Waga szalkowa i uogólniony problem fałszywej monety

Transkrypt

1 Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety Marcel Kołodziejczy Hugo Steinhaus w Kalejdosopie matematycznym ([7]) przedstawił następujące zadania: oraz Mamy dziewięć monet pozornie jednaowych. Wiemy, że jedna z nich (nie wiemy tóra) jest fałszywa i waży mniej od pozostałych. Trzeba ją wyryć w dwóch ważeniach na wadze szalowej bez użycia odważniów (wolno łaść po ila monet na ażdej szalce). Mamy trzynaście monet, z tórych doładnie jedna jest fałszywa, ale nie wiemy, czy jest cięższa, czy lżejsza od monet dobrych. Mamy ją wyryć w trzech ważeniach na wadze szalowej. Podobne zadania związane z użyciem wagi szalowej można znaleźć w wielu innych publiacjach, np. [3], [4], [5]. W niniejszej pracy przedstawiam rozważania dotyczące możliwie szeroiej lasy podobnych problemów. Łącznie rozważę 48 wariantów zadań Steinhausa. Ze względu na dużą ich liczbę oraz znaczne podobieństwo podam treści wszystich tych wariantów łącznie. Konretny wariant będzie wyznaczony przez wybór pięciu liter. Dane są dwie liczby naturalne n i. Wiemy, że wśród n monet A) na pewno B) być może jedna moneta jest fałszywa i ma inną masę niż pozostałe monety. C) Wiemy D) Nie wiemy czy jest ona cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet. Oprócz tego mamy do dyspozycji E) 0 F) 1 G) niesończenie wiele dodatowych monet dobrych. Naszym zadaniem jest ustalić, czy da się za pomocą ważeń na wadze szalowej, bez użycia odważniów (używamy tylo monet) H) stwierdzić czy tóraś z monet jest fałszywa, a jeśli ta, to wsazać ją. I) stwierdzić czy tóraś z monet jest fałszywa, a jeśli ta, to wsazać ją i oreślić, czy jest cięższa, czy lżejsza od dobrych monet. Ponadto od tych ważeń J) wymaga się K) nie wymaga się aby to jaie monety biorą udział w olejnych ważeniach było wiadome jeszcze przed wyonaniem pierwszego ważenia (czyli nie możemy uzależnić wyboru monet do ważenia od wyniów wcześniejszych ważeń). Treść pojedynczego wariantu jest wyznaczona przez wybranie jednej z liter A lub B, jednej z liter C lub D, jednej z E, F lub G oraz H lub I i jednej z liter J lub K. 1

2 Marcel Kołodziejczy Oryginalne zadania Steinhausa można oreślić zatem jao warianty ACEHK z n=9 i = oraz ADEHK z n=13 i =3 naszego uogólnionego zadania. Łącznie rozważamy 3 =48 wariantów zadania ((A/B)(C/D)(E/F/G)(H/I)(J/K)), przy czym nietóre z nich tylo nieznacznie różnią się od innych. Na przyład w wariancie ACEIJ wymaga się ustalenia, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od monet dobrych (I), podczas gdy informację taą mamy daną (C). Wariant ten zatem nie różni się istotnie od ACEHJ. Często w pracy będę pisać jednocześnie o pewnych grupach wariantów zadania. Będę wówczas nietóre z liter zastępować gwiazdą, co będzie oznaczało dowolność wyboru litery na danej pozycji. Na przyład zapis AC*** oznacza wszystie zadania, w tórych wiemy, że na pewno jedna z monet jest fałszywa i wiemy, czy jest ona cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet. Dla ustalonych n, oraz wariantu zadania odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie może być twierdząca lub przecząca. W przypadu odpowiedzi przeczącej muszę uzasadnić, że fatycznie ważeń nie wystarcza do wsazania fałszywej monety, natomiast w przypadu odpowiedzi twierdzącej muszę podać algorytm wyonywania ważeń. Podam teraz w tabelach wynii, tóre następnie uzasadnię. W wariantach *C*** (wiemy, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet) odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie jest pozytywna, gdy A (na pewno tóraś moneta jest fałszywa) Zadanie ma sens dla n 1 B (być może tóraś moneta jest fałszywa) J (ważenia zaplanowane z góry) E (nie mamy monet dodatowych) K (nie trzeba planować ważeń z góry) F/G (mamy dodatowe dobre monety) n 3 n 3 n 3 n 3-1 n 1 n 3 - n 3-1 n 1 n 3-1 W wariantach *D*** (nie wiemy, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet) odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie jest pozytywna, gdy A (na pewno tóraś moneta jest fałszywa) Zadanie ma sens dla n 1 H (nie musimy ustalać czy fałszywa moneta jest cięższa czy lżejsza) I (mamy ustalić czy fałszywa moneta jest cięższa czy lżejsza) B (być może tóraś moneta jest fałszywa) E (nie mamy dodatowych monet) n (3-1)/ n n (3-3)/ n 1 n n (3-3)/ lub n=0 n 1 n F/G (mamy dodatowe dobre monety) n (3 +1)/ n (3-1)/ n (3-1)/ Na przyład nie jest możliwe wsazanie wśród 40 monet fałszywej monety poprzez wyonanie 4 ważeń na wadze szalowej, gdy nie mamy dodatowych monet, nie wiemy, czy fałszywa moneta

3 Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety 3 w ogóle istnieje i czy gdyby istniała byłaby cięższa, czy lżejsza od pozostałych (40>39=(3 4-3)/). Jest to odpowiedź wspólna dla wszystich wariantów BDE**. Autorzy zbioru zadań [5] piszą, że nie znają odpowiedzi dla wariantu ADEHK. Należy zauważyć, że w wariantach A**** zadanie ma sens tylo dla n 1. Istotnie, soro na pewno jedna moneta jest fałszywa, to nie może być n=0. Z powyższych tabel wynia, że gdy mamy do dyspozycji dodatowe monety, wówczas nie ma znaczenia ich liczba. Zawsze poradzimy sobie wyorzystując tylo jedną z nich. Niemal zawsze ważenia można zaplanować z góry. Jedynymi wyjątami są warianty BCE*K, w przypadu tórych nie możemy zaplanować ważeń gdy n=3 -. Poażemy, że zależności między n i podane w tabelach są warunami oniecznymi i dostatecznymi do tego, by wymagane ważenia dało się wyonać. Konieczność warunów podanych w tabelach Rozumowanie będzie polegało na zliczaniu możliwych wyniów ważeń i porównywaniu ich z ilością możliwych odpowiedzi do danego zadania. Jeśli możliwych wyniów ważeń oaże się mniej niż możliwych odpowiedzi, wówczas informacja uzysana po wyonaniu ważeń nie jest wystarczająca do wsazania odpowiedzi. Wiemy, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet (warianty *C***) W wariantach AC*** (na pewno tóraś moneta jest fałszywa i wiemy czy jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych, w szczególności zadanie nie ma sensu gdy n=0) mamy poazać, że gdy n>3 wówczas odpowiednich ważeń nie da się wyonać. Istotnie, jedno ważenie daje jeden z trzech wyniów (równowaga, wychylenie wagi w prawą lub w lewą stronę). ważeń daje jeden z 3 wyniów. Tymczasem fałszywa moneta może być jedną z n>3 monet. Informacja uzysana w ważeniach nie pozwala zatem jednoznacznie wsazać fałszywej monety. Podobnie, w wariantach BC*** możliwych wyniów ważeń jest 3 natomiast możliwych odpowiedzi jest n+1 (tóraś z n monet jest fałszywa lub wszystie monety są dobre). Gdy n>3-1, wówczas n+1>3, zatem ważeń nie wystarczy. Warune n 1 w przypadach BCE** wynia stąd, że jeśli mamy tylo jedną monetę i nie mamy żadnych innych monet, moneta ta może być równie dobrze fałszywa ja i prawdziwa (nie mamy żadnych wzorców do porównania). W przypadu BCE*J muszę poazać, że ważeń nie wystarczy do wsazania fałszywej monety wśród 3 - monet. Przeprowadzę dowód nie wprost. Oczywistym jest, że w ażdym ważeniu na prawej i na lewej szalce powinna znajdować się taa sama liczba monet. Ponumerujmy monety liczbami 1,,, 3 -. Zaplanowanie ważeń oznacza przyporządowanie ażdej monecie wartości oreślających położenie tejże monety w poszczególnych ważeniach. Doładniej, i-tej monecie przyporządowana zostaje -ta (w i 1,w i,,w i ), gdzie w i j {P,0}. w i j=p, w i j= w i j=0 oznaczają, że moneta o numerze i w j-tym ważeniu będzie leżała odpowiednio na prawej, na lewej szalce, nie będzie brała udziału w j-tym ważeniu. -ti przyporządowane różnym monetom muszą

4 Marcel Kołodziejczy 4 być różne i żadna z nich nie może być -tą zerową (0,0,,0). Wszystich niezerowych -te jest 3-1, natomiast monet jest 3 -. Oznacza to, że monetom przyporządowane są wszystie niezerowe -ti z wyjątiem jednej (w 1,w,,w ). Ponieważ -ta ta jest niezerowa, więc w j 0 dla pewnego j. Załóżmy, bez zmniejszania ogólności, że w j =L. Liczba tych i, dla tórych w i j=l wynosi wówczas , natomiast liczba tych i, dla tórych w i j=p wynosi 3-1. Oznacza to, że w j-tym ważeniu na lewej szalce będzie o jedną monetę mniej niż na prawej szalce, co prowadzi do sprzeczności. Nie wiemy, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet (warianty *D***) Zajmijmy się wariantami AD(F/G)I*. Ponieważ musimy ustalić, czy fałszywa moneta (tóra na pewno istnieje) jest cięższa czy lżejsza od pozostałych, zatem w przeprowadzonych ważeniach nie mogą wystąpić same równowagi (uniemożliwiałoby to oreślenie wagi fałszywej monety). Możliwych wyniów ważeń jest zatem co najwyżej 3-1, natomiast możliwych odpowiedzi n (należy wsazać jedną z n monet i oreślić czy jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych). Jeśli n>(3-1)/, wówczas n>3-1, zatem ważeń nie wystarczy. Dla przypadów BD(F/G)** zauważmy, że nawet jeśli nie musimy oreślić czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych, to informację tą i ta uzysujemy. Możliwych wyniów ważeń jest 3 natomiast możliwych odpowiedzi jest n+1 (tóraś z n monet jest cięższa lub lżejsza albo wszystie monety są dobre). Jeśli n>(3-1)/, wówczas n+1>3, zatem ważeń nie wystarczy. Przypadi AD(F/G)H*. Załóżmy, że ważeń wystarczy do spełnienia warunów narzuconych przez zadanie. Możliwych wyniów ważeń jest 3. Gdy wyniiem tym będzie równowag nie będziemy w stanie oreślić czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych, natomiast gdy w co najmniej jednym z ważeń waga się wychyli, wówczas nie tylo wsażemy fałszywą monetę, ale dodatowo oreślimy jej wagę względem dobrych monet. Daje to nierówność (n-1)+1 3, czyli n (3 +1)/. W przypadach *DE** podany w tabeli warune n wynia stąd, że jeśli mamy doładnie dwie monety i nie wiemy czy fałszywa moneta jest cięższa czy lżejsza od monet dobrych to nie możemy wsazać fałszywej monety. Warune n 1 w wariantach BDE** z olei wynia stąd, że jeśli mamy tylo jedną monetę i nie mamy żadnych innych monet, moneta ta może być równie dobrze fałszywa ja i prawdziwa (nie mamy żadnych wzorców do porównania). Podobnie w przypadu ADEI* co prawda wiemy, że jedyna moneta jest fałszywa, ale nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy jest ona cięższa, czy lżejsza od monet prawdziwych (tórych nie mamy do dyspozycji). Uzasadnimy teraz nierówność n (3-3)/ dla przypadu ADEI*. Załóżmy, że n oraz są taie, że odpowiednie ważenia można wyonać. Niech m będzie liczbą monet, tóre położymy na ażdej szali w pierwszym ważeniu. Jeśli w ważeniu tym wystąpi równowaga, wówczas fałszywą monetą jest jedna z n-m monet, tóre nie brały udziału w tym ważeniu. Pozostałe -1 ważeń muszą nam zatem umożliwić wyrycie fałszywej monety i ustalenie jej wagi wśród n-m monet. Daje to nierówność (1) (n-m) 3-1. Jeżeli w pierwszym ważeniu waga wychyliła się, to fałszywą monetą jest tóraś z m monet biorących udział w pierwszym ważeniu. Pozostałe -1 ważeń muszą nam zatem umożliwić

5 Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety 5 wyrycie fałszywej monety (i ustalenie jej wagi) wśród m monet. Daje to nierówność m 3-1, czyli () m 3-1. Czynni po prawej stronie nierówności bierze się stąd, że w pierwszym ważeniu waga mogła wychylić się w prawo lub w lewo. Po uwzględnieniu nieparzystości 3-1, nierówności te przyjmują postać (n-m) m Dodając do pierwszej z tych nierówności drugą pomnożoną stronami przez dostajemy n , czyli n (3-3)/. W przypadu BDE** zauważmy, że jeśli wyryliśmy fałszywą monetę, to w tórymś z ważeń waga musiała się wychylić. Oznacza to, że nie tylo wyryliśmy fałszywą monetę, ale taże ustaliliśmy, czy jest ona cięższa, czy lżejsza od monet prawdziwych. Musi być zatem spełniona nierówność n (3-3)/ poazana dla wariantów ADEI*. Dowód tego, że dla wariantów ADEH* nierówność n (3-1)/ musi być spełniona jest podobny do dowodu nierówności n (3-3)/ dla przypadu ADEI*. Jedyna różnica polega na tym, że w przypadu wystąpienia równowagi w pierwszym ważeniu pozostałe -1 ważeń muszą nam umożliwić wyrycie fałszywej monety wśród n-m monet lub ustalenie, że wszystie monety są prawdziwe. Nierówność (1) przybierze postać (n-m-1) (Zauważmy, że jeśli nie wszystie wynii ważeń były równowagami, wówczas nie tylo wsażemy fałszywą monetę, ale taże ustalimy, czy jest ona cięższa, czy lżejsza od monet prawdziwych.) Udowodniliśmy, że waruni podane w tabelach są onieczne do tego, aby możliwe było wyonanie ważeń spełniających wymagania oreślone w treści zadania. Musimy teraz poazać, że waruni te są taże dostateczne. Dostateczność warunów podanych w tabelach Warianty BCEIJ oraz BDEIJ Poazywanie dostateczności podanych warunów zaczniemy od rozpatrzenia wariantów BCEIJ i BDEIJ, gdyż stawiają najwięcej wymagań. Nie tylo musimy zaplanować ważenia z góry, nie wiemy, czy tóraś moneta jest fałszywa, a jeśli jest to musimy ustalić, czy jest cięższa, czy lżejsza od monet dobrych, ale taże nie dysponujemy monetami dodatowymi. W pozostałych wariantach dostateczność podanych warunów poażemy wyorzystując onstrucje dla wariantów BCEIJ i BDEIJ. W obu tych wariantach ważeń musimy zaplanować z góry. Oznacza to, że ażdej z n monet trzeba przyporządować -tę (w 1,w,,w ) {P,0}. Jeśli monecie przyporządowana została -ta (w 1,w,,w ), to w j =P, w j = w j =0 oznaczają, że moneta ta w j-tym ważeniu będzie leżała odpowiednio na prawej szalce, na lewej szalce, nie będzie brała udziału w j-tym ważeniu. Różnym monetom muszą być przyporządowane różne -ti. W przeciwnym razie monety te byłyby nierozróżnialne za pomocą zaplanowanych ważeń. -ti przyporządowane monetom tworzą n elementowy podzbiór A {P,0}. Chcemy, by w ażdym ważeniu na obu szalach leżała taa

6 Marcel Kołodziejczy 6 sama liczba monet, czyli dla i=1,,, zbiory {(t 1,t,,t,) A: t i =P} i {(t 1,t,,t,) A: t i =L} powinny być równoliczne. Przejdźmy do wariantu BCEIJ. Bez zmniejszania ogólności załóżmy, że fałszywa moneta (jeśli istnieje) jest cięższa od monet prawdziwych. Załóżmy ponadto, że dla ażdej pary, n spełniającej waruni podane w tabeli istnieje n elementowy zbiór n {P,0} tai, że (0,0,,0) n oraz dla ażdego i {1,,,} zbiory {(t 1,t,,t,) n : t i =P} i {(t 1,t,,t,) n : t i =L} są równoliczne. Każdej z n monet przyporządujmy inny element zbioru n. Zauważmy, że zaplanowane w ten sposób ważeń pozwala wsazać fałszywą monetę (jeśli taa istnieje). Istotnie, zapiszmy wyni ważeń w postaci -ti (w 1,w,,w ), przy czym w j =P, w j = w j =0 oznaczają, że w j-tym ważeniu waga wychyliła się