Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć

Transkrypt

1 Jak rzucać losowe spojrzenia na ruch Browna by w nim wszystko dojrzeć Jan Ob lój Uniwersytet Warszawski Université Paris 6 Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.1/22

2 Plan referatu 1. Wstępne definicje 2. Czasy dojścia i problem zanurzeń Skorochoda 3. Zmiany czasu i zanurzanie procesów Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.2/22

3 Plan referatu 1. Notacja i definicje 2. Czasy dojścia i problem zanurzeń Skorochoda Dojścia do 2 punktów: rozwiązania Skorochoda oraz Chacona-Walsha Dojścia do bariery: rozwiązanie Root a Sprytniejsze dojścia: rozwiązanie Azémy-Yora 3. Zmiany czasu i zanurzanie procesów Iterowanie Skorochoda Tw Dambis-Dubins-Schwarz Subordynacja Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.2/22

4 Definicje i notacja Ruch Browna, B = (B t : t 0), scentrowany proces o ciagłych trajektoriach, o przyrostach niezależnych i stacjonarnych: (B t+s B t ) to nowy ruch Browna niezależny od (B u : u t). Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.3/22

5 Definicje i notacja Ruch Browna, B = (B t : t 0), scentrowany proces o ciagłych trajektoriach, o przyrostach niezależnych i stacjonarnych: (B t+s B t ) to nowy ruch Browna niezależny od (B u : u t). Ciągły martyngał (lokalny), M = (M t : t 0) (czyli w zasadzie E[M t+s F t ] = M t ). Charakteryzowany przez wariację: M, niemalejący, ciągły proces t.że M 2 t M t jest martyngałem. M = B M t = t. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.3/22

6 Definicje i notacja Ruch Browna, B = (B t : t 0), scentrowany proces o ciagłych trajektoriach, o przyrostach niezależnych i stacjonarnych: (B t+s B t ) to nowy ruch Browna niezależny od (B u : u t). Ciągły martyngał (lokalny), M = (M t : t 0) (czyli w zasadzie E[M t+s F t ] = M t ). Charakteryzowany przez wariację: M, niemalejący, ciągły proces t.że M 2 t M t jest martyngałem. M = B M t = t. Moment stopu, T, zmienna losowa w R + { }, t.że {T t} jest F t mierzalna, czyli taka "realna strategia zatrzymywania", np.: pierwsze momenty dojścia do ustalonego zbioru. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.3/22

7 Definicje i notacja Ruch Browna, B = (B t : t 0), scentrowany proces o ciagłych trajektoriach, o przyrostach niezależnych i stacjonarnych: (B t+s B t ) to nowy ruch Browna niezależny od (B u : u t). Ciągły martyngał (lokalny), M = (M t : t 0) (czyli w zasadzie E[M t+s F t ] = M t ). Charakteryzowany przez wariację: M, niemalejący, ciągły proces t.że M 2 t M t jest martyngałem. M = B M t = t. Moment stopu, T, zmienna losowa w R + { }, t.że {T t} jest F t mierzalna, czyli taka "realna strategia zatrzymywania", np.: pierwsze momenty dojścia do ustalonego zbioru. Miara probabilistyczna, µ, µ M 1 0 jeśli x dµ(x) < oraz xdµ(x) = 0. Jeśli X zmienna losowa o rozkładzie µ to piszemy X µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.3/22

8 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

9 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, znaleźć moment stopu T, taki że B T µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

10 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, znaleźć moment stopu T, "mały", taki że B T µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

11 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, znaleźć moment stopu T, całkowalny, taki że B T µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

12 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, scentrowanej, o skończonej wariancji, znaleźć moment stopu T, całkowalny, taki że B T µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

13 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, scentrowanej, o skończonej wariancji, znaleźć moment stopu T, całkowalny, T wyrażony explicite taki że B T µ. (B t T ) jest UI Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

14 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, scentrowanej, o skończonej wariancji, znaleźć moment stopu T, całkowalny, T wyrażony explicite taki że B T µ. (B t T ) jest UI Dla a < 0 < b, µ = pδ a + (1 p)δ b T a,b = inf{t 0 : B t / [a, b]}; Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

15 Problem zanurzenia Skorochoda Dla B = (B t : t 0) ruchu Browna, miary probabilistycznej µ, scentrowanej, o skończonej wariancji, znaleźć moment stopu T, całkowalny, T wyrażony explicite taki że B T µ. (B t T ) jest UI Dla a < 0 < b, µ = pδ a + (1 p)δ b T a,b = inf{t 0 : B t / [a, b]}; Dla µ = 1 4 δ δ δ 2 istnieje bardzo dużo rozwiązań, np.: T D = inf{t > T 1,1 : B t { 2, 0, 2}} T AY = inf{t > T 2,2/3 : B t { 2, 0, 2}}. Przypomnijmy: dla a < 0 < b, ( ) P B Ta,b = a = b b+ a, EB T a,b = 0. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.4/22

16 Przykład Dla µ = 1 4 δ δ δ 2 istnieje bardzo dużo rozwiązań, np.: T D = inf{t > T 1,1 : B t { 2, 0, 2}} T AY = inf{t > T 2,2/3 : B t { 2, 0, 2}}. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.5/22

17 Czasy wyjścia z [a, b] - rozwiazanie Skorochoda Niech a < 0 < b oraz T a,b := inf{t 0 : B t / [a, b]} = inf{t 0 : B t {a, b}}. Miara B Ta,b µ a,b jest scentrowana, skupiona w 2 punktach: a i b. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.6/22

18 Czasy wyjścia z [a, b] - rozwiazanie Skorochoda Niech a < 0 < b oraz T a,b := inf{t 0 : B t / [a, b]} = inf{t 0 : B t {a, b}}. Miara B Ta,b µ a,b jest scentrowana, skupiona w 2 punktach: a i b. Skorochod każda miarę można przedstawić jako niezależną mieszankę miar µ a,b tj. µ M 1 0, X zm. los. niedodatnia oraz ρ : R R + t.że µ µ X,ρ(X), a zatem dla X i B = (B t : t 0) niezależnych, T X,ρ(X) = inf{t 0 : B t / [X, ρ(x)]} daje: B T µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.6/22

19 Czasy wyjścia z [a, b] - rozwiazanie Skorochoda Niech a < 0 < b oraz T a,b := inf{t 0 : B t / [a, b]} = inf{t 0 : B t {a, b}}. Miara B Ta,b µ a,b jest scentrowana, skupiona w 2 punktach: a i b. Skorochod każda miarę można przedstawić jako niezależną mieszankę miar µ a,b tj. µ M 1 0, X zm. los. niedodatnia oraz ρ : R R + t.że µ µ X,ρ(X), a zatem dla X i B = (B t : t 0) niezależnych, T X,ρ(X) = inf{t 0 : B t / [X, ρ(x)]} daje: B T µ. Aby pozbyć się zewnętrznej randomizacji (X powyżej) będziemy składać T an,b n. Kluczowym narzędziem jest potencjał miary probabilistycznej µ M 1 0: µu(x) := x y dµ(y) (x y)dµ(y) = x, funkcja wklęsła, Lipschitzowska, która pozwala badać zbieżność miar probabilistycznych. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.6/22

20 Rozwiazanie Chacona i Walsha Dla µ M 1 0 mamy: µu(x) = x y dµ(y). Łatwo widać, że jeśli B 0 ν, to po zatrzymaniu B Ta,b γ, gdzie γu otrzymuje się z νu przez liniowe obcięcie νu pomiędzy νu(a) a νu(b): a b a b νu γu Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.7/22

21 Rozwiazanie Chacon-Walsh c.d. Funkcja wklęsła zapisuje się jako przeliczalna granica funkcji afinicznych. Kolejne funkcje to liniowe obcięcia poprzednich, co odpowiada zatrzymaniu ruchu Browna w momencie wyjścia z jakiegoś przedziału. Dostajemy tak całą rodzinę rozwiązań: B 0 µ 0 µ 0 U µu Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.8/22

22 Rozwiazanie Chacon-Walsh c.d. Funkcja wklęsła zapisuje się jako przeliczalna granica funkcji afinicznych. Kolejne funkcje to liniowe obcięcia poprzednich, co odpowiada zatrzymaniu ruchu Browna w momencie wyjścia z jakiegoś przedziału. Dostajemy tak całą rodzinę rozwiązań: B 0 µ 0 µ 0 U µu µ 0 U µu Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.8/22

23 Rozwiazanie Chacon-Walsh c.d. Funkcja wklęsła zapisuje się jako przeliczalna granica funkcji afinicznych. Kolejne funkcje to liniowe obcięcia poprzednich, co odpowiada zatrzymaniu ruchu Browna w momencie wyjścia z jakiegoś przedziału. Dostajemy tak całą rodzinę rozwiązań: B 0 µ 0 µ 0 U µu µ 0 U µu a 1 b 1 B Ta1,b 1 µ 1 µ 1 U µu Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.8/22

24 Rozwiazanie Chacon-Walsh c.d. Funkcja wklęsła zapisuje się jako przeliczalna granica funkcji afinicznych. Kolejne funkcje to liniowe obcięcia poprzednich, co odpowiada zatrzymaniu ruchu Browna w momencie wyjścia z jakiegoś przedziału. Dostajemy tak całą rodzinę rozwiązań: B 0 µ 0 µ 0 U µu a 1 b 1 B Ta1,b 1 µ 1 µ 1 U µu µ 0 U µu µ 2 U µu a 2 b 2 T 1 = T a1,b 1 ;...; T n = inf{t T n 1 : B t / [a n, b n ]}, T = limt n, wtedy B T µ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.8/22

25 Rozwiazanie Root a Poprzednia konstrukcja, oparta na momentach wyjścia z przedziałów, daje bezpośrednie wzory w przypadku miar atomowych: µ({x 1, x 2,...,x n }) = 1. Dla miar z gęstością konieczne jest przejście graniczne i nie mamy bezpośrednich wzorów. Rodzina momentów stopu: T = inf{t 0 : B t A}, A R, jest zbyt uboga. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.9/22

26 Rozwiazanie Root a Poprzednia konstrukcja, oparta na momentach wyjścia z przedziałów, daje bezpośrednie wzory w przypadku miar atomowych: µ({x 1, x 2,...,x n }) = 1. Dla miar z gęstością konieczne jest przejście graniczne i nie mamy bezpośrednich wzorów. Rodzina momentów stopu: T = inf{t 0 : B t A}, A R, jest zbyt uboga. Rozpatrzmy momenty dojścia dla zbiorów w czaso-przestrzeni a nie jedynie w przestrzeni: T = inf{t 0 : (t, B t ) R}, R R + R. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.9/22

27 Rozwiazanie Root a Momenty stopu Root a T R = inf{t 0 : (t, B t ) R}, R R + R, będziemy rozpatrywać dla barier, to jest takich R, że (t, x) R (t + h, x) R, h > 0. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.9/22

28 Rozwiazanie Root a Momenty stopu Root a T R = inf{t 0 : (t, B t ) R}, R R + R, będziemy rozpatrywać dla barier, to jest takich R, że (t, x) R (t + h, x) R, h > 0. Okazuje się, że dla każdej miary probabilistycznej µ M 2 0 istnieje bariera R µ R + R, taka że B µ. TR µ Niestety, chociaż istnienie bariery jest stosunkowo łatwo pokazać, to wyznaczenie bariery dla danej miary udaje się niezwykle rzadko! (i na odwrót) Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.9/22

29 Rozwiazanie Azémy-Yora W konstrukcji Root a rozważaliśmy momenty dojścia dla dwuwymiarowego procesu: (t, B t ). Spróbujmy zastąpić deterministyczny proces pierwszej współrzędnej przez inny proces! Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.10/22

30 Rozwiazanie Azémy-Yora W konstrukcji Root a rozważaliśmy momenty dojścia dla dwuwymiarowego procesu: (t, B t ). Spróbujmy zastąpić deterministyczny proces pierwszej współrzędnej przez inny proces! Rozważmy proces (S t, B t ) gdzie S t = sup ut B u. Taki proces przybiera wartości w zbiorze: {(s, x) : s max{0, x}}. Dla rosnącej funkcji Ψ(x) x popatrzmy na pierwszy moment dojścia dla (S t, B t ) do H: H = {(s, x) R 2 : s Ψ(x)} T AY = inf{t 0 : (S t, B t ) H} = inf{t 0 : S t = Ψ(B t )}. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.10/22

31 Rozwiazanie Azémy-Yora - c.d. Niech S t = sup st B s, µ(x) = µ([x, )) T = T AY = inf{t 0 : Ψ(B t ) = S t }, Ψ. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.11/22

32 Rozwiazanie Azémy-Yora - c.d. Niech S t = sup st B s, µ(x) = µ([x, )) T = T AY = inf{t 0 : Ψ(B t ) = S t }, Ψ. Wtedy S T = Ψ(B T ), a zatem jeśli B T µ to ν(s) = P(S T s) = P(B T Ψ 1 (s)) = µ(ψ 1 (s)), gdzie S T ν. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.11/22

33 Rozwiazanie Azémy-Yora - c.d. Niech S t = sup st B s, µ(x) = µ([x, )) T = T AY = inf{t 0 : Ψ(B t ) = S t }, Ψ. Wtedy S T = Ψ(B T ), a zatem jeśli B T µ to ν(s) = P(S T s) = P(B T Ψ 1 (s)) = µ(ψ 1 (s)), gdzie S T ν. Dla f C 1 b, F = f, M f t := F(S t ) (S t B t )f(s t ) jest martyngałem. Stosując tw o stopowaniu dla T, EF(S T ) = E[f(S T )(S T Ψ 1 (S T )], czyli (dla dowolnego f), F(s)dν(s) = (s Ψ 1 (s))f(s)dν(s) dν(s) = ν(s)ds s Ψ 1 a zatem dµ(x) = µ(x) (s) Ψ(x) x dψ(x) Ψ(x) = Ψ µ (x) = 1 ydµ(y) daje B T µ. µ(x) [x, ) Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.11/22

34 Dygresja martyngałowa Na poprzednim slajdzie widzieliśmy, że dla f C 1 b, F(x) = x 0 f(y)dy, M f t := F(S t ) (S t B t )f(s t ), t 0 jest martyngałem. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.12/23

35 Dygresja martyngałowa Na poprzednim slajdzie widzieliśmy, że dla f C 1 b, F(x) = x 0 f(y)dy, M f t := F(S t ) (S t B t )f(s t ), t 0 jest martyngałem. Niech f(x) = 1 xλ, gdzie λ ustalone. Wtedy F(x) = (x λ) + a zatem M f t = (S t λ) + (S t B t )1 St λ = (B t λ)1 St λ [ ] dla τ m.st λp(s τ λ) = E B τ 1 Sτ λ, czyli nierówność max Doob a. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.12/23

36 Dygresja martyngałowa Na poprzednim slajdzie widzieliśmy, że dla f C 1 b, F(x) = x 0 f(y)dy, M f t := F(S t ) (S t B t )f(s t ), t 0 jest martyngałem. Niech f(x) = 1 xλ, gdzie λ ustalone. Wtedy F(x) = (x λ) + a zatem M f t = (S t λ) + (S t B t )1 St λ = (B t λ)1 St λ [ ] dla τ m.st λp(s τ λ) = E B τ 1 Sτ λ, czyli nierówność max Doob a. Niech f(x) = px p 1, p > 1. Wtedy F(x) = x p a zatem ( ES p τ M f t = S p t ps p 1 t ESτ p = p 1 [ p E ) 1/p p 1 p (S t B t ) = (1 p)s p t pb t S p 1 t ] B τ S p 1 τ p 1 p (E B τ p) 1/p( ES p τ ) p 1 p ( E B τ p) 1/p czyli L p n-ść Doob a. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.12/23

37 Reprezentowanie procesów Pokazaliśmy jak zanurzyć miarę probabilistyczną w ruchu Browna. Z niezależności i stacjonarności przyrostów ruchu Browna wynika, że możemy tę procedurę iterować. Widać, że łatwo zanurzymy w ten sposób sumy niezależnych zmienny losowych. Ogólniej, dosyć łatwo widać, że możemy zanurzyć dyskretny martyngał: (X k : k N). Mając zdefiniowane T i : t k, kolejny wyraz: T k+1 otrzymujemy jako moment stopu, który zanurza (regularny) rozkład warunkowy L(X k+1 X k = B Tk ) w (nowym, niezależnym od przeszłości) ruchu Browna (B Tk +t B Tk ). Wtedy (B Tk : k N) (X k : k N). Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.12/22

38 Reprezentowanie procesów Pokazaliśmy jak zanurzyć miarę probabilistyczną w ruchu Browna. Z niezależności i stacjonarności przyrostów ruchu Browna wynika, że możemy tę procedurę iterować. Widać, że łatwo zanurzymy w ten sposób sumy niezależnych zmienny losowych. Ogólniej, dosyć łatwo widać, że możemy zanurzyć dyskretny martyngał: (X k : k N). Mając zdefiniowane T i : t k, kolejny wyraz: T k+1 otrzymujemy jako moment stopu, który zanurza (regularny) rozkład warunkowy L(X k+1 X k = B Tk ) w (nowym, niezależnym od przeszłości) ruchu Browna (B Tk +t B Tk ). Wtedy (B Tk : k N) (X k : k N). Procedura ta, choć nie jest optymalna, pozwala uzyskać wiele własności dla procesów dyskretnych z ich analogonów dla ruchu Browna i była powszechnie stosowana. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.12/22

39 Reprezentowanie procesów - c.d. Co więcej, stosując przejście graniczne można również zanurzać procesy z czasem ciągłym. W 1978 roku Monroe, stosując właśnie techniki zanurzeń Skorochoda, pokazał, że dla dowolnego semimartyngału (X t : t 0) i ruchu Browna (B t : t 0) istnieje niemalejąca rodzina momentów stopu: (T t : t 0), T t T t+h, która zanurza proces X w B: (B Tt : t 0) (X t : t 0). (Uwaga: T t zrandomizowane.) W pewnym sensie na tym można by zakończyć badanie innych procesów niż ruch Browna, gdyby nie fakt, że rodzin stopu T t nie da się wyznaczyć explicite... chyba że ogranicznymy się do ciągłych martyngałów (lokalnych). Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.13/22

40 Dambis-Dubins-Schwarz Swoistym rozszerzeniem czasów zrównania (jak Azémy-Yora) na rodzinę momentów stopu, są odwrotności procesów rosnących. Jeżeli A t jest rosnącym procesem, adaptowanym, to jego odwrotność: C s = inf{t 0 : A t > s}, daje rosnącą rodzinę momentów stopu (i na odwrót). Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.14/22

41 Dambis-Dubins-Schwarz Swoistym rozszerzeniem czasu zrównania (jak Azémy-Yora) na rodzinę momentów stopu, są odwrotności procesów rosnących. Jeżeli A t jest rosnącym procesem, adaptowanym, to jego odwrotność: C s = inf{t 0 : A t > s}, daje rosnącą rodzinę momentów stopu. Okazuje się, że ciągły martyngał lokalny (M t : t 0) jest charakteryzowany przez proces rosnący M t taki, że Mt 2 M t jest martyngałem (lokalnym). Oznaczmy przez T s odwrotność M t : T s = inf{t 0 : M t > s} i zdefiniujmy: N s = M Ts. Jest to oczywiście ciągły martyngał lokalny, ale i więcej... Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.14/22

42 Dambis-Dubins-Schwarz Okazuje się, że ciągły martyngał lokalny (M t : t 0) jest charakteryzowany przez proces rosnący M t taki, że Mt 2 M t jest martyngałem (lokalnym). Oznaczmy przez T s odwrotność M t : T s = inf{t 0 : M t > s} i zdefiniujmy: N s = M Ts. Załóżmy, że M = p.n. Wtedy (N s : s 0) jest ruchem Browna oraz M t = N M t. Twierdzenie to wynika z charakteryzacji (P. Lévy) ruchu Browna jako ciągłego martyngału B takiego, że B s = s. W istocie: rodzina T s jest rosnącą rodziną momentów stopu oraz N s = M Ts = s. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.14/22

43 Dambis-Dubins-Schwarz - c.d. Twierdzenie to daje piękną reprezentację ciągłych martyngałów jako ruch Browna ze zmienionym (explicite) czasem. Pozwala to przenosić wiele rezultatów dla ruchu Browna na wszystkie ciągłe martyngały lokalne. I tak na przykład rozwiązania problemu zanurzania Skorochoda omówione wcześniej przepisują się dla dowolnego martyngału ciągłego. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.15/22

44 Dambis-Dubins-Schwarz - c.d. Twierdzenie to daje piękną reprezentację ciągłych martyngałów jako ruch Browna ze zmienionym (explicite) czasem. Pozwala to przenosić wiele rezultatów dla ruchu Browna na wszystkie ciągłe martyngały lokalne. I tak na przykład rozwiązania problemu zanurzania Skorochoda omówione wcześniej przepisują się dla dowolnego martyngału ciągłego. Dla H : R + R R mamy, że H(sup ut B t, B t ) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy H(sup ut M u, M u ) jest martygnałem lokalnym dla dowolnego ciągłego martyngału M. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.15/22

45 Dambis-Dubins-Schwarz - c.d. Twierdzenie to daje piękną reprezentację ciągłych martyngałów jako ruch Browna ze zmienionym (explicite) czasem. Pozwala to przenosić wiele rezultatów dla ruchu Browna na wszystkie ciągłe martyngały lokalne. I tak na przykład rozwiązania problemu zanurzania Skorochoda omówione wcześniej przepisują się dla dowolnego martyngału ciągłego. Dla H : R + R R mamy, że H(sup ut B t, B t ) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy H(sup ut M u, M u ) jest martygnałem lokalnym dla dowolnego ciągłego martyngału M. Nierówności BDG: c p ET p/2 E(sup ut B u ) p C p ET p/2 są także prawdziwe dla dowolnego martyngału ciągłego. Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.15/22

46 Dambis-Dubins-Schwarz - c.d. Twierdzenie to daje piękną reprezentację ciągłych martyngałów jako ruch Browna ze zmienionym (explicite) czasem. Pozwala to przenosić wiele rezultatów dla ruchu Browna na wszystkie ciągłe martyngały lokalne. I tak na przykład rozwiązania problemu zanurzania Skorochoda omówione wcześniej przepisują się dla dowolnego martyngału ciągłego. Dla H : R + R R mamy, że H(sup ut B t, B t ) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy H(sup ut M u, M u ) jest martygnałem lokalnym dla dowolnego ciągłego martyngału M. Nierówności BDG: c p ET p/2 E(sup ut B u ) p C p ET p/2 są także prawdziwe dla dowolnego martyngału ciągłego. itp... Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.15/22

47 Subordynacja Dla procesów, które nie są ciągłymi martyngałami w zasadzie nie znamy podobnych technik. Jednym z nielicznych pomysłów jakie nam pozostają to stosowanie niezależnych zmian czasu. Mamy zatem ruch Browna B = (B t : t 0) oraz niezależny proces rosnący A = (A t : t 0) i możemy definiować proces subordynowany: X t = B At. Dla przykładu: jeśli A t jest α - stabilny, czyli E exp(iλa t ) = exp( λ α ), to proces X jest 2α - stabilny: Ee iλx t = Ee iλb A t = Ee λ2 2 A t = e 2 α λ 2α. Jednakże poza prostymi przykładami trudno jest wymyślić proces A, który da nam oczekiwany proces X. Ciekawe są również pytania odwrotne: mając X odgadnąć z jakiej pary procesów go otrzymano, ale to już inna historia... Konwersatorium IMPAN, Listopad 2004 p.16/22