Elementy projektowania inżynierskiego

Transkrypt

1 Elementy projektowania inżynierskiego dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego Katedra Informatyki i Matematyki Stosowanej (7 listopada 017) dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 1/146

2 Informacje ogólne 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego /146

3 Informacje ogólne Kontakt Budynek C, pokój 3.6 Strona przedmiotu, materiały do pobrania Materiały do pobrania, aktualności, terminy zaliczeń sk dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 3/146

4 Informacje ogólne Organizacja wykładów Wykłady są obowiązkowe (zgodnie z postanowieniami regulaminu), ale... Obecność na wykładach może nie być kontrolowana. Na wykłady czasem warto zajrzeć. Warunki zaliczenia wykładu Test zaliczeniowy po zakończeniu wykładów. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 4/146

5 Informacje ogólne Organizacja laboratoriów Zajęcia laboratoryjne są obowiązkowe. Dopuszcza się jedną nieobecność. Większa liczba nieobecności powoduje zmniejszenie oceny do niedostatecznej włącznie (3 lub więcej nieobecności). W przypadku usprawiedliwionej nieobecności zajęcia można odrobić z inną grupą (jeśli istnieje taka możliwość). Warunki zaliczenia laboratoriów Wykonanie ćwiczeń i raportów z zadanych przykładów obliczeń komputerowych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 5/146

6 Informacje ogólne Studia I i II stopnia Nauczanie powinno dotyczyć: Wiedzy podstawowe zasady, ich interpretacje i opis zastosowań. Biegłości przyswajanie dzięki praktyce (np. posługiwania się sprzętem). Umiejętności praktycznego stosowania wiedzy i biegłości (jak? studia I stopnia). Rozumienia pozwalającego na działalność kreatywną (dlaczego? studia II stopnia). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 6/146

7 Informacje ogólne Cele przedmiotu Rozwinięcie treści przedmiotu Projektowanie inżynierskie w celu zrozumienia jakie metody analizy komputerowej były wykorzystywane w programach komputerowych (np. SolidWorks/COSMOS) przy projektowaniu konstrukcji (w szczególności części maszyn). Przykładem takiej metody komputerowej jest Metoda Elementów Skończonych (MES). Uogólnienie pojęcia projektowanie i bliższe zdefiniowanie struktury procesu projektowania. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 7/146

8 Informacje ogólne Treść wykładów Podstawowe pojęcia i definicje, sformułowanie lokalne i globalne problemu brzegowego. Przykład projektowania technicznego projektowanie elementów konstrukcji. Komputerowe wspomaganie projektowania technicznego schemat numerycznej analizy konstrukcji. Sformułowanie podstawowych modeli matematycznych opisujących problemy inżynierskie. Budowa modelu komputerowego (numerycznego) do analizy stanu mechanicznego konstrukcji. Podstawy teoretyczne projektowania inżynierskiego. Inżynieria systemów w projektowaniu. Charakterystyka procesu projektowania. Komputerowe wspomaganie projektowania. Podstawowe informacje o Polskich Normach. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 8/146

9 Informacje ogólne Treść laboratoriów Przypomnienie systemu komputerowego wspomagania obliczeń inżynierskich. Modelowanie komputerowe i projektowanie wybranych elementów konstrukcji. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 9/146

10 Informacje ogólne Literatura Gąsiorek E. Podstawy projektowania inżynierskiego. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław 011. Cichoń C. Metody obliczeniowe. Wybrane zagadnienia. Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce 005. Rakowski G., Kacprzyk Z. Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa Hurst K. Engineering Design Principles. Butterworth-Heinemann/Elsevier, Oxford dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 10/146

11 Uwagi wstępne 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 11/146

12 Uwagi wstępne Metody komputerowe Metoda komputerowa to proces analizy zagadnienia z wykorzystaniem przybliżonych metod obliczeniowych, zaimplementowanych jako programy komputerowe. Metody rozwiązań przybliżonych, wykorzystywane min. w mechanice, mechanice płynów, elektrodynamice, termodynamice. W formułowaniu tych metod korzysta się w dużym stopniu z zaawansowanego aparatu matematycznego (metody wariacyjne, analiza funkcjonalna) co pozwala rozwiązywać skomplikowane zagadnienia i dowodzić zbieżności ich rozwiązania. Wśród metod komputerowych można wymienić metodę elementów skończonych (MES), metodę elementów brzegowych (MEB), uogólnioną metodę różnic skończonych (UMRS) czy bezelementową metodę Galerkina (BMG). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 1/146

13 Uwagi wstępne Metoda komputerowa najczęściej wiązana jest z pakietami CAE (Computer Aided Engineering). Są to programy wykorzystujące zaawansowane metody komputerowe, umożliwiające modelowanie szeregu zjawisk fizycznych, zachodzących w układach o zróżnicowanym stopniu złożoności począwszy od prostych brył, skończywszy na kompletnych zespołach części. Programy te umożliwiają symulację kinematyki lub dynamiki układu, analizę przepływu ciepła i masy, naprężeń i innych cech projektowanego wyrobu. Pozwala to na znaczne przyspieszenie procesu projektowania i przede wszystkim na obniżenie kosztów projektowania. Do tej grupy oprogramowania należą m. in. Abaqus, ADINA, ANSYS, NX Nastran, FEMAP. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 13/146

14 Uwagi wstępne Termin metoda komputerowa często jest używana jako nazwa procesu projektowania lub analizy konstrukcji z wykorzystaniem programowania typu CAD/CAM/CAE. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 14/146

15 Uwagi wstępne Poza projektowaniem, metody komputerowe mają zastosowanie w: inżynierii lądowej, biomechanice, naukach medycznych, elektronice, nanotechnologii. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 15/146

16 Uwagi wstępne Symulacje komputerowe: zastępują i wspomagają badania eksperymentalne (na modelach materialnych), zastępują i wspomagają metody analityczne (ale nie zastępują modelowania). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 16/146

17 Uwagi wstępne Realizacja metody komputerowej SL SG SW metody komputerowe MES, MEB, MRS idealizacja dyskretyzacja rozwiązanie model fizyczny model matematyczny model numeryczny program komputerowy obiekt rzeczywisty metody numeryczne rozwiązanie dyskretne dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 17/146

18 Uwagi wstępne Symulacja komputerowa obliczeń składa się z czterech etapów. W etapie pierwszym ma miejsce idealizacja obiektu rzeczywistego poprzez przyjecie uzasadnionych założeń upraszczających oraz wyspecyfikowanie zmiennych najlepiej opisujących obiekt (model fizyczny). Założenia dotyczą przede wszystkim geometrii obiektu, materiału którego jest wykonany, obciążeń i przyszłych warunków użytkowania (warunków środowiskowych i okresu planowanej eksploatacji obiektu). Na tej podstawie budowany jest model matematyczny obiektu. Drugim etapem jest dyskretyzacja, przetwarzająca ciągły model matematyczny, na ogół w postaci układów równań różniczkowych, lub pewnego funkcjonału, w model numeryczny w formie układów równań algebraicznych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 18/146

19 Uwagi wstępne Trzecim etapem symulacji komputerowej jest rozwiązanie, czyli napisanie stosownego programu komputerowego, przetestowanie i wykonanie obliczeń. I w końcu najważniejszy czwarty etap, jakim jest weryfikacja wyników obliczeń. Możliwości popełnienia błędów jest wiele, mogą one wystąpić na każdym z trzech pierwszych etapów. W rezultacie poprawiania tych błędów powinniśmy w końcu otrzymać rozwiązanie optymalne. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 19/146

20 Uwagi wstępne Proces modelowania Konstrukcja rzeczywista Model matematyczny Π=1/ E(x)A(x)(u'(x)) dx- q(x)u(x)dx+σf i Q i 0<x<L u(x=0)=0 N(x=L)=EA(du/dx) z Model fizyczny q Model numeryczny F 1 F 1 3 F 5 3 F F 4 F 6 1 φ 1 φ φ 3 x M EJ EJ x w 1 w w 3 Celem procesu modelowania jest otrzymanie modelu, ujmującego najistotniejsze właściwości konstrukcji i jej zachowanie pod działaniem obciążeń, i dostosowanego do narzędzi obliczeniowych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 0/146

21 Uwagi wstępne Modelem matematycznym mogą być odpowiednio sformułowane problemy brzegowe (lub początkowo brzegowe) dla równań różniczkowych (zwyczajnych lub cząstkowych) lub pewne funkcjonały podlegające minimalizacji. Pierwszy przypadek to sformułowanie lokalne (SL), drugi natomiast to sformułowanie globalne problemu (SG). W budowie komputerowej metody analizy konstrukcji preferowane jest sformułowanie globalne. Trudność jednakże polega na tym, że nie wszystkie problemy, a tylko tzw. problemy samosprzężone możemy równoważnie opisać w sformułowaniu lokalnym lub globalnym. Przykładem problemu samosprzężonego jest liniowy problem teorii sprężystości (LPTS) opisany 15. równaniami różniczkowo-algebraicznymi ze stosownymi warunkami brzegowymi lub pewnym funkcjonałem. Funkcjonałem w LPTS będzie funkcjonał całkowitej energii potencjalnej układu. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 1/146

22 Uwagi wstępne Jeśli rozważany problem w sformułowaniu lokalnym nie jest problemem samosprzężonym, można budować równanie całkowe wykorzystując metody wariacyjne (SW). Metody wariacyjne pozwalają na szukanie rozwiązania równania różniczkowego budując ważone równania całkowe, które w naturalny sposób tworzą bazę dla otrzymania rozwiązań przybliżonych. Podstawowym modelem będzie sformułowanie lokalne w postaci równania różniczkowego. Wśród metod wariacyjnych możemy wyróżnić metodę Rayleigha-Ritza, lub metody residuów ważonych np. kollokacji, najmniejszych kwadratów, Bubnowa-Galerkina. Metody komputerowe z matematycznego punktu widzenia są pewnymi procedurami rozwiązań, dostosowanymi do możliwości obliczeniowych, jakie powstały wraz z rozwojem komputerów i technik informatycznych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego /146

23 Uwagi wstępne Analiza i synteza konstrukcji WE WE WY M, P, q WY M, P, q w(x), M(x) E, J E, J w(x), M(x) w max w dop max dop Analiza konstrukcji Synteza konstrukcji (projektowanie) dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 3/146

24 Uwagi wstępne Elementy konstrukcji Pręt Belka Tarcza Płyta dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 4/146

25 Uwagi wstępne Algorytm projektowania obliczenia wytrzymałościowe - wymiarowanie element konstrukcji (belka, płyta,...) założenia przyjęcie materiału i wstępnych wymiarów obliczenia statyczne obliczenie przemieszczeń, sił przekrojowych i naprężeń sprawdzenie czy założony przekrój gwarantuje nie występowanie niebezpiecznego stanu zniszczenia NIE nowe wymiary max dop l max l dop TAK STOP dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 5/146

26 Uwagi wstępne Przykład projektowania Zaprojektować pręt o stałym przekroju poprzecznym. T 1 T T 3 E A x L 1 L L 3 Mamy następujące dane: L 1 = 0, 5m, L = 1m, L 3 = 0, 5m, T 1 = 0 kn, T = 5kN, T 3 = 10 kn. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 6/146

27 Uwagi wstępne Przyjmujemy pręt kwadratowy o wymiarach 1 mm 1 mm, wykonany ze stali konstrukcyjnej St3SX, dla której: E = N/m, σ dop = N/m, ΔL dop = L/400 = /400 = 0, 005 m. Pole powierzchni przekroju poprzecznego A będzie równe: A = 0, 01 0, 01 = 1, m. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 7/146

28 Uwagi wstępne Projektowanie ze względu na niebezpieczny stan zniszczenia F 0 kn 5 kn 10 kn 5 kn T 1 =0 kn T =-5 kn T 3 =10 kn x=0 x=0,5 x=1,5 x= x Z wykresu sił podłużnych odczytamy: F max = N/m. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 8/146

29 Uwagi wstępne Maksymalne naprężenia będą wynosić: σ max = F max A = , = 173, N/m. Zatem warunek bezpieczeństwa: σ max σ dop, jest spełniony. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 9/146

30 Uwagi wstępne Projektowanie ze względu na niebezpieczny stan użytkowania Wydłużenie pręta będzie wynosić: ΔL max = 3 F i L i i=1 E A = (0 0, , 5) , = 0, 0017 m. Zatem warunek bezpieczeństwa: ΔL max ΔL dop, jest spełniony. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 30/146

