podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
|
|
|
- Natalia Judyta Skiba
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
2 Leonhard Euler předložil petrohradské akademii úlohu o 36 důstojnících: Sestavte 36 důstojníků 6 různých hodností ze 6 různých pluků do čtverce tak, aby v každé řadě a v každém zástupu byli důstojníci všech hodností a všech pluků! (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
3 Leonhard Euler předložil petrohradské akademii úlohu o 36 důstojnících: Sestavte 36 důstojníků 6 různých hodností ze 6 různých pluků do čtverce tak, aby v každé řadě a v každém zástupu byli důstojníci všech hodností a všech pluků! (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
4 Jacques Ozanam Euler znal pravděpodobně Ozanamovu úlohu z knihy Recréations mathématiques et physiques z roku 1723: Vyložte 16 vysokých karet esa A, krále K, dámy D a kluky B jedné karetní hry o čtyřech barvách do čtverce se 4 řádky a 4 sloupci tak, aby každý řádek a každý sloupec obsahoval všechny barvy a všechny výšky karet! (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
5 Jacques Ozanam Euler znal pravděpodobně Ozanamovu úlohu z knihy Recréations mathématiques et physiques z roku 1723: Vyložte 16 vysokých karet esa A, krále K, dámy D a kluky B jedné karetní hry o čtyřech barvách do čtverce se 4 řádky a 4 sloupci tak, aby každý řádek a každý sloupec obsahoval všechny barvy a všechny výšky karet! (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
6 Latinské čtverce Definice: Matice řádu n z prvků z A, kde #A = n, kde v každém řádku a v každém sloupci všechny prvky. Věta: Pro každé n N existuje latinský čtverec řádu n n 1 n n n n 2 n 1 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
7 Latinské čtverce Definice: Matice řádu n z prvků z A, kde #A = n, kde v každém řádku a v každém sloupci všechny prvky. Věta: Pro každé n N existuje latinský čtverec řádu n n 1 n n n n 2 n 1 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
8 Ortogonální latinské čtverce Definice: Latinské čtverce (a ij ),(b ij ) řádu n, pro které se v matici (a ij,b ij ) vyskytuje každý prvek z A B právě jednou. Příklad: (a ij ) = 2 3 1, (b ij ) = 1 3 2, 1,3 2,2 3,1 (a ij,b ij ) = 2,1 3,3 1, ,2 1,1 2,3 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
9 Ortogonální latinské čtverce Definice: Latinské čtverce (a ij ),(b ij ) řádu n, pro které se v matici (a ij,b ij ) vyskytuje každý prvek z A B právě jednou. Příklad: (a ij ) = 2 3 1, (b ij ) = 1 3 2, 1,3 2,2 3,1 (a ij,b ij ) = 2,1 3,3 1, ,2 1,1 2,3 Proč OG? Otočením latinského čtverce lichého řádu n 1 n n n n 2 n 1 kolem středu o 90 vznikne dvojice OG latinských čtverců. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
10 Ortogonální latinské čtverce Definice: Latinské čtverce (a ij ),(b ij ) řádu n, pro které se v matici (a ij,b ij ) vyskytuje každý prvek z A B právě jednou. Příklad: (a ij ) = 2 3 1, (b ij ) = 1 3 2, 1,3 2,2 3,1 (a ij,b ij ) = 2,1 3,3 1, ,2 1,1 2,3 Proč OG? Otočením latinského čtverce lichého řádu n 1 n n n n 2 n 1 kolem středu o 90 vznikne dvojice OG latinských čtverců. 1.úloha: Proč platí? A proč pro lichá? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
11 Ortogonální latinské čtverce Definice: Latinské čtverce (a ij ),(b ij ) řádu n, pro které se v matici (a ij,b ij ) vyskytuje každý prvek z A B právě jednou. Příklad: (a ij ) = 2 3 1, (b ij ) = 1 3 2, 1,3 2,2 3,1 (a ij,b ij ) = 2,1 3,3 1, ,2 1,1 2,3 Proč OG? Otočením latinského čtverce lichého řádu n 1 n n n n 2 n 1 kolem středu o 90 vznikne dvojice OG latinských čtverců. 1.úloha: Proč platí? A proč pro lichá? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
12 Přeformulování Eulerovy úlohy Sestavte 36 důstojníků 6 různých hodností ze 6 různých pluků do čtverce tak, aby v každé řadě a v každém zástupu byli důstojníci všech hodností a všech pluků! Zkonstruujte OG latinské čtverce řádu 6! Poznámka: OG latinské čtverce se nazývají i řecko-latinské či Eulerovy. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
13 Přeformulování Eulerovy úlohy Sestavte 36 důstojníků 6 různých hodností ze 6 různých pluků do čtverce tak, aby v každé řadě a v každém zástupu byli důstojníci všech hodností a všech pluků! Zkonstruujte OG latinské čtverce řádu 6! Poznámka: OG latinské čtverce se nazývají i řecko-latinské či Eulerovy. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
14 Existence OG latinských čtverců řádu n pro n = 2 neexistují ( ) 1 2 (a ij ) =, (b 2 1 ij ) = (a ij ) = ( ) 1 2, (b 2 1 ij ) = Ozanam: pro n = 4 existují ( ) 1 2, (a 2 1 ij,b ij ) = ( ) 2 1, (a 1 2 ij,b ij ) = ( ) ( ) (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
15 Existence OG latinských čtverců řádu n pro n = 2 neexistují ( ) 1 2 (a ij ) =, (b 2 1 ij ) = (a ij ) = ( ) 1 2, (b 2 1 ij ) = Ozanam: pro n = 4 existují ( ) 1 2, (a 2 1 ij,b ij ) = ( ) 2 1, (a 1 2 ij,b ij ) = ( ) ( ) (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
16 Existence OG latinských čtverců řádu n pro n liché existují: už známe konstrukci rotací o 90 fr vyslanec v Siamu S. de la Loubère roku : jiná konstrukce pomocí magických čtverců ) ( vsuvka: kolik je řádkový součet magického čtverce řádu n? odečteme od každého čísla jedničku a čísla vyjádříme v soustavě o základu 5 ( ) (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
17 Existence OG latinských čtverců řádu n pro n liché existují: už známe konstrukci rotací o 90 fr vyslanec v Siamu S. de la Loubère roku : jiná konstrukce pomocí magických čtverců ) ( vsuvka: kolik je řádkový součet magického čtverce řádu n? odečteme od každého čísla jedničku a čísla vyjádříme v soustavě o základu 5 ( ) úloha: Proč první konstrukce dává vždy magický čtverec a druhá OG latinské čtverce? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
18 Existence OG latinských čtverců řádu n pro n liché existují: už známe konstrukci rotací o 90 fr vyslanec v Siamu S. de la Loubère roku : jiná konstrukce pomocí magických čtverců ) ( vsuvka: kolik je řádkový součet magického čtverce řádu n? odečteme od každého čísla jedničku a čísla vyjádříme v soustavě o základu 5 ( ) úloha: Proč první konstrukce dává vždy magický čtverec a druhá OG latinské čtverce? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
19 Existence OG latinských čtverců řádu n Euler: pro n liché existují: ještě další konstrukce - tentokrát pomocí zbytkových tříd 0,0 0,1 0,2... 0,n 2 0,n 1 1,0 1,1 1,2... 1,n 2 1,n n 1,0 n 1,1 n 1,2... n 1,n 2 n 1,n 1 OG latinské čtverce jsou pak matice x + y mod n a x y mod n ) ), ( n 2 n n n n 3 n 2 ( 0 n 1 n n n 1 n 2 n (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
20 Existence OG latinských čtverců řádu n Euler: pro n liché existují: ještě další konstrukce - tentokrát pomocí zbytkových tříd 0,0 0,1 0,2... 0,n 2 0,n 1 1,0 1,1 1,2... 1,n 2 1,n n 1,0 n 1,1 n 1,2... n 1,n 2 n 1,n 1 OG latinské čtverce jsou pak matice x + y mod n a x y mod n ) ), ( n 2 n n n n 3 n 2 ( 0 n 1 n n n 1 n 2 n úloha: Proč bylo při konstrukci nutné n liché? Funguje konstrukce i pro nějaké sudé n? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
21 Existence OG latinských čtverců řádu n Euler: pro n liché existují: ještě další konstrukce - tentokrát pomocí zbytkových tříd 0,0 0,1 0,2... 0,n 2 0,n 1 1,0 1,1 1,2... 1,n 2 1,n n 1,0 n 1,1 n 1,2... n 1,n 2 n 1,n 1 OG latinské čtverce jsou pak matice x + y mod n a x y mod n ) ), ( n 2 n n n n 3 n 2 ( 0 n 1 n n n 1 n 2 n úloha: Proč bylo při konstrukci nutné n liché? Funguje konstrukce i pro nějaké sudé n? 4. úloha: Program vyrábějící k danému lichému n OG latinské čtverce řádu n. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
22 Existence OG latinských čtverců řádu n Euler: pro n liché existují: ještě další konstrukce - tentokrát pomocí zbytkových tříd 0,0 0,1 0,2... 0,n 2 0,n 1 1,0 1,1 1,2... 1,n 2 1,n n 1,0 n 1,1 n 1,2... n 1,n 2 n 1,n 1 OG latinské čtverce jsou pak matice x + y mod n a x y mod n ) ), ( n 2 n n n n 3 n 2 ( 0 n 1 n n n 1 n 2 n úloha: Proč bylo při konstrukci nutné n liché? Funguje konstrukce i pro nějaké sudé n? 4. úloha: Program vyrábějící k danému lichému n OG latinské čtverce řádu n. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
23 Existence OG latinských čtverců řádu n Eulerova hypotéza: pro n = 4k + 2, k = 0,1,2,... neexistují francouzský celní inspektor Gaston Tarry ( ) roku 1900 dokázal, že neexistují OG latinské čtverce 6. řádu, a to hrubou silou (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
24 Existence OG latinských čtverců řádu n Eulerova hypotéza: pro n = 4k + 2, k = 0,1,2,... neexistují francouzský celní inspektor Gaston Tarry ( ) roku 1900 dokázal, že neexistují OG latinské čtverce 6. řádu, a to hrubou silou (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
25 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
26 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
27 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. Poznámka 1: Pro n = mocnina prvočísla, n 2, se nabývá v předchozí větě rovnost. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
28 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. Poznámka 1: Pro n = mocnina prvočísla, n 2, se nabývá v předchozí větě rovnost. Konstrukce n 1 po dvou OG latinských čtverců pro n liché prvočíslo. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
29 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. Poznámka 1: Pro n = mocnina prvočísla, n 2, se nabývá v předchozí větě rovnost. Konstrukce n 1 po dvou OG latinských čtverců pro n liché prvočíslo. Berme b {1,2,...,n 1}. V matici ze zbytkových tříd píšeme na místě (x,y) hodnotu d x + by. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
30 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. Poznámka 1: Pro n = mocnina prvočísla, n 2, se nabývá v předchozí větě rovnost. Konstrukce n 1 po dvou OG latinských čtverců pro n liché prvočíslo. Berme b {1,2,...,n 1}. V matici ze zbytkových tříd píšeme na místě (x,y) hodnotu d x + by. Příklad pro n = 3: ( 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 ( 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 ) x + y ) x + 2y mod 3 mod 3 ( ) ( ) (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
31 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. Poznámka 1: Pro n = mocnina prvočísla, n 2, se nabývá v předchozí větě rovnost. Konstrukce n 1 po dvou OG latinských čtverců pro n liché prvočíslo. Berme b {1,2,...,n 1}. V matici ze zbytkových tříd píšeme na místě (x,y) hodnotu d x + by. Příklad pro n = 3: ( 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 ( 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 ) x + y ) x + 2y mod 3 mod 3 ( ) ( ) úloha: Proč konstrukce dává vždy n 1 po dvou OG latinských čtverců? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
32 Počet latinských a OG latinských čtverců řádu n Věta: Latinských čtverců řádu n je minimálně n!(n 1)!(n 2)!... 1! Pro n = 6 je tedy latinských čtverců nejméně 6!5!4!3!2!1! = Věta: Každá množina po dvou OG latinských čtverců řádu n má nejvýše n 1 prvků. Poznámka 1: Pro n = mocnina prvočísla, n 2, se nabývá v předchozí větě rovnost. Konstrukce n 1 po dvou OG latinských čtverců pro n liché prvočíslo. Berme b {1,2,...,n 1}. V matici ze zbytkových tříd píšeme na místě (x,y) hodnotu d x + by. Příklad pro n = 3: ( 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 ( 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 ) x + y ) x + 2y mod 3 mod 3 ( ) ( ) úloha: Proč konstrukce dává vždy n 1 po dvou OG latinských čtverců? (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
33 Existence OG latinských čtverců řádu n E. T. Parker roku 1959 vyvrátil Eulerovu hypotézu: konstrukce OG latinských čtverců řádu 22 R. C. Bose a S. S. Shrikhande roku 1960: OG latinské čtverce existují pro každé n > 2 a n 6 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
34 Existence OG latinských čtverců řádu n E. T. Parker roku 1959 vyvrátil Eulerovu hypotézu: konstrukce OG latinských čtverců řádu 22 R. C. Bose a S. S. Shrikhande roku 1960: OG latinské čtverce existují pro každé n > 2 a n 6 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
35 Konečná afinní rovina Definice: Bud A konečná neprázdná množina, R nějaký systém jejích neprázdných podmnožin. Prvky množiny A v dalším nazýváme body, prvky množiny R přímky. Dvojici (A, R) nazveme konečnou afinní rovinou, jestliže platí: 1 Každé dva různé body leží na právě jedné přímce. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
36 Konečná afinní rovina Definice: Bud A konečná neprázdná množina, R nějaký systém jejích neprázdných podmnožin. Prvky množiny A v dalším nazýváme body, prvky množiny R přímky. Dvojici (A, R) nazveme konečnou afinní rovinou, jestliže platí: 1 Každé dva různé body leží na právě jedné přímce. 2 Ke každému bodu x A a každé přímce p, x p, existuje právě jedna přímka q taková, že x q a p q =. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
37 Konečná afinní rovina Definice: Bud A konečná neprázdná množina, R nějaký systém jejích neprázdných podmnožin. Prvky množiny A v dalším nazýváme body, prvky množiny R přímky. Dvojici (A, R) nazveme konečnou afinní rovinou, jestliže platí: 1 Každé dva různé body leží na právě jedné přímce. 2 Ke každému bodu x A a každé přímce p, x p, existuje právě jedna přímka q taková, že x q a p q =. 3 Existují tři navzájem různé body, které neleží na jedné přímce. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
38 Konečná afinní rovina Definice: Bud A konečná neprázdná množina, R nějaký systém jejích neprázdných podmnožin. Prvky množiny A v dalším nazýváme body, prvky množiny R přímky. Dvojici (A, R) nazveme konečnou afinní rovinou, jestliže platí: 1 Každé dva různé body leží na právě jedné přímce. 2 Ke každému bodu x A a každé přímce p, x p, existuje právě jedna přímka q taková, že x q a p q =. 3 Existují tři navzájem různé body, které neleží na jedné přímce. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
39 Konečná afinní rovina o 9 bodech A = {(x,y) x,y {0,1,2}}, 12 přímek, z nich 3 rovnoběžky v každém směru: x 0, 1, 2 mod 3 y 0, 1, 2 mod 3 x + y 0,1,2 mod 3 x + 2y 0,1,2 mod 3 Tato konečná afinní rovina má 3 2 bodů a = 12 přímek. Na každé přímce leží 3 body a každým bodem prochází = 4 přímky. Všechny přímky lze rozdělit do = 4 směrů a každý směr obsahuje 3 rovnoběžky. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
40 Konečná afinní rovina o 9 bodech A = {(x,y) x,y {0,1,2}}, 12 přímek, z nich 3 rovnoběžky v každém směru: x 0, 1, 2 mod 3 y 0, 1, 2 mod 3 x + y 0,1,2 mod 3 x + 2y 0,1,2 mod 3 Tato konečná afinní rovina má 3 2 bodů a = 12 přímek. Na každé přímce leží 3 body a každým bodem prochází = 4 přímky. Všechny přímky lze rozdělit do = 4 směrů a každý směr obsahuje 3 rovnoběžky. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
41 Konečná afinní rovina Věta: Konečná afinní rovina (řádu n) má n 2 bodů a n 2 + n přímek. Na každé přímce leží n bodů a každým bodem prochází n + 1 přímek. Všechny přímky lze rozdělit do n + 1 směrů a každý směr obsahuje n rovnoběžek. Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
42 Konečná afinní rovina Věta: Konečná afinní rovina (řádu n) má n 2 bodů a n 2 + n přímek. Na každé přímce leží n bodů a každým bodem prochází n + 1 přímek. Všechny přímky lze rozdělit do n + 1 směrů a každý směr obsahuje n rovnoběžek. Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
43 Zlatá přilba 6. úloha: Pomocí konečné afinní roviny vymyslete spravedlivou startovací tabulku pro 16 jezdců na 4 drahách (vnitřní dráhy jsou výhodnější). (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
44 Existence konečné afinní roviny řádu n Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. Důsledek: Neexistuje konečná afinní rovina 6. řádu. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
45 Existence konečné afinní roviny řádu n Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. Důsledek: Neexistuje konečná afinní rovina 6. řádu. Věta: Je-li přirozené číslo n mocninou nějakého prvočísla, existuje konečná afinní rovina n-tého řádu. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
46 Existence konečné afinní roviny řádu n Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. Důsledek: Neexistuje konečná afinní rovina 6. řádu. Věta: Je-li přirozené číslo n mocninou nějakého prvočísla, existuje konečná afinní rovina n-tého řádu. Věta: Necht přirozené číslo n není součtem čtverců dvou přirozených čísel a necht n = 1 mod 4 nebo n = 2 mod 4. Pak neexistuje konečná afinní rovina řádu n. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
47 Existence konečné afinní roviny řádu n Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. Důsledek: Neexistuje konečná afinní rovina 6. řádu. Věta: Je-li přirozené číslo n mocninou nějakého prvočísla, existuje konečná afinní rovina n-tého řádu. Věta: Necht přirozené číslo n není součtem čtverců dvou přirozených čísel a necht n = 1 mod 4 nebo n = 2 mod 4. Pak neexistuje konečná afinní rovina řádu n. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
48 Idea důkazu Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. Vyberme 2 směry - vodorovné a svislé přímky. Uspořádejme body afinní roviny do čtverce: Ke každému ze zbývajících 3 směrů náleží latinský čtverec řádu 4: očíslujme přímky daného směru 0, 1, 2, 3 pro každý bod v tabulce pišme číslo přímky, na které leží vzniknou po dvou OG latinské čtverce (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
49 Idea důkazu Věta: Konečná afinní rovina řádu n > 2 existuje právě tehdy, když existuje n 1 latinských čtverců n-tého řádu, z nichž každé dva jsou navzájem OG. Vyberme 2 směry - vodorovné a svislé přímky. Uspořádejme body afinní roviny do čtverce: Ke každému ze zbývajících 3 směrů náleží latinský čtverec řádu 4: očíslujme přímky daného směru 0, 1, 2, 3 pro každý bod v tabulce pišme číslo přímky, na které leží vzniknou po dvou OG latinské čtverce (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
50 Konečná afinní rovina 10. řádu 7. úloha: Existuje konečná afinní rovina 10. řádu? Stačí najít devět navzájem OG latinských čtverců 10. řádu. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
51 Konečná afinní rovina 10. řádu 7. úloha: Existuje konečná afinní rovina 10. řádu? Stačí najít devět navzájem OG latinských čtverců 10. řádu. Tento úkol neberte vážně: latinských čtverců řádu 10 je minimálně 10!9!8!7!6!5!4!3!2!1!. = 6, (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
52 Konečná afinní rovina 10. řádu 7. úloha: Existuje konečná afinní rovina 10. řádu? Stačí najít devět navzájem OG latinských čtverců 10. řádu. Tento úkol neberte vážně: latinských čtverců řádu 10 je minimálně 10!9!8!7!6!5!4!3!2!1!. = 6, (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
53 Děkuji za pozornost. (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince / 20
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Kombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
![Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)](/thumbs/95/126221157.jpg "Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)")
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Pracovní listy. Stereometrie hlavního textu
v tomto dodatu jsou sebrána zadání všech úloh řešených v aitolách Planimetrie a tereometrie hlavního textu slouží ta jao racovní listy samostatnému rocvičení uvedených úloh Zracoval Jiří Doležal 1 eznam
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets
Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:
Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Kombinatorika a komplexní aritmetika
a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou
6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Zobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Nekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Univerzita Palackého v Olomouci
Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly
Základy obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
NDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
![x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].](/thumbs/94/121813288.jpg "x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].")
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Petr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156
Vysvětlování modelovacích chyb Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Co nás čeká 1 Konjunktivní dotazy 2 Vyhodnocování konjunktivních dotazů v jazyce ALC
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ę Ą Ę ŚĘ Ę Ś ń Ę Ę Ą Ł Ż Ń Ł ć Ą ć Ł Ę Ó ć Ź ć ź ń Ń ń Ś Ą Ę Ł Ę Ą Ę ń ć ń Ź ć ń ć ń Ś ń ŚĆ ć ź Ł Ę Ę Ś Ę Ę Ę ń ŚĘ Ń Ę Ę ń ŚĘ Ę Ę Ś Ś ć ń Ę ń Ś Ę ć ć Ę Ę ć ź ć ń Ę Ń ń ć Ł Ę Ę Ę Ę ć Ę ć ć ź
Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 1 1/20
Lineární kódy, část 1 Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 7.1.2016: Lineární kódy, část 1 1/20 Dnešní přednáška 1 Základní myšlenky
Matematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Poznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice
MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Matematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019
Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................
Kompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
GEOMETRIE. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ / /0016. základu studia.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA GEOMETRIE Jiří Doležal Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijní opory s převažujícími distančními
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Úvod do Informatiky (FI:IB000)
Fakulta Informatiky Masarykova Univerzita Úvod do Informatiky (FI:IB000) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. hlineny@fi.muni.cz 15. března 2010 Obsažný a dobře přístupný úvod do nezbytných formálních matematických
Referenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Souřadnice na elipsoidu Zeměpisné souřadnice Kartografické souřadnice Izometrické (symetrické) souřadnice Pravoúhlé a polární souřadnice 3 Ortodroma Loxodroma
Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Rozvíjení matematických talentů. kolektiv autorů. Praha 2019
Rozvíjení matematických talentů na středních školách I kolektiv autorů Praha 2019 Publikace byla vydána v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání (OP VVV) a jeho projektu Zvyšování kvality
Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 1 / 26
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové