TARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE

Transkrypt

1 PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko

2 Tematyka wykładu 1 ES tarczowe dla UP Najprostszy ES tarczowy CST ES tarczowy Q4 ES wyższych rzędów 2 ES płytowy czterowęzłowy 3 Podsumowanie i klasyfikacja ES dla UP ES elementy skończone UP ustroje powierzchniowe

3 Najprostszy ES tarczowy CST Najprostszy ES tarczowy CST trójkątny, 3-węzłowy Y v1 3 v3 u3 Liczba stopni swobody węzła: LSSW = 2 Liczba węzłów elementu: LWE = 3 Liczba stopni swobody elementu: LSSE = LSSW LWE = 6 1 u1 2 v2 u2 X Wektory przemieszczeń węzła i elementu: q w = {u w, v w } T q e n = {u 1, v 1 u 2, v 2 u 3, v 3 } T dla w = 1,..., LWE, e = 1,..., LE Do aproksymacji obu przemieszczeń u i v używane są biliniowe funkcje kształtu N i, i = 1, 2, 3: u n (2 1) = Nn (2 6) qe n (6 1) CST Constant Strain Triangle

4 Najprostszy ES tarczowy CST Najprostszy ES tarczowy CST trójkątny, 3-węzłowy u n = N n q e n [ N e N e = 1 0 N2 e 0 N3 e 0 0 N1 e 0 N2 e 0 N3 e N 1(x e, y e ) 1 1 x e 2 3 y e N 2(x e, y e ) 1 x e 1 ], q e = 2 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 3 y e Ogólne właściwości funkcji kształtu: N i = 1 w węźle i 0 w pozostałych węzłach LWE i=1 N i = 1 N 3(x e, y e ) 1 x e y e

5 ES tarczowy Q4 ES tarczowy Q4 prostokątny, 4-węzłowy b u 4 u 1 v 4 v 1 Y η = 2 y/b a v 3 u 3 ξ = 2 x/a X u 2 v 2 Liczba stopni swobody węzła: LSSW = 2 Liczba węzłów elementu: LWE = 4 Liczba stopni swobody elementu: LSSE = LSSW LWE = 8 Wektory przemieszczeń węzła i elementu: q w = {u w, v w } T q e n = {u 1, v 1 u 2, v 2 u 3, v 3 u 4, v 4 } T dla w = 1,..., LWE, e = 1,..., LE Do aproksymacji obu przemieszczeń u(ξ, η) i v(ξ, η) używane są funkcje kształtu N i (ξ, η), i = 1, 2, 3, 4, biliniowe (liniowe względem dwu bezwymiarowych unormowanych współrzędnych ξ, η [ 1, +1]): u n (ξ, η) (2 1) = {u(ξ, η), v(ξ, η)} = N n (2 8) qe (8 1) n u(ξ, η) = N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 + N 4 u 4 v(ξ, η) = N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 v 4

6 ES tarczowe dla UP ES płytowy czterowęzłowy Podsumowanie i klasyfikacja ES dla UP ES tarczowy Q4 Biliniowe funkcje kształtu dla ES tarczowego 4-węzłowego N1 = 14 (1 ξ)(1 η) N2 = 14 (1 + ξ)(1 η) N3 = 14 (1 + ξ)(1 + η) N4 = 14 (1 ξ)(1 + η)

7 ES tarczowy Q4 Bazowy element wzorcowy dla elementu Q4 Część obliczeń wykonywana jest na elemencie wzorcowym, np. wyznaczanie macierzy pochodnych funkcji kształtu: B = L N. Element wzorcowy: ξ, η [ 1, 1] [ ξ η { x, y = J [ x y } { ξ, η Macierz ] Jacobiego - relacja między pochodnymi ] [ x y ξ ξ, gdzie: J = x η } y η ]

8 ES tarczowy Q4 Wektor zastępników obciążeń powierzchniowych Wektor obciążeń powierzchniowych: Macierz funkcji kształtu: ˆp n e = {ˆp x, ˆp y } T [ ] N n (2 8) = N1 0 N 2 0 N 3 0 N N 1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 Wektor zastępników węzłowych obciążeń powierzchniowych: f(8 1) n e = N n (8 2) et ˆpn (2 1) e da A e Gdy fragment brzegu A e leży na brzegu obszaru A σ, to podobnie obliczamy wektor zastępników węzłowych obciążeń brzegowych f n e b(8 1).

9 ES tarczowy Q4 Macierz sztywności tarczowego ES 4-węzłowego Macierz sztywności: k e (8 8) n = B nt (8 3) Dn (3 3) Bn (3 8) da A e Macierz związków kinematycznych: N 1 B n x 0... (3 8) = N 0 1 y... 0 N 1 N 1 y x... N 4 x 0 N 4 y N 4 N 4 y x Macierz związków fizycznych: D n (3 3) = Dn 1 ν 0 ν ν Sztywność tarczowa: D n = E h 1 ν 2

10 ES wyższych rzędów ES izoparametryczne Aproksymacja geometrii: P Ω e : x P (ξ, η) = N(ξ, η) x e, gdzie: x i y i [ ] x j xp x P =, x y e = y j P x k y k x l y l ES jest izoparametryczny jeśli do aproksymacji geometrii i pola przemieszczeń wykorzystujemy te same węzły i te same funkcje kształtu. x(ξ, η) = N(ξ, η) x e u(ξ, η) = N(ξ, η) q e

11 ES wyższych rzędów ES wyższych rzędów tarczowe Typ: LST Q8 Q LSSE = 12 LSSE = 16 LSSE = Wzrastająca liczba węzłów podwyższa stopień wielomianu interpolacyjnego do opisu geometrii i pola przemieszczeń.

12 ES wyższych rzędów Trójkąt Pascala Q9 Q4 1 x y CST x 2 x y y 2 x 3 x 2 y x y 2 y 3 x 2 y 2 Q8 LST

13 ES wyższych rzędów Całkowanie numeryczne ES Kwadratura Gaussa 1 1 k e = B T DB h da = B(ξ, η) T D B(ξ, η) h det J dξdη A e 1 1 n m w i w j B T (i,j) D B (i,j) h det J (i,j) i=1 j=1 Całkowanie Q4 Q8 pełne (FI) zredukowane (RI)

14 ES płytowy dla płyt cienkich prostokątny, 4-węzłowy, dostosowany LSSW = 4 LWE = 4 LSSE = LSSW LWE = 16 Aproksymacji wewnątrz ES podlega funkcja ugięcia w(x, y) z użyciem następującego wektora węzłowych i elementowych SS: q m w(4 1) = {w, ϕ x, ϕ y, χ} T w = {w, w/ y, w/ x, 2 w/ x y} T w q e m (16 1) = {w 1, ϕ x1, ϕ y1, χ χ 4 } T

15 Aproksymacja pola ugięcia Bezwymiarowe współrzędne powierzchniowe ξ = 2 ( x a ) 1, η = 2 ( y b ) 1 Wielomianowa aproksymacja: w(ξ, η) = (α 1 + α 2 ξ + α 3 ξ 2 + α 4 ξ 3 )(β 1 + β 2 η + β 3 η 2 + β 4 η 3 ) = C 1 + C 2 ξ + C 3 η + C 4 ξ 2 + C 5 ξη + C 6 η 2 + C 7 ξ 3 + C 8 ξ 2 η + C 9 ξη 2 + C 10 η 3 + C 11 ξ 3 η + C 12 ξ 2 η 2 + C 13 ξη 3 + C 14 ξ 3 η 2 + C 15 ξ 2 η 3 + C 16 ξ 3 η 3 w(ξ, η) = N m m (1 16)(ξ, η) qe (16 1) = = {N1 1, N2 1, N3 1, N4 1, N N4 4 } {w 1, ϕ x1, ϕ y1, χ 1 w χ 4 } T

16 ES tarczowe dla UP ES płytowy czterowęzłowy Podsumowanie i klasyfikacja ES dla UP Bisześcienne funkcje kształtu dla pierwszego węzła elementu płytowego, 4-wezłowego (bazowego) N11 odpowiadająca w1 N12 odpowiadająca ϕx1 N13 odpowiadająca ϕy 1 N14 odpowiadająca χ1

17 Aproksymacja pól wtórnych Pola odkształceń i momentów Odkształcenia: e m = [3 1] [3 1] Lm N [1 16] qe [16 1] = B e [3 16] qe = [16 1] = {B 1, B 2, B 3, B 4 } {q 1, q 2, q 3, q 4 } T B i = L m N i = [3 4] [3 1][1 4] 2 / x 2 2 / y / x y [ N 1 i N 2 i N 3 i N 4 i ] Momenty zginające: s m = [3 1] [3 3] Dm [3 1] em = [3 3] Dm [3 16] Be qe [16 1]

18 Macierz sztywności płytowego ES 4-węzłowego Macierz sztywności: k e (16 16) m = B mt (16 3) Dm (3 3) Bm (3 16) da A e Macierz związków kinematycznych: B m (3 16) = Macierz związków fizycznych: 2 N 1 1 x 2 N x 2 N x 2 N x... 2 N x 2 2 N 1 1 y 2 N y 2 N y 2 N y... 2 N y N 1 1 x y 2 2 N 2 1 x y 2 2 N 3 1 x y 2 2 N 4 1 x y N 4 4 x y D m (3 3) = Dm Sztywność płytowa: D m = Eh3 12(1 ν 2 ) 1 ν 0 ν ν 0 0 2

19 ES płytowe dostosowane i niedostosowane Elementy dostosowane mają zapewnioną ciągłość funkcji ugięcia wb e=1 = wb e=2 i ciągłość pochodnych normalnej ( ) w e=1 n = ( ) w e=2 b n i stycznej ( ) w e=1 b s = ( ) w e=2 b s. b Elementy niedostosowane mają zapewnioną ciągłość funkcji ugięcia wb e=1 = wb e=2 i pochodnej stycznej ( w s ) e=1 b = ( w s ) e=2 b. 1 2 Dla elementów niedostosowanych powierzchnia w(x, y) nie jest gładka, a załomy na styku elementów mogą prowadzić w konsekwencji do rozwiązania odpowiadającego bardziej wiotkiej konstrukcji.

20 Diagram zależności P P 0 E U P P 0 E U σ E +h/2...z dz h/2 (Lm ) T s m ˆp = {ˆp z } D m ( ) N A fp e F K k e Q=F ɛ z e m L m u = {w} N q e A 1 Q ( ) oznacza [( L m ) T D m ( L m )]u m ˆp = 0 A oznacza symbol agregacji, A 1 oznacza powrót z U do E

21 Niekorzystne kształty ES Duża wartość współczynnika wydłużenia (aspect ratio) a a b b b h h b b α β a Prawie trójkąt: a b Trójkątny czworobok Ukosowanie: α β Położenie węzłów (off-center node) Silnie zakrzywiony brzeg

22 Wymagania dla powierzchniowych ES ES dla UP powinny: spełniać warunek geometrycznej izotropii, który wymaga równouprawnienia kierunków x i y (stosujemy tą samą aproksymację w każdym kierunku), mieć zdolność do zreprodukowania stanów stałych odkształceń oraz bezodkształceniowego ruchu sztywnego, zachować ciągłość na granicach międzyelementowych, posiadać odpowiedni stopień wielomianu interpolacyjnego do aproksymacji pola przemieszczeń i odkształceń (!).

23 Klasa ciągłości ES tarczowych i płytowych Tarczowe ES CST i Q4 Stosujemy biliniowe funkcje kształtu do aproksymacji pola przemieszczeń. Zapewniamy ciągłość pola przemieszczeń u klasy C 0. Pole odkształceń stanu membranowego jest opisane pochodnymi cząstkowymi rzędu p = 1. Wymagana jest ciągłość pochodnych przemieszczeń rzędu p 1 = 0. W konsekwencji na granicach międzyelementowych występują skoki wartości składowych wektora odkształcenia (naprężenia) ciągłość klasy C 1. Płytowe ES czterowęzłowe dostosowane Stosujemy bisześcienne funkcje kształtu do aproksymacji pola przemieszczeń (ugięcia). Pole odkształceń stanu giętnego jest opisane pochodnymi cząstkowymi rzędu p = 2. Wymagana jest ciągłość pochodnych ugięcia rzędu p 1 = 1. Ciągłość C 1 (ciągłość ugięcia i ciągłość pierwszych pochodnych) gwarantuje się w ES dostosowanych.

24 Charakter stanu, jaki panuje w ES Rozróżnia się trzy typowe stany: 1 stan membranowy rozpatrywany w powłokach, analogiczny do tarczowego w niezakrzywionych UP, czyli w tarczach, oznaczony indeksem n, 2 stan giętny, któremu towarzyszą w cienkich płytach i powłokach zerowe odkształcenia poprzecznego ścinania, oznaczony indeksem m, 3 stan poprzecznego ścinania, konieczny do uwzględnienia w zginanych ustrojach powierzchniowych umiarkowanie grubych, oznaczony indeksem t (nie był omawiany).

25 Klasyfikacja ES ze względu na analizowane zadania Wyróżniamy typy ES: dla tarcz (płaskiego stanu naprężenia), dla zginanych płyt cienkich oparte na jednoparametrowej teorii Kirchhoffa-Love a (K-L), dla zginanych płyt umiarkowanie grubych oparte na trójparametrowej teorii płyt Mindlina-Reissnera (M-R), dla zakrzywionych powłok oparte na trójparametrowej teorii powłok cienkich K-L, dla zakrzywionych powłok oparte na pięcioparametrowej teorii powłok umiarkowanie grubych M-R, powłokowe, tzw. zdegenerowane, oparte na równaniach kontinuum 3D, zmodyfikowanych hipotezami powłokowymi, spójne z pięcioparametrową teorią powłok cienkich i umiarkowanie grubych M-R, ES bryłowe do dyskretyzacji powłok grubych, korzystające z równań kontinuum 3D.

26 Literatura M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Skrypt PK, Kraków, A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, Cz. Cichoń, W. Cecot, J.Krok, P. Pluciński. Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji. Wybrane zagadnienia. Skrypt PK, wydanie 2, Kraków, G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice konstrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J Witt. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. University of Wisconsin Madison, John Wiley&Sons, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. VI edition, Elsevier Butterworth Heineman, 2005.