Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
|
|
- Sylwester Piasecki
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25
2 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość ryzyka (dla jednej polisy) gdzie I = X = IY { 1 z prwdopodobieństwem q 0 z prwdopodobieństwem 1 q Y F - wartość szkody, zmienna o rozkładzie ciągłym, F (0) = 0, EY = µ, VarY = σ 2 Rozkład zmiennej X (rozkład mieszany): { 0 gdy x 0 F X (x) = (1 q) + qf (x) gdy x > 0 EX = qey = qµ VarX = qvary + (EY ) 2 (q q 2 ) = qσ 2 + µ 2 q(1 q) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 2 / 25
3 Portfel ryzyka Założenia: polisy niezależne n - liczba polis ustalona liczba zgłoszeń z polisy - co najwyżej jedno S = X 1 + X X n - łączna wartość szkód z portfela Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 3 / 25
4 Parametry rozkładu S ES = nqµ ( ) VarS = n qσ 2 + µ 2 q(1 q) γ S = γ X n γ X = qe(y 3 ) 3q 2 µ(µ 2 + σ 2 ) + 2q 3 µ 3 ( qσ 2 + µ 2 q(1 q)) 3 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 4 / 25
5 Podstawowe estymatory parametrów ˆq = częstość = ˆµ = liczba szkód w okresie liczba jednostek ryzyka = N n suma wartości szkód w okresie liczba szkód w okresie ˆΠ = nˆqˆµ = 1 N Y j N j=1 ˆσ 2 = 1 N N (Y j ˆµ) 2 j=1 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 5 / 25
6 Przykład 1 Portfel składa się z n niezależnych polis. Pojedyncza polisa może generować co najwyżej jedną szkodę z prawdopodobieństwem q, a prawdopodobieństwem 1 q nie generuje szkody. Rozkład wysokości szkody jest zmienną losową o wartości oczekiwanej µ i wariancji σ 2. Składka przypadająca na jedno ryzyko (polisę) jest skalkulowana tak H = 1 + θ n ES gdzie S oznacza sumaryczną wysokość szkód i θ oznacza narzut bezpieczeństwa dobrany tak by P(S > nh) = 0, 01. W portfelu mamy n = 1000 q = 0, 05 µ = 10 σ = 10. Wyznacz θ. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 6 / 25
7 Przykład 2 Rozważamy portfel ubezpieczeń na życie. Dane podaje tabela. Wyznacz θ taką, aby k n k - liczba q k - p-stwo b k polis w k-tej grupie zgonu - the benefit P(S > (1 + θ)es) = 0, 05. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 7 / 25
8 MODEL RYZYKA ŁĄCZNEGO ZAŁOŻENIA: N(i) - liczba szkód na jedno ryzyko (jeden ubezpieczony), zmienna losowa o wartościach naturalnych Y - wielkość szkody, o dystrybuancie F Y Wartość szkody jest niezależna od liczby szkód Y i - wielkości szkód, niezależne zmienne losowe o dystrybuancie F = F Y X i = Y i,1 + Y i,2 + + Y i,n(i) - wartość szkód na jedno ryzyko S - suma roszczeń z portfela S = X 1 + X X n = Y 1 + Y Y N gdzie N - łączna liczba szkód w portfelu, n - liczba polis S ma złożony rozkład prawdopodobieństwa (jest suma zmiennych o losowej liczbie składników) określa się go przez podanie rozkładu zmiennej Y i zmiennej N Zmienne X i mają złożony rozkład prawdopodobieństwa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 8 / 25
9 Pewne własności rozkładów złożonych Dystrybuanta F S (x) = P(S x) = P(S x N = 0) + P(S x N = 1) + = + k=0 P(S x N = k)p(n = k) Rozkład warunkowy S pod warunkiem N = k jest rozkładem sumy k zmiennych losowych niezależnych ( ( ) MGF M S (t) = Ee ts = EE(e ts N) = E Ee ty N ) Momenty M S (t) = E ES = µen gdzie µ = EY, σ 2 = VarY ( (M Y (t)) N) = M N (ln M Y (t)) VarS = σ 2 EN + µ 2 VarN E(S ES) 3 = E(Y EY ) 3 EN + 3EYVarYVarN + (EY ) 3 E(N EN) 3 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 9 / 25
