Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny
|
|
- Zofia Stefańska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny Krzysztof Burnecki Aleksander Weron Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska hugo
2 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 1 Program wystąpienia Klasyczny proces ryzyka Prawdopodobieństwo ruiny w czasie nieskończonym Znane dokładne wzory na prawdopodobieństwo ruiny Aproksymacje w czasie nieskończonym Porównanie aproksymacji na przykładzie danych szkodowych Prawdopodobieństwo ruiny w czasie skończonym Znane dokładne wzory na prawdopodobieństwo ruiny Aproksymacje w czasie skończonym Porównanie aproksymacji na przykładzie danych szkodowych
3 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 2 Literatura [1] S. Asmussen (2000), Ruin Probabilities, World Scientific. [2] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), A new gamma type approximation of the ruin probability, Acta Physica Polonica B 36, [3] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), Ruin probabilities in finite and infinite time, w: Statistical Tools for Finance and Insurance. [Edytorzy] P. Cizek, W. Härdle, R. Weron (Springer), [4] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), What is the best approximation of ruin probability in infinite time?, Appl. Math. (Warsaw) 32, [5] J. Grandell (2000), Simple approximations of ruin probability, Insurance: Mathematics & Economics 26,
4 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 3 Proces zagregowanej wypłaty S t = N t k=1 X k, S t = 0, gdy N t = 0 N t liczba wypłat w portfelu do czasu t X 1, X 2,... wysokości poszczególnych wypłat Założenia: N t jest jednorodnym procesem Poissona o intensywności λ > 0 X 1, X 2,... są niezależnymi zmiennymi o jednakowych rozkładach danych dystrybuantą F i skończonej średniej µ zmienne losowe N t, X 1, X 2,... są wzajemnie niezależne
5 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 4 Proces ryzyka R t = u + ct S t, u kapitał początkowy c intensywność napływu składki Założenia: c = (1 + θ)λµ, gdzie względny narzut na bezpieczeństwo θ > 0
6 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 5 Prawdopodobieństwo ruiny Czas ruiny: τ(u) = inf{t 0 : R t < 0} Definicja 1 Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym czasie T ψ(u, T ) = P(τ(u) T ) Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie ψ(u) = P(τ(u) < )
7 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 6 Współczynnik dopasowania Definicja 2 Współczynnikiem dopasowania nazywamy dodatnie rozwiązanie (o ile istnieje) równania: 1 + (1 + θ)µr = M X (R), R < sup z M X (z) <
8 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 7 Rozkłady lekko-ogonowe nazwa parametry gęstość wykładniczy β > 0 f X (x) = βe βx, x 0 gamma α > 0, β > 0 f X (x) = βα Γ(α) xα 1 e βx, x 0 Weibull c > 0, τ 1 f X (x) = cτx τ 1 e cxτ, x 0 n mieszanina wykł. β i > 0, a i = 1 f X (x) = n (a i β i e β i x ), x 0 i=1 Rozkłady ciężko-ogonowe nazwa parametry gęstość Weibull c > 0, 0 < τ < 1 f X (x) = cτx τ 1 e cxτ, x 0 log-normalny µ R, σ > 0 f X (x) = 1 2πσx e (log(x) µ)2 2σ 2, x 0 log-gamma α > 0, β > 0 f X (x) = βα (log(x)) α 1 x β+1, x 1 ( Γ(α) ) Pareto α > 0, ν > 0 f X (x) = α ν α, ν+x ν+x x 0 Burr α > 0, ν > 0, τ > 0 f X (x) = ατνα x τ 1 (ν+x τ ) α+1, x 0 i=1
