Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e."

Transkrypt

1 Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 1/31

2 Załóżmy, że mamy 1000 zł. Deponujemy pieniądze w banku, który oferuje oprocentowanie roczne 10% a kapitalizuje odsetki dwa razy w roku. Ile otrzymamy odsetek? 1000zł ) ) = 1000zł ) 2 = 1102, 50zł Inny bank oferuje także 10% rocznie ale kapitalizuje 12 razy: Zatem 2,21zł do przodu. 1000zł ) 12 = 1104, 71zł 12 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 2/31

3 Załóżmy, że mamy 1000 zł. Deponujemy pieniądze w banku, który oferuje oprocentowanie roczne 10% a kapitalizuje odsetki dwa razy w roku. Ile otrzymamy odsetek? 1000zł ) ) = 1000zł ) 2 = 1102, 50zł Inny bank oferuje także 10% rocznie ale kapitalizuje 12 razy: Zatem 2,21zł do przodu. 1000zł ) 12 = 1104, 71zł 12 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 2/31

4 Po długich poszukiwaniach znajdujemy bank który daje 10% ale kapitalizuje codziennie 365 razy w roku)! 1000zł ) 365 = 1105, 16zł 365 Zatem zyskujemy 2,66zł w stosunku do pierwszego banku i 45gr w stosunku do drugiego banku. Czy zatem bank który będzie stale kapitalizował odsetki np. kilka razy na sekundę) zapłaci nam jeszcze więcej? A jeśli tak, to jak dużego zysku możemy się spodziewać? Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 3/31

5 Aby odpowiedzieć na pytanie dotyczące banków zajmijmy się na jakiś czas liczbami: = ) 1 3 = ) ) 4 = ) 6 = ) 5 = ) 25 = Wszystkie są elementami ciągu ) n n Jakie własności ma ten ciąg? Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 4/31

6 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31

7 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n = 1 ) n n ) 1 1 nn 1) + n 2! ) n! n n! ) 1 n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31

8 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n = 1 ) n n = n 2! ) 1 1 nn 1) + n 2! n ) n! n n! ) )... 1 n 1 n n! ) 1 n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31

9 Dowód. Analogicznie a n+1 = ) n+1 = n + 1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31

10 Dowód. Analogicznie a n+1 = = 1 n ) n+1 = n + 1 ) 0 ) 1 1 ) n + 1)n n + 1) n + 1 2! n + 1 ) 1 n ) n + 1)! 1 n+1 + = n + 1 n + 1)! n + 1 n + 1)...2 n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31

11 Dowód. Analogicznie a n+1 = = 1 n ) n+1 = n + 1 ) 0 ) 1 1 ) n + 1)n n + 1) n + 1 2! n + 1 ) 1 n ) n + 1)! 1 n+1 + = n + 1 n + 1)! n + 1 ) ) 1 1 n n 1 n+1 n + 1)...2 n! = n+1 2! n ) )... 1 n n+1 n + 1)! n! + Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31

12 Dowód. Mamy zatem 1 1 ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

13 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 2! n+1 2! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

14 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

15 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! 0 < ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ) ) 1 1 n n n+1 n + 1)! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

16 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! 0 < ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ) ) 1 1 n n n+1 n + 1)! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

17 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

18 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

19 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ! + 1 3! n! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

20 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! ! + 1 3! n! n 1 = n 2) 1 ) 1 < 2 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

21 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! ! + 1 3! n! n 1 = n 2) 1 ) 1 < < = 3 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31 2

22 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest zbieżny posiada granicę) Dowód. Kolejne elementy ciągu rosną, jednak żaden nigdy nie przekroczy 3. Zatem istnieje pewna liczba g 3 granica), przy której nieskończenie wiele elementów ciągu musi się skupiać. Zdefiniujmy zatem liczbę e jako granicę tego ciągu e = lim ) n n n Z obliczeń na komputerze wynika, że e Liczbę e czasem nazywa się liczbą Napera. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 9/31

23 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest zbieżny posiada granicę) Dowód. Kolejne elementy ciągu rosną, jednak żaden nigdy nie przekroczy 3. Zatem istnieje pewna liczba g 3 granica), przy której nieskończenie wiele elementów ciągu musi się skupiać. Zdefiniujmy zatem liczbę e jako granicę tego ciągu e = lim ) n n n Z obliczeń na komputerze wynika, że e Liczbę e czasem nazywa się liczbą Napera. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 9/31

24 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

25 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

26 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

27 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

28 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

29 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x + 5 2! 5 2 x )5 2) 3! 5 3 x )5 2)5 3) 4! 5 4 x )5 2)5 3)5 4) 5! 5 5 x 5 = = 1 + x ! 25 x ! x ! 625 x ! 3125 x 5 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 11/31

30 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x + 5 2! 5 2 x )5 2) 3! 5 3 x )5 2)5 3) 4! 5 4 x )5 2)5 3)5 4) 5! 5 5 x 5 = = 1 + x ! 25 x ! x ! 625 x ! 3125 x 5 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 11/31

31 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! 10 2 x )10 2) 3! 10 3 x = 1 + x ! 100 x ! 1000 x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 12/31

32 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! 10 2 x )10 2) 3! 10 3 x = 1 + x ! 100 x ! 1000 x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 12/31

33 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x )100 2) 3! x 3 + = 1 + x + 1 2! 0.99x ! x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 13/31

34 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x )100 2) 3! x 3 + = 1 + x + 1 2! 0.99x ! x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 13/31

35 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x = 1 + x + 1 2! 0.999x ! 0.997x ! 0.994x ! 0.99x ! 0.985x ! 0.979x ! 0.972x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 14/31

36 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x = 1 + x + 1 2! 0.999x ! 0.997x ! 0.994x ! 0.99x ! 0.985x ! 0.979x ! 0.972x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 14/31

37 Rozwijając kolejne wartości e x 1 + x n ) n ze wzoru dwumianowego Newtona dochodzimy do ciekawej równości W szczególności: e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Pozwala to poznać nowe własności liczby e. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 15/31

38 Rozwijając kolejne wartości e x 1 + x n ) n ze wzoru dwumianowego Newtona dochodzimy do ciekawej równości W szczególności: e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Pozwala to poznać nowe własności liczby e. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 15/31

39 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

40 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

41 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

42 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

43 Dowód. Mamy jednak c = 1 k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

44 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) +... Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

45 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

46 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = )) = k! k = 1 )) 1 k + 1 = 1 k! k + 1 k k k! k+1 Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

47 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = )) = k! k = 1 )) 1 k + 1 = 1 k! k + 1 k k k! k+1 Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

48 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

49 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

50 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

51 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

52 Rysunek: Kolejne wielomianowe przybliżenia funkcji wykładniczej e x oraz wykres jej samej. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 19/31

53 Rysunek: Kolejne wielomianowe przybliżenia funkcji wykładniczej e x oraz wykres jej samej. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 19/31

54 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

55 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

56 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

57 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

58 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31

59 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31

60 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31

61 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

62 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

63 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

64 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

65 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

66 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

67 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

68 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

69 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

70 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

71 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

72 i 1+ iπ R Rysunek: Potęgowanie liczby 1 + iπ 6 ) interpretacja geometryczna) Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 24/31

73 i 1+ iπ R Rysunek: Potęgowanie liczby 1 + iπ 6 ) interpretacja geometryczna) Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 24/31

74 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

75 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

76 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

77 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

78 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

79 Wzór Eulera Wstęp Zatem pokazaliśmy, że albo inaczej: lim n 1 + iπ n ) n = e iπ = 1 e iπ + 1 = 0 Wzór łączący ze sobą wszystkie cztery podstawowe stałe matematyczne 1, 0, e, π) w eleganckim i głębokim związku! Wzór ten, zwany wzorem Eulera uważany jest za jeden z najbardziej eleganckich i głębokich wyników w matematyce. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 26/31

80 Powróćmy zatem do pytania, ile może wypłacić bank kapitalizujący ciągle odsetki z 1000zł? Przy założeniu, że stopa roczna wynosi 10% mamy 1000zł lim ) n = 1000zł e 0.1 = 1000zł n n Zatem mamy szansę na 1105,17zł. Zatem zyskamy zaledwie 1gr w stosunku do kapitalizacji dziennej i 46gr w stosunku do kapitalizacji miesięcznej... Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 27/31

81 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

82 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

83 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

84 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

85 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

86 fx) = 1 e x a)2 2σ 2 2π Rysunek: Krzywa Gaussa także zdefiniowana jest z wykorzystaniem liczby e... Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 29/31

87 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

88 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

89 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

90 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

91 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

92 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

93 Prezentację można pobrać z: philip/kolko_mat2009.pdf Będzie również dostępna na stronie kółka. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 31/31

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Granice ciągów liczbowych

Granice ciągów liczbowych Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości; WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO 2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo