Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa"

Transkrypt

1 Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa Adam Kiersztyn 28 czerwca 20 Streszczenie W tej pracy przedstawimy najwa zniejsze rezultaty zawarte w przygotowywanej rozprawie doktorskiej pod tym samym tytu em oraz przyk adowe obszary zastosowań uzyskanych rezultatów. Ponadto zostana¾ opisane programy komputerowe, które powsta y na podstawie otrzymanych wyników badań teoretycznych. Przedstawione tutaj rezultaty dotycza¾ jednorodnych ańcuchów Markowa, natomiast znaczna cz ¾eść z nich w przygotowywanej rozprawie doktorskiej zostanie rozszerzona na przypadek niejednorodnych ańcuchów Markowa. Konstrukcja ańcucha Markowa na kostce Hilberta Metoda konstrukcji ańcuchów Markowa polegajaca ¾ na mody kacji twierdzenia Ko mogorowa o rozk adach zgodnych jest uniwersalna w tym sensie, ze obejmuje wszystkie przypadki rozwa zanych przestrzeni stanów, tzn. 0 przestrzeń skończona¾ lub przeliczalna¾ X = fx ; x 2 ; :::; x r (; :::)g ; 2 0 lokalnie zwarta, ¾ ośrodkowa, ¾ metryzowalna¾ przestrzeń topologiczna¾ X z -cia em zbiorów borelowskich B(X); 3 0 dowolny zbiór X 6= ; z -cia em generowanym przez pewna¾ przeliczalna¾ rodzin ¾e podzbiorów zbioru X. Z informatycznego punktu widzenia konstrukcja ta nie zawsze jednak okazuje si ¾e dość wygodna. Dlatego przedstawimy inna¾ metod ¾e konstrukcji ańcuchów Markowa, oparta¾ na idei zaproponowanej przez D. W. Stroocka w ksia zce ¾ An Intruduction to Markov Processes, gdzie opisana zosta a tego typu procedura przy pomocy macierzy przejścia dla jednorodnych ańcuchów Markowa o wartościach w dyskretnej przestrzeni stanów. Nawiasem mówiac, ¾ Stroock nawet nie wspomnia o mo zliwości zastosowania tej metody w informatyce, nie zauwa zy te z tego, ze

2 wprowadzone przez niego funkcje mo zna zde niować na wspólnej przestrzeni, b ¾ed acej ¾ kostka¾ Hilberta. Chcac ¾ uogólnić wspomniana¾ metod¾e musimy jednak ograniczyć si¾e do przypadku, gdy przestrzeń stanów X = R. Za ó zmy, ze rozk adem poczatkowym ¾ ańcucha Markowa fx n ; n 0g jest miara : B(R)! [0; ], a jadrem ¾ przejścia - rodzina rozk adów P = fp (x; A) ; x 2 R; A 2 B (R)g : Zde niujmy funkcje () ; (x; ) : (0; )! R; x 2 R; w nast¾epujacy ¾ sposób: (s) = inf fy 2 R : s (( ; y])g ; (x; t) = inf fy 2 R : t P (x; ( ; y])g dla 0 < s; t <. atwo zauwa zyć, ze sa¾ to powiazane ¾ ze soba¾ w odpowiedni sposób funkcje kwantyli. Twierdzenie Niech fu n ; n 0g b ¾edzie ciagiem ¾ niezale znych zmiennych losowych o jednakowym rozk adzie jednostajnym w przedziale (0; ) R i niech fx n ; n 0g b ¾edzie ciagiem ¾ zmiennych losowych okre slonych wzorami: X 0 = (U 0 ), X n = (X n ; U n ) dla n : Wtedy ciag ¾ fx n ; n 0g tworzy ańcuch Markowa o warto sciach w przestrzeni stanów X = R z rozk adem poczatkowym ¾ i jadrem ¾ prawdopodobieństw przej scia P = fp (x; A) ; x 2 R; A 2 B (R)g. Dowód tego twierdzenia opiera si¾e na nast¾epujacym ¾ lemacie. Lemat 2 Niech h : R! R b ¾edzie funkcja¾ B (R)-mierzalna, ¾ ograniczona¾ i niech F : R! R b ¾edzie dystrybuanta¾ rozk adu prawdopodobieństwa Q : B (R)! [0; ]. Oznaczmy przez q funkcj ¾e kwantyli generowana¾ przez dystrybuant ¾e F. Wtedy dla dowolnej liczby x 0 2 R zachodzi równo sć Z Z h (q (x)) dx = h (y) Q (dy). (0;F (x 0)] ( ;x 0] Ponadto dowód powy zszego twierdzenia zachowuje swoja¾ prawdziwość tak ze w znacznie ogólniejszej sytuacji obejmujacej ¾ procesy Markowa z czasem ciag ym ¾ t 0. Istotnie, nie ma w aściwie zadnego powodu, zeby indeksy procesu n by y ściśle zwiazane ¾ z przyrostami czasu o wartość, a wi¾ec w dowodzie mo zemy podstawić jadra ¾ P tn t n (x; A) (chcac ¾ otrzymać skończenie wymiarowe rozk ady jednorodnego procesu Markowa z czasem ciag ym), ¾ lub nawet P tn ;t n (x; A) (dla niejednorodnego procesu Markowa z czasem ciag ym). ¾ 2

3 Uwaga. Na podstawie przedstawionej metody napisany zosta program komputerowy, który generuje realizacje procesów Markowa dla wybranych klas rozk adów poczatkowych ¾ i ró znych rodzin tworzacych ¾ jadra ¾ stochastyczne. Program ten w obrazowy sposób przedstawia trajektorie procesów Markowa dla dowolnych przyrostów czasu. Aplikacja mo ze być stosunkowo ciekawym przyk adem wizualizacji przebiegu procesów Markowa o nietrywialnych jadrach ¾ przejścia. Dzia anie programu mo zna sprawdzić na stronie internetowej 2 Zwiazki ¾ teorii martynga ów z ańcuchami Markowa o wartościach w ogólnej przestrzeni stanów W dalszych rozwa zaniach b ¾edziemy musieli dok adniej sprecyzować klasy funkcji, które b ¾eda¾ ca kowane wzgl¾edem ró znych miar. Dlatego dla danego jadra ¾ przejścia P = P (x; A) = P (x; A) ; x 2 X; A 2 B(X) wprowadzamy ciag ¾ odwzorowań Z P n+ (x; A) = P n (y; A) P (x; dy) ; n. X Funkcje P n (x; A) ; x 2 X; A 2 B (X) ; n > ; określaja¾ nowe jadra ¾ stochastyczne - jadra ¾ przejścia w n-krokach wyjściowego ańcucha Markowa, de niuj ace ¾ tzw. ańcuchy szkieletowe. Do jader ¾ tych do ¾ aczamy rodzin ¾e miar Diraca P 0 (x; A) = x (A) ; x 2 X; A 2 B (X). Chcac ¾ maksymalnie rozszerzyć klasy funkcji ca kowalnych wzgl ¾edem wprowadzonych nowych miar nie mo zemy rozwa zać funkcji ca kowalnych równocześnie wzgl¾edem wszystkich miar P n ; gdzie przebiega rodzin¾e wszystkich rozk adów na B (X) ; lecz musimy nieco zaw¾ezić rodzin¾e rozk adów ; bowiem w niektórych sytuacjach mog oby okazać si¾e, ze funkcjami ca kowalnymi wzgl¾edem miar P n sa¾ tylko funkcje B (X)-mierzalne ograniczone, co prowadzi oby do rozpatrywania dalej zmiennych losowych ograniczonych, majacych ¾ skończone wszystkie momenty. Z drugiej strony jednak chcemy, aby rozk ady P n tworzy y rodzin¾e dostatecznie bogata, ¾ zawierajac ¾ a¾ m.in. wszystkie miary postaci x P n ; gdzie x ; x 2 X; sa¾ miarami Diraca. Wprowadźmy zatem oznaczenia: dla klasy wszystkich miar Diraca, oraz = f x = (x; ) : B (X)! R; x 2 Xg = f : B (X)! R; (X) = g 3

