STATYSTYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYKA"

Transkrypt

1 Wykład r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Wtedy: 1.2 Rozkład Poissona Rozkład Poissona 0 ~, 0,1,2,! Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Wtedy: ~ 1.3 Rozkład wykładniczy Rozkład wykładniczy exp 0 exp, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym exp Wtedy: ~, 1.4 Rozkład normalny Rozkład normalny, ; exp 1 2 Własności: 1. Jeżeli zmienna losowa ~, to Strona 1

2 2. Jeżeli jest dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie, to: gdzie dystrybuanta rozkładu 0,1 3. Jeżeli ~, oraz to ~, 4. Jeżeli,, są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach, 1,, odpowiednio oraz zmienna losowa: Wtedy: 0 ~, Przykład 1: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, Rozważmy zmienną losową: średnia arytmetyczna Mamy: Zatem na podstawie własności 4.: Ponadto niech: Wtedy: Stąd: 1 ~ 1, 1 ~,, 0,1 Definicja: Ciąg zmiennych losowych nazywamy asymptotycznie normalnym, 0, gdy ciąg zmiennych losowych: jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej o rozkładzie normalnym 0,1 Strona 2

3 Twierdzenie 1 Centralne tw. graniczne Linderberga Levy ego: Niech,, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną i skończoną dodatnią wariancją. Wtedy ciąg średnich, gdzie jest asymptotycznie normalny, Twierdzenie 2: Niech ciąg zmiennych losowych będzie asymptotycznie normalny, przy czym 0 gdy oraz niech : będzie funkcją różniczkowalną w punkcie i 0 Wtedy ciąg zmiennych losowych jest asymptotycznie normalny, Przykład 2: Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Wtedy: ~, Niech w twierdzeniu 2: Mamy: 0 Ponadto: ; Zatem: Stąd: ~, 1 2, Rozkład chi kwadrat Rozkład chi kwadrat ; 1,2, Definicja: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie 0,1. Mówimy, że ma rozkład chi kwadrat z stopniami swobody. Fakt: Strona 3

4 1 2, 2 Twierdzenie 3 Fishera: Niech,,, 1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie,. Wtedy zmienne losowe: 1 ; 1 1 są niezależne oraz: ~, 1 ~ 1 Wykład r. Lemat: Niech,,,, gdzie,,, są niezależne i mają jednakowe rozkłady,. Ponadto niech:,, przy czym jest macierzą ortogonalną rozmiaru Wtedy,, są niezależne i mają rozkłady,,, 1,2,, Dowód tw. 3: Konstruujemy macierz w następujący sposób: 1 pierwszy wiersz,, 2 pozostałe wyznaczamy tak, aby otrzymać macierz ortogonalną,,,,, Mamy: 1.,, są niezależne Dla 2,, 1 4. Zatem 0 Strona 4

5 1 STATYSTYKA 2 2 Stąd zmienna losowa Ponadto: Mamy: są niezależne/ ~ 1, 1, 1 ~ 1 0, 1 0,1 2,,, niezależne Czyli: 1 ~ 1 Fakt: Niech zmienna losowa ~ Wtedy 1 2 1,2, gdzie ~ 2 1 Dowód szkic: exp !!! 1.6 Rozkład studenta Rozkład studenta 1,2, Definicja: Niech ~0,1 oraz ~ będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Mówimy, że zmienna losowa Strona 5

6 1 ma rozkład Studenta z stopniami swobody. Fakt: Fakt: Niech będzie ciągiem gęstości zmiennych losowych o rozkładzie Wtedy: : lim 1 exp 2 2 Przykład 3: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, 1 wtedy: oraz ~ 0,1 przykład 1 1 ~ 1 tw. 3 Ponadto zmienne losowe, są niezależne Wtedy: 1 ~ 1 1 Mamy: Rozkład Snedecora Rozkład Snedecora,, 1,2, Definicja: Niech ~ oraz ~ będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Mówimy, że zmienna losowa 1 1 Strona 6

7 ma rozkład Snedecora z, stopniami swobody. Fakt: 2 2 2, Przykład 4: Niech,,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio równych, ;, Wtedy: 1 ~ 1 tw. 3 1 ~ 1 tw. 3 Ponadto zmienna losowa, są niezależne 1 1 ~ 1, Mamy: DANE STATYSTYCZNE. MODEL STATYSTYCZNY Przykład 5: 1 Centrala telefoniczna W 200 losowo wybranych 5 sekundowych odcinkach czasowych, badano liczbę zgłoszeń. otrzymano wynik: 0,5,3,,2. 2 Auto test Przeprowadzono 50 niezależnych eksperymentów polegających na hamowaniu badanego typu samochodu. Zaobserwowano długości drogi hamowania w metrach 18,13; 17,61; ; 18,62 Wykład r. Definicja: Populacja zbiór obiektów Cecha zmienna funkcja określona na obiektach populacji ozn. Strona 7

8 Rozkład rzeczywisty populacji rozkład wartości tej cechy na elementach populacji. Próba podzbiór populacji złożony z obiektów podlegających badaniu statystycznemu Rozkład empiryczny z próby rozkład wartości cechy na elementach próby. Przykład 5 Cd.: częstość % zgłoszeń 0 16% 1 33,5% 2 24,5% 3 15,5% 4 7,5% 5 3% dyskretna cecha dane długość drogi liczebność hamowania 17,6 17,8 4 17, ,2 6 18,2 18,4 8 18,4 18, ,6 18, , ciągła cecha Konstruując model matematyczny eksperymentu statystycznego. Dane,,, traktujemy jako realizację wektora losowego,,, o rozkładzie należącej do pewnej rodziny rozkładu przestrzeń próby ciało podzbiorów zbioru na którym określone są rozkłady w zbiorze Próby proste,, przestrzeń statystyczna częstość wartości cechy w próbie rozkład empiryczny funkcja prawdopodobieństwa rozkładu Poissona rozkład tradycyjny wielobok częstotliwości wartości cechy w próbie rozkład empiryczny gęstość rozkładu normalnego rozkład teoretyczny Strona 8

9 Budując model zakładamy, że cecha jest zmienną losową o rozkładzie z rodziny jednowymiarowy. Indukuje ona przestrzeń statystyczną w taki sposób, że,, są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie.,,,, rozkład populacji : przestrzeń populacji model parametryczny model nieparametryczny Przykład 5: 1 budujemy model Zakładamy ~ 0 Zatem 0,1,2, zbiór potencjalnych wartości 2 0 Model,, Uwaga: przestrzeń parametru 2 długość drogi hamowania Zakładamy, że ~, ; 0 borelowski, :, 0 zatem Model,, przestrzeń statystyczna Uwaga:, parametr przestrzeń parametru Strona 9

10 STATYSTYKA Niech,, będzie przestrzenią statystyczną Niech,,, będzie próbą z populacji o rozkładzie, gdzie jest parametrem. Wykład r. 3. STATYSTYKI DOSTATECZNE I ZUPEŁNE Niech,,, będzie próba z populacji o rozkładach gdzie jest parametrem. Statystyką nazywamy każdą funkcję mierzalną próby. np. średnia z próby. wariancja z próby Definicja: Statystyka jest dostateczna dla rodziny rozkładów : gdy rozkład warunkowy: nie zależy od parametru Przykład 6: Niech,,, będzie próbą z populacji o rozkładzie, 0 parametr. rozważmy statystykę postaci: Mamy ~ Zatem, 0, 0, 0,,,!! 0, 0,!!!,,!, Strona 10

11 Stąd rozkład warunkowy nie zależy od, czyli jest dostateczny od parametru. Twierdzenie 4 Kryterium faktoryzacji: Statystyka jest dostateczna dla parametru funkcje prawdopodobieństwa gęstość próby można przestawić w postaci: gdzie funkcja nie zależy od parametru a funkcja zależna od zależy od tylko poprzez wartości statystyki. Przykład 7: Niech,,, będzie próbą z populacji o rozkładzie,,, 0 Wtedy: 1,, 2 exp 1 2 gdzie 2 exp exp exp ,, ; ; Zatem statystyka dostateczna dla parametru, ma postać:,, Definicja: Statystykę dostateczną nazywamy minimalną statystyka dostateczną jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej istnieje funkcja taka, że Definicja: Statystyka jest zupełna dla rodziny rozkładów : dla parametru Θ gdy z warunku : 0 Strona 11

12 wynika, że: 0 prawie wszędzie Przykład 6 Cd.: Niech: statystyka dostateczna dla parametru.! 0 0,1,2,! 0 0,1,2, 0 Zatem statystyka jest zupełna dla parametru. 0! ę Twierdzenie 5: Jeżeli statystyka jest dostateczna i zupełna dla rodziny rozkładów, to jest minimalną statystyką dostateczną dla rodziny. Definicja: Rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa : nazywamy parametrową rodziną wykładniczą jeżeli funkcje prawdopodobieństwa lub gęstość rozkładu można zapisać w postaci: Przykład 8: Zatem: exp,,, 0, 1 2 exp exp exp exp ln2, ln2, Strona 12

13 Zatem rodzina rozkładów jest rodziną wykładniczą. Wykład r. Twierdzenie 6 Lemanna: Niech,,, będzie próbą z populacji o rozkładzie z rodziną wykładniczą dla której zbiór,, : zawiera niezdegerowany prostokąt w. Wtedy statystyka,, jest dostateczna i zupełna dla rodziny rozkładów. Przykład 8 Cd.: Rozważmy następujący zbiór:,,, :, 0 1, 2 :, 0 zawiera niezdegenerowany prostokąt w. zatem statystyka:,, jest dostateczna i zupełna dla rodziny rozkładów normalnych. 4. ESTYMACJA PUNKTOWA SZACOWANIE Niech,,, będzie próbą z populacji z rozkładem prawdopodobieństwa o rozkładzie, gdzie jest parametrem. Ponadto niech będzie funkcją parametryczną. Definicja: Statystykę o wartościach w zbiorze skonstruowana w ten sposób, aby jej wartości szacowały prawdziwą wartość funkcji parametrycznej nazywamy estymatorem funkcji parametrycznej. Oznaczamy. Przykład 9: Załóżmy, że badamy cechę o której to cesze zakładamy, że ~, 0. Poszukamy estymatorów funkcji parametrycznej. a) b) 0 Przykładowe estymatory: Strona 13

14 a) b) Przykład 10: Badamy cechę. Model: ~,,, parametry. Poszukujemy estymatorów funkcji parametrycznej: a),, b),, Przykłady estymatorów: a) b) Definicja: Statystykę nazywamy estymatorem nieobciążonym funkcji par, gdy Przykład 11: Zakładamy, że cecha ma dowolny rozkład Estymujemy prawdopodobieństwo, gdzie jest zbiorem borelowskim. Rozważmy estymator częściowy postaci: #: Mamy #: ~, Zatem 1 #: 1 Czyli estymator jest estymatorem nieobciążonym dla. Uwaga: Niech będzie dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej, tzn.. Wtedy dystrybuanta empiryczna #: jest nieobciążonym estymatorem dystrybuanty w punkcie. Przykład 12: Zakładamy, że badana cecha populacji ma rozkład o wartości oczekiwanej. Ponieważ Strona 14

15 STATYSTYKA Zatem jest estymatorem nieobciążonym dla. Uwaga: Niech,, będą liczbami takimi, że 1 Wtedy statystyka jest nieobciążonym estymatorem parametru. Mamy Przykład 12 (cd.): Zakładamy dodatkowo, że cecha ma skończoną wariancję oraz, że 1. Wtedy: Ponadto: Zatem: czyli statystyka jest estymatorem nieobciążonym dla. Wykład r. funkcja parametryczna,, próba estymator dla Strona 15

16 estymator nieobciążony Definicja: Ciąg estymatorów funkcji parametrycznej nazywamy (słabo) zgodnym, gdy ciąg jest zbieżny według prawdopodobieństwa do tzn.: lim 0 Przykład 12 (cd.): Z prawa wielkich liczb Chińczyna wynika, że jest zgodnym estymatorem dla. Ponadto Zastosujemy prawo wielkich liczb Chińczyna do ciągu, Wtedy 1 Zatem Czyli jest zgodnym estymatorem parametru Twierdzenie 7: Niech będzie nieobciążonym estymatorem funkcji parametrycznej, dla której: 0 Wtedy jest zgodnym estymatorem dla. Lemat Nierówność Czybyszewa: Jeżeli jest zmienną losową o wartości oczekiwanej i skończonej wariancji, to prawdziwe jest: Dowód tw. 7: Obieramy dowolne ; 0 Mamy: : Niech: Zatem: : 1 Strona 16

17 Ponieważ: Zatem: STATYSTYKA 0 0 Czyli jest zgodnym estymatorem dla. 4.1 Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Niech będzie rodziną estymatorów nieobciążonych posiadających skończoną wariancję dla każdego dla. Statystykę nazywamy estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji parametrycznej, gdy: Twierdzenie 8: ENMW funkcji parametrycznej jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do zbioru miary zero. Lemat 1: Niech będzie ENMW funkcji parametrycznej, statystyką taką, że: : 0. Wtedy : 0 Dowód lematu 1: Niech ; Mamy Zatem U jest estymatorem nieobciążonym dla. 2, Ponieważ jest ENMW dla, to: 2 Stąd 0 Lemat 2: Strona 17

18 Niech, będą zmiennymi losowymi takimi, że, 1 Wtedy istnieją, liczby 0 i 0 takie, że 1 Ponadto, ; Dowód tw. 8: Niech, będą ENMW dla. Zatem ; Ponadto:, Mamy 0 Czyli dla 0 Zatem (z lematu 1) mamy 0 0 Stąd:,, 1 Zatem (z lematu 2) mamy: Istnieją stałe 0 i takie, że:.. Ponadto:, 1 0 Stąd.. Twierdzenie 9 Rao Blackwella: Niech będzie estymatorem nieobciążonym funkcji parametrycznej, statystyką dostateczną dla parametru. Wtedy: 1. estymator nieobciążony funkcji parametrycznej 2. : Lemat: Jeżeli odpowiednie wartości oczekiwane istnieją, to: Dowód : Mamy, że nie zależy od parametru θ, bo jest statystyką dostateczną. Zatem nie zależy od parametru θ. Strona 18

19 Wykład r. Twierdzenie 9: Estymator nieobciążony dla statystyka dostateczna dla 1. Estymator nieobciążony dla 2. Stąd: nie zależy od parametru, czyli jest statystyką. Ponadto: czyli jest Estymatorem nieobciążonym dla dodatkowo: Twierdzenie 10 Lehmanna Scheffego: Niech będzie nieobciążonym estymatorem funkcji parametrycznej, statystyką dostateczną i zupełną dla parametru. Wtedy jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej. Dowód tw. 10: Niech Mamy Niech będzie dowolnym estymatorem nieobciążonym dla funkcji parametrycznej. Zatem dla każdego Rozważmy statystykę: mamy: Zatem z zupełności statystyki 0 Strona 19

20 Stąd STATYSTYKA czyli jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej. Przykład 9 (cd.): Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie, 0 parametr oraz niech. Niech #: Wiemy, że Estymator nieobciążony dla przykład 11 Poznadto statystyka dostateczna i zupełna dla parametru przykład 6 Zatem: , 0 1!! Twierdzenie 11: Niech będzie statystyką dostateczną i zupełną dla parametru oraz niech będzie Estymatorem nieobciążonym funkcji parametrycznej. Wtedy jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej. Lemat: Jeżeli oraz istnieje, to Dowód tw. 11: Z twierdzenia 10 ENMW funkcji parametrycznej Z lematu czyli jest ENMW funkcji parametrycznej. Strona 20

21 Przykład 10 (cd.): Niech,, 1 będzie próbą z populacji o rozkładzie, ; ; 0 Estymujemy funkcję parametryczną,,, Wiemy, że statystyka jest dostateczna i zupełna dla, Mamy:, Estymator nieobciążony dla parametru Estymator nieobciążony dla parametru Zatem Zatem i są ENMW dla i odpowiednio Mówimy, że rodzina rozkładów : na przestrzeni próby spełnia warunki regularności Cramera Rao, gdy dla funkcji prawdopodobieństwa (lub gęstości) rozkładu mamy: Zbiór : 0 nie zależy od parametru. Dla dowolnych i istnieje skończona pochodna ln Jeżeli jest dowolną statystyką taką, że dla dowolnych, to Do końca rozdziału zakładamy, że rodzina : rozkładów prawdopodobieństwa spełnia warunki regularności Cramera Rao. Funkcję ln nazywamy ilością informacji Fishera o parametrze z próby. Wykład r. Własność 1: Dowód: Strona 21

22 ln STATYSTYKA ln ln ln 2 ln ln ln 2 ln ln ln ln 1 0 Własność 2: Jeżeli dla dowolnych i istnieje skończona pochodna ln oraz to ln Dowód: ln Przykład13: Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie, gdzie 0 Mamy: Strona 22

23 Zatem: ; 1,2,! ln ln ln! ln 1 ln 1 Twierdzenie 12 Nierówność Cramera Rao: Niech będzie estymatorem nieobciążonym o skończonej wariancji funkcji parametrycznej oraz niech 0. Wtedy: : oraz równość zachodzi gdy ln Dowód: Lemat Nierówność Cauchy ego Schwarza: Jeżeli odpowiednie wartości oczekiwane istnieją, to,, przy czym równość zachodzi gdy 1, gdzie, ; Dowód tw. 12: Niech ln Zatem ln ln ln Strona 23

24 , ln Stąd: czyli: Ponadto: Zatem: ln ln ln 1 ln, gdzie, ln ln Wniosek: Estymator nieobciążony funkcji parametrycznej dla którego jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej. Estymatory nieobciążone, dla których spełniona jest powyższa równość nazywamy efektywnymi w sensie Cramera Rao. Przykład 9 (cd.): Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie, gdzie 0 Ponadto niech Niech Estymator nieobciążony dla przykład 12 Mamy: przykład 13 Strona 24

25 Stąd: STATYSTYKA czyli jest ENMW (efektywnym w sensie Cramera Rao) parametru Estymatory największej wiarygodności Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie z rodziny : Ponadto niech rozkłady opisane będą za pomocą funkcji prawdopodobieństwa (lub gęstości). Funkcję określoną wzorem:, nazywamy funkcją wiarygodności. Estymatorem największej wiarygodności parametru (ENW) nazywamy statystykę, której wartość spełnia warunek: :, sup, Uwaga: Dla dowolnego parametru, ENW może istnieć albo być wyznaczony niejednoznacznie. Przyjmujemy, że funkcja parametryczna jest statystyką, gdzie ENW parametru. Zazwyczaj wygodnie jest operować funkcją ln niż funkcją. Przykład 9 (cd.): Mamy ~ 0 Zatem: ; ; 0,1,2,!,!! ln, ln ln! Strona 25

26 0 ; Zatem ENW dla parametru jest Stąd ENW dla jest jest 0 5. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA Wykład r. Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie, gdzie jest parametrem. Ponadto niech będzie funkcją parametryczną. Definicja: Przedział, określony parą statystyk, takich, że 1 dla każdego, nazywamy przedziałem ufności dla na poziomie ufności 1 0 1, gdy: : 1 Przykład14: Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie z wartością oczekiwaną i skończoną wariancją. Zakładamy, że jest parametrem, a jest znane. Mamy: 1 z nierówności Czebyszewa Strona 26

27 STATYSTYKA Zatem 1 100% przedział ufności dla parametru ma postać: ; Konstrukcja przedziałów ufności za pomocą funkcji centralnej. Definicja: Funkcję, nazywamy funkcją centralną dla, gdy rozkład prawdopodobieństwa, jest absolutnie ciągły i nie zależy od parametru., jest funkcją ciągłą i ściśle monotoniczną względem. Konstrukcja: Obieramy funkcję centralną, Wybieramy stałe i tak, aby :, 1 Stałe, można dobrać na wiele sposobów. Zazwyczaj dobieramy je tak, aby 2 Strona 27

28 Rozwiązujemy nierówność, względem otrzymując przedział,. Przykład 10 (cd.): ~, ;, parametry, ;, a) Dla :, ;, ~ 1 przykład 3, 2, , 1 2 zatem 1 100% przedział ufności dla : 1, 1, 2 1, 1 2 b) Dla :, 1, ~ 1 tw. 3 Strona 28

29 , 2 2, 1 2, , , 1 2 Zatem 1 100% przedział ufności dla ma postać Przykład 9 (cd.): ~ 0 parametr ; Dla : , 1, 1 2, 1 2 ~, z centralnego twierdzenia granicznego,, ~0,1 szukamy stałych i : 2 Strona 29

30 / bo Zatem 1 100% przedział ufności dla par 100: Porównajmy i max 1 2, 1 2 1, Fakt: 1 100% przedział ufności dla parametru : Przykład 5 (cd.): liczba zgłoszeń Model: ~ 0 parametr 1 2 2, 2, 1 2 1, Funkcja parametryczna Estymator punktowy % przedział ufności 1,74 1,59; 1,89 0,17 0,15; 0,20 Strona 30

31 długość drogi hamowania Model:,, parametry STATYSTYKA Funkcja parametryczna Estymator punktowy % przedział ufności, 18,38 18,28; 18,48, 0,13 0,09; 0,20 6. WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie : gdzie jest parametrem. Hipoteza statystyczna: hipoteza zerowa: : hipoteza alternatywna: : Definicja: Testem statystycznym nazywamy statystykę: : 0,1 określoną następująco: 1, 0, gdzie: 1 oznacza decyzję odrzucamy hipotezę zerową 0 oznacza decyzję nie ma podstaw do odrzucenia Typowa postać obszaru krytycznego : : ść ść Błąd I rodzaju: Odrzucamy, gdy jest ona prawdziwa Błąd II rodzaju: Przyjmujemy, gdy jest ona fałszywa Definicja: Funkcję : 0,1 taką, że nazywamy funkcją mocy testu. Uwaga: Strona 31

32 STATYSTYKA RYSUNEK!!!. łę 1. łę ę,, Uwaga: Zmniejszenie prawdopodobieństwa błędu I rodzaju powoduje zwiększenie prawdopodobieństwa błędu II rodzaju (i na odwrót). konstrukcja optymalnego (jednostajnie najmocniejszego) testu na poziomie istotności 0 1: 1. Ustalamy poziom istotności i wyznaczamy wszystkie testy, dla których: : 2. Wśród testów spełniających wybieramy ten, dla którego: : max 6.1. Testy jednostajnie najmocniejsze. Zakładamy, że rozkłady : badanych cech są absolutnie ciągłe z funkcją gęstości. Twierdzenie 14 Lemat Neymana Pearsona: Niech : będzie obszarem krytycznym dla testu hipotezy zerowej :, przeciwko hipotezie alternatywnej :, przy czym 0 wyznaczamy z równości: gdzie jest zadanym poziomem istotności. Jeżeli jest dowolnym obszarem krytycznym testu powyższej hipotezy na poziomie istotności, to czyli test z obszarem krytycznym jest najmocniejszy.??? Dowód tw. 14: Mamy: Strona 32

33 0 Przykład 15: Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie,, gdzie jest parametrem a jest znane. Weryfikujemy hipotezę : przeciwko hipotezie : Niech : 0 Zatem: 1 2 exp exp 1 2 stąd: 2 exp 1 2 Strona 33

34 exp 1 : exp STATYSTYKA : exp 1 2 : 2 ln : ln : 2 2 ln : 2 2 ln : 2 ln 2 : Ponadto: Ponieważ: Zatem: 1 1 ~, 1 Stąd: 1 1 : 1 Ponieważ obszar krytyczny nie zależy od wyboru wartości, zatem skonstruowany test jest jednostajnie najmocniejszy przy hipotezie alternatywnej : Uwaga: 1. Równoważna postać obszaru krytycznego: Strona 34

35 : 1 2. Dla hipotezy alternatywnej : jednostajnie najmocniejszy test ma postać: : 3. Dla hipotezy alternatywnej : jednostajnie najmocniejszy test nie istnieje!! 6.2. Testy ilorazu wiarygodności Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie z rodziny : Ponadto niech rozkłady z rodziny opisane będą za pomocą funkcji prawdopodobieństwa (lub gęstości). Testujemy hipotezę : przeciwko hipotezie alternatywnej : Definicja: Testem ilorazu wiarygodności nazywamy test z obszarem krytycznym sup, : sup, gdzie jest najmniejszą stałą taką, że :. Uwaga: Jeżeli i są hipotezami prostymi, to test ilorazu wiarygodności pokrywa się z testem lematu Neymana Pearsona, czyli jest najmocniejszy. Wyznaczając test używamy równoważnego obszaru krytycznego postaci: sup, : sup, Supremum funkcji wiarygodności osiągane jest dla, gdzie jest ENW parametru. Przykład16 (Test t Studenta dla jednej próby): Niech,, będzie próbą z populacji o rozkładzie,, gdzie, parametry. Wyznaczamy test ilorazu wiarygodności hipotezy zerowej : przeciwko hipotezie alternatywnej : Mamy:, :, 0,, 2 exp 1 2 Ponadto ENW parametrów, mają postać: Strona 35

36 Zatem sup, Zatem: Zatem: sup STATYSTYKA 1 przykład ,, 2 exp 1 2, :, 0 sup,, sup,, ln,, 2 ln2 2 ln 1 2,, exp : 2 2 exp : 2 2 exp 2 exp exp : 1 2 Strona 36

37 : : 1 : 1 1 : : 1 1 : : ~ 1 przykład , 1 Zatem: : 1, 1 2 Uwaga: Dla hipotezy alternatywnej : obszar krytyczny ma postać: : 1, 1 Dla hipotezy alternatywnej : obszar krytyczny ma postać: :, 1 Przykład 5b (cd.): Na poziomie istotności 0,05 zweryfikujmy hipotezę głoszącą, że średnia długość hamowania dla samochodu wyposażonego w nowy typ układu hamulcowego jest istotnie krótsza niż w poprzednio stosowanym typie (wynosiła ona wtedy 18,6 [m]). długość drogi hamowania Strona 37

38 Model: ~, ; µ,σ parametry Formułujemy hipotezy: : 18,6 : 18,6 50 ; 18,38 Wartość statystyki testowej: STATYSTYKA 18,38 18,6 504,32 0,13 Wartość krytyczna:, 1 0,05,49 0,95,49 1,677 Decyzja: Odrzucamy hipotezę. Przykład 17 Test dla wariancji w jednej próbie: Niech,, 1 będzie próbą z populacji o rozkładzie,, gdzie, parametry. Weryfikujemy hipotezę zerową : Statystyka testowa: Rozkład statystyki testowej ~ 1 Obszary krytyczne: 1. : 2. : 3. : : 1 2, 1 lub, 1 2 : 1, 1 :, 1 Wykład r. Przykład 18 (Test t Studenta dla dwóch prób): Niech,, ;,,, 1 będą niezależnymi próbami z populacji o rozkładach, ;, odpowiednio, gdzie,, parametry Weryfikujemy hipotezę zerową: : przeciwko hipotezie alternatywnej : Strona 38

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 0/5 () Nazwa Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka () Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot ()

Bardziej szczegółowo

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego.... 11 Przedmowa do wydania drugiego.... 15 Wykaz symboli.... 17 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku.... 17 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 0/03 WydziałZarządzania i Komunikacji Społecznej Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów

Bardziej szczegółowo

1) Wprowadzenie; 2) Doświadczenia jednoczynnikowe; 3) Doświadczenia dwuczynnikowe; 4) Doświadczenia trójczynnikowe; 5) Badanie współzależności cech

1) Wprowadzenie; 2) Doświadczenia jednoczynnikowe; 3) Doświadczenia dwuczynnikowe; 4) Doświadczenia trójczynnikowe; 5) Badanie współzależności cech 1) Wprowadzenie; 2) Doświadczenia jednoczynnikowe; 3) Doświadczenia dwuczynnikowe; 4) Doświadczenia trójczynnikowe; 5) Badanie współzależności cech ilościowych; 6) Badanie zależności liniowej pomiędzy

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne)

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) STATYSTYKA zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) DANYCH STATYSTYKA MATEMATYCZNA analiza i interpretacja danych przy wykorzystaniu metod

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki STA - Wykład 5

Elementy statystyki STA - Wykład 5 STA - Wykład 5 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 ANOVA 2 Model jednoczynnikowej analizy wariancji Na model jednoczynnikowej analizy wariancji możemy traktować jako uogólnienie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics Inżynieria materiałowa Materials Engineering Rodzaj przedmiotu: Poziom studiów: forma studiów: obowiązkowy studia

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo