oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku."

Transkrypt

1 Historia liczby Liczba e początkow weszła do matematyki w bardzo niewielkim zakresie. Jest rok 1618, kiedy to w pracy napisanej przez Napiera o logarytmach pojawia się tablica, która przedstawia logarytm naturalny rozmaitych liczb. Ta tablica umieszczona w dodatku pracy Napiera, chociaż nie opatrzona żadnym imieniem autora, była oczywiście w dużym stopniu napisana przez Oughtreda. Niewiele lata później, w 1624 roku, znowu liczba e prawie weszła do matematycznej literatury, ale nie do końca. W tym roku Briggs podał liczbowe przybliżenie logarytmu przy podstawie 10 z e, ale nie wymieniono liczby e samodzielnie w jego pracy. Następna możliwość wystąpienia liczby e jest znowu wątpliwa. W 1647 roku Saint- Vincent obliczał pole obszaru pod prostokątną hiperbolą. To czy on poznał związki między logarytmami jest otwartą dyskusją i nawet, jeżeli tak było, to miał mało powodów by podać liczbę e jawnie. Przed 1661 rokiem Huygens zrozumiał związek między prostokątną hiperbolą i logarytmem. On zbadał stosunek między przestrzenią pod prostokątną hiperbolą y x = 1 i logarytmem. Oczywiście liczba e ma taką wartość, że pole pod prostokątną hiperbolą od 1 do e jest równa 1. Jest to własność, która sprawia, że liczba e jest podstawą logarytmów naturalnych, ale nie było to tak rozumiane przez matematyków w tym czasie. Huygens spowodował inny postęp w tej kwestii 1661 roku. Zdefiniował on krzywą, którą nazwał "logarytmiczną", ale w naszej terminologii określalibyśmy ją raczej jako krzywą wykładniczą mającą postać y = ka x. Znów z tego wynikł logarytm o podstawie 10 z e, który Huygens wyliczył do 17 miejsc po przecinku. Jednak w obliczeniach jego pracy jest to wartość stała i nie jest ujmowana jako logarytm liczby (tak więc jest to kolejna informacja o liczbie e, która nadal pozostaje nierozpoznana). Dalsze prace nad logarytmami pociągnęły za sobą kolejne niepowodzenia w tym, aby postrzegać liczbę e taką jaka jest, natomiast przyczyniły się do rozwoju logarytmów. W 1668 roku Mikołaj Mercator wydał pracę pod tytułem Logarithmotechnia (technika logarytmowania), która zawiera serię rozszerzeń log (1+x). W tej praca Mercator używa określenia logarytm naturalny po raz pierwszy dla logarytmu o podstawie e. Może dziwić fakt, poczynając od czasu pracy nad logarytmami, że było od nich tak blisko do poznania liczby e, a jednak to ostateczne odkrycie nie nastąpiło przez pojęcie logarytmu, ale raczej przy badaniu interesującego związku. W 1683 roku Jakub Bernoulli próbował znaleźć granicę wyrażenia (1+1/n) n, przy n dążącym do nieskończoności. Użył 1

2 dwumianu Newtona by pokazać, że granica tego wyrażenia musi leżeć między 2 i 3, więc możemy uznać, że jest to pierwsze przybliżenie liczby e. Ponadto, jeśli zaakceptujemy to jako definicję, to po raz pierwszy liczba ta była określana przez proces ograniczania. Oczywiście nie zauważył on żadnych związków między swoją pracą i logarytmami. Wspomniane wyżej logarytmy nie były uważane we wczesnych latach ich rozwoju jako mające jakikolwiek związek z funkcją wykładniczą. Oczywiście od równania x = a t możemy wyprowadzić t = log x, gdzie podstawą logarytmu jest a, ale wiąże się to z dużo późniejszym sposobem myślenia. Tutaj my rzeczywiście myślimy o logarytmie jako o funkcji, podczas gdy wcześniej uczeni postrzegali w logarytmach czystą liczbę, która pomagała w liczeniu. Pokazał to Jakub Bernoulli, który jako pierwszy zrozumiał, że logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Z drugiej strony pierwszą osobą, która pokazała stosunek między logarytmowaniem i potęgowaniem był James Gregory, który w 1684 roku ostatecznie uznał związek między tymi pojęciami. O ile wiadomo po raz pierwszy liczba e pojawia się wraz ze swoimi własnymi prawami w 1690 roku. W którym to Leibniz napisał list do Huygensa i w nim używał notacji b dla liczby, którą my teraz nazywamy e. Wreszcie liczba e miała swoją nazwę (nawet, jeżeli nie jest tak nazywana obecnie) i została uznana. Logarytm nie był postrzegany jako funkcja. Należałoby wspomnieć o Janie Bernoullim, który zaczął badania nad rachunkiem funkcji wykładniczej w 1697 roku, kiedy to opublikował Principia calculi exponentialium seu percurrentium. Praca ta związana jest z obliczeniami rozmaitych serii funkcji wykładniczych i zawiera wiele wyników osiąganych poprzez sumowanie składników wyraz po wyrazie. Do Eulera należy ten matematyczny zapis, który pojawił się bez żadnej niespodzianki tak jak nazwanie tej liczby przez e, co również jest jego udziałem. Przypuszczenia, których czasami się docieka, jakoby Euler wykorzystał literę e, dlatego że jest ona pierwszą literą jego nazwiska są zabawne. Prawdopodobne pochodzenie również zaczerpnięte jest z faktu, że litera e pochodzi od słowa exponential (funkcja wykładnicza), ale to może być po prostu następna samogłoska po a, ponieważ Euler już użył litery a w swojej pracy. Niezależnie od powodu, litera e pojawiła się po raz pierwszy w liście Eulera napisanym do Goldbacha w 1731 roku. Tworzył on różne odkrycia dotyczące liczby e przez wiele lat, ale dopiero w 1748 roku, kiedy to Euler opublikował Introductio in Analysin infinitorum ( Wstęp do analizy nieskończoności ), dał całościową ideę odnoszącą się do liczby e. Pokazał on, że: e = / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku. 2

3 e = bez stwierdzenia skąd one pochodzą. To było tak samo jakby on obliczył tą wartości bez wskazania jak to robić. W rzeczywistości biorąc około 20 elementów z / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... dostaniemy dokładność, którą Euler otrzymywał. Wśród innych interesujących wyników w tej pracy jest stosunek między sinusem i cosinusem funkcji i całościowe ujęcie funkcji wykładniczej, którą Euler wyprowadził używając formuły De Moivre's. Ta sama pasja, która doprowadziła ludzi do obliczania coraz większej ilości miejsc po przecinku rozszerzenia liczby π, nie powstrzymała ich od tego samego w przypadku liczby e. Byli tacy, którzy obliczali jej dziesiętne rozszerzenie, jednak jako pierwszy liczbę e przybliżył do bardzo dużej liczby miejsc dziesiętnych był Shanks w 1854 roku. Warto zauważyć, że Shanks był człowiekiem nawet bardziej zafascynowany dziesiętnym rozszerzeniem liczby π. Glaisher wykazał. że pierwsze 137 miejsc obliczeń Shanksa dla e były poprawne, ale znaleziono błąd, który po korekcie przez Shanksa dał przybliżenie liczby e do 205 miejsc po przecinku. W rzeczywistości trzeba było około 120 składników sumy / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... w celu uzyskania prawidłowej wartość dla e do 200 miejsc po przecinku. W 1864 roku Benjamin Peirce miał jego zdjęcie stojące przed tablicą, na której była napisana formuła: i i = (e π ). W swoich wykładach mówił do swoich słuchaczy: Panowie, nie mamy pojęcia, co to równanie oznaczać, ale możemy być pewni, że oznacza coś bardzo ważnego. Większość ludzi akceptuje to, że Euler jako pierwszy udowodnił, że e jest liczbą niewymierną. Właściwie był to Hermite, który udowodnił, że e nie jest liczbą algebraiczną w 1873 roku. Jest to wciąż kwestia otwarta czy e e jest liczbą algebraiczną, chociaż oczywiście brakuje tylko dowodu na to nie matematyk naprawdę uwierzyłby, że e e jest liczbą algebraiczną! O ile nam wiadomo, to ostatnio matematycy udowodnili, że liczby e e, e oraz e 2 są przestępne. Dalsze obliczenia dziesiętnych rozszerzeń następowały. W 1884 roku Boorman podał wartość liczby e do 346 miejsc po przecinku i zauważył, że zgadza się to z obliczeniami Shanks a aż do 187 miejsca po przecinku, a potem była już różna. W 1887 roku Adams obliczył logarytm z e przy podstawie 10 do 272 miejsc po przecinku. 3

4 Komentarz Liczba to podstawowe pojęcie matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. Rodowód liczby π jest geometryczny, a liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach. W starożytności jej nie znano, lecz zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wielu. Ale dopiero w 1736 roku Euler wprowadził jej oznaczenie. Głównym powodem pojawienia się liczby Eulera było pojęcie logarytmów. 1. Logarytmy i liczba e Logarytmy wymyślono, żeby zamienić mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie i to na znacznie mniejszych liczbach. Michael Stiefel zaobserwował zależność, jaka występuje pomiędzy postępem geometrycznym i odpowiadającym mu postępem arytmetycznym, ale teorii logarytmów nie stworzył. Udało się to dopiero Szkotowi Johnowi Neperowi w 1614 roku Pisał on w swojej pracy: "Wiedząc, że nie ma niczego, co byłoby tak kłopotliwe w praktyce matematycznej, co mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie dużych liczb, - żmudne, czasochłonne, a przy tym często podatne na niebezpieczne błędy - zacząłem w głębi ducha rozważać, za pomocą jakiego sposobu mógłbym usunąć te przeszkody." Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych, które były podstawą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. To właśnie wynalazkiem Nepera było powstanie tablic logarytmicznych. Z tym, że jego logarytmy były powiązane ze zwykłymi logarytmami naturalnymi wzorem: Nap(x) = ln x Umieścił je w książce ''Mirifici logarithmorum canonis descriptio'' (Opis zadziwiających tablic logarytmów). Druga praca - "Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających tablic logarytmów) z 1620 r. powstała przez stablicowanie wyrażeń (1 + x/n) -n dla dużego n i x przebiegającego przez wyrazy ciągu arytmetycznego. Były więc dobrymi przybliżeniami logarytmów przy podstawie e -1. Jak okazało się później, funkcje logarytmiczne są odwrotne do funkcji wykładniczych. 4

5 Tablice Nepera Oprócz tablic logarytmów zajmował się również stablicowaniem funkcji trygonometrycznych. 2. Definicje i postacie liczby e Liczba e może być różnorodnie definiowana. Poniżej przedstawię kilka najbardziej popularnych postaci, które najczęściej można spotkać w literaturze na ten temat. a) Liczba e jako granica ciągu: e = lim (1 + 1/n) n Źródło: Taką granicę podał w 1728 roku Daniel Bernoulli. Jest ona najbardziej trafna ze względu na swoje pochodzenie zaczerpnięte z logarytmów i z interpolacji: logarytm Służy do tego by móc zlogarytmować wyrażenie (1+x) n ze znaczną dokładnością wyniku dla małych wartości x i dużą wartością n. 1+ x = x 5

6 b) Liczba e jako suma szeregu: e = Σ 1/n! = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + Źródło: Szereg szybko zbieżny, przybliżoną wartość e dla szeregu o n składnikach otrzymuje się z błędem bezwzględnym mniejszym niż 3/n!. Przykładowo, aby obliczyć e z dokładnością do 0,0001 trzeba wziąć n = 8 (jest to najmniejsza liczba naturalna n, dla której 3/n! < ) składników. Powyższy wzór szybko daje dobre przybliżenie tej liczby. c) Liczba e definiowana przy pomocy całki: 1/x dx = 1, Źródło: Pole powierzchni pod hiperbolą y = 1/x w przedziale od x=1 do x=e jest równe 1. Sprawdźmy: 1/x dx = ln = ln e ln 0 = 1 0 = 1 d) Liczba e definiowana przy pomocy funkcji: argument, dla którego funkcja f(x) = x 1/x ma największą wartość Jeżeli funkcja posiada w punkcie x 0 ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to jej pierwsza pochodna w tym punkcie jest równa zero. Jest to warunek konieczny istnienia ekstremum. Czyli dla tej funkcji: f (x) = (1/x) x 1/x 1 + (ln x) x 1/x (-1/x 2 )= x 1/x (1/x 2 ) (1 - ln x) 6

7 f (e) = e 1/e (1/e 2 ) (1 - ln e) = 0 e) Liczba e w postaci iloczynów nieskończonych: e = /2 Podobnie jak dla liczby π istnieje postać zapisu w formule iloczynu nieskończonego nazywanego wzorem Wallisa: / π/2 = ( ) / ( ) = 2/1 2/3 4/3 4/5 6/5 6/7 Jednak zapis liczby e jest jednak nieco bardziej skomplikowany. 1/ /16 f) Liczba e w postaci ułamków łańcuchowych e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, ] Ułamek łańcuchowy jest to ułamek nieskończony, w którym mianownik jest sumą liczby całkowitej i kolejnego ułamka. W przypadku, gdy liczniki wszystkich występujących ułamków w tym rozwinięciu wynoszą 1, to nazywamy go ułamkiem arytmetycznym łańcuchowym. Powyższe wzory, jak i inne nieskończone rozwinięcia liczby e podane przez Eulera świadczą o tym, że jest to liczba niewymierna. 3. Podstawowe własności Powstała liczba, której pierwsze oszacowanie podał w 1728 roku Daniel Bernoulli. Zatem trzeba było określić jej własności, by było wiadomo z czym ma się do czynienia. Liczba e jest przede wszystkim znana z tego, że jest liczbą niewymierną, czyli nie można jej przedstawić w postaci ułamka o całkowitych wartościach licznika i mianownika. Dowód tej własności można znaleźć w książce Bogdana Miś Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki str Jako pierwszy wykazał to Johann Heinrich Lambert w 1766 roku w 7

8 dwóch swoich pracach: Tymczasowych wiadomościach dla tych, co poszukują kwadratury i rektyfikacji koła, wydrukowanej w drugim tomie Przyczynków do matematyki i jej zastosowań oraz bardziej szczegółowo w Rozprawie o niektórych ważnych własnościach wielkości przestępnych kołowych i logarytmicznych. Jest zadziwiającym fakt, że taka stała nie posiada żadnych cech powtarzalności w rozwinięciu, chociaż z uwagi na tą samą własność u liczby π nie budzi to żadnych kontrowersji. Kolejna ważna cecha tej liczby to przestępność. Liczba Eulera nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Ta cecha również nie różni jej zbytnio od liczby π. Charles Hermite wykazał to w 1873 roku w dziele Sur la fonction exponentielle ( O funkcjach wykładniczych). Dowód o przestępności liczby e poprowadzony nie wprost można przestudiować na stronie internetowej: Jest to dowód zaczerpnięty od A. Hurwitza z 1892 roku. Istnieje również dowód autorstwa Dawida Hilberta o przestępności liczby e, który również jest przedstawiony na stronie internetowej: 4. Funkcja wykładnicza o podstawie e Stała e jest bardzo dobrze znana studentom z jednego bardzo ważnego powodu. A mianowicie jest podstawą funkcji wykładniczej f (x) = e x, która jest niezmiennicza zarówno w przypadku różniczkowania, jak i całkowania (z dokładnością do stałej). f = e x F = e x dx = e x + const Oznacza to taką samą postać funkcji i nie zmienione własności po wykonaniu wyżej wymienionych operacji. Ponadto funkcja ta posiada kilka innych cennych cech. Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R, jest ona ciągła i rosnąca, a ponadto zawsze dodatnia i co więcej nie posiada ekstremów, punktów przegięcia ani miejsc zerowych. 8

9 Wykres funkcji e x Ponadto prostym uogólnieniem tej funkcji jest postać e ax lub e -ax, gdzie a jest stałą dodatnią. Zamiana dowolnej funkcji f(x) na f(ax) powoduje jedynie zmianę skali na osi poziomej. Wykresy funkcji e 2x i e -½x Im stała a jest większa, tym wykres funkcji e ax jest bardziej stromy. W szczególnym przypadku, gdy a=0 funkcja e ax jest funkcją stałą, gdyż e 0x = 1. Natomiast funkcja e -ax jest malejąca. Jej wykres jest odbiciem zwierciadlanym funkcji e ax wzdłuż osi OY. Wykres funkcji e -x Dzięki temu, że x n x m = x n+m, iloczyn dwóch funkcji wykładniczych też jest funkcją wykładniczą: e ax e bx = e (a+b)x. Natomiast suma dwóch funkcji wykładniczych funkcją wykładniczą już nie jest. 9

