Czym jest liczba π? O liczbie π. Paweł Zwoleński. Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska

Transkrypt

1 Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska

2 Motywacja wprowadzenia π Kluczowym momentem w historii liczby π było zauważenie przez starożytnych Babilończyków następującego faktu: Twierdzenie Stosunek długości obwodu koła do jego średnicy jest stały i niezależny od promienia. Z czasem liczba wyrażająca wyżej wymieniony stosunek została gruntownie zbadana i oznaczona przez grecką literę π.

3 Definicja π Czym jest liczba π?

4 Pierwsze próby obliczenia liczby π Tabelka przedstawia, w jaki sposób liczba π wydłużała się w historii: lp. Kiedy Kto Wartość przybliżenia p.n.e. Babilończycy 3, 2. III wiek p.n.e. Archimedes 3, r. p.n.e. Ptolemeusz 3,4 4. III wiek Liu Hui 3, V wiek Zu Chongzhi 3,45926 i tak dalej, i tak dalej...

5 π parę wieków później W efekcie liczba π została oszacowana z dużą dokładnością. Oto pierwsze 50 cyfr po przecinku z rozwinięcia dziesiętnego liczby π: π = 3, Nie ma tu żadnej sensownej prawidłowości!!

6 Niewymierność Czym jest liczba π? Przypomnijmy, że liczby naturalne to:, 2, 3,... liczba wymierna Liczbę nazywamy wymierną (dodatnią), jeżeli da się ją przedstawić w postaci ilorazu p q liczb naturalnych. Liczby wymierne mają rozwinięcie ułamkowe skończone lub okresowe (na przykład: 0, 244 lub 0, ).

7 Niewymierność Czym jest liczba π? liczba niewymierna Liczbę, która nie jest wymierna, nazywamy liczbą niewymierną. Chaos w rozwinięciu liczby π pociągnął za sobą hipotezę: liczba π jest liczbą niewymierną. W roku 76 Johann Heinrich Lambert udowodnił prawdziwości tej tezy. niewymierność Rozwinięcie liczby π jest nieskończone i nieokresowe.

8 Geometryczne konstrukcje liczb Niektóre liczby wymierne można skonstruować geometrycznie (na przykład dowolną liczbę wymierną, 2, 5 i tak dalej). Okazuje się, że istnieją także liczby niekonstruowalne.

9 Przestępność Czym jest liczba π? Rozważmy liczbę a = 5 +. Postarajmy się ją wyzerować, używając tylko potęgowania, sztucznego dodawania, odejmowania oraz mnożenia liczb naturalnych. Mamy: a 2 = ( 5 + ) 2 = / 6 a 2 6 = 2 5 / 2 a 4 2a = 4 5 = 20 Stąd liczba 5 + spełnia równanie wielomianowe o całkowitych współczynnikach x 4 2x = 0, więc nazywamy ją liczbą algebraiczną. liczba przestępna Liczbę a nazywamy przestępną, jeżeli nie istnieje równanie wielomianowe o wsp. całkowitych, które byłoby spełnione przez a.

10 Liczba π jest przestępna Dowód przestępności liczby π został podany w 882 roku przez Ferdinanda Lindemanna. Wynika stąd, że liczby π nie można skonstruować geometrycznie. Dzięki przestępności liczby π ostatecznie został rozwiązany antyczny problem kwadratury koła: używając cyrkla i linijki bez podziałki zbudować kwadrat o polu równemu polu danego koła. Ponieważ pole koła wyraża się wzorem P = πr 2 i π jest przestępna, więc mamy: kwadratura koła Kwadratura koła nie jest możliwa.

11 Nieskończoność - sposób na liczbę π Nieskończoność to potężne narzędzie, które pozwala nam obliczać przybliżoną wartość liczby π z dowolną dokładnością = π (Leibniz) = π 2 (Wallis) = π 2 (Euler)

12 Wzorki potworki Czym jest liczba π? Oraz bardziej wyrafinowane: π = k=0 (4k)!( k) (k!) k (Ramanujan) π = k=0 (6k)!( k) (3k)!(k!) 3 ( ) 3k (bracia Chudnovsky)

13 π w postaci ułamka łańcuchowego π = Powyższe to tak zwany ułamek łańcuchowy.

14 π w dobie komputerów Poprzednie wzory nieskończone służą obecnie do obliczania kolejnych przybliżeń liczby π. W roku 2009 znanych było już ponad 3 biliony (3,000,000,000,000) cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Kolejne przybliżenia wciąż są obliczane. Obliczanie kolejnych przybliżeń π to dobry sposób na sprawdzanie rozwoju technologicznego komputerów. Obecnie przeciętny komputer potrafi w niecałą minutę obliczyć π z dokładnością do miliona miejsc po przecinku.

15 Sposoby zapamiętywania liczby π Istnieje wiele wierszy, pozwalających zapamiętać rozwinięcie liczby π, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Oto jeden z nich: Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami. (myślnik oznacza 0) Nazwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku

16 Najpiękniejszy wzór matematyki Liczba π wchodzi w skład tak zwanego najpiękniejszego wzoru matematyki - szczególnego przypadku wzoru Eulera: Najpiękniejszy wzór matematyki gdzie: e iπ + = 0 e - stała Eulera (liczba niewymierna, przestępna), e 2, element neutralny dodawania - element neutralny mnożenia i - jednostka urojona (i 2 = )

17 Dziękuję za uwagę. Dziękuję za uwagę!