9 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 8 Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie. Wyniki dokładne Zerowy kapitał początkowy Wykładniczy rozkład wypłat ψ(u) = θ ψ(u) = θ exp ( θβu ) 1 + θ
10 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 9 Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie. Wyniki dokładne Rozkład wypłat gamma (numeryczne całkowanie od 0 do ); średnia 1 oraz α 1 ψ(u) = θ(1 R/α) exp( Ru) 1 + (1 + θ)r (1 + θ)(1 R/α) + αθ sin(απ) π I, gdzie I = 0 x α exp { (x + 1)αu} [x α {1 + α(1 + θ)(x + 1)} cos(απ)] 2 + sin 2 (απ) dx
11 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 10 Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie. Wyniki dokładne Mieszanina 2 rozkładów wykładniczych ψ(u) = gdzie r 1 = r 2 = 1 (1 + θ)(r 2 r 1 ) {(ρ r 1) exp( r 1 u) + (r2 ρ) exp( r 2 u)}, ρ + θ(β 1 + β 2 ) [ ] 1/2 {ρ + θ(β 1 + β 2 )} 2 4β 1 β 2 θ(1 + θ) 2(1 + θ) [ ρ + θ(β 1 + β 2 ) + {ρ + θ(β 1 + β 2 )} 2 4β 1 β 2 θ(1 + θ) p = aβ 1 1 aβ1 1 + (1 a)β2 1 2(1 + θ), ρ = β 1 (1 p) + β 2 p ] 1/2,,
12 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 11 nieskończonym czasie Aproksymacja Craméra Lundberga Aproksymacja wykładnicza Aproksymacja Lundberga Aproksymacja Beekmana Bowersa Aproksymacja Renyi Aproksymacja De Vyldera Aproksymacja 4-momentowa gamma De Vyldera
13 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 12 nieskończonym czasie Aproksymacja heavy traffic Aproksymacja light traffic Aproksymacja heavy-light traffic Aproksymacja podwykładnicza Komputerowa aproksymacja za pomocą wzoru Pollaczka Chinczyna
14 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 13 nieskończonym czasie Aproksymacja Craméra Lundberga ψ CL (u) = Ce Ru, gdzie C = θµ/ {M X (R) µ(1 + θ)}
15 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 14 nieskończonym czasie Aproksymacja wykładnicza ψ E (u) = exp { 1 } 2µθu µ (2), (µ (2) ) 2 + (4/3)θµµ (3) gdzie µ (k) = E(X k i )
16 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 15 nieskończonym czasie Aproksymacja Lundberga ψ L (u) = { 1 + ) (θu µ(2) 4θµ 2 µ (3) } ( ) 2µθu exp 2µ 3(µ (2) ) 3 µ (2)
17 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 16 nieskończonym czasie Aproksymacja Beekmana Bowersa L 1, L 2, L 3,... wartości drabinowe; f L1 (x) = F X (x)/µ Liczba wartości drabinowych K dana jest rozkładem geometrycznym z parametrem q = θ/(1 + θ), więc K L = i=1 ma złożony rozkład geometryczny L i
18 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 17 nieskończonym czasie ψ(u) = P(L > u) = P(L > 0)P(L > u L > 0) ψ BB (u) = θ {1 G(u)}, gdzie parametry α, β dystrybuanty rozkładu gamma G są dane przez { ( ) } { ( ) 4µµ (3) 4µµ α = 1 + 3(µ (2) ) 1 θ /(1+θ), β = 2µθ/ µ (2) (3) + µ (2) 2 3µ (2) } θ
19 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 18 nieskończonym czasie Aproksymacja Renyi ψ R (u) = 1 { 1 + θ exp 2µθu } µ (2) (1 + θ)
20 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 19 nieskończonym czasie Aproksymacja De Vyldera Parametry definiujące nowy proces z wykładniczym rozkładem wypłat: λ = 9λµ(2)3 2µ (3)2, θ = 2µµ (3) 3µ (2)2 θ i β = 3µ (2) µ (3). ψ DV (u) = ( ) θ βu exp θ 1 + θ
21 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 20 nieskończonym czasie Aproksymacja 4-momentowa gamma (4MG) De Vyldera Parametry definiujące nowy proces z rozkładem wypłat gamma λ = λ(µ (3) ) 2 (µ (2) ) 3 (µ (2) µ (4) 2(µ (3) ) 2 )(2µ (2) µ (4) 3(µ (3) ) 2 ), θ = θµ(2(µ (3) ) 2 µ (2) µ (4) ) (µ (2) ) 2 µ (3), µ = 3(µ(3) ) 2 2µ (2) µ (4), µ (2) = (µ(2) µ (4) 2(µ (3) ) 2 )(2µ (2) µ (4) 3(µ (3) ) 2 ) µ (2) µ (3) (µ (2) µ (3) ) 2
22 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 21 nieskończonym czasie Twierdzenie 1 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] ψ 4MG (u) = θ(1 R βr ᾱ )e ᾱ u 1 + (1 + θ)r (1 + θ)(1 R ᾱ ) + ᾱ θ sin(ᾱπ) π I, gdzie I = 0 xᾱe (x+1) βu dx [ x ᾱ ( 1 + ᾱ(1 + θ)(x + 1) ) cos(ᾱπ) ] 2 + sin2 (ᾱπ), oraz ᾱ = µ2 µ (2) µ 2, β = µ µ (2) µ 2
23 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 22 nieskończonym czasie Aproksymacja heavy traffic ψ HT (u) = exp ( 2θµu ) µ (2)
24 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 23 nieskończonym czasie Aproksymacja light traffic ψ LT (u) = 1 (1 + θ)µ u F X (x)dx
25 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 24 nieskończonym czasie Aproksymacja heavy-light traffic ψ HLT (u) = θ 1 + θ ψ LT ( ) θu 1 + θ + 1 (1 + θ) 2 ψ HT (u)
26 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 25 nieskończonym czasie Aproksymacja podwykładnicza S = { ψ S (u) = 1 θµ F : lim x ( µ F 2 (x) F (x) u 0 = 2 } ) F (x)dx
27 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 26 nieskończonym czasie Komputerowa aproksymacja za pomocą wzoru Pollaczka Chinczyna ψ(u) = P(L > u) = θ 1 + θ n=0 ( ) n 1 B0 n 1 + θ (u), B 0 ogon rozkładu odpowiadający gęstości b 0 (x) = F X (x) µ
28 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 27 nieskończonym czasie Ponieważ ψ(u) = EZ, gdzie Z = 1(L > u), otrzymujemy następujący algorytm Algorytm 1. Wygeneruj zmienną losową K z rozkładu geometrycznego z p = 1 1+θ, 2. Wygeneruj zmienne losowe X 1, X 2,, X K opisane gęstością b 0 (x), 3. Oblicz L = X 1 + X X K, 4. Jeżeli L > u, to Z = 1, w przeciwnym wypadku Z = 0,
29 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 28 nieskończonym czasie Twierdzenie 2 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] Gęstość b 0 (x) ma postać zamkniętą dla tylko czterech rozkładów: wykładniczy = b 0 (x) wykładniczy, mieszanina wykładniczych ( = b 0 (x) mieszanina a 1 ) β wykładniczych z wagami n 1,, an i=1 ( a βn i β ) n i i=1 ( a i, β ) i Pareto = b 0 (x) Pareto z (α 1, ν), Burr = b 0 (x) zmodyfikowany beta.
30 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 29 nieskończonym czasie. Podsumowanie
31 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 30 Rozkład Wykł. Gamma Wei- Miesz. Log- Pareto Burr Metoda bull wykł. norm. Craméra-Lundberga Wykładnicza α > 3 ατ > 3 Lundberga α > 3 ατ > 3 Beek.- Bow α > 3 ατ > 3 Renyi α > 2 ατ > 2 De Vyldera α > 3 ατ > 3 4MG De Vyldera α > 3 ατ > 3 Heavy Traffic α > 2 ατ > 2 Light Traffic H.-L. Traffic α > 2 ατ > 2 Podwykładnicza 0<τ < Poll.- Chincz
32 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 31 Rozważane dane Dane pochodzą od Property Claim Services (PCS) (jednostka Insurance Services Office Inc. (ISO)) i opisują straty w mieniu ubezpieczonym będące rezultatem katastrof naturalnych na terenie USA w latach
33 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 32 Rozważane dane
34 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 33 Numeryczne aproksymacje p-stwa ruiny w nieskończonym czasie Błąd względny 11 metod względem wartości dokładnych (mieszanina dwóch rozkładów wykładniczych) i aproksymacji Pollaczka Chinczyna (przypadek log-normalny), θ = 30%
35 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 35 (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) u (USD billion) (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) u (USD billion) Rysunek 1: Bardziej skuteczne metody (lewa strona): aproksymacja Craméra Lundberga (ciągła niebieska linia), wykładnicza (przerywana brązowa linia), Beekmana Bowersa (kropkowana czerwona linia), De Vyldera (przerywana czarna linia) i 4- momentowa gamma De Vyldera (przerywana zielona linia). Mniej skuteczne (prawa strona): Lundberga (przerywana czerwona linia), Renyi (kropkowana niebieska linia), heavy traffic (ciągła różowa linia), light traffic (przerywana zielona linia) and heavy-light traffic (przerywana brązowa linia). Mieszanina rozkładów wykładniczych
36 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 37 (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) u (USD billion) (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) u (USD billion) Rysunek 2: Bardziej skuteczne metody (lewa strona): aproksymacja wykładnicza (kropkowana niebieska linia), Beekmana Bowersa (przerywana brązowa linia), heavylight traffic (ciągła czerwona linia), De Vyldera (przerywana czarna linia) and 4- momentowa gamma De Vyldera (przerywana zielona linia). Mniej skuteczne (prawa strona): Lundberga (przerywana czerwona linia), heavy traffic (ciągła różowa linia), light traffic (przerywana zielona linia), Renyi (przerywana brązowa linia) i podwykładnicza (kropkowana niebieska linia). Rozkład log-normalny
37 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 38 Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym czasie. Wyniki dokładne Wypłaty z rozkładu wykładniczego (β = 1, c = 1) gdzie ψ(u, T ) = λ exp { (1 λ)u} 1 π f 1 (x) = λ exp f 2 (x) = cos π 0 f 1 (x)f 2 (x) dx, f 3 (x) { 2 ( )} λt cos x (1 + λ)t + u λ cos x 1, ( u ) ( λ sin x cos u ) λ sin x + 2x i f 3 (x) = 1+λ 2 λ cos x
38 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 39 skończonym czasie Symulacje Monte Carlo Aproksymacja Segerdahla Aproksymacja dyfuzyjna Poprawiona aproksymacja dyfuzyjna Aproksymacja De Vyldera skończony horyzont
39 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 40 skończonym czasie Aproksymacja Segerdahla ( ) T uml ψ S (u, T ) = C exp( Ru)Φ, ω L u gdzie C = θµ/ {M X (R) µ(1 + θ)}, m L = C {λm X (R) 1} 1 i ωl 2 = λm X (R)m3 L
40 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 41 skończonym czasie Aproksymacja dyfuzyjna ( T µ 2 ψ D (u, T ) = IG c σ 2 c ; 1; u µ ) c σc 2, gdzie µ c = λθµ, σ c = λµ (2), oraz IG(x; ζ; u) = 1 Φ (u/ x ζ x) + exp (2ζu) Φ ( u/ x ζ x)
41 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 42 skończonym czasie Poprawiona aproksymacja dyfuzyjna Niech c = 1, wtedy ψ CD (u, t) = IG ( T δ1 u 2 + δ 2 u ; Ru 2 ; 1 + δ ) 2, u gdzie δ 1 = λm X (γ 0), δ 2 = M X (γ 0)/ {3M X (γ 0)} i γ 0 spełnia równanie: κ (γ 0 ) = 0, gdzie κ(s) = λ {M X (s) 1} s
42 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 43 skończonym czasie Aproksymacja De Vyldera skończony horyzont Zamiana procesu zagregowanej wypłaty takim z wypłatami z rozkładu wykładniczego dopasowując pierwsze trzy momenty. Zastosowanie dokładnego wyniku dla rozkładu wykładniczego Twierdzenie 3 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] β = 3µ(2) µ, 9λµ λ (2) 3 2µµ = i θ (3) = θ (3) 2µ (3)2 3µ (2)2
43 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 44 Numeryczne aproksymacje p-stwa ruiny w skończonym czasie porównanie 4 aproksymacji dla mieszaniny dwóch rozkładów wykładniczych, θ = 30%
44 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 45 psi(u,t) u (USD billion) (psi(u,t)-psi_(mc)(u,t))/psi_(mc)(u,t) u (USD billion) Rysunek 3: Wynik metody Monte Carlo (lewa strona), błąd względny (prawa strona). Aproksymacja Segerdahla (niebieska przerywana linia), dyfuzyjna (kropkowana czerwona linia), poprawiona dyfuzyjna (ciągła czarna linia) oraz De Vyldera w skończonym horyzoncie (przerywana zielona linia). T jest ustalone a u się zmienia
45 Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 46 psi(u,t) T (years) (psi(u,t)-psi_(mc)(u,t))/psi_(mc)(u,t) T (years) Rysunek 4: Wynik metody Monte Carlo (lewa strona), błąd względny (prawa strona). Aproksymacja Segerdahla (niebieska przerywana linia), dyfuzyjna (kropkowana czerwona linia), poprawiona dyfuzyjna (ciągła czarna linia) oraz De Vyldera w skończonym horyzoncie (przerywana zielona linia). u jest ustalone a T się zmienia
APROKSYMACJE DE VYLDERA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY DLA MODELU Z CZASEM CIĄGŁYM W NIESKOŃCZONYM HORYZONCIE CZASOWYM
STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 05, vol. 3, no. DOI: 0.8559/SOEP.05..0 Karolina Tura Politechnika Gdańska, Wydział Zarządzania i Ekonomii, Katedra Nauk Ekonomicznych, Zakład Statystyki ktura@zie.pg.gda.pl
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 1 / 16 ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD Podstawowe własności: rozkłady skupione na dodatniej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14
ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowopoprzez reasekurację proporcjonalną w modelu Jan Matuszewski Uniwersytet Warszawski
Minimalizacja prawdopodobieństwa ruiny poprzez reasekurację proporcjonalną w modelu Sparre Andersena Jan Matuszewski Uniwersytet Warszawski Prezentacja powstała w oparciu o wyniki uzyskane w pracy magisterskiej
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoZdarzenia ekstremalne w teorii ubezpieczeń majątkowych
a Zdarzenia ekstremalne w teorii ubezpieczeń majątkowych Anna Miazek Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej 2 czerwca 216 Streszczenie Niniejsza praca związana jest z teorią
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoProblem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego
Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólna praca z I. Czarna Zagadnienia aktuarialne: teoria i praktyka, Wrocław Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej
Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoDyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji i losowej stopy procentowej 1
Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych Zeszyt 3/23 Helena Jasiulewicz Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji i losowej stopy procentowej Streszczenie W artykule rozważane jest prawdopodoieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowo1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Bardziej szczegółowoNumeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku. informacje dodatkowe
Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku informacje dodatkowe Numeryczne metody optymalizacji x F x = min x D x F(x) Problemy analityczne: 1. Nieliniowa złożona funkcja celu F i ograniczeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych
Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych Iwona Malinowska Politechnika Lubelska Dominik Szynal UMCS, Lublin XXXIII Konferencja "STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa
Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa Wojciech Niemiro 1 Uniwersytet Warszawski i UMK Toruń XXX lat IMSM, Warszawa, kwiecień 2017 1 Wspólne prace z Błażejem Miasojedowem,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoJak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych)
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych) Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki leszekp@mimuw.edu.pl Horyzonty 2014 17-03-2014 Będlewo Zadania numeryczne
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoDyskretne procesy stacjonarne o nieskończonej entropii nadwyżkowej
Dyskretne procesy stacjonarne o nieskończonej entropii nadwyżkowej Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl i Instytut Podstaw Informatyki PAN Co to jest entropia nadwyżkowa? Niech (X i ) i Z będzie procesem
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10 14 grudnia 2009 PARAMETRY POŁOŻENIA Przypomnienie: Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka
Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są
Bardziej szczegółowoW3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowo