oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku.

Transkrypt

1 Historia liczby Liczba e początkow weszła do matematyki w bardzo niewielkim zakresie. Jest rok 1618, kiedy to w pracy napisanej przez Napiera o logarytmach pojawia się tablica, która przedstawia logarytm naturalny rozmaitych liczb. Ta tablica umieszczona w dodatku pracy Napiera, chociaż nie opatrzona żadnym imieniem autora, była oczywiście w dużym stopniu napisana przez Oughtreda. Niewiele lata później, w 1624 roku, znowu liczba e prawie weszła do matematycznej literatury, ale nie do końca. W tym roku Briggs podał liczbowe przybliżenie logarytmu przy podstawie 10 z e, ale nie wymieniono liczby e samodzielnie w jego pracy. Następna możliwość wystąpienia liczby e jest znowu wątpliwa. W 1647 roku Saint- Vincent obliczał pole obszaru pod prostokątną hiperbolą. To czy on poznał związki między logarytmami jest otwartą dyskusją i nawet, jeżeli tak było, to miał mało powodów by podać liczbę e jawnie. Przed 1661 rokiem Huygens zrozumiał związek między prostokątną hiperbolą i logarytmem. On zbadał stosunek między przestrzenią pod prostokątną hiperbolą y x = 1 i logarytmem. Oczywiście liczba e ma taką wartość, że pole pod prostokątną hiperbolą od 1 do e jest równa 1. Jest to własność, która sprawia, że liczba e jest podstawą logarytmów naturalnych, ale nie było to tak rozumiane przez matematyków w tym czasie. Huygens spowodował inny postęp w tej kwestii 1661 roku. Zdefiniował on krzywą, którą nazwał "logarytmiczną", ale w naszej terminologii określalibyśmy ją raczej jako krzywą wykładniczą mającą postać y = ka x. Znów z tego wynikł logarytm o podstawie 10 z e, który Huygens wyliczył do 17 miejsc po przecinku. Jednak w obliczeniach jego pracy jest to wartość stała i nie jest ujmowana jako logarytm liczby (tak więc jest to kolejna informacja o liczbie e, która nadal pozostaje nierozpoznana). Dalsze prace nad logarytmami pociągnęły za sobą kolejne niepowodzenia w tym, aby postrzegać liczbę e taką jaka jest, natomiast przyczyniły się do rozwoju logarytmów. W 1668 roku Mikołaj Mercator wydał pracę pod tytułem Logarithmotechnia (technika logarytmowania), która zawiera serię rozszerzeń log (1+x). W tej praca Mercator używa określenia logarytm naturalny po raz pierwszy dla logarytmu o podstawie e. Może dziwić fakt, poczynając od czasu pracy nad logarytmami, że było od nich tak blisko do poznania liczby e, a jednak to ostateczne odkrycie nie nastąpiło przez pojęcie logarytmu, ale raczej przy badaniu interesującego związku. W 1683 roku Jakub Bernoulli próbował znaleźć granicę wyrażenia (1+1/n) n, przy n dążącym do nieskończoności. Użył 1

2 dwumianu Newtona by pokazać, że granica tego wyrażenia musi leżeć między 2 i 3, więc możemy uznać, że jest to pierwsze przybliżenie liczby e. Ponadto, jeśli zaakceptujemy to jako definicję, to po raz pierwszy liczba ta była określana przez proces ograniczania. Oczywiście nie zauważył on żadnych związków między swoją pracą i logarytmami. Wspomniane wyżej logarytmy nie były uważane we wczesnych latach ich rozwoju jako mające jakikolwiek związek z funkcją wykładniczą. Oczywiście od równania x = a t możemy wyprowadzić t = log x, gdzie podstawą logarytmu jest a, ale wiąże się to z dużo późniejszym sposobem myślenia. Tutaj my rzeczywiście myślimy o logarytmie jako o funkcji, podczas gdy wcześniej uczeni postrzegali w logarytmach czystą liczbę, która pomagała w liczeniu. Pokazał to Jakub Bernoulli, który jako pierwszy zrozumiał, że logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Z drugiej strony pierwszą osobą, która pokazała stosunek między logarytmowaniem i potęgowaniem był James Gregory, który w 1684 roku ostatecznie uznał związek między tymi pojęciami. O ile wiadomo po raz pierwszy liczba e pojawia się wraz ze swoimi własnymi prawami w 1690 roku. W którym to Leibniz napisał list do Huygensa i w nim używał notacji b dla liczby, którą my teraz nazywamy e. Wreszcie liczba e miała swoją nazwę (nawet, jeżeli nie jest tak nazywana obecnie) i została uznana. Logarytm nie był postrzegany jako funkcja. Należałoby wspomnieć o Janie Bernoullim, który zaczął badania nad rachunkiem funkcji wykładniczej w 1697 roku, kiedy to opublikował Principia calculi exponentialium seu percurrentium. Praca ta związana jest z obliczeniami rozmaitych serii funkcji wykładniczych i zawiera wiele wyników osiąganych poprzez sumowanie składników wyraz po wyrazie. Do Eulera należy ten matematyczny zapis, który pojawił się bez żadnej niespodzianki tak jak nazwanie tej liczby przez e, co również jest jego udziałem. Przypuszczenia, których czasami się docieka, jakoby Euler wykorzystał literę e, dlatego że jest ona pierwszą literą jego nazwiska są zabawne. Prawdopodobne pochodzenie również zaczerpnięte jest z faktu, że litera e pochodzi od słowa exponential (funkcja wykładnicza), ale to może być po prostu następna samogłoska po a, ponieważ Euler już użył litery a w swojej pracy. Niezależnie od powodu, litera e pojawiła się po raz pierwszy w liście Eulera napisanym do Goldbacha w 1731 roku. Tworzył on różne odkrycia dotyczące liczby e przez wiele lat, ale dopiero w 1748 roku, kiedy to Euler opublikował Introductio in Analysin infinitorum ( Wstęp do analizy nieskończoności ), dał całościową ideę odnoszącą się do liczby e. Pokazał on, że: e = / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku. 2

3 e = bez stwierdzenia skąd one pochodzą. To było tak samo jakby on obliczył tą wartości bez wskazania jak to robić. W rzeczywistości biorąc około 20 elementów z / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... dostaniemy dokładność, którą Euler otrzymywał. Wśród innych interesujących wyników w tej pracy jest stosunek między sinusem i cosinusem funkcji i całościowe ujęcie funkcji wykładniczej, którą Euler wyprowadził używając formuły De Moivre's. Ta sama pasja, która doprowadziła ludzi do obliczania coraz większej ilości miejsc po przecinku rozszerzenia liczby π, nie powstrzymała ich od tego samego w przypadku liczby e. Byli tacy, którzy obliczali jej dziesiętne rozszerzenie, jednak jako pierwszy liczbę e przybliżył do bardzo dużej liczby miejsc dziesiętnych był Shanks w 1854 roku. Warto zauważyć, że Shanks był człowiekiem nawet bardziej zafascynowany dziesiętnym rozszerzeniem liczby π. Glaisher wykazał. że pierwsze 137 miejsc obliczeń Shanksa dla e były poprawne, ale znaleziono błąd, który po korekcie przez Shanksa dał przybliżenie liczby e do 205 miejsc po przecinku. W rzeczywistości trzeba było około 120 składników sumy / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... w celu uzyskania prawidłowej wartość dla e do 200 miejsc po przecinku. W 1864 roku Benjamin Peirce miał jego zdjęcie stojące przed tablicą, na której była napisana formuła: i i = (e π ). W swoich wykładach mówił do swoich słuchaczy: Panowie, nie mamy pojęcia, co to równanie oznaczać, ale możemy być pewni, że oznacza coś bardzo ważnego. Większość ludzi akceptuje to, że Euler jako pierwszy udowodnił, że e jest liczbą niewymierną. Właściwie był to Hermite, który udowodnił, że e nie jest liczbą algebraiczną w 1873 roku. Jest to wciąż kwestia otwarta czy e e jest liczbą algebraiczną, chociaż oczywiście brakuje tylko dowodu na to nie matematyk naprawdę uwierzyłby, że e e jest liczbą algebraiczną! O ile nam wiadomo, to ostatnio matematycy udowodnili, że liczby e e, e oraz e 2 są przestępne. Dalsze obliczenia dziesiętnych rozszerzeń następowały. W 1884 roku Boorman podał wartość liczby e do 346 miejsc po przecinku i zauważył, że zgadza się to z obliczeniami Shanks a aż do 187 miejsca po przecinku, a potem była już różna. W 1887 roku Adams obliczył logarytm z e przy podstawie 10 do 272 miejsc po przecinku. 3

4 Komentarz Liczba to podstawowe pojęcie matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. Rodowód liczby π jest geometryczny, a liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach. W starożytności jej nie znano, lecz zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wielu. Ale dopiero w 1736 roku Euler wprowadził jej oznaczenie. Głównym powodem pojawienia się liczby Eulera było pojęcie logarytmów. 1. Logarytmy i liczba e Logarytmy wymyślono, żeby zamienić mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie i to na znacznie mniejszych liczbach. Michael Stiefel zaobserwował zależność, jaka występuje pomiędzy postępem geometrycznym i odpowiadającym mu postępem arytmetycznym, ale teorii logarytmów nie stworzył. Udało się to dopiero Szkotowi Johnowi Neperowi w 1614 roku Pisał on w swojej pracy: "Wiedząc, że nie ma niczego, co byłoby tak kłopotliwe w praktyce matematycznej, co mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie dużych liczb, - żmudne, czasochłonne, a przy tym często podatne na niebezpieczne błędy - zacząłem w głębi ducha rozważać, za pomocą jakiego sposobu mógłbym usunąć te przeszkody." Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych, które były podstawą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. To właśnie wynalazkiem Nepera było powstanie tablic logarytmicznych. Z tym, że jego logarytmy były powiązane ze zwykłymi logarytmami naturalnymi wzorem: Nap(x) = ln x Umieścił je w książce ''Mirifici logarithmorum canonis descriptio'' (Opis zadziwiających tablic logarytmów). Druga praca - "Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających tablic logarytmów) z 1620 r. powstała przez stablicowanie wyrażeń (1 + x/n) -n dla dużego n i x przebiegającego przez wyrazy ciągu arytmetycznego. Były więc dobrymi przybliżeniami logarytmów przy podstawie e -1. Jak okazało się później, funkcje logarytmiczne są odwrotne do funkcji wykładniczych. 4

5 Tablice Nepera Oprócz tablic logarytmów zajmował się również stablicowaniem funkcji trygonometrycznych. 2. Definicje i postacie liczby e Liczba e może być różnorodnie definiowana. Poniżej przedstawię kilka najbardziej popularnych postaci, które najczęściej można spotkać w literaturze na ten temat. a) Liczba e jako granica ciągu: e = lim (1 + 1/n) n Źródło: Taką granicę podał w 1728 roku Daniel Bernoulli. Jest ona najbardziej trafna ze względu na swoje pochodzenie zaczerpnięte z logarytmów i z interpolacji: logarytm Służy do tego by móc zlogarytmować wyrażenie (1+x) n ze znaczną dokładnością wyniku dla małych wartości x i dużą wartością n. 1+ x = x 5

6 b) Liczba e jako suma szeregu: e = Σ 1/n! = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + Źródło: Szereg szybko zbieżny, przybliżoną wartość e dla szeregu o n składnikach otrzymuje się z błędem bezwzględnym mniejszym niż 3/n!. Przykładowo, aby obliczyć e z dokładnością do 0,0001 trzeba wziąć n = 8 (jest to najmniejsza liczba naturalna n, dla której 3/n! < ) składników. Powyższy wzór szybko daje dobre przybliżenie tej liczby. c) Liczba e definiowana przy pomocy całki: 1/x dx = 1, Źródło: Pole powierzchni pod hiperbolą y = 1/x w przedziale od x=1 do x=e jest równe 1. Sprawdźmy: 1/x dx = ln = ln e ln 0 = 1 0 = 1 d) Liczba e definiowana przy pomocy funkcji: argument, dla którego funkcja f(x) = x 1/x ma największą wartość Jeżeli funkcja posiada w punkcie x 0 ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to jej pierwsza pochodna w tym punkcie jest równa zero. Jest to warunek konieczny istnienia ekstremum. Czyli dla tej funkcji: f (x) = (1/x) x 1/x 1 + (ln x) x 1/x (-1/x 2 )= x 1/x (1/x 2 ) (1 - ln x) 6

7 f (e) = e 1/e (1/e 2 ) (1 - ln e) = 0 e) Liczba e w postaci iloczynów nieskończonych: e = /2 Podobnie jak dla liczby π istnieje postać zapisu w formule iloczynu nieskończonego nazywanego wzorem Wallisa: / π/2 = ( ) / ( ) = 2/1 2/3 4/3 4/5 6/5 6/7 Jednak zapis liczby e jest jednak nieco bardziej skomplikowany. 1/ /16 f) Liczba e w postaci ułamków łańcuchowych e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, ] Ułamek łańcuchowy jest to ułamek nieskończony, w którym mianownik jest sumą liczby całkowitej i kolejnego ułamka. W przypadku, gdy liczniki wszystkich występujących ułamków w tym rozwinięciu wynoszą 1, to nazywamy go ułamkiem arytmetycznym łańcuchowym. Powyższe wzory, jak i inne nieskończone rozwinięcia liczby e podane przez Eulera świadczą o tym, że jest to liczba niewymierna. 3. Podstawowe własności Powstała liczba, której pierwsze oszacowanie podał w 1728 roku Daniel Bernoulli. Zatem trzeba było określić jej własności, by było wiadomo z czym ma się do czynienia. Liczba e jest przede wszystkim znana z tego, że jest liczbą niewymierną, czyli nie można jej przedstawić w postaci ułamka o całkowitych wartościach licznika i mianownika. Dowód tej własności można znaleźć w książce Bogdana Miś Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki str Jako pierwszy wykazał to Johann Heinrich Lambert w 1766 roku w 7

8 dwóch swoich pracach: Tymczasowych wiadomościach dla tych, co poszukują kwadratury i rektyfikacji koła, wydrukowanej w drugim tomie Przyczynków do matematyki i jej zastosowań oraz bardziej szczegółowo w Rozprawie o niektórych ważnych własnościach wielkości przestępnych kołowych i logarytmicznych. Jest zadziwiającym fakt, że taka stała nie posiada żadnych cech powtarzalności w rozwinięciu, chociaż z uwagi na tą samą własność u liczby π nie budzi to żadnych kontrowersji. Kolejna ważna cecha tej liczby to przestępność. Liczba Eulera nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Ta cecha również nie różni jej zbytnio od liczby π. Charles Hermite wykazał to w 1873 roku w dziele Sur la fonction exponentielle ( O funkcjach wykładniczych). Dowód o przestępności liczby e poprowadzony nie wprost można przestudiować na stronie internetowej: Jest to dowód zaczerpnięty od A. Hurwitza z 1892 roku. Istnieje również dowód autorstwa Dawida Hilberta o przestępności liczby e, który również jest przedstawiony na stronie internetowej: 4. Funkcja wykładnicza o podstawie e Stała e jest bardzo dobrze znana studentom z jednego bardzo ważnego powodu. A mianowicie jest podstawą funkcji wykładniczej f (x) = e x, która jest niezmiennicza zarówno w przypadku różniczkowania, jak i całkowania (z dokładnością do stałej). f = e x F = e x dx = e x + const Oznacza to taką samą postać funkcji i nie zmienione własności po wykonaniu wyżej wymienionych operacji. Ponadto funkcja ta posiada kilka innych cennych cech. Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R, jest ona ciągła i rosnąca, a ponadto zawsze dodatnia i co więcej nie posiada ekstremów, punktów przegięcia ani miejsc zerowych. 8

9 Wykres funkcji e x Ponadto prostym uogólnieniem tej funkcji jest postać e ax lub e -ax, gdzie a jest stałą dodatnią. Zamiana dowolnej funkcji f(x) na f(ax) powoduje jedynie zmianę skali na osi poziomej. Wykresy funkcji e 2x i e -½x Im stała a jest większa, tym wykres funkcji e ax jest bardziej stromy. W szczególnym przypadku, gdy a=0 funkcja e ax jest funkcją stałą, gdyż e 0x = 1. Natomiast funkcja e -ax jest malejąca. Jej wykres jest odbiciem zwierciadlanym funkcji e ax wzdłuż osi OY. Wykres funkcji e -x Dzięki temu, że x n x m = x n+m, iloczyn dwóch funkcji wykładniczych też jest funkcją wykładniczą: e ax e bx = e (a+b)x. Natomiast suma dwóch funkcji wykładniczych funkcją wykładniczą już nie jest. 9

10 Wykres funkcji e -5x + e 0,2x 5. Leonard Euler i ułamki łańcuchowe Nie można pisać o tej ważnej stałej bez wspomnienia o matematyku, który jako pierwszy nadał jej imię. Jest kilka wersji opowieści dlaczego akurat litera e zasłużyła sobie na tak zaszczytne miano. Pierwsza głosi, że to od jego pierwszej litery nazwiska wziął się pomysł, zresztą często liczba e nazywana jest stałą Eulera. Jest jeszcze inna hipoteza głosząca, iż w swoim liście do Christiana Goldbacha użył oznaczenia tej litery dla stałej będącej wynikiem sumowania wyrazów 1/n! od n=0 do nieskończoności, gdyż litera a był już zajęta, a kolejną samogłoską w alfabecie jest właśnie e. No i ostatnia ewentualność, iż litera e pochodzi od słowa exponential, czyli funkcja wykładnicza, której to stała e jest podstawą. Liczba e, podstawa logarytmów naturalnych, występowała w matematyce na co najmniej sto lat przed publikacją Eulera Introductio in analysin infinitorum (Wstęp do analizy nieskończoności). W tej fundamentalnej monografii (obok wielu innych tematów) wiele miejsca poświęcił liczbie e i jej licznym zastosowaniom. Był znany z częstego używania w analizie szeregów potęgowych i przyczynił się do ich znacznego rozwoju. To prekursor wyrażania rozmaitych funkcji jako sumy nieskończenie wielu składników szeregu potęgowego, np.: Ponadto zajął się wyliczeniem przybliżenia podstawy funkcji wykładniczej. W tym celu w Rozdziale XVIII powyższej pracy przedstawił teorię ułamków łańcuchowych i podał oszacowania błędów, jakie są popełniane w momencie urywania go w pewnym miejscu. Zauważył, że schemat wyliczania ułamka łańcuchowego prowadzi do szeregu naprzemiennego oraz na odwrót. 10

11 Zatem ponieważ: 1/e = Σ (-1) n 1/n!, więc stosując swoją metodę otrzymał: Euler wylicza tą równość do sześciu kresek ułamkowych z wartości e podanej z dokładnością do 12 miejsc dziesiętnych. O nieskończonym rozwinięciu pisze, że uzasadnić je można za pomocą rachunku nieskończonych. Poniżej przedstawiłam dwa inne rozwinięcia wyrażeń zawierających stałą e w ułamek łańcuchowy. Ponadto Euler jest autorem innej ważnej formuły, która definiuje funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych i pozwala określić relacje łączące ją z funkcjami trygonometrycznymi. Korzysta z poniższego wyrażenia: e x = Σ (x n / n!) Połączył on poniższe formuły: a także za x wstawił x -1 i wyszło mu: e x -1 = cos x + -1 sin x e ix = cos x + i sin x Równość Eulera stwierdza, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zespolona funkcja wykładnicza daje się wyrazić w powyższej postaci. Zaczął używać w dowodach analitycznych funkcji wykładniczej i logarytmów. Znalazł sposób ujmowania różnych funkcji logarytmicznych w postaci szeregów potęgowych; udało mu się również zdefiniować logarytm dla argumentów ujemnych i zespolonych, co znacznie rozszerzyło zakres ich zastosowania w matematyce. 11

12 6. Historia najpiękniejszego wzoru matematyki Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Tym niemniej wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. e i π +1=0 Wzór ten powstał z formuły Leonarda Eulera przedstawiającą równość: e iφ = cosφ + i sinφ, dla φ R Ma on swoje liczne zastosowania w przestrzeni liczb zespolonych, gdzie kąt bywa nazywany argumentem lub fazą liczby zespolonej. Pozwala wykorzystać funkcję wykładniczą zamiast funkcji trygonometrycznych z późniejszą separacją części rzeczywistej i urojonej. Pomaga wyrazić potęgi cos n (x) i sin n (x) przez sinusy i cosinusy zwielokrotnionego argumentu x dzięki tożsamościom: cos(x) =(e ix + e ix )/2 sin(x) = (e ix e ix )/2i. Ponadto służy do obliczenia takich nieintuicyjnych wielkości jak i i = [exp (i π/2)] i = exp (-π/2). Formuła Eulera pozwala także zorientować się co to jest logarytm z liczby zespolonej: log (z) = log ( z e iφ ) = log ( z ) + iφ A także może być wykorzystywana do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. W szczególności, gdy w miejsce φ równania e iφ = cosφ + i sinφ, podstawimy kąt równy π, to otrzymamy wyrażenie łączące najważniejsze stałe matematyczne. Co takiego szczególnego we wzorze e iπ +1=0? Jeden z podstawowych argumentów, jakie się wysuwa, stwierdza, że w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych oraz trzy podstawowe działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Stałe te pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, dla potrzeb różnych gałęzi tej nauki. Jest to niesamowite, że można je było w jakikolwiek sposób połączyć. 12

13 7. Współczesne zastosowania Liczba Nepera ma w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e (przypisująca liczbie x wartość e x ) nie zmienia się po zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej. Ponadto jest to (z dokładnością do stałej) jedyne odwzorowanie o tej własności. Liczba e pojawia się niejednokrotnie w sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto 3 przykłady: a) Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. W niektórych bankach jednak okres ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 + 1/n) n złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji idealnej bank powinien prowadzić kapitalizacją ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki uzyskalibyśmy e złotych. FV = PV lim (1+1/n) n = PV e FV wartość przyszła pieniądza (future value) PV wartość teraźniejsza pieniądza (present value) b) Model dotyczący sfer urzędniczych. Sekretarka w pewnym urzędzie miała wysłać kilkanaście listów. W pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. W ogóle w rachunku prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku Chociażby w powszechnie używanym rozkładzie Poissona p(k)= e λ λ k / k!. Rozkład Poissona znajduje zastosowanie m.in. w określaniu następujących zdarzeń: liczby cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną, liczby rozmów zarejestrowanych przez centralę, liczby wypadków przytrafiających się ubezpieczonej osobie czy też liczby bakterii w preparacie mikroskopowym. Rozkład ten znajduje także szerokie zastosowanie w ekonometrii, m.in. w modelowaniu patentów, zbrodni a także popytu na usługi medyczne. 13

14 c) Liczba e pojawia się również na pograniczu medycyny i fizyki. Przykładem jej zastosowania w tych dziedzinach jest zanik monochromatycznej wiązki promieniowania Roentgena w materii lub rozpad promieniotwórczy pierwiastków. W pierwszym przypadku natężenie promieniowania I dane jest wzorem: I(x)=I(0)e -kx, gdzie I(0) to natężenie wychodzące z lampy Rentgenowskiej, k liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii (absorpcji) [1/m], x grubość warstwy pochłaniającej. Natomiast w przypadku rozpadu promieniotwórczego, liczba nietrwałych atomów spada wykładniczo z czasem: N(t)=N(0)e -λ t, gdzie N(0) to początkowa liczba atomów, λ - stała rozpadu [1/s], t czas. Literatura 1. B. Miś Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki Wydawnictwo Naukowo- Techniczne, Warszawa A. P. Juszkiewicz (red.) Historia matematyki, Tom 3, Matematyka XVIII stulecia Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, s i Na kolejnych dwóch stronach przedstawiono rozwinięcie dziesiętne liczby e, ten zapis potęguje fakt jej niewymierności. 14

15

16