4 dla klasy wszystkich miar probabilistycznych na B (X). B ¾edziemy rozwa zać rodziny rozk adów M; dla których prawdziwa jest inkluzja, M ; przy czym b ¾eda¾ nas interesować g ównie raczej rodziny niepe ne, takie, ze M 6=. Dla ka zdego jadra ¾ prawdopodobieństw przejścia P i ka zdej takiej rodziny rozk adów M mamy określona¾ rodzin¾e miar MP n = P k : k n; 2 M ; n. Funkcj ¾e rzeczywista¾ B (X)-mierzalna¾ f : X! R nazywamy funkcja¾ regularnie MP n -ca kowaln a¾ i piszemy f 2 L (MP n ) ; jeśli f jest ca kowalna wzgl¾edem wszystkich miar z klasy MP n ; a ca ka funkcji f wzgl¾edem ka zdej takiej miary ma wartość skończona. ¾ Dla n = 0 klas¾e MP 0 de niujemy jako klas ¾e wszystkich funkcji B (X)-mierzalnych. atwo spostrzec, ze wtedy ka zda klasa funkcji L (MP n ) zawiera zawsze wszystkie funkcje B (X)-mierzalne ograniczone f : X! R; ale klasy te moga¾ równie z zawierać pewne funkcje mierzalne nieograniczone i w ogólnej sytuacji klasy te moga¾ być ró zne. Jednak ze z uwagi na de nicj¾e tych klas mamy L MP 0 L MP ::: L (MP n ) :::; n 0. Tak wi¾ec dla funkcji f 2 L MP n+ ; n 0; określona jest w szczególności operacja P f. Ciag ¾ funkcji ff n ; n 0g o w asności f n 2 L (MP n ) dla ka zdego n 0; mo zemy nazwać ciagiem ¾ wyg adzajacym ¾ martynga owo ańcuch Markowa fx n ; n 0g z rozk adem poczatkowym ¾ 2 M i jadrem ¾ przejścia P; o czym świadczy poni zszy rezultat. Twierdzenie 3 Niech fx n ; n 0g b ¾edzie dowolnym procesem stochastycznym z czasem dyskretnym przyjmujacym ¾ warto sci w ogólnej przestrzeni stanów X. Wtedy nast ¾epujace ¾ warunki sa¾ równowa zne: (i) dla ka zdego rozk adu poczatkowego ¾ = P X0 2 M i danego jadra ¾ stochastycznego P = fp (x; A) ; x 2 X; A 2 B(X)g ; ciag ¾ fx n ; n 0g jest (jednorodnym) ańcuchem Markowa o warto sciach w ogólnej przestrzeni stanów X z jadrem ¾ prawdopodobieństw przej scia P; (ii) dla zmiennej losowej X 0 :! R o dowolnym rozk adzie 2 M i ka zdego ciagu ¾ funkcji ff k : k 0g takiego, ze f k 2 L MP k ; k, proces zde niowany wzorem M 0 (ff k g) = 0; M n (ff k g) = f n (X n ) f 0 (X 0 ) 4 [(P f m+ ) (f m )] (X m ) ;

5 dla n ; jest martynga em wzgl ¾edem naturalnej ltracji ff n ; n 0g, gdzie F n = (X 0 ; X ; : : : ; X n ) ; (iii) dla zmiennej losowej X 0 ka zdej B(X)-mierzalnej funkcji :! R o dowolnym rozk adzie 2 M i \ f 2 L (MP n ), n=0 (dla której wszystkie zmienne losowe ciagu ¾ ff (X n ) ; n 0g sa¾ ca kowalne), proces M 0 (f) = 0; M n (f) = f (X n ) f (X 0 ) [(P f) (f)] (X m ) ; n ; jest martynga em wzgl ¾edem ltracji ff n ; n 0g ; (iv) dla zmiennej losowej X 0 :! R o dowolnym rozk adzie 2 M i ka zdej B(X)-mierzalnej, ograniczonej funkcji f : X! R, ciag ¾ fm n (f) ; n 0g jest martynga em wzgl ¾edem ltracji ff n ; n 0g ; (v) dla zmiennej losowej X 0 :! R o dowolnym rozk adzie 2 M i ka zdej B(X)-mierzalnej, ograniczonej, nieujemnej funkcji f : X! R, proces fm n (f) ; n 0g jest martynga em wzgl ¾edem ltracji ff n ; n 0g. Korzystajac ¾ z martynga owej charakteryzacji ańcuchów Markowa zawartej w tym twierdzeniu mo zemy otrzymać wiele ró znych odpowiedników klasycznych rezultatów znanych dla ciagów ¾ niezale znych zmiennych losowych lub martynga ów, np. nierówności Ko mogorowa, Burkholdera, Rosenthala, nierówność dla liczby przejść ańcucha Markowa przez przedzia z do u do góry, L p maksymalna¾ nierówność Dooba, twierdzenia o zbie zności prawie pewnej i w L p ańcuchów Markowa, twierdzenia o zbie zności szeregów utworzonych ze zmiennych losowych ańcucha Markowa, itp. Wszystkie wymienione rezultaty zosta y przedstawione w pracy z krótkimi, szkicowymi dowodami. 2. Twierdzenia typu prawa wielkich liczb dla procesów Markowa Ograniczymy si ¾e tylko do podania dwóch najwa zniejszych rezultatów, b ¾ed acych ¾ odpowiednikami s abego i mocnego prawa wielkich liczb. W pracy znajduja¾ si¾e uogólnienia kilku innych popularnych, najbardziej znanych twierdzeń dotycza- ¾ cych praw granicznych dla zmiennych losowych niezale znych. 5

6 Twierdzenie 4 Klasyczne kryterium zbie zno sci do sta ej. Niech fx n ; n 0g b ¾edzie ańcuchem Markowa o warto sciach w ogólnej przestrzeni stanów X z dowolnym rozk adem poczatkowym ¾ : B (X)! R; 2 M; oraz jadrem ¾ przej scia P = fp (x; A) ; x 2 X; A 2 B (X)g. Niech ponadto ff n ; n g b ¾edzie ciagiem ¾ funkcji B (X)-mierzalnych, f n 2 L (MP n ) dla ka zdego n i niech fb n ; n g R b ¾edzie ciagiem ¾ liczbowym takim, ze 0 < b n %. Je zeli spe nione sa¾ warunki: E b n i= b 2 n i= i P hjf i (X i ) (P f i ) (X i )j > b n! 0; () n! i= h (f i (X i ) (P f i ) (X i )) (2) i P fjf i (X i ) (P f i ) (X i )j b n g jf i! 0; n! h E (f i (X i ) (P f i ) (X i )) 2 (3) fjf i (X i ) (P f i ) (X i )j b n g jf i i + h E E (f i (X i ) (P f i ) (X i )) to wówczas fjf i (X i ) (P f i ) (X i )j b n g jf i i 2 +! n! 0; b n i= [f i (X i ) (P f i ) (X i )] P! n! 0. Twierdzenie 5 Kryterium Ko mogorowa. Niech fx n ; n 0g b ¾edzie ańcuchem Markowa w ogólnej przestrzeni stanów X z dowolnym rozk adem poczatkowym ¾ 2 M; oraz jadrem ¾ przej scia P = fp (x; A) ; x 2 X; A 2 B (X)g. Niech ponadto fb n ; n g R b ¾edzie ciagiem ¾ liczbowym, 0 < b n % i niech ff n ; n g b ¾edzie ciagiem ¾ funkcji takim, ze fn 2 2 L (MP n ) dla ka zdego n. Je zeli X Var [f k (X k ) (P f k ) (X k )] B 2 < ; k= k X gdzie = b 2 < dla k ; to 2 v B 2 k fv2n:2 v k+g b n k= [f k (X k ) (P f k ) (X k )]! n! 0 p.p.; 6

7 w szczególno sci, je sli X k= Var [f k (X k ) (P f k ) (X k )] k 2 < ; to wówczas n k= [f k (X k ) (P f k ) (X k )]! n! 0 p.p. 2.2 Centralne twierdzenie graniczne dla procesów Markowa W celu lepszego zrozumienia dalszych rozwa zań przytoczymy najpierw kilka de nicji. Niech fy n ; n g b ¾edzie ciagiem ¾ zmiennych losowych w przestrzeni probabilistycznej (; F; P ) zbie znym wed ug rozk adu do zmiennej losowej Y; określonej na tej samej przestrzeni. Mówimy, ze ciag ¾ fy n ; n g jest zbie zny (wed ug rozk adu) stabilnie do zmiennej losowej Y; jeśli dla ka zdego punktu ciag ości ¾ y 2 R (prawostronnie ciag ej) ¾ dystrybuanty zmiennej losowej Y i ka zdego zdarzenia losowego A 2 F; istnieje granica przy czym Zbie zność ta¾ b ¾edziemy oznaczać piszac ¾ lim P [fy n yg \ A] = Q y (A) ; n! Q y (A)! P [A] gdy y!. Y n d! Y (stabilnie). Podobnie jak czyni si ¾e zwykle badajac ¾ ciagi ¾ zmiennych losowych niezale znych, twierdzenia graniczne dotyczace ¾ zbie zności wed ug rozk adu podajemy dla uk adów trójkatnych. ¾ Twierdzenie 6 Niech fx n ; n 0g b ¾edzie ańcuchem Markowa o warto sciach w ogólnej przestrzeni stanów X z dowolnym rozk adem poczatkowym ¾ : B (X)! R; 2 M; oraz jadrem ¾ prawdopodobieństw przej scia P = fp (x; A) ; x 2 X; A 2 B (X)g. Niech ponadto ff ni ; i k n ; n g b ¾edzie uk adem trójkatnym ¾ funkcji rzeczywistych B (X)-mierzalnych na X; spe niajacym ¾ warunki: f 2 ni 2 L MP i dla i k n ; n ; gdzie k n % i niech 2 > 0 b ¾edzie p.p. skończona¾ zmienna¾ losowa. ¾ Za ó zmy, ze P max jf ni (X i ) (P f ni ) (X i )j! 0; (4) ik n n! 7

8 k n X i= oraz dla wszystkich n ; [f ni (X i ) (P f ni ) (X i )] 2 P! n! 2 ; (5) E max ik n [f ni (X i ) (P f ni ) (X i )] 2 C <. (6) Wtedy dla ka zdego rozk adu poczatkowego ¾ 2 M; k n X i= [f ni (X i ) (P f ni ) (X i )] d! n! Z (stabilnie), gdzie Z jest zmienna¾ losowa¾ majac ¾a¾ funkcj ¾e charakterystyczna¾ ' Z (t) = E exp 2 2 t 2 ; t 2 R. Przy pomocy analogicznych metod martynga owych jak stosowane powy zej mo zna tak ze otrzymać ró zne oceny szybkości zbie zności w centralnym twierdzeniu granicznym dla ańcuchów Markowa. 2.3 Funkcjonalne centralne twierdzenie graniczne Rozwa zmy ańcuch Markowa fx n ; n 0g o wartościach w ogólnej przestrzeni stanów X z dowolnym rozk adem poczatkowym ¾ : B (X)! R; 2 M; oraz jadrem ¾ prawdopodobieństw przejścia P = fp (x; A) ; x 2 X; A 2 B (X)g. Za ó zmy, ze ff n ; n 0g jest ciagiem ¾ funkcji rzeczywistych B (X)-mierzalnych określonych na X, spe niaj acym ¾ warunek fn 2 2 L (MP n ) dla ka zdego n 0. Przyjmijmy Y i = f i (X i ) (P f i ) (X i ) ; i ; oraz Nast ¾epnie po ó zmy gdzie M 0 (ff k g) = 0; U 2 0 = 0; U 2 k = kx i= Y 2 i ; k n. s 2 n = E [M n (ff k g)] 2 ; M n (ff k g) = f n (X n ) f 0 (X 0 ) [(P f m+ ) (f m )] (X m ) ; n ; jest (jak wiemy) martynga em wzgl¾edem ltracji ff n ; n 0g. 8

9 Za ó zmy, ze Yi 2 > 0 i zde niujmy ciag ¾ elementów losowych n (t) o wartościach w przestrzeni C [0; ] ; otrzymanych poprzez interpolacj ¾e liniowa¾ punktów U 2 0; 0 ; Un 2 ; M (ff k g) U 2 ; 2 U n Un 2 ; M 2 (ff k g) ; :::; ; M n (ff k g) ; U n U n tj. n (t) = M i (ff k g) + tu n 2 Ui 2 U n Yi 2 Y i U n dla Ui 2 tu n 2 U i ; i n. Wtedy n ; n ; sa¾ borelowskimi elementami losowymi w przestrzeni C [0; ] i okazuje si ¾e, ze dla tych elementów prawdziwe jest nast ¾epujace ¾ twierdzenie. Twierdzenie 7 Funkcjonalne centralne twierdzenie graniczne. Niech fx n ; n 0g b ¾edzie procesem Markowa spe niajacym ¾ powy zsze za o zenia i niech ff n ; n 0g b ¾edzie ciagiem ¾ funkcji takim, ze fn 2 2 L (MP n ) dla ka zdego n 0. Je sli spe niony jest warunek Lindeberga, tzn. dla ka zdej liczby " > 0; oraz s 2 n k= E [f k (X k ) (P f k ) (X k )] 2 (7) fjf k (X k ) (P f k ) (X k )j > "s n g! n! 0; U 2 n s 2 n gdzie 0 < 2 jest p.p. skończona¾ zmienna¾ losowa, ¾ to P! n! 2 ; (8) n w! W w przestrzeni (C [0; ] ; kk), W proces (miara) Wienera. Wniosek 8 Podstawiajac ¾ t = w powy zszym twierdzeniu otrzymujemy n () = M n (ff k g) U n = np [f k (X k ) (P f k ) (X k )] k= = np =2 E [f k (X k ) (P f k ) (X k )] 2 k= d! W () ; przy czym W () jest zmienna¾ losowa¾ o standardowym rozk adzie normalnym N (0; ). 9

10 Wniosek ten jest nieco innym wariantem centralnego twierdzenia granicznego dla ańcuchów Markowa, ale tym razem z normalizacja¾ losowa¾ zamiast deterministycznej. Warto podkreślić, ze twierdzenie tego typu jest zwykle znacznie wygodniejsze i bardziej przydatne w wi ¾ekszości zastosowań statystycznych. Porównujac ¾ twierdzenie 7 z klasycznym rezultatem Donskera, patrz np. P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, rozdz. II, 0, tw. 0., str. 68 z atwościa¾ mo zemy spostrzec, ze w przedstawionym tu funkcjonalnym centralnym twierdzeniu granicznym wartości kolejnych sum zmiennych utworzonych przy pomocy ańcucha Markowa sa¾ przyjmowane w nieregularnie rozrzuconych, losowych punktach z przedzia u [0; ] ; określonych przez wariancje z próby. Zachodzi pytanie, czy amane losowe zde niowane poprzez te same sumy, ale przyjmowane w rozmieszczonych deterministycznie odst ¾epach z przedzia u [0; ] ; wyznaczonych przez wariancje badanych sum, b ¾ed a¾ te z tworzyć ciag ¾ zbie zny s abo do procesu Wienera? Na pytanie to odpowiada zasada niezmienniczości, która¾ za chwil ¾e sformu ujemy. W celu zniwelowania wp ywu zmiennej losowej 2 na graniczny rozk ad ciagu ¾ amanych losowych musimy tu oczywiście zastosować taki sam ciag ¾ normujacy ¾ fu n g jak poprzednio, tzn. ciag ¾ wartości proporcjonalnych do losowego odchylenia standardowego z próby. Zde niujmy zatem ciag ¾ borelowskich elementów losowych w przestrzeni C [0; ] wzorem n (t) = M i (ff k g) + ts2 n s 2 i U n s 2 i s 2 Y i i U n dla s 2 i ts2 n s 2 i ; i n, gdzie s2 0 = 0: Twierdzenie 9 Zasada niezmienniczo sci dla funkcjonalnego centralnego twierdzenia granicznego. Je zeli spe niony jest warunek Lindeberga (7), a warunek (8) zastapimy ¾ przez U 2 n s 2 n! 2 z prawdopodobieństwem ; gdzie s 2 n % ; oraz 0 < 2 jest p.p. skończona¾ zmienna¾ losowa, ¾ to sup j n (t) 0t n (t)j P! 0: W konsekwencji, w przestrzeni (C [0; ] ; kk). n w! W gdy n! Podobnie jak w przypadku centralnego twierdzenia granicznego w przestrzeni jednowymiarowej, równie z w funkcjonalnym centralnym twierdzeniu granicznym dla ańcuchów Markowa mo zna podać oszacowania szybkości zbie zności. 0

11 2.4 Funkcjonalne prawo iterowanego logarytmu Rozwa zmy przestrzeń C [0; ] funkcji ciag ych ¾ x : [0; ]! R z norma¾ kxk = sup jx (t)j. 0t Niech K C [0; ] b ¾edzie zbiorem funkcji absolutnie ciag ych ¾ x 2 C [0; ] wychodzacych ¾ z punktu x (0) = 0; których pochodne _x spe niaja¾ warunek Z 0 [ _x (t)] 2 dt. Wiadomo, ze K jest wówczas zbiorem zwartym w przestrzeni C [0; ]. Chcac ¾ sformu ować prawo iterowanego logarytmu dla ańcuchów Markowa najwygodniej b ¾edzie pos ugiwać si ¾e funkcja¾ ( dla 0 < x e e ; LL (x) = log log x dla x > e e. Rozpatrzmy jednorodny ańcuch Markowa fx n ; n 0g o wartościach w ogólnej przestrzeni stanów X; majacy ¾ dowolny rozk ad poczatkowy ¾ 2 M; : B (X)! R; oraz jadro ¾ prawdopodobieństw przejścia P = fp (x; A) ; x 2 X; A 2 B (X)g. Jak poprzednio, zak adamy, ze ff n ; n 0g jest ciagiem ¾ funkcji rzeczywistych B (X)-mierzalnych określonych na X, spe niajacym ¾ warunek fn 2 2 L (MP n ) dla ka zdego n 0. Przyjmujemy ponadto oznaczenia oraz Y i = f i (X i ) (P f i ) (X i ) ; i ; U 2 0 = 0; U 2 k = Przypuśćmy nast¾epnie, ze Yi 2 przestrzeni C [0; ] wzorem kx i= Y 2 i ; k n. s 2 0 = 0; s 2 n = E [M n (ff k g)] 2 ; n. > 0 i zde niujmy ciag ¾ elementów losowych w n (t) = M i (ff k g) p 2U 2 n LL (Un) + tu n 2 Ui 2 Y i 2 Yi 2 p 2U 2 n LL (Un) 2 dla U 2 i tu 2 n U 2 i ; i n.

12 Twierdzenie 0 Funkcjonalne prawo iterowanego logarytmu. Je zeli spe nione sa¾ warunki: oraz ^ ">0 _ >0 U 2 n s 2 n X n= E [jy n j fjy n j > " s n g] s n < ; X E Yn 4 fjy n j s n g < ; n= s 4 n! 2 z prawdopodobieństwem ; gdzie 0 < 2 jest p.p. skończona¾ zmienna¾ losowa, ¾ to ciag ¾ funkcji losowych f n ; n g jest z prawdopodobieństwem warunkowo zwarty w przestrzeni C [0; ] i ma zbiór punktów skupienia równy K. Wniosek Je sli spe nione sa¾ za o zenia twierdzenia 0, to oraz lim sup n! lim inf n! np [f j (X j ) (P f j ) (X j )] j= p 2U 2 n LL (U 2 n) np [f j (X j ) (P f j ) (X j )] j= p 2U 2 n LL (U 2 n) = p.p., = p.p., Uwaga. Opisany powy zej rozdzia rozprawy ma raczej charakter teoretyczny, jednak na podstawie podanych tam metod mo zna opracować wiele bardzo interesujacych ¾ modeli opisujacych ¾ ró znorodne zjawiska przyrodnicze, ekonomiczne i spo eczne. Przyk adem mo ze być tutaj algorytm pozwalajacy ¾ wyznaczyć prawdopodobieństwo przekroczenia przez obserwowane proces ustalonych wcześniej barier oraz oszacowanie czasu niezb ¾ednego do osiagni ¾ ¾ecia tych granic. W ten sposób mo zna modelować m.in. stan zapasów magazynowych, czy te z poziom wody w zbiornikach retencyjnych. 3 Estymacja prawdopodobieństw przejścia i innych parametrów ańcuchów Markowa W tym rozdziale rozwa zany jest nast ¾epujacy ¾ problem: obserwujemy wartości zmiennych losowych X 0 ; X ; X 2 ; ::: tworzacych ¾ (jednorodny) ańcuch Markowa o wartościach w przestrzeni stanów S = f; 2; :::; r (; :::)g N = f; 2; :::g : 2

13 i na podstawie tych obserwacji chcemy ocenić jakie sa¾ w przybli zeniu prawdopodobieństwa przejścia p ij tworzace ¾ macierz przejścia P tego ańcucha Markowa. W pierwszej chwili problem ten mo ze wydawać si ¾e dość trywialny, bowiem znamy wiele ró znych twierdzeń granicznych dla ańcuchów Markowa, a zatem wystarczy skorzystać z odpowiednich rezultatów. Okazuje si ¾e jednak, ze w tego typu twierdzeniach jako granice nie wyst¾epuja¾ nigdzie prawdopodobieństwa przejścia. Np. w znanym twierdzeniu ergodycznym dla ańcuchów Markowa pojawiaja¾ si¾e granice i, które sa¾ jednakowe dla ca ej kolumny wyrazów macierzy przejścia P n = [p ij (n)] w n krokach, a wi¾ec stosowanie tych granic jako przybli zonych wartości prawdopodobieństw przejścia w jednym kroku by oby raczej nierozsadne. ¾ Z drugiej strony, znane sa¾ tak ze twierdzenia graniczne dla średniej liczby wizyt ańcucha Markowa w ró znych stanach, ale granice te wyra zaja¾ si¾e poprzez charakterystyki liczbowe (m.in. wartości oczekiwane) czasów powrotu ańcucha Markowa do ró znych stanów, a nie jego prawdopodobieństwa przejścia. Jednym z podstawowych rezultatów pomocniczych stosowanych w tej cz ¾eści pracy jest nast ¾epujaca ¾ w asność typu Kadeca-Klee dla przestrzeni ` (przypuszczalnie chyba nieznana nawet w analizie funkcjonalnej, wiadomo bowiem, ze s aba topologia zaw¾e zona do sfery jednostkowej w jednostajnie wypuk ych przestrzeniach Banacha pokrywa si ¾e z topologia¾ mocna, ¾ ale ` nie jest przestrzenia¾ jednostajnie wypuk ¾ a). Lemat 2 Topologia zbie zno sci oddzielnie ka zdej wspó rz ¾ednej wektorów w przestrzeni ` zaw ¾e zona do wycinka sfery jednostkowej ( ) X x = (x ; x 2 ; :::) 2 ` : x i 0; x i = jest równowa zna topologii mocnej okre slonej przez norm ¾e przestrzeni ` (topologia zbie zno sci po wspó rz ¾ednych w ` jest s absza od s abej topologii w `). i= Sens tego lematu jest nast¾epujacy: ¾ wystarczy stwierdzić istnienie granic, równych np. p ij oddzielnie dla wszystkich wskaźników i; j; a nast¾epnie na mocy lematu mo zna wnioskować o zbie zności ciagów ¾ wektorowych do granicznego rozk adu prawdopodobieństwa wed ug wahania miar dyskretnych. W zwiazku ¾ z tym w pracy badane sa¾ mo zliwie najs absze rodzaje zbie zności: zbie zność w sensie Abela i zbie zność wed ug średnich Césaro. 3. Szeregi pot ¾egowe macierzy i granice Abela Jeśli dla danego ciagu ¾ liczbowego ograniczonego fa n ; n 0g R utworzymy funkcj ¾e Abela X A (s) = ( s) s n a n ; 0 s < ; n=0 3

14 a nast ¾epnie stwierdzimy, ze istnieje granica lim A (s) = a; s% to mówimy, ze ciag ¾ liczb rzeczywistych fa n g jest zbie zny w sensie Abela, oraz liczb ¾e a 2 R nazywamy granica¾ w sensie Abela ciagu ¾ fa n g : Dla dowolnej macierzy P mo zemy zde niować stowarzyszony z ta¾ macierza¾ szereg pot ¾egowy P : [0; )! M = M u;v (S) ; gdzie M jest zbiorem macierzy kwadratowych o takim samym wymiarze jak P; k adac ¾ X P (s) = ( s) s n P n ; 0 s < ; n=0 przy czym P 0 = I jest macierza¾ jednostkowa, ¾ a s 0 =. Szereg ten jest zbie zny dla ka zdego s 2 [0; ) w normie kk u;v przestrzeni M; określonej wzorem X kmk u;v = sup i2s j2s jm ij j, przy czym wszystkie macierze M = [M ij ] (i;j)2ss o wyrazach rzeczywistych, dla których kmk u;v < tworza¾ rzeczywista¾ przestrzeń liniowa¾ Banacha M. W teorii ańcuchów Markowa dowodzi si¾e, ze dla dowolnej macierzy przejścia P jednorodnego ańcucha Markowa istnieja¾ granice lim s% (P (s)) ij = ij; gdzie i; j 2 S moga¾ być dowolnymi stanami. Tak wi¾ec wartości ij sa¾ granicami Abela ciagów ¾ liczbowych ograniczonych n o (P n ) ij ; n 0 ; i; j 2 S. Granice te sa¾ zwiazane ¾ z czasami powrotu: (0) j 0 dla wszystkich j 2 S; oraz 8 (m) j = >< >: n inf n > dla m ; j 2 S, mianowicie (m ) j o : X n = j jeśli zbiór w nawiasie klamrowym jest 6= ;, (m ) gdy X n 6= j dla ka zdego n > jj = (m ) lub j = ; j ; E j jx 0 = j, (9) 4

