aproksymacja MWLS Du T = u u u y u... T W Macerz wzorów różncowych M q skąd h u ( ) = Φ ( ) u Φ n = ( ) = p( ) M ( ) P ( ) W ( ) Aproksymacja MWLS Pseudo - funkcja kształtu Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

25 FUNKCJE WAGOWE ( I ) ( ) Aproksymacja MWLS w = f d d = powszechne stosowane I KLASYFIKACJA osoblwe nterpolacja nośnk neskończony (wygodne dla oblczeń) BMRS: operatory różncowe nośnk skończony (wygodne dla matematycznych dowodów) BMRS: operatory różncowe neosoblwe wygładzane BMRS: wygładzane danych a EFG, metody jądrowe, hp-clouds BMRS: wygładzane danych Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego a

26 Całkowane w BMRS a) CAŁKOWANIE DOOKOŁA WĘZŁA PO WIELOKĄTACH VORONOI (NAJLEPSZE DLA PARZYSTYCH OPERATORÓW) TAK JAK W KLASYCZNEJ MRS b) CAŁKOWANIE POMIĘDZY WĘZŁAMI PO TRÓJKĄTACH DELAUNAY (D) (NAJLEPSZE DLA NIEPARZYSTYCH OPERATORÓW) TAK JAK W MES c) CAŁKOWANIE PO SIATCE TŁA NIEZALEŻNEJ OD WĘZŁÓW TAK JAK W METODACH BEZSIATKOWYCH d) CAŁKOWANIE PO STREFACH WPŁYWU FUNKCJI WAGOWYCH APROKSYMACJI MWLS TAK JAK W MET. BEZSIATK. Gauss ponts nodes central pont a) ntegraton over the Vorono polygons b) ntegraton over the Delaunay trangles c) ntegraton over the element of the ndependent mesh d) ntegraton over the support of the appromaton weght Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

27 Warunk brzegowe w BMRS (, u ) użyce jedyne wewnętrznych węzłów słaba jakość m u = a u j j j= użyce węzłów wewnętrznych uogólnonych stopn swobody m m ( k) = j j + j j j= j= u a u b u podejśce welopunktowe użyce wewnętrznych dodatkowych zewnętrznych węzłów m m f = j j + k k j= k = u a u b u, f f (, u ) (, u ) użyce węzłów wewnętrznych z warunkem brzegowym równanem z obszaru zapsanym na brzegu Lu = f, Gu = g, P Ω m kombnacje powyższych sposobów m a u = b f j j j j j= j= k k j ( j, uj, f j, gj) (, u ) (, u ) j (, u ) j j (, u ) j j Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

28 Rozwnęca BMRS ANALIZA BŁĘDU A POSTERIORI ADAPTACJA SIATKI PODEJŚCIE WIELOSIATKOWE (MULTIGRID) UOGÓLNIONE STOPNIE SWOBODY APROKSYMACJA PODWYŻSZONEGO RZĘDU BMRS NA ROZMAITOŚCI RÓŻNICZKOWEJ KOMBINACJE BMRS / MES WYGŁADZANIE DANYCH EKSPERYMENTALNYCH I NUMERYCZNYCH ROZWÓJ OPROGRAMOWANIA S n Old nodes Lu f p 3 p D pn, n r n, n r r 3 Proposed locaton of new nodes P p 3 p pn, n S eact soluton for the gven mesh D defect of the FD equaton P correcton yelded on the gven mesh H HO soluton for the corrected FD equaton Accepted new nodes Lu = f S Lu f + D Lu = f + r n, n r r p 3 3 P p pn, n T (, y,.) T (, y,.) T (, y,.) H ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE a) eplct scheme b) standard mplct scheme c) C-N mplct scheme Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

29 Polepszene jakośc rozwązana BMRS Zwększene lczby węzłów Podnesene rzędu aproksymacj # (n=6) #5 (n=7) #9 (n=4) #3 (n=5) #7.5 (n=6) #.5 (n=67) #5.5 (n=75) #9.5 (n=86).5.5 #33.5 (n=99) #49 (n=53) #37 (n=3).5 #53 (n=65) #4 (n=7).5 #57 (n=7) #45 (n=4).5 #6 (n=79).5 Operatory wyższego rzędu (Lszka, Orksz, Krok, 98) Uogólnone stopne swobody Aproksymacja wyższego rzędu (Lszka, Orksz, 978 Przybylsk, Leżańsk, Orksz, 994 Mlewsk, Orksz, 5) (Hackbush, 98) u (Jaworska, Orksz, 4) = Podejśce welopunktowe f (Mlewsk, Orksz, 3) Człony korekcyjne + Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

30 Estymacja błędu w BMRS ( Ω, e ) h ( P, e ) ( P, e ) h = Ω ( Ωh, e ) LOKALNY BŁĄD ROZWIĄZANIA GLOBALNY BŁĄD ROZWIĄZANIA e = u u e u u ( LT ) ( L) ( T ) ( LH ) ( L) ( H ) e ( HT ) ( H ) ( T ) = u u = η E ( ) = b( e, e ), η = e dω L Ω LOKALNY BŁĄD RESIDUALNY r = Lu R f r = Lu f ( L) r = Lu f ( H ) r = Lu f ( T ) ESTYMATORY: - HIERARCHICZNE (h, p, HO) - WYGŁADZENIOWE (ZZ, HO) - RESIDUALNE (JAWNY, NIEJAWNY) = + e e η INDEKS EFEKTYWNOŚCI Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

31 Adaptacja węzłów w BMRS h Ω ( h = Ω, e ) Ω KRYTERIA GENERACJI WĘZŁÓW BŁĄD RESIDUALNY Lu f r = > p rma, p, f [ ] GŁADKOŚĆ SIATKI Ω Ω η η ρ ( ) ( y y ) j j = adm, j = j + j ρj Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

32 (.5,.5) (,3) y BENCHMARK NO. - EXACT SOLUTION y.6 y y y BENCHMARK NO. - RIGHT HAND SIDE y D PROBLEMS D TEST PROBLEMS w''( ) + a w'( ) = f ( ), (, 4) w() = w(4) =, a = D TEST PROBLEMS w = f (, y) n Ω w = w on Ω Ω = {(, y),, y } D PROBLEMS BENCHMARK NO. - EXACT SOLUTION BENCHMARK NO. - RIGHT HAND SIDE SIMPLY SUPPORTED BEAM WITH NONLINEAR CONSTITUTIVE LAW E( w) J w''( ) = M ( ), (, L), w() = w( L) = CANTILEVER BEAM WITH LARGE DEFLECTIONS w''( ) = M ( ), 3/ [ + ( w'( )) ] EJ w() =, w'() =, (, L) FUZZY SETS ANALYSIS M ( ) u ''( ) = f ( ), f ( ) = EJ u() = u(4) =,, 4 ( ) RELIABILITY ESTIMATION M (, P) u ''( ) = f ( ), f ( ) = EJ u() = u(4) =,, 4 R = Ω f Ω f +Ωs ( ) p( ) dω p( ) dω f y, w L EJ b.v. problem (beam deflecton) wth fuzzy data (varant locatons of concentrated loads) safe locaton Ω s w L P (.5,.5) Ω f dw (,3) ds d + d u ''( f ( = ) ), (, 4) u() = u(4) = (.5,.5) (,3) falure locaton safe falure p( ) Ωs safe STRESS ANALYSIS IN PRISMATIC BAR SUBJECTED TO TORSION Φ = C n Ω Φ = on Ω Φ Φ τ z =, τ zy =, y τ = τ + τ z zy LO (ma=.5, mean=.7) LO STRESS (ma=.64, mean=7.4) STRESS ANALYSIS IN RAILROAD RAIL SUBJECTED TO TORSION 3 Φ = C n Ω Φ = on Ω τ Φ,, y τ Φ = = τ = τ + τ z zy z zy HO (ma=.5, mean=.7) HO STRESS (ma=.68, mean=7.7) NONSTATIONARY HEAT FLOW ANALYSIS IN RAILROAD RAIL T T (, y, t) T = = Ω t T (, y, t = ) = 5 T (, y,.) T(, y,.) T (, y,.) a) eplct scheme b) standard mplct scheme c) C-N mplct scheme TRUE (ma=.5, mean=.7) TRUE STRESS (ma=.68, mean=7.7) CLOUD OF NODES (3) WITH DELAUNAY TRIANGULATION (463) CLOUD OF NODES (3) WITH DELAUNAY TRIANGULATION (463) Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

33 Przykład oblczenowy BMRS w zagadnenach D Zagadnene: Wyznaczene całkowtych naprężeń skręcających w pręce pryzmatycznym Ω Ω τ z τ = τ + τ z zy Φ Φ =, τzy = y Sf. Lokalne: Φ = C w Ω Sf. Słabe: Φ = na Ω Φ ' v ' + Φ ' v ' dω + Φ ' v n + Φ ' v n d Ω = C vdω, Φ = Ω y y y y y Ω Ω Ω Metody: BMRS w sformułowanu lokalnym BMRS w sformułowanu waracyjnym Φ FUNKCJA PRANDTL A Cele: Porównane jakośc rozwązań BMRS Analza zbeżnośc na satkach regularnych Przykładowa adaptacja satk Przekrój Przekrój Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

34 PROBLEM FORMULATION: FIND TOTAL SHEAR STRESSES Φ = C n Ω Φ Φ τz =, τzy = Φ = on Ω y Φ PRANDTL FUNCTION τ = τ + τ z zy IN THE RAILROAD RAIL GIVEN BELOW 3 RAILROAD RAIL CONTOUR CONTOUR CLOUD OF NODES CLOUD OF NODES (3) (3) WITH DELAUNAY TRIANGULATION TRIANGLES (463) (463) 3 y y CLOUD OF 3 NODES WAS USED FOR CALCULATIONS Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

35 SF_LOK / HO MFDM Φ(, y) SF_MLPG 7 / HO MFDM Φ(, y) SF_LOK / HO MFDM τ = τ + τ z zy SF_MLPG 7 / HO MFDM τ = τ + τ z zy Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

36 FEM Φ(, y) SF_MLPG 7 / HO MFDM Φ(, y) FEM τ = τ + τ z zy SF_MLPG 7 / HO MFDM τ = τ + τ z zy Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

37 Kombnacje metod (MES + BMRS) Użyce dwóch metod w tym samym czase do dyskretyzacj w różnych podobszarach t = t t = Użyce jednej metody drugej metody na różnych etapach oblczeń, np. opracowane wynków MES za pomocą technk BMRS Użyce BMRS do generacj charakterystycznych welkośc elementowych w MES, np. macerzy sztywnośc Użyce MES do generacj wzorów różncowych poprzez różnczkowane nterpolacj J.Krok, M.Stanuszek, J.Orksz, On combnaton of the adaptve meshless FD and FE methods n the NAFDEM system of analyss of b.v. problem, 8th US Natonal Congress on Computatonal Mechancs, Austn, July 5-7 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

38 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład u = f (, y) w Ω u = u na Ω Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

39 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład Błąd rozwązana BMRS Oszacowane rozwązana BMRS za pomocą estymatora BMRS η e = e Błąd rozwązana MES Oszacowane rozwązana MES za pomocą estymatora BMRS S.Mlewsk, J.Orksz, Improvements n the global a-posteror error estmaton of the FEM and MFDM solutons, KUKDM AGH Cyfronet, 8-9 marzec,, Zakopane, Polska Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

40 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład u = f (, y) w Ω u = u na Ω Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

41 Kombnacje metod (MES + BMRS) - przykład Błąd rozwązana BMRS Oszacowane rozwązana BMRS za pomocą estymatora BMRS η e = e Błąd rozwązana MES Oszacowane rozwązana MES za pomocą estymatora BMRS S.Mlewsk, J.Orksz, Improvements n the global a-posteror error estmaton of the FEM and MFDM solutons, KUKDM AGH Cyfronet, 8-9 marzec,, Zakopane, Polska Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

42 Podsumowane Metody bezsatkowe, w tym BMRS, są ntensywne rozwjane na całym śwece Udzał uczonych: USA EU AZJA PL I. Babuska, Melenk JT.Oden, A.Duarte, T.Lszka, W.Tworzydło T.Belytshko, W.K. Lu, S.Shen, J.S.Chen J.K.Bathe, S.De, S.Atlur O.C.Zenkewcz E.Onate, S.Idelsohn A.Huerta, M.Grebel, M.Schwetzer, P.Boullard, J.V.Sladek, P.Vllon G.R.Lu, H. Noguch Z.Kączkowsk, R.Trbłło, J.Cendrowcz, J.Ktowsk, Cracow Group: J.Orksz, T.Lszka, W.Tworzydło, J.Krok, W.Karmowsk, M.Pazdanowsk, J.Magera, S.Mlewsk, I.Jaworska Konferencje, semnara, sympozja: WCCM, CMM, ICCES, US Congress, ECCM Publkacje, opracowana, monografe: T.P. Fres, H.G. Matthes Classfcaton and Overvew of Meshfree Methods, Technsche Unverstat Braunschweg, 4 S.N. Atlur, S.Shen The Meshless Local Petrov-Galerkn (MLPG) Method, Tech Scence Press, S. L, WK Lu, Meshfree Partcle Methods, Sprnger, 4 S.N. Atlur The Meshless Method (MLPG) for Doman & Be Dscretzatons, Tech Scence Press, 4 T.P. Fres, H.G. Matthes Classfcaton and Overvew of Meshfree Methods,Techn. Unv. Branschweg, 4 M. Grebel, M.A.Schwetzer Meshfree Methods for Partal Dfferental Equatons, Sprnger, - 8 V.M.A. Letao, C.J.S. Alves, C.A. Duarte Advances n Meshless Technques, Sprnger, 7 Orksz J., Fnte Dfference Method, part III n Handbook of Computatonal Mechancs, ed: Kleber, Sprnger, 998 Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Poltechnk Krakowskej w zakrese nowoczesnego budownctwa'' współfnansowany przez Unę Europejską w ramach Europejskego Funduszu Społecznego realzowany pod nadzorem Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH

ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI

Bardziej szczegółowo

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje

Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje J. Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej Strona domowa: www.l5.pk.edu.pl Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) przedmiotu

Karta (sylabus) przedmiotu Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9

Bardziej szczegółowo

Analiza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych

Analiza statyczna MES dla dźwigarów powierzchniowych Adam Wosatko PODZIĘKOWANIA DLA: Marii Radwańskiej, Anny Stankiewicz, Sławomira Milewskiego, Jerzego Pamina, Piotra Plucińskiego Tematyka zajęć 1 Analiza statyczna MES algorytm, porównanie z MRS 2 ES tarczowe

Bardziej szczegółowo

ANALIA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady

ANALIA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady ANALIZA STATYCZNA UP ZA POMOCĄ MES Przykłady PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Krzysztof Balonek, Sławomir Gozdur Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, AGH, Kraków, Poland email: kbalonek@g10.pl, slagozd@gmail.com Praca dostępna w internecie:

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane,

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

SEKCJA METOD KOMPUTEROWYCH MECHANIKI KOMITETU MECHANIKI PAN

SEKCJA METOD KOMPUTEROWYCH MECHANIKI KOMITETU MECHANIKI PAN SEKCJA METOD KOMPUTEROWYCH MECHANIKI KOMITETU MECHANIKI PAN SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚCI SEKCJI W KADENCJI 2007-2010 CHARAKTER SEKCJI Sekcja MKM ma charakter interdyscyplinarny integrujący specjalistów

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

FEM, generacja siatki, ciepło

FEM, generacja siatki, ciepło FEM, generacja siatki, ciepło Sposoby generacji siatki, błędy w metodzie FEM, modelowanie ciepła 05.06.2017 M. Rad Plan wykładu Teoria FEM Generacja siatki Błędy obliczeń Ciepło Realizacja obliczeń w FEMm

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu I. Część teoretyczna Ciepło jest formą przekazywana energii, która jest spowodowana różnicą temperatur (inną formą przekazywania energii

Bardziej szczegółowo

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej (L-5) Rozwiązanie zadania ustalonego przepływu ciepła w systemie MES / BMRS HEAT MIL

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej (L-5) Rozwiązanie zadania ustalonego przepływu ciepła w systemie MES / BMRS HEAT MIL POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. T. Kościuszki Wydział Inżynierii Lądowej ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków tel. 012 628 2546/2929, fax: 012 628 2034, e-mail: L-5@pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych

Bardziej szczegółowo

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U "Z A T W I E R D Z A M Prof. dr hab. inż. Radosław TRĘBIŃSKI dm Dziekan Wydziału Mechatroniki i Lotnictwa Warszawa, dnia... S Y L A B U S P R Z E D M I O T U NAZWA PRZEDMIOTU: NUMERYCZNE METODY OBLICZENIOWE

Bardziej szczegółowo

Informatyka i komputerowe wspomaganie prac inżynierskich

Informatyka i komputerowe wspomaganie prac inżynierskich Informatyka i komputerowe wspomaganie prac inżynierskich Dr Zbigniew Kozioł - wykład Dr Grzegorz Górski - laboratorium Wykład III Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych. MES, Metoda Elementów Skończonych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

MES 4. 1 Przykłady błędów MES. 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja. Czy MES jest nieomylny?

MES 4. 1 Przykłady błędów MES. 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja. Czy MES jest nieomylny? MES 4 błędu Zbieżność. Wskaźniki 1 Przykłady błędów MES Czy MES jest nieomylny? Katastrofa platformy Sleipner A 23.08.1991. Skutki: kompletne zniszczenie konstrukcji o wadzę 97K ton, trzęsienie ziemi (3

Bardziej szczegółowo

TARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE

TARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) Metody numeryczne

KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) Metody numeryczne KARTA KURSU (realizowanego w module ) Administracja systemami informatycznymi (nazwa ) Nazwa Nazwa w j. ang. Metody numeryczne Numerical methods Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator dr Kazimierz Rajchel Zespół

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012 Wprowadzenie do MES Krzysztof Banaś 24 października 202 MES (Metoda Elementów Skończonych 2 ) jest jednym z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania badań naukowych i analiz inżynierskich, o bardzo

Bardziej szczegółowo

ROZWIAZANIE PROBLEMU USTALONEGO PRZEPLYWU CIEPLA W SYSTEMIE ADINA 900 Nodes Version 8.2

ROZWIAZANIE PROBLEMU USTALONEGO PRZEPLYWU CIEPLA W SYSTEMIE ADINA 900 Nodes Version 8.2 1 Wstęp ROZWIAZANIE PROBLEMU USTALONEGO PRZEPLYWU CIEPLA W SYSTEMIE ADINA 900 Nodes Version 8.2 Struktura systemu ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) jest to system programów opartych

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Metody numeryczne Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MIS-1-403-n Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe: -rozwiązania w bazie funkcyjnej (porzucamy metodę różnic skończonych)

Równania różniczkowe: -rozwiązania w bazie funkcyjnej (porzucamy metodę różnic skończonych) Równania różniczkowe: -rozwiązania w bazie funkcyjnej (porzucamy metodę różnic skończonych) Plan: metoda kolokacji metoda najmniejszych kwadratów metoda Galerkina formalizm reszt ważonych do metody elementów

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie

Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie Jednym z podstawowych zagadnień mechaniki płynów jest analiza przepływu płynu przez przewody o dowolnym

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Podstawy mechaniki komputerowej

Podstawy mechaniki komputerowej Podstawy mechaniki komputerowej dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego Katedra Informatyki i Matematyki Stosowanej (8 maja 6) Koczubiej Podstawy

Bardziej szczegółowo

MES 4. 1 Przykłady błędów MES. 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja. Czy MES jest nieomylny?

MES 4. 1 Przykłady błędów MES. 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja. Czy MES jest nieomylny? MES 4 Zbieżność. Wskaźniki błędu 1 Przykłady błędów MES Czy MES jest nieomylny? Katastrofa platformy Sleipner A 23.08.1991. Skutki: kompletne zniszczenie konstrukcji o wadzę 97K ton, trzęsienie ziemi (3

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2016/2017

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2016/2017 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Środowiska obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 206/207 Kierunek studiów: Budownictwo Profil:

Bardziej szczegółowo

Metoda Elementów Skończonych - Laboratorium

Metoda Elementów Skończonych - Laboratorium Metoda Elementów Skończonych - Laboratorium Laboratorium 5 Podstawy ABAQUS/CAE Analiza koncentracji naprężenia na przykładzie rozciąganej płaskiej płyty z otworem. Główne cele ćwiczenia: 1. wykorzystanie

Bardziej szczegółowo

1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe

1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe Zjazd 7. SGGW, dn. 28.11.10 r. Matematyka i statystyka matematyczna Tematy 1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe nna Rajfura 1 Zagadnienia Przykład porównania wielu obiektów w

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE PROCESÓW ENERGETYCZNYCH Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: specjalności obieralny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Bardziej szczegółowo

DWUWYMIAROWE ZADANIE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. BADANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ.

DWUWYMIAROWE ZADANIE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. BADANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ. Cw1_Tarcza.doc 2015-03-07 1 DWUWYMIAROWE ZADANIE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. BADANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ. 1. Wprowadzenie Zadanie dwuwymiarowe teorii sprężystości jest szczególnym przypadkiem

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Przykładowy program ćwiczeń

Przykładowy program ćwiczeń Przykładowy program ćwiczeń Ćwiczenie 1. Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Opracowanie wyrażeń rekurencyjnych. 3 4 Realizacja w Ecelu funkcji e 1. 1!! 3! 4! Przykład 1: Obliczenie wartości

Bardziej szczegółowo

Element cięgnowy. Rysunek: Element LINK1. Jakub J. Słowiński (IMMT PWr) Wykład 4 09 i 16.03.2012 51 / 74

Element cięgnowy. Rysunek: Element LINK1. Jakub J. Słowiński (IMMT PWr) Wykład 4 09 i 16.03.2012 51 / 74 Elementy 1D Element cięgnowy Element LINK1 jest elementem 2D, dwuwęzłowym, posiadającym jedynie dwa stopnie swobody - translację w kierunku x oraz y. Można zadeklarować pole jego przekroju oraz odkształcenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemów EM. Metoda elementów skończonych

Projektowanie systemów EM. Metoda elementów skończonych Projektowanie systemów EM Metoda elementów skończonych Wstęp Podstawy obliczeń MES Etapy definicji modelu numerycznego Rodzaje problemów moduły obliczeniowe Wybrane wyniki obliczeń 2 dr inż. Michał Michna

Bardziej szczegółowo

Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB

Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB W artykule przedstawiono wyniki eksperymentu numerycznego - pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych

Bardziej szczegółowo

WRAŻLIWOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ NA ZMIANĘ GRUBOŚCI

WRAŻLIWOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ NA ZMIANĘ GRUBOŚCI Budownictwo 16 Halina Kubiak, Maksym Grzywiński WRAŻLIWOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ NA ZMIANĘ GRUBOŚCI Wstęp Zadaniem analizy wrażliwości konstrukcji jest opisanie zależności pomiędzy odpowiedzią determinowaną

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA NUMERYCZNA PROCESU

2. ANALIZA NUMERYCZNA PROCESU Artykuł Autorski z Forum Inżynierskiego ProCAx, Sosnowiec/Siewierz, 6-9 października 2011r Dr inż. Patyk Radosław, email: radosław.patyk@tu.koszalin.pl, inż. Szcześniak Michał, mieteksszczesniak@wp.pl,

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA ZŁOŻONYCH ZAGADNIEŃ MECHANIKI NIELINIOWEJ METODAMI ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I DYSKRETNYCH

MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA ZŁOŻONYCH ZAGADNIEŃ MECHANIKI NIELINIOWEJ METODAMI ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I DYSKRETNYCH PRACE IPPT IFTR REPORTS 4/2007 Jerzy Rojek MODELOWANIE I SYMULACJA KOMPUTEROWA ZŁOŻONYCH ZAGADNIEŃ MECHANIKI NIELINIOWEJ METODAMI ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I DYSKRETNYCH INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY R-FUNKCJI DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZEJMOWANIA CIEPŁA

ZASTOSOWANIE METODY R-FUNKCJI DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZEJMOWANIA CIEPŁA MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 43, s. 55-63, Gliwice 01 ZASTOSOWANIE METODY R-FUNKCJI DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZEJMOWANIA CIEPŁA ANDRZEJ WAWRZYNEK 1), MARCIN DETKA ), CZESŁAW CICHOŃ ) 1)

Bardziej szczegółowo

Kombinacja jądrowych estymatorów gęstości w klasyfikacji - zastosowanie na sztucznym zbiorze danych

Kombinacja jądrowych estymatorów gęstości w klasyfikacji - zastosowanie na sztucznym zbiorze danych Kombinacja jądrowych estymatorów gęstości w klasyfikacji - zastosowanie na sztucznym zbiorze danych Mateusz Kobos, 07.04.2010 Seminarium Metody Inteligencji Obliczeniowej Spis treści Opis algorytmu i zbioru

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 88/2010 13 Potr Bogusz Marusz Korkosz Jan Prokop POLITECHNIKA RZESZOWSKA Wydzał Elektrotechnk Informatyk BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM

Bardziej szczegółowo

M. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych... 8

M. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych... 8 M. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych... 8 1. WSTĘP 1.1. Temat pracy Praca przedstawia analizę statyki, dynamiki i stateczności płyt cienkich w ujęciu metody elementów brzegowych

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów. Wit Jakuczun

Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów. Wit Jakuczun Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów Politechnika Warszawska Strona 1 Podstawowe definicje Politechnika Warszawska Strona 2 Podstawowe definicje Zbiór treningowy

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIA CIEPLNE I WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA WSTAWKI TEMPERATUROWEJ

OBLICZENIA CIEPLNE I WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA WSTAWKI TEMPERATUROWEJ 4-2010 PROBLEMY EKSPLOATACJI MAINTENANCE PROBLEMS 103 Piotr DUDA Politechnika Krakowska, Kraków OBLICZENIA CIEPLNE I WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA WSTAWKI TEMPERATUROWEJ Słowa kluczowe Naprężenia cieplne, monitorowanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII

Bardziej szczegółowo

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D

MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D MES w zagadnieniach ośrodka ciągłego 2D i 3D Wykład 2 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BIM+BIŚ+BOI Jerzy Pamin i Piotr Pluciński Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej

Bardziej szczegółowo

Gliwice, 05.09.2013. Prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński, czł. koresp. PAN Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Politechnika Śląska

Gliwice, 05.09.2013. Prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński, czł. koresp. PAN Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Politechnika Śląska Prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński, czł. koresp. PAN Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Politechnika Śląska Gliwice, 05.09.2013 Recenzja całokształtu dorobku naukowego, dydaktycznego i organizacyjnego

Bardziej szczegółowo

11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI

11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 1 11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 11.1. Wprowadzenie 1. Optymalizacja potocznie i matematycznie 2. Przykład 3. Kryterium optymalizacji 4. Ograniczenia w zadaniach optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

Joanna Dulińska Radosław Szczerba Wpływ parametrów fizykomechanicznych betonu i elastomeru na charakterystyki dynamiczne wieloprzęsłowego mostu żelbetowego z łożyskami elastomerowymi Impact of mechanical

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

Projekt METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Część I ( ) ( ) ( ) ( ) Informatyka Podstawy Programowania 2016/ Opis metody

Projekt METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Część I ( ) ( ) ( ) ( ) Informatyka Podstawy Programowania 2016/ Opis metody Informatyka Podstawy Programowania 6/7 Proekt 7 7. METDA RÓŻNIC SKŃCZNYCH Część I 7. pis metody Metoda różnic skończonych est edną z naczęście stosowanych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2)

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Ewa Wołoszko Praca pisana pod kierunkiem Pani dr hab. Małgorzaty Doman Plan tego wystąpienia Teoria Narzędzia

Bardziej szczegółowo

Przykład analizy nawierzchni jezdni asfaltowej w zakresie sprężystym. Marek Klimczak

Przykład analizy nawierzchni jezdni asfaltowej w zakresie sprężystym. Marek Klimczak Przykład analizy nawierzchni jezdni asfaltowej w zakresie sprężystym Marek Klimczak Maj, 2015 I. Analiza podatnej konstrukcji nawierzchni jezdni Celem ćwiczenia jest wykonanie numerycznej analizy typowej

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OBLICZENIOWY DRGAŃ SWOBODNYCH Ł OPATKI WIRNIKOWEJ

ALGORYTM OBLICZENIOWY DRGAŃ SWOBODNYCH Ł OPATKI WIRNIKOWEJ ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLIX NR (73) Lesł aw Kyzioł Leszek Kubitz Akademia Marynarki Wojennej ALGORYTM OBLICZENIOWY DRGAŃ SWOBODNYCH Ł OPATKI WIRNIKOWEJ STRESZCZENIE Przedstawiono

Bardziej szczegółowo

TECHNOLOGIA TYLKO DLA TWARDZIELI. Metoda różnic skończonych. h = (b-a)/n. Oznaczmy symbolem x i. = f(x i. '(x i

TECHNOLOGIA TYLKO DLA TWARDZIELI. Metoda różnic skończonych. h = (b-a)/n. Oznaczmy symbolem x i. = f(x i. '(x i TYLKO DLA TWARDZIELI Metoda różnic skończonych Z metod numerycznych duże zastosowanie jeszcze niedawno miała metoda różnic skończonych. Metoda ta służy do przybliżonego rozwiązywania układów równań różniczkowych.

Bardziej szczegółowo

Sposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych

Sposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych Sposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych Ten fakt, że matematyka obliczeniowa nie daje żadnych przepisów dla tworzenia operatora uwarunkowania wstępnego B, doprowadzi

Bardziej szczegółowo

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego Zadane na wykonane Projektu Zespołowego Celem projektu jest uzyskane następującego szeregu umejętnośc praktycznych: umejętnośc opracowana równoległych wersj algorytmów (na przykładze algorytmów algebry

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

Nowości w. Dlubal Software. Wersja 5.04.0058 / 8.04.0058

Nowości w. Dlubal Software. Wersja 5.04.0058 / 8.04.0058 Dlubal Software Spis treści Strona 1 Nowe moduły dodatkowe 2 2 Nowe funkcje głównych programów 4 3 Nowe funkcje dodatkowych modułów 5 Nowości w W marcu 2015 Wersja 5.04.0058 / 8.04.0058 Dlubal Software

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo