UOGÓLNIENIA METODY ELEMENTÓW SKO CZONYCH W IN YNIERSKICH SYMULACJACH NUMERYCZNYCH O RODKA NIECI G EGO I DYSKRETNEGO** 1.

Transkrypt

1 Górnictwo i Geoin ynieria Rok 34 Zeszyt Jacek Jakubowski* UOGÓLNIENIA METODY ELEMENTÓW SKO CZONYCH W IN YNIERSKICH SYMULACJACH NUMERYCZNYCH O RODKA NIECI G EGO I DYSKRETNEGO** 1. Wprowadzenie Klasyczna metoda elementów sko czonych jest metod wydajn i uniwersaln, z zastosowaniem wielu dost pnych pakietów równie atw w u yciu. W zastosowaniu do symulacji nieci g ego o rodka z odwzorowaniem nieci g o ci wprost ma jednak pewne istotne ograniczenia. W ci gu ostatnich kilkunastu lat pojawi y si uogólnienia tej metody stosuj ce generalnie rzecz ujmuj c nowe metody aproksymacji, z których wiele opartych jest na tzw. podziale jedno ci. W rezultacie, na bazie metody elementów sko czonych i metody ró nic sko czonych, powsta y metody bezsiatkowe (MFree), metody wzbogaconej aproksymacji metody elementów sko czonych (XFEM) i metoda rozmaito ci numerycznych (MM). Wszystkie te metody maj zdolno naturalnego odwzorowania nieci g o ci bez k opotliwych operacji przebudowy siatki. Ka da z nich jest zdolna do symulacji o rodka ci g ego, o rodka nieci g ego oraz rozpadu o rodka w jednym, spójnym schemacie numerycznym (ka da z nich w innym). Po uzupe nieniu o algorytmy rozpoznawania kontaktów metody te nabieraj cech metod elementów dyskretnych. S to na razie rozwi zania laboratoryjne, nad którymi pracuj matematycy, numerycy i programi ci, które nie trafi y jeszcze w r ce in ynierów. Jednak w przysz o ci ze wzgl du na swoje cechy mog stanowi alternatyw dla metody elementów sko czonych i metody elementów odr bnych w symulacjach geomechanicznych i budowlanych. 2. Odwzorowanie nieci g o ci w MES Mechaniczne oddzia ywanie nieci g o ci i sieci nieci g o ci jest realizowane w modelach metody elementów sko czonych (ale te i innych metodach o rodka ci g ego lub * Katedra Geomechaniki Budownictwa i Geotechniki, Wydzia Górnictwa i Geoin ynierii, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków ** Przygotowano w ramach bada statutowych AGH nr

2 dyskretnego) zasadniczo na cztery sposoby: 1) Po rednio, przy pomocy continuum o ekwiwalentnych parametrach. 2) Wprost przy pomocy elementów cz cych ( joint element, segment-to-segment element) pokrywaj cych powierzchnie nieci g o ci (rys. 1), 3) Wprost przy pomocy predefiniowanych powierzchni kontaktu (w schemacie masterslave, general contact, self-contact lub innych) (rys. 2), 4) wprost przy pomocy specjalnych sformu owa, takich jak XFEM, MFree, MM. Rys. 1. Przyk ady elementów cz cych w metodzie elementów sko czonych (a) element Goodmana [18], (b) Ghaboussiego [16], (c) Zienkiewicza [67], [22], (d) Buczkowskiego i Kleibera [10], (e) cienki element laminarny [64] Rys. 2. Po lewej kontakt elementów sko czonych. Po prawej u góry kontakt w ze powierzchnia z interpolacja elementow a na dole z wyg adzona interpolacj [65] Klasyczna metoda elementów sko czonych nadaje si bardzo dobrze do po redniej symulacji nieci g ego masywu skalnego w schemacie ekwiwalentnego continuum. Nadaje si równie do symulacji wprost nieci g o ci i nieci g ego masywu skalnego, ale jedynie z nielicznymi powierzchniami nieci g o ci. Istnienie w modelu wielu nieci g o ci odwzorowanych wprost przy pomocy elementów cz cych lub powierzchni kontaktu bardzo 326

3 utrudnia zbudowanie dobrej jako ci siatki elementów sko czonych, szczególnie w modelach przestrzennych, mo e wywo ywa z e uwarunkowanie macierzy i problemy ze zbie no ci rozwi zania oraz negatywnie wp ywa na dok adno rozwi zania. Wprowadzenie ka dej nowej lub modyfikacja istniej cej powierzchni nieci g o ci wymaga r cznej lub automatycznej przebudowy siatki w du ym obszarze. Symulacja propagacji szczelin i stref sp kania równie wymaga przebudowy siatki elementów sko czonych, co zwi ksza koszt oblicze i powoduje problemy techniczne. Metody adaptacyjne umo liwi y post p i cz ciowo rozwi zywa y wiele problemów i ogranicze klasycznej metody elementów sko czonych. Adaptacyjna, automatyczna przebudowa siatki, optymalizuje siatk i poprawia dok adno wyników mo liwie najmniejszym kosztem numerycznym (rys. 3). Przebudowa siatki dostosowuje j do zmienionej geometrii zadania w trakcie symulacji (np. przy du ych deformacjach czy propagacji p kni ). Automatyczna generacja siatki, która jest bardzo skuteczna i efektywna w zagadnieniach p askich, napotyka na du e, ci gle nie rozwi zane trudno ci w modelach przestrzennych. Rys. 3. Przebudowa siatki elementów sko czonych metod h-adaptacji [66]: (a) oryginalna siatka (b) podzia elementów na mniejsze (c) ca kowita przebudowa siatki (d) zmiana po o enia w z ów Nowe sformu owania metody elementów sko czonych ze wzbogacaniem aproksymacji, metody bezsiatkowe i metoda rozmaito ci obiecuj niemal ca kowite uwolnienie od wi kszo ci ogranicze tradycyjnej metody elementów sko czonych w symulacji nieci g o- ci i nieci g ego masywu skalnego. 3. Metody bezsiatkowe Skoro struktura elementów z predefiniowanymi kszta tami, wymiarami i relacjami pomi dzy w z ami jest ród em pewnych ogranicze metody elementów sko czonych, zupe nie naturalne jest poszukiwanie rozwi za bezelementowych lub bezsiatkowych. 327

4 Metody bezsiarkowe (ang. meshfree, meshless, element free, w skrócie MFree) s generalnie metodami numerycznego rozwi zywania równa ró niczkowych cz stkowych opisuj cych zjawiska fizyczne, w tym problemy in ynierskie. W metodach bezsiatkowych nie ma elementów po czonych w siatk, s jedynie punkty (w z y) reprezentuj ce obszar i brzeg modelu bez z góry zdefiniowanych cis ych relacji [31]. Dodawanie lub likwidowanie w z ów nie ma adnych skutków dla w z ów s siednich i nie wymaga przeorganizowania ca ej struktury siatki na oko o jak w przypadku MES. Zdefiniowanie nieci g o ci lub do o enie nowej p aszczyzny nieci g o ci nie wymaga przebudowy modelu, co najwy ej zag szczenia w z ów. W obszarach, gdzie istotna jest du a dok adno oblicze (np. w strefach koncentracji napr e lub w okolicy wierzcho ka p kni cia), równie nie trzeba przebudowywa siatki, wystarczy doda tam w z y, aby uzyska wysok dok adno. Podej cie adaptacyjne z zastosowaniem metod bezsiatkowych jest na tyle atwe do algorytmizacji i automatyzacji, e nie wymaga r cznej ingerencji w 2D ani w 3D. Metody bezsiatkowe wydaj si zatem ciekaw alternatywa dla MES w rozwi zaniach liniowych, nieliniowych, statycznych i dynamicznych problemów mechaniki cia a sta ego oraz geomechaniki. W metodach elementów sko czonych i brzegowych struktura siatki jest wykorzystywana do dyskretyzacji i aproksymacji z o onych równa ró niczkowych cz stkowych przy pomocy uk adu równa algebraicznych. Metody bezsiatkowe dla sformu owania uk adu równa algebraicznych wykorzystuj zbiór w z ów, który reprezentuje a nie dyskretyzuje obszar i jego brzeg (rys. 4). Niektóre metody bezsiatkowe przeprowadzaj ca kowanie w oparciu o proste, pomocnicze siatki, ale adne nie wykorzystuj siatek do interpolacji. Rys. 4. Po lewej: siatka w z ów i elementów sko czonych dyskretyzuj ca obszar. Po prawej: w z y metody bezsiatkowej reprezentuj ce obszar i brzeg modelu [31]. Na dole: obszar wp ywu obejmuj cy w z y wykorzystane do interpolacji i budowy funkcji kszta tu dla punktu x (który mo e ale nie musi by w z em) [31] Funkcje kszta tu w metodzie elementów sko czonych s budowane dla elementów, s takie same dla wszystkich elementów o tym samym kszta cie i s znane przed uruchomie- 328

5 niem symulacji. W metodach bezsiatkowych funkcje kszta tu po pierwsze s budowane dla wybranych punktów i s ró ne dla ró nych punktów. Po drugie s budowane w oparciu o w z y. Po trzecie s budowane w trakcie a nie przed symulacj. Budowa funkcji kszta tu jest kluczowym problemem metod bezsiatkowych, dlatego tak wa ny jest wybór i w a ciwo ci metody aproksymacyjnej stosowanej do budowy funkcji kszta tu. W klasycznej metodzie elementów sko czonych w a ciwo ci materia owe mo na swobodnie definiowa w obszarze, nawet dla ka dego pojedynczego elementu z osobna. W metodach bezsiatkowych mo na co prawda definiowa strefy o ró nych w a ciwo ciach materia owych, ale ci gle nierozwi zane s problemy z reprezentacj powierzchni granicznej i dok adno ci szacunków napr e w pobli u tej powierzchni [31]. Przyk adanie warunków brzegowych w metodach bezsiatkowych jest przeprowadzane wed ug podobnych zasad jak w MES, ale przy o enie warunków przemieszczeniowych w niektórych metodach bezsiatkowych wymaga pewnych dodatkowych operacji i nie jest tak atwe jak w MES. Metody bezsiatkowe ró ni sie od siebie, ale mo na wskaza kilka wspólnych etapów budowy modelu i symulacji: 1) Generacja w z ów reprezentuj cych obszar i brzeg modelu. Zadanie warunków brzegowych (lub tylko obci eniowych warunków brzegowych). 2) Interpolacja przemieszcze i budowa funkcji kszta tu na podstawie w z ów w lokalnym obszarze wp ywu. 3) Utworzenie uk adów równa dla w z ów i z o enie ich do globalnego uk adu równa (zadanie przemieszczeniowych warunków brzegowych). 4) Rozwi zanie globalnego uk adu równa, obliczenie przemieszcze. 5) Obliczenie pól odkszta ce i napr e. Macierze sztywno ci metod bezsiatkowych s macierzami pasmowymi, symetrycznymi lub nie, w zale no ci od metody. Dok adno uzyskiwana metodami bezsiatkowymi jest generalnie lepsza ni MES, ale czas oblicze d u szy, niekiedy nawet kilkadziesi t razy [5, 31]. W ostatnich latach mo na zaobserwowa znaczn popraw wydajno ci algorytmów najlepszych metod bezsiatkowych. Dost pne aplikacje bezsiatkowe to g ównie programy akademickie wykorzystywane do sprawdzania rozwi za i badania w a ciwo ci szczególnych sformu owa. Nieliczne, specjalizowane programy komercyjne nie stanowi uniwersalnych platform symulacji in ynierskich i nie dorównuj na razie systemom MES. Metody bezsiatkowe rozwin y si gwa townie w latach 90., ale ci gle wiele ich istotnych problemów czeka na rozwi zanie. Trwa dyskusja i ocena wa niejszych sformu owa oraz standaryzacja nazewnictwa. Wa niejsze, utrwalone ju w bibliografii metody bezsiatkowe (w oryginalnym angielskim nazewnictwie) to: Boundary node method [40], Boundary point interpolation method [19], Element free Galerkin method (EFG) [6], Finite point method (FPM) [29, 44], hp cloud method [14, 30], Local boundary integral equation (LBIE) methods [3], Local Petrov Galerkin (MLPG) [3], Method of finite spheres [13], Moving least squares reproducing kernel method (MLSRK) [33], Natural element method (NEM) [59], Particle finite element method (PFEM) [20], Partition of unity method (PUM) [4], Reproduction kernel particle method (RKPM) [32], Smooth par diffuse element method (DEM) [42], Smooth particle hydrodynamics (SPH) [34]. 329

6 Metody bezsiatkowe s zwykle kojarzone i porównywane z MES, dlatego warto przypomnie, e za jedn z pierwszych metod bezsiatkowych uwa ana jest uogólniona MRS dla dowolnych nieregularnych siatek opracowana przez Liszk, Orkisza, Kroka i innych [25, 29] nazywana obecnie Finite point method. Dorobek tej metody przyczyni si generalnie do rozwoju metod bezsiatkowych, w szczególno ci metody hp-cloud. Metody bezsiatkowe s równie wykorzystywane w sformu owaniach maj cych swoje ród a w metodzie elementów brzegowych, na przyk ad Boundary node method [40]. Na rysunkach 5, 7 i 6 pokazano przyk ady zastosowania metod bezsiatkowych. Metody bezsiatkowe, posiadaj aparat do bardzo dobrej i efektywnej symulacji propagacji p kni, dlatego w przysz o ci metody te mog by szczególnie przydatne do symulacji stref zniszczenia i rozwoju sieci szczelin w masywie skalnym. Po czenie ich z algorytmami wykrywania kontaktu [27] otwiera mo liwo rozwi zywania zada typowych dla metod elementów dyskretnych oraz symulacji rozpadu o rodka skalnego [48]. Wszystko to mo e spowodowa, e metody bezsiatkowe b d mia y zastosowanie w symulacji nieci g ego i blokowego masywu skalnego oraz inne zastosowania w geoin ynierii [46, 55, 62] i budownictwie [8, 47]. Rys. 5. Przyk ad zastosowania metod bezsiatkowych. Proste modele numeryczne masywu skalnego [62] Rys. 6. Przyk ady zastosowania bezsiatkowej metody EFG. Po lewej symulacja eksplozji adunku wybuchowego na powierzchni betonowej p yty [48]. Po prawej symulacja propagacji p kni [48] 330

7 Jednak najpierw musza by rozwi zane istniej ce problemy metod bezsiarkowych, w tym poprawiona szybko oblicze i musz one zosta zaimplementowane w postaci szeroko dost pnych komercyjnych lub niekomercyjnych aplikacji. Rys. 7. Przyk ad zastosowania bezsiatkowej metody RKPM (Reproducing Kernel Particle Method) i bezsiatkowego algorytmu wykrywania kontaktu. Symulacja uderzenia odkszta calnego pr ta w sztywn p yt. Po owa przekroju modelu osiowosymetrycznego [27] 4. Metody wzbogacania aproksymacji elementów sko czonych Pod koniec lat dziewi dziesi tych atrakcyjn alternatyw dla metod bezsiatkowych sta y si warianty metody elementów sko czonych, które kosztem wzbogacenia w z ów i elementów siatki elementów sko czonych o dodatkowe stopnie swobody pozwalaj na dowolne odwzorowanie predefiniowanych lub propaguj cych nieci g o ci wewn trz elementów bez potrzeby przebudowy siatki elementów. By y to: uogólniona metoda elementów sko czonych (Generalized FEM), która do aproksymacji wykorzystuje lokalne rozwi zania analityczne [4, 57, 58], metoda oparta na niejednorodnej aproksymacji metod hp-cloud [43], hierarchiczna MES wykorzystuj ca koncepcj podzia u jedno ci [60], wreszcie najbardziej obecnie znana tzw. rozszerzona metoda elementów sko czonych (extended FEM, XFEM) [38] wprowadzaj ca specjalne funkcje przemieszczenia do standardowej metody elementów sko czonych i umo liwiaj ca odwzorowanie praktycznie dowolnej geometrii nieci g o ci. Nie jest przypadkiem, e twórcy XFEM i pokrewnych metod wcze niej rozwijali metody bezsiatkowe. Pomostem pomi dzy metodami bezsiatkowymi i metod elementów sko czonych w sformu owaniach XFEM s wspólne techniki aproksymacyjne a szczególnie tzw. podzia jedno ci (ang. partition of unity). Podzia jedno ci to zbiór m dodatnich, ci g ych C o funkcji f k (x) dla których zachodzi: 331

8 m / k = 1 fk ^xh= 1 (1) Mo na udowodni, e dla dowolnej funkcji (x) zachodzi wtedy równie : m / k = 1 fk ^xh} ^xh= } ^xh (2) W klasycznej MES, funkcje kszta tu N j s podzia em jedno ci i dla elementu o n w z ach: n / j = 1 N j = 1 (3) Na koncepcji podzia u jedno ci opieraj si funkcje wzbogacaj ce w metodzie XFEM i innych [23, 39, 61]. Aproksymacja nieci g ego pola przemieszcze opiera si na specjalnie dobranych funkcjach kszta tu, zdefiniowanych przy pomocy funkcji wzbogacaj cych. Dla zdefiniowania brzegu nieci g o ci i dla aproksymacji pola przemieszcze tworzone s dodatkowe, niezale ne, wirtualne stopnie swobody. Geometria modelu i nieci g o ci w metodzie XFEM nie musi by zgodna z siatk elementów sko czonych a do o enie lub likwidacja nieci g o ci w modelu nie wymaga przebudowy siatki (rys. 8). Stosunkowo niewielkim kosztem dodatkowych stopni swobody uzyskuje si przy tym znaczn popraw dok adno ci rozwi zania w pobli u nieci g o ci. Mimo e XFEM zosta a opracowana z my l o propagacji p kni, jej zalety mog by wykorzystywane w wielu innych problemach, szczególnie w mechanice ska, gdzie liczne nieci g o ci, propagacja sieci szczelin i stref sp kania maj wielkie znaczenie ale s trudne do symulacji innymi metodami. XFEM ma wiele nie rozwi zanych w zadawalaj cy sposób problemów, ale jest dopiero na wczesnym etapie rozwoju, ci gle nast puje gwa towny post p koncepcyjny. Rys. 8. Po lewej - geometria modelu XFEM nie musi by zgodna z siatk elementów [22]. W rodku nieci g o i wzbogacone w z y wokó niej. Po prawej zwyk e i wzbogacone w z y wokó nieci g o ci geometrycznych na nieregularnej siatce elementów sko czonych [23] 332

9 Poligonem rozwojowym tej metody jest mechanika p kania [37, 56, 63]. Metoda ma zastosowanie w symulacji zachowania sie materia ów kompozytowych [41] i problemach du ych deformacji [15]. Niedawno Menouillard i inni [36] przedstawili ca kowicie jawne sformu owanie XFEM. Réthoré i inni [49] wykorzystali koncepcj podzia u jedno ci dla zmiennej czasowej do sformu owania metody Time extended FEM (TXFEM). Nieci g o ci w metodzie XFEM s odwzorowywane w inny sposób ni w klasycznej MES i oddzia ywania na kontakcie pomi dzy powierzchniami tych nieci g o ci musz by równie obs ugiwane w inny sposób. Najcz ciej stosuje si ró ne modele z tarciem na kontakcie lub ze stref kontaktow. Kontakt na powierzchniach nieci g o ci jest przedmiotem zainteresowania badaczy od powstania XFEM i nast puje szybki post p w jako ci rozwi za i zakresie symulowanych oddzia- ywa kontaktowych. Znane s wydajne metody ledzenia przemieszczaj cych si kontaktów [45], z zastosowaniem których XFEM mo e w przysz o ci efektywnie rozwi zywa nawet bardzo z o one problemy kontaktowe [1, 2, 24]. Bardzo ciekawa jest zaproponowana przez Belytschk i innych [9] technika przej cia z rozwi zaniem XFEM od o rodka ci g ego do dyskretnego. Zaletami XFEM s zdolno do odwzorowywania geometrii nieci g o ci niezale nie od siatki elementów sko czonych, atwa symulacja post puj cej propagacji sp ka i dok adno estymacji w pobli u nieci g o ci. Oprócz tego metoda wykorzystuje zalety tradycyjnej MES w symulacji niejednorodno ci i nieliniowo ci materia u oraz atwo zadawania warunków brzegowych. czy zatem zalety standardowych metod siatkowych i metod bezsiatkowych. Wydaje si, e w przysz o ci mo e by szczególnie przydatna do symulacji nieci g ego masywu skalnego i rozwi zywania problemów geomechaniki, geotechniki i budownictwa [7, 22]. Poza programami akademickimi i niewielkimi systemami open source nie jest zaimplementowana w rozwi zaniach komercyjnych. Wyj tkiem jest systemem ABAQUS, który od wersji 6.9 wypuszczonej po owie 2009 udost pnia swoim u ytkownikom procedury XFEM przeznaczone do symulacji propagacji p kni (rys. 9). 5. Metoda rozmaito ci numerycznych Metod rozmaito ci (ang. Manifold method lub Numerical manifold method, w skrócie MM lub NMM) mo na uwa a za uogólnienie metody elementów sko czonych, cz ce w jednorodnej formalnie postaci techniki analityczne metody elementów sko czonych i analizy nieci g ych deformacji [21, 50, 51, 53]. Pojecie rozmaito ci pochodzi od rozmaito ci ró niczkowych i zosta o zaczerpni te przez Gen-Hua Shi z topologii i geometrii ró niczkowej. Rozmaito ci w metodzie MM cz wiele ró nych nak adaj cych si na siebie i pokrywaj cych ca y obszar modelu obszarów. Kluczem do jednolitego traktowania deformacji ci g ych i nieci g ych jest struktura pokry sko czonych zbudowana z oddzielnych i niezale nych siatek matematycznej i fizycznej. Siatka fizyczna opisuj fizyczny obszar modelu jego brzeg, nieci g o ci i strefy ró ni ce sie w a ciwo- ciami fizycznymi. Siatka matematyczna nie zale y od geometrii modelu ani w a ciwo ci materia u i mo e by definiowana niezale nie od nich. Sk ada si z matematycznych pokry o dowolnych kszta tach i wymiarach, których suma zawiera ca y obszar modelu fizycznego. 333

10 Rys. 9. Problem propagacji wielu karbów metod XFEM, ABAQUS 6.9/Standard [17]. U góry pocz tkowa geometria i uk ad karbów. W rodku wyt enie Hubera dla pocz tkowej geometrii. Na dole propagacja karbów po pi ciu quasi-statycznych przyrostach. Na schematach u góry i na dole wida wzbogacone w z y XFEM Na rysunku 10 pokazano przyk adowe siatki (a) matematyczn sk adaj ca si z trzech matematycznych pokry oraz (b) siatk fizyczn definiuj c brzeg i poziom nieci g o. Z o enie tych dwóch siatek daje opis problemu w metodzie rozmaito ci. Przeci cie matematycznego pokrycia i sieci fizycznej nazywane jest pokryciem fizycznym. Na przyk ad przeci cie pokry- 334

11 cia matematycznego M 1 i sieci fizycznej daje dwa przeci cia fizyczne oznaczone P 1 1, P 2 1. Dwa przeci cia dlatego, e nieci g o dzieli pokrycia matematyczne na dwie cz ci i wyodr bnia dwa roz czne pokrycia fizyczne. Cz wspólna pokry fizycznych nazywana jest elementem rozmaito ci. Rysunek 11 ilustruje sposób definiowania elementów rozmaito ci na przyk adzie p askiego zagadnienia. U góry (a) wida na o one na siebie dwie siatki: matematyczn (regularna na bazie trójk tów, cienkie linie) i fizyczn (geometria obszaru, grube linie). Wszystkie pokrycia matematyczne maja kszta t wieloboku, jak pokazane obok pokrycie matematyczne M 1. Przeci cie pokrycia matematycznego M 2 i siatki fizycznej daje pokrycia fizyczne P 1 2 i P 1 2 widoczne na rysunku 11 (b) i (c). Wszystkie pokrycia fizyczne widoczne na rysunku 11 b i c (P 1 1, P 1 2, P 1 3 oraz P 2 1, P 2 2, P 2 3) otrzymano analogicznie. Na rysunku 11 (b) wida jak cz wspólna trzech fizycznych pokry P 1 1, P 1 2, P 1 3 tworzy element rozmaito ci a na rysunku 11 (c) jak cz wspólna trzech innych fizycznych pokry P 2 1, P 2 2, P 2 3 tworzy inny element rozmaito ci. Rys. 10. Siatki matematyczna i fizyczna w metodzie rozmaito ci: (a) siatka matematyczna z o ona z trzech pokry matematycznych; (b) siatka fizyczna; (c) na o enie siatki matematycznej i fizycznej (d) pokrycia fizyczne [21] W schemacie metody rozmaito ci, pokrycia fizyczne i elementy rozmaito ci s uogólnieniami w z ów i elementów klasycznej metody elementów sko czonych. Metoda rozmaito ci rozdziela dziedzin aproksymacji od dziedziny ca kowania w ten sposób, e ta pierwsza jest definiowana tylko przez pokrycia matematyczne a ta druga tylko przez siatk fizyczn odpowiadaj c geometrii modelu. Pokrycia matematyczne definiuj funkcje przemieszcze a siatka fizyczna ogranicza obszar ca kowania. Ca kowanie po elementach rozmaito ci o dowolnym kszta cie odbywa si szczególn metod sympleksow opracowana przez [52]. Do aproksymacji wykorzystywany jest podzia jedno ci, czyli ta sama technika, która jest wykorzystywana w wielu uogólnieniach MES ze wzbogacaniem w z ów oraz niektórych metodach bezsiatkowych. Lokalne funkcje przemieszcze s zdefiniowane na ka dym osobnym pokryciu i po czone razem tworz globaln funkcj przemieszcze. Po czenie to odbywa sie 335

12 Rys. 11. Ilustracja sposobu definiowania elementów rozmaito ci: (a) na o one dwie siatki: matematyczna i fizyczna (b) i (c) pokrycia fizyczne i elementy rozmaito ci otrzymane jako cz wspólna pokry fizycznych [21] za pomoc wag spe niaj cych warunek podzia u jedno ci. Globalna funkcja przemieszcze jest tworzona przy pomocy tych wag z wykorzystaniem w a ciwo ci podzia u jedno ci. Globalne zachowanie si modelu jest zatem wyliczane przy pomocy funkcji zdefiniowanych lokalnie. System sko czonych pokry tworzony przez obie siatki i jest na tyle elastyczny, e mo e odwzorowywa zachowanie sie zarówno ci g ych, jak i nieci g ych o rodków z ruchomymi brzegami (czyli z ewoluuj c geometri modelu tak jak np. w problemach propagacji szczeliny). Siatka matematyczna mo e by regularna i niezale na od geometrii modelu i wyst puj cych w nim nieci g o ci, dlatego jej generacja jest bardzo atwa a modyfikacje sieci nieci g o ci lub rozwój p kni cia nie wymagaj adaptacji siatki. Sprawia to, e metoda mo e by b dzie szczególnie przydatna w symulacji nieci g ego masywu skalnego (rys. 12). Shi zintegrowa metod rozmaito ci z algorytmami analizy kinematycznej i wykrywania kontaktów, co uczyni o z niej metod spe niaj c kryteria metody elementów dyskretnych. Oryginalne sformu owanie metody rozmaito ci dotyczy o zagadnienia p askiego [50, 51, 54]. Terada przedstawi nieliniow analiz o rodka niejednorodnego i nazwa ja metod pokry sko czonych (ang. finite cover method FCM). Bardzo wa nym krokiem by o pojawienie si niedawno pierwszych sformu owa i eksperymentalnych programów trójwymiarowej metody rozmaito ci [21, 35]. Metoda rozmaito ci z algorytmami wykrywania kontaktów czy metod symulacji o rodka ci g ego i dyskretnego [53]. Wi kszo publikacji na razie dotyczy albo rozwi za p askich, albo przestrzennych bez wykrywania kontaktów, ale nad metod rozmaito ci pracuje kilka zespo ów badawczych i wydaje sie, e nast pi szybki rozwój koncepcyjny metody, i pokonanie problemów wydajno ci towarzysz cych przej ciu 336

13 Rys. 12. Analiza stateczno ci wyrobisk w nieci g ym masywie skalnym metoda rozmaito ci [53] od rozwi za p askich do przestrzennych. Je eli tak si stanie i metody rozmaito ci z eksperymentalnej stanie si komercyjn, jej silna pozycja w mechanice ska, górnictwie, budownictwie i geotechnice wydaje si kwesti czasu. Na razie jednak metoda jest w fazie bardzo wczesnego rozwoju i poza kilkoma akademickimi programami nie s dost pne adne aplikacje komercyjne. Oprócz twórcy metody Gen-Hua Shi i wymienionych wy ej, do rozwoju metody rozmaito ci przyczynili si miedzy innymi Chen i inni [11], Chiou i inni [12], Li i inni [26], Lin [28]. 6. Podsumowanie Metoda elementów sko czonych jest metod wydajn i uniwersaln, z zastosowaniem wielu dost pnych pakietów równie atw w u yciu. Najbardziej kosztownym i trudnym etapem budowy modelu i symulacji MES jest tworzenie siatki elementów i z siatk elementów w klasycznej postaci zwi zanych jest wiele wad tej metody ujawniaj cych si w symulacji nieci g ego masywu skalnego. Nieci g o ci musz by zgodne z geometria siatki elementów. Predefiniowanie wielu powierzchni nieci g o ci powa nie komplikuje geometri siatki elementów sko czonych, wymusza jej zag szczenie, pogarsza jako elementów, znacznie utrudnia jej automatyczn generacj. Dok adno rozwi zania cierpi na skutek zniekszta ce elementów w problemach du ych odkszta ce. Symulacja propagacji szczelin wzd u dowolnych, z o onych ladów i p aszczyzn niezgodnych z geometri w z ów jest równie trudna. Automatyczna, krokowa przebudowa siatki elementów mo e zapobiega deformacjom elementów i dostosowywa siatk elementów do geometrii sieci nieci g o ci ale tylko w modelach p askich. W symulacjach przestrzennych metody adaptacyjne wymagaj wielkich mocy obliczeniowych i nie s wystarczaj co efektywne w praktycznych symulacjach du ych problemów geomechanicznych. Nowe metody takie jak XFEM, MFree i MM zdaj si czy zalety tradycyjnych sformu owa metod o rodka ci g ego ze swobod i efektywno ci odwzorowania predefiniowa- 337

14 nych lub propaguj cych nieci g o ci. Metody te dysponuj ju praktycznymi mo liwo ci symulacji nieci g o ci i stref kontaktowych. Ka da z tych metod ju na obecnym etapie rozwoju ma sformu owania, pozwalaj ce na rozpad obszaru nieci g ego na dyskretne bloki czyli przej cie od modelu o rodka ci g ego do modelu o rodka dyskretnego. Dysponuj algorytmami wykrywania kontaktów i oddzia ywa na powierzchniach nieci g o ci. Metody te s w trakcie rozwoju i ci gle opracowywane s nowe i lepsze modele mechaniczne i kinetyczne oddzia ywa na powierzchniach nieci g o ci. Nie stanowi one jeszcze alternatywy dla klasycznych metod, ale mog ni by ju za kilka lat. LITERATURA [1] Abdelaziz Y., Hamouine A.: A Survey of the Extended Finite Element. Computers and Structures 86, 2008, p [2] Abdelaziz Y., Nabbou A., Hamouine A.: A State-of-the-art Review of the X-FEM for Computational Fracture Mechanics. Applied Mathematical Modelling, 33(12), 2009, p [3] Atluri S.N., Kim H.G., Cho J.Y.: A Critical Assessment of the Truly Local Petrov Galerkin (MLPG) and Local Boundary Integral Equation (LBIE) Methods. Comput. Mech. 24, 1999, p [4] Babuska I., Melenk J.M.: The Partition of Unity Method. Int. J. Numer. Method Eng. 40, 1997, p [5] Belytschko T., Krongauz Y., Organ D., Flemiong M., Krysl P.: Meshless Methods. An Overview and Recent Developments. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 139, 1996, p [6] Belytschko T., Lu Y.Y., Gu L.: Element-free Galerkin Methods. Int. J. Numer. Method Eng. 37, 1994, p [7] Belytschko T., Moës N., Usui S., Parimi C.: Arbitrary discontinuities in finite elements. Int. J. Numer. Method Eng. 50, 2001, s [8] Belytschko T., Organ D., Gerlach C.: Element-free Galerki Methods for Dynamic Fracture in Concrete. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 187, 2000, p [9] Belytschko T., Parimi C., Moës N., Sukumar N., Usui S.: Structured Extended Finite Element Methods for Solids Defined by Implicit Surfaces. Int. J. Numer. Method Eng. 56, 2003, p [10] Buczkowski R., Kleiber M.: Elasto-plastic Interface Model for 3D Frictional Orthotropic Contact Problems. Int. J. Num. Methods Eng. 40, 1997, p [11] Chen G.Q., Ohnishi Y., Ito T.: Development of High-order Manifold Method. Int. J. Num. Method Eng. 43, 1998, p [12] Chiou Y.-J., Lee Y.-M., Tsay R.-J.: Mixed Mode Fracture Propagation by Manifold Method. Int. J. Fracture 114, 2002, p [13] De S., Bathe K.J.: The Method of Finite Spheres. Comput. Mech. 25, 2000, p [14] Duarte C.A.M., Oden J.T.: An h-p Adaptive Method Using Clouds. Comput. Method Appl. Mech. Eng 139, 1996, p [15] Fish J., Yuan Z.: Multiscale Enrichment Based on Partition of Unity. International Journal for Numerical Methods in Engineering 62, 2005, p [16] Ghaboussi J., Wilson E.L., Isenberg J.: Finite Element for Rock Joints and Interfaces. J. Soil Mech. Div. ASCE, 1973, p [17] Giner E., Sukumar N., Tarancon J.E., Fuenmayor F.J: An Abaqus Implementation of the Extended Finite Element Method. Engineering Fracture Mechanics. Preprint submitted, 2008 [18] Goodman R.E., Taylor L., Brekke T.: A Model for the Mechanics of Jointed Rock. J. Soil Mech. and Found. Div. Proc., ASCE v.94, n. SM 3, 1968 [19] Gu Y.T., Liu G.R.: A Boundary Point Interpolation Method for Stress Analysis of Solids. Comput. Mech. 28 (1), 2002, p [20] Idelsohn S., Torrecilla M., Onate E.: Multi-fluid Flows with the Particle Finite Element Method. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 198, 2009, p

15 [21] Jiang Q., Zhou C., Li D.: A three-dimensional Numerical Manifold Method Based on Tetrahedral Meshes. Computers and Structures 87 (13 14), 2009, p [22] Jing L.A.: Review of Techniques, Advances and Outstanding Issues in Numerical Modelling for Rock Mechanics and Rock Engineering. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences 40, 2003, p [23] Kaczmarczyk.: Numeryczna analiza wybranych problemów mechaniki o rodków niejednorodnych. Praca doktorska, 2006 [24] Khoei A.R., Nikbakht M.: Contact Friction Modeling with the Extended Finite Element Method (X-FEM). J. Mater. Process. Technol. 177, 2006, p [25] Krok J., Orkisz J.: A Unified Approach to the FE Generalized Variational FD Method in Nonlinear Mechanics. Concept and Numerical Approach. Discretization methods in structural mechanics, IUTAM/IACM Symposium, Vienna, 1990, p [26] Li S., Cheng Y., Wu Y.-F.: Numerical Manifold Method Based on the Method of Weighted Residuals. Comput. Mech. 35, 2005, p [27] Li S., Qian D., Liu W.K., Belytschko T.: A Meshfree Contact Detection Algorithm. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 190, 2001, p [28] Lin J.-S.: A Mesh-based Partition of Unity Method for Discontinuity Modeling. Comput. Method Appl. Mech.Eng. 192, 2003, p [29] Liszka T., Orkisz J.: The Finite Difference Method at Arbitrary Irregular Meshes and its Applications in Applied Mechanics. Comp Struct. 11, 1980, p [30] Liszka T.J., Duarte C.A.M., Tworzyd o W.W.: hp-meshless Cloud Method. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 139, 1996, p [31] Liu G.R.: Mesh Free Methods. Moving Beyond the Finite Element Method. CRC Press 2003 [32] Liu W.K., Jun S., Zhang Y.F.: Reproducing Kernel Particle Methods. Int. J. Numer. Method Fluid. 20, 1995, p [33] Liu W.K., Li S., Belytschko T.: Moving Least-square Reproducing Kernel Methods, Part I: Methodology and Convergence. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 143, 1997 [34] Lucy L.B.: A Numerical Approach to the Testing of the Fission Hypothesis. Astron. J. 8, 1977, s [35] Luo S.M., Zhang X.W., Lu W.G., Jiang D.R.: Theoretical Study of Three-dimensional Numerical Manifold Method. Appl. Math. Mech. English Edition 26, 2005, p [36] Menouillard T., Rethore J., Combescure A., Bung H.: Efficient Explicit Time Stepping for the Extended Finite Element Method (X-FEM). International Journal of Numerical Methods in Engineering 68, 2006, p [37] Mergheim J., Kuh E., Steinman P.: A Finite Element Method for the Computational Modeling of Cohesive Crack Growth. International Journal for Numerical Methods in Engineering 63, 2005, p [38] Moës N., Dolbow J., Belytschko T.: A Finite Element Method for Crack Growth without Remeshing. Int. J. Numer. Method Eng. 46, p [39] Mohammadi S.: Extended Finite Element Method for Fracture Analysis of Structures. Blackwell Publishing, Oxford 2008 [40] Mukherjee Y.X., Mukherjee S.: Boundary Node Method for Potential Problems. Int. J. Numer. Methods Eng. 46, 1999, p [41] Nagashima T., Suemasu H.: Application of Extended Finite Element Method to Fracture of Composite Materials. European Congees on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. Javaskyla, Finland 2004 [42] Nayroles B., Touzot G., Villon P.: Generalizing the Finite Element Method: Diffuse Approximation and Diffuse Elements. Comput. Mech. 10, 1992, p [43] Oden J.T., Duarte C.A.M., Zienkiewicz O.C.: A new Cloud-based hp Finite Element Method. Comput. Method Appl. Mech. Eng. 153, 1998, p [44] Onate E., Idelsohn S.R., Zienkiewicz O.C. i in.: A Finite Point Method in Computational Mechanics: Applications to Convective Transport and Fluid Flow. Int. J. Numer. Method. Eng. 39, 1996, p

16 [45] Osher S., Sethian J.A.: Fronts Propaging with Curvature-dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulations. Journal of Computat. Physics 79, 1988, p [46] Ossowski R.: Metody bezsiatkowe, nowe perspektywy zastosowania w geoin ynierii. Cz I. Podstawy teoretyczne. In ynieria Morska i Geotechnika 26(6), 2005, p [47] Rabczuk T., Belytschko T.: Application of Particle Methods to Static Fracture of Reinforced Concrete Structures. International Journal of Fracture 137, 2006, p [48] Rabczuk T., Belytschko T.: A Three-dimensional Large Deformation Meshfree Method for Arbitrary Evolving Cracks. Comput. Methods Appl. Mech. Engng 196, 2007, p [49] Réthoré J., Gravouil A., Combescure A.: A Combined Space-time Extended Finite Element Method. International Journal for numerical methods in Engineering 64(2), 2005 p [50] Shi G.H.: Manifold Method of Material Analysis. Transactions of the ninth army conference on applied mathematics and computing, p Minneapolis MN 1991 [51] Shi G.H.: Modeling Rock Joints and Blocks by Manifold Method. Proceedings of the 32 nd US Rck Mechanics Symposium, Santa Fe, NM, 1992, p [52] Shi G.H.: Simplex Integration for Manifold Method, FEM, DDA and Analytical Analysis. Proceedings of the First International Forum on Discontinuous Deformation Analysis (DDA) and Simulations of Discontinuous Media, Berkeley, CA, 1996, p [53] Shi G.H.: Recent Applications of Discontinuous Deformation Analysis and Manifold Method. The 42 nd U.S. Rock Mechanics Symposium (USRMS), American Rock Mechanics Association 2008, San Francisco, CA, 2008 [54] Shi G.H.: Manifold Method. Proceedings of the First International Forum on Discontinuous Deformation Analysis (DDA) and Simulations of Discontinuous Media, Berkeley, CA, 1996, p [55] Sikora Z., Ossowski R.: Metody bezsiatkowe czy jest na nich miejsce w geoin ynierii? Rozwi zanie zagadnienia Flamanta metod MLPG. Geoin ynieria: drogi, mosty, tunele, nr 3, 2007, p [56] Stolarska M., Chopp D.L., Moes N., Belytschko T.: Modeling Crack Growth by Level Sets in the Extended Finite Element Method. International Journal of Numerical Methods in Engineering 51, 2001, p [57] Strouboulis T., Copps K., Babuska I.: The Generalised Finite Element Method: an Example of its Implementation and Illustration of its Performance. Int J Numer Meth Eng. 47, 2000, p [58] Strouboulis T., Copps K., Babuska I.: The Generalized Finite Element Method. Comput Meth Appl Mech Eng. 190, 2001, p [59] Sukumar N., Moran B., Belytschko T.: The Natural Element Method in Solid Mechanics. Int. J. Numer. Methods Eng. 43, 1998, p [60] Taylor R.L., Zienkiewicz O.C., Onate E.: A Hierarchical Finite Element Method Based on the Partition of Unity. Comput. Method Appl. Mech. Eng 152, 1998, p [61] Wells G.N.: Discontinuous Modelling of Strain Localisation and Failure. PhD thesis, Delft University of Technology 2001 [62] Zhang X., Lu M., Wegner J.L.: A 2-D Meshless Model for Jointed Rock Structures. Int. J. Num. Methods Eng. 47, 2000, p [63] Zi G., Belytschko T.: New Crack-tip Elements for XFEM and Application to Cohesive Cracks. Int. J. Numer. Meth. Engng 57, 2003, p [64] Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów sko czonych. Arkady, Warszawa 1972 [65] Zienkiewicz O.C., Taylor R. L.: The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Elsevier Butterworth-Heinemann, Amsterdam [66] Zienkiewicz O.C., Taylor R. L., Zhu J. Z.: The Finite Element Method: its Basis and Fundamentals. Elsevier Butterworth-Heinemann, Amsterdam 2005 [67] Zienkiewicz O.C., Best B., Dullage C., Stagg K.: Analysis of Nonlinear Problems in Rock Mechanics with Particular Reference to Jointed Rock Systems. Proceedings of the Second International Congress on Rock Mechanics, Belgrade 1970