odpowiednio w prawo, w lewo, nie wychyliła się. Jeśli żadna moneta nie jest fałszywa to otrzymamy -tę zerową (0,0,,0). Jeśli natomiast tóraś z monet jest fałszywa to otrzymamy -tę identyczną z tą, tóra została przyporządowana fałszywej monecie w czasie planowania ważeń. Pozostaje zatem poazać, że: Dla ażdego 0 i n taiego, że n 3-3 lub n=0 lub n=3-1 istnieje n elementowy n {P,0} zbiór tai, że (0,0,,0) n oraz dla ażdego i {1,,,} zbiory {(t 1,t,,t ) n : t i =P} i {(t 1,t,,t ) n : t i =L} są równoliczne. Zbiory n sonstruujemy inducyjnie. Dla dowolnego 0 oreślamy 0 = oraz dla 1 ={(0,,0), (P,0,,0)} oraz dla 3 ={(P,0,,0), (P,0,0,,0), (0,0,,0)} 4 ={(P,0,0,,0), (0,0,,0), (0,P,0,,0), (0,0,,0)} 5 ={(P,0,,0), (P,0,0,,0), (0,0,,0), (P,P,0,,0), (0,,0)} Rozpoczynamy teraz właściwą onstrucję wyorzystując inducję po. Dla =0 i =1 sonstruowaliśmy już wszystie wymagane zbiory n. Niech i n 3-3 lub n=0 lub n=3-1. Załadamy, że wszystie wymagane zbiory n m dla m< zostały już oreślone. Ponieważ sonstruowaliśmy już zbiory 0,, 3, 4, 5 więc wystarczy sonstruować zbiory n dla 6 n 3-1, n 3 -. Liczbę n przedstawimy jao n=n 1 +n, n , n , n 3-1. Liczby n 1, n możemy wyznaczyć następująco: jeśli n 0 (mod 3), to n 1 =n =n/3, jeśli n 1 (mod 3), to n 1-1=n =(n-1)/3, jeśli n (mod 3), to n 1 =n -1=(n-)/3. Tai wybór n 1 i n nie gwarantuje tego, że n , więc aby to uwzględnić przyjmujemy dla n=3-4: n 1 = i n =3-1, dla n=3-6: n 1 = i n = oraz dla n=3-8: n 1 = i n = Ostatecznie oreślamy n n ( n1 1 1 = 1 {, }) ( 1 {0}) 3 3 L P gdy n i n lub n n ( 1 n1 1 1 = 1 {, }) ( 1 {0}) {(0,,0, ), (0,,0, )} = 3 lub = 3 L P K L K P gdy n n Przejdźmy do wariantu BDEIJ. Pomocne będzie następujące oznaczenie. Dla a=(t 1,t,,t ) {P,0} przez -a będziemy oznaczać -tę, tóra powstaje z a przez zastąpienie

7 Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety 7 wszystich t i równych L przez P i na odwrót, np. (0,P,P,L)=(P,0,P). Element a będziemy nazywać przeciwnym do a. Ponadto dla A {P,0} przez A będziemy oznaczać zbiór A={-a: a A}. Załóżmy, że dla ażdej pary,n spełniającej waruni podane w tabeli istnieje n elementowy zbiór Γ n {P,0} tai, że (0,0,,0) Γ n, Γ n (-Γ n )= oraz dla ażdego i {1,,,} zbiory {(t 1,t,,t ) Γ n : t i =P} i {(t 1,t,,t ) Γ n : t i =L} są równoliczne. Każdej z n monet przyporządujmy inny element zbioru Γ n. Zauważmy, że zaplanowane w ten sposób ważeń pozwala wsazać fałszywą monetę (jeśli taa istnieje) i oreślić czy jest cięższa, czy lżejsza od monet prawdziwych. Istotnie, zapiszmy wyni ważeń w postaci -ti (w 1,w,,w ), przy czym w j =P, w j = w j =0 oznaczają, że w j-tym ważeniu waga wychyliła się odpowiednio w prawo, w lewo, nie wychyliła się. Jeśli żadna moneta nie jest fałszywa to otrzymamy -tę zerową (0,0,,0). Jeśli tóraś z monet jest fałszywa i jest cięższa od monet dobrych to otrzymamy -tę identyczną z tą, tóra została przyporządowana fałszywej monecie w czasie planowania ważeń. Jeśli natomiast tóraś z monet jest fałszywa i jest lżejsza od monet dobrych to otrzymamy -tę przeciwną do tej, tóra została przyporządowana fałszywej monecie w czasie planowania ważeń. Ponieważ Γ n (-Γ n )=, więc w ażdej z tych sytuacji wyni ważeń będzie inny co pozwala jednoznacznie wsazać fałszywą monetę i oreślić jej wagę. Pozostaje zatem poazać, że: Dla ażdego 0 i n taiego, że 3 n (3-3)/ lub n=0 istnieje n elementowy zbiór) Γ n {P,0} tai, że Γ n (-Γ n )= oraz dla ażdego i {1,,,} zbiory {(t 1,t,,t ) Γ n : t i =P} i {(t 1,t,,t ) Γ n : t i =L} są równoliczne. Zbiory Γ n będziemy onstruować inducyjnie. Najpierw zajmiemy się przypadami szczególnymi. Przyjmiemy Γ 0 = dla dowolnego, natomiast dla oreślamy: Γ 3 ={(P,0,,0), (P,0,0,,0), (0,0,,0)} dla 3: Γ 4 ={(P,P,0,,0), (P,P,0,,0), (P,P,0,,0), (0,,0)} Γ 5 ={(0,0,P,0,,0), (P,0,0,0,,0), (0,P,0,,0), (0,0,,0), (0,P,0,,0)} Γ 6 ={(P,0,,0), (P,0,0,,0), (0,0,,0), (P,P,0,,0), (P,0,P,0,,0), (0,P,0,,0)} Γ 7 ={(P,0,0,,0), (P,0,0,0,,0), (0,0,0,,0), (P,P,0,,0), (P,P,0,,0), (P,P,0,,0), (0,,0)} Γ 8 ={(0,,0), (P,0,,0), (P,0,,0), (P,P,0,,0), (0,P,P,0,,0), (0,P,0,,0), (P,0,P,0,,0), (0,P,0,,0)} Teraz sonstruujemy inducyjnie zbiory Γ Zbiór Γ 0 1= został już oreślony. Gdy >1, wówczas oreślamy 1 ( 3 3 ) / dla 1. (3 3)/ (3 3)/ Γ = Γ 1 { 0, P} {( K, P), ( P, P, K, P,0),(0,0, K,0, L)} Sonstruowane w ten sposób zbiory oprócz podanych w treści lematu własności spełniają taże waruni: ( 3 ) / 1 (P,,P), (,L) Γ 3 dla 0, (P,0,0,,0), (P,P,0,0,,0), (0,0,0,,0), (,P,0), (0,,0,0,L), ( 3 ) / (0,,0,0) Γ 3 dla 3, ( 3 ) / 3 (0,P,0,0,,0), (0,0,,0,0,P,0) Γ 3 dla 3 Waruni te można łatwo uzasadnić inducyjnie. Pozwalają nam one oreślić dla 3 zbiory: Γ Γ (3 5)/ (3 7)/ = Γ = Γ (3 3) (3 3) \{( K, P,0),(0, K,0,0, L),(0, K,0, 0)} {( K, L),(0, K,0, P,0)} \{( P,0, K,0),( P, P,0, K,0),(0, 0, K,0)} {(0, P,0, K,0)}

8 Marcel Kołodziejczy 8 Teraz możemy przejść do właściwej onstrucji. Wyorzystamy inducję po. Dla =0, =1 i = już sonstruowaliśmy wszystie wymagane zbiory Γ n. Niech teraz 3 i 0 n (3-3)/, n 1,. Dla n<9, n=(3-3)/, n=(3-5)/, n=(3-7)/ zbiory Γ n oreśliliśmy wcześniej, więc teraz wystarczy ograniczyć się do 9 n (3-9)/. Liczbę n przedstawiamy jao n=n 1 +n, gdzie 3 n 1,n (3-1 -3)/. Można to zrobić na przyład ta: jeśli n 0 (mod 3), to n 1 =n =n/3, jeśli n 1 (mod 3), to n 1-1=n =(n-1)/3, jeśli n (mod 3), to n 1 =n -1=(n-)/3. Ostatecznie oreślamy n n n1 Γ = Γ { L, P} Γ {0} 1 1 Wiemy, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet (warianty *C***) Zajmiemy się teraz wariantami AC***. Schemat postępowania będzie następujący. Jeśli liczba monet n i liczba ważeń spełniają waruni wariantu BCEIJ, czyli n 3-1, n 1, n 3 - wówczas wyonujemy ważenia ta ja w wariancie BCEIJ. Jeśli n=1 to jedyna moneta jest fałszywa i nie musimy wyonywać jaicholwie ważeń. Jeśli natomiast n=3 - lub n=3 wtedy jedną z n monet odładamy na bo natomiast dla pozostałych n-1 monet wyonujemy ważenia ta ja w wariancie BCEIJ (n-1=3-3 lub n-1=3-1). Jeśli ważenia wyonane dla n-1 monet wsazały fałszywą monetę to zadanie jest rozwiązane, jeśli wszystie n-1 monet oazały się prawdziwe to fałszywą monetą jest moneta odłożona na bo. Zauważmy, że wszystie ważenia zostały zaplanowane z góry i nie używaliśmy monet dodatowych. Warianty BC(F/G)**. Jeżeli n=1 to w jednym ważeniu porównujemy masy jedynej monety i monety dodatowej. Jeśli n=3 - wówczas do danych nam monet doładamy dodatową monetę i dla n+1=3-1 monet stosujemy ważenia z wariantu BCEIJ. W pozostałych przypadach nie wyorzystujemy monety dodatowej i wyonujemy ważenia z wariantu BCEIJ. Wariant BCE*K. Jeśli n i spełniają waruni wariantu BCEIJ, czyli n 3-1, n 1, n 3 - to wyonujemy ważenia ta ja w wariancie BCEIJ. Jeśli natomiast n=3 -, to rozdzielamy n monet na trzy grupy: grupę A sładającą się z monet oraz grupy B i C liczące po 3-1 monet. W pierwszym ważeniu na szalach ładziemy grupy B i C. Jeśli waga wychyli się to fałszywa moneta znajduje się w jednej z tych grup (wiemy w tórej). Pozostałe -1 ważeń wystarczają, by wśród 3-1 monet tej grupy wsazać fałszywą monetę (ważenia będziemy wyonywać ja w wariancie ACE*K). Jeśli z olei grupy B i C ważą tyle samo, to fałszywa moneta, jeśli istnieje, znajduje się w grupie A. Pozostałe -1 ważeń wyonujemy ja w wariancie BCF** (ponieważ wiemy, że monety z grup B i C są prawdziwe, więc poza monetami grupy A dysponujemy co najmniej jedną dodatową monetą prawdziwą). Nie wiemy, czy fałszywa moneta jest cięższa, czy lżejsza od pozostałych monet (warianty *D***) Rozważymy teraz pozostałe przypadi *D***. Ważenia w wariantach ADEI* wyonujemy identycznie ja w wariancie BDEIJ. Podobnie postępujemy w wariantach ADEH* gdy n 1 i n (3-1)/. Dla n=1 nie musimy przeprowadzać żadnych ważeń, jedyna moneta jest fałszywa, a zadanie nie wymaga od nas

9 Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety 9 ustalenia czy jest ona cięższa, czy lżejsza od monet prawdziwych. Gdy n=(3-1)/ wówczas jedną z monet odładamy na bo, natomiast dla pozostałych n-1=(3-3)/ monet wyonujemy ważenia ta ja w wariancie BDEIJ. W ten sposób albo wyryjemy fałszywą monetę wśród n-1 ważonych monet, albo fałszywą monetą oaże się moneta odłożona na bo. Warianty BD(F/G)** oraz AD(F/G)I*. Dla n (3-3)/, n 1, n wyonujemy ważenia ta, ja w wariancie BDEIJ, nie wyorzystując monet dodatowych. Dla n=1 i 1 porównujemy masy jedynej monety i prawdziwej monety dodatowej. Dla n= i w dwóch ważeniach porównujemy masy obu monet z monetą dodatową. Gdy n=(3-1)/ ważenia planujemy następująco: n-1=(3-3)/ monet będziemy ładli na szale ja w wariancie BDEIJ, n-tą monetę będziemy w ażdym ważeniu ładli na lewej szali, a monetę dodatową na prawej. Zauważmy, że ta zaplanowane ważenia umożliwiają wypełnienie warunów zadania, gdyż (P,,P), ( 3 ) / (,L) Γ 3. Podobnie postępujemy w wariantach AD(F/G)H* gdy n<(3 +1)/. Gdy n=(3 +1)/ wówczas jedną z monet odładamy na bo, a dla pozostałych n-1=(3-1)/ monet wyonujemy ważenia ta ja w wariancie BD(F/G)IJ. Ważenia te wsażą nam monetę fałszywą wśród n-1 monet lub jej bra, co oznacza, że fałszywa jest moneta odłożona na bo. Przyłady Danych jest 19 monet. Jedna z nich jest fałszywa, lżejsza od pozostałych. Należy ją wyryć używając w tym celu trzyrotnie wagi szalowej. Ponumerujmy monety liczbami 1,,,19. W pierwszym ważeniu połóżmy na lewej szali monety 1,, 3, 4, 5, 6, a na prawej 7, 8, 9, 10, 11, 1. 1 Jeżeli waga wychyli się w prawą stronę, wówczas mamy pewność, że fałszywa moneta leży na lewej szali, czyli jest jedną z monet 1,, 3, 4, 5, 6. W drugim ważeniu porównujemy monety 1, oraz 3, 4. Dowiadujemy się w ten sposób, czy fałszywa (lżejsza) moneta jest jedną z monet 1,, czy 3, 4, czy 5, 6. W trzecim ważeniu ustalamy, tóra z danej pary jest monetą fałszywą. Jeżeli waga wychyli się w lewą stronę, to fałszywą monetą jest jedna z monet 7, 8, 9, 10, 11, 1. Dalsze ważenia wyonujemy podobnie ja w pierwszym przypadu. 3 Jeżeli waga nie wychyli się, fałszywa moneta jest wśród monet o numerach 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. W drugim ważeniu porównujemy monety 13, 14 i 15, 16, ustalając w ten sposób czy fałszywa moneta jest jedną z monet 13, 14 lub 15, 16 lub 17, 18, 19. Trzecie ważenie pozwoli nam wsazać fałszywa monetę. W powyższym rozwiązaniu przebieg olejnych ważeń zależy od wyniów poprzednich. Odpowiada to wariantowi ACEHK naszego zadania dla n=19 i =3. Spróbujmy teraz z góry zaplanować niezbędne ważenia (wariantowi ACEHJ). Zgodnie z tabelą zadanie da się wyonać gdyż Planowanie ważeń rozpoczniemy od wypisania elementów sonstruowanego wcześniej zbioru =( 6 {P}) ( 5 {0}) {(0,0,L),(0,0,P)} 5 ={(P), (P,0), (0,L), (P,P), (L)} 6 =( 1 {P}) ( 1 {0})={(L),(P,L),(P),(P,P),(0),(P,0)} czyli 19 3={(L), (P,L), (P,L), (P,P,L), (0,L), (P,0,L), (P), (P,P), (P,P), (P,P,P), (0,P), (P,0,P), (P,0), (P,0,0), (0,0), (P,P,0), (0), (0,0,L), (0,0,P)}.

10 Marcel Kołodziejczy 10 Każdej z monet przyporządowujemy po jednym z elementów zbioru 19 3, np. monecie 1 przyporządujmy tróję (L), monecie tróję (P,L) itd., aż do monety 19, tórej przypiszemy tróję (0,0,P). Zatem w olejnych ważeniach na poszczególnych szalach będą leżały następujące monety: lewa szala prawa szala 1. ważenie 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16. ważenie 1,, 7, 8, 15, 17 3, 4, 9, 10, 13, ważenie 1,, 3, 4, 5, 6, 18 7, 8, 9, 10, 11, 1, 19 Wynii ważeń zapisujemy w postaci tróji (w 1,w,w 3 ), przy czym w j =P, w j = w j =0 oznaczają, że w j-tym ważeniu waga wychyliła się odpowiednio w prawo, w lewo, nie wychyliła się. Uzysana w ten sposób trója jest tróją przeciwną do tej, tóra została przypisana monecie fałszywej (przeciwna, gdyż fałszywa moneta jest lżejsza od pozostałych). Danych jest 40 monet. Być może jedna z nich jest fałszywa, ale nie wiemy, czy jest cięższa, czy lżejsza od monet prawdziwych. Dysponujemy ponadto nieograniczoną ilością monet prawdziwych. Należy wyryć fałszywą monetę, używając w tym celu czterorotnie wagi szalowej. Zadanie wyonamy używając tylo jednej dodatowej monety, a wszystie ważenia zaplanujemy z góry. Możemy to zrobić, gdyż 40 (3 4-1)/ (wariant BDFHJ uogólnionego zadania). Ponumerujmy monety liczbami 1,,,40. Wypiszmy elementy zbioru Γ Pomoże nam to w planowaniu ważeń. Γ 39 4=Γ 1 3 {P,0} {(P), (P,P,P,0), (0,0,0,L)} Γ 1 3=Γ 3 {P,0} {(P), (P,P,0), (0,0,L)} Γ 3 ={(P), (P,0), (0,L), } Ostatecznie Γ 39 4={(P,L), (P,0,L), (0,L), (P,P,L), (P,0,P,L), (0,P,L), (P,0,L), (P,0,0,L), (0,0,L), (P,L), (P,P,0,L), (0,0,L), (P,P), (P,0,P), (0,P), (P,P,P), (P,0,P,P), (0,P,P), (P,0,P), (P,0,0,P), (0,0,P), (P,P), (P,P,0,P), (0,0,P), (P,0), (P,0,0), (0,0), (P,P,0), (P,0,P,0), (0,P,0), (P,0,0), (P,0,0,0), (0,0,0), (P,0), (P,P,0,0), (0,0,0), (P), (P,P,P,0), (0,0,0,L)}. Każdej z monet 1,,,39 przyporządowujemy po jednym elemencie zbioru Γ 39 4, np. monecie 1 przyporządujmy czwórę (P,L), monecie czwórę (P,0,L) itd., aż do monety 39, tórej przypiszemy czwórę (0,0,0,L). Monecie 40 przyporządujmy czwórę (L), a monecie dodatowej (P,P,P,P). Zaplanowaliśmy w ten sposób ważenia (monetę dodatową oznaczamy przez 0). lewa szala 1. ważenie 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,, 5, 8, 31, 34, 37, 40. ważenie 3, 6, 9, 10, 15, 18, 1,, 7, 30, 33, 34, 37, ważenie 1,, 3, 1, 13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 36, 37, ważenie 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 39, 40 prawa szala 0,, 5, 8, 11, 14, 17, 0, 3, 6, 9, 3, 35, 38, 0, 1, 4, 7, 11, 13, 16, 19, 3, 5, 8, 31, 35, 38 0, 4, 5, 6, 10, 16, 17, 18,, 8, 9, 30, 34, 38 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0, 1,, 3, 4, 37

11 Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety 11 Podobnie ja w poprzednim przyładzie wynii ważeń zapisujemy w postaci czwóri (w 1,w,w 3, w 4 ), przy czym w j =P, w j = w j =0 oznaczają, że w j-tym ważeniu waga wychyliła się odpowiednio w prawo, w lewo, nie wychyliła się. Jeśli uzysana w ten sposób czwóra jest zerowa (0,0,0,0) to wszystie monety są prawdziwe. W przeciwnym przypadu otrzymana czwóra jest taa sama lub przeciwna do tej, tóra została przypisana monecie fałszywej (przeciwna, gdy fałszywa moneta jest lżejsza od pozostałych, taa sama gdy jest cięższa). Literatura [1] B. Descartes, Eurea, No. 13, Oct [] L. Halbeisen, N. Hungerbühler, The general counterfeit coin problem, Discrete Math. 147 (1995), [3] P. Jare, L. Kourliandtchi, M. Usci, Miniatury matematyczne część 5 - szoła podstawowa i gimnazjum, Asjomat, Toruń. [4] P. Krysziewicz, Fałszywe monety, Magazyn miłośniów matematyi nr (3) wiecień 003. [5] D. O. Shlarsy, N.N. Chentsov, I.M. Yaglom, Selected problems and theorems in elementary mathematics, Mir Publishers, Moswa. [6] C. A. B. Smith, The Counterfeit Coin Problem., Math. Gaz. 31 (1947), [7] H. Steinhaus, Kalejdosop Matematyczny, wyd. 4, Wydawnictwa Szolne i Pedagogiczne, Warszawa 1989.