15 ij = P j < jx 0 = i E dla i 6= j; (0) j jx 0 = j przy czym stosujemy tu powszechnie przyj ¾eta¾ konwencj ¾e 3.2 Granice Césaro = 0; = ; oraz 0 = 0: 0 Mówimy, ze (ograniczony) ciag ¾ liczb rzeczywistych fa n ; n 0g R jest zbie zny w sensie Césaro do granicy a 2 R; jeśli n X a i! a gdy n! : n i=0 W ogólnym przypadku prawdziwe sa¾ implikacje (a n! a) ) (a n! a w s. Césaro) ) (a n! a w s. Abela) ; ale zadnej z tych implikacji bez odpowiednich dodatkowych za o zeń nie mo zna odwrócić. Okazuje si ¾e jednak, ze dla jednorodnych ańcuchów Markowa istnieja¾ tak ze granice średnich Césaro równe granicom Abela; k ad ac ¾ mamy A n = n P m ; lim (A n) n! ij = ij = lim (P (s)) ij. s% Przytoczone powy zej rezultaty sugeruja¾ nast¾epujac ¾ a¾ metod ¾e post ¾epowania: przy pomocy wyjściowego ańcucha Markowa nale zy utworzyć nowy ańcuch Markowa, który b ¾edzie mieć granice Césaro i Abela wyra zajace ¾ si¾e poprzez prawdopodobieństwa przejścia p ij. Dodatkowa¾ wskazówk¾e podpowiada nam intuicja: chcac ¾ znaleźć przybli zona¾ wartość p ij ; przypuszczalnie nale zy obliczyć ile razy wystapi o ¾ przejście ze stanu i 2 S do stanu j 2 S i podzielić ta¾ liczb ¾e przez liczb ¾e wszystkich obserwacji przejścia ze stanu i 2 S do dowolnego innego stanu k 2 S. Pojawia si¾e jednak pytanie, czy takie post ¾epowanie jest uzasadnione, spróbujemy zatem znaleźć teoretyczne podstawy takiej metody. W szczególności, nie jest wcale oczywiste, czy ta metoda przyniesie po z adane ¾ efekty dla dowolnych stanów i; j 2 S; a wi¾ec nasuwa si ¾e kolejne pytanie jakie warunki musza¾ spe niać te stany, aby opisane post ¾epowanie okaza o si ¾e w aściwe. 5

16 3.3 Nadbudowany ańcuch Markowa Po ¾ aczmy zmienne losowe ciagu ¾ X 0 ; X ; X 2 ; : : : w pary i oznaczmy Y 0 = (X 0 ; X ) ; Y = (X ; X 2 ) ; Y 2 = (X 2 ; X 3 ) ; : : : Zauwa zmy, ze jeśli znamy wartość Y n ; czyli par¾e wartości X n = i; X n = j; to mo zemy znaleźć prawdopodobieństwa przejścia ańcucha X 0 ; X ; X 2 ; ::: do ka zdego stanu X n+ = k 2 S; a wi¾ec mo zemy obliczyć prawdopodobieństwo przejścia ze stanu Y n = (i; j) do dowolnego innego stanu Y n = (j; k) w chwili n. Dowodzi to, ze ciag ¾ Y 0 ; Y ; Y 2 ; ::: tworzy nowy ańcuch Markowa nazwiemy go ańcuchem nadbudowanym nad wyjściowym ańcuchem X 0 ; X ; X 2 ; :::; lub ańcuchem (nadbudowanym) drugiego rz ¾edu. W pierwszej chwili wydaje si ¾e oczywiste, ze przestrzenia¾ stanów dla ciagu ¾ wektorów losowych Y 0 ; Y ; Y 2 ; : : : jest zbiór S S = S 2, ale niestety zwykle tak nie jest, bowiem w wyjściowym ańcuchu Markowa fx n ; n 0g nie zawsze mo zliwe jest przejście w jednym kroku z ka zdego stanu do ka zdego innego stanu. Tak wi¾ec stwierdzamy, ze ciag ¾ fy n ; n 0g przyjmuje wartości z jakiegoś podzbioru S e S S. Ponadto chcemy znaleźć macierz przejścia Q w jednym kroku i macierz przejścia Q n w n > krokach tego nowego ańcucha Markowa. Rozszerzona macierz przejścia ańcucha fy n ; n 0g w n-krokach ma wyrazy postaci (Q n (n ) ) (k;l)(i;j) = p li p ij ; (k; l) ; (i; j) 2 S S; dla n ; gdzie p (0) li = li (symbol Kroneckera). W rozszerzonej macierzy przejścia niektóre kolumny moga¾ zawierać same zera, a zatem nale zy je wykreślić i równocześnie skreślić wiersze o tych samych indeksach. Znajac ¾ ogólna¾ postać tej macierzy powy zszy wzór mo ze wydawać si ¾e oczywisty, tym niemniej wymaga on dowodu, tzn. znalezienia macierzy Q; przyj ¾ecie za o zenia indukcyjnego dotyczacego ¾ Q n ; pomno zenia Q n przez Q i sprawdzenia, ze otrzymamy wówczas macierz analogicznej postaci ze wskaźnikiem pot ¾egi n + : 3.4 Klasy kacja stanów nadbudowanego ańcucha Markowa Stwierdziliśmy powy zej, ze przestrzeń stanów S e nadbudowanego ańcucha Markowa nie musi być równa iloczynowi kartezjańskiemu S S przestrzeni stanów S wyjściowego ańcucha Markowa, a wi¾ec jeśli C S jest klasa¾ równowa zności stanów ańcucha Markowa fx n ; n 0g wyznaczona¾ przez relacj¾e komunikowania si¾e stanów ze soba, ¾ to iloczyn kartezjański C C nie musi zawierać si¾e w przestrzeni stanów S e nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g. Pomimo wspomnianych trudności, mo zemy jednak podać pewne ogólne informacje na temat postaci klas stanów nadbudowanego ańcucha Markowa. 6

17 Lemat 3 Niech C S b ¾edzie klasa¾ równowa zno sci okre slona¾ przez relacj ¾e $ komunikowania si ¾e stanów ze soba ¾ ańcucha Markowa fx n ; n 0g i niech es S S b ¾edzie przestrzenia¾ stanów nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g : Wtedy zbiór ec = S e \ (C C) jest albo pusty, albo jest klasa¾ równowa zno sci wyznaczona¾ przez relacj ¾e komunikowania si ¾e stanów nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g : Twierdzenie 4 Niech S b ¾edzie przestrzenia¾ stanów (jednorodnego) ańcucha Markowa fx n ; n 0g i niech S e S S oznacza przestrzeń stanów nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g : Para (i; j) 2 S S jest stanem rekurencyjnym nadbudowanego ańcucha Markowa fy n g wtedy i tylko wtedy, gdy ańcuch fx n g mo ze przej sć w jednym kroku z dodatnim prawdopodobieństwem ze stanu i 2 S do stanu j 2 S; czyli i! j; oraz i; j 2 C S, gdzie C jest klasa¾ stanów rekurencyjnych ańcucha fx n g ; przy czym [(i; j)] = e C = e S \ (C C). W konsekwencji, para (i; j) 2 S S jest stanem chwilowym ańcucha fy n g wtedy i tylko wtedy, gdy i 2 S jest stanem chwilowym ańcucha fx n g oraz z dodatnim prawdopodobieństwem mo zliwe jest przej scie i! j w jednym kroku ze stanu i 2 S do stanu j 2 S w ańcuchu fx n g. Je sli i 2 S jest stanem rekurencyjnym, a j 2 S stanem chwilowym ańcucha fx n ; n 0g ; lub i; j 2 S sa¾ stanami chwilowymi tego ańcucha, ale przej scie i! j jest niemo zliwe, to (i; j) =2 e S. Prawdziwe jest tak ze nast ¾epujace ¾ kryterium dodatniej rekurencyjności i zerowej rekurencyjności stanów w nadbudowanym ańcuchu Markowa. Twierdzenie 5 0 Je zeli stany i; j 2 S, i 6= j, komunikuja¾ si ¾e ze soba¾ i w ańcuchu Markowa fx n ; n 0g z dodatnim prawdopodobieństwem mo zliwe jest przej scie i! j w jednym kroku, to para (i; j) 2 S e jest dodatnim stanem rekurencyjnym nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g wtedy i tylko wtedy, gdy stany i; j 2 S sa¾ dodatnio rekurencyjne w ańcuchu fx n ; n 0g ; oraz para (i; j) 2 S e jest zerowym stanem rekurencyjnym ańcucha fy n ; n 0g wtedy i tylko wtedy, gdy i; j 2 S sa¾ zerowymi stanami rekurencyjnymi ańcucha fx n ; n 0g. Ponadto h i E e (i;j) jy 0 = (i; j) = E [ ijx 0 = i] ; gdzie p ij > 0. p ij 2 0 Je zeli i 2 S jest stanem ańcucha Markowa fx n ; n 0g ; dla którego z dodatnim prawdopodobieństwem mo zliwe jest przej scie i! i w jednym kroku, to para (i; i) 2 e S jest dodatnim stanem rekurencyjnym nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g wtedy i tylko wtedy, gdy i 2 S jest dodatnim stanem 7

18 rekurencyjnym ańcucha fx n ; n 0g ; oraz para (i; i) 2 e S jest zerowym stanem rekurencyjnym ańcucha fy n ; n 0g wtedy i tylko wtedy, gdy i 2 S jest zerowym stanem rekurencyjnym ańcucha fx n ; n 0g. Ponadto h i E e (i;i) jy 0 = (i; i) = E [ ijx 0 = i] ; gdzie p ii > 0. p ii 3.5 Granice Abela w nadbudowanym ańcuchu Markowa Obliczamy najpierw funkcj ¾e macierzowa¾ Abela Q (s) = ( X s) s n Q n ; 0 s < ; n=0 odpowiadajac ¾ a¾ ciagowi ¾ macierzy przejścia fq n ; n 0g nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g. Funkcja ta, w zale zności od podobnej funkcji macierzowej P (s) bazowego ańcucha Markowa fx n ; n 0g wyra za si¾e wzorem (Q (s)) (k;l)(i;j) = ( s) (k;l)(i;j) + s (P (s)) li p ij : Wynika stad, ¾ ze granice Abela w przypadku nadbudowanego ańcucha Markowa sa¾ równe e (k;l)(i;j) = lim (Q (s)) (k;l)(i;j) = s% gdy z Wiemy jednak, ze = lim s% ( s) (k;l)(i;j) + s (P (s)) li p ij = li p ij ; lim s% (P (s)) li = li: oraz W rezultacie, li = P [ i < jx 0 = l] ii = E [ i jx 0 = i] E [ i jx 0 = i]. dla l 6= i; oraz przy czym e (k;l)(i;j) = P [ i < jx 0 = l] e (k;i)(i;j) = E [ i jx 0 = i] p ij E [ i jx 0 = i] p ij, E [ i jx 0 = i] 6= 0 dla n 6= i 8

19 wtedy i tylko wtedy, gdy i 2 S jest stanem dodatnio rekurencyjnym w wyjściowym ańcuchu Markowa fx n ; n 0g : Granice te sa¾ tak ze równe granicom w sensie Césaro ciagów ¾ wyrazów macierzy fq n ; n 0g. Ponadto jeśli h P Y 0 2 C e i = ; oraz (i; j) 2 C; e gdzie C e S e jest klasa¾ równowa zności stanów dodatnio rekurencyjnych ańcucha fy n ; n 0g ; to dla ciagu ¾ miar empirycznych eln (i;j) = n f(i;j)g (X m ; X m+ ) nadbudowanego ańcucha Markowa fy n ; n 0g ; odpowiadajacych ¾ miarom fl n ; n 0g ; (L n ) i = n fig (X m ) w wyjściowym ańcuchu Markowa fx n ; n 0g ; mamy lim L e C n e e v = 0 z prawdopodobieństwem ; n! gdzie e e C (i;j) = e C (i; j) e (i;j)(i;j) dla (i; j) 2 e S. Wynika stad ¾ w szczególności, ze wówczas n X lim f(i;j)g (X m ; X m+ ) = e (i;j)(i;j) p.p. () n! n Zgodnie z ogólna¾ teoria, ¾ ta¾ ostatnia¾ zbie zność mo zna te z zastapić ¾ zbie znościa¾ średniokwadratowa, ¾ tzn.! lim E n 2 X f(i;j)g (X m ; X m+ ) e (i;j)(i;j) = 0; n! n a nawet zbie znościa¾ wed ug średniej dowolnego rz ¾edu ciagu ¾ norm miar empirycznych, lim E e C Ln e e p = 0 dla 0 < p <. n! v Z drugiej strony, jeśli (i; j) 2 S e nie nale zy do klasy równowa zności C e S e stanów dodatnio rekurencyjnych ańcucha fy n ; n 0g ; z której ańcuch ten wystartowa w chwili n = 0; to P " lim n! # n X f(i;j)g (X m ; X m+ ) = 0 = : (2) n 9

20 Odpowiednikiem nowego twierdzenia dla dowolnych ańcuchów Markowa jakie znalaz o si¾e w pracy jest nast¾epujacy ¾ rezultat dla nadbudowanych ańcuchów Markowa. Twierdzenie 6 Niech fx n ; n 0g b ¾edzie (jednorodnym) ańcuchem Markowa o warto sciach w przestrzeni stanów S N i niech fy n ; n 0g b ¾edzie ańcuchem Markowa nadbudowanym nad ańcuchem fx n ; n 0g. Za ó zmy, ze przestrzeń stanów S e S S nadbudowanego ańcucha Markowa zawiera klas ¾e ec stanów rekurencyjnych dodatnich. Wtedy dla dowolnego stanu (i; j) 2 C; e lim (Q (s)) (i;j)() e [(i;j)] v = 0; oraz gdzie s% lim n! ean (Q (s)) (i;j)() e [(i;j)] v = X ean (i;j)() e [(i;j)] v = (k;l)2 e S X (i;j)() ( (k;l)2 e S n e [(i;j)] v = 0; s) X s n (Q n ) (i;j)(k;l) n=0 (Q m ) (i;j)(k;l) e [(i;j)] (k;l) [(i;j)] (k;l) natomiast e [(i;j)] = e (i;j)(k;l) sa¾ granicami Abela i granicami srednich (k;l) n o Césaro ciagów ¾ liczbowych (Q n ) (i;j)(k;l) ; n Twierdzenia graniczne dla prawdopodobieństw przejścia ańcuchów Markowa Na podstawie przeprowadzonych powy zej rozwa zań mo zemy otrzymać ró zne twierdzenia graniczne, w których jako granice wyst ¾epuja¾ prawdopodobieństwa przejścia ańcuchów Markowa. Twierdzenie 7 Niech fx n ; n 0g b ¾edzie (jednorodnym) ańcuchem Markowa o warto sciach w przestrzeni stanów S N i niech fy n ; n 0g b ¾edzie ańcuchem nadbudowanym nad fx n ; n 0g przyjmujacym ¾ warto sci w przestrzeni stanów S e SS. Je zeli stany (i; j) ; (k; l) 2 S sa¾ ró zne, tzn. (i; j) 6= (k; l) ; oraz w ańcuchu fx n ; n 0g z dodatnim prawdopodobieństwem mo zliwe jest przej scie l! i w skończonej liczbie kroków n 0; to (Q (s)) (k;l)(i;j) lim = p ij. s% (P (s)) li ; ; 20

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

1 Miary asymetrii i koncentracji

1 Miary asymetrii i koncentracji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.2014-3 godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

1 Poj ¾ecie szeregu czasowego

1 Poj ¾ecie szeregu czasowego Studia podyplomowe w zakresie przetwarzania, zarz¾adzania i statystycznej analizy danych Analiza szeregów czasowych 24.11.2013-2 godziny konwersatorium autor: Adam Kiersztyn 1 Poj ¾ecie szeregu czasowego

Bardziej szczegółowo

1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach

1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach 1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.

Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r. Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

1 Regresja liniowa cz. I

1 Regresja liniowa cz. I Regresja liniowa cz. I. Model statystyczny Model statystyczny to zbiór za o zeń. Wprowadzamy model, który mo zliwie najlepiej opisuje ineresujacy ¾ nas fragment rzeczywistość. B ¾edy modelu wynikaja¾ z

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok

Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok Adam Kiersztyn Katedra Teorii Prawdopodobieństwa Wydzia Matematyczno - Przyrodniczy Katolicki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011

Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011 Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

1 Przygotowanie ankiety

1 Przygotowanie ankiety 1 Przygotowanie ankiety Na dzisiejszych zaj ¾eciach skupimy si ¾e na zasadach tworzenia, wprowadzania oraz wst ¾epnej analizie danych zawartych w ankietach. Za ó zmy, ze ankieta sk ada si ¾e nast¾epujacych

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Metody analizy funkcji przeżycia

Metody analizy funkcji przeżycia Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos Spis tre ci PRZEDMOWA :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11 CZ I. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ::::::::::: 13 Rozdzia 1. Modelowanie ekonometryczne ::::::::::::::::::::::::::::::

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity)

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity) Załącznik do Uchwały Nr 1226/2015 Zarządu Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. z dnia 3 grudnia 2015 r. Szczegółowe zasady obliczania wysokości i pobierania opłat giełdowych (tekst jednolity)

Bardziej szczegółowo

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka 7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 2006

dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 2006 dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 26 Gra z naturą polega na tym, że przeciwnikiem jest osoba, zjawisko naturalne, obiekt itp. nie zainteresowany wynikiem gry. Strategia, którą podejmie przeciwnik ma charakter

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15

DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Elementy cyfrowe i układy logiczne

Elementy cyfrowe i układy logiczne Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Zezwolenie Dekoder, koder Demultiplekser, multiplekser 2 Operacja zezwolenia Przykład: zamodelować podsystem elektroniczny samochodu do sterowania urządzeniami:

Bardziej szczegółowo

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751 Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych.

20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych. Z1. Sformu lować model dla optymalnego planowania produkcji w nast epujacych warunkach: Wytwórca mebli potrzebuje określić, ile sto lów, krzese l i biurek powinien produkować, aby optymalnie wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:

Bardziej szczegółowo

Regulamin rekrutacji. do II Liceum Ogólnokształcącego w Jaśle im. ppłk J.Modrzejewskiego. na rok szkolny 2014/2015

Regulamin rekrutacji. do II Liceum Ogólnokształcącego w Jaśle im. ppłk J.Modrzejewskiego. na rok szkolny 2014/2015 Zarządzenie nr 6/2014 Dyrektora II Liceum Ogólnokształcącego w Jaśle im. ppłk J.Modrzejewskiego z dnia 27 lutego 2014r w sprawie: regulaminu rekrutacji na rok szkolny 2014/2015 na podstawie: ustawy z dnia

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

3. Wydatki na wynagrodzenia wraz z pochodnymi oznaczają wydatki ponoszone przez pracodawcę i przez pracownika.

3. Wydatki na wynagrodzenia wraz z pochodnymi oznaczają wydatki ponoszone przez pracodawcę i przez pracownika. Ministerstwo Pracy i Polityki Społecznej Departament Polityki Rodzinnej Wyjaśnienia dotyczące wypełniania sprawozdań rzeczowo-finansowych z wykonywania zadań z zakresu wspierania rodziny i systemu pieczy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 WZÓR - UMOWA NR...

Załącznik nr 4 WZÓR - UMOWA NR... WZÓR - UMOWA NR... Załącznik nr 4 zawarta w dniu we Wrocławiu pomiędzy: Wrocławskim Zespołem Żłobków z siedzibą we Wrocławiu przy ul. Fabrycznej 15, 53-609 Wrocław, NIP 894 30 25 414, REGON 021545051,

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY

KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH Bruksela, dnia 13.12.2006 KOM(2006) 796 wersja ostateczna Wniosek DECYZJA RADY w sprawie przedłużenia okresu stosowania decyzji 2000/91/WE upoważniającej Królestwo Danii i

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex) Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra

Bardziej szczegółowo

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku.

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Eksperyment,,efekt przełomu roku

Eksperyment,,efekt przełomu roku Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już

Bardziej szczegółowo

Sprawozdania dotyczą okresu 1 lipca 2012 31 grudnia 2012 r. (nienarastająco z wyjątkiem wierszy co do których przypisy w sprawozdaniu mówią inaczej)

Sprawozdania dotyczą okresu 1 lipca 2012 31 grudnia 2012 r. (nienarastająco z wyjątkiem wierszy co do których przypisy w sprawozdaniu mówią inaczej) Ministerstwo Pracy i Polityki Społecznej Departament Polityki Rodzinnej Najczęściej poruszane kwestie przy wypełnianiu sprawozdań rzeczowo-finansowych z wykonywania zadań z zakresu wspierania rodziny i

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Instalacja programu. Omówienie programu. Jesteś tu: Bossa.pl

Instalacja programu. Omówienie programu. Jesteś tu: Bossa.pl Jesteś tu: Bossa.pl Program Quotes Update to niewielkie narzędzie ułatwiające pracę inwestora. Jego celem jest szybka i łatwa aktualizacja plików lokalnych z historycznymi notowaniami spółek giełdowych

Bardziej szczegółowo

W nawiązaniu do korespondencji z lat ubiegłych, dotyczącej stworzenia szerszych

W nawiązaniu do korespondencji z lat ubiegłych, dotyczącej stworzenia szerszych W nawiązaniu do korespondencji z lat ubiegłych, dotyczącej stworzenia szerszych mechanizmów korzystania z mediacji, mając na uwadze treść projektu ustawy o mediatorach i zasadach prowadzenia mediacji w

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo