O procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna

Transkrypt

1 Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1

2 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej losowej X t na podprzestrzeń tych funkcji z F s, które sa całkowalne z kwadratem. Innymi słowy, E(X t F s ) minimalizuje funkcjonał Y E(X t Y ) 2, Ruch gdzie Y przebiega F s. Najsławniejszym martyngałem jest proces Wienera, niesłusznie przez matematyków nazywany ruchem. 2

3 - cd. Norbert Wiener ( ) Ruch 3

4 - cd. (N. Wiener, 1923) Procesem Wienera nazywamy proces stochastyczny W t, t 0 o następujacych własnościach: 1 W Prawie wszystkie trajektorie IR + t W t (ω) sa ciagłe. 3 Przyrosty procesu {W t } sa niezależne i stacjonarne. 4 W t N (0, σ 2 t), t > 0, dla pewnego σ 2 > 0. Ruch 4

5 Martyngałowe własności procesu Wienera jest martyngałem bowiem E(W t F s ) = E(W t W s F s ) + E(W s F s ) = 0 + W s. Twierdzenie Paula Lévy ego Ciagły martyngał {X t } taki, że X 0 0 i dla pewnej stałej c > 0, proces Xt 2 ct, t 0, też jest martyngałem, jest procesem Wienera (z σ 2 = c). Ruch 5

6 - cd. Ruch Paul Lévy ( ) 6

7 - cd. Ruch Symulacja procesu Wienera w jednym wymiarze 7

8 - cd. Ruch Symulacja procesu Wienera w przestrzeni trójwymiarowej 8

9 - cd Ruch Symulacja procesu Wienera na płaszczyźnie, z różnymi krokami czasowymi 9

10 - cd Ruch Symulacja procesu Wienera na płaszczyźnie, na papierze w kratkę? Rysunek ruchów, wykonany przez Perrina! 10

11 Twórcy fizycznej teorii ruchów Albert Einstein Ruch Marian Smoluchowski Paul Lengevin 11

12 Czemu proces Wienera nie jest matematyczna idealizacja ruchów? Rozważmy następujacy prosty model: W rozrzedzonym gazie o jednoatomowych molekułach masy m unosi się czasteczka dymu o masie M. Obserwujemy ruch czasteczki dymu zrzutowany na zadana oś. Przypuśćmy, że nastapiło zderzenie sprężyste, przy czym przed zderzeniem czasteczka dymu miała prędkość V, a uczestniczaca w zderzeniu molekuła gazu prędkość U. Po zderzeniu mamy: Ruch V = C(U V ), gdzie C = C(M, m) = 2m/(M + m). Co więcej, przypuśćmy, że takie zderzenia maja miejsce w losowych momentach τ 1 < τ 2 <..., z czasteczkami posiadajacymi losowe prędkości U 1, U 2,

13 Wyprowadzenie równania Langevina Mamy więc V (τ k ) = C(U k V (τ k )), gdzie U 1, U 2,... sa niezależne, o rozkładzie normalnym N (0, k B T /m) (tutaj k B jest stała Boltzmanna, a T temperatura absolutna). Wariancja U k musi wynosić k B T /m, na mocy zasady ekwipartycji energii" 1 2 me(u k) 2 = 1 2 k BT. W końcu przypuśćmy, że momenty losowe τ 1, τ 2,... sa takie, że liczba zderzeń do chwili t tworzy proces Poissona z intensywnościa λ dt. N(t) = N λ (t) = 1I [τk,+ )(t) Po(λt), t IR +. k=1 To założenie gwarantuje nam niezależność liczby zderzeń w rozłacznych odcinkach czasu. Ruch 13

14 Wyprowadzenie równania Langevina - cd. Sumujac zmiany prędkości po czasie do chwili t otrzymujemy V (t) V (0) = CU(t) C V (s ) dn(s), ]0,t] gdzie U(t) = U m,λ (t) = τ k t U k. To równanie jest łatwo rozwiazać: V (t) = C ( Y (t) ) 1( ]0,t] Y (s) du(s) + V (0) ), Ruch gdzie Y (t) = Y m,λ (t) = exp( (ln(1 C(M, m)))n λ (t)). 14

15 Wyprowadzenie równania Langevina - cd. Przypuśćmy teraz, że λ + i m 0 w taki sposób, że 2λm b, 0 < b < +. Wtedy oraz (funkcjonalnie) Y m,λ (t) P e b M t, t IR +, Ruch C(M, m) U m,λ (t) D 2bkB T M W t, gdzie {W t, t IR + } jest standardowym procesem Wienera (tzn. σ 2 = 1). 15

16 Wyprowadzenie równania Langevina - cd. Przypomnijmy postać rozwiazania dyskretnych równań : V m,λ (t) = C ( Y m,λ (t) ) 1( ]0,t] Y m,λ (s) du m,λ (s)+v m,λ (0) ). Nie jest więc zaskoczeniem, że te rozwiazania zmierzaja do procesu Ornsteina-Uhlenbecka V (t) = e b t( 2bk B T ) M e b M s dw s + V (0), M ]0,t] który rozwiazuje równanie Langevina M(V (t) V (0)) + b V (s) ds = 2bk B T W t. ]0,t] Ruch Fizycy zapisaliby to proste równanie w formie dv dt (t) + b M V (t) = 2bkB T dw t. M dt 16

17 Uwagi nt. wyprowadzenia równania Langevina Przejście graniczne do całki stochastycznej Ito nie jest oczywiste, jak pokazuja problemy z tzw. poprawka Wonga-Zakai. Nie jest to również rezultat ad hoc", lecz fragment teorii o dużo szerszym zasięgu. W szczególności rozumowanie obejmuje modele o dużo słabszych założeniach. Współczynnik b jest wielkościa makroskopowa, która może być interpretowana jako opór środowiska spowodowany lepkościa gazu. Nic takiego nie występuje na poziomie mikroskopowym! Matematycznym modelem ruchu jest proces Ruch t X(t) = X(0) + V (s) ds, 0 który ma gładkie (!) trajektorie. 17

18 nie jest matematyczna idealizacja ruchów! Ale mamy: X(t) X(0) = 2k B T b W t M ( ) V (t) V (0). b jest przybliżeniem ruchu w długim okresie czasu. Ruch Nie trzeba więc zmieniać tradycyjnej nazwy! 18

19 Ułamkowy ruch (ang. fractional Brownian motion) {Bt H } t R + z indeksem Hursta H (0, 1), to ciagły i scentrowany proces gaussowski o funkcji kowariancji danej wzorem E(B H t B H s ) = 1 2 (t2h + s 2H t s 2H ). Dla H (1/2, 1) proces {B H t } ma dodatnio skorelowane przyrosty: E(B H t B H s )(B H v B H u ) > 0, 0 s < t u < v. Ruch Dla H (0, 1/2) proces {B H t } ma ujemnie skorelowane przyrosty: E(B H t B H s )(B H v B H u ) < 0, 0 s < t u < v. Dla H = 1/2 proces {B H t } jest standardowym procesem Wienera. 19