SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 W LUBARTOWIE. Równania

Transkrypt

1 Równania Jeżeli połączymy znakiem równości (=) dwa wyrażenia algebraiczne to tak stworzony zapis będzie nazywał się równaniem. W dalszych latach nauki poznasz wiele typów i rodzajów równań, w tej chwili wystarczy nam taka wiedza. Jeżeli wyrażenie algebraiczne 5k + 2 połączę znakiem równości z wyrażeniem 3k + 6 to otrzymam: 5 k + 2 = 3k + 6. Taki zapis nazywa się równaniem i przedstawia dobrze już Tobie znaną pewną sytuację na wadze szalkowej, np. gdy waga jest w równowadze (bo jest znak = ) i na lewej szalce znajduje się 5 główek kapusty i 2 kg, a na prawej szalce znajdują się 3 kapusty i 6 kg. Mając taką sytuację na wadze możemy poprzez zdejmowanie z obu szalek główek kapusty i odważników doprowadzić do tego, aby na jednej z szalek leżała tylko główka kapusty a na drugiej odważniki. Dowiemy się zatem ile kg waży główka kapusty. Tego samego dowiemy się bez rysowania wagi, kapusty i odważników. Poniższe dwie sytuacje opisują to samo zdarzenie: po lewej opisowo po prawej równaniem. Patrząc na równanie patrzmy na jego dwie strony: Lewą (L) znajdującą się po lewej stronie znaku równości i prawą (P) po prawej stronie znaku równości. Z obu szalek będziemy zdejmowali (kapustę i odważniki) a w równaniu, od każdej strony równania będziemy odejmowali k lub liczby (po tyle samo od obu stron). Poniższy przykład pokaże Tobie jak silny jest związek między pracą na wadze szalkowej a rozwiązywaniem równań. Postaraj się prześledzić obie metody patrząc raz na lewo a potem na prawo i poszukaj podobieństw. Nie ukrywam, że w dalszej części naszej nauki będziemy korzystali z równań, a waga miała Ci pomóc w zrozumieniu metody rozwiązywania równań. Metoda ta nazywa się metodą równań równoważnych. Dwie demonstracje zamieszczone w kursie pozwolą Tobie lepiej zrozumieć tą metodę, ale najwięcej osiągniesz rozwiązując samodzielnie wiele równań. 1

2 Rozwiązanie równania : 5k + 2 = 3k + 6 Ile waży 1 kapusta? Oblicz wartość k 5k + 2 = 3k + 6 Z obu szalek zdejmuję po 2 kg Od obu stron równania odejmuję po 2 5k = 3k + 4 Z obu szalek zdejmuję po 3 kapusty Od obu stron równania odejmuję po 3k 2k = 4 2 kapusty ważą 4 kg to jedna waży 2 kg Obie strony równania dzielę przez 2 2k = 4/:2 k = 2 Rozwiążmy kolejne równania, ale tym razem bez wagi. 2

3 18 + 9x = 24 +6x Od obu stron odejmę 6x x = 24 Od obu stron odejmę 18 3x = 6 Obie strony podzielę przez 3 3x = 6/:3 Otrzymam x = 2 2 jest rozwiązaniem równania. 13x + 5 = 15x + 15 Od obu stron odejmuję 15x - 2x +5 = 15 Od obu stron odejmuję 5-2x = 10 Obie strony podzielę przez (-2) - 2x = 10/:(-2) Otrzymam x = jest rozwiązaniem równania Po rozwiązaniu równania należy (choć nie zawsze) sprawdzić, czy rozwiązaliśmy prawidłowo. W tym celu należy obliczoną w równaniu liczbę podstawić do równania i zobaczyć czy lewa strona równania jest równa prawej stronie równania ( L=P ). Jeżeli tak, to równanie rozwiązane jest prawidłowo. Wygląda to tak: Sprawdzenie (spr.) pierwszego a potem drugiego równania: spr. dla x = 2 L = = = 36 P = = = 36 L =P spr. dla x = (-5) L = 13 ( 5) + 5 = = 60 P = 15 ( 5) + 15 = = 60 L=P Gdy otrzymamy L P to znaczyć może że: Obliczona liczba nie jest rozwiązaniem równania Pomyliliśmy się przy robieniu sprawdzenia lub rozwiązywaniu równania. 3

4 Jak trudno nam znaleźć błąd, to lepiej równanie uważnie rozwiązać jeszcze raz. Możemy też sprawdzić czy jakaś liczba jest rozwiązaniem równania nie rozwiązując go. Która z liczb : 8 czy - 22 jest rozwiązaniem równania: 3x +11 = 4x +33? spr. dla x =8 L = = = 35 P= = = 65 L P 8 nie jest rozwiązaniem tego równania spr. dla x = - 22 L = 3 ( 22) + 11 = ( 66) + 11 = 55 P = 4 ( 22) + 33 = ( 88) + 33 = 55 L = P - 22 jest rozwiązaniem tego równania Uwagi: 1. Pamiętajmy, że rozwiązaniem równania nie może być ułamek niewłaściwy (wyłączajmy całości lub zamieniajmy na dziesiętny) 2. Pamiętajmy, że rozwiązaniem równania jest zawsze wartość jakiejś litery np., x=3, m=- 4 itp. Co zrobić gdy otrzymamy: = 3? x (wróć do wyrażeń algebraicznych). x = 1) x (, więc x = 3 ( 1) x = 3 ( 1) x = 3 / : ( x = 3 1) 4

5 3. Podczas rozwiązywania równania staraj się kolejne etapy rozwiązań zapisywać jedno pod drugim, tak aby znaki równości też znajdowały się jedne pod drugimi. Nie musisz pisać co robisz z obiema stronami równani (jak Ci to pomaga to pisz). Możesz liczyć w pamięci. Teraz kilka rozwiązań bez dodatkowych komentarzy. Rozwiąż równania; 12x + 4 = 7x + 14 i 3x + 11 = 4x x + 4 = 7x x = 10/:5 X = 2 3x + 11 = 4x x = 22 /:(-1) X = - 22 spr. dla x =2 L = = = 28 P = = = 28 L = P 2 jest rozwiązaniem równania spr. dla x = (-22) L = 3 ( 22) + 11 = ( 66) + 11 = 55 P = 4 ( 22) + 33 = ( 88) + 33 = 55 L = P - 22 jest rozwiązaniem równania Mam nadzieję, że nie jest to trudne. Aby nabrać pożądanej wprawy trzeba trochę wysiłku włożyć w samodzielne rozwiązanie w ten sposób wielu równań. Dla ułatwienia podam teraz kilka równań do samodzielnego rozwiązania. Proszę poćwiczyć wzorując się na tym co wyżej napisane oraz na tym co zobaczycie w obu prezentacjach do pobrania w tym dziale kursu. W innym kursie pokażę jak radzić sobie wówczas, gdy są liczby całkowite (ujemne) w równaniach, ale najpierw trzeba nauczyć się tego. 5

6 1. Rozwiąż i sprawdź równania: 6 + 5x = 4x + 8 8x = 4x x + 4 = 7x x + 15 = x 8 + 3x = 5x Nie rozwiązując równania sprawdź, która z liczb : 2, -1, 0 jest rozwiązaniem równania : 6x + 12 = 9x + 15? Powodzenia i zachęcam do cierpliwości w pracy 6