Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego
|
|
- Weronika Matysiak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólna praca z I. Czarna Zagadnienia aktuarialne: teoria i praktyka, Wrocław
2 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy;
3 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu;
4 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy;
5 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy; Wypłata dywidend może być jeszcze jedna miara ryzyka (firma w słabej kondycji finansowej wypłaca mała dywidendę);
6 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy; Wypłata dywidend może być jeszcze jedna miara ryzyka (firma w słabej kondycji finansowej wypłaca mała dywidendę); W trakcie tej prezentacji będziemy koncentrować się tylko na zysku akcjonariuszy.
7 Modelowanie matematyczne 3 Aneta Kręglicka A model is a model, the reality is sometimes less perfect.
8 Modelowanie matematyczne 4 John M. Keynes It is better to be roughly right than precisely wrong.
9 Model Craméra-Lundberga 5 Zwykle rezerwy firmy ubezpieczeniowej sa modelowane przez proces Craméra-Lundberga: gdzie X t = x + pt N t C k - ciag niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie F (tzw. roszczenia) k=1 C k N t - niezależny proces Poissona z intensywnościa λ p - intensywność wpłaty składki
10 Proces Lévy ego 6 X t - spektralnie ujemny proces Lévy ego, który nie jest subordynatorem, będzie modelować rezerwy firmy ubezpieczeniowej przed wypłata dywidend X t - proces ze niezależnymi i stacjonarnymi przyrostami, który nie ma dodatnich skoków
11 Proces Lévy ego 7 X t - spektralnie ujemny proces Lévy ego, który nie jest subordynatorem, będzie modelować rezerwy firmy ubezpieczeniowej przed wypłata dywidend X t - proces ze niezależnymi i stacjonarnymi przyrostami, który nie ma dodatnich skoków Formuła Lévy ego-chinczyna: Ee iθx t = e Ψ(θ)t gdzie Ψ(θ) = ipθ + σ2 ( 2 θ2 + ) 1 e iθx ν(δx) (, 1) ( + 1 e iθx + iθx ) ν(dx) ( 1,0) oraz zakładamy, że ( 1,0) (1 x2 ) ν(dx) <
12 Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe;
13 Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń);
14 Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej);
15 Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej); te same metody pojawiaja się przy wycenie opcji i innych problemach matematyki finansowej;
16 Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej); te same metody pojawiaja się przy wycenie opcji i innych problemach matematyki finansowej; im więcej modeli tym lepiej (nie ma jednego wiecznie prawdziwego modelu, co dobitnie pokazał ostatni kryzys finansowy).
17 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. 9
18 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 9 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t
19 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 9 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t Obserwujemy proces U π do czasu ruiny σ, gdzie Klasyczna ruina: σ = σ π = inf{t 0 : U π t < 0} Paryska ruina: σ = σ π,ζ = inf{t > 0 : t sup{s t : U π s 0} ζ, U π t < 0}
20 Funkcja wypłaty 10 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: [ σπ ] v π (x) = E x e qt dd π t oraz [ ] σπ,ζ vπ(x) ζ = E x e qt dd π t gdzie E x oznacza średnia kiedy X 0 = x. 0 0
21 Funkcja wypłaty 10 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: [ σπ ] v π (x) = E x e qt dd π t oraz [ ] σπ,ζ vπ(x) ζ = E x e qt dd π t gdzie E x oznacza średnia kiedy X 0 = x. Celem jest znalezienie optymalnej strategii 0 0 π = D która maksymalizuje v π (x) oraz vπ(x) ζ oraz porównanie optymalnych v π (x) oraz vπ(x), ζ czyli jak opóźnienie paryskie wpływa na łaczn a zdyskontowana wypłatę dywidend.
22 Strategia barierowa π a 11
23 Czas lokalny w maksimum 12 Dla strategii barierowej w a: D π a t = a X t a, gdzie X t = sup s t X s oraz {U π a t, t σ π a ; U π a 0 = x} = D {a Y t, t σ a ; Y 0 = a x} gdzie Y t = (a X t ) X t jest procesem odbitym w supremum i σ a = inf{t > 0 : Y t > a} jest pierwszym momentem wyjścia tego procesu z przedziału [0, a]
24 Proces regulowany raz jeszcze 13
25 Zdyskontowany czas lokalny 14
26 Paryska strategia barierowa π a 15 X t a z,z t
27 Funkcje skalujace Wykładnik Laplace a: ψ(θ): 16 E[e θx t ] = e tψ(θ) Φ(q) - największy pierwiastek równania ψ(θ) = q Pierwsza funkcja skalujaca: W (q) : [0, ) [0, ): 0 e θx W (q) (y)dy = (ψ(θ) q) 1, θ > Φ(q) Interpretacja probabilistyczna: W (q) (x) = e Φ(q)x P Φ(q) x (τ 0 = ), gdzie τ 0 = inf{t > 0 : X t < 0} oraz dp Φ(q) dp = exp (Φ(q)X t qt) Ft
28 Paryskie funkcje skalujace 17 gdzie V (q) (x) = e Φ(q)x P Φ(q) x (τ ζ = ), τ ζ = inf{t > 0 : t sup{s t : X s 0} ζ, X t > 0} X t t - 0 z t z t P x (τ ζ < ) było rozważane w poprzedniej prezentacji Irminy Czarnej!!!
29 Funkcja wypłaty dla π a 18 Twierdzenie 1. W (q) (x), x a, W (q) (a) v πa (x) = x a + W (q) (a) x > a oraz v ζ π a (x) = W (q) (a), V (q) (x), x a, V (q) (a) x a + V (q) (a) V (q) (a), x > a
30 Funkcja wypłaty dla π a 18 Twierdzenie 1. W (q) (x), x a, W (q) (a) v πa (x) = x a + W (q) (a) x > a oraz v ζ π a (x) = W (q) (a), V (q) (x), x a, V (q) (a) x a + V (q) (a) V (q) (a), x > a Optymalność π a w zbiorze wszystkich dopuszczalnych strategii (HJB): Γf(x) qf(x) 0, if x R, f (x) 1, if x R, gdzie Γ jest generatorem procesu ryzyka X: Γf(x) = σ2 2 f (x) + p 0 f (x) + 0 [ f(x + y) f(x) + f (x)y1 { y <1} ] ν(dy)
31 Optymalność π a 19 Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że miara skoków ma gęstość monotonicznie malejac a, to wtedy strategia barierowa jest optymalna dla obu problemów optymalizacyjnych z klasyczna i paryska ruina. W szczególności, optymalna bariera dla problemu z klasyczna ruina wynosi: a = inf{a > 0 : W (q) (a) W (q) (y) dla każdego y 0}, zaś dla problemu z paryskim opóźnieniem w momencie ruiny: a,ζ = inf{a > 0 : V (q) (a) V (q) (y) dla każdego y 0}. Dodatkowo jeśli W (q) C 2 (R) (a tak jest na przykład kiedy mamy Bronowskie perturbacje), to optymalne bariery rozwiazuj a następujace równania: W (q) (a ) = 0, V (q) (a,ζ ) = 0.
32 Model Craméra-Lundberga X t = x + pt N t U i 20 U i Exp(ξ) i=1 dla oraz a,ζ = a = 1 q + (q) q (q) log q (q) 2 (ξ + q (q)) q + (q) 2 (ξ + q + (q)) q ± (q) = q + λ ξp ± (q + λ ξp) 2 + 4pqξ 2 2c [( log ξ q λ q λ q D cξ q λ q (1 D) ) ( 1 cξ )] q λ q cφ(q) dla D = 1 ζ 0 pξ q λ q e (λ q+pξ q )t t 1 I 1 (2t pλ q ξ)dt z λ q = λξ/ξ q i ξ q = ξ + q + (q)
33 C-L - an. numeryczna 21 Bierzemy następujace parametry procesu ryzyka: ξ = 2, λ = 2, q = 0.1, p = 2.5. Wtedy a = ζ a,ζ Tabela 1: Optymalna wyskość bariery dla różnych paryskich opóźnień. x v(x) v a,ζ(x) Tabela 2: Łaczna ilość zdyskontowanych dywidend dla klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych kapitałów poczatkowych
34 C-L - an. numeryczna 22 Niech ζ = 0.3. x x v(x 1 ) = v a,ζ(x) Tabela 3: Ile więcej potrzebujemy kapitału poczatkowego aby w przypadku klasycznym ilość wypłaconych dwyidend była na tym samym poziomie jak dla paryskiego opóźnienia
35 Ruch Browna z dryfem 23 Wtedy: X t = σb t + pt, a = log δ + ω δ ω dla δ=σ 2 p 2 + 2qσ 2 i ω = p/σ 2 oraz ( ) p a,ζ = σ2 Ψ q ζ σ 2 log p q ( ) Ψ p q σ ζ 2 1/δ p q ζπ σ 2 + p q σ ζπ 2 ( 1 2p ) q p q p i dla Ψ(x) = 2 πxn ( 2x) πx + e x2 p q = p 2 + 2qσ 2
36 R. Browna - an. numeryczna 24 Bierzemy następujace parametry procesu ryzyka: σ = 2, p = 2.5. Wtedy a = ζ a,ζ Tabela 1: Optymalna wyskość bariery dla różnych paryskich opóźnień. x v(x) v a,ζ(x) Tabela 2: Łaczna ilość zdyskontowanych dla klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych kapitałów poczatkowych
37 R. Browna - an. numeryczna 25 Niech ζ = 0.3. x x v(x 1 ) = v a,ζ(x) Tabela 3: Ile więcej potrzebujemy kapitału poczatkowego aby w przypadku klasycznym ilość wypłaconych dwyidend była na tym samym poziomie jak dla paryskiego opóźnienia
38 DZIEKUJ E BARDZO ZA UWAGE!!!!! 26
Problemy dywidendowe dla procesu ryzyka typu Lévy ego
Problemy dywidendowe dla procesu ryzyka typu Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólne prace z F. Avramem, S. Baranem, P. Azcue, N. Muler R. Loeffenem, A. Kyprianou, M. Pistoriusem I. Czarna, E. Marciniak Zagadnienia
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoNumeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny
Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny Krzysztof Burnecki Aleksander Weron Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska www.im.pwr.wroc.pl/
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14
ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowoProblem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend w modelu Craméra-Lundberga 1
Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych Zeszyt 31/213 Sebastian Baran Zbigniew Palmowski Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend w modelu Craméra-Lundberga 1 Streszczenie W niniejszej
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoQuantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych
Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk 23.10.2008 Warszawa Plan 1 Układy
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoO geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoJak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć
Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć Jan Ob lój Uniwersytet Warszawski Université Paris 6 Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.1/22 Plan referatu 1. Wstępne definicje
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe
Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoFunkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski
Funkcje charakteryzujące proces eksploatacji Dr inż. Robert Jakubowski Niezawodność Niezawodność Rprawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od do t cechy funkcjonalne statku powietrznego Ubędą się mieścić
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowo01. dla x 0; 1 2 wynosi:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy
Bardziej szczegółowoO procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Bardziej szczegółowo1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.
Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie
Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 1 / 42 Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1.
1 Ex-dividend prices Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1. Mariusz Niewęgłowski 19 października 2014 Definicja 1. Dla każdego t [0, T ] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowor u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.
Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt,
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoCo to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej
Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoFluktuacje procesów Lévy ego
Fluktuacje procesów Lévy ego Mateusz Kwaśnicki (Politechnika Wrocławska) mateusz.kwasnicki@pwr.edu.pl 5 Forum Matematyków Polskich Poznań, 16 maja 2014 r. Błądzenie losowe X n = X n X n 1 i.i.d. (niezależne,
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład Poissona. Momenty rozkładu wartości poedyncze szkody wynoszą:, [ ]. Wiemy także, że momenty nadwyżki wartości poedyncze szkody ponad udział własny
Bardziej szczegółowoW3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego
Bardziej szczegółowoRozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności
Rozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności Krotności hadronów a + b c 1 + c +...+ c i +...+ c N Reakcje ekskluzywne: wszystkie
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoSuperdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoLXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoModele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Bardziej szczegółowo