10 ZŁOŻONY ROZKŁAD POISSONA CPoiss(λ, F ) N Poiss(λ) i Y i F i S = Y Y N Dystrybuanta: F S (x) = + k=0 e λ λk k! F k (x) MGF M S (t) = M N (ln M Y (t)) = exp (λ(m Y (t) 1)) Funkcja tworząca kumulanty i jej pochodne C S (t) = λ(m Y (t) 1) C S(t) = λm Y (t) C S (t) = λm Y (t) C (3) (t) = λm(3) (t) S stąd Momenty ES = λey VarS = λe(y 2 ) E(S ES) 3 = λe(y 3 ) WNIOSEK. S ma rozkład asymetryczny o skośności prawostronnej oraz γ S = λe(y 3 ) (λe(y 2 )) 3 2 = lim γ S = 0 λ E(Y 3 ) λ(e(y 2 )) 3 2 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 10 / 25 Y
11 TWIERDZENIE. Niech S 1, S 2,..., S n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach CPoiss(λ i, F i ), i = 1, 2,..., n. Niech A = S 1 + S S n. Wtedy ( A CPoiss Λ, 1 Λ ) n λ i F i i=1 n gdzie Λ = λ i i=1 PRZYKŁAD. S 1 CPoiss(100, F 1 ), S 2 CPoiss(200, F 2 ), S 1, S 2 niezależne F 1 - dystrybuanta rozkładu wykładniczego Ex(α), F 2 - dystrybuanta rozkładu wykładniczego Ex(β). Wyznacz rozkład zmiennej S 1 + S 2. ODP. S 1 + S 2 CPoiss(Λ, F ) gdzie Λ = 300 i F (x) = exp( xα) 2 3 exp( xβ) Interpretacja: łączna liczba roszczeń ma rozkład Poissona z parametrem 300, z prawdopodobieństwem 1 3 wielkość szkody pochodzi z rozkładu Ex(α) i z prawdopodobieństwem 2 3 z rozkładu Ex(β). Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 11 / 25
12 PRZYKŁAD. Portfel ryzyk składa się z dwóch niezależnych podportfeli. Liczba szkód N i w i-tym podportfelu jest zmienną losową o rozkładzie Poiss(λ i ), zaś wysokość szkody jest ustalona równa b i. Niech λ 1 = 120 λ 2 = 30 b 1 = 1 b 2 = 3 Jaki rozkład ma łączna wartość szkód z portfela. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję łącznej wartości szkód jeśli wiadomo, że N 1 + N 2 = 200. PRZYKŁAD. Dla pewnego portfela ryzyka liczba szkód ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 5, wysokość pojedynczej szkody jest zmienną o rozkładzie Gamma(2, 10). Aproksymujemy łączną wartość szkód przesuniętym rozkładem gamma Gamma(α, β, x 0 ), zachowując przy tym wartości pierwszych trzech momentów. Wyznacz parametry α, β, x 0. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 12 / 25
13 WNIOSKI Niech x 1, x 2,..., x k będą wartościami wypłat w k portfelach. Liczebności tych wypłat N 1,..., N k są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1,..., λ k odpowiednio. Wtedy S = x 1 N x k N k ma rozkład złożony Poissona CPoiss(λ, F ) gdzie λ = k i=1 λ i i F (x) = k i=1 λ i λ 1 [x i,+ )(x) Jeżeli zmienna S = X X N ma złożony rozkład Poissona CPoiss(λ, F ), z dyskretnym rozkładem indywidualnych roszczeń o dystrybuancie F i funkcji prawdopodobienstwa p i = P(X = x i ), i = 1,..., k, to zmienne losowe N 1, N 2,..., N k takie, że N i = {l : X l = x i }, są niezależne, S = x 1 N x k N k oraz N i mają rozkłady Poissona z parametrami λ i = p i λ. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 13 / 25
14 TWIERDZENIE Niech S n = n i=1 I ni Y ni, gdzie I ni = { 1 z prawdopodobieństwem qni 0 z prawdopodobieństwem 1 q ni Y ni są zmiennymi losowymi ciągłymi o dystrybuancie F ni i wszystkie zmienne I ni, Y ni są niezależne. Jeżeli n n q ni lim q ni = λ lim n n λ F n i (x) = F (x) to i=1 i=1 lim S n = S n (wg rozkładu), gdzie S ma złożony rozkład Poissona CPoiss(λ, F ). Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 14 / 25
15 ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWY N bin (r, p) funkcja prawdopodobieństwa P(N = k) = Γ(r + k) Γ(r)k! pr (1 p) k k = 0, 1, 2,... r > 0, p (0, 1) - parametry Szczególny przypadek: r naturalne - interpretacja: N liczba porażek do uzyskania r-tego sukcesu ( ) p r ( ) MGF M N (t) = 1 e t (1 p) = 1 q r 1 e t q, gdzie q = 1 p p CGF C N (t) = r ln 1 e t (1 p) = r ln p r ln(1 et (1 p)) momenty EN = r(1 p) p = rq 1 q VarN = γ N = 1 + q rq r(1 p) p 2 = rq (1 q) 2 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 15 / 25
16 Interpretacja Rozkład ujemny dwumianowy otrzymujemy jeśli przyjmiemy, że liczba szkód jest wynikiem dwuetapowego doświadczenia: pierwszy etap polega na wylosowaniu ryzyka, drugi etap na wygenerowaniu przez to ryzyko liczby szkód Dokładniej, ryzyko charakteryzuje się przez wartość parametru λ Gamma(α, β) i przy znanym λ liczba szkód z ryzyka N ma rozkład Poiss(λ). stąd f (λ) = P(N = k) = P(N = k λ) = λk k! e λ β βα Γ(α) λα 1 e βλ x > 0 Γ(α + k) Γ(α)k! ( β ) α ( 1 ) k 1 + β 1 + β podstawiając r = α i p = 1+β otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie ujemnym dwumianowym. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 16 / 25
17 Rozkład ujemny dwumianowy jako rozkład złożony Założenia K - liczba wypadków z jednego ryzyka K Poiss(λ) N = J 1 + J J K - liczba szkód z jednego ryzyka (jeden wypadek może generować więcej niż jedną szkodę) J i ma rozkład logarytmiczny P(J i = k) = 1 c k ln(1 c) k gdzie c (0, 1) parametr. Wtedy N ma złożony rozkład Poissona i MGF gdzie c = q i r = M J (t) = ln(1 cet ) ln(1 c) M N (t) = M K (ln M J (t)) = exp (λ(m J (t) 1)) ( ( 1 ce t ) ) ( λ p = exp ln = 1 c ln(1 c) 1 e t (1 p) λ ln(1 c) Zatem N bin (r, 1 q) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 17 / 25 ) r
18 Estymacja parametrów rozkładu bin (r, p) N 1, N 2,..., N n i.i.d. bin (r, p) EMM rozwiązujemy układ równań r(1 p) p = N stąd r(1 p) p 2 = S 2 = 1 n n (N i N) 2 i=1 EMM(p) = N S 2 EMM(r) = N 2 S 2 N Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 18 / 25
19 PRZYKŁAD Tabela podaje liczbę kierowców w pewnej grupie ryzyka, którzy zgłosili 0,1,2,3,itd szkód w ciągu roku. Dopasuj rozkład Poissona k - liczba szkód n k - liczba ryzyk > 5 0 Dopasuj rozkład ujemny dwumianowy (kierowcy nie stanowią grupy jednorodnej, parametr λ odpowiadający za średnia liczbę wypadków waha się w populacji) wyznacz parametry α i β rozkładu gamma opisującego wahanie parametru λ w populacji i oszacuj odsetek kierowców o średniej liczbie zgłoszeń przekraczającej 0,24. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 19 / 25
20 Dobór rozkładu: Poisson lub ujemny dwumianowy l. szkód l.ryzyk Poisson uj.dwum Suma Parametry: R. Poissona lambda= 0,1232S^2= 0, Ujemny dwumianowy r= 3,5069 p= 0,9661 test CHI^2 Poisson Ujemny dwumianowy statystyka test. 71,88 2,794 p-value 1,688E-15 0,247 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 20 / 25
21 ENW Niech: m 0 = n m 1 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 1; m 2 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 2;... m M - liczba obserwacji o wartości co najmniej M; M - maksymalna zaobserwowana wartość, m M+1 = 0 Funkcja wiarogodności L(m 1, m 2,..., m M, n, r, p) = ( ) p rn (rq) m 1 m 2 r(r + 1) m2 q 2 m ( ) = p rn (rq) m 1 r + 1 m2 ( r q ( Γ(r + M) M!Γ(r) qm ) m3 ( r + M 1 3 q... M M M ( r + i 1 ln L = nr ln(1 q) + m i ln q + m i ln i i=1 i=1 ) mm ) mm q Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 21 / 25 ).
22 Różniczkując po r i q otrzymujemy równania n ln(1 q) + m 1 r + m 2 r m M r + M 1 = 0 Z drugiego równania mamy nr 1 q + n N q = 0. p = 1 q = r r + N, wstawiając do równania pierwszego otrzymujemy równanie n ln r r + N + m 1 + m 2 r r m M r + M 1 = 0, które rozwiązujemy numerycznie. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 22 / 25
23 ZŁOŻONY ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWY Cbin (r, p, F ) S = Y 1 + Y Y N i N bin (r, p), Y i F Dystrybuanta P(S s) = P(S s N = i)p(n = i) = MGF i=0 i=0 ( M S (t) = Ee N ln M Y (t) p = 1 qm Y (t) Parametry: jeśli EY i = µ, VarY i = σ 2 to ES = µen = µr 1 p p VarS = r 1 p p σ2 + r 1 p p 2 µ 2 Γ(r + i) Γ(r)i! pr q i F i (s) E(S ES) 3 = npe(y 3 ) 3np 2 EYE(Y 2 ) + 2np 3 (EY ) 3 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 23 / 25 ) r
24 TWIERDZENIE. Jeżeli S i, i = 1, 2,..., k mają rozkłady Cbin (r i, p, F ) i są niezależne, to S = k i=1 S i ma rozkład Cbin ( k i=1 r i, p, F ). Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 24 / 25
25 Rozkłady liczby szkód z klasy (a, b, 0) Rozkład zmiennej N jest rozkładem z klasy (a, b, 0) p k = P(N = k) = (a + b k )p k 1 dla k = 1, 2,.... Jeżeli powyższa zależność zachodzi dla k = m, m + 1,... to rozkład jest rozkładem z klasy (a, b, m). Jedynymi rozkładami z klasy (a, b, 0) są rozkład dwumianowy bin(n, p) wtedy a = p 1 p, b = p(n+1) rozkład Poissona Poiss(λ) wtedy a = 0, b = λ, rozkład ujemny dwumianowy bin (r, p) wtedy a = 1 p, b = (r 1)(1 p). 1 p, Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 25 / 25
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowof(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = exp( 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 1 i 2. 1. Właściciel domu określa wartość swojego majątku na 100j. Obawia się losowej straty spowodowanej pożarem. Doświadczenie agenta
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 1 / 16 ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD Podstawowe własności: rozkłady skupione na dodatniej
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka LITERATURA Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics, Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X
Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka LITERATURA Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics, Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoMUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)
MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss) 1. (6p.) Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o własności P (X 0) = 1), a H( ) niech oznacza formułȩ kalkulacji składki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku
Bardziej szczegółowo01. dla x 0; 1 2 wynosi:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Ryzyko w ubezpieczeniach Risk in insurances Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoWybrane metody szacowania rezerw techniczno-ubezpieczeniowych
Wybrane metody szacowania rezerw techniczno-ubezpieczeniowych Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) Rezerwy 1 / 24 Plan 1 Co to są rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe? 2 Rezerwa składek
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoPrzegląd ważniejszych rozkładów
Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoUogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowo1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoSzacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE Joanna Sawicka Plan prezentacji Model Poissona-Gamma ze składnikiem regresyjnym Konstrukcja optymalnego systemu Bonus- Malus Estymacja
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14
ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone
Estymatory nieobciążone Zadanie 1. Pobieramy próbkę X 1,..., X n niezależnych obserwacji z rozkładu Poissona o nieznanym parametrze λ. Szacujemy p 0 = e λ za pomocą estymatora ˆp 0 = e X, gdzie X jest
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład Poissona. Momenty rozkładu wartości poedyncze szkody wynoszą:, [ ]. Wiemy także, że momenty nadwyżki wartości poedyncze szkody ponad udział własny
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoModele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1 Konrad Miziński, nr albumu 233703 1 maja 2015 Zadanie 1 Parametr λ wyestymowano jako średnia z próby: λ = X n = 3.73 Otrzymany w
Bardziej szczegółowoValue at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16
Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE 2018 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) 2018 1 / 16 Warunkowa heteroskedastyczność O warunkowej autoregresyjnej heteroskedastyczności mówimy, gdy σ
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 maja 200 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 00 minut Komisja Nadzoru
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O pewnym modelu pojawiania się szkód Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009 Modele pojawiania
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowo