Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.

Transkrypt

1 Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé integrce, metodu per prtes substituční metodu k výpočtu neurčitých integrálů použít Newton-Leibnizův vzorec k výpočtu určitého integrálu vypočítt určitý integrál pomocí metody per prtes substituční metody vypočítt obsh plochy ohrničené grfem funkce, osou x svislými přímkmi x x b vypočítt obsh plochy ohrničené grfy dvou více funkcí vypočítt obsh plochy ohrničené grfem funkce uvedené v polárních souřdnicích rozumět pojmu střední hodnot funkce n dném intervlu vypočítt střední hodnotu funkce n uvedeném intervlu vypočítt přibližnou hodnotu určitého integrálu pomocí Simpsonov prvidl.. Motivční úloh Příkld.. Dle dostupných údjů lze předpokládt, že pokud bude zchován součsný objem těžby ropy, bude možné těžit ropu ještě 5 let. Jk se tto dob změní, vzroste-li objem těžby ropy o p % ročně oproti stvu v předchozím roku? Příkld.. Jký konkrétní význm lze přisoudit obshu níže vyznčených ploch? Viz Obrázek. Obrázek : Grfy k ilustrční úloze

2 Mtemtik I (KMI/PMATE)..3 Neurčitý integrál Definice... Funkci F (x) nzveme primitivní funkcí k funkci f(x) n otevřeném intervlu J, jestliže pro všechn čísl x J pltí rovnost F (x) f(x). Množinu všech primitivních funkcí k funkci f(x) n intervlu J nzýváme neurčitým integrálem funkce f(x) oznčujeme ji symbolem f(x). Funkce f(x) se nzývá integrnd symbol integrční znk. Místo výrzu f(x) občs použijeme zápis f nebo f. Pokud je F (x) primitivní funkcí k f(x), pk pltí f(x) F (x) + C, x J, kde C je libovolné reálné číslo nzývné integrční konstnt. Tbulkové integrály Pro n pltí x n xn+ n + + C n kždém otevřeném intervlu J, n kterém je funkce x n definovná spojitá. Pro n pltí x x n kždém otevřeném intervlu J, kde x. e x e x + C. ln x + C x x + C, >,. ln sin x cos x + C. cos x sin x + C. cos x tg x + C, n kždém otevřeném intervlu J, kde x (k + ) π, (k Z).

3 Mtemtik I (KMI/PMATE) 3 sin cotg x + C, n kždém otevřeném intervlu J, kde x kπ, (k x Z). ( x ) rcsin x + C rccos x + C, x <. (x ) ln x + (x ) + C, n kždém otevřeném intervlu J, kde x >. (x + ) ln x + (x + ) + C. + x rctg x + C rccotgh x + C...4 Vlstnosti neurčitých integrálů Vět... Integrál z lineární kombince funkcí Existují-li n otevřeném intervlu J neurčité integrály funkcí f (x), f (x),..., f n (x) jsou-li c, c,..., c n libovolné reálné konstnty, pk n intervlu J existuje i neurčitý integrál funkce c f + c f c n f n pltí [c f (x) + c f (x) c n f n (x)] c f (x) + c f (x) c n f n (x). Vět..3. Ke kždé spojité funkci n otevřeném intervlu J existuje primitivní funkce...5 Přímá integrce Příkld.3. 6x 6 x + x 3 x + x 6 x3 3 x3 +C ( ) x x C ( ) x C x3 3 + x4 4 + C 7x 3 + 5x 4x x x3 3 4 x + 5x + C x 4 x 4 ( x + + x 4 x + x + + ) x 4 x + x + + x + ( x ) ( x + ) x + + x + x + x3 x + 3 x + rctg x + C

4 4 Mtemtik I (KMI/PMATE)..6 Metod per prtes Jestliže funkce u v proměnné x mjí n otevřeném intervlu J spojité derivce, pk n intervlu J pltí u(x)v (x) u(x)v(x) u (x)v(x), neboli v stručném vyjádření uv uv u v. Tento způsob výpočtu neurčitého integrálu se nzývá metod integrování per prtes (po částech). (uv) u v + uv (uv) u v + uv u v + uv uv Příkld.4. x e x u x, v e x u, v e x x e x e x x e x e x + C x e x u x, v e x u x, v e x x e x x e x (x e x e x ) e x ( x x + ) + C x e x x e x x e x x ln x u ln x, v x u x, v x x x ln x x ln x x ln x x x x x ln x x x ln x x 4 + C ln x ln x u ln x, v u x, v x x ln x x x x ln x x ln x x + C..7 Substituční metod Vět..4. Necht funkce F (t) je primitivní funkcí k funkci f(t) n intervlu (, β), necht funkce g(x) má derivci g (x) n intervlu (, b) přičemž pro všechn x (, b) je g(x) (, β). Pk n intervlu (, b) je funkce F (g(x)) primitivní funkcí k funkci f[g(x)]g (x), neboli pro všechn x (, b) je f[g(x)]g (x) F [g(x)] + C. Pro výpočet neurčitých integrálů je výhodnější zpst tvrzení věty v tomto tvru: f[g(x)]g g(x) t (x) g f(t) dt. (x) dt

