Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na prostej. (i) Napisać dystrybuantę tego rozkładu. (ii) Niech(X,Y)będzie wektorem losowym o rozkładzieµ. Jaki rozkład ma zmienna losowa X. Obliczyć E Y X. 2. Niech X,X 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi dla których istnieje stała C > 0, taka że P( X j C) = (j =,2,...). Niech S n = X +...+X n. Pokazać, że jeśli nd 2 X n =, to istnieją ciągi a n i b n takie, że S n a n D N(0,). b n 3. Niech X,X 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi z P(X n = ) = p n i P(X n = 0) = p n. Pokazać, że (i) X n 0 wg prawdodobieństwa iff p n 0. (ii) X n 0 p.n. iff np n <. 4. Wiadomo, że w pewnym kilkumilionowym kraju 60% dorosłych osób ma wykształcenie podstawowe, 30% średnie i 0% wyższe. Przybliżyć prawdopodobieństwo, że wśród 0000 losowo wybranych mieszkańców kraju, osób z wykształceniem średnim jest przynjamniej o 2060 więcej niż z wyższym. 5. Czy następujące funckcje są funkcjami charakterystycznymi: (i) 4 (+eit ) 2, (ii) e it. (iii) e t2 4 cos(2t) (jeśli tak to należy podać odpowiadający rozkład!) 6. a) Niech X,X 2,X 3 będą próbami Bernoulliego, t.j. niezależnymi zmienne losowe o jednakowym rozkładzie B(/2). Niech Y = X X 2,Y 2 = X 2 X 3.

2 Policzyć funkcję prawdopdobieństwa p ij = P(Y = i,y 2 = j) (tj. podać możliwe wartości i,j dla których p ij są ściśle dodatnie i wartości odpowiadających im prawdopdobieństw). b) Pokazać istnienie ciągu zmiennych losowych Y,Y 2,... na przestrzenie probabilistycznej ((0, ), B(0, ), λ) o następujących własnościach: P(Y n = i,y n+ = j) = p ij, zmienne Y,Y 2,Y 3,... są dwuzależne tj. Y k,y l są niezależne jeśli k l >. 7. Niech X,...,X n będą niezależnymi zmiennymi loswymi o rozkładzie normalnym N(m j,). Niech a = (a,...,a n ) i b = (b,...,b n ) będą wektorami. Pokazać, że zmienne losowew = n j= a j X j,z = n j= b j X j są niezależne iff wektory a, b są ortogonalne. 8. Czy następujące funckcje są funkcjami charakterystycznymi: (i) 4 (+eit ) 2, (ii). e it (iii) e t2 4 cos(2t) (jeśli tak to należy podać odpowiadający rozkład!) 9. Rzucono 000 razy sześcienna kostką. Znaleźć przybliżone prawdopdobieństwo tego, że suma oczek będzie między 340 a Wsk. Oczekiwana wartość oczek wynosi 3.5 a odchylenie standardowe.7. Pokazać skąd się biorą te liczby, ale nie trzeba wykonywać rachunków w celu policzenia wartości oczekiwanej i wariancji! 000 = 3.6. Natomiast należy wykonać rachunki potrzebne do skorzystania z załączonych tablic rozkładu normalnego. 0. Błąd pomiaru długości boków prostopadłościanu jest gdzie X = (X,X 2,X 3 ) N(0,Σ), Σ = Koszt związany z popełnieniem błędu jest Y = X +X 2 X 3. Obliczyć prawdopodobieństwo P(Y > 0). 2.

3 Obliczyć kowariancję Cov(X +X 2,X 3 ).. Niech X,Y,X 2,Y 2,... będą niezależnymi zmiennym losowymi o jednakowym rozkładzie jednostajnym U(0,). Niech f : [0, ] [0, ] będzie funkcją mierzalną oraz Z j = {f(xj )>Y j }, j =,2,... Udowodnić lim n n n Z j = f(x)dx j= 0 p.n. 2. NiechX,X 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi, o jednakowym rozkładzie i E X =. Pokazać, że a) dla każdego a mamy n= P( X n na) =, b) sup n n X n = p.n. 3. Niech ξ,ξ 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie; P(ξ j = ) = P(ξ j = 0) = /2. Definiujemy X = j= ξ 2j 2 j, X 2 = j= ξ 2j 2 j. Udowodnić, że X,X 2 są niezależne o jednakowym rozkładzie jednostajnym U(0,). 4. NiechX i N(m i,σi 2 )(i =,2,...) będą niezależnymi zmiennymi losowym. Podać wraz dowodem warunek konieczny i dostateczny na to aby i X i był zbieżny p.n. 5. NiechX,X 2 będą zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzien((0,0),σ) gdzie ( ) Σ =. 2 Dla jakiego a, są niezależne. Y = ax +X 2 +, Y 2 = X +ax

4 6. Niech X,X 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowym z P(X n = a n ) = P(X n = a n ) = /2 i S n = X X n. Korzystając z nierówności Kołmogorowa oszacować z góry P( sup S m S M > ǫ), M m N gdzie ǫ > 0. Pokazać, że jeśli a < 0, to lim lim P( sup S m S M > ǫ) = 0. M N M m N 7. NiechN,X,X 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi, X,X 2,... są o jednakowym rozkładzie z funkcją charakterysyczną φ X (t) oraz N ma rozkład Poissona Poi(λ). Niech N Y = X j. j= (i) Znaleźć funkcję charakterystyczną Y. (ii)niech F λ będzie rozkładem Y. Pokazać, że F λ F µ = F λ+µ. 8. Niech X,X 2,...,X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi, o jednakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku [,a] gdzie a >, i Y n = min(x,...,x n ). Znaleźć granicę według rozkładu i prawdopodobieństwa ciągu Y,Y 2, Niech X,Y,X 2,Y 2... będą niezależnymi zmiennymi losowymi, X i ma rozkład wykładniczy Exp(λ i ) z parametrem λ i oraz Y i = ± z jednakowym prawdopodobieństwem /2. Niech Z i = X i Y i. (i) Podać rozkład (dystrybuantę lub gęstość zmiennej losowej Z i. Policzyć E[Z i ] oraz D 2 [Z i ]. (ii) Pokazać, że jeśli j= λ 2 i <, 4

5 to szereg jest zbieżny p.n. Z j j= 20. Niech X N(,4) i Y = {X<3}, Y 2 = {X> }. a) Podaj liczbową wartość p = P(Y = ), p 2 = P(Y 2 = ), p = P(Y =,Y 2 = ). b) Oblicz EY i, D 2 Y oraz cov(y,y 2 ) oraz funkcję charakterystyczną (Y,Y 2 ) w punkcie (,2) tj. Ee i(y +2Y 2 ). (wystarczy podać wzory w terminachp i,p ij, nie trzeba obliczeń liczbowych prowadzić do końca). 2. Zmienna losoway n, gdzien =,2,..., ma rozkład gamma Gamma(n,λ). Pokazać zbieżność wg rozkładu Ȳ n = n Podać do czego zbiega ciąg ( ) λyn n D N(0,). P( Ȳn.96), n =,2,... Można wykorzystać następujące informacje: Dla rozkładu Gamma(a,b) f. char. średnia wariancja ( it b ) a a b a b 2 jeśli N N(0,), to P(N.96)

6 22. Niech X,X 2,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona odpowiednio z średnią λ,λ 2,... Zakładamy, że j λ j <. a. Udowodnić, że Y = j jx j < p.n. b. Wyprowadzić wzór na funkcję charakterystyczną zmiennej Y. 6