Metody analizy funkcji przeżycia
|
|
- Elżbieta Olejniczak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26
2 Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy jest mierzenie czasu jaki mija od operacji chirurgicznej do śmierci operowanego pacjenta. Z tego powodu tak rozumiany czas T nazywamy czasem przeżycia, a rozważania statystyczne, których celem jest sformułowanie wniosków dotyczących tej wielkości, określamy mianem analizy czasu przeżycia. Taki rodzaj badań pojawia się jednak nie tylko w przypadkach medycznych Przykłady analizy czasu przeżycia Badamy niezawodność podzespołów elektronicznych opisaną przez liczbę godzin bezawaryjnej pracy tych elementów, czas korzystania przez klienta z oferowanej mu usługi (np. z usług operatora telefonii komórkowej), Page 2 of 26
3 czas jaki mija od dnia operacji do zgonu osoby poddanej temu zabiegowi chirurgicznemu, skuteczność nowej terapii mierzoną liczbą miesięcy, które mijają od rozpoczęcia leczenia do wyzdrowienia pacjenta. W każdym z tych przykładów, T jest nieujemną zmienną losową wyrażoną w latach, miesiącach, tygodniach, dniach itp. Ze względu na interpretację tej wielkości (T jest czasem), przyjmujemy że rozkład zmiennej losowej T jest ciągły Własności funkcji przeżycia Interesuje nas funkcja przeżycia S, która dla ustalonego t R określa prawdopodobieństwo przyjęcia przez T wartości większej niż t (nazywane prawdopodobieństwem przeżycia powyżej czasu t). S(t) = Pr(T > t), t R. Z powyższej definicji wynikają następujące własności: jest nierosnąca, gładka oraz taka, że S(0) = 1 i lim t S(t) = 0. Page 3 of 26
4 1 S(t) t Rysunek 1: Kształt funkcji przeżycia 1.4. Inne własności funkcji przeżycia Niech F i f oznaczają dystrybuantę i gęstość rozkładu zmiennej T F (t) = Pr(T t) = t f(x) dx, t R. Ponieważ T jest zmienną losową typu ciągłego, więc Page 4 of 26
5 S(t) = 1 F (t) = f(x) dx i f(t) = ds(t), t R. t dt Znając postać funkcji przeżycia S(t) zmiennej losowej T (czy też znając jej dystrybuantę F (t)), możemy wyznaczyć ważne parametry liczbowe charakteryzujące rozkład tej zmiennej losowej Parametry liczbowe charakteryzujące rozkład czasu przeżycia Wartość oczekiwana zmiennej losowej T : m = E T = tf(t) dt = S(t) dt. 0 Wariancja zmiennej losowej T ( Var T = E (T E T ) 2 2 = 2 ts(t) dt S(t) dt). 0 Kwantyl rzędu p rozkładu ciągłej zmiennej losowej T (p (0, 1)). Jest to dowolna wartość t p, taka że Pr (T > t p ) = 1 p. Oznacza to, że kwantyl rzędu p jest rozwiązaniem równania S(t p ) = 1 p. 0 0 Page 5 of 26
6 1.6. Inne parametry charakteryzujące czas życia Innym parametrem, ważnym w ubezpieczeniach życiowych, jest: Oczekiwany dalszy czas życia pewnego obiektu w wieku x mrl(x) = E (T x T > x). Dla ciągłego czasu życia, po scałkowaniu przez części otrzymujemy: mrl(x) = (t x)f(t) dt x = S(x) x S(t) dt. S(x) Między mrl(x) i rozkładem zmiennej losowej T zachodzi odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna Interpretacja parametrów czasu życia Powyższe parametry mają swoją ważną interpretację. Wartość oczekiwana m = E T oznacza, w pewnym sensie, średnią wartość przyjmowaną przez zmienną losową T. Page 6 of 26
7 Wariancja Var T jest miarą rozproszenia rozkładu T wokół średniej m (im mniejsza wariancja, tym rozkład bardziej skupiony). Jeśli T opisuje czas życia w pewnej populacji, to kwantyl rzędu p oznacza wiek, który przekracza jedynie (1 p) 100% populacji. Parametr mrl(x) oznacza przeciętną liczbę lat, które może jeszcze przeżyć osoba kończąca x lat. Page 7 of 26
8 2. Dystrybuanta empiryczna 2.1. Próba prosta Parametry, charakteryzujące rozkład T, można wyznaczyć znając funkcję przeżycia. W praktycznych zagadnieniach, ta funkcja jest zazwyczaj nieznana, a jej postać należy estymować wykorzystując informacje zawarte w próbie, tzn. znając wartości t 1,..., t n przyjęte przez zmienne losowe T 1,..., T n mające taki rozkład co T. Niech zmienna losowa T ma nieznaną dystrybuantę F. Próba prosta Niezależne zmienne losowe T 1,..., T n mające ten sam rozkład opisany przez dystrybuantę F nazywamy losową próbą prostą z F Przykłady informacji zawartych w próbach Przykłady Znamy czas bezawaryjnej pracy każdego ze 100 procesorów. Wiemy jak długo z usług oferowanych przez firmę Plus GSM korzystał każdy z 2000 klientów tej sieci telefonii komórkowej. Page 8 of 26
9 Wiemy ile czasu po skomplikowanej operacji przeżył każdy ze 100 pacentów poddanych temu zabiegowi. Dla każdego z 50 chorych, leczonych za pomocą nowej metody, znamy czas jaki minął od rozpoczęcia terapii do ich całkowitego wyzdrowienia Pojęcie dystrybuanty empirycznej Jednym z najczęściej używanych estymatorów dystrybuanty rozkładu jest dystrybunta empiryczna. Dystrybuntą empiryczną losowej próby prostej T 1,..., T n, opartą na zaobserwowanych wartościach t 1,..., t n tej próby, nazywamy funkcję F n : (, ) [0, 1], przyjmująca w punkcie t wartość: F n (t; T 1,..., T n ) = #{ i : T i t }, t R. n Dla ustalonych wartości t 1,..., t n próby, dystrybuanta empiryczna F n (t; t 1,..., t n ) jest przedziałami stałą funkcją zmiennej t, mającą skoki w punktach t 1,..., t n. Ponadto, F n ( ; t 1,..., t n ) jest dystrybuantą rozkładu dyskretnego, przyjmującego wartości t 1,..., t n z tym samym prawdopodobieństwem 1/n. Page 9 of 26
10 Dla uproszczenia zapisu, będziemy oznaczać wartość dystrybuanty empirycznej w punkcie t symbolem F n (t), mimo że ta wartość jest funkcją próby T 1,..., T n, a więc jest zmienną losową. Tak więc F n (t) = liczba obserwacji t 1,..., t n, które są nie większe niż t. n Dystrybuantę empiryczną można zapisać także w inny sposób, wykorzystując tzw. statystyki porządkowe (pozycyjne) próby, tzn. wartości próby uporządkowane od najmniejszej do największej. Niech T (1) <... < T (n) oznaczają statystyki porządkowe próby T 1,..., T n. Przy tych oznaczeniach F n (t) = 1 T (i) t ( 1 1 n i + 1 ), t R. (1) Page 10 of 26
11 2.4. Empiryczna funkcja przeżycia Skoro F n jest estymatorem dystrybuanty F, to estymatorem funkcji przeżycia S = 1 F jest: Empiryczna funkcja przeżycia Ŝ n (t) = 1 F n (t) = ( ) 1 1, t R, (2) n i Przykład liczbowy T (i) t Konstrukcję estymatora funkcji przeżycia, opartego na dystrybuancie empirycznej, objaśnimy na następującym przykładzie: Obserwacje czasu trwania zaniku objawów choroby u 10 pacjentów chorych na białaczkę dały następujące wyniki (w tygodniach): 6, 6, 6, 7, 10, 10, 13, 16, 22, 23. Wartości estymatora funkcji przeżycia wystarczy obliczyć dla czasów przeżycia 0 t 1 t 2 < t n, którymi w tym przykładzie są: 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23. Wynika to stąd, że Ŝ n (t) = liczba obserwacji t 1,..., t n, które są większe niż t. n Page 11 of 26
12 Ŝ(t) t Rysunek 2: Estymator krzywej przeżycia oparty na dystrybuancie empirycznej 2.6. Własności dystrybuanty empirycznej Dystrybuanta empiryczna jest bardzo dobrym estymatorem nieznanej dystrybuanty F, gdyż ma szereg optymalnych własności. Page 12 of 26
13 Theorem 1 Niech F n będzie dystrybuntą empiryczną opartą na próbie prostej T 1,..., T n z F. Wówczas E F n (t) = F (t) i Var F n (t) = sup t R F (t)(1 F (t)), dla t R. n F n (t) F (t) 0 z prawdopodobieństwem 1. Pr( sup t R F n (t) F (t) > ε ) 2 exp( 2nε 2 ), dla ε > 0. n( Fn (t) F (t)) N(0, 1) według rozkładu. F (t)(1 F (t)) Page 13 of 26
14 3. Empiryczna funkcja wiarogodności Warto wspomnieć, że dystrybunta empiryczna jest rozwiązaniem pewnego zagadnienia optymalizacyjnego, które opiszemy poniżej. Niech F będzie zbiorem wszystkich dystrybuant. Dla dowolnej dystrybunty F F, symbolem P F oznaczymy miarę prawdopodobieństwa, generowaną przez tę dystrybuntę. Nieparametryczną funkcją wiarogodności próby prostej T 1,..., T n, opartą na zaobserwowanych wartościach t 1,..., t n tej próby, nazywamy funkcjonał l : F [0, 1], określony wzorem: l(g) = n P G ({t i }), G F. (3) i=1 Oczywiście, l(g) = 0, gdy P G ({t i }) = 0 dla pewnego 1 i n. Kiefer i Wolfowitz udowodnili w 1956 roku poniższe twierdzenie: Theorem 2 Niech T 1,..., T n będzie próbę prostą z F F i niech l będzie empiryczną funkcją wiarogodności, zdefiniowaną wzorem (3). Wówczas dystrybuanta empiryczna F n maksymalizuje l(g) względem G F. Page 14 of 26
15 4. Estymator Kaplana Meiera 4.1. Obserwacje cenzurowane W większości analiz czasu przeżycia napotyka się na problem zwany cenzurowaniem. Cenzurowanie pojawia się wtedy, gdy nie znamy dokładnego czasu przeżycia. Jeżeli czas badania kończy się przed zajściem interesującego nas zdarzenia, to nie mamy informacji jak długi był czas od zakończenia badania do zajścia tego zdarzenia. Przyczyny powstawania obserwacji cenzurowanych w badaniach dotyczących przeżywalności po zastosowaniu nowej terapii pacjent nie zmarł w okresie prowadzonych obserwacji, pacjent wycofał się z badania (np. wyjechał, zrywając kontakty ze szpitalem), pacjent zmarł przed ukończeniem badania z innej przyczyny, niż ta którą jesteśmy zainteresowani. Page 15 of 26
16 4.2. Przykład badań z obserwacjami cenzurowanymi Przykład badań, w których mogą pojawić się obserwacje cenzurowane W okresie od 1 stycznia 2005 roku do 31 grudnia 2006 sprawdzamy co się stało z pacjentami, których w pierwszej połowie 2005 roku poddano operacji przeszczepienia nerki Obserwacje cenzurowane lewo- i prawostronne Na ogół obserwacje są cenzurowane z prawej strony, ale mogą też być cenzurowane z lewej strony. Przykładem tego może być czas życia osoby zarażonej wirusem HIV. Obserwujemy czas od momentu stwierdzenia pozytywnego testu na obecność HIV aż do śmierci, ale nie znamy czasu od momentu zarażenia do wykrycia. W dalszej części wykładu opiszemy najpopularniejszy sposób estymacji funkcji przeżycia S na podstawie obserwacji cenzurowanych prawostronnie. W takim problemie estymacji zakłada się, że cenzurownie nie ma wpływu na czas przeżycia. Typowa obserwacja zawiera czas badania i informację o tym czy ta wielkość jest czasem do zajścia interesującego nas zdarzenia, czy też czasem do ocenzurowania obserwacji. Page 16 of 26
17 4.4. Postać obserwacji cenzurowanej prawostronnie Obserwacja w problemie cenzurowania prawostronnego Nieznaną dystrybuantę F zmiennej losowej T szacujemy na podstawie zaobserwowanych wartości wektora (X, δ) postaci: { 1, gdy T C, X = min(t, C) i δ = (4) 0, gdy T > C, gdzie C jest niezależnym od T momentem cenzurowania. Znając wartość δ wiemy czy zaobserwowana wartość X jest czasem przeżycia T, czy też jego ocenzurowaną wersją, gdyż { 1, jeżeli obserwacja T nie jest cenzurowana, δ = 0, jeżeli obserwacja T jest cenzurowana Próba prosta w cenzurowaniu prawostronnym Jeśli obserwacje są cenzurowane, to nieznaną dystrybuntę F czasu przeżycia T estymujemy na podstawie próby prostej postaci: Próba prosta rozmiaru n w problemie cenzurowania Niezależne wektory losowe (X 1, δ 1 ),..., (X n, δ n ), mające ten sam rozkład co wektor Page 17 of 26
18 (X, δ) postaci (4), nazywamy losową próbą prostą rozmiaru n w zagadnieniu cenzurowania prawostronnego. Niech (X (1), δ (1) ),..., (X (n), δ (n) ) będą wektorami z próby (X 1, δ 1 ),..., (X n, δ n ) uporządkowanymi tak, że X (1) <... < X (n) i niech (x (1), δ (1) ),..., (x (n), δ (n) ) będą wartościami przyjętymi przez te wektory Estymator Kaplana-Meiera W 1958 roku Kaplan i Meier zaproponowali, aby przy danych obciętych, nieznaną dystrybuantę F czasu przeżycia estymować za pomocą następującej modyfikacji dystrybuanty empirycznej: Estymator Kaplana-Meiera dystrybuanty F F n (t) = 1 X (i) t ( 1 δ (i) n i + 1 ), t R. (5) Do estymacji funkcji przeżycia S = 1 F można więc wykorzystać estymator Kaplana-Meiera funkcji przeżycia S Ŝ n (t) = ( ) δ (i) 1, t R. (6) n i + 1 X (i) t Page 18 of 26
19 4.7. Własności estymatora Kaplana-Meiera Estymator Kaplana-Meiera też ma szereg optymalnym własności. Theorem 3 Niech F n będzie estymatorem Kaplana Meiera i niech τ będzie dowolną liczbą, taką że Pr(X < τ) < 1. Wówczas E F n (t) F (t). sup F n (t) F (t) 0 według prawdopodobieństwa. t τ n( F n (t) F (t)) ma asymptotyczny rozkład normalny. Page 19 of Empiryczna funkcja wiarogodności dla danych obciętych Warto wspomnieć, że estymator Kaplana Meiera dystrybuanty, podobnie jak i dystrybuanta empiryczna, jest rozwiązaniem zagadnienia optymalizacyjnego, które opiszemy poniżej.
