Problemy dywidendowe dla procesu ryzyka typu Lévy ego

Transkrypt

1 Problemy dywidendowe dla procesu ryzyka typu Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólne prace z F. Avramem, S. Baranem, P. Azcue, N. Muler R. Loeffenem, A. Kyprianou, M. Pistoriusem I. Czarna, E. Marciniak Zagadnienia aktuarialne - teoria i praktyka, 2014

2 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy;

3 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Wycena firm metoda DCF;

4 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Wycena firm metoda DCF; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy;

5 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Wycena firm metoda DCF; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy; Wypłata dywidend może być jeszcze jedna miara ryzyka (firma w słabej kondycji finansowej wypłaca mała dywidendę);

6 Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Wycena firm metoda DCF; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy; Wypłata dywidend może być jeszcze jedna miara ryzyka (firma w słabej kondycji finansowej wypłaca mała dywidendę); W trakcie tej prezentacji będziemy koncentrować się tylko na zysku akcjonariuszy.

7 Model Craméra-Lundberga 3 Zwykle rezerwy firmy ubezpieczeniowej sa modelowane przez proces Craméra-Lundberga: gdzie X t = x + pt N t C k - ciag niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie F (tzw. roszczenia) k=1 C k N t - niezależny proces Poissona z intensywnościa λ p - intensywność wpłaty składki

8 Proces Lévy ego 4 X t - spektralnie ujemny proces Lévy ego, który nie jest subordynatorem, będzie modelować rezerwy firmy ubezpieczeniowej przed wypłata dywidend X t - proces ze niezależnymi i stacjonarnymi przyrostami, który nie ma dodatnich skoków

9 Proces Lévy ego 5 X t - spektralnie ujemny proces Lévy ego, który nie jest subordynatorem, będzie modelować rezerwy firmy ubezpieczeniowej przed wypłata dywidend X t - proces ze niezależnymi i stacjonarnymi przyrostami, który nie ma dodatnich skoków Formuła Lévy ego-chinczyna: Ee iθx t = e Ψ(θ)t gdzie Ψ(θ) = ipθ + σ2 ( 2 θ2 + ) 1 e iθx Π X (dx) (, 1) ( + 1 e iθx + iθx ) Π X (dx) ( 1,0) oraz zakładamy, że ( 1,0) (1 x2 ) Π X (dx) <

10 Motywacja 6 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe;

11 Motywacja 6 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń);

12 Motywacja 6 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej);

13 Motywacja 6 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej); te same metody pojawiaja się przy wycenie opcji i innych problemach matematyki finansowej;

14 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. 7

15 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 8 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t

16 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 9 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t τ π - moment likwidacji firmy w postaci jednorazowej wypłaty (wtedy U π τ π = 0)

17 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 10 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t τ π - moment likwidacji firmy w postaci jednorazowej wypłaty (wtedy U π τ π = 0) π = (τ π, D π t ) - strategia wypłaty dywidend polega na wyborze niemalejacego, lewostronnie ciagłego F-adaptowalnego procesu Dt π π oraz momentu τ

18 Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 11 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t τ π - moment likwidacji firmy w postaci jednorazowej wypłaty (wtedy U π τ π = 0) π = (τ π, D π t ) - strategia wypłaty dywidend polega na wyborze niemalejacego, lewostronnie ciagłego F-adaptowalnego procesu Dt π π oraz momentu τ Obserwujemy proces U π do czasu τ π σ π, gdzie σ π = inf{t 0 : U π t < 0}

19 Impulsowa kontrola 12 Zakładamy, że dla t < σ π D π t := D π t + D π t < U π t Do każdej wypłaty moga być dodane koszty transakcyjne w wysokości K 0 (przypadek K = 0 oznacza ich brak). Wtedy dodatkowo zakładamy, że D π t K W tym przypadku π jest dyktowane przez ciag czasów zatrzymania 0 T 1 T 2 T 3 < T 4 <... reprezentujacy momenty wypłat oraz przez ciag J i K F Ti -mierzalnych, dodatnich zmiennych losowych opisujacych wielkość wypłat. Dodatkowo: gdzie N π t = #{k : T k t} D π t = N π t k=1 J k

20 Funkcja wypłaty 13 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: gdzie [ σ π τ ] π D π (x) = E x e qt (dd π t K) + 0 t 0 (dd π s K) + = { D π t jeśli K = 0, s t 1 { D π t >K}( Dt π K) jeśli K > 0 oraz E x oznacza średnia kiedy X 0 = x.

21 Funkcja wypłaty 14 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: gdzie [ σ π τ ] π D π (x) = E x e qt (dd π t K) + 0 t 0 (dd π s K) + = { D π t jeśli K = 0, s t 1 { D π t >K}( Dt π K) jeśli K > 0 oraz E x oznacza średnia kiedy X 0 = x. Funkcja kary Gerbera-Shiu: ] Ww(x) π = E x [e q(σπ τ π) w (U π σ π τ ) π gdzie w jest funkcja kary (dla uproszczenia zakładamy, że w(0) = 0)

22 Funkcja wypłaty 15 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: gdzie [ σ π τ ] π D π (x) = E x e qt (dd π t K) + 0 t 0 (dd π s K) + = { D π t jeśli K = 0, s t 1 { D π t >K}( Dt π K) jeśli K > 0 oraz E x oznacza średnia kiedy X 0 = x. Funkcja kary Gerbera-Shiu: ] Ww(x) π = E x [e q(σπ τ π) w (U π σ π τ ) π gdzie w jest funkcja kary (dla uproszczenia zakładamy, że w(0) = 0) Funkcja wypłaty: v π (x) = D π (x) + W π w(x)

23 Cel 16 Celem jest znalezienie (optymalnej) strategii która maksymalizuje v π (x) = E x [ σ π τ π 0 π = (τ, D ) e qt (dd π t K) + ] ] + E x [e q(σπ τ π) w (U π σ π τ ) π Wtedy v (x) = sup π v π (x) = v π (x)

24 Strategia barierowa π a dla K = 0 17

25 Strategia barierowa π a dla K = 0 18 Jeśli bariera jest zbyt wysoko to nie zdołamy spędzić na niej zbyt wiele czasu (zebrać dużo dywidend) a jeśli jest zbyt nisko to zbyt szybko uzyskamy ruinę. Możemy więc spodziewać się optymalnej wysokości bariery.

26 Czas lokalny w maksimum 19 Dla strategii barierowej w a z K = 0: D π a t = a X t a, gdzie X t = sup s t X s oraz {U π a t, t σ π a ; U π a 0 = x} = D {a Y t, t σ a ; Y 0 = a x} gdzie Y t = (a X t ) X t jest procesem odbitym w supremum i σ a = inf{t > 0 : Y t > a} jest pierwszym momentem wyjścia tego procesu z przedziału [0, a]

27 Proces regulowany raz jeszcze 20

28 Zdyskontowany czas lokalny 21

29 Dwuwymiarowy subordynator 22 D π a (x) = σa 0 e qt dd π a t = = 0 0 e qdπa, 1 t 1 (sups t ɛ s a)dt e qξ t 1 (sups t η s a)dt gdzie η t = η t η t oraz (ξ, η) = {(ξ t, η t ) : t 0} jest dwuwymiarowym subordynatorem

30 Dwuwymiarowy subordynator 23 D π a (x) = σa 0 e qt dd π a t = = 0 0 e qdπa, 1 t 1 (sups t ɛ s a)dt e qξ t 1 (sups t η s a)dt gdzie η t = η t η t oraz (ξ, η) = {(ξ t, η t ) : t 0} jest dwuwymiarowym subordynatorem Twierdzenie 1. (Kyprianou i Palmowski (2007)) Dla n = 1, 2, 3,... mamy: [( E 0 ) n ] e qξ t 1 (sups t η s a)dt = n! n k=1 1 Λ(qk) + ν Λ(qk) (a, ) gdzie Λ(q) jest wykładnikiem Laplace a ξ oraz ν Λ(q) jest miara Lévy ego procesu η rozpatrywanego względem nowej miary dp Λ(q) t dp t = e Λ(q)t qξ t

31 Strategia barierowa π a dla K = 0 24 W π a w (x) = E x [ e qσ πa w(u π a σ πa ) ]

32 Strategia barierowa π a dla K = 0 25 W π a w (x) = E x [ e qσ πa w(u π a σ πa ) ] ] = E x [ t 0 e qt w(u π a t + X t )1 {t<σ πa, X t <U πa t } = a 0 y w(y z)π X (dz)r (q) (x, dy) = a 0 K w (y)r (q) (x, dy) gdzie R (q) (x, dy) jest rezolwenta procesu odbitego w maximum Y zabitego przy wyjściu z przedziału [0, a]: R (q) (x, dy) = = e qt P x (Y t dy, t < σ a )dt [ 0 W (q) (x) W (q) (a) W (q) (a y) W (q) (x y) + W (q) (x) W (q) (a) W (q) (0)δ a (dy) ] dy

33 Funkcje skalujace Wykładnik Laplace a: ψ(θ): 26 E[e θx t ] = e tψ(θ) Φ(q) - największy pierwiastek równania ψ(θ) = q Pierwsza funkcja skalujaca: W (q) : [0, ) [0, ): 0 e θx W (q) (y)dy = (ψ(θ) q) 1, θ > Φ(q) W (q) jest różniczkowalna (niekoniecznie w sposób ciagły) oraz Druga funkcja skalujaca: W (x) = W (0) (x) Z (q) (y) = 1 + q y 0 W (q) (z) dz

34 Strategia barierowa π a dla K > 0 27

35 Strat. likw.-barierowa π b,a, K > 0 28 π b,a dla a = (a, a + ) oraz b > 0

36 Strat. likw.-barierowa π b,a, K = 0 29 π b,a dla a > b oraz b > 0 ("graniczny przypadek"dla a + = a = a) Dla uproszczenia będziemy dla obu przypadków używać tego samego oznaczenia π b,a

37 Funkcja wypłaty dla π b,a Definiujemy: 30 w(x) = w(x b), K w (y) = y w(y + z)π X (dz) < F w (x) = x 0 W (q) (x y)k w (y)dy

38 Funkcja wypłaty dla π b,a Definiujemy: 31 w(x) = w(x b), K w (y) = y w(y + z)π X (dz) < F w (x) = x 0 W (q) (x y)k w (y)dy Twierdzenie 2. (Avram, Palmowski i Pistorius (2014)) w(x) x < b v πb,a := v b,a (x) = W (q) (x b)g b (a) + F w (x b) x [b, a + ] gdzie G b (a) := [ a K F w (a b) W (q) (a b) 1 F w (a b) W (q) (a b) jeśli K > 0 jeśli K = 0 oraz a = a + a, g(a b) = g(a + b) g(a b).

39 Optymalność π b,a Wybieramy optymalne bariery a = (a, a +) i b (dla K = 0: a = a = a + ). Niech: I w := sup I w (x), I w (x) = Γw(x) qw(x) x>0 gdzie 32 Af(x) = σ2 2 f (x)+pf (x)+ 0 [ f(x + y) f(x) f (x)y1 { y <1} ] ΠX (dy)

40 Optymalność π b,a Wybieramy optymalne bariery a = (a, a +) i b (dla K = 0: a = a = a + ). Niech: I w := sup I w (x), I w (x) = Γw(x) qw(x) x>0 gdzie 33 Γf(x) = σ2 2 f (x)+pf (x)+ 0 [ f(x + y) f(x) f (x)y1 { y <1} ] ΠX (dy) Twierdzenie 3. (i) Jeśi Iw 0, to dla każdego x > 0 optymalna strategia jest likwidacja, tzn. τ = 0. Załóżmy, że I w > 0. Wtedy (ii) π b,a jest optymaln a strategi a w zbiorze wszystkich strategii ograniczonych przez a + ; (iii) jeśli (Av b,a qv b,a )(x) 0 dla x > a +, to π b,a jest optymaln a strategia oraz v = v b,a. W szczególności, jeśli miara skoków Π X ma wypukła gęstość to strategia barierowo-likwidacyjna jest zawsze optymalna.

41 Azcue i Muler 2005 Cramér-Lundberg proces z roszczeniami o rozkładzie Gamma: 34 F (dx) = xe x dx, z intensywnościa dyskonta q = 0.1, intensywnościa zgłoszeń Poissonowskich λ = 10, intensywnościa składek: p = 2( )λ. Wtedy: v (x) = x x [0, 1.803) e x 9.431e x e x x [1.803, 10.22) x x 10.22

42 Strategia bandowa π b,a 35

43 π b,a, K = 0 36 Twierdzenie 4. Niech K = 0. Dla i 1 oraz v πb,a := v b,a (x): W (q) (x b i 1 )G wi 1 (a i, b i 1 ) + F wi 1 (x b i 1 ) x [b i 1, a i ) v b,a (x) = v b,a (a i ) + x a i x [a i, b i ) gdzie F wi 1 (x b i 1 ) = w i 1(b i 1 )F 1 (x) + w i 1 (b i 1 )F 0 (x) + F wi 1,0 (x) oraz w i 1,0 (x) = v b,a (x b i 1 ) v b,a (b i 1 ) (x b i 1 )v b,a (b i 1 )

44 Optymalność π b,a 37 Optymalne bandy: a i jest dane poprzez smooth fit condition of singular control : 0 = lim v x a a,b (x) = lim v i x a a,b (x), i b i > 0 jest zdeterminowane poprzez smooth fit condition : 1 = lim v x b a,b (x) = lim v i x b a,b (x) i jeśli X jest o nieograniczonym wahaniu lub przez continuous fit condition : jeśli X ma ograniczone wahanie. lim v x b a,b (x) = lim v i x b a,b (x) i Twierdzenie 5. Strategia π b,a dopuszczalnych strategii. jest optymaln a strategi a spośród wszystkich

45 Wykładnicze roszczenia Exp(µ) Niech gdzie C k = Exp(µ). X t = x + pt N t k=1 C k 38

46 Wykładnicze roszczenia Exp(µ) Niech gdzie C k = Exp(µ). Wtedy X t = x + pt N t k=1 C k 39 ( ) W (q) (x) = p 1 A + e q+ (q)x A e q (q)x, Z (q) (x) = p 1 q (q ) + (q) 1 A + e q+ (q)x q (q) 1 A e q (q)x gdzie A ± = µ+q± (q) q + (q) q (q) ψ(θ) = q: oraz q+ (q) = Φ(q) i q (q) rozwiazuj a równanie q ± (q) = q + λ µp ± (q + λ µp) 2 + 4pqµ 2p

47 Wykładnicze roszczenia Exp(µ) Niech gdzie C k = Exp(µ). Wtedy X t = x + pt N t k=1 C k 40 ( ) W (q) (x) = p 1 A + e q+ (q)x A e q (q)x, Z (q) (x) = p 1 q (q ) + (q) 1 A + e q+ (q)x q (q) 1 A e q (q)x gdzie A ± = µ+q± (q) q + (q) q (q) ψ(θ) = q: oraz q+ (q) = Φ(q) i q (q) rozwiazuj a równanie q ± (q) = q + λ µp ± (q + λ µp) 2 + 4pqµ 2p Rozważmy kawałkami liniowa funkcję Gerbera-Shiu: w(x) = cx1 {x<0} + (x K)1 {x>0}

48 Wykładnicze roszczenia Exp(µ) 41 Strategia likwidacyjna jest optymalna jeśli: gdzie I w 0 c max {c 1, c 2 } c 1 = (pµ/λ+k(µ+ qµ λ )), c 2 = 1+Kµ+ q λ exp { ( pµ λ q + Kµ 1) + } Jeśli c [c 1, c 2 ), to optymalna strategia jest strategia barierowa-likwidacyjna π b,a z b > 0. Jeśli c < min{c 1, c 2 }, to optymalna strategia jest strategia barierowa π a (czyli b = 0).

49 Erlang (2, µ), K = 0 42 W (q) (x) = 3 D j e ρ jx gdzie ρ 1 > 0 > ρ 2 > µ > ρ 3 sa pierwiastkami równania ψ(θ) = q oraz D j = (ρ j+µ) 2 p k j (ρ j ρ k. Rozważmy liniowa funkcję kary: ) j=1 w(x) = cx, dla x < 0 Jeśli I w 0 c µp/(2λ) > 1, to strategia likwidacyjna jest optymalna dla wszystkich x > 0 (τ = 0).

50 Erlang (2, µ), K = 0 43 W (q) (x) = 3 D j e ρ jx gdzie ρ 1 > 0 > ρ 2 > µ > ρ 3 sa pierwiastkami równania ψ(θ) = q oraz D j = (ρ j+µ) 2 p k j (ρ j ρ k. Rozważmy liniowa funkcję kary: ) j=1 w(x) = cx, dla x < 0 Jeśli Iw 0 c µp/(2λ) > 1, to strategia likwidacyjna jest optymalna dla wszystkich x > 0 (τ = 0). Numeryczny przykład Biorac c = 0.2, λ = 10, µ = 1, p = 21.4, q = 0.1 Optymalna strategia jest 2-bandowa strategia: v (x) = 0.2x for x < 0 x for 0 x e x e x e x for < x x for x >

51 Paryskie dywidendy Proces regulowany: U π t = X t D π t 43 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t Od teraz załóżmy brak funkcji kary, tzn. w(x) = 0 dla x < 0. Wtedy zawsze b = 0 oraz rozważamy tylko strategię barierowa π a. Obserwujemy proces U π do czasu ruiny σ, gdzie σ = σ π,ζ = inf{t > 0 : t sup{s t : U π s 0} ζ, U π t < 0}

52 Paryska strategia barierowa π a 44 X t a z,z t

53 Paryskie funkcje skalujace 45 gdzie V (q) (x) = e Φ(q)x P Φ(q) x (τ ζ = ), τ ζ = inf{t > 0 : t sup{s t : X s 0} ζ, X t > 0} Twierdzenie 6. (Czarna i Palmowski (2011), Loeffen, Czarna, Palmowski (2013)) Dla x 0: P x (τ ζ 0 W (0) (x + z)zp(x ζ dz) < ) = 1 EX 1 0 zp(x ζ dz)

54 Wykładnicze roszczenia Exp(µ) 46 Niech gdzie C k = Exp(µ). Wtedy: gdzie X t = x + pt P x (τ ζ < ) =e ( λ p µ)x (1 N t k=1 C k ) pµ λ e λζ pµ + e λζ µ D ζ 2 D 2 = pζ 0 (pζ t)e µt µλζ I 1 (2 tµλζ)dt t

55 Funkcja wypłaty dla π a 47 Przypomnijmy, że funkcja wartości liczona do klasycznej ruiny jest równa: W (q) (x), x a, W (q) (a) v πa (x) = x a + W (q) (a) x > a W (q) (a), Twierdzenie 7. (Czarna i Palmowski (2014)) Funkcja wartości liczona do paryskiej ruiny wynosi: v ζ π a (x) = V (q) (x), x a, V (q) (a) x a + V (q) (a) V (q) (a), x > a

56 Optymalność π a 48 Twierdzenie 8. Przypuśćmy, że miara skoków ma gęstość monotonicznie malejac a, to wtedy strategia barierowa jest optymalna dla obu problemów optymalizacyjnych z klasyczna i paryska ruina. W szczególności, optymalna bariera dla problemu z klasyczna ruina wynosi: a = inf{a > 0 : W (q) (a) W (q) (y) dla każdego y 0}, zaś dla problemu z paryskim opóźnieniem w momencie ruiny: a,ζ = inf{a > 0 : V (q) (a) V (q) (y) dla każdego y 0}. Dodatkowo jeśli W (q) C 2 (R), to optymalne bariery rozwiazuj a następujace równania: W (q) (a ) = 0, V (q) (a,ζ ) = 0.

57 Model Craméra-Lundberga X t = x + pt N t i=1 C i Exp(ξ) C i 49 dla oraz dla a = 1 q + (q) q (q) log q (q) 2 (ξ + q (q)) q + (q) 2 (ξ + q + (q)) q ± (q) = q + λ ξp ± (q + λ ξp) 2 + 4pqξ 2 a,ζ = 2p [( ) ( λ q D log 1 pξ q λ q ξ q λ q pξ q λ q (1 D) pφ(q) D = 1 ζ z λ q = λξ/ξ q i ξ q = ξ + q + (q) 0 pξq e (λ q+pξ q )t t 1 I 1 (2t pλ q ξ)dt λ q )]

58 C-L - an. numeryczna 50 Bierzemy następujace parametry procesu ryzyka: ξ = 2, λ = 2, q = 0.1, p = 2.5. Wtedy a = ζ a,ζ Tabela 1: Optymalna wyskość bariery dla różnych paryskich opóźnień. x v(x) v a,ζ(x) Tabela 2: Łaczna ilość zdyskontowanych dywidend dla klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych kapitałów poczatkowych

59 Model z wpłatami 51 Niech π = {D π t, R π t, t 0} będa niemalejacymi F-adaptowalnymi procesami opisujacymi łaczn a ilość wypłaconych dywidend oraz łaczn a ilość wpłat utrzymujacych proces powyżej zera Regulowany proces: Funkcja wartości: v (x) = sup π U π t = X t D π t + R π t [ E x e qt dd π t ϕ 0 0 e qt dr π t ] gdzie ϕ > 1 jest kosztem operacyjnym zwiazanym z wpłata jednostkowego kapitału

60 Optymalna startegia 52 v a (x) = ϕ(z (q) (x) + ψ (0 + )/q) + Z (q) (x) x a + v a (a) [ ] 1 ϕz (q) (a) qw (q) (a) 0 x a, x > a gdzie Z (q) (y) = y 0 Z (q) (z)dz = y + q y z 0 0 W (q) (w)dwdz Twierdzenie 9. (Avram, Palmowski i Pistorius (2007)) Optymalna strategia jest strategia barierowa z bariera: a = inf{a > 0 : G(a) 0} gdzie G(a) := [ϕz (q) (a) 1]W (q) (a) ϕqw (q) (a) 2.

61 Wycena typu DCF 53 DCF - Discounted Cash Flow (wycena firm metoda przepływów pieniężnych) Funkcja wartości: [ σ σ ] v (x) = sup E x e qt dl π t ϕ e qt dr π t π,σ 0 Twierdzenie 10. (Gajek i Kuciński (2011), Palmowski i Loeffen (2014)) Jeśli miara skoków ma gęstość monotonicznie malejac a, to optymalna strategia jest strategia π b,a polegajaca na odbiciu od a i wpłatach sprawiajacych, że regulowany proces jest nieujemny do czasu pierwszego zejścia poniżej poziomu b. Wycena PZU ta metoda dała kwotę 8,03 bn EUR zaś wycena rynkowa dawała w 2010 kwotę: 7,97 bn EUR. 0

62 Optymalna strategia dla DCF 54 a U p -b,a t -b

63 Składki zależne od rezerw 55 Proces rezerw (nieregulowany) jest opisany przez równanie: X t = x + t 0 p(x s )ds N t k=1 C k, gdzie p jest deterministyczna dodatnia, niemalejac a i Lipschitzowska funkcja a N t procesem Poissona z intensywnościa λ.

64 Problem optymalizacji dywidend 56 Proces regulowany U π t spełnia równanie: U π t = x + t 0 p(u π s )ds N t k=1 C k D π t, oznacza skumulowan a war- gdzie π jest dopuszczalna strategia dla której Dt π tość wypłaconych dywidend do chwili t włacznie. Uwaga! W modelu z p const NIE zachodzi równość U π t = X t D π t jak to jest m.in. w modelu Craméra-Lundberga lub w modelach z procesem Lévy ego X.

65 Cel 57 Celem jest znalezienie (optymalnej) strategii która maksymalizuje π = (τ, D ) v π (x) = E x [ σ π 0 ] [ e qt dd π t + E x e qσ π w (U π σ ) ] π Wtedy v (x) = sup π v π (x) = v π (x)

66 Strategia barierowa 58 a

67 Strategia barierowa 59 Zdefiniujmy funkcje: W q (x) = lim E x [e qτ y +, τ + y y < τ 0 ]/E 0 [e qτ y +, τ + y < τ 0 ] ] G q,w (x) = E x [e qτ 0 w(xτ 0 )I {τ 0 < }, gdzie τ a + = inf{t 0 : X t > a}, τ0 = inf{t 0 : X t < 0}. Załóżmy, że rozkład F ma ciagł a gestość. Wtedy funkcje W q, G q,w sa różniczkowalne dla każdego u > 0. Twierdzenie 11. (Marciniak i Palmowski (2014)) Dla strategii barierowej π a mamy: ( ) W q (x) 1 G W q(a) q,w(a) + G q,w (x), x a, v a (x) = v π a(x) = x a + v a (a), x > a.

68 Optymalność 60 Niech H q(y) := W q(y) 1 G q,w(y). Kandydat na barierę optymalna: { } a = sup a 0 : H q(a) H q(u) dla u 0, gdzie H q(0) = lim u 0 H q(u). Twierdzenie 12. Załóżmy, że H q(a) H q(b) dla wszystkich a a b. Wówczas strategia barierowa z barier a a jest optymalna tj. v (x) = v a (x).

69 Uwaga 61 Przypomnijmy, że dla x a mamy: v a (x) = W ( ) q(x) 1 G W q,w(a) + G q(a) q,w (x) Zauważmy też, że: lim u W q (x) = + and lim u G q,w (x) = 0. Oznacza to, że funkcja wartości (przy dodatkowych założeniach) jest kombinacja liniowa dwóch funkcji Gerbera-Shiu: niestabilnej, która znika na ujemnej półosi (odpowiada ona wypłatom dywidendowym, w naszym przypadku jest to funkcja W q ) oraz stabilnej (odpowiada ona wypłacie kary za ruinę, w naszym przypadku jest to funkcja G q,w ).

70 Przykład 62 Załóżmy, że szkody maja rozkład wykładniczy z parametrem µ. Niech p(x) = c + ɛx dla ɛ < q. Funkcje W q i G q,w sa rozwiazaniami równań: AW q (x) = qw q (x) dla x 0, W q (x) = 0 dla x < 0 AG q,w = qg q,w (x) + ω(x) dla x 0, G q,w (x) = w(x) dla x < 0 gdzie oraz A = ( d dx + µ)( p(x) d dx ω(x) = u + q) λµ w(x z)df (z)

71 Przykład 63 Niech: oraz s 1 (x) = U ( q ɛ λ+q + 1, + 1, µx + µc ) λ+q ɛ ɛ (ɛx + c) ɛ exp( µx) Gg(x) = ( U(x) Γ(q/ɛ+1) Γ((q+λ)/(1+ɛ)) x 0 ( 1 µ ) (λ+q)/ɛ (ɛx + c) (λ+q)/ɛ exp( µx µc ) ɛ ɛ ɛ ) M(v) M(x) U(v) + M(0) U(x) U(v) g(v) dv, U(0) x gdzie U(x) i M(x) sa funkcjami Kummera, g(x) = λ ( +µ) ω(x). Wtedy: p(x) x G q,w (x) = (s 1 (x) + Gg(x)), 0 Dodatkowo: W q (x) = M ( q ɛ λ+q + 1, + 1, µx + µc ) λ+q ɛ ɛ (ɛx + c) ɛ exp( µx)

72 Przykład 64 Przypomnijmy, że: G q,w (u) = (s 1 (u) + Gg(u)) W q (x) = M ( q ɛ λ+q + 1, + 1, µx + µc ) λ+q ɛ ɛ (ɛx + c) ɛ exp( µx) Zatem: H q(x) = W q(x) 1 G q,w(x) i możemy znaleźć optymalna barierę a rozwiazuj ac równanie H q(a ) = 0.

73 Funkcja użyteczności 65 U π t = X t t 0 c s ds Funkcja wartości: ( v (x) = v(x) = sup E dla funkcji użyteczności m, na przykład dla m(x) = xα, α (0, 1) α 0 ) e qt m(c t )dt Optymalna strategia jest funkcja c od obecnych rezerw, gdzie: c (x) = (m ) 1 (v x ).

74 C-L z wykładniczymi roszczeniami 66 Dla m(x) = xα przy dodatkowych założeniach funkcja wartości rozwi azuje α następujace równanie: µv xx + (ξµ β λ)v x ξβv + ξ 1 α α v(0) = µ β + λ v x(0) + v α 1 α x 1 α α(β + λ) v x(0) α 1 α v 1 1 α x v xx = 0 Twierdzenie 13. (Baran i Palmowski (2014)) Dla dużych wartości poczatko- wego kapitału x mamy: v(x) v x (x) c (x) ( ) 1 1 α α αβ x 1 α ( ) ( α 1 α 2α 1 αβ ( ) 1 α 1 α α αβ (1 α) x α ) 1 α α 2α 1 x α

75 Dwuwymiarowy p. ryzyka 67 Rozważamy teraz dwuwymiarowy proces ryzyka, kiedy dwie firmy (lub dwie gałęzie jednej firmy) połaczone sa poprzez proporcjonalna reasekurację. To znaczy będziemy zakładać, że firmy dziela sie roszczeniami (dla uproszczenia zakładamy, że dziela się nimi po równo) oraz intensywnościami wpłat w proporcji p 1 do p 2. Czyli: X t = (X 1 (t), X 2 (t)) = ( x 1 + p 1 t N t i=1 C i, x 2 + p 2 t N t i=1 C i ). dla p 1 > p 2.

76 Dwuwymiarowy p. ryzyka 68 Two possible surplus trajectories: X 2 3 Initial surpluses Slope p 2 p 1 2 Ruin 1 Initial surpluses Slope X 1 Ruin

77 Dwuwymiarowy p. ryzyka 69 Proces regulowany: gdzie U t = (U 1 (t), U 2 (t)) = X t D π t D π t = (D π 1(t), D π 2(t)) opisuje wypłatę dywidend przez każda z firm. Niech: v (x 1, x 2 ) = v (x) = sup π gdzie σ = inf{t 0 : U 1 (t)u 2 (t) < 0}. E x (1, 1) σ 0 e qt dd π t Funkcja wartości v (x 1, x 2 ) opisuje średnia zdyskontowana sumę łacznych dywidend płaconych przez obie firmy do czasu ruiny jednej z nich.

78 Równanie 70 Twierdzenie 14. (Czarna i Palmowski (2014)) Av(x) := p v x (x) (λ + q)v(x) + λ min(x1,x2) 0 v(x (1, 1)u) df (u) = 0 Znaleziono też rozwiazanie powyższego równania przy określonej strategii wypłaty dywidend polegajacej na odbiciu od prostej w dwóch wymiarach. Strategia ta determinuje warunki berzegowe dla tego równania. Ta strategia nie jest jednak optymalna w zbiorze wszystkich strategii dopuszczalnych.

79 Ham. - Jac. - Bell. 71 Twierdzenie 15. (Azcue, Muler i Palmowski (2014)) Funkcja wartości jest rozwiazaniem lepkościowym następujacego systemu HJB: max{av(x), 1 x 1 v(x), x 2 v(x)} = 0. Przykład Roszczenia wykładnicze: p 1 = 2, p 2 = 1, q = 0, 05 C k Exp ( ) 6 5

80 Azcue, Muler i Palmowski (2014) 72

81 DZIEKUJ E BARDZO ZA UWAGE!!!!! 73

82 Literatura 74 I. Czarna, Z. Palmowski, De Finetti s dividend problem and impulse control for a two-dimensional insurance risk process. Stochastic Models 27 (2011), I. Czarna, Z. Palmowski, Ruin probability with Parisian delay for a spectrally negative Lévy risk process. Journal of Applied Probability 48(4) (2011), I. Czarna, Z. Palmowski, Dividend problem with Parisian delay for a spectrally negative Lévy risk process. Journal of Optimization Theory and Applications (2013). F. Avram, Z. Palmowski, M. Pistorius, On Gerber-Shiu functions and optimal dividend distribution for a Lévy risk-process in the presence of a penalty function. Złożony do publikacji, (2014). H. Albrecher, C. Constantinescu, Z. Palmowski, G. Regensburger, M. Rosenkranz, On Gerber-Shiu functions for models with premiums dependent on reserves. SIAM Journal on Applied Mathematics 73(1) (2013), S. Baran, Z. Palmowski, Optimizing expected utility of dividend payments for a Erlang risk process. Złożony do publikacji, (2014).

83 Literatura 75 R. Loeffen, I. Czarna, Z. Palmowski, Parisian ruin probability for spectrally negative Lévy processes. Bernoulli 19(2) (2013), F. Avram, Z. Palmowski, M. Pistorius, On the optimal dividend problem for a spectrally negative Lévy process. Annals of Applied Probability 17(1) (2007), A. Kyprianou, Z. Palmowski, Distributional study of De Finetti s dividend problem for a general Lévy insurance risk process. Journal of Applied Probability 44(2) (2007), E. Marciniak, Z. Palmowski On optimal dividend problem for an insurance risk models with surplus-dependent premiums. W przygotowaniu, (2014). P. Azcue, N. Muler, Z. Palmowski Optimal dividend payments for a twodimensional risk process. W przygotowaniu, (2014).