Obsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu"

Transkrypt

1 Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce určitého integrálu 6 Nevlstní integrál Vlivem meze Vlivem funkce Bernhrd Riemnn

2 Zákldní úloh integrálního počtu Njít obsh rovinného obrzce ohrničeného osou, přímkmi, b grfem nezáporné spojité funkce f() definovné n intervlu, b. f() S b Obsh tkového obrzce lze přibližně určit pomocí součtu obshů obdélníků: Intervl, b rozděĺıme děĺıcími bod,,..., n n n podintervlů, kždý podintervl i, i bude tvořit zákldnu obdélník. V kždém podintervlu zvoĺıme libovolný reprezentnt ξ i sestrojíme obdélník, jehož výšk je rovn hodnotě funkce f v bodě ξ i, tj. f(ξ i ). n 3 Sečteme obsh všech tkto získných obdélníků: f(ξ i )( i i ). Obsh obrzce se rovná limitě součtu obshů obdélníků, jestliže se délk záklden obdélníků bĺıží k nule počet obdélníků se bĺıží nekonečnu. Tuto limitu nzveme určitý integrál. i Definice (dělení intervlu) Dělením intervlu, b rozumíme množinu bodů D {,,,..., n } tkovou, že < < < < n b. Definice (integrální součet) Necht f je funkce ohrničená n intervlu I, b D {,,,..., n } je dělení intervlu I. V kždém děĺıcím intervlu zvolme libovolné číslo ξ,, ξ,,..., ξ n n, n. Množinu těchto čísel R {ξ, ξ,..., ξ n } nzýváme výběr reprezentntů dělení D. Potom součet n σ(f, D, R) f(ξ i )( i i ) se nzývá integrální součet funkce f, příslušný dělení D výběru reprezentntů R. Pro jednoduchost úvh budeme předpokládt, že délk všech podintervlů i i i jsou stejné. i

3 Integrální součet ξ ξ ξ 3 ξ 4 ξ 5 ξ 6 ξ 7 ξ b σ(f, D, R) f(ξ )( ) + f(ξ )( ) + f(ξ 3 )( 3 ) + f(ξ 4 )( 4 3 )+ +f(ξ 5 )( 5 4 ) + f(ξ 6 )( 6 5 ) + f(ξ 7 )( 7 6 ) + f(ξ 8 )( 8 7 ) 8 8 f(ξ i )( i i ) f(ξ i ) i i i Integrální součet (jemnější dělení) ξ ξ ξ 3 ξ i ξ n 3 i i n n b σ(f, D, R) f(ξ )( ) + f(ξ )( ) + + f(ξ n )( n n ) n n f(ξ i )( i i ) f(ξ i ) i i i

4 Poznámk (geometrický význm integrálního součtu) Pro funkci f, která je n intervlu, b nezáporná ohrničená, předstvuje součin f(ξ i )( i i ) obsh obdélník o zákldně délk i i i výšce f(ξ i ). Potom integrální součet σ(f, D, R) n f(ξ i ) i i je roven součtu obshů tkových obdélníků. Čím bude dělení intervlu jemnější počet dílků n větší, tím bude integrální součet lépe proimovt plochu uvžovného obrzce. Definice určitého integrálu Definice (určitý integrál) Necht funkce f je ohrničená n intervlu, b. Řekneme, že funkce f je (Riemnnovsk) integrovtelná n intervlu, b, jestliže eistuje limit integrálních součtů funkce f lim σ(f, D n, R n ) lim n n n f(ξ i ) i. Hodnot této limit se nzývá (Riemnnův) určitý integrál funkce f n intervlu, b znčí se f() d. i Číslo se nzývá dolní mez, číslo b horní mez integrálu. Intervl, b integrční obor, funkce f integrnd. Horní dolní mez nzýváme společně integrční meze.

5 Poznámk (geometrický význm určitého integrálu) Pro nezápornou spojitou funkci f n intervlu, b předstvuje f() d z geometrického hledisk obsh rovinného obrzce ohrničeného grfem funkce f(), osou přímkmi, b. f() S b Poznámk (neurčitý určitý integrál) Pojm neurčitý určitý integrál se zásdně liší: Neurčitý integrál je funkce (přesně množin funkcí). Určitý integrál je číslo. Neurčitý určitý integrál vjdřují kždý něco jiného, přesto mezi nimi eistuje vzájemný vzth, který umožňuje počítt určitý integrál pomocí integrálu neurčitého. Tímto vzthem bude Newton-Leibnizov formule. Vět (postčující podmínk pro integrovtelnost) Funkce f je n intervlu, b integrovtelná v Riemnnově smslu, splňuje-li lespoň jednu z podmínek: je spojitá n, b, je monotonní n, b, 3 je ohrničená n, b má zde konečný počet bodů nespojitosti.

6 Vlstnosti určitého integrálu Vět (vlstnosti určitého integrálu) Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu, b necht c R. Pk pltí [f() ± g()] d cf() d c f() d f() d ± g() d Vět (ditivit vzhledem k mezím) Necht f je funkce integrovtelná n intervlu, b. Bud c (, b) libovolné. Pk je funkce f integrovtelná n intervlech, c c, b pltí: f() d c f() d + c f() d. f() c b

7 Poznámk (výměn mezí určitého integrálu) Předpokládli jsme, že pro meze, b pltí nerovnost < b. Definici určitého integrálu rozšíříme i n přípd: > b, potom b, potom f() d f() d. b f() d, Obrácení mezí znmená u určitého integrálu změnu znménk. Výpočet určitého integrálu Vět (Newton - Leibnizov formule) Necht funkce f je integrovtelná n intervlu, b. Necht funkce F je primitivní funkce k funkci f spojitá n intervlu, b. Pk pltí f() d [F ()] b F (b) F (). Vět dává návod, jk počítt určitý integrál pomocí neurčitého integrálu. Njdeme primitivní funkci F k f, tj. vpočteme neurčitý integrál. Do primitivní funkce F dosdíme horní dolní mez integrálu určitého získné hodnot odečteme.

8 Příkld (výpočet určitého integrálu) [ ( 3 + ) d π sin d [ cos ] π ] ( ) ( 3 + ) cos π ( cos ) ( ) 3 d + [ ln + ] ln ln ln Metod per prtes pro určitý integrál Vět (metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí n intervlu, b spojité derivce. Pk pltí u ()v() d [ u()v() ] b u()v () d. Příkld (metod per prtes pro určitý integrál) π sin d v v u sin u cos ( π cos π + cos ) + [ sin ] π [ cos ] π π cos d π + (sin π sin ) π

9 Substituční metod pro určitý integrál Vět (substituční metod pro určitý integrál) Necht funkce f je spojitá n intervlu, b necht funkce ϕ má spojitou derivci ϕ n intervlu α, β. Dále předpokládejme, že ϕ() b pro α, β. Pk pltí β α f [ ϕ() ] ϕ () d ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. Uvedený vzorec lze použít zlev doprv (. substituční metod) nebo zprv dolev (. substituční metod). t ϕ() Substituci provádíme podle schémtu dt ϕ () d α t ϕ(α) β t ϕ(β) Je nutné určit nové meze integrálu (trnsformovt meze). Stré meze α, β jsou pro původní proměnnou, nové meze ϕ(α), ϕ(β) jsou pro novou proměnnou t. Výhodou je, že po substituci se nemusíme vrcet k původní proměnné. Příkld (substituční metod pro určitý integrál - trnsformce mezí) π t sin sin 3 dt cos d cos d t sin π t sin π [ t t 3 4 dt 4 ] 4 4 t t d + d t dt t t + t dt 4 t ( ) dt [ t ln + t ] + t [ ( ln 3) ( ln ) ] ( + ln ) + ln 4 3 9

10 Příkld (bez trnsformce mezí - pomocí neurčitého integrálu) π [ ] sin 3 cos d t sin t dt cos d t 3 4 dt sin4 + c 4 4 [ sin sin 3 4 ] π cos d sin4 π sin d + t t d t dt [ t ln + t ] ( ln + ) + c 4 d + [ ln + ] 4 ( + ln ) + ln ( t + t dt ) + t [( ln 3) ( ln )] dt Geometrické plikce určitého integrálu Obsh rovinného obrzce I Obsh obrzce pod křivkou f() Je-li funkce f je nezáporná spojitá n intervlu, b, pk obsh S rovinného obrzce ohrničeného grfem funkce f(), osou přímkmi, b je roven: S f() d f() f() f() S S S b b b

11 Poznámk (obsh rovinného obrzce) Pokud je funkce f n intervlu, b pouze spojitá je zde nekldná nebo mění v tomto intervlu znménko, je obsh S příslušného obrzce roven: S f() d f() + + c d b S c f() d + d c f() d + d f() d Obsh rovinného obrzce II Obsh obrzce mezi dvěm křivkmi f() g() Jsou-li f g jsou spojité funkce tkové, že f() g() n intervlu, b, pk obsh S rovinné oblsti ohrničené grf funkcí f() shor, g() zdol přímkmi b je roven: S [f() g()] d f() f() f() S g() b S g() b S b g()

12 Příkld (č. obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkou + 4 osmi souřdnic S d [( + 4) 3 3 ] 4 3 [ ( + 4) 3 ] 4 3 ( 4 3 ) 6 3 Příkld (č. obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného funkcí sin osou n intervlu, π. sin π π S π sin d π sin d + π π sin d [ [ cos ]π + π cos ] π ( cos π + cos ) + cos π + cos π

13 Příkld (č. 3 obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi,, 3. [ ] 3 + [ln ] 3 ( 4 ) průsečík: + ( ), (nevhovuje) S S + S ( ) d + ( ) 3 d + ln ln + ln Příkld (č. 4 obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi e, e. e S e ( e e ) d [ e ( e )] [ e + e ] ( e + e ) ( e + e ) e + e

14 Příkld (č. 5 obsh obrzce) Vpočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi + 4. průsečík: ] 4 [ ( 64 ) , 4 S ( )( 4) ( + 4 ) ( ) d ( + 5 4) d ( ) ( ) 4 ( ) 4 9 Geometrické plikce určitého integrálu Objem rotčního těles I Objem rotčního těles, které vznikne rotcí obrzce pod křivkou f() Necht f je nezáporná spojitá funkce n intervlu, b. Objem V rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného grfem funkce f() shor, osou zdol přímkmi, b ze strn kolem os, je roven: V π f () d f() f() b z b

15 Objem rotčního těles II Objem rotčního těles, které vznikne rotcí obrzce mezi dvěm křivkmi Necht f g jsou nezáporné spojité funkce f() g() n intervlu, b. Objem V rotčního těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného grf funkcí shor f(), zdol g() ze strn přímkmi b kolem os, je roven: V π [ f () g () ] d f() g() b z f() g() b Příkld (č. objem rotčního těles) Vpočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotcí vznčeného půlkruhu kolem os. kružnice se středem v počátku o poloměru r: r + r r r hrniční horní půlkružnice: + r V π π r r [(r 3 r3 3 ( r ) d π r ) r )] ( r 3 + r3 π 3 ( r ) d π ) (r 3 r πr3 ] r [r 3 3 r

16 Příkld (č. objem rotčního těles) Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí obrzce ohrničeného křivkmi, ( ) kolem os. z ( ) průsečík: ( ) +, ( ) ( V π ) ( ) 4 ( d π + 4 ( ) 4) d ] [ ( π [ ( )5 π ) ( ( 5 ) )] π Příkld (č. 3 objem rotčního těles) Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí obrzce ohrničeného křivkmi sin, cos, kolem os. sin π 4 π π cos z - π 4 π 4 ( V π cos sin ) d π π (sin π ) sin π ( ) π cos d π [sin ] π 4

17 Nevlstní integrál Při definici Riemnnov určitého integrálu předpokldů: integrční intervl, b bl konečný, funkce f bl n uvedeném intervlu ohrničená. f() d se vcházelo ze dvou V přípdě, že některý z těchto předpokldů není splněn, mluvíme o nevlstních integrálech. Definice (nevlstní integrál) Integrál nebo f() d nzýváme nevlstní, pokud lespoň jedn z integrčních mezí, b je ± funkce f není n intervlu, b ohrničená. Bod, ve kterých funkce f není ohrničená, nevlstní bod ± nzýváme singulární bod. I. Nevlstní integrál vlivem meze horní mez je nevlstní f() t f() d lim f() d t dolní mez je nevlstní t f() f() d lim f() d t t t b

18 Poznámk (konvergence divergence nevlstního integrálu) Říkáme, že nevlstní integrál konverguje, pokud je příslušná limit vlstní (tj. konečné číslo), diverguje, pokud limit neeistuje nebo je ±. Příkld (nevlstní integrál vlivem meze) Vpočtěte d. Funkce je pro, ) spojitá, ted t [ d lim d lim ] t lim ( t ) t t +. t Nevlstní integrál tudíž konverguje. Vpočtěte + d. Funkce je spojitá n R, ted + + d lim t t + d lim ( ( rctg t) π ) π t. Nevlstní integrál rovněž konverguje. lim [rctg t ] t 3 obě meze jsou nevlstní f() c Integrční intervl musíme rozdělit n dv intervl tk, b v kždém bl pouze jeden singulární bod: f() d c f() d + f() d, c kde c je libovolné reálné číslo. Dný nevlstní integrál pk konverguje, kdž konvergují ob nevlstní integrál n prvé strně.

19 Příkld (nevlstní integrál vlivem meze) Vpočtěte d. Funkce d lim t lim t lim t je spojitá n R (D 4 < ). t ( + ) + 4 [ rctg + ] u t ( rctg rctg t + (rctg ( π ) ) + Nevlstní integrál konverguje d + d + lim u [ + lim u ( + ) + 4 d ] u d rctg + ) + ( lim rctg u + rctg ) u ) π 4 + π 4 π ( π rctg Poznámk Pro funkci f spojitou n R pltí f() d lim F () lim F (), kde F je funkce primitivní k funkci f n R. Příkld (nevlstní integrál - obě nevlstní meze) e d lim e lim e. Nevlstní integrál diverguje.

20 II. Nevlstní integrál vlivem funkce funkce neohrničená v dolní mezi funkce neohrničená v horní mezi f() f() b b f() d lim f() d t + t t f() d lim f() d t b Příkld 3 Vpočtěte 3 d. Funkce je spojitá n intervlu, 3), 3 v bodě 3 je neohrničená, ted 3 t d lim d lim 3 t 3 3 [ln t 3 3 ]t lim (ln t 3 ln 3 ) ln 3. t 3 Nevlstní integrál tudíž diverguje. Vpočtěte Funkce d. není spojitá v bodě, proto d lim t + t d lim t + t ( ) d [ ] lim lim ( ) t + t t ( ). t + Nevlstní integrál konverguje.

21 3 funkce není ohrničená ve vnitřním bodě integrčního intervlu f() c b Integrční intervl rozděĺıme n dv intervl, kždý pouze s jedním singulárním bodem c f() d f() d + f() d c Nevlstní integrál pk konverguje, jestliže konvergují ob integrál n prvé strně. Příkld Vpočtěte + d. Funkce není spojitá v bodě, který je vnitřním bodem + integrčního intervlu,. Ted + d + d + + d t lim t + d + lim u + u + d ( + + d d ) d ln + + c + + lim t t + d lim [ ln + ] t t lim (t ln t + ( ln + )) ln t lim u + u + d lim [ ln + ] u + u lim u + ( ln + (u ln u + )) ln + Ob integrál divergují, proto nevlstní integrál tké diverguje.

22 Poznámk (geometrický význm nevlstních integrálů) Z geometrického hledisk pro nezápornou funkci předstvují nevlstní integrál obsh ploch, která je neohrničená. V přípdě, že nevlstní integrál je konvergentní, má dná ploch konečně velký obsh, divergentní, nemá dná ploch konečně velký obsh, tj. nelze ji změřit.

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018 Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30

Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30 Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert

Bardziej szczegółowo

Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.

Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1. Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19 (6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATIKA 3.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce

Bardziej szczegółowo

5. a 12. prosince 2018

5. a 12. prosince 2018 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže

Bardziej szczegółowo

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární

Bardziej szczegółowo

Úvodní informace. 18. února 2019

Úvodní informace. 18. února 2019 Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování

Bardziej szczegółowo

Matematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019

Matematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019 Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................

Bardziej szczegółowo

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)

Bardziej szczegółowo

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :

Bardziej szczegółowo

Příklad 1.2 Nalezněte obsah oblasti ohraničené křivkami y =lnx, y =ln 2 x.

Příklad 1.2 Nalezněte obsah oblasti ohraničené křivkami y =lnx, y =ln 2 x. Kpitol Aplikce určitého integrálu. Délk, obsh, objem Příkld. Nlezněte obsh oblsti ohrničené křivkmi xy 4, x + y 5. Návod. Soustv rovnice xy 4,x + y 5mádvěřešení[, 4] [4, ]. (viz obr.) Oblst ohrničená křivkmi

Bardziej szczegółowo

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst

Bardziej szczegółowo

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018 Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y

Bardziej szczegółowo

Matematika 2, vzorová písemka 1

Matematika 2, vzorová písemka 1 Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?

Bardziej szczegółowo

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16 Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 (1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,

Bardziej szczegółowo

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019 Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f

Bardziej szczegółowo

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Bardziej szczegółowo

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A 1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}

Bardziej szczegółowo

3.1 Derivace funkce Definice derivace Vlastnosti derivace Derivace elementárních funkcí... 49

3.1 Derivace funkce Definice derivace Vlastnosti derivace Derivace elementárních funkcí... 49 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Bardziej szczegółowo

(13) Fourierovy řady

(13) Fourierovy řady (13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1.5 Věty o střední hodnotě integrálu... 23

Obsah. 1.5 Věty o střední hodnotě integrálu... 23 Obsh Riemův itegrál. Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice...............2 Určitý itegrál jko limit poslouposti.................. 9.3 Vlstosti určitého itegrálu......................... 3.4 Výpočet určitého

Bardziej szczegółowo

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Bardziej szczegółowo

1 Soustava lineárních rovnic

1 Soustava lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html

Bardziej szczegółowo

Numerické metody minimalizace

Numerické metody minimalizace Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace

Bardziej szczegółowo

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální

Bardziej szczegółowo

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou. Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.

Bardziej szczegółowo

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument) KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A

Bardziej szczegółowo

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 (2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25

Bardziej szczegółowo

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské

Bardziej szczegółowo

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht množina bodů nespojitosti funkce f v má míru. Potom f je integrovatelná

Bardziej szczegółowo

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme

Bardziej szczegółowo

MATEMATICKÁ ANALÝZA II. Martin Klazar

MATEMATICKÁ ANALÝZA II. Martin Klazar MATEMATICKÁ ANALÝZA II (učebnice předběžná verze, červen 2019) Mrtin Klzr Obsh Předmluv Obsh přednášek zkoušk iv v Úvod 1 1 Primitivní funkce 3 1.1 Zákldní vlstnosti primitivních funkcí...............

Bardziej szczegółowo

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body. Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:

Bardziej szczegółowo

Linea rnı (ne)za vislost

Linea rnı (ne)za vislost [1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza II (NMUM102)

Matematická analýza II (NMUM102) Mtemtická nlýz II (NMUM102) Mrtin Rmoutil 2. července 2018 Kpitol 1 Hlubší věty o limitním chování funkcí 1.1 L Hospitlovo prvidlo V této první kpitole si dokážeme tk zvné L Hospitlovo prvidlo. To může

Bardziej szczegółowo

Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

Bardziej szczegółowo

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme

Bardziej szczegółowo

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter

Bardziej szczegółowo

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T

Bardziej szczegółowo

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace) Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice

Bardziej szczegółowo

YNUM - Numerická matematika

YNUM - Numerická matematika YNUM - Numerická mtemtik Ivn Pultrová 5. květn 009 Progrm (6 přednášek, 6 cvičení): Polynomiální interpolce, numerická integrce, chyb integrce. Metod nejmenších čtverců. Diskrétní Fourierov trnsformce.

Bardziej szczegółowo

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25

Bardziej szczegółowo

Minimalizace automatů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 2. října / 53

Minimalizace automatů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 2. října / 53 Minimlizce utomtů Z. Sw (VŠB-TUO) Teoretická informtik 2. říjn 2018 1/ 53 Minimlizce konečného utomtu Předpokládejme deterministický konečný utomt A = (Q,Σ,δ,q 0,F). Definice Stvy q,q Q nzýváme ekvivlentní,

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 2. Úlohy, otázky, aplikace

MATEMATIKA 2. Úlohy, otázky, aplikace MATEMATIKA Úlohy, otázky, plikce elektronický učební text Václv NÝDL, Rent KLUFOVÁ, Rdk ŠTĚPÁNKOVÁ Ktedr plikovné mtemtiky informtiky Ekonomická fkult, Jihočeská univerzit v Českých Budějovicích Tto publikce

Bardziej szczegółowo

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2. Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................

Bardziej szczegółowo

Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.

Teorie.   kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje. 8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě

Bardziej szczegółowo

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,

Bardziej szczegółowo

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 2016-2017 ( ) Numerické metody a statistika 2016-2017 1 / 17 Číslo předmětu: 714-0781/02 Rozsah: 2+2 Hodnocení: 6 kreditů Přednáší: Radek Kučera

Bardziej szczegółowo

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ]. II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.

Bardziej szczegółowo

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52 í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr

Bardziej szczegółowo

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.

Bardziej szczegółowo

Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace

Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více

Bardziej szczegółowo

Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik

Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není

Bardziej szczegółowo

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura

Bardziej szczegółowo

Referenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Referenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Souřadnice na elipsoidu Zeměpisné souřadnice Kartografické souřadnice Izometrické (symetrické) souřadnice Pravoúhlé a polární souřadnice 3 Ortodroma Loxodroma

Bardziej szczegółowo

DFT. verze:

DFT. verze: Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály

Bardziej szczegółowo

Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,

Bardziej szczegółowo

Matematika III Stechiometrie stručný

Matematika III Stechiometrie stručný Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup

Bardziej szczegółowo

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7 Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí

Bardziej szczegółowo

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010 Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010

Bardziej szczegółowo

Škola matematického modelování 2017

Škola matematického modelování 2017 Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2017 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Katedra

Bardziej szczegółowo

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,

Bardziej szczegółowo

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006 Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny. MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D.   pf.jcu.cz Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/

Bardziej szczegółowo

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy! Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.

Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a. Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít

Bardziej szczegółowo

Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace

Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace 1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková

Bardziej szczegółowo

1 Derivace funkce a monotonie

1 Derivace funkce a monotonie MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

Kapitola 2. Nelineární rovnice

Kapitola 2. Nelineární rovnice Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné

Bardziej szczegółowo

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný

Bardziej szczegółowo

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Bardziej szczegółowo

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza II

Matematická analýza II Mtemtická lýz II Edit Peltová ktedr mtemtiky Fkult jderá fyzikálě ižeýrská ČVUT Trojov 3, 20 00 Prh Předmluv Skriptum je určeo studetům prvího ročíku FJFI jko učebí pomůck k předáškám z mtemtické lýzy.

Bardziej szczegółowo

2 Sférická trigonometrie. Obsah. 1 Základní pojmy. Kosinová věta pro stranu. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

2 Sférická trigonometrie. Obsah. 1 Základní pojmy. Kosinová věta pro stranu. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Referenční plochy, souřadnicové soustavy Důležité křivky - loxodroma, ortodroma Kartografická zobrazení,

Bardziej szczegółowo

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid

Bardziej szczegółowo

Rovnice proudění Slapový model

Rovnice proudění Slapový model do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,

Bardziej szczegółowo

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Bardziej szczegółowo

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,

Bardziej szczegółowo

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.

Bardziej szczegółowo

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza 2. Kubr Milan

Matematická analýza 2. Kubr Milan Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................

Bardziej szczegółowo

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na

Bardziej szczegółowo

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Petr Beremlijski, Marie Sadowská Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování

Bardziej szczegółowo

(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.

(A B) ij = k. (A) ik (B) jk. Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!

Bardziej szczegółowo

1 Dedekindovy řezy (30 bodů)

1 Dedekindovy řezy (30 bodů) Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval

Bardziej szczegółowo

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D. Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i

Bardziej szczegółowo

Hana Marková Pseudospektrum matice

Hana Marková Pseudospektrum matice Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Hana Marková Pseudospektrum matice Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc. Studijní

Bardziej szczegółowo

NÁVOD K POUŽITÍ KEZELÉSI KÉZIKÖNYV INSTRUKCJA OBSŁUGI NÁVOD NA POUŽÍVANIE. Česky. Magyar. Polski. Slovensky

NÁVOD K POUŽITÍ KEZELÉSI KÉZIKÖNYV INSTRUKCJA OBSŁUGI NÁVOD NA POUŽÍVANIE. Česky. Magyar. Polski. Slovensky CANON INC. 30-2 Shimomaruko 3-chome, Ohta-ku, Tokyo 146-8501, Japan Europe, Africa & Middle East CANON EUROPA N.V. PO Box 2262, 1180 EG Amstelveen, The Netherlands For your local Canon office, please refer

Bardziej szczegółowo

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010

Bardziej szczegółowo