1 Próba a populacja. Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj ¾eć statystycznych,

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Próba a populacja. Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj ¾eć statystycznych,"

Transkrypt

1 Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych godziny konwersatorium autor Adam Kiersztyn Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj eć statystycznych, poszczególne de nicje zostana wzbogacone o obrazowe przyk ady. Jednym z najistotniejszych poj eć jest populacja statystyczna. De nicja Populacja statystyczna (zbiorowo sć generalna) jest to zbiór obiektów obj etych badaniem statystycznym, co do których formu uje si e wnioski statystyczne. Bardzo silnie z poj eciem populacji statystycznej zwiazane jest poj ecie próby statystycznej. De nicja Próba statystyczna jest to zbiór obserwacji statystycznych wybranych z populacji statystycznej. Na próbie dokonywane sa bezpo srednie badania statystyczne a wyniki badań sa uogólniane na populacj e. Ju z z pobie znej analizy obu de nicji wynika, ze próba jest pewnym podzbiorem populacji. W tym miejscu mo ze pojawić si e pytania Jaki sens ma badanie próby zamiast ca ej populacji? W jaki sposób dokonać wybory próby? Jaki jest zwiazek pomi edzy wynikami badań przeprowadzonych dla próby a oczekiwanymi wynikami dotyczacymi ca ej populacji? Zanim odpowiemy na te pytania spróbujmy podać kilka przyk adów ró znych populacji statystycznych oraz prób. Przyk ad Rozwa zmy populacj e statystyczna, która stanowia wszyscy zyjacy ludzie na Ziemi. Jest to co prawda populacja skończona, ale nie jest mo zliwe zbadanie chocia zby wzrostu ca ej populacji ludzi. W zwiazku z tym chcac oszacować sredni wzrost ludzi nale za oby obliczyć srednia dla pewnego podzbioru wszystkich ludzi i na tej podstawie przybli zyć srednia wzrostu wszystkich ludzi. Oczywíscie wybór tego podzbioru (czyli próby) nie jest dowolny. Zastanówmy si e bowiem, czy wybranie jako próby cz onków polskiej dru zyny siatkarzy by oby uzasadnione, albo czy przyj ecie jako próba uczniów pewnej szko y by oby w a sciwe? Oba podane przyk ady w jasny sposób pokazuja, ze wybór próby statystycznej nie jest taki prosty, bowiem nie ka zdy podzbiór populacji jest reprezentatywny. Pojawia si e tutaj kolejny problem. W jaki sposób dokonać wyboru próby z populacji? Przy wyborze próby musimy mieć na uwadze cech e statystyczna (lub cechy statystyczne) jaka chcemy badać. Najcześciej stosuje sie prób e losowa, czyli ciag zmiennych losowych o takim samym rozk adzie jak rozk ad populacji.

2 Przyk ad Rozwa zmy teraz populacj e drzew w pewnym lesie mieszanym, interesujac a nas cecha b edzie wysoko sć drzew. Jakie próby mo zna wyró zníc w tej populacji? Ćwiczenie Odpowiedzieć na postawione powy zej pytania dotyczace zwiazków populacji oraz próby. Ćwiczenie Podać inne przyk ady populacji. De nicja 3 Jednostka statystyczna jest to element zbiorowo sci statystycznej, który poddawany jest badaniom. De nicja 4 Cecha statystyczna jest to w a sciwo sć, która odznaczaja si e jednostki statystyczne i która podlega badaniu statystycznemu. Cechy statystyczne mo zna podzielić na Jakościowe - niemierzalne, opisowe cechy statystyczne, określane s ownie. Porzadkowe - cechy opisane za pomoca skali liczbowej, ale te liczby wskazuj e jedynie na porzadek wed ug którego zosta y ustawione analizowane cechy. Ilościowe - cechy opisane za pomoca skali liczbowej, cz esto z wyró znionym zerem. Ćwiczenie 3 Opisać populacj e osób b ed acych na zaj eciach za pomoca kilku cech, jakiego rodzaju sa to cechy? Zmienne losowe ciag e i skokowe Pod poj eciem zmiennej losowej b edziemy rozumieć dowolna funkcje mierzalna. W teorii prawdopodobieństwa wyró znia si e dwa g ówne typy zmiennych losowych, mianowicie zmienne losowe ciag e i skokowe. Bez wdawania w szczegó owe rozwa zania, dla naszych potrzeb wystarczy stwierdzenie, ze zmienna losowa skokowa przyjmuje wartości w pewnym przeliczalnym zbiorze wartości, natomiast zmienna losowa ciag a przyjmuje wartości w zbiorze nieprzeliczalnym. Z poj eciem zmiennej losowej nierozerwalnie zwiazany jest jej rozk ad. De nicja 5 Rozk ad zmiennej losowej jest to miara probabilistyczna okre slona na -ciele podzbiorów warto sci zmiennej losowej Tak określona miara probabilistyczna pozwala przypisać prawdopodobieństwa poszczególnym zdarzeniom losowym. Rozk ad zmiennej losowej mo zna zadawać w ró zny sposób. Dla zmiennych losowych typu skokowego zazwyczaj zadaje si e poprzez podanie funkcji skoków prawdopodobieństwa. Funkcj e ta przyje o sie przedstawiać w przejrzystej formie tabelki.

3 Przyk ad 3 Funkcj e ta przyj e o si e przedstawiać w przejrzystej formie tabelki. Rozwa zmy zmienna losowa X oznaczajac a wyrzucona na kostce liczb e oczek, w tym przypadku funkcja skoku przyjmuje postać nast epujacej tabelki x i p i Dla zmiennych losowych typu ciag ego podanie rozk ady za pomoca tak czytelnej tabelki jest niemo zliwe (pami etamy, ze przyjmuje on nieskończenie wiele wartości). Dlatego najcz eściej rozk ad zmiennej losowej zadaje si e za pomoca g estości prawdopodobieństwa. Cz esto rozwa zanym przyk adem zmiennej losowej typu skokowego jest zmienna losowa o rozk adzie jednostajnym (równomiernym), charakteryzuje si e ona tym, ze ka zda wartość liczbowa z pewnego przedzia u liczbowego (a; b) przyjmowana jest z równym prawdopodobieństwem, natomiast wartości spoza tego przedzia u nie sa przyjmowane. W takim przypadku g estość wyra za si e wzorem < b a dla x (a; b) f (x) = 0 dla x = (a; b) Innym sposobem zadania rozk adu jest podanie dystrybuanty rozk adu. Dystrybuant e zmiennej losowej rozwa za si e zarówno dla zmiennych losowych typu skokowego jak i zmiennych losowych typu ciag ego. De nicja Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcj e rzeczywista jednoznacznie wyznaczajac a rozk ad prawdopodobieństwa, a wi ec zawierajac a wszystkie informacje o tym rozk adzie. Dystrybuant e zazwyczaj wyznacza si e z pomoca nast epujacego wzoru F X (t) = P (X < t) = P (X ( ; t)) () Uwaga W niektórych ksia zkach mo zna spotkać si e z nieco inna de nicja, mianowicie nierówno sć < zastapiona jest przez nierówno sć ; czyli F X (t) = P (X t) = P (X ( ; t]) () Uwaga Je sli nie budzi to nieporozumień indeks dolny, mówiacy o tym jakiej zmiennej jest to dystrybuanta, mo zna pominać. Je sli w zadaniu mamy zadana tylko jedna zmienna losowa to smia o mo zna pominać indeks dolny. Uwaga 3 Ze wzgl edów praktycznych dystrybuant e zmiennej losowej wyznacza si e za pomoca nast epujacych pomocniczych wzorów X p i dla zmiennych typu skokowego >< x i<()t F X (t) = Z t (3) f (x) dx dla zmiennych typu ciag ego > 3

4 Przyk ad 4 Wyznaczymy dystrybuant e zmiennej losowej podanej w przyk adzie 3 na dwa sposoby, w ten sposób b edziemy mogli porównać ró znice wynikajace z tych dwóch de nicji. Korzystajac ze wzoru () otrzymujemy nast epujacy wzór dystrybuanty 0 dla x ( ; ] dla x (; ] >< F X (x) = > dla x (; 3] 3 dla x (3; 4] 4 dla x (4; 5] 5 dla x (5; ] dla x (; ) Natomiast po zastosowanie wzoru () otrzymujemy wzór funkcji 0 dla x ( ; ) >< F X (x) = > dla x [; ) dla x [; 3) 3 dla x [3; 4) 4 dla x [4; 5) 5 dla x [5; ) dla x [; ) Jak atwo spostrzec jedyna ró znica polega, ze dystrybuanta jest lewostronnie lub prawostronnie ciag a. Przyk ad 5 Wyznaczanie dystrybuanty zmiennej losowej jest nieco trudniejsze i jak wiemy polega na obliczaniu ca ek oznaczonych z g esto sci. W dalszej cz e sci naszych rozwa zań nie b edziemy obliczać warto sci dystrybuant zmiennych losowych ciag ych. B edziemy natomiast stosunkowo cz esto korzystać z warto sci dystrybuant wybranych rozk adów zawartych w tablicach statystycznych. W zwiazku z tym, aby mieć czyste sumienie wyznaczymy dystrybuant e wybranego rozk adu. Rozwa zmy zmienna losowa o g esto sci ( 0 dla x ( ; 0) f (x) = e x dla x [0; ) 4

5 wówczas korzystajac ze wzoru (3) otrzymujemy nast epujac a funkcj e >< F (x) = > Z x Z x 0dt = 0 dla x ( ; 0) f (t) dt = e x dla x [0; ) gdzie druga cze sć wzoru otrzymujemy w nast epujacy sposób Z x f (t) dt = Z 0 Z x 0dt + e t dt = 0 + e t j x 0 = e x 0 Analizujac powy zsze dwa przyk ady mo zemy atwo dostrzec pewna bardzo istotna w asność wszystkich dystrybuant. Mianowicie oraz lim F (x) = 0 x! lim F (x) = x! Ćwiczenie 4 Wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej Y o rozk adzie jednostajnym na odcinku (0; 5) Ćwiczenie 5 Dana jest zmienna losowa X o funkcji skoków prawdopodobieństwa zadanej tabelka x i 0 3 p i wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej X W statystyce dystrybuanta rozk adu próby zwana jest dystrybuanta empiryczna i jest blisko zwiazana z poj eciem rangi. W poni zszym przyk adzie poznamy praktyczny sposób wyznaczania dystrybuanty empirycznej. Przyk ad Zbadano napi ecie pradu w kilku losowych chwilach czasu i otrzymano wyniki 30, 3, 5,, 30, 33, 30, 30, 3, 35. Wyznaczyć dystrybuant e empiryczna. Rozwiazanie W pierwszym kroku musimy wartości ustawić w sposób niemalejacy, mamy wówczas 5; ; 30; 30; 30; 30; 3; 3; 33; 35 5

6 Nast epnie mo zemy przystapić do wyznaczania dystrybuanty empirycznej, przy czy pamietajmy, ze n = 0 >< F (x) = > 0 dla x ( ; 5] 0 dla x (5; ] 0 dla x (; 30] 0 dla x (30; 3] 7 0 dla x (3; 3] 0 dla x (3; 33] 9 0 dla x (33; 35] dla x (35; ] Prześledźmy dok adniej w jaki sposób zosta a wyznaczona np. wartość F (33). Zauwa zmy, ze liczba obserwacji mniejszych od 33 wynosi i w zwiazku z tym F (33) = 0 = Ćwiczenia do samodzielnego rozwiazania Ćwiczenie Rozwa zmy rzut dwiema symetrycznymi monetami. Niech X oznacza liczba wyrzuconych or ów. Podać rozk ad oraz dystrybuant e tak okre slonej zmiennej losowej. Ćwiczenie 7 Zbadano ilo sć samochodów sprzedawanych przez pewien salon w ciagu kolejnych dni i otrzymano wyniki 0; ; 7; ; ; 9 ; Wyznaczyć dystrybuant e empiryczna. Ćwiczenie Dana jest zmienna losowa Y o rozk adzie zadanym tabelka x i 0 4 p i Wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej Y Ćwiczenie 9 Dana jest zmienna losowa Z o g esto sci f (x) = x + dla x (0; ) 0 dla x = (0; ) Wyznaczyć dystrybuant e zmiennej losowej Z

7 4 Zbiory cech statystycznych Szereg statystyczny to zbiór wartości liczbowych badanej cechy uporzadkowany wed ug określonych kryteriów. Rozró znimy kilka rodzaj szeregów statystycznych. W naszych rozwa zaniach skoncentrujemy si e na szeregach punktowych i przedzia owych. 4. Szereg rozdzielczy punktowy Jednym z mo zliwych sposobów reprezentacji danych jest szereg rozdzielczy punktowy. Jest on najcześciej podawany za pomoca tabeli, w której w jednym wierszu (lub kolumnie) podawane sa wartości cechy a w drugim wierszu (lub odpowiednio kolumnie) podawana jest liczba elementów przyjmujacych dana wartość. Rozwa zmy nast epujacy przyk ad. Przyk ad 7 Zmierzono napi ecie pradu i otrzymano nast epujace wyniki 7; 7; 7; 7; 7; ; ; ; ; ; ; ; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 30; 30; ; 30; 3; 3; ; 3 {z } {z } ; 3 razy razy 3; 3; 3; 3; 3; 33; 33 W powy zszym zestawie obserwacji nie wypisano wszystkich powtórzeń warto sci 30 oraz 3 Jest oczywiste, ze praca na takich danych bez zastosowania narz edzi 7

8 komputerowych by aby bardzo zmudna. Zastosowanie arkusza excel i wprowadzenie tych wszystkich warto sci równie z nie nale za oby do najprzyjemniejszych. W takich w a snie przypadkach stosuje si e szeregi rozdzielcze punktowe. Dane dotyczace napi ecia pradu mo zna przedstawíc w nast epujacy sposób warto sć napi ecia liczba obserwacji lub równowa znie za pomoca analogicznej tabeli warto sć napi ecia liczba obserwacji Poznaliśmy ju z wzory dla podstawowych miar przedstawionych za pomoca szeregu rozdzielczego punktowego. 4. Szereg rozdzielczy przedzia owy Na wst epie rozwa zań dotyczacych szeregów rozdzielczych przedzia owych musimy zauwa zyć, ze ten typ reprezentacji danych ma pewne minusy. Trzeba bowiem pamietać, ze stosujac szereg rozdzielczy przedzia owy zast epujemy dane dok adne pewnymi przybli zeniami w zwiazku z czym otrzymywane przez nas wartości miar nie pokrywaja si e idealnie z ich odpowiednikami liczonymi bezpośrednio dla danych niezgrupowanych. Ró znice te sa jednak zazwyczaj ma o istotne. Zastanówmy sie nastepnie, kiedy zastosowanie szeregu rozdzielczego przedzia owego jest uzasadnione. Po pierwsze wielkość próby, na której dokonywana jest analiza powinna być dość du za (nie ma sensu stosowanie szeregu rozdzielczego przedzia owego dla kilku obserwacji), ponadto rozstep z próby te z powinien być dostatecznie du zy. W podanym powy zej przyk adzie na szereg rozdzielczy punktowy zastosowanie szeregu rozdzielczego przedzia owego nie mia oby wi ekszego sensu. Pomimo tego, ze próba jest dość du za rozstep jest niewielki i wynosi zaledwie jednostek. Zanim podamy przyk ad szeregu rozdzielczego przedzia owego musimy przedstawić schemat, za pomoca którego jest on budowany. Pierwszym problem jest określenie ilości przedzia ów na jakie mamy podzielić dost epne dane. Przyj e o sie, ze liczba przedzia ów k p N, gdzie N oznacza liczebność próby. Nastepnie wyró zniamy element najmniejszy x min i najwiekszy x max w dostepnej zbiorowości. Kolejnym krokiem jest ustalenie rozpi etości przedzia u za pomoca wzoru h = x max k x min

9 Ostatnim krokiem jest budowa przedzia ów. Przyk ad Zbadano wzrost pewnej grupy studentów i otrzymano nast epujace dane 55, 0,,,, 3, 4, 5, 5,,, 9, 70, 70, 7, 7, 7, 73, 74, 74, 75, 7, 77, 7, 79, 0,, 4, 5, 7,, 9, 90, 9, 9. W naszym przypadku N = 35 w zwiazku z tym przyjmujemy, ze k = atwo 9 55 zauwa zamy, ze x min = 55; za s x max = 9 oraz h = = Ostatecznie mo zemy nasze dane zebrać w szereg przedzia owy przedzia liczebno sć [55; ) [; 7) 7 [7; 73) [73; 79) 7 [79; 5) 4 [5; 9] 7 Ćwiczenie 0 Podane poni zej dane dotyczace czasu dojazdu do pracy (w minutach) przedstawíc w postaci szeregu rozdzielczego przedzia owego. Czasy dojazdu, 9, 9, 0, 0,,,,, 4, 5, 5, 5,5,7, 7,, 9, 0, 0, 3, 3, 4, 5,, 7,, 9, 30, 3, 3, 3, 33,35, 40, 45, 50, 55, 0. 9

Bardzo silnie z poj ¾eciem populacji statystycznej zwiazane ¾ jest poj ¾ecie próby statystycznej.

Bardzo silnie z poj ¾eciem populacji statystycznej zwiazane ¾ jest poj ¾ecie próby statystycznej. Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj eć statystycznych, poszczególne de nicje zostana wzbogacone o obrazowe przyk ady. Jednym z najistotniejszych poj eć jest

Bardziej szczegółowo

1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości

1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

1 Miary asymetrii i koncentracji

1 Miary asymetrii i koncentracji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.2014-3 godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach

1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach 1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku

Bardziej szczegółowo

1 Wieloczynnikowa analiza wariancji

1 Wieloczynnikowa analiza wariancji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok

Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok Adam Kiersztyn Katedra Teorii Prawdopodobieństwa Wydzia Matematyczno - Przyrodniczy Katolicki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

1 Analiza wariancji H 1 : 1 6= 2 _ 1 6= 3 _ 1 6= 4 _ 2 6= 3 _ 2 6= 4 _ 3 6= 4

1 Analiza wariancji H 1 : 1 6= 2 _ 1 6= 3 _ 1 6= 4 _ 2 6= 3 _ 2 6= 4 _ 3 6= 4 Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Analiza wariancji Na wst¾epie zapoznamy

Bardziej szczegółowo

1 Poj ¾ecie szeregu czasowego

1 Poj ¾ecie szeregu czasowego Studia podyplomowe w zakresie przetwarzania, zarz¾adzania i statystycznej analizy danych Analiza szeregów czasowych 24.11.2013-2 godziny konwersatorium autor: Adam Kiersztyn 1 Poj ¾ecie szeregu czasowego

Bardziej szczegółowo

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów 1 Testy statystyczne Podczas sprawdzania hipotez statystycznych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ na odrzuceniu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest ona prawdziwa,

Bardziej szczegółowo

Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".

Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski Matematyka w ekonomii. Modele i metody. Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

1 Przygotowanie ankiety

1 Przygotowanie ankiety 1 Przygotowanie ankiety Na dzisiejszych zaj ¾eciach skupimy si ¾e na zasadach tworzenia, wprowadzania oraz wst ¾epnej analizie danych zawartych w ankietach. Za ó zmy, ze ankieta sk ada si ¾e nast¾epujacych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe

Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka kredytowego

Ocena ryzyka kredytowego Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 1. Magdalena Alama-Bućko. 20 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 20 lutego / 19

Statystyka. Wykład 1. Magdalena Alama-Bućko. 20 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 20 lutego / 19 Statystyka Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 20 lutego 2017 1 / 19 Wykład : 30h Laboratoria : 30h (grupa B : 14:00, grupa C : 10:30, grupa E : 12:15) obowiazek

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.

Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

POJĘCIA WSTĘPNE. STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych.

POJĘCIA WSTĘPNE. STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. [1] POJĘCIA WSTĘPNE STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. BADANIE STATYSTYCZNE - ogół prac mających na celu poznanie struktury określonej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 1. Magdalena Alama-Bućko. 26 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 lutego / 34

Statystyka. Wykład 1. Magdalena Alama-Bućko. 26 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 lutego / 34 Statystyka Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 lutego 2018 1 / 34 Wykład : 30h Laboratoria : 30h egzamin w sesji letniej (po uprzednim zaliczeniu ćwiczeń)

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów: Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

1 Regresja liniowa cz. I

1 Regresja liniowa cz. I Regresja liniowa cz. I. Model statystyczny Model statystyczny to zbiór za o zeń. Wprowadzamy model, który mo zliwie najlepiej opisuje ineresujacy ¾ nas fragment rzeczywistość. B ¾edy modelu wynikaja¾ z

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

6.4 Podstawowe metody statystyczne

6.4 Podstawowe metody statystyczne 156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

1 Wieloczynnikowa analiza wariancji ciag ¾ dalszy

1 Wieloczynnikowa analiza wariancji ciag ¾ dalszy Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Wielowymiarowa analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-03-18 08.20-12.30 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów 1 Testy statystyczne Podczas sprawdzania hipotez statystycznych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ na odrzuceniu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest ona prawdziwa,

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt

Statystyka matematyczna. dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Statystyka matematyczna dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Zasady zaliczenia przedmiotu: część wykładowa Maksymalna liczba punktów do zdobycia 40. Egzamin będzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony zbiór jednostek, które

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. 12 listopada Instytut Matematyki WE PP

STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. 12 listopada Instytut Matematyki WE PP STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 12 listopada 2017 1 Analiza współzależności dwóch cech 2 Jednostka zbiorowości - para (X,Y ). Przy badaniu korelacji nie ma znaczenia, która

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Magdalena Alama-Bućko. 27 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

Statystyka. Wykład 2. Magdalena Alama-Bućko. 27 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39 Statystyka Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 27 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego 2017 1 / 39 Banki danych: Bank danych lokalnych : Główny urzad statystyczny: https://bdl.stat.gov.pl/

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody

Bardziej szczegółowo

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne)

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) STATYSTYKA zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) DANYCH STATYSTYKA MATEMATYCZNA analiza i interpretacja danych przy wykorzystaniu metod

Bardziej szczegółowo

1 n. s x x x x. Podstawowe miary rozproszenia: Wariancja z populacji: Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel:

1 n. s x x x x. Podstawowe miary rozproszenia: Wariancja z populacji: Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel: Wariancja z populacji: Podstawowe miary rozproszenia: 1 1 s x x x x k 2 2 k 2 2 i i n i1 n i1 Czasem stosuje się też inny wzór na wariancję z próby, tak policzy Excel: 1 k 2 s xi x n 1 i1 2 Przykład 38,

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 23 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 23 kwietnia / 38

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 23 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 23 kwietnia / 38 Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 23 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 23 kwietnia 2017 1 / 38 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów 1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie skuteczności nowego leku; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość statystyczna), jednostka statystyczna, próba. Cechy: ilościowe (mierzalne),

Statystyka. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość statystyczna), jednostka statystyczna, próba. Cechy: ilościowe (mierzalne), Statystyka zbiór przetworzonych i zsyntetyzowanych danych liczbowych, nauka o ilościowych metodach badania zjawisk masowych, zmienna losowa będąca funkcją próby. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej język polski

Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej język polski Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej język polski 1. Informacje ogólne Badanie osiągnięć uczniów I klas odbyło się 16 września 2009 r. Wyniki badań nadesłało 12 szkół. Analizie poddano wyniki 990 uczniów z

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka

Bardziej szczegółowo