31 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 31/146

32 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Rozważmy pręt o powierzchni przekroju poprzecznego A(x) i długości L. Pręt zrobiony jest z materiału o module Younga E. Pręt jest obciążony obciążeniem ciągłym działającym wzdłuż osi pręta o intensywności q(x) i siłą skupioną T. q(x) E A(x) L T x Tak zdefiniowany problem może być uznany za problem jednowymiarowy, jeśli wymiary przekroju poprzecznego pręta są małe w stosunku do jego długości, co pozwala przyjąć, że naprężenia po wysokości pręta są pomijalnie małe w stosunku do naprężeń wzdłuż pręta. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 3/146

33 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Równanie różniczkowe, będące modelem matematycznym problemu pręta rozciąganego, otrzymamy rozważając nieskończenie mały element dx pręta. q(x) F(x) A(x) dx F(x)+dF(x) A(x+dx) x F (x) i F (x)+df (x) są siłami normalnymi działającymi w przekrojach A(x) i A(x + dx). Korzystając z warunku równowagi możemy zapisać F (x)+f (x)+df (x)+q(x)dx = 0. Zatem, nasze równanie będzie miało postać df (x) + q(x) =0, dx 0 < x < L. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 33/146

34 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Siłę normalną (podłużną) stanowi suma naprężeń normalnych na całym przekroju. Jeśli naprężenia są stałe w przekroju pręta, to możemy je określić z zależności σ x (x) = F (x) A(x), i następnie F (x) =σ x (x)a(x). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 34/146

35 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Wykorzystując równanie fizyczne (konstytutywne, Hooke a) określające zależność odkształcenia od naprężenia σ x (x) =E ε x (x), i równanie geometryczne (Cauchy ego) wiążące ze zobą przemieszczenia i odkształcenia ε x (x) = du(x) dx, będziemy mogli napisać F (x) =EA(x) du(x) dx. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 35/146

36 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Wykorzystując zależność F (x) =EA(x) du(x) dx, będziemy mogli zapisać równanie różniczkowe w formie lub jeśli EA = const. d dx ( EA(x) du(x) dx 0 < x < L, ) + q(x) =0, EA d u(x) dx + q(x) =0, 0 < x < L. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 36/146

37 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Do rozwiązania takiego równania różniczkowego potrzebne jest jeszcze sformułowanie warunków brzegowych na brzegach pręta. Równanie jest drugiego rzędu, zatem wymagane są dwa warunki brzegowe, ustalające wartość przemieszczenia u lub siły T. Jednoznaczność rozwiązania wymaga, aby warunki brzegowy podane były na dwóch różnych brzegach. u(x = 0) =0, F (x = L) = EA du dx = T EA du x=l dx = T. x=l Pierwszy warunek dla funkcji u nazywany jest podstawowym (kinematycznym) warunekiem brzegowym, natomiast drugi, dla pochodnej funkcji du jest nazywany dx naturalnym (statycznym) warunkiem brzegowym. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 37/146

38 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Ostatecznie model matematyczny problemu pręta rozciąganego będzie miał postać ( d EA(x) du(x) ) + q(x) =0, dx dx 0 < x < L, u(x = 0) =0, F (x = L) = EA du dx = T. x=l dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 38/146

39 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 39/146

40 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Poprzednie równania problemu brzegowego sformułowaliśmy analizując stan równowagi w punkcie materialnym ciała. W efekcie otrzymaliśmy równanie różniczkowe. Taki sposób budowania modeli matematycznych uzasadnia nazwę sformułowanie lokalne problemu. Innym sposobem jest sformułowanie globalne, w którym rozwiązanie otrzymujemy w wyniku minimalizacji pewnego funkcjonału. W analizie zagadnień mechaniki ciała sprężystego takim funkcjonałem jest całkowita energia potencjalna. Problem, którego rozwiązanie można otrzymać rozwiązując równanie różniczkowe lub minimalizując odpowiedni funkcjonał, nazywa się problemem samosprzężonym. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 40/146

41 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Każde ciało pod działaniem sił zewnętrznych doznaje deformacji, na których siły obciążające wykonują pewną pracę L. Praca ta w przypadku adiabatycznego procesu termodynamicznego (takiego, podczas którego izolowany układ nie nawiązuje wymiany ciepła, lecz całość energii jest dostarczana lub odbierana z niego jako praca, nie zachodzi dyssypacja energii) jest niezależna od sposobu jej wykonania i równa się przyrostowi energii wewnętrznej układu W,czylitakiej funkcji, której przyrost jest równy pracy dostarczonej układowi L = W. Równość ta wynika z I prawa termodynamiki dla procesów adiabatycznych. Takie cechy są charakterystyczne dla układów sprężystych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 41/146

42 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Można dowieść, że w przypadku ciała sprężystego i obciążeń statycznych energia wewnętrzna układu jest jest równa energii potencjalnej, która równa się pracy sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych i nazywana jest energią sprężystą układu U. W = U. Energia sprężysta Podsumowując, dla ciał sprężystych i procesu adiabatycznego energia sprężysta U to praca sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych. Energia ta jest odwracalna, co oznacza, że po usunięciu sił obciążających zużywa się na odzyskanie początkowej konfiguracji ciała i w nie naprężonym i nie odkształconym stanie jest równa zeru. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 4/146

43 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Energię sprężystą można zapisać w formie U = Φ dv. gdzie Φ jest energią sprężystą właściwą (gęstością energii sprężystej) i dla ciała Hooke a wynosi w zapisie wskaźnikowym Φ= 1 σ ijε ij, V w zapisie macierzowym Φ= 1 σt ε. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 43/146

44 Sformułowanie globalne problemu brzegowego z S t S u t g Na rysunku oznaczono: V objętośćciała, S brzeg ciała ze zdefiniowanymi warunkami brzegowymi, g wektor intensywności sił objętościowych, t wektor intensywności sił powierzchniowych. x y Całkowita energia potencjalna ciała sprężystego będzie zatem równa lub Π=U L, Π= 1 ij ε ij dv Vσ 1 i u i dv Vg 1 t i u i ds, S Π= 1 Vσ T ε dv 1 Vu T g dv 1 u T t ds. S dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 44/146

45 Sformułowanie globalne problemu brzegowego q(x) E A(x) L T x W przypadku sformułowania globalnego pręta rozciąganego, musimy wyznaczyć całkowitą energię potencjalną pręta Π Π=U L q L P, gdzie U jest energią sprężysta pręta, L q jest pracą obciążenia ciągłego a L T to praca obciążenia skupionego. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 45/146

46 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Energia sprężysta wynosi wykorzystując dodatkowo U = 1 V σε dv, dv = A(x) dx, σ x (x) =E ε x (x), ε x (x) = du(x) dx, możemy napisać U = 1 LEA(x)ε (x) dx = 1 ( ) du(x) EA(x) dx. L dx Dla EA = const. będziemy mogli napisać U = 1 ( ) du(x) EA dx. dx L dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 46/146

47 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Praca obciążenia ciągłego wynosi L q = q(x)u(x) dx, a praca obciążenia skupionego na końcu pręta L L T = Tu(L). Ostatecznie, całkowita energia potencjalna pręta wynosi Π=U L q L T = 1 ( ) du(x) EA dx q(x)u(x)dx Tu(L). L dx L Rozwiązaniem tak sformułowanego zadania będzie taka funkcja przemieszczenia u(x), dla której energia potencjalna Π osiągnie minimum. Spostrzeżenie: zależność na energię potencjalną Π nie zawiera drugiej pochodnej funkcji przemieszczeń d u, równanie różniczkowe zawierało! dx dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 47/146

48 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 48/146

49 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Metoda elementów skończonych (MES) jest pewną procedurą wariacyjną rozwiązywania równań różniczkowych, w której funkcje aproksymacyjne są wyznaczane w obszarze zastąpionym przez zbiór prostych podobszarów (elementów skończonych), na jakie obszar ten został podzielony. Funkcje aproksymacyjne są wielomianami algebraicznymi, wyznaczonymi według zasad aproksymacji interpolacyjnej. Co to jest MES dla inżyniera? MES jest numeryczną metodą obliczeniową, pozwalającą na znalezienie w sposób przybliżony i dyskretny funkcji rozwiązujących problem brzegowy. W przypadku interesujących nas zadań liniowej teorii sprężystości (mechanika ciała stałego), szukaną funkcją będą przemieszczenia, zatem będziemy mogli wyznaczyć również odkształcenia i naprężenia. Podstawową zaletą metody jest możliwość uzyskiwania wyników dla skomplikowanych kształtów, dla których niemożliwe jest przeprowadzenie obliczeń analitycznych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 49/146

50 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Dlaczego warto poznać MES? Dla wielu praktycznych problemów inżynierskich nie udaje znaleźć się rozwiązania analitycznego (skomplikowany obszar rozwiązanie, nieliniowości). Dzięki metodzie numerycznej można łatwo i tanio zrozumieć zachowanie układu i zbadać wpływ różnych parametrów na rozwiązanie przybliżone. W modelowaniu można uwzględnić więcej ważnych cech niż gdyby rozwiązanie miało być analityczne. Bez zrozumienia fizyki i podstaw teoretycznych MES można uzyskać wyniki, ale nie da się ocenić ich wartości. Znajomość MES jest niezbędna dla nowoczesnego inżyniera, bo jest to dominująca technologia obliczeniowa. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 50/146

51 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Co wiemy o liczbie π? wynosi w przybliżeniu π 3, , wyraża iloraz obwodu okręgu i jego średnicy, ma święto 14 marca (03.14). Jak obliczyć wartość liczby π? Pomysł Archimedesa (50BC): średnia arytmetyczna z obwodu wielokątów wpisanego i opisanego na okręgu odniesiona do średnicy okręgu. Wykonał obliczenia dla wielokąta o 96 bokach. Otrzymał wynik π ( ; 3 1 7) π 3, dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 51/146

52 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Metoda podobna, choć troszkę nowsza. r d i r l n j 3 4 Możemy napisać α = 3600 n l n l n, sin(α) = 1 /l n r π = l d = l r, π n l n r α = 3600 n, l n = r sin(α), = n r sin(α) r = n sin(α). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 5/146

53 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Policzmy n = 1, α = 180 0, sin(α) =0, π 0, n =, α = 90 0, sin(α) =1, π, 3 3 n = 3, α = 60 0, sin(α) =, π 3 =, 5981, n = 4, α = 45 0, sin(α) =, π 4 =, 884,... Kolejne przybliżenia wartości liczby π: n π n π 1 0, , , , , , , , , , , , dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 53/146

54 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Co ma MES do π? MES = dyskretyzacja + aproksymacja (interpolacja) Postępowanie MES dla problemów mechaniki: dzielimy konstrukcję na proste fragmenty, które nazwiemy elementami skończonymi, elementy skończone są połączone ze sobą we wspólnych w węzłach, formułujemy zagadnienie dla każdego elementu skończonego, czyli w przypadku mechaniki określamy równania równowagi rozwiązania przybliżonego (zależności pomiędzy naprężeniami lub siłami uogólnionymi a przemieszczeniami w węzłach), składamy elementy skończone i rozwiązujemy całe zagadnienie uwzględniając warunki zgodności przemieszczeń w węzłach, warunki równowagi, warunki brzegowe, w wyniku tego wyznaczamy przemieszczenia w węzłach, dla każdego elementu skończonego, znając jego przemieszczenia, obliczamy siły, odkształcenia, naprężenia działające w elemencie. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 54/146

55 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Idealizacja i dyskretyzacja konstrukcji Obiekt rzeczywisty Model obliczeniowy Idealizacja Dyskretyzacja dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 55/146

56 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Przykłady elementów skończonych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 56/146

57 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Błędy w modelowaniu MES MES idealizacja dyskretyzacja rozwiązanie obiekt rzeczywisty model matematyczny model numeryczny rozwiązanie dyskretne błąd rozwiązania błąd rozwiązania i dyskretyzacji błąd rozwiązania i modelowania Błąd modelowania. Błąd dyskretyzacji. Błąd rozwiązania. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 57/146

58 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Rozumienie działania konstrukcji dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 58/146

59 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Uwaga! Dla potrzeb zrozumienia podstawowych etapów procedury MES, znalezienia pewnych cech charakterystycznych ilustrujących metodę MES i zdefiniowania pewnych pojęć związanych z MES, tymczasowo potraktujemy metodę jako sposób bezpośredniego budowania równań równowagi konstrukcji, przez rozważenie równowagi pewnych podobszarów, a następnie ich złożenie w jeden, globalny układ równań równowagi. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 59/146

60 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Przykładem najprostszego elementu skończonego może być sprężyna o sztywności k. i e j F e i u e ke i F e j u e j x Podstawowe parametry elementu skończonego: węzły: i, j (oznaczenie lokalne, związane z elementem skończonym), sztywność: k e, przemieszczenia w węzłach: ui e, ue j (oznaczenie lokalne), siły w węzłach: Fi e, F j e (oznaczenie lokalne). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 60/146

61 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Związek siły z przemieszczeniem możemy napisać w postaci F e = k e Δu e, Δu e = uj e ui e. Korzystając z warunku równowagi, możemy napisać F e i + F e j = 0 F e j = F e i = F e, i dla każdego z dwóch węzłów Fi e = F e = k e ( uj e ui e ) = k e ui e k e uj e, Fj e = F e = k e ( uj e ui e ) = k e ui e + k e uj e. Zapiszmy ten układ w postaci macierzowej [ k e k e ][ u e i k e k e u e j ] = [ F e i F e j ]. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 61/146

62 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po oznaczeniu [ ] K e k e k e, k e k e [ ] u u e e i, F e u e j [ F e i F e j ], układ równań będzie miał formę K e u e = F e, gdzie: K e macierz sztywności elementu skończonego, u e wektor przemieszczeń elementu skończonego, F e wektor sił węzłowych elementu (obciążenie, reakcje). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 6/146

63 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Spostrzeżenia: K e = [ k e k e k e k e ], macierz sztywności K e jest symetryczna K e =(K e ) T, policzmy wyznacznik macierzy sztywności K e = k e k e ( k e )( k e )=(k e ) (k e ) = 0, Co to oznacza? Czy możemy rozwiązać równania? Jaka jest interpretacja fizyczna? Warto zaznaczyć, że wystarczy podać tylko jeden warunek brzegowy dla przemieszczenia u e, żeby rozwiązać równania. Jeżeli ui e = 0 (zamocowaliśmy koniec i sprężyny), to uj e = F e k e. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 63/146

64 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Rozważmy układ dwóch sprężyn u 1 F 1 u F u 3 F k 1 u 1 u 1 k F 1 F 1 u 1 1 u F 1 1 F x u F Dla każdego elementu skończonego, możemy napisać układ równań równowagi (używany oznaczeń lokalnych) [ ][ ] [ ] k 1 k 1 u 1 1 F 1 = 1, k 1 k 1 u 1 F 1 [ ][ ] [ ] k k u 1 F = 1. k k u F dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 64/146

65 Wprowadzenie do metody elementów skończonych W każdym węźle oznaczmy przemieszczenia (korzystamy z warunku zgodności przemieszczeń w węźle ) i siły, korzystając z warunku równowagi co prowadzi do zależności u 1 = u1, 1 u = u 1 = u 1, u 3 = u, F 1 = F1 1, F = F 1 + F1, F 3 = F, F 1 = k 1 u 1 k 1 u, F = k 1 u 1 + k 1 u + k u k u 3, F 3 = k u + k u 3. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 65/146

66 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po przekształceniu otrzymamy F 1 = k 1 u 1 k 1 u, F = k 1 u 1 + ( k 1 + k ) u k u 3, F 3 = k u + k u 3. Wykorzystując powyższe równania, równania równowagi dla elementów skończonych w zapisie macierzowym będą miały postać k 1 k 1 0 u 1 u1 1 F 1 F1 1 k 1 k 1 + k k u u 1 = u 1 = F F 1 + F 1 0 k k u 3 u F 3 F, lub krótko Ku = F, gdzie: K globalna macierz sztywności, u globalny wektor przemieszczenia, F globalny wektor sił węzłowych. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 66/146

67 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Zapiszmy wkład równań równowagi dla elementu skończonego, rozszerzając macierze i wektory w taki sposób, aby zawierały wszystkie globalne przemieszczenia k 1 k 1 0 k 1 k u 1 u u 3 = k 1 u 1 k 1 u + 0 u 3 = F1 1 k 1 u 1 + k 1 u + 0 u 3 = F 1 0 u u + 0 u 3 = 0 F 1 1 F 1 0,, i w podobny sposób dla drugiego elementu skończonego u k k u = 0 k k u 3 F 1 F. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 67/146

68 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po dodaniu układów otrzymamy k 1 k k 1 k k k k k u 1 u u 3 = F 1 1 F F 1 F, czyli taki sam wynik jak poprzednio. Powyższa operacja składania lokalnych (dla pojedynczych elementów skończonych) układów równań równowagi do jednego globalnego (dla wszystkich elementów skończonych) układu równań równowagi nazywa się agregacją. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 68/146

69 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Należy zwrócić szczególna uwagę na sposób numerowania węzłów, który istotnie wpływa na wynikowe równania równowagi. Jeśli ponumerujemy węzły jak na rysunku 1 3 k 1 1 k x u 3 F 3 u 1 F 1 u F nowe macierze sztywności i nowy układ równań będą miały postać k 1 0 k 1 k k 0 K 1 = 0 0 0, K = k k 0, k 1 0 k k 1 + k k k 1 u 3 F 3 k k 0 u 1 = F 1. k 1 0 k 1 u F dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 69/146

70 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Rozwiążmy układ dwóch sprężyn, z zamocowaną sprężyną 1 i obciążony dwiema siłami T. 1 k 1 k T 1 3 T x u 1 F 1 u F u 3 F 3 Rozszerzone układy równań równowagi MES dla poszczególnych sprężyn będą miały postać k 1 k 1 0 u 1 F1 1 k 1 k 1 0 u = F 1, u u k k u = F 1. 0 k k u 3 F dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 70/146

71 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po agregacji układ równań dla układu sprężyn można zapisać w postaci k 1 k 1 0 u 1 0 F k 1 k 1 + k k u = 1 F T, 0 k k F 3 T u 3 k 1 0 k 1 u + 0 u 3 = F 1 k 1 0 +(k 1 + k )u k u 3 = T 0 0 k u + k u 3 = T Układ równań zawierający tylko zmienne pierwotne będzie miał postać [ ][ ] [ ] k 1 + k k u T =, k k u 3 T { (k 1 + k )u k u 3 = T k u + k u 3 = T.. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 71/146

72 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po pewnych przekształceniach otrzymamy { k 1 u = T k u + k u 3 = T. idodatkowo Rozwiązanieukładuwynosi u = T k 1, k 1 u = F 1. u 3 = T k 1 + T k, F 1 = T. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 7/146

73 Rozważmy układ trzech sprężyn. 1 u 1 F Wprowadzenie do metody elementów skończonych k 1 k k3 T u F u 3 F 3 u 4 F 4 4 x Przyjmijmy następujące dane: sztywności sprężyn: k 1 = 100 N /mm, k = 00 N /mm, k 3 = 100 N /mm, siła T = 500 N. Macierze sztywności elementów będą wynosiły odpowiednio [ ] [ ] [ K =, K =, K = ], a globalna macierz sztywności K = dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 73/146

74 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Globalny układ równań MES u u u 3 = u 4 0 F 1 F 0 F F 4. Układ równań zawierające tylko zmienne pierwotne będzie wynosił [ ][ ] [ ] u 0 =, u 3 idodatkowo { 100u = F 1 100u 3 = F 4. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 74/146

75 Rozwiązanieukładuwynosi Wprowadzenie do metody elementów skończonych u = mm, u 3 = 3mm, F 1 = 00 N F 4 = 300 N. F 1 =-00 N u = mm F 3 =500 N u 3 =3 mm F 4 =-300 N x Sprawdźmy poprawność obliczonych reakcji: T + F 1 + F 4 = = 0. Jakie wartości osiągają siły F 1 i F działające na sprężynę : [ K u = F, [ ][ ] [ ] k k u u1 F = 1, k k u 3 u F ][ ] [ ] [ ] [ F = 1 F 1 00 = F F ]. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 75/146

76 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Procedura agregacji raz jeszcze. 4 1 k 1 4 k 4 1 T 1 x T 3 3 k k 3 5 u Zbudujmy macierz topologii łączącą lokalne numery węzłów elementów skończonych i i j z globalnymi numerami węzłów. Element Węzeł i = 1 Węzeł j = dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 76/146

77 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Element Węzeł i = 1 Węzeł j = Macierze sztywności poszczególnych elementów wynoszą K 1 = 4 [ 4 k 1 k 1 k 1 k 1 ] 1, K = 3 [ 3 k k k k ] 1, 1 1 K 3 = 3 5 [ 3 5 k 3 k 3 k 3 k 3 1 ] 1, K 4 = 1 [ 1 k 4 k 4 k 4 k 4 1 ] 1. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 77/146

78 Wprowadzenie do metody elementów skończonych K 1 = 4 [ 4 k 1 k 1 k 1 k 1 ] 1, K = 3 [ 3 k k k k ] 1, K 3 = 3 [ ] k 3 k k 3 k 3, K 4 = [ k 4 k 4 1 k 4 k Zagregowana macierz sztywności będzie miała postać k 4 k k 4 k 1 + k + k 4 k k 1 0 K = 3 0 k k + k 3 0 k k 1 0 k k 3 0 k 3 ] 1. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 78/146

79 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 4 1 k 1 4 k 4 1 T 1 x T 3 3 k k 3 5 u Końcowy, globalny układ równań k 4 k k 4 k 1 + k + k 4 k k k k + k 3 0 k 3 0 k 1 0 k k 3 0 k 3 U 1 U U 3 U 4 0 U 5 Δu = F 1 T 1 F 0 F 3 T F 4 F 5. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 79/146

80 Etapy procedury MES 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 80/146

81 Etapy procedury MES P Dyskretyzujemy obszar Agregujemy, uwzględniamy warunki brzegowe, rozwiązujemy równania P K 1 K KU=F Obliczamy macierze sztywności elementów (interpolacja) Wyznaczamy siły (naprężenia) w elementach skończonych k 1 k K 1 u 1 =F 1 K u =F K 1 u 1 K u K 1 u 1 =F 1 K u =F dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 81/146

82 Etapy procedury MES Rozwiązanie typowego problemu metodą elementów skończonych jest realizowane w następujących etapach: dyskretyzacja (podział obszaru na podobszary), wynikiem której jest zastąpienie obszaru zbiorem elementów skończonych; liczba, kształt i typ elementu zależą od rozwiązywanego problemu; w tym etapie ustala się liczbę elementów skończonych, liczbę i współrzędne węzłów oraz tablicę topologii (incydencji), wyznaczenie równań MES dla elementów; sformułowanie równania; aproksymacja nieznanych funkcji w elementach, agregacja (złożenie) elementów, czyli budowa układu równań przy wykorzystaniu warunku zgodności zmiennych węzłowych oznaczającego, że wartości tych zmiennych we wspólnym węźle są takie same; otrzymujemy układ równań MES całego problemu, uwzględnienie naturalnych i podstawowych warunków brzegowych, czyli wprowadzenie ich do zagregowanego układu równań, rozwiązanie równań ze względu na niewiadome węzłowe, obliczenie dodatkowych wielkości, czyli obliczenie wartości funkcji rozwiązania i ich pochodnych, w innych niż węzły punktach obszaru. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 8/146

83 Funkcje kształtu 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 83/146

84 Funkcje kształtu Po rozwiązaniu równań MES, otrzymamy wartości szukanych przemieszczeń (lub innych niewiadomych) w węzłach. u u(l/)=? u 1 u 0 1 L x Jak wyznaczyć przemieszczenie (lub inną niewiadomą) w środku elementu skończonego? możemy zwiększyć liczbę elementów skończonych, tak aby w interesującym miejscu znalazł się węzeł, możemy założyć jakiś sposób zmiany interesującego nas przemieszczenia w elemencie i opisać go funkcją (aproksymacja, interpolacja). dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 84/146

85 Funkcje kształtu u u(l/)=? u 1 u 0 L x W drugim przypadku, najprostszą funkcją może być funkcja liniowa w postaci u(x) = ax + b. Dla elementu o długości L, musi spełniać następujące warunki: na początku elementu skończonego, czyli dla x = 0musimiećwartośću 1 u(0) =a 0 + b = u 1, na końcu elementu skończonego, dla x = L musi mieć wartość u u(l) =a L + b = u. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 85/146

86 Funkcje kształtu Powyższe równania pozwolą nam wyznaczyć nieznane współczynniki a i b, które wynoszą a = u u 1, L b = u 1, funkcja opisująca wartość przemieszczenia w elemencie będzie miała postać Spostrzeżenia: u(x) = u u 1 x + u 1. L łatwo obliczyć takie funkcje, każdy element będzie miał inną funkcję aproksymacyjną, jeśli element będzie miał jeszcze jakieś inne stopnie swobody (np. przemieszczenia w innych płaszczyznach, kąty obrotu) to trzeba wyznaczyć funkcję dla każdego stopnia swobody, współczynnik a nie ma fizycznej interpretacji. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 86/146

87 Funkcje kształtu Czy można inaczej (lepiej)? Przekształćmy naszą funkcję u(x) = u u 1 x + u 1 = u L L x u 1 L x + u 1 = u 1 (1 1L x ) + u ( 1L x ), po oznaczeniu N 1 (x) =1 x L, N (x) = x L, będziemy mogli napisać u(x) =N 1 (x)u 1 + N (x)u. Funkcja u(x) teraz jest kombinacją liniową wyrażeń N 1 (x), N (x) i przemieszczeń w węzłach u 1 i u. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 87/146

88 Funkcje kształtu Sprawdźmy własności wyrażeń N 1 (x) i N (x) w węzłach: dla x = 0 N 1 (0) =1 0 L = 1, N (0) = 0 L = 0, dla x = L N 1 (L) =1 L L = 1 1 = 0, N (L) = L L = 1. u 1 1 N 1 (x) N (x) 0 L x dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 88/146

89 Funkcje kształtu Otrzymane funkcje N 1 (x) i N (x) są liniowymi funkcjami interpolacyjnymi Lagrange a. W MES funkcje interpolacyjne noszą nazwę funkcji kształtu. Stosuje się też inne rodzaje funkcji interpolacyjnych, np. Hermita, Serendipa. u u u 1 N 1 (x)u N (x)u 1 0 L x dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 89/146

90 Funkcje kształtu Ogólną postać interpolacji Lagrange a można napisać w formie u n (x) = n N n,i (x)u i = N n,0 (x)u 0 + N n,1 (x)u 1 + N n, (x)u N n,n (x)u n, i=0 gdzie n określa stopień wielomianu interpolacyjnego, a i to numer funkcji. Spostrzeżenia: otrzymana forma funkcji u(x) ma przejrzystą strukturę, składa się z podobnych części, każda część to iloczyn przemieszczenia w węźle u i (wartość, która ma interpretację fizyczny) i funkcji kształtu N i (x), wartość funkcji kształtu N i (x) przedstawia wkład przemieszczenia u i do wartości przemieszczenia u(x) wewnątrz elementu, funkcje N i (x) będą takie same dla wszystkich elementów tego samego typu (zależą tylko od jego długości) funkcje N i (x) będą takie same dla każdego stopnia swobody. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 90/146

91 Funkcje kształtu Funkcje interpolacyjne Lagrange a (funkcje bazowe Lagrange a) mają postać ogólną N n,i (x) = n j=0 j i x x j = (x x 0)(x x 1 )...(x x i 1 )(x x x+1 )...(x x n ) x i x j (x i x 0 )(x i x 1 )...(x i x i 1 )(x i x i+1 )...(x i x n ), u u 1 x 1 3 x dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 91/146

92 Funkcje kształtu u x Spostrzeżenia: używanie elementów skończonych z taką interpolacją funkcji przemieszczenia powoduje zastąpienie realnego rozkładu linią łamaną, w ten sposób można przybliżyć każdą funkcję ciągła z dowolną dokładnością, im więcej elementów, tym lepiej. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 9/146

93 Analiza statyczna MES pręta 1 Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 6 Etapy procedury MES 7 Funkcje kształtu 8 Analiza statyczna MES pręta 9 Belkowy element skończony dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 93/146

94 Analiza statyczna MES pręta Rozwiążmy problem pręta rozciąganego o zmiennym polu przekroju, obciążony dwoma siłami skupionymi T 1, T i obciążeniem ciągłym q(x) q(x) E A(x) T 1 L 1 L T x Całkowita energia potencjalna obciążonego pręta (przypadek jednowymiarowy) Π=U L, gdzie U jest energią sprężystą, U = 1 L E A(x)(u (x)) dx, 0 dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 94/146

95 Analiza statyczna MES pręta a L jestpracąobciążeńzewnętrznych L = L 0 q(x)u(x) dx + n F i Q i. Siły F i są uogólnionymi siłami węzłowymi, a Q i są uogólnionymi przemieszczeniami na kierunkach tych sił. Biorąc pod uwagę geometrię i sposób obciążenia pręta, możemy go zdyskretyzować w następujący sposób i=1 q(x) x=l/3 x=0 EA q(x) x=l 1 x=l/3 EA F 1 L F 1 L F 3 u 1 u u 3 x u 1 =u(0)=0 dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 95/146

96 Analiza statyczna MES pręta Następnie zdefiniujmy globalny wektor stopni swobody Q ({ } oznaczają wektor kolumnowy, { } T [ ]) i globalny wektor sił węzłowych F W wektorze Q zawarte są: Q = { Q 1 Q Q 3 } { u1 u u 3 }, F = { F 1 F F 3 }. kinematyczny (podstawowy) warunek brzegowy Q 1 u 1 = 0, niewiadome kinematyczne (pierwotne) Q i Q 3. WwektorzeF zawarte są: statyczne (naturalne) warunki brzegowe F = T 1 i F 3 = T, niewiadoma statyczna (wtórna) F 1. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 96/146

97 Analiza statyczna MES pręta Będziemy korzystać z tego, że całkowita energia potencjalna pręta jest sumą energii potencjalnej części pręta (elementów skończonych) Π= m Π e =Π 1 +Π. e= F u 1 u u 1 F 3 F 3 x u 1 q 1 (x 1 ) q (x ) 1 1 EA 1 EA x 1 F 1 u 1 L 1 u u 1 L 1 F 1 F 1 F u 1 x i rozważmy dowolny element skończony pręta. Dla wygody wprowadźmy lokalne układy współrzędnych związanych z elementami x e. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 97/146

98 Analiza statyczna MES pręta W elemencie skończonym 1 F 1 q e (x e ) E e A e x e u e u e 1 L e F e x e (0, L e ) F e F zdefiniujmy wektor stopni swobody elementu Q e Q e = { Q e 1 Q e } { u e 1 u e }, isiłwęzłowychf e F e = { F1 e F e }. Przyjmiemy interpolację nieznanej funkcji przemieszczenia u e (x e ) wformie u e (x e )=N e 1(x e )u e 1 + N e (x e )u e = N e 1(x e )Q e 1 + N e (x e )Q e. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 98/146

99 Skorzystamy z zapisu macierzowego Analiza statyczna MES pręta gdzie N e (x e ) ma postać u e (x e )=N e (x e )Q e =(Q e ) T (N e (x e )) T, N e (x e )= [ N e 1 (x e ) N e (x e ) ], a N e 1 (x e ) i N e (x e ) są funkcjami kształtu Lagrange a N e 1 (x e )=1 x e L e, Ne (x e )= x e L e. Pochodna funkcji przemieszczenia będzie miała postać u e (x e )=N e (x e )Q e =(Q e ) T (N e (x e )) T, gdzie i N e (x e )= [ N e 1 (x e ) N e (x e ) ], N e 1 (x e )= 1 L e, N e (x e )= 1 L e. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 99/146

100 Analiza statyczna MES pręta Zakładamy stały przekrój poprzeczny elementu skończonego prętowego A e (może być inny w różnych elementach). Całkowita energia potencjalna elementu skończonego prętowego e wynosi Π e = 1 L e E e A e (u e (x e )) dx e 0 L e 0 q e (x e )u e (x e ) dx e F e 1 Qe 1 F e Qe. Wykorzystując interpolację, energię potencjalną można zapisać Π e = 1 L e E e A e (Q e ) T (N e ) T N e Q e dx e (Q e ) T (N e ) T q e dx e (Q e ) T F e = 0 0 = 1 { L e } { L e } (Qe ) T E e A e (N e ) T N e dx e Q e (Q e ) T (N e ) T q e dx e + F e = = 1 (Qe ) T K e Q e (Q e ) T{ P e + F e}. 0 L e 0 dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 100/146

101 Analiza statyczna MES pręta We wzorze Π e = 1 (Qe ) T K e Q e (Q e ) T{ P e + F e}, oznaczono: macierz sztywności prętowego elementu skończonego L e K e = E e A e (N e (x e )) T N e (x e ) dx e, 0 wektor węzłowych równoważników obciążenia prętowego elementu skończonego P e = L e 0 (N e ) T q e (x e ) dx e, wektor sił węzłowych prętowego elementu skończonego F e, wektor stopni swobody (niewiadome pierwotne, przemieszczenia w węzłach) prętowego elementu skończonego Q e. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 101/146

102 Analiza statyczna MES pręta Po wykorzystaniu interpolacji u e (x e ), całkowita energia potencjalna elementu jest teraz funkcją wielu (w naszym przypadku dwóch) zmiennych Π e (Q e 1, Qe ) i warunek konieczny stanu równowagi (minimum energii potencjalnej) jest następujący Π e Q e 1 Π e Q e = 0 = 0 Πe Q e = 0 ( 1 Q e (Qe ) T K e Q e (Q e ) T{ P e + F e} ) = 0, co prowadzi do równań równowagi MES dla prętowego elementu skończonego K e Q e = P e + F e, lub K e Q e = R e, gdzie zdefiniowano całkowity wektor obciążenia elementu skończonego R e = P e + F e. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 10/146

103 Analiza statyczna MES pręta Jeśli przyjmiemy, że E e = const. i A e = const. to L e L K e = E e A e (N e (x e )) T N e (x e ) dx e = E e A e 0 0 e 1 L e = E e A e (L e ) 1 (L e ) dx e = E e A e (L e ) (L e ) 1 = E e A e L e 1 L e 1, 1 L e L e K e = E e A e L e E e A e L e 1 L e 1 L e [ 1 ] 1 dx e = L e L e x e (L e ) x e (L e ) x e (L e ) x e (L e ) E e A e L e E e A e. (1) L e L e 0 = dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 103/146

104 Analiza statyczna MES pręta Jeśli przyjmiemy, że q e = const. to L e L e 1 x e P e = q e (N e ) T q e dx e = q e L e 0 0 x e dx e = q e L e q e L e P e = q e L e. x e (x e ) L e (x e ) L e L e 0 = q e Wykorzystaliśmy fakt, że całkowita energia potencjalna pręta jest sumą energii potencjalnych elementów skończonych i zajmowaliśmy się jednym elementem skończonym. Kolejnym krokiem jest agregacja, która pozwoli wyrazić man energię potencjalną całego pręta poprzez nieznane wielkości globalne zawarte w wektorze Q. L e L e, dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 104/146

105 Analiza statyczna MES pręta Posłużymy się macierzą topologii w postaci Element Węzeł 1 Węzeł Warunki ciągłości przemieszczeń we wspólnych węzłach elementów skończonych pozwolą nam napisać Q = Q 1 Q Q 3 = Q 1 1 Q 1 = Q 1 Q K 1 0 Q 1 P 1 Q = + K P 0 Q 3 F 1 F K Q P F dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 105/146

106 Analiza statyczna MES pręta K 1 0 Q 1 P 1 Q = + K P 3 0 Q 3 F 1 F K Q P F Globalna macierz sztywności będzie miała postać K K = A n 11 K 1 K 13 K11 1 K1 1 0 e=1 Ke = K 1 K K 13 = K1 1 K 1 + K 11 K 1. K 31 K 33 K 33 0 K1 K Globalne wektory węzłowych równoważników obciążenia i sił węzłowych P = A n F = A n e=1 Pe = e=1 Fe = P 1 P P 3 F 1 F F 3 = = P 1 1 P 1 + P 1 P F 1 1 F 1 + F 1 F,. dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 106/146

107 Analiza statyczna MES pręta Układ równań MES zapiszemy w postaci K11 1 K1 1 0 K1 1 K 1 + K 11 K1 0 K1 K Q 1 Q Q 3 = P 1 1 P 1 + P 1 P + F 1 F F 3. Rozwiązanie układu równań wymaga uwzględnienia warunków brzegowych Q 1 = u(0) =0, F = T 1, F 3 = T, ostatecznie będziemy mogli zapisać K11 1 K1 1 0 K1 1 K 1 + K 11 K1 0 Q = P 1 1 P 1 + P 1 + F 1 T 1. 0 K 1 K Q 3 P T dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 107/146

108 Analiza statyczna MES pręta Po rozwiązaniu układu równań MES, otrzymamy wartości przemieszczeń w węzłach Q i Q 3 oraz wartość siły F 1. Pamiętając o tym, że Q = Q 1 Q Q 3 = Q 1 1 Q 1 = Q 1 Q, i wykorzystując interpolację u e (x e )=N e 1 (x e )Q e 1 + Ne (x e )Q e = ( 1 x e L e ) Q e1 + ( x e L e ) Q e, będziemy mogli zapisać szukaną funkcję przemieszczeń dla elementów u 1 (x 1 ) = (1 x 1 ) ( ) x 1 L u(x) = 1 Q 1 + L 1 Q dla e = 1, u (x ) = (1 x ) ( ) x Q + Q 3 dla e =. L L dr inż. Sławomir Koczubiej Elementy projektowania inżynierskiego 108/146