Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14

Transkrypt

1 ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE NA KOŃCU! Poprawianie (kreślenie, zmazywanie ) daje punktów za odpowiedź Za każdy prawidłowo oznaczony podpunkt otrzymuje siȩ punkt plus 4 punkty za wszystkie podpunkty poprawne Piszemy bez użycia notatek i innych pomocniczych materiałów Max punktów: 8-29=2-4= 4-5=5 5-6=4 6-7=45 7-8=5 CZAS ROZWIA ZYWANIA: 5 min Niech X i Y będą niezależnymi ryzykami oraz S = X + Y, o dystrybuantach, odpowiednio F X, F Y i F S (a) Niech X ma gȩsść f X (x) = 2 I (,2)(x) oraz niezależnie, Y ma gȩsść f Y (x) = I (,)(x) Wtedy dla s 5 (5 s)2 2 dla s < 5 F S (s) = s 2 dla 2 s < s 2 2 dla s < 2 dla s < (b) X i Y są niezależne o rozkładzie Cauchy ego C(, ) o gęsści f f(x) = f(x) = π + x 2, x R, f(x u)f(u)du = 2 π 4 + x 2 X i Y są niezależne o rozkładzie stabilnym Levy ego z α = /2 o gęsści f f(x) = f(x) = 2πx e 2x, x >, f(x u)f(u)du = πx e x (d) Zmienna losowa X ma rozkład stabilny (w węższym sensie), gdy dla pary zmiennych losowych X, X 2 niezależnych od siebie i od X, ale tym samym rozkładzie co X zachodzi własność zachowania typu rozkładu dla sum, dla danych stałych skalujących a, b > istnieje zależna od nich stała skalująca c >, taka, że ax + bx 2 = d cx Czy ta własność jednoznacznie wyznacza postać c = (a /α + b /α ) /α dla α (, 2]?

2 2 Niech X i Y będą niezależnymi ryzykami o warściach naturalnych oraz S = X + Y, o funkcjach tworzących, odpowiednio P X, P Y i P S Wtedy, (a) Ciąg ogona dyskretnego rozkładu zmiennej X określamy przez q n := p n+ +p n+2 + Funkcja tworząca ciągu (q n ) n, dana przez Q X (t) = q nt n spełnia Q X (t) = P X(t) t (b) Q X() = E(X(X )) V arx = P X() + P X() (P X()) 2 (d) Liczba porażek przy oczekiwaniu na n-ty sukces jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o rozkładach geometrycznych S n = X + + X n Zmienna ta ma funkcję tworzącą prawdopodobieństwa ( ) n pt P Sn (t) = qt Niech (X i ) i będzie iid i niech N będzie niezależną zmienną losową (a) Jeśli S N = N i= X i, V ar[s N ] = (E[N]) 2 V ar[x] + (E[X]) 2 V ar[n] (b) Jeśli X i N, dla funkcji tworzących P SN (t) = P N (P X (t)) E [ (S N E [S N ]) ] = E [ (N E [N]) ] (E [X]) (d) jeśli X i mają rozkład o gęsści f X, + Var [N] E [X] Var [X] + E [N] E [ (X E [X]) ] f S (x) = f n X (x)p (N = n) 4 Jeśli (a) (b) P (N = n) = P (N = n Θ = θ)df Θ (θ) = e θ θ n df Θ (θ), n! P N (t) = E [ E [ t N Θ ]] [ = E e Θ(t )] = M Θ (t ) Var [N] = E [N] + E [Θ] + Var [Θ] E[N] = E[E[N Θ]] (d) Załóżmy, że Θ ma rozkład o funkcji tworzącej momenty ( ) α β M Θ (t) = dla t < β, β t (tzn rozkład Γ(α, β)), M N (t) = ( qe ) β, dla p = q, p = α/(α + ) t p 5 P (N = n) = λn n! e λ, λ >, n =,, S N = N i= X i, dla ciągu iid (X i ) i o dystrybuancie F X, niezależnego od N, 2

3 (a) E [ (S N E [S N ]) ] = λe [ X ] (b) Jeśli X i maj a rozkład logarytmiczny M S (t) = ( p P (X = k) = pe t ) r, gdzie r = p k, p (, ), k k ln( p) λ ln( p) Niech x,, x K bȩd a warściami wypłat w K portfelach, których wielkości s a losowe, niezależne N,, N K o rozkładach Poissona z parametrami λ,, λ K odpowiednio Wtedy N S = x N + + x K N K = x + + i= N K x K ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ) dla λ = max(λ λ K ), i F (x) = K λ i i= λ I ([x i, )(x) (d) Jeżeli zmienna S = X + + X N ma złożony rozkład Poissona CP oi(λ, F ), z dyskretnym rozkładem indywidualnych roszczeń o dystrybuancie F i funkcji prawdopodobieństwa π i = P (X = x i ), i =,, K, zmienne N, N 2,, N K, zdefiniowane przez N i = card{k : X k = x i } i =,, K mają rozkłady dwumianowe 6 (a) Jeśli N ma rozkład (p k ) spełniający p k = ( a + b ) p k, k, k oraz S = X + +X N, dla g k := P (X i = k), k N oznacza rozkład pojedynczego roszczenia, { i= P (S = k) = gi p i dla k = k a i ag i= (b + k )g ip (S = k i) dla k (b) Jeśli S = X + + X N ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ), S λe [X] λ d E [X 2 λ N(, ) ] (N(, ) oznacza standardowy rozkład normalny) Niech F S (x) = Pr(S x) = i= ( ) r + n p r q n FX n (x) n Jeśli X ma rozkład standardowy wykładniczy F X (x) = e x, x >, i r =, M S (t) = p + q p p t (d) Jeśli S = X + + X N ma rozkład złożony ujemny dwumianowy Bin (r, p), S rqe [X] /p (rqvar [X])/p + rq(e [X])2 /p 2 d r N(, ) 7 (a) H definiujemy przez E [u(w S)] = u(w H) Niech u(w) = w αw 2, w < /2α, α > Załóżmy, że w =, P (S = ) = 5 = P (S = ), α =, H = 628 (b) Niech I d (s) = (s d) + Wielkość szkody S jest zmienn a losow a o rozkładzie U[, ] Wtedy Var [I 5 (S)] = Niech S bȩdzie ustalonym ryzykiem oraz C = E [h(s)] ustalon a warścią net udziału własnego, min {h:e[h(s)]=c} Var [h(s)] = Var [ min(d, S 2 ) ], przy czym d wyznaczone jest przez E [min(d, S)] = C

4 (d) Niech X = h(x) + k(x) będzie podziałem ryzyka X, takim, że h(x) x, k(x) x Wtedy dla ustalonego kapitału pocz atkowego w X, wklȩsłej funkcji użyteczności u oraz P E [X], gdzie d spełnia max E [u(w + h(x) X P )] = E [u(w + I d (X) X P )], k(x):e[k(x)]=p d (x d )df X (x) = P 8 (a) Definiujemy X < icv Y E [min(x, d)] E [min(y, d)], d R Klasyczna reguła decyzyjna Markowitza jest określona przez porównywanie warści U(X) := E [X] αvar [X], α > Wtedy dla X, Y o rozkładzie normalnym U(X) U(Y ) X < icv Y (b) Dla ryzyka X i funkcji użyteczności u E [u(x)] = 2 u(v ar[x, p])dp, Przyjmujemy V ar(s, p) := F S (p) = inf{t : F S(t) p}, p (, ) Wtedy dla każdego S i ϵ > oraz dla każdej funkcji ϱ E [(S V ar[s, ϵ]) + + V ar[s, ϵ]ϵ] E [(S ϱ(s)) + + ϱ(s)ϵ] (d) Niech dla ryzyk X, Y, F (X,Y ) (x, y) = C (X,Y ) (F X (x), F Y (y)) Wtedy jesli kowariancja X, Y jest dodatnia, C (X,Y ) (u, v) uv dla u, v (, ) 9 Niech oraz R n = u + (c W ) + + (c W n ), ψ(u) = P ( i {R i < }) Wtedy (a) ψ(u) = P (M > u), dla M = max(, c W, (c W ) + (c W 2 ), ), (b) Zalóżmy, że c = i W i N mają funkcję tworzącą P W Jeśli E [W i ] < dla P (t) := ( E[W ])( t) P W (t) t, zachodzi ψ() = P () P () Definiujemy współczynnik dopasowania R(W, c) jako dodatnie rozwi azanie równania M W c (r) = Załóżmy, że W przyjmuje dwie warści: ( P )(W = a) = p = P (W = b) Jeżeli a = 2, b =, p < 2, c =, R(W, c) = 2 log p p Niech (d) Załóżmy, że c = ( + θ)e [W ] = ( + θ)e [N] E [X] Jeżeli W CP oi(λ, F X ), R(CP oi(λ, F X ), c) N(t) R(t) = u + ct X i, i= 2θE [X] E [X 2 ] gdzie (X i ) i s a niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, a (N(t) = min(n : T n t), t ) jest procesem opisuj acym ilość szkód zgłoszonych do chwili t, gdzie zgłoszenia nastepują w chwilach = T < T < T 2 < Prawdopodobieństwo ruiny definiujemy jako ψ (u) = P (T < ), T := inf(t > : R(t) < ) Wtedy (a) ψ (u) = P (M > u), dla gdzie U n = T n T n M = sup(, X cu, (X cu ) + (X 2 cu 2 ), ), 4

5 (b) Jeśli N(t) jest procesem Poissona, p = q = λe[x] c <, gdzie F X (u) = u E[X] F X(x)dx ψ (u) = pq n F n X (t), Gdy (N(t), t ) jest Poissona, a wielkości szkód X i mają rozkład wykładniczy Exp(/E [X]), ψ(u) = p exp( pu/e [X]) (d) Dodatnie rozwiązanie równania M X (r) = c λr +, nazywamy wspólczynnikiem dopasowania w modelu ciągłym i oznaczamy R := R(X, λ, c) Jeśli istnieje skończony współczynnik dopasowania dla rozkładu szkód w modelu ciągłym R = R(X, λ, c), λex/c = q < oraz M X ( R) <, ψ (u) exp( Ru) p M X ( R)λ dla dużych warści u (u ) a) b) c) d)