Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e."

Transkrypt

1 Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 1/31

2 Załóżmy, że mamy 1000 zł. Deponujemy pieniądze w banku, który oferuje oprocentowanie roczne 10% a kapitalizuje odsetki dwa razy w roku. Ile otrzymamy odsetek? 1000zł ) ) = 1000zł ) 2 = 1102, 50zł Inny bank oferuje także 10% rocznie ale kapitalizuje 12 razy: Zatem 2,21zł do przodu. 1000zł ) 12 = 1104, 71zł 12 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 2/31

3 Załóżmy, że mamy 1000 zł. Deponujemy pieniądze w banku, który oferuje oprocentowanie roczne 10% a kapitalizuje odsetki dwa razy w roku. Ile otrzymamy odsetek? 1000zł ) ) = 1000zł ) 2 = 1102, 50zł Inny bank oferuje także 10% rocznie ale kapitalizuje 12 razy: Zatem 2,21zł do przodu. 1000zł ) 12 = 1104, 71zł 12 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 2/31

4 Po długich poszukiwaniach znajdujemy bank który daje 10% ale kapitalizuje codziennie 365 razy w roku)! 1000zł ) 365 = 1105, 16zł 365 Zatem zyskujemy 2,66zł w stosunku do pierwszego banku i 45gr w stosunku do drugiego banku. Czy zatem bank który będzie stale kapitalizował odsetki np. kilka razy na sekundę) zapłaci nam jeszcze więcej? A jeśli tak, to jak dużego zysku możemy się spodziewać? Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 3/31

5 Aby odpowiedzieć na pytanie dotyczące banków zajmijmy się na jakiś czas liczbami: = ) 1 3 = ) ) 4 = ) 6 = ) 5 = ) 25 = Wszystkie są elementami ciągu ) n n Jakie własności ma ten ciąg? Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 4/31

6 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31

7 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n = 1 ) n n ) 1 1 nn 1) + n 2! ) n! n n! ) 1 n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31

8 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n = 1 ) n n = n 2! ) 1 1 nn 1) + n 2! n ) n! n n! ) )... 1 n 1 n n! ) 1 n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31

9 Dowód. Analogicznie a n+1 = ) n+1 = n + 1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31

10 Dowód. Analogicznie a n+1 = = 1 n ) n+1 = n + 1 ) 0 ) 1 1 ) n + 1)n n + 1) n + 1 2! n + 1 ) 1 n ) n + 1)! 1 n+1 + = n + 1 n + 1)! n + 1 n + 1)...2 n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31

11 Dowód. Analogicznie a n+1 = = 1 n ) n+1 = n + 1 ) 0 ) 1 1 ) n + 1)n n + 1) n + 1 2! n + 1 ) 1 n ) n + 1)! 1 n+1 + = n + 1 n + 1)! n + 1 ) ) 1 1 n n 1 n+1 n + 1)...2 n! = n+1 2! n ) )... 1 n n+1 n + 1)! n! + Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31

12 Dowód. Mamy zatem 1 1 ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

13 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 2! n+1 2! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

14 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

15 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! 0 < ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ) ) 1 1 n n n+1 n + 1)! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

16 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! 0 < ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ) ) 1 1 n n n+1 n + 1)! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31

17 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

18 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

19 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ! + 1 3! n! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

20 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! ! + 1 3! n! n 1 = n 2) 1 ) 1 < 2 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31

21 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! ! + 1 3! n! n 1 = n 2) 1 ) 1 < < = 3 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31 2

22 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest zbieżny posiada granicę) Dowód. Kolejne elementy ciągu rosną, jednak żaden nigdy nie przekroczy 3. Zatem istnieje pewna liczba g 3 granica), przy której nieskończenie wiele elementów ciągu musi się skupiać. Zdefiniujmy zatem liczbę e jako granicę tego ciągu e = lim ) n n n Z obliczeń na komputerze wynika, że e Liczbę e czasem nazywa się liczbą Napera. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 9/31

23 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest zbieżny posiada granicę) Dowód. Kolejne elementy ciągu rosną, jednak żaden nigdy nie przekroczy 3. Zatem istnieje pewna liczba g 3 granica), przy której nieskończenie wiele elementów ciągu musi się skupiać. Zdefiniujmy zatem liczbę e jako granicę tego ciągu e = lim ) n n n Z obliczeń na komputerze wynika, że e Liczbę e czasem nazywa się liczbą Napera. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 9/31

24 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

25 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

26 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

27 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

28 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31

29 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x + 5 2! 5 2 x )5 2) 3! 5 3 x )5 2)5 3) 4! 5 4 x )5 2)5 3)5 4) 5! 5 5 x 5 = = 1 + x ! 25 x ! x ! 625 x ! 3125 x 5 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 11/31

30 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x + 5 2! 5 2 x )5 2) 3! 5 3 x )5 2)5 3) 4! 5 4 x )5 2)5 3)5 4) 5! 5 5 x 5 = = 1 + x ! 25 x ! x ! 625 x ! 3125 x 5 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 11/31

31 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! 10 2 x )10 2) 3! 10 3 x = 1 + x ! 100 x ! 1000 x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 12/31

32 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! 10 2 x )10 2) 3! 10 3 x = 1 + x ! 100 x ! 1000 x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 12/31

33 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x )100 2) 3! x 3 + = 1 + x + 1 2! 0.99x ! x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 13/31

34 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x )100 2) 3! x 3 + = 1 + x + 1 2! 0.99x ! x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 13/31

35 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x = 1 + x + 1 2! 0.999x ! 0.997x ! 0.994x ! 0.99x ! 0.985x ! 0.979x ! 0.972x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 14/31

36 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x = 1 + x + 1 2! 0.999x ! 0.997x ! 0.994x ! 0.99x ! 0.985x ! 0.979x ! 0.972x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 14/31

37 Rozwijając kolejne wartości e x 1 + x n ) n ze wzoru dwumianowego Newtona dochodzimy do ciekawej równości W szczególności: e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Pozwala to poznać nowe własności liczby e. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 15/31

38 Rozwijając kolejne wartości e x 1 + x n ) n ze wzoru dwumianowego Newtona dochodzimy do ciekawej równości W szczególności: e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Pozwala to poznać nowe własności liczby e. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 15/31

39 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

40 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

41 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

42 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31

43 Dowód. Mamy jednak c = 1 k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

44 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) +... Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

45 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

46 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = )) = k! k = 1 )) 1 k + 1 = 1 k! k + 1 k k k! k+1 Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

47 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = )) = k! k = 1 )) 1 k + 1 = 1 k! k + 1 k k k! k+1 Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31

48 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

49 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

50 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

51 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31

52 Rysunek: Kolejne wielomianowe przybliżenia funkcji wykładniczej e x oraz wykres jej samej. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 19/31

53 Rysunek: Kolejne wielomianowe przybliżenia funkcji wykładniczej e x oraz wykres jej samej. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 19/31

54 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

55 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

56 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

57 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31

58 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31

59 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31

60 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31

61 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

62 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

63 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

64 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

65 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

66 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31

67 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

68 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

69 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

70 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

71 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31

72 i 1+ iπ R Rysunek: Potęgowanie liczby 1 + iπ 6 ) interpretacja geometryczna) Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 24/31

73 i 1+ iπ R Rysunek: Potęgowanie liczby 1 + iπ 6 ) interpretacja geometryczna) Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 24/31

74 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

75 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

76 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

77 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

78 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31

79 Wzór Eulera Wstęp Zatem pokazaliśmy, że albo inaczej: lim n 1 + iπ n ) n = e iπ = 1 e iπ + 1 = 0 Wzór łączący ze sobą wszystkie cztery podstawowe stałe matematyczne 1, 0, e, π) w eleganckim i głębokim związku! Wzór ten, zwany wzorem Eulera uważany jest za jeden z najbardziej eleganckich i głębokich wyników w matematyce. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 26/31

80 Powróćmy zatem do pytania, ile może wypłacić bank kapitalizujący ciągle odsetki z 1000zł? Przy założeniu, że stopa roczna wynosi 10% mamy 1000zł lim ) n = 1000zł e 0.1 = 1000zł n n Zatem mamy szansę na 1105,17zł. Zatem zyskamy zaledwie 1gr w stosunku do kapitalizacji dziennej i 46gr w stosunku do kapitalizacji miesięcznej... Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 27/31

81 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

82 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

83 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

84 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

85 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31

86 fx) = 1 e x a)2 2σ 2 2π Rysunek: Krzywa Gaussa także zdefiniowana jest z wykorzystaniem liczby e... Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 29/31

87 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

88 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

89 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

90 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

91 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

92 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31

93 Prezentację można pobrać z: philip/kolko_mat2009.pdf Będzie również dostępna na stronie kółka. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 31/31

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM Potęgi, pierwiastki i logarytmy 23 h DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH:

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO 2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany. MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu

Bardziej szczegółowo

07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover :58 Strona 1. Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny

07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover :58 Strona 1. Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny 07_Matematyka ZR_kalendarz-okl 2012_01_04 LOMzrKal_cover 11-06-17 11:58 Strona 1 Kalendarz przygotowań plan pracy na rok szkolny ISBN 978-83-7680-389-0 9 788376 803890 rogram Matura z Operonem Lista uczestników

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum, technikum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo