Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)

Transkrypt

1 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice a operace s polynomy Racionální lomené funkce 4 Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Exponenciální funkce Logaritmické funkce Mocninná funkce c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Množinové operace Množinové operace Operace x A (prvek) A B (podmnožina) A B (vlastní podmnožina) A B = {[a, b] : a A, b B} A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} (kartézský součin) (sjednocení) (průnik) (rozdíl) Výroky A B A B (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace) (ekvivalence), (obecný a existenční kvantifikátor) V : x A má vlastnost P... V : x A má vlastnost P ( x A : P) ( x A : P) ( x A : P) ( x A : P) c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5

2 Množinové operace Výroky (A B) A B (De Morganovo pravidlo) (A B) A B (De Morganovo pravidlo) (A B) A B (A B) (A B) (B A) (A B) ( B A) (obměna implikace) Značení Přirozená čísla: N = {,,,...} (N 0 = N {0}). Celá čísla: Z = {...,,, 0,,,...}. Racionální čísla: Q = {q = z n : z Z, n N}. Čísla, která nejsou racionální, tj. nelze je vyjádřit jako podíl celého a přirozeného čísla, nazýváme iracionální a značíme I. Reálná čísla: R = Q I. K reálným číslům lze jednoznačně přiřadit všechny body nekonečné přímky (číselné osy) dle jejich vzdálenosti od počátku. Komplexní čísla: C = {z = a + bi : a, b R, i = }. Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel [a, b] a píšeme z = [a, b] = a + bi. Číslu a říkáme reálná část komplexního čísla z, číslu b imaginární část komplexního čísla z. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 Uspořádání Binární relace na množině A (podmnožina kartézského součinu A A) se nazývá uspořádání, jestliže je reflexivní, tj. x A : x x, antisymetrická, tj. x, y A : (x y y x) x = y, tranzitivní, tj. x, y, z A : (x y y z) x z. Dvojice (A, ) se pak nazývá uspořádaná množina. Úplné uspořádání Je-li relace na množině A uspořádání a je úplná, tj. platí x, y A : x y y x, nazýváme ji úplné uspořádání. Dvojice (A, ) se pak nazývá úplně uspořádaná množina (řetězec). Horní a dolní závora Necht A = (A, ) je uspořádaná množina, B A a U, L A. Jestliže platí x B : x U, nazýváme prvek U horní závora množiny B. Jestliže platí x B : L x, nazýváme prvek L dolní závora množiny B. Má-li množina B aspoň jednu horní (dolní) závoru, nazýváme ji shora (zdola) ohraničenou. Je-li ohraničená zdola i shora, nazýváme ji ohraničenou. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5

3 Supremum a infimum Necht A je uspořádaná množina, B A, B a a s, a i A. Supremum množiny B se nazývá její nejmenší horní závora, píšeme a s = sup B. Analogicky, infimum množiny B se nazývá její největší dolní závora, píšeme a i = inf B. Axiomatické zavedení reálných čísel Necht R je množina, na níž jsou definovány binární operace sčítání (+) a násobení ( ) a binární relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující axiomy (R) (R). (R, +) je komutativní grupa. (R) komutativita: a, b R : a + b = b + a, (R) asociativita: a, b, c R : (a + b) + c = a + (b + c), (R) nulový prvek: 0 R : a R : 0 + a = a, (R4) opačný prvek: a R b R : a + b = 0 (značíme a). (R {0}, ) je komutativní grupa. (R5) komutativita: a, b R : a b = b a, (R6) asociativita: a, b, c R : (a b) c = a (b c), (R7) jednotkový prvek: R {0} : a R : a = a, (R8) inverzní prvek: a R {0} b R : a b = (značíme a ). (R, +, ) je pole (komutativní těleso). (R9) distributivní zákon: a, b, c R : (a + b) c = a c + b c. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 4 (R, ) je úplně uspořádaná množina. (R0) Relace je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná. 5 Operace +, jsou slučitelné s relací. (R) a, b, c R : a b a + c b + c, (R) a, b, c R, c > 0 : a b a c b c. 6(R) Každá neprázdná shora ohraničená podmnožina množiny R má supremum. Definice Množina reálných čísel je libovolná množina s dvojicí binárních operací a uspořádáním splňující podmínky (R) (R). (i) Podle (R4) platí x N ( x) R : x + ( x) = 0. Potom lze položit Z := N {0} { x : x N}. (ii) Podle (R8) platí x Z \ {0} x R : x x =. Potom lze položit { } Q := x y : x Z, y N. Uzavřenost na sčítání a násobení je obsažena v tom, že +, jsou binární operace na R, tj. a, b R : a + b R, a b R. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5

4 Množina racionálních čísel nesplňuje podmínku (R). X = {x Q : x > 0, x < } sup X =, ale Q. Důkaz sporem: Předpokládejme, že = m n, kde m, n jsou nesoudělná, m Z, n N. = m n = m n n = m Tedy m je sudé číslo m je sudé číslo l : m = l n = (l) n = l n je sudé, tj. n je sudé. Celkem tedy m i n jsou sudá čísla, což je spor s předpokladem, že jde o čísla nesoudělná. Tím jsme také dokázali, že I. Definice Necht X, Y R, X, Y. Symbolem X Y rozumíme, že pro každé x X a každé y Y platí x y. (Axiom spojitosti) Axiom (R) je ekvivalentní tzv. axiomu spojitosti: Pro libovolné množiny X, Y R, X, Y a X Y, existuje prvek c R s vlastností X c Y. Axiom (R) je samozřejmě také ekvivalentní axiomu infima. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 Axiom spojitosti axiom suprema, infima Necht X R je shora ohraničená a označme U(X ) množinu horních závor množiny X. X je shora ohraničená, tedy U(X ) a platí X U(X ). Tedy c R : X c U(X ), toto c je hledaným suprémem množiny X jehož existenci jsme chtěli dokázat: ) c X c je horní závora, ) skutečnost, že c je nejmenší horní závora, plyne z faktu, že c U(X ). Tvrzení pro infimum dokážeme podobně pomocí množiny L(X ) dolních závor. Příklad (sup, inf) X = (0, ), pak sup X =, inf X = 0 (0, X ) X = [0, ], pak sup X =, inf X = 0 (0, X ) X = (, ), pak inf X = a supremum (v R) neexistuje. Někdy se definuje supremum a infimum prázdné množiny (v rozšířených reálných číslech) inf = +, sup =. X Y sup X sup Y a inf Y inf X c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5

5 Věta Necht r, r, r > 0 jsou reálná čísla. Pak existuje přirozené číslo n takové, že nr > r. Důkaz. Sporem předpokládejme, že takové n neexistuje, tedy n N : nr r. Odtud máme n r r, což je spor s neohraničeností N. Věta (Q hustá v R) Necht r, r, r < r jsou libovolná reálná čísla, pak existuje racionální číslo p takové, že r < p < r. Důkaz. Necht r, r R, r < r. (i) r < 0, r > 0, pak p = 0 Q. Bez újmy na obecnosti lze tedy předpokládat, že r, r jsou kladná. (ii) 0 < r < r (kdyby 0 > r > r, konstrukci překlopíme ) necht n N je takové, že platí n(r r ) >. Takové n existuje, nebot kdyby neexistovalo, pak by n r r pro n N, ale N není omezená shora. Tedy nr > + nr (jsou vzdálena o více než ), necht m N je nejmenší takové, že m > nr (tj. m nr ) m nr + nr < m < nr a odtud r < m n < r. Q je hustá v R. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 Věta (I hustá v R) Necht r, r, r < r jsou libovolná reálná čísla, pak existuje iracionální číslo p takové, že r < p < r. Věta 4 r R, r > 0, n N existuje právě jedno x R, x > 0, takové, že Důkaz. Již víme, že I. Dále platí, že pro a I a q Q je a + q I. (Jinak by bylo a + q + ( q) = a Q, protože by šlo o součet racionálních čísel a + q a q.) Necht r, r R, r < r. Potom r a < r a a protože Q je hustá v R existuje z Q splňující r a < z < r a, tedy r < z + a < r, kde z + a I. Důkaz. x n = r (píšeme n r = x). x = sup {a R : a > 0, a n r} c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5

6 Definice Komplexní čísla C = (C, +, ) je množina, kde C = R R a operace jsou definovány následovně [a, b ] + [a, b ] = [a + a, b + b ], [a, b ] [a, b ] = [a a b b, a b + a b ]. [0, ] i [a, b] = [a, 0] + [0, b] = [a, 0] + [b, 0] [0, ] a + bi algebraický tvar z = a + bi, velikost z = a + b, goniometrický tvar z = z (cos ϕ + i sin ϕ), exponenciální tvar z = z e iϕ. (C, +, ) je komutativní těleso: (C, +) je komutativní grupa (R) (R4), (C {0}, ) je komutativní grupa (R5) (R8), platí distributivní zákon (R9). Nelze ale definovat uspořádání slučitelné s operacemi + a (R), (R). c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 Definice 4 Řekneme, že množina A je induktivní, jestliže platí (i) A; (ii) je-li x A, potom x + A. (i) Množina R je induktivní. (ii) Průnik libovolného systému induktivních množin je induktivní množina. (iii) Průnikem všech induktivních podmnožin R je N. (iv) Každá induktivní množina je nadmnožinou N. Jestliže tedy pro induktivní množinu A platí A N, potom A = N (princip matematické indukce). Definice 5 Necht A, B R, f A B. Jestliže ke každému prvku a A existuje právě jeden prvek b B tak, že [a, b] f, pak relaci f nazýváme zobrazení množiny A do množiny B (f : A B). Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f, značíme D(f ) = Dom(f ). Množinu H(f ) = Im(f ) = {b B : x D(f ) : f (x) = b} nazýváme obor hodnot zobrazení f. Zobrazení f nazýváme reálná funkce (reálná funce reálné proměnné). Píšeme y = f (x). x se nazývá nezávisle proměnná (argument) funkce f. y se nazývá závisle proměnná funkce f. Číslo f (x 0 ) R se nazývá funkční hodnota funkce f v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5

7 Není-li definiční obor funkce zadán, jedná se o množinu všech x R pro která má daná funkce smysl, tj. Příklad D(f ) = {x A : y B splňující [x, y] f }. Definiční obor funkce f (x) = x je D(f ) = R \ {}. Definiční obor funkce g(x) = x je D(g) = (, 0]. Definice 6 Necht f : A B je reálná funkce. Řekneme, že f je na A prostá, pokud (Prostá = injektivní.) x, x A : x x f (x ) f (x ). Řekneme, že funkce f zobrazuje A na B (f je surjektivní), pokud ke každému b B existuje x A: f (x) = b, tj. B = H(f ). Množina G A B definovaná G = {[x, y] : x D(f ), y = f (x)} se nazývá graf funkce f. Bijekce = prosté a na. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 Graf funkce f = množina všech bodů roviny daných souřadnicemi [x, f (x)]. Příklad Graf prosté funkce protíná všechny vodorovné přímky nejvýše jednou. Je-li funkce na množině M ryze monotónní, pak je na ní prostá. Obr.: Funkce f (x) = x. Obr.: Nejde o graf funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5

8 Definice 7 Necht f : A B je prostá na podmnožině D A, pak inverzní funkci k funkci f definované na D definujeme jako Je-li f prostá na celém definičním oboru, pak D(f ) = H(f ). Grafy funkcí f a f jsou souměrně sdružené podle osy I. a III. kvadrantu. f = {[y, x] : [x, y] f }. Tj. pro y f (D) = {b B : x D : f (x) = b} definujeme f (y) = x D, kde f (x) = y. Příklad 4 Pro funkci f (x) = x + x + určete podmnožinu definičního oboru, kde je funkce prostá, a zde určete funkci inverzní. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Výpočet inverzní funkce Iverzní funkci k funkci f určíme tak, že v předpisu y = f (x) zaměníme proměnné x a y, tím dostaneme x = f (y). Z této rovnice pak vyjádříme, je-li to možné, proměnnou y. K elementární funkci je inverzní funkcí jiná elementární funkce: f (x) f (x) x (x 0) x x (x 0) x x x e x ln x a x (a ) log a x sin x (x [ π, π ]) arcsin x cos x (x [0, π]) arccos x tg x (x ( π, π )) arctg x cotg x (x (0, π)) arccotg x Pro všechna x, pro která má zápis smysl, platí Příklad 5 (f f )(x) = (f f )(x) = x. Určete inverzní funkci k funkci f a určete D(f ), H(f ), D(f ) a H(f ). f (x) = x 4, f (x) = e sin x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5

9 f (x) = e sin x f (x) = x 4 y = x 4 x = y 4 x = y 4 y = x + 4 y = x + 4 D(f ) = H(f ) = D(f ) = H(f ) = R. f (x) = x + 4. y = e sin x x = e sin y / ln( ) ln x = sin y / arcsin( ) arcsin ln x = y f (x) = arcsin ln x. D(f ) = R, funkce f je prostá pro x [ π, π ] = H(f ), D(f ) : ln x x > 0 x (0, ) arcsin ln x ln x [, ] ln x / e ( ) e x e x [ ] e, e D(f ) = (0, ) [ e, e] = [ e, e]. Celkem tedy H(f ) = D(f ) = [ e, e]. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 Definice 8 (Parita) Bud f taková funkce, že pro její definiční obor platí Příklad 6 x D(f ) x D(f ). Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro x D(f ) platí, že f ( x) = f (x). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro x D(f ) platí, že f ( x) = f (x). Obr.: Graf sudé funkce je symetrický podle osy y. Obr.: Graf liché funkce je symetrický podle počátku. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5

10 Věta 5 Necht funkce f je na svém definičním oboru prostá a lichá, pak inverzní funkce f je také lichá. Důkaz. Z lichosti funkce f plyne x D(f ), pak i x D(f ). Necht y D(f ) = H(f ) je libovolné, tj. x D(f ) : f (x) = y. Pro x D(f ) : f ( x) = f (x) = y y D(f ). Označme f ( y) = z, pak y = f (z) y = f (z) y = f ( z) z = f (y) z = f (y) f ( y) = f (y), Příklad 7 Rozhodněte o paritě funkce f (x) = sinh x = ex e x. Dále určete podmnožinu definičního oboru, kde je funkce prostá, a zde určete funkci inverzní. Lichá, f (y) = ln(x + + x ). tedy f je lichá. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 40 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 Definice 9 (Ohraničenost) Bud f funkce a M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže existuje d R takové, že pro každé x M platí f (x) d, shora ohraničená, jestliže existuje h R takové, že pro každé x M platí f (x) h, ohraničená, jestliže existují d, h R takové, že pro každé x M platí d f (x) h. Ohraničenost ekvivalentně C R : f (x) C x M. Příklad 8 Obr.: Funkce ohraničená shora. Obr.: Ohraničená funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5