10 Wykres funkcji e -5x + e 0,2x 5. Leonard Euler i ułamki łańcuchowe Nie można pisać o tej ważnej stałej bez wspomnienia o matematyku, który jako pierwszy nadał jej imię. Jest kilka wersji opowieści dlaczego akurat litera e zasłużyła sobie na tak zaszczytne miano. Pierwsza głosi, że to od jego pierwszej litery nazwiska wziął się pomysł, zresztą często liczba e nazywana jest stałą Eulera. Jest jeszcze inna hipoteza głosząca, iż w swoim liście do Christiana Goldbacha użył oznaczenia tej litery dla stałej będącej wynikiem sumowania wyrazów 1/n! od n=0 do nieskończoności, gdyż litera a był już zajęta, a kolejną samogłoską w alfabecie jest właśnie e. No i ostatnia ewentualność, iż litera e pochodzi od słowa exponential, czyli funkcja wykładnicza, której to stała e jest podstawą. Liczba e, podstawa logarytmów naturalnych, występowała w matematyce na co najmniej sto lat przed publikacją Eulera Introductio in analysin infinitorum (Wstęp do analizy nieskończoności). W tej fundamentalnej monografii (obok wielu innych tematów) wiele miejsca poświęcił liczbie e i jej licznym zastosowaniom. Był znany z częstego używania w analizie szeregów potęgowych i przyczynił się do ich znacznego rozwoju. To prekursor wyrażania rozmaitych funkcji jako sumy nieskończenie wielu składników szeregu potęgowego, np.: Ponadto zajął się wyliczeniem przybliżenia podstawy funkcji wykładniczej. W tym celu w Rozdziale XVIII powyższej pracy przedstawił teorię ułamków łańcuchowych i podał oszacowania błędów, jakie są popełniane w momencie urywania go w pewnym miejscu. Zauważył, że schemat wyliczania ułamka łańcuchowego prowadzi do szeregu naprzemiennego oraz na odwrót. 10

11 Zatem ponieważ: 1/e = Σ (-1) n 1/n!, więc stosując swoją metodę otrzymał: Euler wylicza tą równość do sześciu kresek ułamkowych z wartości e podanej z dokładnością do 12 miejsc dziesiętnych. O nieskończonym rozwinięciu pisze, że uzasadnić je można za pomocą rachunku nieskończonych. Poniżej przedstawiłam dwa inne rozwinięcia wyrażeń zawierających stałą e w ułamek łańcuchowy. Ponadto Euler jest autorem innej ważnej formuły, która definiuje funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych i pozwala określić relacje łączące ją z funkcjami trygonometrycznymi. Korzysta z poniższego wyrażenia: e x = Σ (x n / n!) Połączył on poniższe formuły: a także za x wstawił x -1 i wyszło mu: e x -1 = cos x + -1 sin x e ix = cos x + i sin x Równość Eulera stwierdza, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zespolona funkcja wykładnicza daje się wyrazić w powyższej postaci. Zaczął używać w dowodach analitycznych funkcji wykładniczej i logarytmów. Znalazł sposób ujmowania różnych funkcji logarytmicznych w postaci szeregów potęgowych; udało mu się również zdefiniować logarytm dla argumentów ujemnych i zespolonych, co znacznie rozszerzyło zakres ich zastosowania w matematyce. 11

12 6. Historia najpiękniejszego wzoru matematyki Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Tym niemniej wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. e i π +1=0 Wzór ten powstał z formuły Leonarda Eulera przedstawiającą równość: e iφ = cosφ + i sinφ, dla φ R Ma on swoje liczne zastosowania w przestrzeni liczb zespolonych, gdzie kąt bywa nazywany argumentem lub fazą liczby zespolonej. Pozwala wykorzystać funkcję wykładniczą zamiast funkcji trygonometrycznych z późniejszą separacją części rzeczywistej i urojonej. Pomaga wyrazić potęgi cos n (x) i sin n (x) przez sinusy i cosinusy zwielokrotnionego argumentu x dzięki tożsamościom: cos(x) =(e ix + e ix )/2 sin(x) = (e ix e ix )/2i. Ponadto służy do obliczenia takich nieintuicyjnych wielkości jak i i = [exp (i π/2)] i = exp (-π/2). Formuła Eulera pozwala także zorientować się co to jest logarytm z liczby zespolonej: log (z) = log ( z e iφ ) = log ( z ) + iφ A także może być wykorzystywana do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. W szczególności, gdy w miejsce φ równania e iφ = cosφ + i sinφ, podstawimy kąt równy π, to otrzymamy wyrażenie łączące najważniejsze stałe matematyczne. Co takiego szczególnego we wzorze e iπ +1=0? Jeden z podstawowych argumentów, jakie się wysuwa, stwierdza, że w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych oraz trzy podstawowe działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Stałe te pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, dla potrzeb różnych gałęzi tej nauki. Jest to niesamowite, że można je było w jakikolwiek sposób połączyć. 12

