Podstawy mechaniki komputerowej

Transkrypt

1 Podstawy mechaniki komputerowej dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego Katedra Informatyki i Matematyki Stosowanej (8 maja 6) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

2 Informacje ogólne Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

3 Informacje ogólne Kontakt Budynek C, pokój 3.6 Strona przedmiotu, materiały do pobrania Materiały do pobrania, aktualności, terminy zaliczeń sk Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

4 Informacje ogólne Organizacja wykładów Wykłady są obowiązkowe (zgodnie z postanowieniami regulaminu), ale... Obecność na wykładach może nie być kontrolowana. Na wykłady czasem warto zajrzeć. Warunki zaliczenia wykładu Test zaliczeniowy po zakończeniu wykładów. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

5 Informacje ogólne Organizacja laboratoriów Zajęcia laboratoryjne są obowiązkowe. Dopuszcza się jedną nieobecność. Większa liczba nieobecności powoduje zmniejszenie oceny do niedostatecznej włącznie (3 lub więcej nieobecności). W przypadku usprawiedliwionej nieobecności zajęcia można odrobić z inną grupą (jeśli istnieje taka możliwość). Warunki zaliczenia laboratoriów Wykonanie ćwiczeń i raportów z zadanych przykładów obliczeń komputerowych. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

6 Informacje ogólne Treść wykładów Podstawowe pojęcia i definicje, sformułowanie lokalne i globalne problemu brzegowego. Metoda różnic skończonych dla równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadzenie do metody elementów skończonych, etapy procedury MES. Rozwiązanie MES problemu pręta rozciąganego, prętowy element skończony. Rozwiązanie MES problemu belki zginanej, belkowy element skończony. Rozwiązanie MES kratownicy, prętowy element skończony D. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

7 Informacje ogólne Treść laboratoriów Wprowadzenie do systemu Mathcad, obliczenia wektorowe i macierzowe w systemie Mathcad. Rozwiązanie problemu brzegowego metodą MRS sformułowanego lokalnie. Rozwiązanie statyczne pręta metodą MES. Rozwiązanie statyczne belki metodą MES. Rozwiązanie statyczne kratownicy metodą MES. Wprowadzenie do programu ABAQUS, analiza statyczna kratownicy. Analiza statyczna tarczy w systemie ABAQUS. Analiza statyczna płyty w systemie ABAQUS. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

8 Informacje ogólne Literatura Cichoń C. Metody obliczeniowe. Wybrane zagadnienia. Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce 5. Rakowski G., Kacprzyk Z. Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 993. Cichoń C, Cecot W, Krok J, Pluciński P. Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków. Jankowscy M. i J. Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz.. Wydawnictwo WNT, Warszawa 988. Dryja M., Jankowscy M. i J. Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz.. Wydawnictwo WNT, Warszawa 988. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

9 Uwagi wstępne Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

10 Uwagi wstępne Mechanika komputerowa Jest sposobem opisu problemów mechaniki ciała stałego lub mechaniki płynów (części fizyki), w których zwraca się szczególną uwagę na takie formułowanie problemu i jego rozwiązanie, aby w maksymalnym stopniu wykorzystać możliwości komputera. Spowodowało to konieczności przeformułowania klasycznych metod rozwiązania (metoda Galerkina przetworzona w metodę elementów skończonych) bądź opracowania nowych metod numerycznych (metoda Newtona rozwinięta w metodę Newtona-Raphsona). Mechanika komputerowa najczęściej wiązana jest z pakietami CAE (Computer Aided Engineering). Są to programy wykorzystujące zaawansowane metody komputerowe, umożliwiające modelowanie szeregu zjawisk fizycznych, zachodzących w układach o zróżnicowanym stopniu złożoności począwszy od prostych brył, skończywszy na kompletnych zespołach części. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

11 Uwagi wstępne Programy te umożliwiają symulację kinematyki lub dynamiki układu, analizę przepływu ciepła i masy, naprężeń i innych cech projektowanego wyrobu. Pozwala to na znaczne przyspieszenie procesu projektowania i przede wszystkim na obniżenie kosztów projektowania. Do tej grupy oprogramowania należą m. in. Abaqus, ADINA, ANSYS, NX Nastran, FEMAP. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

12 Uwagi wstępne Metody komputerowe Metody rozwiązań przybliżonych, wykorzystywane w mechanice komputerowej. W formułowaniu tych metod korzysta się w dużym stopniu z zaawansowanego aparatu matematycznego (metody wariacyjne, analiza funkcjonalna) co pozwala rozwiązywać skomplikowane zagadnienia i dowodzić zbieżności ich rozwiązania. Wśród metod komputerowych można wymienić metodę elementów skończonych (MES), metodę elementów brzegowych (MEB), uogólnioną metodę różnic skończonych (UMRS) czy bezelementową metodę Galerkina (BMG). Termin metoda komputerowa często jest używana jako nazwa procesu projektowania lub analizy konstrukcji z wykorzystaniem metod obliczeń przybliżonych, zaimplementowanych do komputera w formie programów napisanych w różnych językach programowania. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

13 Uwagi wstępne SL SG SW metody komputerowe MES, MEB, MRS idealizacja dyskretyzacja rozwiązanie obiekt rzeczywisty model matematyczny model numeryczny rozwiązanie dyskretne błąd rozwiązania błąd rozwiązania i dyskretyzacji błąd rozwiązania i modelowania Rys. : Schemat komputerowej analizy konstrukcji Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

14 Uwagi wstępne Symulacja komputerowa obliczeń składa się z czterech etapów. W etapie pierwszym ma miejsce idealizacja obiektu rzeczywistego poprzez przyjecie uzasadnionych założeń upraszczających oraz wyspecyfikowanie zmiennych najlepiej opisujących obiekt (model fizyczny). Założenia dotyczą przede wszystkim geometrii obiektu, materiału którego jest wykonany, obciążeń i przyszłych warunków użytkowania (warunków środowiskowych i okresu planowanej eksploatacji obiektu). Na tej podstawie budowany jest model matematyczny obiektu. Drugim etapem jest dyskretyzacja, przetwarzająca ciągły model matematyczny, na ogół w postaci układów równań różniczkowych, lub pewnego funkcjonału, w model numeryczny w formie układów równań algebraicznych. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

15 Uwagi wstępne Trzecim etapem symulacji komputerowej jest rozwiązanie, czyli napisanie stosownego programu komputerowego, przetestowanie i wykonanie obliczeń. I w końcu najważniejszy czwarty etap, jakim jest weryfikacja wyników obliczeń. Możliwości popełnienia błędów jest wiele, mogą one wystąpić na każdym z trzech pierwszych etapów. W rezultacie poprawiania tych błędów powinniśmy w końcu otrzymać rozwiązanie optymalne. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

16 Uwagi wstępne Modelem matematycznym mogą być odpowiednio sformułowane problemy brzegowe (lub początkowo brzegowe) dla równań różniczkowych (zwyczajnych lub cząstkowych) lub pewne funkcjonały podlegające minimalizacji. Pierwszy przypadek to sformułowanie lokalne (SL), drugi natomiast to sformułowanie globalne problemu (SG). W budowie komputerowej metody analizy konstrukcji preferowane jest sformułowanie globalne. Trudność jednakże polega na tym, że nie wszystkie problemy, a tylko tzw. problemy samosprzężone możemy równoważnie opisać w sformułowaniu lokalnym lub globalnym. Przykładem problemu samosprzężonego jest liniowy problem teorii sprężystości (LPTS) opisany 5. równaniami różniczkowo-algebraicznymi ze stosownymi warunkami brzegowymi lub pewnym funkcjonałem. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

17 Uwagi wstępne Funkcjonałem w LPTS będzie funkcjonał całkowitej energii potencjalnej układu. Jeśli rozważany problem w sformułowaniu lokalnym nie jest problemem samosprzężonym, można budować równanie całkowe wykorzystując metody wariacyjne (SW). Należy zauważyć, że klasyczna metoda różnic skończonych (MRS) jest wykorzystywana do bezpośredniego rozwiązywania problemów sformułowanych lokalnie. Metody komputerowe z matematycznego punktu widzenia są pewnymi procedurami rozwiązań, dostosowanymi do możliwości obliczeniowych, jakie powstały wraz z rozwojem komputerów i technik informatycznych. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

18 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

19 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Rozważmy pręt o powierzchni przekroju poprzecznego A(x) i długości L. Pręt zrobiony jest z materiału o module Younga E. Pręt jest obciążony obciążeniem ciągłym działającym wzdłuż osi pręta o intensywności q(x) i siłą skupioną P. q(x) E A(x) L P x Rys. : Pręt rozciągany Tak zdefiniowany problem może być uznany za problem jednowymiarowy, jeśli wymiary przekroju poprzecznego pręta są małe w stosunku do jego długości, co pozwala przyjąć, że naprężenia po wysokości pręta są pomijalnie małe w stosunku do naprężeń wzdłuż pręta. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

20 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Równanie różniczkowe, będące modelem matematycznym problemu pręta rozciąganego, otrzymamy rozważając nieskończenie mały element dx pręta. q(x) N(x) A(x) dx N(x)+dN(x) A(x+dx) x Rys. 3: Element dx pręta N(x) i N(x) +dn(x) są siłami normalnymi działającymi w przekrojach A(x) i A(x + dx). Korzystając z warunku równowagi możemy zapisać N(x)+ N(x)+ dn(x)+ q(x)dx =. () Zatem, nasze równanie będzie miało postać dn(x) + q(x) =, () dx < x < L. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

21 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Siłę normalną (podłużną) stanowi suma naprężeń normalnych na całym przekroju. Jeśli naprężenia są stałe w przekroju pręta, to możemy je określić z zależności σ x (x) = N(x) A(x), (3) i następnie N(x) =σ x (x)a(x). (4) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

22 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Wykorzystując równanie fizyczne (konstytutywne, Hooke a) określające zależność odkształcenia od naprężenia σ x (x) =E ε x (x), (5) i równanie geometryczne (Cauchy ego) wiążące ze zobą przemieszczenia i odkształcenia ε x (x) = du(x) dx, (6) będziemy mogli napisać N(x) =EA(x) du(x) dx. (7) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

23 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Wykorzystując zależność N(x) =EA(x) du(x) dx, (8) będziemy mogli zapisać równanie różniczkowe w formie lub jeśli EA = const. d dx ( EA(x) du(x) dx < x < L, ) + q(x) =, (9) EA d u(x) dx + q(x) =, () < x < L. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

24 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Do rozwiązania takiego równania różniczkowego potrzebne jest jeszcze sformułowanie warunków brzegowych na brzegach pręta. Równanie jest drugiego rzędu, zatem wymagane są dwa warunki brzegowe, ustalające wartość przemieszczenia u lub siły P. Jednoznaczność rozwiązania wymaga, aby warunki brzegowy podane były na dwóch różnych brzegach. u(x = ) =, () N(x = L) = EA du dx = P EA du x=l dx = P. () x=l Pierwszy warunek dla funkcji u nazywany jest podstawowym (kinematycznym) warunekiem brzegowym, natomiast drugi, dla pochodnej funkcji du jest nazywany dx naturalnym (statycznym) warunkiem brzegowym. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

25 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Ostatecznie model matematyczny problemu pręta rozciąganego będzie miał postać ( d EA(x) du(x) ) + q(x) =, (3) dx dx < x < L, u(x = ) =, (4) N(x = L) =EA du dx = P. (5) x=l Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

26 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego Równanie różniczkowe można zapisać w tzw. formie operatorowej Au = f, (6) gdzie A d ( A(x)E d ), (7) dx dx jest liniowym operatorem różniczkowym oraz f q(x). Taki zapis pozwala na ujednolicenie równań różniczkowych będących modelami matematycznymi różnych problemów fizycznych. Jeśli u(x) =T (x) będzie temperaturą w pręcie, E = k będzie współczynnikiem przewodzenia cieplnego materiału, a f (x) = Q(x) będzie ciepłem wytwarzanym lub dostarczanym przez brzeg, to podane równanie będzie modelem matematycznym problemu stacjonarnego przepływu ciepła. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

27 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

28 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Poprzednie równania problemu brzegowego sformułowaliśmy analizując stan równowagi w punkcie materialnym ciała. W efekcie otrzymaliśmy równanie różniczkowe. Taki sposób budowania modeli matematycznych uzasadnia nazwę sformułowanie lokalne problemu. Innym sposobem jest sformułowanie globalne, w którym rozwiązanie otrzymujemy w wyniku minimalizacji pewnego funkcjonału. W analizie zagadnień mechaniki ciała sprężystego takim funkcjonałem jest całkowita energia potencjalna. Problem, którego rozwiązanie można otrzymać rozwiązując równanie różniczkowe lub minimalizując odpowiedni funkcjonał, nazywa się problemem samosprzężonym. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

29 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Każde ciało pod działaniem sił zewnętrznych doznaje deformacji, na których siły obciążające wykonują pewną pracę L. Praca ta w przypadku adiabatycznego procesu termodynamicznego (takiego, podczas którego izolowany układ nie nawiązuje wymiany ciepła, lecz całość energii jest dostarczana lub odbierana z niego jako praca, nie zachodzi dyssypacja energii) jest niezależna od sposobu jej wykonania i równa się przyrostowi energii wewnętrznej układu W,czylitakiej funkcji, której przyrost jest równy pracy dostarczonej układowi L = W. (8) Równość ta wynika z I prawa termodynamiki dla procesów adiabatycznych. Takie cechy są charakterystyczne dla układów sprężystych. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

30 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Można dowieść, że w przypadku ciała sprężystego i obciążeń statycznych energia wewnętrzna układu jest jest równa energii potencjalnej, która równa się pracy sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych i nazywana jest energią sprężystą układu U. W = U. (9) Energia sprężysta Podsumowując, dla ciał sprężystych i procesu adiabatycznego energia sprężysta U to praca sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych. Energia ta jest odwracalna, co oznacza, że po usunięciu sił obciążających zużywa się na odzyskanie początkowej konfiguracji ciała i w nie naprężonym i nie odkształconym stanie jest równa zeru. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

31 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Energię sprężystą można zapisać w formie U = Φ dv. () V gdzie Φ jest energią sprężystą właściwą (gęstością energii sprężystej) i dla ciała Hooke a wynosi w zapisie wskaźnikowym Φ= σ ijε ij, () w zapisie macierzowym Φ= σt ε. () Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

32 Sformułowanie globalne problemu brzegowego x z S t S u t y g Na rysunku oznaczono: V objętośćciała, S brzeg ciała ze zdefiniowanymi warunkami brzegowymi, g wektor intensywności sił objętościowych, t wektor intensywności sił powierzchniowych. Rys. 4: Ciało Całkowita energia potencjalna ciała sprężystego będzie zatem równa Π=U L, (3) Π= ij ε ij dv Vσ i u i dv Vg t i u i ds, (4) S lub Π= Vσ T ε dv Vu T g dv u T t ds. (5) S Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

33 Sformułowanie globalne problemu brzegowego q(x) E A(x) L P x Rys. 5: Pręt rozciągany W przypadku sformułowania globalnego pręta rozciąganego, musimy wyznaczyć całkowitą energię potencjalną pręta Π Π=U L q L P, (6) gdzie U jest energią sprężysta pręta, L q jest pracą obciążenia ciągłego a L P to praca obciążenia skupionego. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 33/88

34 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Energia sprężysta wynosi wykorzystując dodatkowo U = V σε dv, (7) dv = A(x) dx, (8) σ x (x) =E ε x (x), (9) ε x (x) = du(x) dx, (3) możemy napisać U = LEA(x)ε (x) dx = ( ) du(x) EA(x) dx. L dx (3) Dla EA = const. będziemy mogli napisać U = ( ) du(x) EA dx. dx (3) L Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 34/88

35 Sformułowanie globalne problemu brzegowego Praca obciążenia ciągłego wynosi L q = q(x)u(x) dx, (33) a praca obciążenia skupionego na końcu pręta L L P = Pu(L). (34) Ostatecznie, całkowita energia potencjalna pręta wynosi Π=U L q L P = ( ) du(x) EA dx q(x)u(x)dx Pu(L). (35) L dx L Rozwiązaniem tak sformułowanego zadania będzie taka funkcja przemieszczenia u(x), dla której energia potencjalna Π osiągnie minimum. Spostrzeżenie: zależność na energię potencjalną Π nie zawiera drugiej pochodnej funkcji przemieszczeń d u, równanie różniczkowe zawierało! dx Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 35/88

36 Metoda różnic skończonych Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 36/88

37 Metoda różnic skończonych Co to jest MRS? Metoda różnic skończonych (MRS) jest przybliżoną metodą dyskretnego rozwiązywania problemów brzegowych, opisywanych zwyczajnymi lub cząstkowymi równaniami różniczkowymi. Idea metody polega na zamianie operatorów różniczkowych na odpowiednie operatory różnicowe (ilorazy różnicowe), określone na dyskretnym i regularnym zbiorze punktów, zwanych siatką. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 37/88

38 Metoda różnic skończonych Operatory różniczkowe: d dx ( ), d dy ( ), x ( ), y ( ); równanie różniczkowe I rzędu d dx ( ), d dy ( ), d dxdy ( ); równanie różniczkowe II rzędu d dx f (x) =x 4x + 3, (36) d dx f (x) =x 4x + 3, (37) problem pręta rozciąganego EA d u(x) dx + q(x) =, (38) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 38/88

39 Metoda różnic skończonych x ( ), y ( ), x y ( ), ( ) ( )+ x y ( ); przepływ ciepła w obszarze dwuwymiarowym T x + T y = Q k, (39) T = Q k, (4) tarcza ( x + ν y ( y + ν x ) u + + ν ) v + + ν v x y =, u x y =, (4) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 39/88

40 Metoda różnic skończonych d 4 dx 4, d 4 dy 4, 4 x 4, 4 y 4, 4 ( ) = ( ( )) 4 ( )+ x 4 x płyta ( ) 4 ( )+ y y 4 ( ); 4 w x 4 + w w x y + 4 w y 4 = q D, (4) 4 w = q D. (43) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

41 Metoda różnic skończonych Metodę różnic skończonych zastosujemy do rozwiązania równania d u = f (x, y) (44) dx W pierwszym kroku zamienimy operatory różniczkowe na odpowiednie operatory różnicowe, wykorzystamy szereg Taylora dla funkcji u(x, y) w otoczeniu u(x + h, y) i u(x h, y) du(x, y) u(x + h, y) =u(x, y)+ dx u(x h, y) =u(x, y) du(x, y) h + dx h + d u(x, y) dx h + d 3 u(x, y) 6 dx 3 h , (45) d u(x, y) dx h d 3 u(x, y) 6 dx 3 h (46) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

42 Metoda różnic skończonych Odejmując stronami i pomijając wyrazy z h i wyższe otrzymamy du(x, y) dx [u(x + h, y) u(x h, y)]. (47) h Powyższą zależność nazywa się wzorem różnicowym centralnym pierwszego rzędu. W przypadku sumowania stronami rozwinięć w szereg Taylora i po pominięci wyrazów z h 3 i wyższych, otrzymamy d u(x, y) dx [u(x + h, y) u(x, y)+u(x h, y)]. (48) h Powyższe zależności nazywają się wzorami różnicowymi drugiego rzędu. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

43 Metoda różnic skończonych Podstawiając wzory różnicowe do wyjściowego równania, otrzymamy u(x + h, y) u(x, y)+u(x h, y) =f (x, y), (49) lub u(x i+, y j ) u(x i, y j )+u(x i, y j )=f(x i, y j ). (5) Na rysunku poniżej znajduje się punkty występujące we wzorach różnicowych, tworzące tzw. gwiazdę różnicową. (x-h, y) h h (x, y) (x+h, y) Rys. 6: Gwiazda różnicowa dla węzła (x, y) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 43/88

44 Metoda różnic skończonych Dla dowolnej funkcji u(x) wyróżnijmy trzy punkty x i, x i i x i+ y u(x) u i+ u i u i- i- i i+ x Rys. 7: Funkcja u(x) dla których funkcja osiąga wartości u i, u i i u i+. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 44/88

45 Metoda różnic skończonych y u(x) u i+ Poprowadźmy 3 sieczne, i obliczmy wartość pierwszej pochodnej w punkcie i w sposób przybliżony jako tangens kąta nachylenia siecznej do krzywej (zamiast tangensa stycznej do krzywej). Jego wartość dla siecznej przechodzącej przez punkty x x i x x+ wynosi u i u i- i- i i+ x du(x) dx u i u i+ u i = u i+ u i. (5) x=xi x i+ x i h Z rysunku możemy wywnioskować, że wartość pierwszej pochodnej możemy otrzymać jako tangens kąta nachylenia dwóch innych siecznych przechodzących przez x i i x i+ oraz x i i x i du(x) dx du(x) dx x=xi x=xi u i u i+ u i x i+ x i = u i+ u i h u i u i u i = u i u i x i x i h iloraz różnicowy w przód, (5) iloraz różnicowy wstecz. (53) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 45/88

46 Metoda różnic skończonych y u(x) u i+ Aby obliczyć wartość drugiej pochodnej w punkcie i, policzmy najpierw pierwszą pochodną w punktach a i b, to jest w środkach obydwu odcinków h u i u i- i- i i+ x u a u i u i = u i u i, (54) x i x i h u b u i+ u i x i+ x i = u i+ u i. (55) h Wykorzystując powyższe zależności możemy napisać d u(x) dx u i u b u i = u i u i + u i+ h h. (56) x=xi Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 46/88

47 Metoda różnic skończonych Ilorazy różnicowe można przedstawiać w formie graficznej: d dx ( ), d dy ( ), x ( ), y ( ); h/ iloraz centralny - h h /h iloraz w przód - h h /h iloraz wstecz - h h Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 47/88

48 Metoda różnic skończonych d dx ( ), d dy ( ), x ( ), y ( ); /h - h h ( ); /h -4 h h h h Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 48/88

49 Metoda różnic skończonych 4 ( ); /h h h h h h h h h Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 49/88

50 Metoda różnic skończonych Zastosujmy wyprowadzone wzory różnicowe do rozwiązania zagadnienia deformacji pręta obciążonego obciążeniem o liniowym rozkładzie działającym wzdłuż osi pręta. q(x) E A L x Rys. 8: Problem deformacji pręta Przyjmując dane: sztywność pręta EA =, obciążenie q(x) =x, długość pręta L =, będziemy mogli zdefiniować równanie różniczkowe zagadnienia, Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

51 Metoda różnic skończonych które uprości się do postaci d u(x) dx = x, (57) < x < L, z warunkami brzegowymi w postaci u(x = ) =, du(x) dx =, (58) x=l lub krótko u (x) = x, u() =, u () =. (59) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

52 Metoda różnic skończonych Do dalszych obliczeń, przyjmijmy siatkę 6-węzłową, zatem odległość między węzłami wynosi h =,. q = q =, q 3 =,4 q 4 =,6 q 5 =,8 q 6 = x = x =, x 3 =,4 x 4 =,6 x 5 =,8 x 6 = u x u u u 3 u 4 u 5 u 6 u =u()= u' 6 =u'()= Rys. 9: Siatka MRS Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

53 Metoda różnic skończonych Zapiszmy układ równań MRS węzeł : u =, podstawowy warunek brzegowy, węzeł : u u + u 3 (, ) =,, iloraz różnicowy centralny, węzeł 3: u u 3 + u 4 (, ) =, 4, iloraz różnicowy centralny, węzeł 4: u 3 u 4 + u 5 (, ) =, 6, iloraz różnicowy centralny, węzeł 5: u 4 u 5 + u 6 (, ) =, 8, iloraz różnicowy centralny, u 6 u 5 węzeł 6: =,, wstecz. naturalny warunek brzegowy, iloraz różnicowy Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 53/88

54 Metoda różnic skończonych Po prostych przekształceniach otrzymamy układ równań a jego rozwiązanie wynosi u u u 3 u 4 u 5 u 6 5 = 5 3, (6) u =, u = 55 75, u 3 = 4 75, u 4 = 56 75, u 5 = 8 75, u 6 = (6) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 54/88

55 Metoda różnic skończonych,3, u u dokładne u MRS iloraz centralny,, u MRS iloraz wstecz,4,6,8 x Rys. : Przemieszczenia pręta Błąd względny (maksymalny) dla przemieszczenia w węźle 6 jest dość duży i wynosi 7,6%. Wynika to z faktu, że do dyskretyzacji naturalnego warunku brzegowego zastosowano iloraz róznicowy wstecz. Aby poprawić sytuację, należy użyć ilorazu różnicowego centralnego. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 55/88

56 Metoda różnic skończonych Rozwiążmy problem zginania cienkiej płyty, obciążonej obciążeniem równomiernie rozłożonym q. y C D w= w/ x = x w= w/ x= A B Rys. : Problem zginania płyty Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 56/88

57 Metoda różnic skończonych Modelem matematycznym jest równanie eliptyczne IV rzędu 4 q(x, y) w(x, y) = D, (6) gdzie sztywność płytowa D wynosi a t jest grubością płyty. t 3 D = E ( ν ), (63) Na brzegach AB i CD płyta jest zamocowana, a na brzegach AC i BD jest swobodnie podparta. Zatem warunki brzegowe będą wyglądały następująco: brzeg AB i CD, w =, w x =, brzeg AC i BD, w =, w x =. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 57/88

58 Metoda różnic skończonych y w 7 w w w w w w 8 w 5 w w w w w w w w 3 w 4 w 3 w w w w w w w w 3 w 4 w 5 w x Przyjmijmy następujące dane: wymiary płyty: m, grubość płyty: t = m, moduł Younga: E =, 9 N/m, współczynnik Poissona: ν =, 3, obciążenie: q = 3 N/m. Rys. : Siatka MRS Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 58/88

59 Metoda różnic skończonych Uwzględniając podwójną symetrię zadania, układ równań MRS możemy napisać następująco w 7 + w 5 + w + w + (w + w + w + w 4 ) 8(w + w + w + w 3 )+ +w = qh4 D, (64) w + w 6 + w + w + (w + w + w 3 + w 3 ) 8(w + w + w + w 4 )+ +w = qh4 D, (65) w 8 + w + w 3 + w + (w + w + w + w ) 8(w + w + w 4 + w )+ +w 3 = qh4 D, (66) w + w + w + w + (w + w + w + w ) 8(w + w 3 + w + w 3 )+ +w 4 = qh4 D, (67) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 59/88

60 Metoda różnic skończonych Z warunków brzegowych: brzeg AC brzeg CD w x = w 7 w + w h = w 7 = w, (68) w x = w 8 w + w 3 h = w 8 = w 3 (69) w x = w 5 w = w 5 = w, h (7) w x = w 6 w = w 6 = w h (7) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

61 Metoda różnic skończonych W zwartej formie układ równań można zapisać po rozwiązaniu otrzymamy w w w 3 w 4 = qh4 D, 384, 445, 4663, 633 w w w 3 w 4 = = qh4 D, 5, 69, 8, 466, (7). (73) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

62 Metoda różnic skończonych 75 y 5 -, -,5 -, -, ,5 -, -, x -, 75 5 y x 75 Rys. 3: Przemieszczenia płyty zginanej Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

63 Metoda różnic skończonych Podsumowanie: łatwa interpretacja modelu dyskretnego MRS oraz duża skuteczność w przypadku regularnego obszarów regularnych i regularnej siatki węzłów, możliwości korzystania z modelu lokalnego i globalnego, nie ma potrzeby konstruowania modelu wariacyjnego, trudność w zastosowaniu w obszarach o dowolnym kształcie, zwłaszcza gdy brzeg obszaru jest krzywoliniowy, brak możliwości lokalnego zagęszczania siatki, celem uzyskania możliwie najlepszego rozwiązania, przy najmniejszej liczbie stopni swobody; trudność w łączeniu obszarów o różnych wymiarach, np. belki (D) z płytą (D), trudność w uwzględnianiu niejednorodności typu matematycznego (różne sformułowania matematyczne w podobszarach), czy fizycznego (różny materiał w podobszarach) oraz obciążeń typu skupionego, przyłożonych w dowolnych punktach obszaru. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 63/88

64 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 64/88

65 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Metoda elementów skończonych (MES) jest pewną procedurą wariacyjną rozwiązywania równań różniczkowych, w której funkcje aproksymacyjne są wyznaczane w obszarze zastąpionym przez zbiór prostych podobszarów (elementów skończonych), na jakie obszar ten został podzielony. Funkcje aproksymacyjne są wielomianami algebraicznymi, wyznaczonymi według zasad aproksymacji interpolacyjnej. Co to jest MES dla inżyniera? MES jest numeryczną metodą obliczeniową, pozwalającą na znalezienie w sposób przybliżony i dyskretny funkcji rozwiązujących problem brzegowy. W przypadku interesujących nas zadań liniowej teorii sprężystości (mechanika ciała stałego), szukaną funkcją będą przemieszczenia, zatem będziemy mogli wyznaczyć również odkształcenia i naprężenia. Podstawową zaletą metody jest możliwość uzyskiwania wyników dla skomplikowanych kształtów, dla których niemożliwe jest przeprowadzenie obliczeń analitycznych. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 65/88

66 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Co wiemy o liczbie π? wynosi w przybliżeniu π 3, 45..., wyraża iloraz obwodu okręgu i jego średnicy, ma święto 4 marca (3.4). Jak obliczyć wartość liczby π? Rys. 4: Pomysł Archimedesa (5 BC) Średnia arytmetyczna z obwodu wielokątów wpisanego i opisanego na okręgu odniesiona do średnicy okręgu. Wykonał obliczenia dla wielokąta o 96 bokach. Otrzymał wynik π ( 3 7 ; 3 7) π 3, Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 66/88

67 Metoda podobna, choć troszkę nowsza. Wprowadzenie do metody elementów skończonych r d 6 5 i r l n j 3 4 Rys. 5: Dzielenie okręgu na n części (dyskretyzacja) Możemy napisać α = 36 n sin(α) = /l n r π = l d = l r, π n l n r l n l n, (74) α = 36 n, (75) l n = r sin(α), (76) = n r sin(α) r = n sin(α). (77) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 67/88

68 Policzmy Wprowadzenie do metody elementów skończonych n =, α = 8, sin(α) =, π, n =, α = 9, sin(α) =, π, 3 3 n = 3, α = 6, sin(α) =, π 3 n = 4, α = 45, sin(α) =, π 4... =, 598, =, 884, (78) Tabela : Kolejne przybliżenia wartości liczby π n π n π, 64 3, , 8 3, , , , , , , , , Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 68/88

69 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Co ma MES do π? MES = dyskretyzacja + aproksymacja (interpolacja) Postępowanie MES dla problemów mechaniki: dzielimy konstrukcję na proste fragmenty, które nazwiemy elementami skończonymi, elementy skończone są połączone ze sobą we wspólnych w węzłach, formułujemy zagadnienie dla każdego elementu skończonego, czyli w przypadku mechaniki określamy równania równowagi rozwiązania przybliżonego (zależności pomiędzy naprężeniami lub siłami uogólnionymi a przemieszczeniami w węzłach), składamy elementy skończone i rozwiązujemy całe zagadnienie uwzględniając warunki zgodności przemieszczeń w węzłach, warunki równowagi, warunki brzegowe, w wyniku tego wyznaczamy przemieszczenia w węzłach, dla każdego elementu skończonego, znając jego przemieszczenia, obliczamy siły, odkształcenia, naprężenia działające w elemencie. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 69/88

70 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Obiekt rzeczywisty Model obliczeniowy Idealizacja Dyskretyzacja Rys. 6: Idealizacja i dyskretyzacja konstrukcji Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

71 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Uwaga! Dla potrzeb zrozumienia podstawowych etapów procedury MES, znalezienia pewnych cech charakterystycznych ilustrujących metodę MES i zdefiniowania pewnych pojęć związanych z MES, tymczasowo potraktujemy metodę jako sposób bezpośredniego budowania równań równowagi konstrukcji, przez rozważenie równowagi pewnych podobszarów, a następnie ich złożenie w jeden, globalny układ równań równowagi. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

72 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Przykładem najprostszego elementu skończonego może być sprężyna o sztywności k. i e j F e i u e ke i F e j u e j x Rys. 7: Najprostszy element skończony Podstawowe parametry elementu skończonego: węzły: i, j (oznaczenie lokalne, związane z elementem skończonym), sztywność: k e, przemieszczenia w węzłach: ui e, ue j (oznaczenie lokalne), siły w węzłach: Fi e, F j e (oznaczenie lokalne). Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

73 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Związek siły z przemieszczeniem możemy napisać w postaci Korzystając z warunku równowagi, możemy napisać F e i + F e j F e = k e Δu e, (79) Δu e = uj e ui e. (8) = F e j = F e i = F e, (8) i dla każdego z dwóch węzłów Fi e = F e = k e ( uj e ui e ) = k e ui e k e uj e, (8) Fj e = F e = k e ( uj e ui e ) = k e ui e + k e uj e. (83) Zapiszmy ten układ w postaci macierzowej [ ][ k e k e u e i k e k e u e j ] = [ F e i F e j ]. (84) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 73/88

74 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po oznaczeniu [ K e k e k e k e k e [ u u e e i F e u e j [ F e i F e j ], (85) ], (86) ], (87) układ równań będzie miał formę K e u e = F e, (88) gdzie: K e macierz sztywności elementu skończonego, u e wektor przemieszczeń elementu skończonego, F e wektor sił węzłowych elementu (obciążenie, reakcje). Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 74/88

75 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Spostrzeżenia: [ K e = ] k e k e macierz sztywności K e jest symetryczna K e =(K e ) T, policzmy wyznacznik macierzy sztywności, (89) K e = k e k e ( k e )( k e )=(k e ) (k e ) =, (9) Co to oznacza? Czy możemy rozwiązać równania? Jaka jest interpretacja fizyczna? Warto zaznaczyć, że wystarczy podać tylko jeden warunek brzegowy dla przemieszczenia u e, żeby rozwiązać równania. Jeżeli ui e = (zamocowaliśmy koniec i sprężyny), to uj e = F e k e. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 75/88

76 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Rozważmy układ dwóch sprężyn 3 u F u F u 3 F 3 k u u k F F u u F F x u F Rys. 8: Dyskretyzacja układu dwóch sprężyn Dla każdego elementu skończonego, możemy napisać układ równań równowagi (używany oznaczeń lokalnych) [ ][ ] [ ] k k u F k k u = F, (9) [ ][ ] [ ] k k u F k k u = F. (9) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 76/88

77 Wprowadzenie do metody elementów skończonych W każdym węźle oznaczmy przemieszczenia (korzystamy z warunku zgodności przemieszczeń w węźle ) i siły, korzystając z warunku równowagi co prowadzi do zależności u = u, (93) u = u = u, (94) u 3 = u, (95) F = F, (96) F = F + F, (97) F 3 = F, (98) F = k u k u, (99) F = k u + k u + k u k u 3, () F 3 = k u + k u 3. () Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 77/88

78 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po przekształceniu otrzymamy F = k u k u, () F = k u + ( k + k ) u k u 3, (3) F 3 = k u + k u 3. (4) Wykorzystując powyższe równania, równania równowagi dla elementów skończonych w zapisie macierzowym będą miały postać k k k k + k k u u u u k k = u = F F F F u 3 u + F, (5) F 3 F lub krótko Ku = F, (6) gdzie: K globalna macierz sztywności, u globalny wektor przemieszczenia, F globalny wektor sił węzłowych. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 78/88

79 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Zapiszmy wkład równań równowagi dla elementu skończonego, rozszerzając macierze i wektory w taki sposób, aby zawierały wszystkie globalne przemieszczenia k k k k u u = F F, (7) u 3 k u k u + u 3 = F k u + k u + u 3 = F, (8) u + u + u 3 = i w podobny sposób dla drugiego elementu skończonego k k u u = F k k u 3 F. (9) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 79/88

80 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po dodaniu układów otrzymamy k k k k + k k k k czyli taki sam wynik jak poprzednio. u u u 3 = F F + F F, () Powyższa operacja składania lokalnych (dla pojedynczych elementów skończonych) układów równań równowagi do jednego globalnego (dla wszystkich elementów skończonych) układu równań równowagi nazywa się agregacją. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

81 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Należy zwrócić szczególna uwagę na sposób numerowania węzłów, który istotnie wpływa na wynikowe równania równowagi. Jeśli ponumerujemy węzły jak na rysunku 3 k k x u 3 F 3 u F u F Rys. 9: Inna numeracja węzłów nowe macierze sztywności i nowy układ równań będą miały postać K = k k, K = k k k k, () k k k + k k k k k u 3 u = F 3 F. () k k u F Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

82 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Rozwiążmy układ dwóch sprężyn, z zamocowaną sprężyną i obciążony dwiema siłami P. k k P 3 P x u F u F u 3 F 3 Rys. : Układ dwóch sprężyn Rozszerzone układy równań równowagi MES dla poszczególnych sprężyn będą miały postać k k k k u u = F F, (3) u 3 k k u u = F k k. (4) u 3 F Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

83 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po agregacji układ równań dla układu sprężyn można zapisać w postaci k k k k + k k u u = F F P, (5) k k u 3 F 3 P k k u + u 3 = F k +(k + k )u k u 3 = P k u + k u 3 = P. (6) Układ równań zawierający tylko zmienne pierwotne będzie miał postać [ ][ ] [ ] k + k k u P k k =, (7) u 3 P { (k + k )u k u 3 = P k u + k u 3 = P. (8) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 83/88

84 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Po pewnych przekształceniach otrzymamy { k u = P k u + k u 3 = P. (9) idodatkowo Rozwiązanieukładuwynosi u = P k, k u = F. () u 3 = P k + P k, F = P. () Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 84/88

85 Rozważmy układ trzech sprężyn. u F 3 3 Wprowadzenie do metody elementów skończonych k k k3 P u F u 3 F 3 u 4 F 4 Rys. : Układ trzech sprężyn Macierze sztywności elementów będą wynosiły odpowiednio [ ] [ ] [ K =, K =, K 3 = a globalna macierz sztywności K = x Przyjmijmy następujące dane: sztywności sprężyn: k = N /mm, k = N /mm, k 3 = N /mm, siła P = 5 N. ], (). (3) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 85/88

86 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Globalny układ równań MES 3 3 u u u 3 u 4 = F F F 3 5 F 4. (4) Układ równań zawierające tylko zmienne pierwotne będzie wynosił [ ][ ] [ ] 3 u =, (5) 3 u 3 5 idodatkowo { u = F u 3 = F 4. (6) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 86/88

87 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Rozwiązanieukładuwynosi u = mm, u 3 = 3mm, F = N F 4 = 3 N. (7) F =- N u = mm F 3 =5 N u 3 =3 mm F 4 =-3 N x Rys. : Przemieszczenia i reakcje Sprawdźmy poprawność obliczonych reakcji: P + F + F 4 = 5 3 =. (8) Jakie wartości osiągają siły F i F działające na sprężynę : K u = F, (9) [ ][ ] [ ] k k u u k k F u 3 u = F, (3) [ ][ ] [ ] [ ] [ ] F = F =. (3) 3 F F Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 87/88

88 Procedura agregacji raz jeszcze. Wprowadzenie do metody elementów skończonych 4 k 4 k 4 P x P 3 3 k k 3 5 u Rys. 3: Układ czterech sprężyn Zbudujmy macierz topologii łączącą lokalne numery węzłów elementów skończonych i i j z globalnymi numerami węzłów. Tabela : Macierz topologii Element Węzeł i = Węzeł j = Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 88/88

89 Wprowadzenie do metody elementów skończonych Element Węzeł i = Węzeł j = Macierze sztywności poszczególnych elementów wynoszą K = 4 [ 4 k k k k ], K = 3 [ 3 k k k k ], (3) K 3 = 3 5 [ 3 5 k 3 k 3 k 3 k 3 ], K 4 = [ k 4 k 4 k 4 k 4 ]. (33) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 89/88

90 Wprowadzenie do metody elementów skończonych K = 4 [ 4 ] k k k k, K = 3 [ 3 ] k k k k, (34) 3 5 K 3 = 3 [ ] k 3 k 3 5 k 3 k 3, K 4 = Zagregowana macierz sztywności będzie miała postać [ ] k 4 k 4 k 4 k 4. (35) K = k 4 k 4 k 4 k + k + k 4 k k k k + k 3 k 3 k k k 3 k 3. (36) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

91 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 4 k 4 k 4 P x P 3 3 k k 3 5 u Końcowy, globalny układ równań k 4 k 4 k 4 k + k + k 4 k k k k + k 3 k 3 k k k 3 k 3 U U U 3 U 4 U 5 Δu = F P F F 3 P F 4 F 5. (37) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

92 Etapy procedury MES Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

93 Etapy procedury MES P Dyskretyzujemy obszar 3 Agregujemy, uwzględniamy warunki brzegowe, rozwiązujemy równania P K K KU=F Obliczamy macierze sztywności elementów (interpolacja) Wyznaczamy siły (naprężenia) w elementach skończonych k k K u =F K u =F K u K u Rys. 4: EtapyproceduryMES K u =F K u =F Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 93/88

94 Etapy procedury MES Rozwiązanie typowego problemu metodą elementów skończonych jest realizowane w następujących etapach: dyskretyzacja (podział obszaru na podobszary), wynikiem której jest zastąpienie obszaru zbiorem elementów skończonych; liczba, kształt i typ elementu zależą od rozwiązywanego problemu; w tym etapie ustala się liczbę elementów skończonych, liczbę i współrzędne węzłów oraz tablicę topologii (incydencji), wyznaczenie równań MES dla elementów; sformułowanie równania; aproksymacja nieznanych funkcji w elementach, agregacja (złożenie) elementów, czyli budowa układu równań przy wykorzystaniu warunku zgodności zmiennych węzłowych oznaczającego, że wartości tych zmiennych we wspólnym węźle są takie same; otrzymujemy układ równań MES całego problemu, uwzględnienie naturalnych i podstawowych warunków brzegowych, czyli wprowadzenie ich do zagregowanego układu równań, rozwiązanie równań ze względu na niewiadome węzłowe, obliczenie dodatkowych wielkości, czyli obliczenie wartości funkcji rozwiązania i ich pochodnych, w innych niż węzły punktach obszaru. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 94/88

95 Inne typy elementów skończonych. Etapy procedury MES Rys. 5: Przykłady elementów skończonych Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 95/88

96 Funkcje kształtu Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 96/88

97 Funkcje kształtu Po rozwiązaniu równań MES, otrzymamy wartości szukanych przemieszczeń (lub innych niewiadomych) w węzłach. u u(l/)=? u u L x Rys. 6: Przemieszczenie w środku elementu skończonego Jak wyznaczyć przemieszczenie (lub inną niewiadomą) w środku elementu skończonego? możemy zwiększyć liczbę elementów skończonych, tak aby w interesującym miejscu znalazł się węzeł, możemy założyć jakiś sposób zmiany interesującego nas przemieszczenia w elemencie i opisać go funkcją (aproksymacja, interpolacja). Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 97/88

98 Funkcje kształtu u u(l/)=? u u L x Rys. 7: Interpolacja liniowa W drugim przypadku, najprostszą funkcją może być funkcja liniowa w postaci u(x) = ax + b. Dla elementu o długości L, musi spełniać następujące warunki: na początku elementu skończonego, czyli dla x = musimiećwartośću u() =a + b = u, (38) na końcu elementu skończonego, dla x = L musi mieć wartość u u(l) =a L + b = u. (39) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 98/88

99 Funkcje kształtu Powyższe równania pozwolą nam wyznaczyć nieznane współczynniki a i b, które wynoszą a = u u, L (4) b = u, (4) funkcja opisująca wartość przemieszczenia w elemencie będzie miała postać Spostrzeżenia: u(x) = u u x + u. (4) L łatwo obliczyć takie funkcje, każdy element będzie miał inną funkcję aproksymacyjną, jeśli element będzie miał jeszcze jakieś inne stopnie swobody (np. przemieszczenia w innych płaszczyznach, kąty obrotu) to trzeba wyznaczyć funkcję dla każdego stopnia swobody, współczynnik a nie ma fizycznej interpretacji. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 99/88

100 Funkcje kształtu Czy można inaczej (lepiej)? Przekształćmy naszą funkcję u(x) = u u x + u = u L L x u L x + u = u ( L x ) + u ( L x ), (43) po oznaczeniu N (x) = x L, N (x) = x L, (44) będziemy mogli napisać u(x) =N (x)u + N (x)u. (45) Funkcja u(x) teraz jest kombinacją liniową wyrażeń N (x), N (x) i przemieszczeń w węzłach u i u. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

101 Funkcje kształtu Sprawdźmy własności wyrażeń N (x) i N (x) w węzłach: dla x = N () = L =, N () = =, (46) L dla x = L N (L) = L L = =, N (L) = L =. (47) L u N (x) N (x) L x Rys. 8: Funkcje N (x) i N (x) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

102 Funkcje kształtu Otrzymane funkcje N (x) i N (x) są liniowymi funkcjami interpolacyjnymi Lagrange a. W MES funkcje interpolacyjne noszą nazwę funkcji kształtu. Stosuje się też inne rodzaje funkcji interpolacyjnych, np. Hermita, Serendipa. u u u N (x)u N (x)u L x Rys. 9: Interpolacja liniowa Lagrange a w elemencie dwuwęzłowym Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

103 Funkcje kształtu Ogólną postać interpolacji Lagrange a można napisać w formie u n (x) = n N n,i (x)u i = N n, (x)u +N n, (x)u +N n, (x)u +...+N n,n (x)u n, (48) i= gdzie n określa stopień wielomianu interpolacyjnego, a i to numer funkcji. Spostrzeżenia: otrzymana forma funkcji u(x) ma przejrzystą strukturę, składa się z podobnych części, każda część to iloczyn przemieszczenia w węźle u i (wartość, która ma interpretację fizyczny) i funkcji kształtu N i (x), wartość funkcji kształtu N i (x) przedstawia wkład przemieszczenia u i do wartości przemieszczenia u(x) wewnątrz elementu, funkcje N i (x) będą takie same dla wszystkich elementów tego samego typu (zależą tylko od jego długości) funkcje N i (x) będą takie same dla każdego stopnia swobody. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 3/88

104 Funkcje kształtu Funkcje interpolacyjne Lagrange a (funkcje bazowe Lagrange a) mają postać ogólną N n,i (x) = n j= j i x x j = (x x )(x x )...(x x i )(x x x+ )...(x x n ) x i x j (x i x )(x i x )...(x i x i )(x i x i+ )...(x i x n ), (49) u u x 3 x Rys. 3: Interpolacja Lagrange a dla elementów dwu- i trzywęzłowych Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 4/88

105 Funkcje kształtu u Rys. 3: Aproksymacja liniowymi funkcjami kształtu x Spostrzeżenia: używanie elementów skończonych z taką interpolacją funkcji przemieszczenia powoduje zastąpienie realnego rozkładu linią łamaną, w ten sposób można przybliżyć każdą funkcję ciągła z dowolną dokładnością, im więcej elementów, tym lepiej. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 5/88

106 Analiza statyczna MES pręta Informacje ogólne Uwagi wstępne 3 Sformułowanie lokalne problemu brzegowego 4 Sformułowanie globalne problemu brzegowego 5 Metoda różnic skończonych 6 Wprowadzenie do metody elementów skończonych 7 Etapy procedury MES 8 Funkcje kształtu 9 Analiza statyczna MES pręta Belkowy element skończony Elementy w D Ramowy element skończony Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 6/88

107 Analiza statyczna MES pręta Wspomnieliśmy, że metoda MES jest wariacyjną metodą rozwiązywania równań różniczkowych. Metody wariacyjne pozwalają na szukanie rozwiązania równania różniczkowego budując ważone równania całkowe, które w naturalny sposób tworzą bazę dla otrzymania rozwiązań przybliżonych. Podstawowym modelem będzie sformułowanie lokalne w postaci równania różniczkowego. Wśród metod wariacyjnych możemy wyróżnić metodę Rayleigha-Ritza, lub metody residuów ważonych np. kollokacji, najmniejszych kwadratów, Bubnowa-Galerkina. Problem liniowej teorii sprężystości jest problemem samosprzężonym. W takim przypadku nie musimy budować równania całkowego wykorzystując metody wariacyjne. Wygodniej będzie skorzystać ze sformułowania równoważnego podejściu wariacyjnemu, jakim będzie minimalizacja pewnego funkcjonału. Takim funkcjonałem, jak już wcześniej wspomniano, jest funkcjonał całkowitej energii potencjalnej. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 7/88

108 Analiza statyczna MES pręta Obliczmy całkowitą energię potencjalną sprężyny Π R F k u F P x Rys. 3: Odkształcona sprężyna i dalej Π=U L, (5) U = Fu = ku, (5) L = Pu, (5) zatem Π(u) = ku Pu. (53) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 8/88

109 Analiza statyczna MES pręta Zasada minimum energii potencjalnej (twierdzenie Lagrange a) mówi, że każdy układ fizyczny dąży do osiągnięcia stanu o minimalnej energii potencjalnej. Taki punkt będzie stanem równowagi. U, W U u=p/k W Π u Rys. 33: Minimum energii potencjalnej Policzmy min[π(u)] dπ(u) = ku P =. (54) du Z powyższej zależności możemy określić przemieszczenia w punkcie równowagi. u = P k. (55) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej 9/88

110 Analiza statyczna MES pręta Rozwiążmy problem pręta rozciąganego o zmiennym polu przekroju, obciążony dwoma siłami skupionymi P, P i obciążeniem ciągłym q(x) q(x) E A(x) L/3 P L P x Rys. 34: Pręt Całkowita energia potencjalna obciążonego pręta (przypadek jednowymiarowy) Π=U L, (56) gdzie U jest energią sprężystą, U = L E A(x)(u (x)) dx, (57) Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

111 Analiza statyczna MES pręta a L jestpracąobciążeńzewnętrznych L = L q(x)u(x) dx + Siły F i są uogólnionymi siłami węzłowymi, a Q i są uogólnionymi przemieszczeniami na kierunkach tych sił. n F i Q i. (58) Biorąc pod uwagę geometrię i sposób obciążenia pręta, możemy go zdyskretyzować w następujący sposób i= q(x) x=l/3 x= E A q(x) x=l x=l/3 E A 3 F u L/3 u u F 3 L/3 F 3 u =u()= x Rys. 35: Dyskretyzacja pręta Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88

112 Analiza statyczna MES pręta Następnie zdefiniujmy globalny wektor stopni swobody Q ({ } oznaczają wektor kolumnowy, { } T [ ]) i globalny wektor sił węzłowych F W wektorze Q zawarte są: Q = { Q Q Q 3 } { u u u 3 }, (59) F = { F F F 3 }. (6) kinematyczny (podstawowy) warunek brzegowy Q u =, niewiadome kinematyczne (pierwotne) Q i Q 3. WwektorzeF zawarte są: statyczne (naturalne) warunki brzegowe F = P i F 3 = P, niewiadoma statyczna (wtórna) F. Koczubiej Podstawy mechaniki komputerowej /88