oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku."

Transkrypt

1 Historia liczby Liczba e początkow weszła do matematyki w bardzo niewielkim zakresie. Jest rok 1618, kiedy to w pracy napisanej przez Napiera o logarytmach pojawia się tablica, która przedstawia logarytm naturalny rozmaitych liczb. Ta tablica umieszczona w dodatku pracy Napiera, chociaż nie opatrzona żadnym imieniem autora, była oczywiście w dużym stopniu napisana przez Oughtreda. Niewiele lata później, w 1624 roku, znowu liczba e prawie weszła do matematycznej literatury, ale nie do końca. W tym roku Briggs podał liczbowe przybliżenie logarytmu przy podstawie 10 z e, ale nie wymieniono liczby e samodzielnie w jego pracy. Następna możliwość wystąpienia liczby e jest znowu wątpliwa. W 1647 roku Saint- Vincent obliczał pole obszaru pod prostokątną hiperbolą. To czy on poznał związki między logarytmami jest otwartą dyskusją i nawet, jeżeli tak było, to miał mało powodów by podać liczbę e jawnie. Przed 1661 rokiem Huygens zrozumiał związek między prostokątną hiperbolą i logarytmem. On zbadał stosunek między przestrzenią pod prostokątną hiperbolą y x = 1 i logarytmem. Oczywiście liczba e ma taką wartość, że pole pod prostokątną hiperbolą od 1 do e jest równa 1. Jest to własność, która sprawia, że liczba e jest podstawą logarytmów naturalnych, ale nie było to tak rozumiane przez matematyków w tym czasie. Huygens spowodował inny postęp w tej kwestii 1661 roku. Zdefiniował on krzywą, którą nazwał "logarytmiczną", ale w naszej terminologii określalibyśmy ją raczej jako krzywą wykładniczą mającą postać y = ka x. Znów z tego wynikł logarytm o podstawie 10 z e, który Huygens wyliczył do 17 miejsc po przecinku. Jednak w obliczeniach jego pracy jest to wartość stała i nie jest ujmowana jako logarytm liczby (tak więc jest to kolejna informacja o liczbie e, która nadal pozostaje nierozpoznana). Dalsze prace nad logarytmami pociągnęły za sobą kolejne niepowodzenia w tym, aby postrzegać liczbę e taką jaka jest, natomiast przyczyniły się do rozwoju logarytmów. W 1668 roku Mikołaj Mercator wydał pracę pod tytułem Logarithmotechnia (technika logarytmowania), która zawiera serię rozszerzeń log (1+x). W tej praca Mercator używa określenia logarytm naturalny po raz pierwszy dla logarytmu o podstawie e. Może dziwić fakt, poczynając od czasu pracy nad logarytmami, że było od nich tak blisko do poznania liczby e, a jednak to ostateczne odkrycie nie nastąpiło przez pojęcie logarytmu, ale raczej przy badaniu interesującego związku. W 1683 roku Jakub Bernoulli próbował znaleźć granicę wyrażenia (1+1/n) n, przy n dążącym do nieskończoności. Użył 1

2 dwumianu Newtona by pokazać, że granica tego wyrażenia musi leżeć między 2 i 3, więc możemy uznać, że jest to pierwsze przybliżenie liczby e. Ponadto, jeśli zaakceptujemy to jako definicję, to po raz pierwszy liczba ta była określana przez proces ograniczania. Oczywiście nie zauważył on żadnych związków między swoją pracą i logarytmami. Wspomniane wyżej logarytmy nie były uważane we wczesnych latach ich rozwoju jako mające jakikolwiek związek z funkcją wykładniczą. Oczywiście od równania x = a t możemy wyprowadzić t = log x, gdzie podstawą logarytmu jest a, ale wiąże się to z dużo późniejszym sposobem myślenia. Tutaj my rzeczywiście myślimy o logarytmie jako o funkcji, podczas gdy wcześniej uczeni postrzegali w logarytmach czystą liczbę, która pomagała w liczeniu. Pokazał to Jakub Bernoulli, który jako pierwszy zrozumiał, że logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Z drugiej strony pierwszą osobą, która pokazała stosunek między logarytmowaniem i potęgowaniem był James Gregory, który w 1684 roku ostatecznie uznał związek między tymi pojęciami. O ile wiadomo po raz pierwszy liczba e pojawia się wraz ze swoimi własnymi prawami w 1690 roku. W którym to Leibniz napisał list do Huygensa i w nim używał notacji b dla liczby, którą my teraz nazywamy e. Wreszcie liczba e miała swoją nazwę (nawet, jeżeli nie jest tak nazywana obecnie) i została uznana. Logarytm nie był postrzegany jako funkcja. Należałoby wspomnieć o Janie Bernoullim, który zaczął badania nad rachunkiem funkcji wykładniczej w 1697 roku, kiedy to opublikował Principia calculi exponentialium seu percurrentium. Praca ta związana jest z obliczeniami rozmaitych serii funkcji wykładniczych i zawiera wiele wyników osiąganych poprzez sumowanie składników wyraz po wyrazie. Do Eulera należy ten matematyczny zapis, który pojawił się bez żadnej niespodzianki tak jak nazwanie tej liczby przez e, co również jest jego udziałem. Przypuszczenia, których czasami się docieka, jakoby Euler wykorzystał literę e, dlatego że jest ona pierwszą literą jego nazwiska są zabawne. Prawdopodobne pochodzenie również zaczerpnięte jest z faktu, że litera e pochodzi od słowa exponential (funkcja wykładnicza), ale to może być po prostu następna samogłoska po a, ponieważ Euler już użył litery a w swojej pracy. Niezależnie od powodu, litera e pojawiła się po raz pierwszy w liście Eulera napisanym do Goldbacha w 1731 roku. Tworzył on różne odkrycia dotyczące liczby e przez wiele lat, ale dopiero w 1748 roku, kiedy to Euler opublikował Introductio in Analysin infinitorum ( Wstęp do analizy nieskończoności ), dał całościową ideę odnoszącą się do liczby e. Pokazał on, że: e = / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... oraz, że e jest granicą wyrażenia (1 + 1 / n ) n, gdy n dąży do nieskończoności. Euler podawał przybliżenie dla liczby e do 18 liczb po przecinku. 2

3 e = bez stwierdzenia skąd one pochodzą. To było tak samo jakby on obliczył tą wartości bez wskazania jak to robić. W rzeczywistości biorąc około 20 elementów z / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... dostaniemy dokładność, którą Euler otrzymywał. Wśród innych interesujących wyników w tej pracy jest stosunek między sinusem i cosinusem funkcji i całościowe ujęcie funkcji wykładniczej, którą Euler wyprowadził używając formuły De Moivre's. Ta sama pasja, która doprowadziła ludzi do obliczania coraz większej ilości miejsc po przecinku rozszerzenia liczby π, nie powstrzymała ich od tego samego w przypadku liczby e. Byli tacy, którzy obliczali jej dziesiętne rozszerzenie, jednak jako pierwszy liczbę e przybliżył do bardzo dużej liczby miejsc dziesiętnych był Shanks w 1854 roku. Warto zauważyć, że Shanks był człowiekiem nawet bardziej zafascynowany dziesiętnym rozszerzeniem liczby π. Glaisher wykazał. że pierwsze 137 miejsc obliczeń Shanksa dla e były poprawne, ale znaleziono błąd, który po korekcie przez Shanksa dał przybliżenie liczby e do 205 miejsc po przecinku. W rzeczywistości trzeba było około 120 składników sumy / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! +... w celu uzyskania prawidłowej wartość dla e do 200 miejsc po przecinku. W 1864 roku Benjamin Peirce miał jego zdjęcie stojące przed tablicą, na której była napisana formuła: i i = (e π ). W swoich wykładach mówił do swoich słuchaczy: Panowie, nie mamy pojęcia, co to równanie oznaczać, ale możemy być pewni, że oznacza coś bardzo ważnego. Większość ludzi akceptuje to, że Euler jako pierwszy udowodnił, że e jest liczbą niewymierną. Właściwie był to Hermite, który udowodnił, że e nie jest liczbą algebraiczną w 1873 roku. Jest to wciąż kwestia otwarta czy e e jest liczbą algebraiczną, chociaż oczywiście brakuje tylko dowodu na to nie matematyk naprawdę uwierzyłby, że e e jest liczbą algebraiczną! O ile nam wiadomo, to ostatnio matematycy udowodnili, że liczby e e, e oraz e 2 są przestępne. Dalsze obliczenia dziesiętnych rozszerzeń następowały. W 1884 roku Boorman podał wartość liczby e do 346 miejsc po przecinku i zauważył, że zgadza się to z obliczeniami Shanks a aż do 187 miejsca po przecinku, a potem była już różna. W 1887 roku Adams obliczył logarytm z e przy podstawie 10 do 272 miejsc po przecinku. 3

4 Komentarz Liczba to podstawowe pojęcie matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. Rodowód liczby π jest geometryczny, a liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach. W starożytności jej nie znano, lecz zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wielu. Ale dopiero w 1736 roku Euler wprowadził jej oznaczenie. Głównym powodem pojawienia się liczby Eulera było pojęcie logarytmów. 1. Logarytmy i liczba e Logarytmy wymyślono, żeby zamienić mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie i to na znacznie mniejszych liczbach. Michael Stiefel zaobserwował zależność, jaka występuje pomiędzy postępem geometrycznym i odpowiadającym mu postępem arytmetycznym, ale teorii logarytmów nie stworzył. Udało się to dopiero Szkotowi Johnowi Neperowi w 1614 roku Pisał on w swojej pracy: "Wiedząc, że nie ma niczego, co byłoby tak kłopotliwe w praktyce matematycznej, co mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie dużych liczb, - żmudne, czasochłonne, a przy tym często podatne na niebezpieczne błędy - zacząłem w głębi ducha rozważać, za pomocą jakiego sposobu mógłbym usunąć te przeszkody." Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych, które były podstawą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. To właśnie wynalazkiem Nepera było powstanie tablic logarytmicznych. Z tym, że jego logarytmy były powiązane ze zwykłymi logarytmami naturalnymi wzorem: Nap(x) = ln x Umieścił je w książce ''Mirifici logarithmorum canonis descriptio'' (Opis zadziwiających tablic logarytmów). Druga praca - "Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających tablic logarytmów) z 1620 r. powstała przez stablicowanie wyrażeń (1 + x/n) -n dla dużego n i x przebiegającego przez wyrazy ciągu arytmetycznego. Były więc dobrymi przybliżeniami logarytmów przy podstawie e -1. Jak okazało się później, funkcje logarytmiczne są odwrotne do funkcji wykładniczych. 4

5 Tablice Nepera Oprócz tablic logarytmów zajmował się również stablicowaniem funkcji trygonometrycznych. 2. Definicje i postacie liczby e Liczba e może być różnorodnie definiowana. Poniżej przedstawię kilka najbardziej popularnych postaci, które najczęściej można spotkać w literaturze na ten temat. a) Liczba e jako granica ciągu: e = lim (1 + 1/n) n Źródło: Taką granicę podał w 1728 roku Daniel Bernoulli. Jest ona najbardziej trafna ze względu na swoje pochodzenie zaczerpnięte z logarytmów i z interpolacji: logarytm Służy do tego by móc zlogarytmować wyrażenie (1+x) n ze znaczną dokładnością wyniku dla małych wartości x i dużą wartością n. 1+ x = x 5

6 b) Liczba e jako suma szeregu: e = Σ 1/n! = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + Źródło: Szereg szybko zbieżny, przybliżoną wartość e dla szeregu o n składnikach otrzymuje się z błędem bezwzględnym mniejszym niż 3/n!. Przykładowo, aby obliczyć e z dokładnością do 0,0001 trzeba wziąć n = 8 (jest to najmniejsza liczba naturalna n, dla której 3/n! < ) składników. Powyższy wzór szybko daje dobre przybliżenie tej liczby. c) Liczba e definiowana przy pomocy całki: 1/x dx = 1, Źródło: Pole powierzchni pod hiperbolą y = 1/x w przedziale od x=1 do x=e jest równe 1. Sprawdźmy: 1/x dx = ln = ln e ln 0 = 1 0 = 1 d) Liczba e definiowana przy pomocy funkcji: argument, dla którego funkcja f(x) = x 1/x ma największą wartość Jeżeli funkcja posiada w punkcie x 0 ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to jej pierwsza pochodna w tym punkcie jest równa zero. Jest to warunek konieczny istnienia ekstremum. Czyli dla tej funkcji: f (x) = (1/x) x 1/x 1 + (ln x) x 1/x (-1/x 2 )= x 1/x (1/x 2 ) (1 - ln x) 6

7 f (e) = e 1/e (1/e 2 ) (1 - ln e) = 0 e) Liczba e w postaci iloczynów nieskończonych: e = /2 Podobnie jak dla liczby π istnieje postać zapisu w formule iloczynu nieskończonego nazywanego wzorem Wallisa: / π/2 = ( ) / ( ) = 2/1 2/3 4/3 4/5 6/5 6/7 Jednak zapis liczby e jest jednak nieco bardziej skomplikowany. 1/ /16 f) Liczba e w postaci ułamków łańcuchowych e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, ] Ułamek łańcuchowy jest to ułamek nieskończony, w którym mianownik jest sumą liczby całkowitej i kolejnego ułamka. W przypadku, gdy liczniki wszystkich występujących ułamków w tym rozwinięciu wynoszą 1, to nazywamy go ułamkiem arytmetycznym łańcuchowym. Powyższe wzory, jak i inne nieskończone rozwinięcia liczby e podane przez Eulera świadczą o tym, że jest to liczba niewymierna. 3. Podstawowe własności Powstała liczba, której pierwsze oszacowanie podał w 1728 roku Daniel Bernoulli. Zatem trzeba było określić jej własności, by było wiadomo z czym ma się do czynienia. Liczba e jest przede wszystkim znana z tego, że jest liczbą niewymierną, czyli nie można jej przedstawić w postaci ułamka o całkowitych wartościach licznika i mianownika. Dowód tej własności można znaleźć w książce Bogdana Miś Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki str Jako pierwszy wykazał to Johann Heinrich Lambert w 1766 roku w 7

8 dwóch swoich pracach: Tymczasowych wiadomościach dla tych, co poszukują kwadratury i rektyfikacji koła, wydrukowanej w drugim tomie Przyczynków do matematyki i jej zastosowań oraz bardziej szczegółowo w Rozprawie o niektórych ważnych własnościach wielkości przestępnych kołowych i logarytmicznych. Jest zadziwiającym fakt, że taka stała nie posiada żadnych cech powtarzalności w rozwinięciu, chociaż z uwagi na tą samą własność u liczby π nie budzi to żadnych kontrowersji. Kolejna ważna cecha tej liczby to przestępność. Liczba Eulera nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Ta cecha również nie różni jej zbytnio od liczby π. Charles Hermite wykazał to w 1873 roku w dziele Sur la fonction exponentielle ( O funkcjach wykładniczych). Dowód o przestępności liczby e poprowadzony nie wprost można przestudiować na stronie internetowej: Jest to dowód zaczerpnięty od A. Hurwitza z 1892 roku. Istnieje również dowód autorstwa Dawida Hilberta o przestępności liczby e, który również jest przedstawiony na stronie internetowej: 4. Funkcja wykładnicza o podstawie e Stała e jest bardzo dobrze znana studentom z jednego bardzo ważnego powodu. A mianowicie jest podstawą funkcji wykładniczej f (x) = e x, która jest niezmiennicza zarówno w przypadku różniczkowania, jak i całkowania (z dokładnością do stałej). f = e x F = e x dx = e x + const Oznacza to taką samą postać funkcji i nie zmienione własności po wykonaniu wyżej wymienionych operacji. Ponadto funkcja ta posiada kilka innych cennych cech. Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R, jest ona ciągła i rosnąca, a ponadto zawsze dodatnia i co więcej nie posiada ekstremów, punktów przegięcia ani miejsc zerowych. 8

9 Wykres funkcji e x Ponadto prostym uogólnieniem tej funkcji jest postać e ax lub e -ax, gdzie a jest stałą dodatnią. Zamiana dowolnej funkcji f(x) na f(ax) powoduje jedynie zmianę skali na osi poziomej. Wykresy funkcji e 2x i e -½x Im stała a jest większa, tym wykres funkcji e ax jest bardziej stromy. W szczególnym przypadku, gdy a=0 funkcja e ax jest funkcją stałą, gdyż e 0x = 1. Natomiast funkcja e -ax jest malejąca. Jej wykres jest odbiciem zwierciadlanym funkcji e ax wzdłuż osi OY. Wykres funkcji e -x Dzięki temu, że x n x m = x n+m, iloczyn dwóch funkcji wykładniczych też jest funkcją wykładniczą: e ax e bx = e (a+b)x. Natomiast suma dwóch funkcji wykładniczych funkcją wykładniczą już nie jest. 9

10 Wykres funkcji e -5x + e 0,2x 5. Leonard Euler i ułamki łańcuchowe Nie można pisać o tej ważnej stałej bez wspomnienia o matematyku, który jako pierwszy nadał jej imię. Jest kilka wersji opowieści dlaczego akurat litera e zasłużyła sobie na tak zaszczytne miano. Pierwsza głosi, że to od jego pierwszej litery nazwiska wziął się pomysł, zresztą często liczba e nazywana jest stałą Eulera. Jest jeszcze inna hipoteza głosząca, iż w swoim liście do Christiana Goldbacha użył oznaczenia tej litery dla stałej będącej wynikiem sumowania wyrazów 1/n! od n=0 do nieskończoności, gdyż litera a był już zajęta, a kolejną samogłoską w alfabecie jest właśnie e. No i ostatnia ewentualność, iż litera e pochodzi od słowa exponential, czyli funkcja wykładnicza, której to stała e jest podstawą. Liczba e, podstawa logarytmów naturalnych, występowała w matematyce na co najmniej sto lat przed publikacją Eulera Introductio in analysin infinitorum (Wstęp do analizy nieskończoności). W tej fundamentalnej monografii (obok wielu innych tematów) wiele miejsca poświęcił liczbie e i jej licznym zastosowaniom. Był znany z częstego używania w analizie szeregów potęgowych i przyczynił się do ich znacznego rozwoju. To prekursor wyrażania rozmaitych funkcji jako sumy nieskończenie wielu składników szeregu potęgowego, np.: Ponadto zajął się wyliczeniem przybliżenia podstawy funkcji wykładniczej. W tym celu w Rozdziale XVIII powyższej pracy przedstawił teorię ułamków łańcuchowych i podał oszacowania błędów, jakie są popełniane w momencie urywania go w pewnym miejscu. Zauważył, że schemat wyliczania ułamka łańcuchowego prowadzi do szeregu naprzemiennego oraz na odwrót. 10

11 Zatem ponieważ: 1/e = Σ (-1) n 1/n!, więc stosując swoją metodę otrzymał: Euler wylicza tą równość do sześciu kresek ułamkowych z wartości e podanej z dokładnością do 12 miejsc dziesiętnych. O nieskończonym rozwinięciu pisze, że uzasadnić je można za pomocą rachunku nieskończonych. Poniżej przedstawiłam dwa inne rozwinięcia wyrażeń zawierających stałą e w ułamek łańcuchowy. Ponadto Euler jest autorem innej ważnej formuły, która definiuje funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych i pozwala określić relacje łączące ją z funkcjami trygonometrycznymi. Korzysta z poniższego wyrażenia: e x = Σ (x n / n!) Połączył on poniższe formuły: a także za x wstawił x -1 i wyszło mu: e x -1 = cos x + -1 sin x e ix = cos x + i sin x Równość Eulera stwierdza, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zespolona funkcja wykładnicza daje się wyrazić w powyższej postaci. Zaczął używać w dowodach analitycznych funkcji wykładniczej i logarytmów. Znalazł sposób ujmowania różnych funkcji logarytmicznych w postaci szeregów potęgowych; udało mu się również zdefiniować logarytm dla argumentów ujemnych i zespolonych, co znacznie rozszerzyło zakres ich zastosowania w matematyce. 11

12 6. Historia najpiękniejszego wzoru matematyki Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Tym niemniej wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. e i π +1=0 Wzór ten powstał z formuły Leonarda Eulera przedstawiającą równość: e iφ = cosφ + i sinφ, dla φ R Ma on swoje liczne zastosowania w przestrzeni liczb zespolonych, gdzie kąt bywa nazywany argumentem lub fazą liczby zespolonej. Pozwala wykorzystać funkcję wykładniczą zamiast funkcji trygonometrycznych z późniejszą separacją części rzeczywistej i urojonej. Pomaga wyrazić potęgi cos n (x) i sin n (x) przez sinusy i cosinusy zwielokrotnionego argumentu x dzięki tożsamościom: cos(x) =(e ix + e ix )/2 sin(x) = (e ix e ix )/2i. Ponadto służy do obliczenia takich nieintuicyjnych wielkości jak i i = [exp (i π/2)] i = exp (-π/2). Formuła Eulera pozwala także zorientować się co to jest logarytm z liczby zespolonej: log (z) = log ( z e iφ ) = log ( z ) + iφ A także może być wykorzystywana do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. W szczególności, gdy w miejsce φ równania e iφ = cosφ + i sinφ, podstawimy kąt równy π, to otrzymamy wyrażenie łączące najważniejsze stałe matematyczne. Co takiego szczególnego we wzorze e iπ +1=0? Jeden z podstawowych argumentów, jakie się wysuwa, stwierdza, że w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych oraz trzy podstawowe działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Stałe te pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, dla potrzeb różnych gałęzi tej nauki. Jest to niesamowite, że można je było w jakikolwiek sposób połączyć. 12

13 7. Współczesne zastosowania Liczba Nepera ma w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e (przypisująca liczbie x wartość e x ) nie zmienia się po zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej. Ponadto jest to (z dokładnością do stałej) jedyne odwzorowanie o tej własności. Liczba e pojawia się niejednokrotnie w sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto 3 przykłady: a) Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. W niektórych bankach jednak okres ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 + 1/n) n złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji idealnej bank powinien prowadzić kapitalizacją ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki uzyskalibyśmy e złotych. FV = PV lim (1+1/n) n = PV e FV wartość przyszła pieniądza (future value) PV wartość teraźniejsza pieniądza (present value) b) Model dotyczący sfer urzędniczych. Sekretarka w pewnym urzędzie miała wysłać kilkanaście listów. W pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. W ogóle w rachunku prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku Chociażby w powszechnie używanym rozkładzie Poissona p(k)= e λ λ k / k!. Rozkład Poissona znajduje zastosowanie m.in. w określaniu następujących zdarzeń: liczby cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną, liczby rozmów zarejestrowanych przez centralę, liczby wypadków przytrafiających się ubezpieczonej osobie czy też liczby bakterii w preparacie mikroskopowym. Rozkład ten znajduje także szerokie zastosowanie w ekonometrii, m.in. w modelowaniu patentów, zbrodni a także popytu na usługi medyczne. 13

14 c) Liczba e pojawia się również na pograniczu medycyny i fizyki. Przykładem jej zastosowania w tych dziedzinach jest zanik monochromatycznej wiązki promieniowania Roentgena w materii lub rozpad promieniotwórczy pierwiastków. W pierwszym przypadku natężenie promieniowania I dane jest wzorem: I(x)=I(0)e -kx, gdzie I(0) to natężenie wychodzące z lampy Rentgenowskiej, k liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii (absorpcji) [1/m], x grubość warstwy pochłaniającej. Natomiast w przypadku rozpadu promieniotwórczego, liczba nietrwałych atomów spada wykładniczo z czasem: N(t)=N(0)e -λ t, gdzie N(0) to początkowa liczba atomów, λ - stała rozpadu [1/s], t czas. Literatura 1. B. Miś Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki Wydawnictwo Naukowo- Techniczne, Warszawa A. P. Juszkiewicz (red.) Historia matematyki, Tom 3, Matematyka XVIII stulecia Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, s i Na kolejnych dwóch stronach przedstawiono rozwinięcie dziesiętne liczby e, ten zapis potęguje fakt jej niewymierności. 14

15

16

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą Klasa LO Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą ZBIÓR I PODZBIOR DZIAŁANIA NA ZBIORACH I W ZBIORACH Przykładowe zadania: potrafi określić rodzaj liczby (N, C, W, NW, R) ) Ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil 1 Działania na ułamkach Wyłączanie całości z dodatnich ułamków niewłaściwych Formuła

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Procedury osiągania celów

Procedury osiągania celów Cele wychowawcze Istotną część procesu nauczania stanowi proces wychowywania. W nauczaniu matematyki szczególnie eksponowane są następujące cele wychowawcze: przygotowanie do życia we współczesnym świecie,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia. Uczeń:

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia. Uczeń: Matematyka Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej cechy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE I ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE I ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE I ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ. I. Liczby rzeczywiste oś liczbowa i przedziały liczbowe. 1. Definicja liczb: naturalnych całkowitych wymiernych niewymiernych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = godz.) Ramowy rozkład materiału I. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie, cz. 2...

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra)

Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra) MATEMATYKA (wg programu Nie tylko wynik ) Wymagania programowe na poszczególne oceny Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe i nieliniowe

Równania liniowe i nieliniowe ( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA III etap edukacyjny I. Wykorzystanie

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VI

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VI edukacyjne z matematyki w klasie VI Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań na ocenę dopuszczającą. Do uzyskania oceny dostatecznej uczeń musi spełniać kryteria wymagane na ocenę

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I i II technikum

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I i II technikum Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I i II technikum Temat (rozumiany jako konieczne podstawowe lekcja) rozszerzające dopełniające 1. Lekcja

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015 UŁAMKI ZWYKŁE I DZIESIĘTNE Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe Rozszerza ułamek zwykły Skraca ułamek zwykły Zapisuje ułamek

Bardziej szczegółowo

Michał Kremzer. Wykaz publikacji :

Michał Kremzer. Wykaz publikacji : Michał Kremzer Wykaz publikacji : 1) M. Kremzer : Zadania dla kółek matematycznych w liceum ( zadania 3,4,5, 6 ) Matematyka 5 / 1999 str. 303, 304, 305 2) M. Kremzer :,, Lanie wody średnie Matematyka 1

Bardziej szczegółowo

Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015

Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 MATEMATYKA Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 IMIĘ I NAZWISKO Data urodzenia: 08/09/2000 ID: 5200154019 Klasa: 11 Niniejsze sprawozdanie zawiera informacje o wynikach zdobytych przez Państwa dziecko

Bardziej szczegółowo