13 7. Współczesne zastosowania Liczba Nepera ma w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e (przypisująca liczbie x wartość e x ) nie zmienia się po zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej. Ponadto jest to (z dokładnością do stałej) jedyne odwzorowanie o tej własności. Liczba e pojawia się niejednokrotnie w sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto 3 przykłady: a) Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. W niektórych bankach jednak okres ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 + 1/n) n złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji idealnej bank powinien prowadzić kapitalizacją ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki uzyskalibyśmy e złotych. FV = PV lim (1+1/n) n = PV e FV wartość przyszła pieniądza (future value) PV wartość teraźniejsza pieniądza (present value) b) Model dotyczący sfer urzędniczych. Sekretarka w pewnym urzędzie miała wysłać kilkanaście listów. W pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. W ogóle w rachunku prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku Chociażby w powszechnie używanym rozkładzie Poissona p(k)= e λ λ k / k!. Rozkład Poissona znajduje zastosowanie m.in. w określaniu następujących zdarzeń: liczby cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną, liczby rozmów zarejestrowanych przez centralę, liczby wypadków przytrafiających się ubezpieczonej osobie czy też liczby bakterii w preparacie mikroskopowym. Rozkład ten znajduje także szerokie zastosowanie w ekonometrii, m.in. w modelowaniu patentów, zbrodni a także popytu na usługi medyczne. 13

14 c) Liczba e pojawia się również na pograniczu medycyny i fizyki. Przykładem jej zastosowania w tych dziedzinach jest zanik monochromatycznej wiązki promieniowania Roentgena w materii lub rozpad promieniotwórczy pierwiastków. W pierwszym przypadku natężenie promieniowania I dane jest wzorem: I(x)=I(0)e -kx, gdzie I(0) to natężenie wychodzące z lampy Rentgenowskiej, k liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii (absorpcji) [1/m], x grubość warstwy pochłaniającej. Natomiast w przypadku rozpadu promieniotwórczego, liczba nietrwałych atomów spada wykładniczo z czasem: N(t)=N(0)e -λ t, gdzie N(0) to początkowa liczba atomów, λ - stała rozpadu [1/s], t czas. Literatura 1. B. Miś Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki Wydawnictwo Naukowo- Techniczne, Warszawa A. P. Juszkiewicz (red.) Historia matematyki, Tom 3, Matematyka XVIII stulecia Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, s i Na kolejnych dwóch stronach przedstawiono rozwinięcie dziesiętne liczby e, ten zapis potęguje fakt jej niewymierności. 14

15

16

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Czym jest liczba π? O liczbie π. Paweł Zwoleński. Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska

Czym jest liczba π? O liczbie π. Paweł Zwoleński. Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska 200.03.4 Motywacja wprowadzenia π Kluczowym momentem w historii liczby π było zauważenie przez starożytnych Babilończyków

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału KLASA I

Rozkład materiału KLASA I I. Liczby (31 godz.) Rozkład materiału Wg podręczników serii Prosto do matury. Zakres podstawowy i rozszerzony (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) KLASA I 1. Zapis dziesiętny liczby

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover :58 Strona 1. Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny

07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover :58 Strona 1. Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny 07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover 11-06-17 11:58 Strona 1 Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny ISBN 978-83-7680-389-0 9 788376 803890 rogram Matura z Operonem Lista uczestników

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MAEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM do podręcznika MATEMATYKA 2001

PLAN WYNIKOWY Z MAEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM do podręcznika MATEMATYKA 2001 Bożena Bakiewicz, Bożena Pindral PLAN WYNIKOWY Z MAEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM do podręcznika MATEMATYKA 2001 Poziom wymagań: K - konieczny P - podstawowy R - rozszerzający D - dopełniający POTĘGI,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

O liczbach niewymiernych

O liczbach niewymiernych O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany. MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum LICZBY (20 godz.) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum Wg podręczników serii Prosto do matury KLASA I (60 godz.) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 1 2. Wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo