1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
|
|
- Włodzimierz Stankiewicz
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}} 3. Kartézský součin A B = {(x, y) x A, y B} 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A (x, y) R xry 5. Relace R na množině M je ekvivalence: x M : xrx (reflexivita) x, y M : xry yrx (symetrie) x, y, z M : xry yrz xrz (tranzitivita) 6. Relace na množině M je uspořádání: x M : x x (reflexivita) x, y M : x y y x y = x (antisymetrie) x, y, z M : x y y z x z (tranzitivita) 7. Zobrazení množiny A do B (f : A B) je relace f A B : x A!y B : xfy ( y = f(x)) 8. Zobrazení h : M A B je zúžení zobrazení f : A B na množinu M, když f(x) = g(x) pro x M A. Symbolicky zapisujeme h = f/ M 9. Definiční obor: D f = {x y : y = f(x)} Obor hodnot: H f = {y x : y = f(x)} 10. Obraz množiny M při zobrazení f : A B je množina: f(m) = {y B ( x M)(y = f(x))} Vzor množiny M při zobrazení f : A B : f 1 (M) = {x M ( y M)y = f(x)} 11. Složené zobrazení: jsou-li f : A B, g : B C zobrazení, potom můžeme definovat nové zobrazení h : A C předpisem h(x) = g(f(x)) = (g f)(x) 12. Zobrazení: injektivní (prosté): x, y A : (x y) (f(x) f(y)) (f(x) = f(y)) (x = y) surjektivní (na B): y B x A : f(x) = y bijektivní (vzájemně jednoznačné): jestliže f je injektivní a surjektivní identické: Id A : A A, Id A (x) = x konstantní: x, y A : f(x) = f(y) 13. Je-li f : A B prosté zobrazení, definujeme inverzní zobrazení k f vztahem: f 1 = {(y, x) (x, y) f} 14. Řekneme, že množina A je ekvivalentní s množinou B (mají stejnou mohutnost), když existuje prosté zobrazení množiny A na množinu B. Symbolicky: A B. 1. A A 2. A B B A 3. A B B C A C 1
2 15. Množina: konečná: A = n N : A ˆn (n - počet prvků) spočetná: A N nejvýše spočetná: spočetná nebo konečná nespočetná: není konečná ani spočetná. 16. Reálná čísla: Axiomy tělesa: x, y, z R : komutativní zákon: x + y = y + x a xy = yx asociativní zákon: x + (y + z) = (x + y) + z a (xy)z = x(yz) distributivní zákon: x(y + z) = xy + xz existence nulového prvku: 0 R : x + 0 = x x R existence prvku opačného: x R x R : x + ( x) = 0 existence jedničky : 1 R, 1 0 : 1x = x x R existence převráceného prvku: x R, x 0, x 1 R : xx 1 = 1 Axiomy uspořádání: x, y, z R : možnost porovnávání prvků: x y nebo y x přičítání: x y x + z y + z násobení nezáporným číslem: (x y 0 z) xz xy axiom úplnosti: Pro každou neprázdnou shora omezenou množinu platí, že množina jejích horních závor má minimum. 17. uzavřený interval: a, b = {x R a x b} polouzavřený interval: a, b) nebo (a, b = {x R a < x b} otevřený interval: (a, b) = {x R a < x < b} { a a Absolutní hodnota: a = a a < 0 trojúhelníková nerovnost: x + y x + y celá část: x 1 < [x] x 19. Elementární funkce: Polynom n-tého stupně: reálná funkce reálné proměnné f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 Racionální funkce: podíl dvou polynomů Mocninná funkce: f(x) = x α, α R konstanta Exponenciální: f(x) = a x, a R + {0} Logaritmus: inverzní k exponenciální, log a x goniometrické 20. Řekneme, že množina A R je omezená shora, když ( K R)( x A)(x K) Každé takové K nazýváme horní závora množiny A Řekneme, že číslo a A je maximum množiny A (a = max A) : ( x A)(x a) 21. Zdola omezená množina: ( H R)( x A)(H x) H = dolní závora Číslo a je minimum množiny A (a = min A) : ( x A)(a x) 22. Řekneme, že množina A R je Množina omezená, když je omezená zdola i shora. 23. Množina opačná: A = { x x A} pak K = dolní závora, H = horní závora 24. Supremum: Necht A R. Pak 1 β R tak, že: 1. ( x A)(x β) (tj. β je horní závorou) 2. ( β R, β < β)( x A)(β < x) (tj.nic menšího už není horní závorou) 2
3 25. Infimum:Necht A R. Pak 1 α R tak, že: 1. ( x A)(x α) (tj. α je dolní závorou) 2. ( α R, α > α)( x A)(α > x) (tj.nic většího už není dolní závorou) 26. Rozšířená množina reálných čísel: R = R {, + }: 1. < + 2. ( x R)( < x < + ) 27. Supremum shora neomezené množiny A : sup A = + infimum zdola neomezené množiny A : inf A = sup a inf prázdné množiny: inf = + a sup = 28. Komplexní čísla: uspořádané dvojice reálných čísel z = (x, y) C reálná část - x, imaginární část - y, x =Rez, y =Imz sčítání: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) násobení: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) i = (0, 1), i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = Komplexní (Gaussova) rovina : Komplexní čísla geometricky znázorňujeme pomocí bodů v rovině: číslu (x, y) odpovídá bod roviny o souřadnicích x, y. 30. Komplexně sdružené číslo: z = x + iy z = x iy : z + w = z + w, zw = zw, z = z 31. Absolutní hodnota komplexního čísla: z = zz = x 2 + y 2 otevřený kruh: K(z, r) = {w C w z < r} uzavřený kruh: K(z, r) = {w C w z r} 32. Trojúhelníková nerovnost: z + w z + w 33. Necht A C. Řekneme, že množina A je omezená, když: ( r R, r > 0)( z A)( z r) 34. Rozšíření množiny C: C = C { }, R C 35. ε-okolí bodu a v R: a, ε R : H a (ε) = (a ε, a + ε) ε-okolí bodu a v C: a, ε C, ε > 0 : H a (ε) = {z C z a < ε} 36. Pravé, levé ε-okolí reálného čísla v R (jednostranné okolí): a, ε R, ε > 0 : H a+ (ε) = (a, a + ε), H a (ε) = (a ε, a) 37. α-okolí bodu + v R: α R, α > 0 : H + = (α, + ) α-okolí bodu v R: α R, α > 0 : H = (, α) α-okolí bodu v C: α R, α > 0 : H = {z C z > α} 38. Posloupnost: zobrazení množiny N do nějaké neprázdné množiny A, (a n ) + n=1 reálnou posloupnost (a n ) n N nazýváme: číselná: A = R nebo C reálná: A = R komplexní: A = C konstantní: ( m, n N)(a m = a n ) prostá: ( n, m N)(n m a m a n ) shora omezená: ( K R)( n N)(a n K) zdola omezená: ( H R)( n N)(a n H) omezená: obor hodnot {a n } n N je množina omezená, tj. ( r R, r > 0)( n N)( a n r) rostoucí: ( n N)(a n a n+1 ) klesající: ( n N)(a n a n+1 ) 3
4 monotónní: když je rostoucí nebo klesající ostře rostoucí: ( n N)(a n < a n+1 ) ostře klesající: ( n N)(a n > a n+1 ) ryze monotónní: když je ostře rostoucí nebo ostře klesající 39. Necht (a n ) je libovolná posloupnoust a (k n ) necht je ostře rostoucí poslopnost přirozených čísel. Pak posloupnost (a kn ) nazýváme posloupnost vybraná z posloupnosti (a n ). 40. Limita posloupnosti: lim n + a n = a R ( H a R)( n 0 R)( n N, n > n 0 )(a n H a ) ( ε R, ε > 0)( n 0 R)( n N, n > n 0 )( a n a < ε) 41. Posloupnost: konvergentní: lim a n = a R divergentní: posloupnost, která není konvergentní podstatně divergentní: posloupnost, která má limitu ± oscilující: posloupnost, která nemá limitu. 42. Výrazy s nekonečnem: Pro a R definujeme: a + (+ ) = (+ ) + a = + je-li a > a + ( ) = ( ) + a = je-li a < + a(+ ) = (+ )a = + je-li a > 0 a(+ ) = (+ )a = je-li a < 0 a( ) = ( )a = je-li a > 0 a( ) = ( )a = + je-li a < = 1 = < x < x + x + = x 0 0 < x < 1 = + 0 < x < 1 (+ ) x = + pro 0 < x + (+ ) x = 0 pro x < 0 Nedefinováno: ± ± (± ), ± +( ), 0(± ), ±, a 0 pro a R (+ ) ± 43. Důležité limity lim n n = 1 lim n a = 1 lim n n! = + 0 x ( 1, 0) (0, 1) lim a n = 1 x = 1 + x (1, + ) 44. Hromadná hodnota posloupnosti: a R, pro které existuje z ní vybraná posloupnost (a kn ) : lim(a kn ) = a 45. Limes superior, Limes inferior: Každá reálná posloupnost (a n ) má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Množina všech hromadných hodnot má maximum a minimum (mohou to být i hodnoty ± ). Největší hromadnou hodnotu nazýváme limes superior, značíme lim sup a n, nejmenší limes inferior, značíme lim inf a n α = lim inf a n 1.( α R, α < α)( n 0 )( n N, n > n 0 )(a n > α ) 2.( α R, α > α)( n N)(a n < α ) β = lim sup a n 1.( β R, β > β)( n 0 )( n N, n > n 0 )(a n < β ) 2.( β R, β < β)( n N)(a n > β ) 4
5 46. Reálná funkce reálné proměnné: speciální případ zobrazení: f : (R) R funkce f : (R) R nazýváme: omezená shora: pokud je její obor hodnot H f množina omezená shora omezená zdola: pokud je její obor hodnot H f množina omezená zdola omezená: pokud je její obor hodnot H f množina omezená rostoucí: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) f(x 2 )) klesající: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) f(x 2 )) monotónní: když je rostoucí nebo klesající ostře rostoucí: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) < f(x 2 )) ostře klesající: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) > f(x 2 )) ryze monotónní: když je ostře rostoucí nebo ostře klesající sudá, pokud ( x D f )(f(x) = f( x)) lichá, pokud ( x D f )(f(x) = f( x)) periodická s periodou l > 0 : ( x D f )(f(x) = f(x ± l)) 47. Funkce: { 1 x je racionální číslo Dirichletova: 0 x je iracionální číslo { 0 x je iracionální číslo Riemannova: 1 q x = p q, kde p, q jsou nesoudělná. 1 x < 0 signum: 0 x = 0 1 x > Hromadný bod definičního oboru: v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů izolovaný bod: bod, který nepatří mezi hromadné body. 49. Limita funkce v bodě: Bud a hromadným bodem definičního oboru funkce f, tj. a D f. Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu c R, pokud: ( ε > 0)( δ > 0)( x D f H a (δ) {a})(f(x) H c (ε)) lim x a f(x) = c. 50. Jednostranné limity funkce v bodě: Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu c vzhledem k množině A, pokud zúžení f/ A má v bodě a limitu c. Značíme lim a,a f Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu zleva (zprava) rovnu c, pokud zúžení f/ (,a) (f/ (a,+ ) ) má v bodě a limitu c. Značíme lim a f(lim a+ f). 51. Spojitost funkce v bodě a: ( H f(a) )( H a )( x D f H a )(f(x) H f(a) ) 52. Jednostranná spojitost: podobně jako u limit: f je spojitá v bodě a zprava, pokud f/ a,+ ) je spojitá v bodě a. f je spojitá v bodě a zleva, pokud f/ (,a je spojitá v bodě a. 53. Bod nespojitosti: odstranitelná: f(a) lim a f R nebo a D f bod skoku: existují navzájem různé konečné lim a+ f a lim a f druhého druhu: když se nejedná ani o odstanitelnou nespojitost, ani o skok. 54. funkce je spojitá na množině M, pokud zúžení f/ M je spojité v každém bodě M. 55. Říkáme, že f je na množině M stejnoměrně spojitá: ( ε > 0)( δ > 0)( x 1, x 2 M, x 1 x 2 < δ)( f(x 1 ) f(x 2 ) < ε). f(x) f(a) 56. Derivace v bodě: lim x a x a = f (a). Pokud f (a) R - vlastní derivace, f (a) = ± - nevlastní derivace 5
6 57. Řekneme, že funkce má v bodě a: lokální maximum, pokud ( H a )( x H a )(f(x) f(a)) lokální minimum, pokud ( H a )( x H a )(f(x) f(a)) ostré lokální maximum, pokud ( H a )( x H a {a})(f(x) < f(a)) ostré lokální minimum, pokud ( H a )( x H a {a})(f(x) > f(a)) Jedná se o lokální extrém. 58. Řekneme, že f má v bodě a tečnu o rovnici x = a, je-li f spojitá v bodě a a f (a) = ± y = f(a) + f (a)(x a), je-li f diferencovatelná v bodě a. Bodu (a, f(a)) říkáme bod dotyku 59. Řekneme, že funkce f je na intervalu I (ostře) konkávní, pokud ( x 1, x 2, x 3 I, x 1 < x 2 < x 3 )(f(x 2 ) ( f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1 (x 2 x 1 ) + f(x 1 )) 60. Řekneme, že funkce f je na intervalu I (ostře) konvexní, pokud ( x 1, x 2, x 3 I, x 1 < x 2 < x 3 )(f(x 2 ) ( f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1 (x 2 x 1 ) + f(x 1 )) 61. Říkáme, že funkce f má v bodě a tzv. inflexi (inflexní bod) je diferencovatelná v bodě a a platí: (( ) ( < > ( H a )( x H a ) x < a f(x) f(a) + f > (a)(x a) x > a f(x) f(a) + f < (a)(x a) 62. Asymptota v bodě: přímka o rovnici x = a svislá asymptota v bodě a, pokud existuje jedna z limit lim a+ f či lim a f rovna ± v nekonečnu: y = kx + q 6
7 2 Věty 1. O spočetnosti nekonečných podmnožin přirozených čísel a všech jiných spočetných množin: Každá nekonečná podmnožina množiny přirozených čísel je spočetná. Důsledek: Každá nekonečná podmnožina spočetné množiny je spočetná. 2. O sjednocení spočetných množin: Necht pro každé i N je A i spočetná množina. Pak sjednocení i N A i je spočetná množina. 3. O existenci maxima: Má-li množina A maximum, pak max A = sup A. 4. O existenci n-té odmocniny: Necht a R a n N, n Pro a 0 a n sudé, existuje jediné b 0 takové, že b n = a. 2. Pro a R a n lidé existuje jediné b R : b n = a. 5. O existenci právě jednoho suprema a infima pro každou množinu z R: Necht A R. Pak: 1. existuje právě jedno β R takové, že splňuje 1. a 2. vlastnost suprema. 2. existuje právě jedno α R takové, že splňuje 1. a 2. vlastnost infima. 6. O počtu limit číselných posloupností: Každá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. 7. O limitě vybrané posloupnosti: Necht posloupnost (a n ) má limitu a. Pak každý posloupnost vybraná z (a n ) má limitu a. Lze-li vybrat z posloupnosti (a n ) dvě vybrané posloupnosti mající různé limity, pak posloupnost (a n ) limitu nemá. 8. O limitě skorovybrané posloupnosti: Necht (a n ) je číselná poslounost s limitou c a (k n ) je posloupnost přirozených čísel s limitou +. Pak lim a kn = c 9. O vztahu omezenosti posloupností a jejich limit:1. Má-li posloupnost konečnou limitu, je omezená 2. lim a n = + (a n ) je omezená zdola, není omezená shora 3. lim a n = (a n ) je omezená shora, není omezená zdola 10. O vlivu konečného počtu prvních členů posloupnosti na její vlastnosti a limitu: Necht (a n ) je číselná posloupnost a p N je libovolné pevně zvolené číslo. Pak platí: 1. lim(a n ) = a lim(a n+p ) = a 2. (a n ) je omezená (a n+p ) je omezená. Je-li (a n ) reálná posloupnost, pak 3. (a n ) je omezená zdola (a n+p ) je omezená zdola 4. (a n ) je omezená shora (a n+p ) je omezená shora 11. Přidáním, ubráním, či modifikací konečně (!) mnoha členů posloupnosti se nezmění její omezenost (celková, shora, zdola) ani existence/neexistence její limity ani hodnota její limity (pokud limita existuje). 12. O limitě monotónních a/nebo omezených posloupností: Každá reálná monotonní posloupnost má limitu. Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená. 13. O nahrazení komplexní posloupnosti reálnými posloupnostmi: Komplexní posloupnost (a n ), kde a n = α n +iβ n a α n, β n R, je konvergentní právě tehdy, pokud jsou konvergentní reálné posloupnosti (α n ) a (β n ). Pokud je tato podmínka splněna, platí lim a n = lim α n + i lim β n. 14. O limitě posloupnosti absolutních hodnot: Platí: lim a n = a lim a n = a. Pokud a = 0 nebo a = +, platí zde dokonce ekvivalence, tj. směr. 7
8 15. O součtu, rozdílu, součinu a podílu limit (Aritmetika limit): Platí vzorce: lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n lim(a n b n ) = lim a n lim b n Pokud výrazy na pravé stráně mají smysl!! lim an lim an b n = lim b n 16. O limitě k-té odmocniny: Bud k N, a n 0 pro všechna n. Platí: lim k a n = k lim a n, pokud výraz na pravé straně má smysl. 17. O nerovnosti limit: Platí: lim a n < lim b n ( n 0 )( n > n 0 )(a n < b n ) 18. O nerovnosti posledních členů dvou posloupností: Necht existují limity posloupností (a n ), (b n ). Pak platí: ( n)(a n b n ) lim a n lim b n. 19. Věta o limitě sevřené posloupnosti: Necht lim a n = lim b n. Pak platí ( n)(a n b n c n ) lim c n = lim a n = lim b n 20. Druhá věta o limitě sevřené posloupnosti v nekonečnu: Necht lim a n = +. Pak platí: ( n)(a n b n ) lim b n = lim a n = Lemma součin nulové limity s omezenou: Necht lim a n = 0 a poslupnost (b n ) je omezená. Pak lim(a n b n ) = O limitě posloupnosti n k=0 1 k! : e = lim(1 + 1 n )n = lim(1 + 1 n )n+1 = lim n k=0 1 k! 23. O číslu e: Označíme-li pro všechna n N a n = (1+ 1 n )n, b n = (1+ 1 n )n+1, c n = n k=0 1 k!, pak posloupnosti (a n ), (c n ) jsou ostře rostoucí, (b n ) ostře klesající, pro všechna n platí a n c n b n a všechny tři posloupnosti mají společnou limitu - iracionální číslo z intervalu (2, 3), které značíme e. 24. Bud (p n ) reálná posloupnost splňující lim p n = +. Pak platí lim(1 + 1 p n ) pn = e. 25. O vztahu limsup, liminf a limity posloupnosti: lim a n = a lim sup a n = lim inf a n = a 26. O hledání limsup a liminf: Necht vybrané posloupnosti (a k (1) n a (1),..., a (m) pokrývají původní reálnou posloupnost (a n ). Pak platí: lim sup a n = max{a (1),..., a (m) }, lim inf a n = min{a (1),..., a (m) } ), (a k (2) n ),..., (a (m) k ) s limitami n 27. Stolzův vzorec: Necht (b n ) je ostře rostoucí, lim b n = a existuje limita lim a n+1 a n b n+1 b n : lim a n b n = lim a n+1 a n b n+1 b n 28. Cauchyův vzorec: Necht (a n ) je posloupnost kladných čísel, existuje lim a n+1 a n : lim n a n = lim a n+1 a n 29. Z každé (reálné či komplexní) omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která konverguje. 30. Bolzano-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselné posloupnosti: Posloupnost (a n ) je konvergentní je tzv. cauchyovská, tj. ( ε > 0)( n 0 R)( n N, n > n 0 )( p N)( a n+p a n < ε) 31. AG nerovnost: Bud n N, α j 0 pro j = 1,..., n. Pak: n α 1 α 2...α n α α n n. 8
9 32. Bernoulliho nerovnost: Pro x > 2 a n N : (1 + x) n 1 + nx. 33. exponenciála: Existuje právě jedna funkce f : R R tak, že pro všechna x, y R : f(x + y) = f(x)f(y), f(x) 1 + x. 34. Heineova věta: Necht a D f. Pak: lim x a f(x) = c lim n + f(x n ) = c pro každou posloupnost (x n ), pro kterou platí ( n N)(x n D f {a}) a lim n + x n = a 35. O vztahu limity v bodě a limity zleva a zprava v témže bodě: Bud a hromadným bodem D f (, a) a D f (a, + ). Pak funkce f má v bodě a limitu c právě tehdy, když limita f zleva i zprava v bodě a je rovna c. 36. Necht existuje H + a tak, že a je hromadným bodem D f H + a a f je na tomto intervalu monotónní. Pak existuje limita v bodě a zprava. 37. O limitě absolutní hodnoty: Platí: lim a f = c lim a f = c. Pokud c = 0, platí zde ekvivalence. 38. O limitě k-té odmocniny: Bud k N, f nezáporná. Platí: lim a k f = k lim a f, pokud výraz na pravé straně má smysl. 39. O limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí (Aritmetika limit): Platí vzorce: lim a (f ± g) = lim a f ± lim a g lim a (fg) = lim a f lim a g Pokud výrazy na pravé stráně mají smysl!! f lim a g = lima f lim a g 40. O limitě složené funkce: Necht a D f g, necht dále lim a g = b, lim b f = c a konečně necht platí podmínka: ( H a )( x H a D g {a})(g(x) b) f(b) = c b D f (podmínka je splněna, když je g na H a prosté) Pak lim a f g = c. 41. O nerovnosti limit: Platí lim a f < lim a g ( H a )( x D f D g H a {a})(f(x) < g(x)). Necht existují lim a f, lim a g, H a tak, že H a D f {a} = H a D h {a}. Potom: ( x H a D f {a})(f(x) g(x)) lim a f lim a g 42. O limitě sevřené funkce: Necht lim a f = lim a g = c. Necht existuje H a tak, že H a D f {a} = H a D g {a} = H a D h {a}. Pak platí ( x H a D f {a})(f(x) h(x) g(c)) lim a h = c. 43. Bolzanovo-Cauchyho kriterium konvergence pro limitu reálné funkce reálné proměnné: Necht a D f. Pak existuje konečná lim a f právě tehdy, když ( ε > 0)( H a )( x, y D f H a {a})( f(x) f(y) < ε) 44. O vztahu spojitosti a limity: Necht a D f D f. Pak f je spojitá v bodě a právě tehdy, když lim a f = f(a). 45. O spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu spojitých funkcí: Necht f a g jsou spojité funkce v bodě a. Pak funkce f, f ± g, fg, f g (pokud g(a) 0) jsou spojité v bodě a. 46. O spojitosti funkce složené ze spojitých funkcí: Necht g je spojitá v bodě a, f v bodě g(a). Pak f g je spojitá v bodě a. 47. Elementární funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. 9
10 48. O průsečíku s osou: Bud f spojitá na a, b a f(a)f(b) < 0. Pak existuje c a, b tak, že f(c) = O oboru hodnot spojitého intervalu: Necht f je spojitá na intervalu I. Pak obraz f(i) je interval nebo jednoprvková množina. 50. O omezenosti na spojitém intervalu: Necht f je spojitá na a, b. Pak f je na a, b omezená. 51. O funkci spojité na intervalu: Necht f je spojitá na a, b. Pak f nabývá na a, b hodnot sup a,b f a inf a,b f. 52. O funkci spojité a prosté na intervalu: Bud f na intervalu I spojitá a prostá. Pak je na něm ryze monotónní a f/ 1 I je spojitá a ryze monotónní na f(i). 53. Cantorova věta: Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm spojitá stejnoměrně. 54. O spojitosti a diferencevatelnosti: Funkce diferencovatelná v bodě a je v tomto bodě spojitá. 55. O derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí (Aritemetika derivací): Necht f, g jsou diferencovatelné v bodě a a necht a D f±g D f±g resp. D fg D fg resp. D f D f. Pak platí: g g (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a) ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g 2 (a) 56. O derivaci složené funkce: Necht g je diferencovatelná v bodě a, f v bodě g(a). Pak f g je diferencovatelná v bodě a a platí: (f g) (a) = f (g(a))g (a). 57. O derivaci funkce inverzní: Necht f je spojitá a prostá v otevřeném intervalu I, x 0 I, f (x 0 ) 0. Pak platí: f/ 1 I (f(x 0 )) = 1 f (x 0 ) 58. Leibnizův vzorec pro derivace vyšších řádů: (fg) (n) = n ( n ) k=0 k f (k) g (n k) 59. Rolleova věta: Je-li funkce f spojitá na a, b, f(a) = f(b) a existuje derivace f v každém bodě (a, b), pak existuje bod c (a, b) : f (c) = Langrangeova věta o přírustku funkce: Necht f je spojitá na a, b a v každém bodě (a, b) má derivaci. Pak existuje c (a, b) : f (c) = f(b) f(a) b a (tj. v bodě c tečna rovnoběřná s přímkou ab) 61. Cauchyova věta (zobecněné věta o přírůstku funkce): Necht f, g jsou spojité na a, b a v každém bodě (a, b) mají derivaci, necht derivace g je na (a, b) konečná, nenulová. Pak existuje c (a, b) tak, že f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). 62. Lokální extrém-nutná podmínka: Necht f má v bodě a lokální extrém. Pak f (a) = 0 nebo f (a) neexistuje. 63. Lokální extrém-postačující podmínka: Necht funkce f je spojitá v bodě a a H a ± tak, že f rostoucí klesající je (ostře) v Ha klesající f je (ostře) v H a rostoucí +. maximum Pak f má v bodě a (ostré) lokální minimum. 64. Lokální extrém: Necht existuje H a tak, že f je na H a diferencovatelná. Necht f (a) = 0 a > minimum f (a) 0. Pak f má v bodě a ostré lokální. < maximum 10
11 65. O znaménku derivace a typu monotonie: Necht f je spojitá na intervalu I, necht f má derivaci v každém bodě I 0. Pak: ( x I 0 )(f (x) 0) f je na I rostoucí ( x I 0 )(f (x) 0) f je na I klesající ( x I 0 )(f (x) = 0) f je na I konstantní ( x I 0 )(f (x) > 0) f je na I ostře rostoucí ( x I 0 )(f (x) < 0) f je na I ostře klesající 66. O vztahu první derivace a konvexnosti/konkávnosti: Necht f je spojitá na intervalu I, necht f je diferencovatelná na I 0. Pak: rostoucí konvexní Je-li f (ostře) na I klesající 0, je f (ryze) na I. konkávní 67. Důsledek: ( Necht f je spojitá ) na intervalu I. Pak: (>) ( x I 0 ) f (x) 0 f je na I (ryze) (<) konvexní konkávní 68. Inflexe: Necht f má inflexi v bodě a. Necht na nějakém okolí H a je f diferencovatelná. Pak f (a) = 0 nebo f (a) neexistuje. Necht existuje H a tak, že f je konečná na H a. Necht f (a) = 0af (a) 0. Pak f má v bodě a inflexní bod. 69. O výpočtu asymptoty: f má v bodě + asymptotu o rovnici y = kx + q lim x + f(x) x = k R lim x + (f(x) kx) = q R. 70. Darbouxova věta: Necht f je spojitá v bodě a zprava a f je diferencovatelná na nějakém H + a. Pak platí: f +(a) = lim x a+ f (x), pokud limita vpravo existuje.. 11
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowo1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoMatematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019
Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoObsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Bardziej szczegółowo3.1 Derivace funkce Definice derivace Vlastnosti derivace Derivace elementárních funkcí... 49
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoPoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoMatematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.
Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoKompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
Bardziej szczegółowoKombinatorika a komplexní aritmetika
a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowo02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoUniverzita Palackého v Olomouci
Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly
Bardziej szczegółowoSpeciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. bankovnictví. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Janečková Aplikace 2-dimenzionálních rozdělení v bankovnictví Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
Bardziej szczegółowoNDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoReprezentace dat. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner
Reprezentace dat BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı ČVUT v Praze xvagner@fit.cvut.cz 9., 11. a 12. října 2017 Obsah Dvojková
Bardziej szczegółowoVŠB-Technická univerzita Ostrava
VŠB-Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Využití metod nehladké optimalizace v tvarové optimalizaci Ing. Petr Beremlijski Obor: Informatika a
Bardziej szczegółowoNumerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
Bardziej szczegółowoprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
Náhodné vektory prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký,
Bardziej szczegółowoŠkola matematického modelování 2017
Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2017 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Katedra
Bardziej szczegółowoVýzvy, které před matematiku staví
1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský
Bardziej szczegółowo