11 Definice 0 Bud f funkce a M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže x, x M : x < x f (x ) < f (x ), neklesající, jestliže x, x M : x < x f (x ) f (x ), klesající, jestliže x, x M : x < x f (x ) > f (x ), nerostoucí, jestliže x, x M : x < x f (x ) f (x ). Definice Je-li funkce f na množině M neklesající, nebo nerostoucí, nazýváme ji monotónní.je-li funkce f na množině M rostoucí, nebo klesající, nazýváme ji ryze monotónní. Příklad 9 Obr.: Rostoucí funkce. Obr.: Neklesající funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 44 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 45 / 5 Věta 6 Necht f je na A rostoucí (klesající), pak inverzní funkce f je také rostoucí (klesající). Důkaz. f rostoucí ( prostá): x < x f (x ) < f (x ) y < y. Uvažujme y < y libovolné x, x : y = f (x ), y = f (x ). Možnosti: x = x nelze, x > x nelze, x < x f (y ) < f (y ). Definice (Periodičnost) Necht ˆp R, ˆp > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou ˆp, jestliže pro x D(f ) platí x ± ˆp D(f ), f (x ± ˆp) = f (x). Nejmenší prvek množiny všech period funkce f nazýváme nejmenší perioda funkce f a budeme ho značit p. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 46 / 5 Obr.: Periodická funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 47 / 5

12 Funkce má bud nekonečně mnoho period, nebo žádnou. f (x) je periodická, ale nejmenší perioda p (> 0) neexistuje, { 0 x Q χ(x) = každé q Q, q > 0, je perioda, ale nejmenší x R Q perioda neexistuje (Dirichletova funkce). Další pojmy Bud f funkce a M D(f ). Je-li f (x) > 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M kladná. Je-li f (x) 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M nezáporná. Je-li f (x) < 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M záporná. Je-li f (x) 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M nekladná. Bod [0, f (0)] nazýváme průsečík funkce f s osou y. Je-li f (x 0 ) = 0, pak nazýváme bod [x 0, 0] průsečík funkce f s osou x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 48 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 49 / 5 Operace s funkcemi Následující pojmy budou přesněji definovány později Bud f funkce a M D(f ). Je-li graf funkce f pro x M nad tečnou sestrojenou v libovolném bodě x 0 M, řekneme, že f je na množině M konvexní. Je-li graf funkce f pro x M pod tečnou sestrojenou v libovolném bodě x 0 M, řekneme, že f je na množině M konkávní. Přímku nazýváme asymptotou grafu funkce f, jestliže se její vzdálenost od grafu funkce s rostoucí souřadnicí neustále zmenšuje. Transformace grafu funkce Necht je dána funkce y = f (x) a nenulová reálná čísla a, b. Uvažujme funkci ỹ = f (x + a). Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý bud doleva (je-li a > 0), nebo doprava (pro a < 0), a to o velikost čísla a. Uvažujme funkci ŷ = f (x) + b. Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý bud nahoru (je-li b > 0), nebo dolů (pro b < 0), a to o velikost čísla b. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 50 / 5 Obr.: f (x) = (x + ) Obr.: f (x) = x + c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5

13 Operace s funkcemi Platí Operace s funkcemi (f ± g)(x) = f (x) ± g(x), (f g)(x) = f (x) g(x). Definiční obor těchto funkcí je průnikem definičních oborů původních funkcí, tj. D(f ± g) = D(f ) D(g) = D(f g). Platí ( ) f (x) = f (x) g g(x). Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů funkcí f a g zúžený o body, v nichž je g(x) = 0, tj. ( ) f D = D(f ) D(g) \ {x : g(x) = 0}. g Další operací je skládání funkcí. Definice (Složená funkce) Operace s funkcemi Necht u = g(x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Necht y = f (u) je funkce s definičním oborem D(f ) H(g). Složenou funkcí (f g)(x) rozumíme přiřazení, které x D(g) přiřadí y = f (u) = f ( g(x) ). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci f vnější složkou složené funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 54 / 5 Operace s funkcemi Operace s funkcemi Příklad 0 Funkce F (x) = sin x je složena z funkcí f (x) = sin x a g(x) = x tak, že Funkce F (x) = (f g)(x) = f ( g(x) ). G(x) = e x 4 je složena z funkcí f (x) = x, g(x) = e x, h(x) = x 4 tak, že ( G(x) = (f g h)(x) = f g ( h(x) )). Při určování definičních oborů složených funkcí je vhodné postupovat zevnitř. Každý definiční obor je průnikem všech získaných podmínek. Např. je-li F (x) = f (x), najdeme nejprve D(f ), poté zjistíme, ve kterých bodech je f (x) < 0 a ty odstraníme, tj. D(F ) = D(f ) \ {x : f (x) < 0}. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 55 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 56 / 5

14 Operace s funkcemi Tedy mimo definiční obory základních funkcí musíme brát v úvahu např. u funkce F (x) = f (x) g(x), že g(x) 0, F (x) = f (x), že f (x) 0, F (x) = log a f (x), že f (x) > 0, F (x) = tg f (x), že f (x) (k + ) π, k Z, F (x) = cotg f (x), že f (x) kπ, k Z, F (x) = arcsin f (x), že f (x) [, ], F (x) = arccos f (x), že f (x) [, ]. Definice 4 (Základní elementární funkce) Obecná mocnina, mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické (a hyperbolické a hyperbolometrické) funkce se nazývají základní elementární funkce. Definice 5 () Funkce, které lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, vynásobení, podělení a složení základních elementárních funkcí se nazývají elementární funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 57 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 59 / 5 Obr.: x Obr.: x, x 4 Obr.: x, x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 60 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5

15 Obr.: x Obr.: x, x 5 Obr.: x, x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 Obr.: x, ( ) x Obr.: log x, log x Obr.: x, ( ) x, log x, log x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 64 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 65 / 5

16 Obr.: sin x Obr.: sin x, cos x Obr.: cos x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 66 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 67 / 5 Obr.: sin x, arcsin x Obr.: cos x, arccos x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 68 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 69 / 5

17 Obr.: tg x Obr.: cotg x Obr.: tg x, cotg x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 70 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 Obr.: tg x, arctg x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 Obr.: cotg x, arccotg x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5

18 Definice a operace s polynomy Definice a operace s polynomy Definice 6 (Polynom) Funkci P : C C danou předpisem = a n x n + a n x n + + a x + a 0, kde a 0,..., a n C, a n 0 nazýváme polynom stupně n. Čísla a 0,..., a n nazýváme koeficienty polynomu P. Koeficient a n nazýváme vedoucí koeficient, koeficient a 0 nazýváme absolutní člen. Je-li a n = říkáme, že polynom P je normovaný. Příklad (Operace s polynomy) Sčítání a násobení konstantou (x x + 4) (x + x + x ) = x x + 4 x x 4x + = x + x 6x + 6 Násobení Obr.: =. Obr.: = x. Obr.: = x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 75 / 5 (x )(x + x + ) = x (x + x + ) (x + x + ) = x 5 + 4x + 6x x 6x 9 = x 5 + x + 6x 6x 9 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 76 / 5 Definice a operace s polynomy Příklad (Operace s polynomy) Dělení (4x 4 x + x x + 7) : (x + ) = 4x x 7 + x+ x + (4x 4 + 8x ) 0 x 7x x + 7 ( x x) 0 7x x + 7 ( 7x 4) 0 x + Definice 7 (Kořen polynomu) Číslo α C, pro které platí P(α) = 0 nazýváme kořen polynomu P. Věta 7 (Základní věta algebry) Každý polynom (mnohočlen) stupně většího než má alespoň jeden komplexní kořen. Důkaz. Viz algebra. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 77 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 79 / 5

19 Věta 8 Necht Pje polynom stupně n a α je kořenem polynomu. Pak existuje polynom Q stupně n takový, že = (x α)q(x). Důkaz. = a n x n + + a x + a 0, pak P(α) = a n x n + + a x + a 0 (a n α n + + a α + a 0 ) = a n (x n α n ) + + a (x α) = (x α) [ a + a (x + α) + + a n (x n + x n α + + xα n + α n ] ), }{{} Q(x) st Q = n. Definice 8 (Kořenový činitel a násobný kořen) Je-li číslo α C kořen polynomu P, nazýváme lineární polynom x α kořenový činitel příslušný ke kořenu α. Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P (k N), jestliže existuje polynom Q(x) stupně n k takový, že = (x α) k Q(x), Q(α) 0. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 80 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 Důsledek (věty 7) Každý mnohočlen stupně n má právě n kořenů v C, přičemž každý kořen je počítán tolikrát, kolik je jeho násobnost. Důkaz., st. n, pak α C: P(α) = 0 = (x α)q(x), je-li stq, pak má Q alespoň jeden kořen β C (je možné β = α) = (x α)(x β)q (x)... Věta 9 (Rozklad polynomu na součin kořenových činitelů) Necht P je polynom stupně n a α,..., α m (m n) jsou jeho kořeny násobnosti postupně k,..., k m, pak platí k + + k m = n a = a n x n + + a x + a 0 = a n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km. Důkaz. Vztah k + + k m = n plyne z předchozího důsledku. Podle definice k -násobného kořene α máme = (x α ) k Q (x) a α,..., α m jsou kořeny Q (x) jako byly kořeny Q (x) = (x α ) k Q (x) = (x α ) k (x α ) k (x α m ) km C, kde C je polynom stupně 0. Porovnáním koeficientů u x n zjistíme hodnotu C C = a n. Tedy = a n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5

20 Věta 0 Necht = a n x n + + a x + a 0 je polynom s reálnými koeficienty (tj. a i R). Je-li komplexní číslo z = α + iβ kořenem polynomu, pak je jeho kořenem i číslo z = α iβ. Důkaz. 0 = P(z) 0 = P(z) Důsledek Necht je polynom s reálnými koeficienty a z = α + iβ je k-násobným kořenem, pak i z = α iβ je k-násobným kořenem. Zejména každý mnohočlen lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen a počet reálných kořenů polynomu stupně n je roven n, nebo je o sudé číslo menší. 0 = a n z n + + a z + a 0 = a n (z) n + + a (z) + a 0 = a n (z) n + + a (z) + a 0 = P(z), P(z) = 0, tedy z je kořenem polynomu. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 84 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 85 / 5 Věta (O rozkladu v reálném oboru) Necht je polynom s reálnými koeficienty, α,..., α m jsou jeho reálné kořeny násobnosti k,..., k m, β ± iγ,..., β p ± iγ p jsou navzájem sdružené komplexní kořeny násobnosti l,..., l p. Pak platí a k + + k m + (l + + l p ) = n = a n (x α ) k (x α m ) km[ (x β ) + γ ] l [(x β p ) + γ p] lp. Příklad Rozložte v reálném oboru polynom = x 6 + x. = x [ (x + ) x ] = x [ (x + ) x ][ (x + ) + x ] (Kořeny jsou 0, 0, ± i, ± i.) Důkaz. Důkaz plyne ze vzorce pro rozklad na součin kořenových činitelů. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 86 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 87 / 5

21 Výpočet kořenů polynomu n = : = ax + b x = b a, n = : = ax + bx + c x, = b± b 4ac a, n = : Cardanovy vzorce, n = 4: existují vzorce pro výpočet pomocí koeficientů, n 5: neexistuje obecný vzorec (dokázal E. Galois). Hornerovo schéma pro výpočet hodnoty polynomu = P(α) +P(α) = (x α)q(x) + P(α). }{{} má kořen α Kvadratický polynom = ax + bx + c D = b 4ac, x, = b± D a, = a(x x )(x x ). D > 0 x x, x, R, D = 0 x = x, x, R, D < 0 x = x, x, C. Obr.: = ax + bx + c, a > 0. Obr.: = ax + bx + c, a < 0. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 88 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 89 / 5 Doplnění na čtverec ax + bx + c = a(x + b a x + c a ), y = x + 6x + 5, y = (x + ) 9 + 5, y = (x + ) 4, y + 4 = (x + ). x + px + q = (x + p ) p 4 + q. Hornerovo schéma je algoritmus používaný při rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů. Věta Necht jsou dány polynomy = a n x n + a n x n + + a x + a 0, Q(x) = b n x n + b n x n + + b x + b 0. Jestliže existují α, b R takové, že pak = (x α)q(x) + b, b n = a n, b k = αb k + a k, k = 0,..., n. Tato parabola má vrchol v bodě [, 4] a je otevřena směrem nahoru. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 90 / 5 P(α) = b, tedy je-li b = 0, pak je α kořenem polynomu P. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5

22 Postup Koeficienty polynomu = a n x n + a n x n + + a x + a 0 spolu s číslem α sepíšeme do tabulky A dopočítáme čísla b n,..., b : a n a n a a 0 α b n b n b 0 b b n = a n, b k = αb k + a k, k = 0,..., n. Věta (Celočíselné kořeny) Necht P je polynom s celočíselnými koeficienty. Pak jsou všechny jeho racionální kořeny vyjádřitelné jako podíl dělitelů jeho absolutního člene a vedoucího koeficientu. Příklad 4 = x 4 5x + x + x 8, tedy a 0 = 8, a 4 =. Všechny racionální (celočíselné) kořeny jsou tedy mezi děliteli čísla 8: Tím získáme polynom Q(x) = b n x n + b n x n + + b x + b 0 a číslo b takové, že platí = (x α)q(x) + b. Skutečně ±, ±, ±, ±6, ±9, ±8. = (x )(x + )(x ). c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 Příklad 5 Rozložte polynom = x 4 5x + x + x 8 na součin kořenových činitelů. Racionální kořeny jsou mezi čísly ±, ±, ±, ±6, ±9, ±8. Protože Q(x) je kvadratický polynom, není nutné dál pokračovat v Hornerově schématu. Zbývající kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu Našli jsme kořeny,. Q(x) = x 6x + 9 = (x )(x + )Q(x) Q(x) = x 6x + 9 D = 6 6 = 0 x, = 6 ± 0 Tedy polynom P má dva jednoduché kořeny, a jeden dvojnásobný kořen.odtud = (x )(x + )(x ). =.... c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 94 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 95 / 5

23 Racionální lomené funkce Racionální lomené funkce Definice 9 Necht P, Q jsou polynomy takové, že Q je nenulový (tj. Q(x) 0) a P, Q nemají společné kořeny, pak funkce R(x) = Q(x) se nazývá racionální lomená funkce. Je-li navíc st P < st Q nazývá se ryze racionálně lomená funkce. Věta 4 Každou neryze lomenou funkci je možné (pomocí dělení polynomů) vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Věta 5 Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty (P, Q R[x]), st P = n, st Q = m, α R je k-násobný kořen mnohočlenu Q, tj. Q(x) = (x α) k Q (x), kde Q (α) 0. Pak existují čísla A,..., A k R taková, že Q(x) = A (x α) k + A (x α) k + + A k (x α) + P (x) Q (x), () kde P je jistý mnohočlen stupně n k. Zejména má-li Q pouze reálné kořeny α,..., α m násobnosti k,..., k m, pak existují čísla A,..., A k,..., A m,..., Am k m R taková, že Q(x) = A (x α ) k + + A k (x α ) + A (x α ) k + + A k (x α ) + + A m (x α m ) km + + Am k m (x α m ). () c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 97 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 98 / 5 Racionální lomené funkce Racionální lomené funkce Důkaz. Q(x) =, pro A R platí rovnost (x α) k Q (x) (x α) k Q (x) = A (x α) k + AQ (x) (x α) k Q (x), zejména platí pro A = P(α) Q (α). Pro takto zvolené A je číslo α kořenem AQ (x), tj. P(α) P(α) Q (α) Q (α) = 0 AQ (x) = (x α)q (x) Q(x) = (x α) k Q (x) = A (x α) k + (x α)q (x) (x α) k Q (x) = A (x α) k + B (x α) k + Q (x) BQ (x) (x α) k Q (x). Věta 6 Necht P, Q R[x], st P < st Q a Q má dvojici komplexních kořenů β ± iγ, každý z nich násobnosti l. Pak existují reálná čísla B, C,..., B l, C l taková, že platí Q(x) = [ (x β) + γ ] l Q (x) = B x + C [ (x β) + γ ] l + + B l x + C l [ (x β) + γ ] + P (x) Q (x), kde Q (x) má stupeň (st Q l) a P (x) je jistý polynom. Opakováním postupu dostaneme tvrzení (). Tvrzení () dostaneme z () použitím pro další kořeny. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 99 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 00 / 5

24 Racionální lomené funkce Racionální lomené funkce Důkaz. Q(x) = [ (x β) +γ ] lq (x) Bx+C = [ ] l + (Bx+C)Q (x) [ ] lq. (x β) +γ (x β) +γ (x) Necht B, C jsou takové, že (Bx + C)Q (x) má kořeny β ± iγ, tj. platí (Bx + C)Q (x) = [(x β) + γ ]P (x). Pak platí Q(x) = [ Bx + C (x β) [ (x β) + γ ] l + + γ ] P (x) [ (x β) + γ ] l Q (x) Opakováním tohoto postupu l-krát dostáváme = Bx + C [ (x β) + γ ] l + P (x) [ (x β) + γ ] l Q (x). Q(x) = B x + C [ (x β) + γ ] l + + B l x + C l [ (x β) + γ ] + P (x) Q (x). Shrnutí Rozklad racionální lomené funkce na součet parciálních zlomků st P < st Q, st Q = k + + k m + (l + + l p ) Q(x) = [ (x α ) k (x α m) km (x β ) +γ A [] [] k ] l ] lp [ (x β p) +γp = (x α ) k + + A (x α ) + + A [m] (x α m ) + + A km (x α m ) B [] + x + C [] [ ] (x β ) + γ l + + B[] l x + C [] l [ (x β ) + γ] + B [p] + x + C [p] [ ] (x βp ) + γp lp + + B[p] l p x + C [p] l [(x p βp ) + γp] [m] k m c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 Racionální lomené funkce Goniometrické funkce Příklad 6 Rozložte funkci na parciální zlomky. x + x 5 + x + x x+ x 5 +x +x = x+ x(x 4 +x +) = x+ x(x +)(x +) = x x x + + x x +4 Vlastnosti goniometrických funkcí f (x) = sin x: D(f ) = R, H(f ) = [, ], lichá, periodická p = π, f (x) = cos x: D(f ) = R, H(f ) = [, ], sudá, periodická p = π, f (x) = tg x = sin x cos x : D(f ) = R {(k + ) π, k Z}, H(f ) = R, lichá, periodická p = π, f (x) = cotg x = cos x sin x : D(f ) = R {kπ, k Z}, H(f ) = R, lichá, periodická p = π. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 05 / 5

25 Goniometrické funkce Goniometrické funkce x 0 π 6 sin x 0 cos x tg x 0 π 4 cotg x π π 0 0 Vzorce sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin x + cos x = sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin x = ± cos x cos x = ± +cos x cos ( x π ) = sin x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 06 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 07 / 5 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Příklad 7 Načrtněte graf funkce y = arcsin(sin x). Definice 0 Inverzní funkci k funkci sin x definované na intervalu [ π, π ] nazýváme arkus sinus a značíme arcsin x. Vlastnosti D(f ) = [, ], H(f ) = [ π, π ], rostoucí, lichá D(f ) = R, H(f ) = [ π, π ], perioda: g(f (x)) = g(f (x + p)) periodičnost g: p = π x [ π, π ] : arcsin(sin x) = x x [ π, π ] : x = π + t, sin x = sin(π + t) = sin t = sin( t), arcsin(sin x) = arcsin(sin( t)) = t = π x x 0 π arcsin x 0 6 π 4 π π c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 09 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5

26 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice Inverzní funkci k funkci cos x definované na intervalu [0, π] nazýváme arkus kosinus a značíme arccos x. Příklad 8 Načrtněte graf funkce y = arccos(cos x). perioda p = π, x [ π, 0] x [0, π] Vlastnosti D(f ) = [, ], H(f ) = [0, π], klesající, ani sudá ani lichá x 5π arccos x π 6 π 4 0 π π π π 4 π 6 0 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Příklad 9 Dokažte, že pro x [, ] platí Pro α R: sin α = cos(π/ α). arcsin x + arccos x = π. Necht α = arcsin x, x [, ] α [ π/, π/]. Tedy α = arcsin x sin α = x x = cos(π/ α) kde (π/ α) [0, π] arccos x = arccos(cos(π/ α)) = π/ α = π/ arcsin x arcsin x + arccos x = π. Definice Inverzní funkci k funkci tg x definované na intervalu [ π/, π/] nazýváme arkus tangens a značíme y = arctg x. Vlastnosti D(f ) = R, H(f ) = ( π/, π/), rostoucí, lichá x 0 arctg x 0 π 6 π 4 π π c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5

27 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Příklad 0 Načrtněte graf funkce y = arctg(tg x). Definice Inverzní funkci k funkci cotg x definované na intervalu [0, π] nazýváme arkus kotangens a značíme y = arccotg x. D(f ) = R {(k + ) π }, k Z Vlastnosti D(f ) = R, H(f ) = (0, π), klesající, ani sudá ani lichá x 0 arccotg x π 5π 6 π 4 π π π π 4 π 6 0 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 Cyklometrické funkce Exponenciální funkce Příklad Načrtněte graf funkce y = arccotg(cotg x). Definice 4 (Mocnina) Necht a, x R, a > 0. Potom definujeme mocninu jako sup{a r : r x, r Q}, a >, a x ( = ) x, a 0 < a <, x =, a =. D(f ) = R {kπ, k Z} x = n N a n = a } {{ a}, n-krát x = n, n N a n = a, n a /n = y, y > 0 y n = a, a r = a p/q = ( a p) /q, p q Q. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5

28 Exponenciální funkce Logaritmické funkce Definice 5 Necht a R, a > 0. Funkci y = a x nazýváme exponenciální funkce o základu a. Vlastnosti D(f ) = R, H(f ) = (0, ), a 0 = pro a > 0, grafy funkcí a x a (/a) x jsou osově souměrné podle osy y, pro a > je rostoucí, a = konstantní a 0 < a < klesající, a x+y = a x a y, x, y R, ( a x ) y = a xy, x, y R, Eulerovo číslo: e = lim n ( + n) n = Definice 6 Inverzní funkce k funkci y = a x se nazývá logaritmus o základu a, pro a (0, ) (, ) (pro a = není a x prostá funkce), značí se y = log a x. Vlastnosti D(f ) = (0, ), H(f ) = R, log a = 0 pro 0 < a < je klesající a pro a > rostoucí, grafy funkcí log a x a log x jsou osově souměrné podle osy x, a log e x = ln x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Logaritmické funkce Mocninná funkce Vzorce x, y, a, b R +, a, b log a = 0, log b b = = log a b log b a, log a x y = y log a x, log a x y = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a x y = y log a x, x = a log a x, log a x = log b x log b a. Definice 7 Necht r R. Funkci y = x r, x > 0 nazýváme mocninnou funkcí. Vlastnosti D(f ) = (0, ) { (0, ), r 0, H(f ) = {}, r = 0, pro r > 0 je na (0, ) rostoucí, pro r < 0 klesající a pro r = 0 konstantní, x r = e r ln x, x (0, ). Pro některá r lze samozřejmě rozšířit i do nekladných hodnot x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5