5 Mtemtik I (KMI/PMATE) 5..8 Integrnd tvru f[g(x)]g (x) (x + 5) 3 x x + 5 t t 3 dt t4 x dt 4 (x + 5) 4 + C 4 ln x x ln x x sin 3 x cos x 4 8x x + t dt 4 t sin x t cos x dt x + t x dt..9 Integrnd tvru f(x) ln x t x dt t dt t t 3 dt t4 4 sin4 x 4 4 x x t 8 t 8 x + + C (ln x) dt t V některých příkldech je jednodušší místo neurčitého integrálu f(x) počítt integrál, který získáme substitucí x g(t). Je f(x) x g(t) g f[g(t)] g (t) dt. (t) dt + C + C Příkld.5. x + rctg t rctg x + C x t dt t + dt t + dt.. Určitý integrál Definice..5. Necht J je otevřený intervl. Necht F je primitivní funkce k funkci f n intervlu, b J. Potom symbol (N ) b f(x) nzýváme (Newtonův) určitý integrál definujeme jej vzthem (N ) b f(x) F (b) F (). V celém následujícím textu budeme předpokládt, že všechny integrovné funkce jsou integrovtelné n otevřených intervlech dných mezemi určitých integrálů. V konkrétních přípdech vždy nutno ověřit. Oznčme výrz F (b) F () symbolem [ F (x) ] b. Je tedy npříkld [ x ] π/ [ x x ] [ x x 3 3 ] ( sin x [ cos x] π/ cos π ) ( cos ) ( )

6 6 Mtemtik I (KMI/PMATE).. Vlstnosti určitého integrálu Vět..6. b c f(x) c b f(x) c f(x) c f(x) cf (x) b c f(x) [cf (x)] b c F (b) c F () c ( F (b) F () ) c Vět..7. f(x) f(x) F () F (). b f(x) Vět..8. b f(x) b f(x) b f(x) F (b) F () ( F () F (b) ) b f(x). Vět..9. b f(x) c f(x) + b c f(x), c (, b) c f(x) + F (b) F () b c b f(x) ( F (c) F () ) + ( F (b) F (c) ) f(x) Vět... b f(x) + g(x) b f(x) + b g(x) Je f + g f + g F (x) + G(x), b f(x) + g(x) ( F (b) + G(b) ) ( F () + G() ) ( ) ( ) b F (b) F () + G(b) G() f(x) + Metod Per prtes b g(x) Vět... Metod per prtes pro určitý integrál Necht funkce u(x) v(x) mjí spojité derivce pro všechn x, b. Potom pltí b u(x) v (x) [ ] b u(x) v(x) b u (x) v(x) Příkld.6. [ e e e ] e x e x [x e x] e x [ e ] [ e ] [e x]

7 Mtemtik I (KMI/PMATE) 7 Substituční metod Vět... Necht y f(t) je spojitá funkce n intervlu, β necht funkce g(x) má spojitou derivci pro všechn x, b, pltí g(), g(b) β je g(x) β pro všechn x, b. Potom je b f(g(x))g (x) β f(t) dt. Příkld.7. e x + e x + ex t e x dt [ ln t ] +e ln( + e) ln + e β + e + e +e t dt.. Aplikce určitého integrálu Vět..3. Určitý integrál Uvžujme funkci f(x), spojitou kldnou n intervlu, b. Necht P je ploch ohrničená osou x, grfem funkce f(x) přímkmi x x b. Potom obsh S(P ) plochy P je roven hodnotě určitého integrálu S(P ) b f(x). S(P ) x Příkld.8. Vypočtěte obsh plochy ohrničené grfem funkce f(x) x pro x,. [ x x 3 3 ] Obsh plochy ohrničené osou x, grfem funkce f(x) x přímkou x je roven 3 j.

8 8 Mtemtik I (KMI/PMATE) Příkld.9. Vypočtěte obsh plochy ohrničené grfem funkce f(x) sin x n první periodě, tj. n intervlu, π. π sin x [ cos x ] π cos(π) ( cos()) () ( ) + Je možné, by obsh tkovéto plochy byl roven nule??? Nejsou splněny předpokldy výchozí věty, tj. funkce f(x) není nezáporná n intervlu, π...3 Riemnnův určitý integrál Kromě Newtonov integrálu existují ještě dlší druhy integrálů, které vhodně rozšiřují možnosti tohoto prátu. V rámci definice riemnnov určitého integrálu prcujeme s pojmy dolní riemnnův horní riemnnův integrál. Jsou-li si obě hodnoty rovny, říkáme, že funkce f(x) je riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b. f(x) x f(x) V přípdě, kdy je f(x) < je součin f(x) x záporný obsh příslušného obdélníku se odečítá od celkové hodnoty. Výsledná hodnot potom neodpovídá obshu plochy. V přípdě, kdy intervl, b obshuje x s kldnou i zápornou funkční hodnotou, je nutné rozdělit tento intervl n podintervly, n kterých má funkce stejné znménko funkční hodnoty. Je zřejmé, že tyto podintervly jsou řešením nerovnic f(x) f(x). N těchto intervlech potom vypočteme hodnoty jednotlivých obshů jejich sečtením určíme celkový obsh plochy. Přitom pltí, že pro všechn x c, d, ve kterých je

9 Mtemtik I (KMI/PMATE) 9 f(x) je obsh S(P ) roven S(P ) d c f(x). Příkld.. Vypočtěte obsh plochy ohrničené grfem funkce f(x) (x 9) 5, osou x přímkmi x 3 x 3. Řešením nerovnice f(x), tj. (x 9) 5 jsou všechn x,. Řešením nerovnice f(x), tj. (x 9) 5 jsou všechn x 3, x, 3. S(P ) 3 f(x) + f(x) 3 f(x) Vět..4. Výpočet obshu plochy Obsh S(P ) obrzce P, ohrničeného přímkmi x, x b grfy funkcí y f(x), y g(x), spojitých n intervlu, b tkových, že pro všechn x, b je g(x) f(x), je roven S(P ) b [f(x) g(x)]. Příkld.. Vypočtěte obsh S(P ) plochy ohrničené grfy funkcí f(x) x + 6x g(x) x x + 5. Integrční meze jsou zde body pro které je f(x) g(x). Řešením rovnice x + 6x x x + 5 jsou x x 5. Musíme zjistit, která funkce má v intervlu, 5 větší funkční hodnoty. Je f(3),

10 Mtemtik I (KMI/PMATE) g(3) 3. Pro x, 5 : f(x) g(x). S(P ) f(x) g(x) x + 6x ( x x + 5 ) 3x + 8x 5 [ x 3 + 9x 5x ] ( ) Funkce v polárních souřdnicích V některých přípdech vyjdřujeme polohu bodu A v souřdných osách jiným způsobem než pomocí souřdnic x y. Jedn z možností je vyjádření polohy bodu A pomocí jeho vzdálenosti r od počátku (bodu [, ]) úhlu ϕ, který svírá tzv. průvodič bodu A (tj. úsečk spojující bod A s počátkem) s osou x. V tkovém přípdě říkáme, že poloh bodu A je vyjádřen v polárních souřdnicích. Vět..5. Výpočet obshu plochy Obsh S(P ) plochy P, ohrničené grfem spojité nezáporné funkce r f(ϕ) průvodiči bodů A, B křivky s polárními úhly ϕ, ϕ β, přičemž je < β, β π, se rovná S(P ) β r dϕ.

11 Mtemtik I (KMI/PMATE) Příkld.. Vypočtěte vzorec pro výpočet obshu plochy ohrničené jednotkovou kružnicí dvěmi přímkmi procházejícími počátkem svírjícími s osou x úhly β. S(P ) β r dϕ β dϕ ] β ϕ [ (β ) Příkld.3. Vypočtěte vzorec pro výpočet obshu plochy ohrničené kružnicí o poloměru r dvěmi přímkmi procházejícími počátkem svírjícími s osou x úhly β. S(P ) β r dϕ β r dϕ r[ ϕ ] β r (β ) Pro kruh je, β π, (β ) π π, S(P ) r π πr Příkld.4. Výpočet obshu plochy Určete vzorec pro výpočet obshu plochy ohrničené svislou přímkou x R dvěmi přímkmi procházejícími počátkem svírjícími s osou x úhly β. Z goniometrie pltí: cos ϕ R r, r S(P ) β r dϕ β R cos ϕ R β R cos dϕ ϕ cos ϕ dϕ R [ ] β tg ϕ R (tg β tg )

12 Mtemtik I (KMI/PMATE)..4 Střední hodnot Definice..6. Je-li funkce f(x) spojitá v intervlu, b, potom číslo ξ b b f(x) nzýváme střední hodnot funkce f(x) v intervlu, b. Příkld.5. Vypočtěte střední hodnotu funkce f(x) sin x v intervlu, π. ξ π π π ( ( ) ( )) π sin x [ ] π cos x π ( cos π ( cos )) π., Numerický výpočet určitého integrálu - Simpsonův vzorec Vět..7. Simpsonův vzorec Necht n k funkce f(x) je spojitá má derivce lespoň 4. řádu n uzvřeném intervlu, b. Oznčme h b n, x i + ih, kde i,,..., n, n f i f(x i ). Potom je b f(x). h 3 [(f + f n ) + (f + f f k ) + 4(f + f f k )]. Příkld.6. Vypočteme x. Položme n. Je h. x f(x) ( ) ( + ) + ( ) + 4( ) 3.. ( )