20 Nieparametryczną funkcją wiarogodności dla danych obciętych (X 1, δ 1 ),..., (X n, δ n ) nazywamy funkcjonał l : F [0, 1], określony wzorem: l(g) = n i=1 p δ (i) i ( n+1 j=i+1 p j ) 1 δ(i), G F, (7) gdzie p i = P G ({x (i) }) dla i = 1,..., n i p n+1 = 1 G(x (n) ) Uogólnienie rezultatu Kiefera i Wolfowitza Można udowodnić następujące twierdzenie, będące uogólnieniem rezultatu Kiefera i Wolfowitza. Theorem 4 Niech (X 1, δ 1 ),..., (X n, δ n ) będzie próbę prostą dla danych cenzurowanych i niech l będzie empiryczną funkcją wiarogodności, zdefiniowaną wzorem (7). Wówczas estymator Kaplana Meiera F n maksymalizuje l(g) względem G F. Page 20 of 26
21 4.10. Alternatywna postać estymatora Kaplana-Meiera Niech N n i Y n będą procesami na [0, ) określonymi wzorami: N n (t) = #{i : X i t, δ i = 1 }, Y n (t) = #{i : X i t}. Interpretację estymatora Kaplana Meiera funkcji przeżycia S ułatwia zapisanie tego estymatora w równoważnej postaci: Alternatywna postać estymatora Kaplana Meiera funkcji przeżycia Ŝ n (t) = s ( t X (n) ) gdzie N n (s) = N n (s) N n (s ) Rozważania heurystyczne ( 1 N n(s) Y (s) ), (8) Heurystyczne rozważania prowadzące do wzoru (8) zilustrujemy na przykładzie przeżywalności po przeszczepie nerki. Zauważmy, ze prawdopodobieństwo tego, że pacjent przeżyje k dni po transplantacji jest równe prawdopodobieństwu przeżycia k 1 dni, pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia k dni, gdy Page 21 of 26
22 wiadomo, że pacjent przeżył pierwszych k 1 dni, tzn. S(0) = 1 i S(k) = S(k 1) Pr(T > k T k), k 1. (9) Ponieważ Y (k) = liczba osób, które przeżyły co najmniej k dni N n (k) = liczba osób, które zmarły w k-tym dniu, więc 1 N n(k) = Y (k) N n(k) jest sensownym oszacowaniem prawdopodobieństwa tego, osoba która przeżyła k 1 dni Y (k) Y (k) przeżyje co najmniej k dni, tzn. Estymatorem Pr(T > k T k) jest Pr (T > k T k) = 1 N n(k) Y (k). Ze wzoru (9) natychmiast wynika, że funkcję przeżycia S możemy oszacować przyjmując: Ŝ n (0) = 1 i Ŝ n (k) = Ŝn(k 1) Pr(T > k T k) ( = Ŝn(k 1) 1 N ) n(k), k 1. Y (k) Page 22 of 26
23 Stąd wynika postać (8) estymatora Kaplana Meiera Ŝn. Estymator Pr (T > k T k) ma wartość 1, jeśli w k tym dniu nikt nie zmarł. Do wyznaczenia Ŝn wystarcza więc obliczenie wartości przyjmowanych przez Ŝn w dniach zgonów Przykład liczbowy Konstrukcję estymatora Kaplana Meiera objaśnimy na następującym przykładzie, w którym plusy oznaczają cenzurowanie: Obserwacje czasu trwania zaniku objawów choroby u 21 pacjentów chorych na białaczkę dały następujące wyniki (w tygodniach): 6, 6, 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23, 6+, 9+, 10+, 11+,17+, 19+, 20+, 25+, 32+, 32+, 34+, 35+. Wartości estymatora funkcji przeżycia wystarczy obliczyć dla niecenzurowanych czasów przeżycia 0 < t 1 < t 2 < < t k, którymi w tym przykładzie są: 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23. Dla uproszczenia zapisu, symbolami Y i oraz d i oznaczymy wielkości Y n (t i ) oraz N n (t i ) (tzn. liczbę osób, które przeżyły co najmniej t i tygodni oraz liczbę osób zmarłych w tygodniu t i, i = ( 1,..., 7). Ze wzoru (8): Ŝ n (0) = 0 i Ŝn(t i ) = Ŝn(t i 1 ) 1 d i Y i ). Page 23 of 26
24 Tablica 1: Estymator Kaplana Meiera dla chorych na białaczkę t i d i Y i Ŝ n (t i ) ( ( ( ( (1 1) = (1 1) = Page 24 of 26
25 Ŝ(t) t Rysunek 3: Estymator krzywej przeżycia Page 25 of 26
Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowo7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Bardziej szczegółowoJan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Bardziej szczegółowoDokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem
Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Bardziej szczegółowoWiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu
Bardziej szczegółowoZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY
ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 1. ZMIANA GRUPY PRACOWNIKÓW LUB AWANS W przypadku zatrudnienia w danej grupie pracowników (naukowo-dydaktyczni, dydaktyczni, naukowi) przez okres poniżej 1 roku nie dokonuje
Bardziej szczegółowoRekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych
Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623
Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu
Bardziej szczegółowoEksperyment,,efekt przełomu roku
Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoZmiany pozycji techniki
ROZDZIAŁ 3 Zmiany pozycji techniki Jak zmieniać pozycje chorego w łóżku W celu zapewnienia choremu komfortu oraz w celu zapobieżenia odleżynom konieczne jest m.in. stosowanie zmian pozycji ciała chorego
Bardziej szczegółowop o s t a n a w i a m
ZARZĄDZENIE NR ON.0050.2447.2013.PS PREZYDENTA MIASTA BIELSKA-BIAŁEJ Z DNIA 7 CZERWCA 2013 R. zmieniające zarządzenie w sprawie wprowadzenia Regulaminu przyznawania karty Rodzina + oraz wzoru karty Rodzina
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowo2. Generatory liczb (pseudo)losowych
http://www.kaims.pl/~robert/miss/ Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania
Podstawy programowania Elementy algorytmiki C w środowisku.e (C#) dr inŝ. Grzegorz Zych Copernicanum, pok. 104 lub 206a 1 Minimum programowe reści kształcenia: Pojęcie algorytmu. Podstawowe konstrukcje
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych)
ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) Zadanie 1 Zapytano 180 osób (w tym 120 mężczyzn) o to czy rozpoczynają dzień od wypicia kawy czy też może preferują herbatę.
Bardziej szczegółowoWarszawska Giełda Towarowa S.A.
KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości
Bardziej szczegółowoDE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15
DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania
Bardziej szczegółowoProjekt MES. Wykonali: Lidia Orkowska Mateusz Wróbel Adam Wysocki WBMIZ, MIBM, IMe
Projekt MES Wykonali: Lidia Orkowska Mateusz Wróbel Adam Wysocki WBMIZ, MIBM, IMe 1. Ugięcie wieszaka pod wpływem przyłożonego obciążenia 1.1. Wstęp Analizie poddane zostało ugięcie wieszaka na ubrania
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji otwartej
Konspekt lekcji otwartej Przedmiot: Temat lekcji: informatyka Modelowanie i symulacja komputerowa prawidłowości w świecie liczb losowych Klasa: 2 g Data zajęć: 21.12.2004. Nauczyciel: Roman Wyrwas Czas
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania
WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoREGULAMIN. przeprowadzania naboru nowych pracowników do korpusu służby cywilnej w Kuratorium Oświaty w Szczecinie.
Załącznik do zarządzenia Nr 96 /2009 Zachodniopomorskiego Kuratora Oświaty w Szczecinie z dnia 23 września 2009 r. REGULAMIN przeprowadzania naboru nowych pracowników do korpusu służby cywilnej w Kuratorium
Bardziej szczegółowoRZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie
RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada
Bardziej szczegółowoStandardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROS-ALUMINIUM.COM
Standardowe tolerancje wymiarowe WWW.ALBATROSALUMINIUM.COM Tolerancje standardowe gwarantowane przez Albatros Aluminium obowiązują dla wymiarów co do których nie dokonano innych uzgodnień podczas potwierdzania
Bardziej szczegółowoRegulamin przyznawania, wydawania i korzystania z Karty Ustrzycka Karta Dużej Rodziny
Załącznik do Zarządzenia Nr 138/16 Burmistrza Ustrzyk Dolnych z dnia 9 czerwca 2016 r. Załącznik nr 2 do Zarządzenia Nr 8/16 Burmistrza Ustrzyk Dolnych z dnia 12 stycznia 2016 r. Regulamin przyznawania,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć
Bardziej szczegółowowarsztató OMNM ar n medk oafał ptaszewskii mgr goanna tieczorekjmowiertowskai mgr Agnieszka jarkiewicz
warsztató OMNM ar n medk oafał ptaszewskii mgr goanna tieczorekjmowiertowskai mgr Agnieszka jarkiewicz } Pacjent w badaniu klinicznym a NFZ } Kalkulacja kosztów } Współpraca z zespołem badawczym jak tworzyć
Bardziej szczegółowoKratownice Wieża Eiffel a
Kratownice Wieża Eiffel a Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonch ze sobą w węzłach. Kratownica może bć: 1) płaska, gd wszstkie pręt leżą w jednej płaszczźnie, 2) przestrzenna,
Bardziej szczegółowoTrwałość projektu co zrobić, żeby nie stracić dotacji?
Trwałość projektu co zrobić, żeby nie stracić dotacji? 2 Osiągnięcie i utrzymanie wskaźników Wygenerowany przychód Zakaz podwójnego finansowania Trwałość projektu Kontrola po zakończeniu realizacji projektu
Bardziej szczegółowoProjektowanie bazy danych
Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoNa podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu.
Na podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu Regulamin Zarządu Stowarzyszenia Przyjazna Dolina Raby Art.1. 1. Zarząd Stowarzyszenia
Bardziej szczegółowoREGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława ROZDZIAŁ I
Załącznik Nr 1 do zarządzenia Nr169/2011 Burmistrza Miasta Mława z dnia 2 listopada 2011 r. REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława Ilekroć w niniejszym regulaminie
Bardziej szczegółowoKLAUZULE ARBITRAŻOWE
KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa
Bardziej szczegółowoObowiązek wystawienia faktury zaliczkowej wynika z przepisów o VAT i z faktu udokumentowania tego podatku.
Różnice kursowe pomiędzy zapłatą zaliczki przez kontrahenta zagranicznego a fakturą dokumentującą tę Obowiązek wystawienia faktury zaliczkowej wynika z przepisów o VAT i z faktu udokumentowania tego podatku.
Bardziej szczegółowoEpidemiologia weterynaryjna
Jarosław Kaba Epidemiologia weterynaryjna Testy diagnostyczne I i II i III Zadania 04, 05, 06 Warszawa 2009 Testy diagnostyczne Wzory Parametry testów diagnostycznych Rzeczywisty stan zdrowia chore zdrowe
Bardziej szczegółowoUCHWAŁA NR... RADY MIASTA KIELCE. z dnia... 2016 r.
Projekt UCHWAŁA NR... RADY MIASTA KIELCE z dnia... 2016 r. w sprawie ustalenia zasad udzielania i rozmiaru obniżek tygodniowego obowiązkowego wymiaru godzin zajęć nauczycielom, którym powierzono stanowiska
Bardziej szczegółowoZasady rekrutacji dzieci do I klasy Szkoły Podstawowej im. hm. Janka Bytnara Rudego w Lubieniu Kujawskim na rok szkolny 2014/2015*
Zasady rekrutacji dzieci do I klasy Szkoły Podstawowej im. hm. Janka Bytnara Rudego w Lubieniu Kujawskim na rok szkolny 2014/2015* 1. Dzieci zamieszkałe w obwodzie szkoły przyjmowane są do klasy I na podstawie
Bardziej szczegółowoPowiatowy Urząd Pracy w Trzebnicy. w powiecie trzebnickim w 2008 roku Absolwenci w powiecie trzebnickim
Powiatowy Urząd Pracy w Trzebnicy Załącznik do Monitoringu zawodów deficytowych i nadwyżkowych w powiecie trzebnickim w 2008 roku Absolwenci w powiecie trzebnickim Trzebnica, wrzesień 2009 Opracowanie:
Bardziej szczegółowoUmowa o pracę zawarta na czas nieokreślony
Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony Uwagi ogólne Definicja umowy Umowa o pracę stanowi dokument stwierdzający zatrudnienie w ramach stosunku pracy. Według ustawowej definicji jest to zgodne oświadczenie
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI WYCHOWAWCZEJ: AGRESJA I STRES. JAK SOBIE RADZIĆ ZE STRESEM?
SCENARIUSZ LEKCJI WYCHOWAWCZEJ: AGRESJA I STRES. JAK SOBIE RADZIĆ ZE STRESEM? Cele: - rozpoznawanie oznak stresu, - rozwijanie umiejętności radzenia sobie ze stresem, - dostarczenie wiedzy na temat sposobów
Bardziej szczegółowoElementy cyfrowe i układy logiczne
Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Zezwolenie Dekoder, koder Demultiplekser, multiplekser 2 Operacja zezwolenia Przykład: zamodelować podsystem elektroniczny samochodu do sterowania urządzeniami:
Bardziej szczegółowoRekrutacją do klas I w szkołach podstawowych w roku szkolnym 2015/2016 objęte są dzieci, które w roku 2015 ukończą:
Załącznik nr 1 do Zarządzenia nr 2/2015 Dyrektora Szkoły Podstawowej nr 1 w Radzyniu Podlaskim z dnia 27 lutego 2015 r. Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej w Szkole Podstawowej nr 1 im. Bohaterów
Bardziej szczegółowoUmowa nr.. /. Klient. *Niepotrzebne skreślić
Umowa nr.. /. zawarta dnia w, pomiędzy: Piotr Kubala prowadzącym działalność gospodarczą pod firmą Piotr Kubala JSK Edukacja, 41-219 Sosnowiec, ul. Kielecka 31/6, wpisanym do CEIDG, NIP: 644 273 13 18,
Bardziej szczegółowoPROJEKT. w sprawie: wyboru Przewodniczącego Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia Spółki
Załącznik nr 2 o zwołaniu Spółki w sprawie: wyboru Przewodniczącego Spółki Nadzwyczajne Walne Zgromadzenie TAURON Polska Energia S.A. z siedzibą w Katowicach, działając na podstawie art. 409 Kodeksu spółek
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem
Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania
Bardziej szczegółowoAUTOR MAGDALENA LACH
PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009
Bardziej szczegółowoUchwała Nr... Rady Miejskiej Będzina z dnia... 2016 roku
Uchwała Nr... Rady Miejskiej Będzina z dnia... 2016 roku w sprawie określenia trybu powoływania członków oraz organizacji i trybu działania Będzińskiej Rady Działalności Pożytku Publicznego. Na podstawie
Bardziej szczegółowoKraków, dnia 19 kwietnia 2016 r. Poz. 2574 UCHWAŁA NR XVIII/249/16 RADY MIEJSKIEJ W NIEPOŁOMICACH. z dnia 30 marca 2016 roku
DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA MAŁOPOLSKIEGO Kraków, dnia 19 kwietnia 2016 r. Poz. 2574 UCHWAŁA NR XVIII/249/16 RADY MIEJSKIEJ W NIEPOŁOMICACH z dnia 30 marca 2016 roku w sprawie zasad rozliczania tygodniowego
Bardziej szczegółowoPODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoRegulamin Obrad Walnego Zebrania Członków Stowarzyszenia Lokalna Grupa Działania Ziemia Bielska
Załącznik nr 1 do Lokalnej Strategii Rozwoju na lata 2008-2015 Regulamin Obrad Walnego Zebrania Członków Stowarzyszenia Lokalna Grupa Działania Ziemia Bielska Przepisy ogólne 1 1. Walne Zebranie Członków
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DLA UCZESTNIKÓW ZAWODÓW ZADANIA
INSTRUKCJA DLA UCZESTNIKÓW ZAWODÓW 1. Zawody III stopnia trwają 150 min. 2. Arkusz egzaminacyjny składa się z 2 pytań otwartych o charakterze problemowym, 1 pytania opisowego i 1 mini testu składającego
Bardziej szczegółowoSpis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona
Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona.............. 3 3.1. Równanie sine-gordona.......................... 3 3.1.1. Rozwiązania dla fali biegnącej................... 7 3.2. Równanie
Bardziej szczegółowoFORUM ZWIĄZKÓW ZAWODOWYCH
L.Dz.FZZ/VI/912/04/01/13 Bydgoszcz, 4 stycznia 2013 r. Szanowny Pan WŁADYSŁAW KOSINIAK - KAMYSZ MINISTER PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ Uwagi Forum Związków Zawodowych do projektu ustawy z dnia 14 grudnia
Bardziej szczegółowoPOWIATOWY URZĄD PRACY
POWIATOWY URZĄD PRACY ul. Piłsudskiego 33, 33-200 Dąbrowa Tarnowska tel. (0-14 ) 642-31-78 Fax. (0-14) 642-24-78, e-mail: krda@praca.gov.pl Załącznik Nr 3 do Uchwały Nr 5/2015 Powiatowej Rady Rynku Pracy
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska *
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoP R O C E D U R Y - ZASADY
ZASADY REKRUTACJI DO PUBLICZNYCH PRZEDSZKOLI, ODDZIAŁÓW PRZEDSZKOLNYCH PRZY SZKOŁACH PODSTAWOWYCH DLA KTÓRYCH ORGANEM PROWADZĄCYM JEST MIASTO I GMINA POŁANIEC NA ROK SZKOLNY 2016/2017 P R O C E D U R Y
Bardziej szczegółowoZasady rekrutacji, kryteria i warunki przyjęć do Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach
Zasady rekrutacji, kryteria i warunki przyjęć do Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach Załącznik nr 1 do Zarządzenia nr 3/2016 Dyrektora Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach z dnia 07.03. 2016
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Nr ćwiczenia: 2 Temat: Problem transportowy Cel ćwiczenia: Nabycie umiejętności formułowania zagadnienia transportowego
Bardziej szczegółowoPodatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07
Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 2 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowo-wytwórczej) Podatek przemysłowy (lokalny podatek
Bardziej szczegółowoRegulamin Pracy Komisji Rekrutacyjnej w Publicznym Przedszkolu Nr 5 w Kozienicach
Regulamin Pracy Komisji Rekrutacyjnej w Publicznym Przedszkolu Nr 5 w Kozienicach Podstawa prawna: Ustawa z dnia 7 września 1991 o systemie oświaty (tekst jednolity Dz. U. z 2015 r., poz. 2156 ze zm.),
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1
E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,...,
Bardziej szczegółowobiuro@cloudtechnologies.pl www.cloudtechnologies.pl Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia
Warszawa, 11 kwietnia 2016 roku Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia w sprawie przyjęcia porządku obrad Zwyczajne Walne Zgromadzenie przyjmuje następujący porządek obrad: 1. Otwarcie Zgromadzenia,
Bardziej szczegółowoRegulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju
Regulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju Art.1. 1. Zarząd Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju, zwanego dalej Stowarzyszeniem, składa się z Prezesa, dwóch Wiceprezesów, Skarbnika, Sekretarza
Bardziej szczegółowoREGULAMIN WSPARCIA FINANSOWEGO CZŁONKÓW. OIPiP BĘDĄCYCH PRZEDSTAWICIELAMI USTAWOWYMI DZIECKA NIEPEŁNOSPRAWNEGO LUB PRZEWLEKLE CHOREGO
Załącznik nr 1 do Uchwały Okręgowej Rady Pielęgniarek i Położnych w Opolu Nr 786/VI/2014 z dnia 29.09.2014 r. REGULAMIN WSPARCIA FINANSOWEGO CZŁONKÓW OIPiP BĘDĄCYCH PRZEDSTAWICIELAMI USTAWOWYMI DZIECKA
Bardziej szczegółowoUCHWAŁA NR... RADY MIASTA GDAŃSKA. z dnia... 2013 r.
UCHWAŁA NR... RADY MIASTA GDAŃSKA z dnia... 2013 r. w sprawie obowiązku ukończenia szkolenia zakończonego egzaminem dla osób wykonujących przewozy osób taksówkami Na podstawie rt. 18 ust. 2 pkt 15 ustawy
Bardziej szczegółowoAutomatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec.
Automatyka Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. : samoczynny. Automatyka to: dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi, dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń
Bardziej szczegółowoUKŁAD ROZRUCHU SILNIKÓW SPALINOWYCH
UKŁAD ROZRUCHU SILNIKÓW SPALINOWYCH We współczesnych samochodach osobowych są stosowane wyłącznie rozruszniki elektryczne składające się z trzech zasadniczych podzespołów: silnika elektrycznego; mechanizmu
Bardziej szczegółowoUCHWAŁA NR... RADY POWIATU STAROGARDZKIEGO. z dnia... 2013 r.
Projekt UCHWAŁA NR... RADY POWIATU STAROGARDZKIEGO z dnia... 2013 r. w sprawie zasad rozliczania tygodniowego obowiązkowego wymiaru godzin zajęć nauczycieli, dla których ustalony plan zajęć jest różny
Bardziej szczegółowoZałącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r.
Załącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r. Zasady i tryb przyznawania oraz wypłacania stypendiów za wyniki w nauce ze Studenckiego
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ Anna Gutt- Kołodziej ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI Podczas pracy
Bardziej szczegółowoSpecyfikacja techniczna banerów Flash
Specyfikacja techniczna banerów Flash Po stworzeniu własnego banera reklamowego należy dodać kilka elementów umożliwiających integrację z systemem wyświetlającym i śledzącym reklamy na stronie www. Specyfikacje
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.wup.pl/index.php?
1 z 6 2013-10-03 14:58 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.wup.pl/index.php?id=221 Szczecin: Usługa zorganizowania szkolenia specjalistycznego
Bardziej szczegółowo8. Zginanie ukośne. 8.1 Podstawowe wiadomości
8. 1 8. ginanie ukośne 8.1 Podstawowe wiadomości ginanie ukośne zachodzi w przypadku, gdy płaszczyzna działania obciążenia przechodzi przez środek ciężkości przekroju pręta jednak nie pokrywa się z żadną
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania. zgodne z Wewnątrzszkolnymi Zasadami Oceniania. obowiązującymi w XLIV Liceum Ogólnokształcącym.
Przedmiotowe zasady oceniania zgodne z Wewnątrzszkolnymi Zasadami Oceniania obowiązującymi w XLIV Liceum Ogólnokształcącym. Przedmiot: biologia Nauczyciel przedmiotu: Anna Jasztal, Anna Woch 1. Formy sprawdzania
Bardziej szczegółowoNadzwyczajne Walne Zgromadzenie Art New media S.A. uchwala, co następuje:
y uchwał Spółki Art New media S.A. zwołanego w Warszawie, przy ulicy Wilczej 28 lok. 6 na dzień 22 grudnia 2011 roku o godzinie 11.00 w sprawie wyboru Przewodniczącego Zgromadzenia Nadzwyczajne Walne Zgromadzenie
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoTest F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ
Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach
Bardziej szczegółowoLepsze samopoczucie to lepsze oceny. Jaka jest korzyść dla dziecka?
Lepsze samopoczucie to lepsze oceny Jaka jest korzyść dla dziecka? Gdy dziecko przebywa w szkole, warunki nauki znacząco wpływają na jego samopoczucie i skuteczność przyswajania wiedzy. Uczenie się może
Bardziej szczegółowoWarunki formalne dotyczące udziału w projekcie
Witaj. Interesuje Cię udział w projekcie Trener w rolach głównych. Zapraszamy więc do prześledzenia dokumentu, który pozwoli Ci znaleźć odpowiedź na pytanie, czy możesz wziąć w nim udział. Tym samym znajdziesz
Bardziej szczegółowoZarządzenie Nr 1469/2012
Zarządzenie Nr 1469/2012 Prezydenta Miasta Płocka z dnia 01 marca 2012 w sprawie przyjęcia Regulaminu Płockiej Karty Familijnej 3+ w ramach Programu Płocka Karta Familijna 3+ Na podstawie art. 7 ust 1
Bardziej szczegółowo