Příklad 1.2 Nalezněte obsah oblasti ohraničené křivkami y =lnx, y =ln 2 x.

Transkrypt

1 Kpitol Aplikce určitého integrálu. Délk, obsh, objem Příkld. Nlezněte obsh oblsti ohrničené křivkmi xy 4, x + y 5. Návod. Soustv rovnice xy 4,x + y 5mádvěřešení[, 4] [4, ]. (viz obr.) Oblst ohrničená křivkmi je tedy zřejmě ohrničen n intervlu [, 4] grfy funkcí f(x) 5 x, g(x) 4 x, přičemž f(x) g(x)n[, 4]. Odtud podle definice Riemnnov integrálu máme, že obsh plochy ohrničené křivkmi je 4 4 ( S f(x) g(x) dx 5 x 4 ) ] 4 dx [5x x x 4ln x [ 6 ] 4ln ln 7 8ln. Příkld. Nlezněte obsh oblsti ohrničené křivkmi y lnx, y ln x.

2 Návod. Průsečíky křivek nlezneme řešením rovnice ln x ln x ln x ln x ln x(ln x ), odkud máme řešení x x e, po doszení y lnxmáme y y. Průsečíky tedy jsou [, ], [e, ]. Jiné průsečíky křivky nemjí. N intervlu [,e] je zřejmě ln x, tedy ln x ln x. Tudíž e ( S ln x ln x ) e dx ln x dx ln x dx Ob určité integrály lze určit metodou per prtes. Položme nejprve u lnx v,pku /x v x podlevzthu uv [uv] b u v máme (volíme-li,b e), že e e ln x dx [xln x] e x dx [eln e ln] x Nyní položme u ln x v,pku ln x x e ln x dx [ x ln x ] e e spřihlédnutím k výsledku výše e (PP) dx [e ] [e ]. v x. Podle(PP)máme, že x lnx x dx [e ln e ln ] [e ] e. e ln x dx Tudíž S e ln x dx ln x dx (e ) 3 e., 9. Příkld.3 Nlezněte obsh elipsy s poloosmi, b. Návod. Předpokládejme, že >b>. Protože posunutím se obsh rovinného útvru nezmění, můžeme bez újmy n obecnosti předpokládt, že střed elipsy je [, ]. Kždý bod[x, y] ležící n obvodu elipsy tedy splňuje rovnici x + y b.

3 Ztéto rovnice se sndno ověří, že elips je středově symetrickátkéosově symetrická vzhledemkosám x y. Ploch celé elipsy je tudíž čtyřnásobkem plochy části elipsy ležícívprvním kvdrntu. Pro body n obvodu elipsy ležící vprvním kvdrntu můžeme vyjádřit, že ( ) y b x y b ( x ) y b x Plochu čtvrtiny elipsy ležícívprvním kvdrntu lze nyní vypočítt jko b y dx x dx. Použitím substituce x sin t, spřihlédnutím k dx/dt cos t dostneme, že b π x b dx sin tcos t dt π π Tudíž obsh celé elipsy je b sin t cos t dt b +cost dt π [ b t t + bsin 4 b cos t dt ] π/ π 4 b. S 4 π b πb. 4 Příkld.4 Nlezněte obsh oblsti ohrničené krdioidou r ( + cos ϕ), ϕ π. Návod. Obsh plochy ohrničené vpolárních souřdnicích křivkou r f(ϕ) polopřímkmi ϕ ϕ, ϕ ϕ,kdeϕ >ϕ, ϕ ϕ π, lze vypočítt podle vzthu S ϕ ϕ r dϕ f (ϕ)dϕ. ϕ ϕ Pro krdioidu tedy máme S π ( + cos ϕ) dϕ π ( +cosϕ +cos ϕ ) dϕ [ ϕ +sinϕ + ] π ϕ +sinϕcos ϕ [π ++π ] 3 π. )jkjevtéto prtii zvykem, používáme běžnou licenci v zápisu funkce její hodnot v obecném bodě )vpředchozím příkldě jsmedefctospočetli, že Z cos ϕ dϕ C ϕ + sin(ϕ) ϕ +sinϕcos ϕ, ϕ (, + ).

4 Příkld.5 Nlezněte obsh oblsti ohrničené lemniskátou r 4sin ϕ, ϕ π. Návod. Podle předchozího příkldu π π S r dϕ 6 sin 4 ϕ dϕ π ( ) cos ϕ π ( 8 dϕ cosϕ +cos ϕ ) dϕ tedy(vizpoznámku k minulému příkldu) [ ϕ sin(ϕ)+ ] π ϕ +sinϕcos ϕ [π +π + ] 6π. 4 Příkld.6 Nlezněte obsh oblsti ohrničené křivkou x 4 + y 4 (x + y ).

5 Návod. Zkusme použít polární souřdnice. Položme tedy x r cosϕ y r sin ϕ. Dostneme r 4 (cos 4 ϕ +sin 4 ϕ) r r sin 4 ϕ +cos 4 ϕ Obsh ohrničené plochy je tedy roven π S sin 4 ϕ +cos 4 ϕ dϕ. Vzhledem ke středové symetriiiosovésymetriipodél os x i y stčípočítt čtyřnásobek obshu plochy v prvním kvdrntu, tedy S 4 π/ sin 4 ϕ +cos 4 ϕ dϕ. Níže spočteme, že sin 4 ϕ +cos 4 ϕ dϕ C ( ) tg ϕ ( rctg, ϕ π 4, π ). 4 S ohledem n to použijeme následující úvhu. Pro periodickou funkci pltí, že pokud integrujeme přes celou periodu, můžeme integrční obor posunout o libovolnou konstntu, tj. pltí p f(x)dx +p f(x)dx pro kždou funkci fp-periodickou, pro kterou existuje jeden z integrálu v rovnosti. V nšem přípdě je funkce f(ϕ) periodická speriodouπ/ sin 4 ϕ+cos 4 ϕ (přesvědčte se přímým výpočtem smi!), proto π/ S Odtud máme, že π/4 sin 4 dϕ ϕ +cos 4 ϕ π/4 sin 4 ϕ +cos 4 ϕ dϕ. [ ( )] π/4 [ tg ϕ π rctg π ] π. π/4

6 Pro úplnost dodejme, jk vypočíst primitivní funkci výše. Použitím vzthu pro poloviční rgument dostneme, že ( ) ( ) cos ϕ +cosϕ sin 4 ϕ +cos 4 ϕ + +cos ϕ. Tedy (použijeme substituci t ϕ) sin 4 ϕ +cos 4 ϕ dϕ +cos ϕ dϕ +cos t dt. Nyní použijeme substituci x tgt. Podle druhé věty o substituci pro neurčitý integrál ji lze použít pouze pro t ( π/,π/), tedy s přihlédnutím k ϕ t pouze pro ϕ ( π/4,π/4). S přihlédnutím ke vzthu dx cos t dt cos t +tg t +x dostneme +cos t dt cos t + cos t dt C ( ) x + ( ) x rctg po zpětném doszení z x t dostneme hledný výsledek. x + dx Příkld.7 Odvod te vzthy pro objem koule, kuželu, jehlnu. Návod. ) Objem koule odvodíme pomocí vzthu pro objem rotčního těles. Objem těles vzniklého rotcí plochy pod grfem (po částech spojité) funkce y f(x) kolem osy x vintervlu[, b] (předpokládáme, že f(x) n[, b]) je V π f (x)dx Koule o poloměru r vznikne rotcí plochy pod grfem půlkružnice f(x) r x, x [ r, r], pro její objemtedymáme r V π (r x )dx π r ] r [r x x3 4 3 r 3 πr3. b) Objem kužele (o poloměru podstvy r výšce v) můžeme odvodit podle stejného vzthu rotcí plochytrojúhelník pod grfem funkce y r v x, x [,v]. Dostáváme, že v r [ r x 3 ] v V π v x dx π v 3 3 πr v. Anebo nlogickým postupem jko níže obsh jehlnu. c) Oznčme S obsh podstvy jehlnu v jeho výšku. Budeme integrovt podél výšky podle vzthu v V S(x)dx,

7 kde S(x) je obsh průřezu rovnoběžného s podstvou ve výšce x. Sndno se odvodí, že všechny hrny mnohoúhelník tvořícístrnyprůřezu S(x) jsouvůči hrnám v podstvě vpoměru (v x) :v x v.jestliže hrny jsou v tomto poměru, pk plochy jsou v poměru ( x v ) tedy v v ( V S(x)dx S x ) dx v ] v [ S [x x v + x3 3v S v v + v ] 3 3 Sv. Příkld.8 Spočtěte objem těles vzniklého rotcí oblouku krdioidy r ( + cos ϕ), ϕ [,π] kolem polární osy ( osy x ). Návod. Pro objem těles vzniklého rotcí plochy podgrfem křivky r f(ϕ), ϕ [α, β] [,π](zdnévpolárních souřdnicích) kolem polární osypltí Pro krdioidu máme Substitucí x + cosϕ dostneme V β 3 π f ( ϕ)sinϕdϕ. α V π 3 π 3 ( + cos ϕ) 3 sin ϕ dϕ. V 3 π 3 x 3 dx 8 3 π3. Příkld.9 Spočtěte objem části těles x +4y ležícího mezi rovinmi z y z. Návod. Vrovině nerovnice x +4y určuje elipsu, v prostoru nekonečný svislý válec s eliptickým průřezem. Rovin z zněj odsekne dolní polovinu roviny z jej zkosí. Zkusíme počítt integrcí podél osy y (pro x je omezená souřdnicemi /) přes obdélníky o svislé hrně z y vodorovné hrně x 4y (dvojk je z kldnou i zápornou poloosu). Dostneme V / S(y)dy / y 4y dy substitucí t 4y, t [, ] s přihlédnutím k dt y dy dostneme t dt [ t 3/ 3/ ] Příkld. Odvod te vzth pro délku kružnice. 3 3.

8 Návod. Bez újmy n obecnosti můžeme předpokládt, že střed kružnice je v počátku souřdnésoustvy.můžeme použít tři způsoby výpočtu. ) Pro délku křivky popsnou grfem funkce v intervlu (, b) sespojitouprvní derivcí pltí l +(f (x)) dx Horní půlkružnici o poloměru R lze popst funkcí f(x) R x, x [ R, R]. Pltí, že f x (x) R x. Po doszení R x l + R R R x dx R R R x dx. Použijeme větu o substituci pro určitý integrál, x R sin t, t ( π/,π/). Pk, s přihlédnutím k dx dt R cos t dostneme π/ R π/ π/ R R sin t R cos t dt R π/ cos t dt R dt πr. π/ R cos t π/ Délk půlkružnice je tedy πr, délk celé kružnice tudíž πr. b) Pro délku křivky popsnou prmetricky rovnicemi x ϕ(t), y ψ(t), t [t,t ]zpředpokldu, že derivce ϕ ψ jsou stejnoměrně spojitén (t,t ), pltí t l (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt t Kružnici o poloměru R se středem v počátku můžeme popst rovnicemi x R cos t, y R sin t, t [, π]. Položme tedy ϕ(t) R cos t, ψ(t) R sin t. Potom ϕ (t) R sin t ψ (t) R cos t, tedyϕ ψ jsou spojité n[, π], tudíž stejnoměrně spojitén(, π). 3 Doszením do vzthu výše dostneme π π l ( R sin t) +(Rcos t) dt R dt πr. c) Pro délku křivky určenou rovnicí r f(ϕ), ϕ [ϕ,ϕ ]vpolárních souřdnicích pltí, z předpokldu stejnoměrné spojitostif v(ϕ,ϕ ), že l ϕ ϕ (f(ϕ)) +(f (ϕ)) dϕ Kružnice o poloměru R je popsná rovnicí r R, ϕ [, π], tedy f(ϕ) R je konstntní funkce. Odtud π l R + dϕ πr. Příkld. Spočtěte délku křivky y rcsinx + x, x (, ). 3 )Spojitá funkce n uzvřeném intervlu je n tomto intervlu ( tedy též jehovnitřku) stejnoměrně spojitá. Důkz je jednoduchou plikcí Heine-Borelovy věty.

9 Návod. Položme y f(x). Pltí, že tedy l f (x) x (f (x)) x x ( x) x x +x x x, +(f (x)) dx + x +x dx [ +x ] [ ] 4. +x dx Příkld. Spočtěte délku evolventy kruhu 4 x(t) (cos t + t sin t), y(t) (sin t t cos t), t [, π]. Návod. Pltí, že l π π (x (t)) +(y (t)) dt (( sin t +sint + t cos t)) +((cos t cos t + t sin t)) dt π π (t cos t) +(t sin t) dt t dt π [ t t dt ] π Příkld.3 Odvod te vzth pro povrch koule. π. Návod. Opět můžeme postupovt třemi způsoby. ) Obsh plochy, která vzniknerotcíkřivky, jež je grfem funkce f vintervlu [, b], lze, je-li f stejnoměrně spojitán(, b), vypočíst podle vzthu S π f(x) +(f (x)) dx Sfér ( povrch koule) o poloměru R vznikne rotcípůlkružnice f(x) R x, x [ R, R] kolem osy x. Zřejmě f(x) f(x) f x (x) R x, odkud vyplývá, že R S π R x x + R R x dx 4 )Evolventjekřivk, jejíž evolutoujednákřivk. Evolutou křivky je množin středů křivosti v jednotlivých bodech křivky.

10 R π Rdxπ [Rx] R R π [ R ( R ) ] 4πR. R b) Obsh plochy, která vzniknerotcí kolem osy x křivky popsné prmetricky x ϕ(t), y ψ(t), t (α, β), mjí-li ϕ ψ v tomto intervlu stejnoměrně spojité derivce funkce ϕ je ryze monotónní, lze vypočítt podle vzthu S π β α ψ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt. Sfér ( povrch koule) o poloměru R vznikne rotcí půlkružnice, kterou lze prmetricky popst rovnicemi x R cos t, y R sin t, t [,π]. Položme ϕ(t) R cos t, ψ(t) R sin t. Potom ϕ je ryze monotónní funkce ϕ (t) R sin t ψ (t) R cos t jsou spojité n[,π], tedy stejnoměrně spojitén (,π). Proto π π S π R sin t R sin t + R cos t dt πr sin t dt πr [ cos t] π πr [ ( ) ( ())] 4πR. c) Obsh plochy, která vzniknerotcíkřivky r f(ϕ), ϕ [ϕ,ϕ ] [,π] kolem polární osy,zpředpokldu, že f je stejnoměrně spojitán(ϕ,ϕ ), lze vypočítt podle vzthu S π ϕ ϕ f(ϕ) sin ϕ (f(ϕ)) +(f (ϕ)) dϕ. Sfér ( povrch koule) o poloměru R vznikne rotcí půlkružnice, kterou lze vpolárních souřdnicích popst rovnicí r R, ϕ [,π]. Tedy f(ϕ) R je konstntní funkce, tudíž π S π R sin ϕ π R + dϕ πr sin ϕ dϕ 4πR. Příkld.4 Nlezněte povrch rotčního těles vzniklého rotcí křivky y x 3, x, kolem osy x. Návod. Obsh plochy, která vzniknerotcíkřivky, jež jegrfemfunkcef v intervlu [, b], lze, je-li f stejnoměrně spojitán(, b), vypočíst podle vzthu S π f(x) +(f (x)) dx Položme f(x) x 3.Podmínk x vlstněříká, že x [, ]. Zřejmě f (x) 3x,cožjespojitá funkce n [, ], tedy stejnoměrně spojitán (, ). Po doszení dovzthuprovýpočet plochy dostáváme S π x 3 +9x 4 dx vzhledem k sudosti integrndu symetrii oboru integrce je S π x 3 +9x 4 dx.

11 Substitucí t +9x 4,spřihlédnutím k dt 36x 3 dx dostneme [ t 3/ ] S 4π t dt 36 9 π [ ] 3/ 7 π 3/.. Momenty. Těžiště, sttický moment, moment setrvčnosti.. Rovinná oblst omezená grfy dvou funkcí Mějme oblst Ω v rovině omezenou přímkmi x, x b, b grfy spojitých funkcí f,g tkových, že g(x) f(x) prox [, b]. Tedy Ω{[x, y] :y [f(x),g(x)],x [, b]}. Vtéto oblsti uvžujme hmotu rozloženou se speciálníplošnou hustotou ϱ(x) (je tedy konsttní podél osy y). Pro celkovou hmotu v oblsti pltí M σ(x)(f(x) g(x)) dx. Sttickými momenty vzhledem k ose x y nzveme čísl 5 M x σ(x)(f (x) g (x)) dx, M y Pro souřdnice těžištětěles [ξ,η] pkmáme σ(x)x(f(x) g(x)) dx. ξ M y M, η M x M. Příkld.5 Nlezněte těžiště homogenního čtvrtkruhu o poloměru r. Návod. Čtvrtkruh o poloměru r je oblst omezená grfyspojitých funkcí f(x) r x, g(x) vintervlux [,r]. Díky homogennitě můžeme položit σ(x) ( oněco správněji můžete položit rovno konstntě σ, nvýsledku se, jk lze vidět ihned z výrzů prom, M x, M y nic nezmění, viz tké následující příkld). Dostáváme tk r π/ M r x dx r r sin trcos t dt ] π/ π/ [ t +sintcos t r cos tdt r π 4 r. Použili jsme substituci x r sin t. Výsledek můžeme njít tké úvhou, nebot při jednotkové hustotějehmotnostčtvrtkruhu číselně rovn jeho obshu. Pro sttické momentymáme M x r (r x )dx ] r [r x x3 3 3 r3 3 r3, 5 )jdevlstně o hmotnost svislého obdélníčku o obshu (f(x) g(x)) dx krát vzdálenost jeho těžiště odosy. Protože σ(x) jepropevné x konstntní, mátěžiště vesvém středu, odtud plyne, že jeho vzdálenost od osy x (f(x) g(x)).

12 M y r x r x dx r t dt [ t 3/ 3/ ]r 3 r3 3 r3. Použili jsme substituce t r x,dt x dx. Rovnost obou momentů můžeme též vyvodit ze symetrie. Odtud dostáváme, že ξ M y M 3 r3 4r r 3π, π 4 3 r3 π 4 η M x M 4r r 3π. Mějme nyní hmotný oblouk popsný prmetrickými rovnicemi x ϕ(t), y ψ(t) s lineární hustotou μ(t), t [t,t ], přičemžderivceϕ, ψ jsou stejnoměrně spojité n(t,t ). Hmotnost oblouku spočteme jko M t t μ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt. Sttické momenty vzhledem k osám x, y jsou čísl M x M y t t t t μ(t)ψ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt, μ(t)ϕ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt. Souřdnice těžiště [ξ,η] jsou opět určeny vzthy ξ M y M, η M x M. Příkld.6 Nlezněte polohu těžiště poloviny homogenní steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t [,π].

13 Návod. Spočteme hmotnost sttickémomenty steroidy. Z tím účelempoložme t,t π, x ϕ(t) cos 3 t, y ψ(t) sin 3 t.protože je steroid homogenní, je μ(t) μ konstnt. Potom Pro hmotnost steroidy máme μ π ϕ (t) 3 cos t sin t, ψ (t) 3 sin t cos t. t M μ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt t π 9 cos 4 t sin t +9 sin 4 t cos t dt μ 3 cos t sin t dt Protože sin t>n(,π), je sin t sint. Oproti tomu le cos t cost n (,π/) cos t cos t n (π/, ). Tudíž π/ π 3μ sin t cos t dt 3μ sin t cos t dt π/ 3 π/ μ sin t dt 3 π μ sin t dt 3 μ [ cos t 3 μ [ ( ) ] π/ Pro sttický moment vzhledem k ose x máme π t π/ 3 [ ] π cos t μ π/ ] 3 [ μ ( ) ] 3μ. M x μ(t)ψ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt μ sin 3 t 9 cos 4 t sin t +9 sin 4 t cos t dt π 3μ sin 3 t sin t cos t dt což ze stejných důvodů jko výše rozdělíme n dv intervly π/ π 3μ sin 4 t cos t dt 3μ sin 4 t cos t dt n ob integrály použijeme substituci x sint dostneme 3μ x 4 dx 3μ x 4 dx π/ 3μ x 4 dx +3μ x 4 dx [ x 6μ x 4 dx 6μ 5 ] μ.

14 Pro sttický moment vzhledem k ose y máme π t M y μ(t)ϕ(t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt μ cos 3 t 9 cos 4 t sin t +9 sin 4 t cos t dt π 3μ cos 3 t sin t cos t dt což ze stejných důvodů jko výše rozdělíme n dv intervly π/ π 3μ cos 4 t sin t dt 3μ cos 4 t sin t dt n ob integrály použijeme substituci x cost dostneme π/ 3μ x 4 dx +3μ x 4 dx 3μ x 4 dx 3μ x 4 dx ] ] [ [ x 3μ 5 x 3μ Vzhledem k symetrii křivky lze tento výsledek dostt tké úvhou. Pro polohu těžiště tedymáme ξ M y M 3μ, η M 6 x M 5 μ 3μ 5. Rotční těleso s objemovou hustotou γ(x), které vzniknerotcí plochy, omezené vrovině xy přímkmi x, x b grfy funkcí g(x) f(x) prokždé x [, b], kolem osy x, má celkovou hmotnost M π γ(x)(f (x) g (x)) dx. Sttické momenty vzhledem k souřdnicovým rovinám jsou M xy M xz, M yz π xγ(x)(f (x) g (x)) dx. Pro polohu těžiště máme T (ξ,, ), ξ M yz M. Příkld.7 Nlezněte polohu těžiště homogenní polokoule x + y + z, x>. (Předpokládejte >.)

15 Návod. Kvůli procvičení vypočtěme podle uvedeného vzthu nejprve celkovou hmotnost polokoule, čkoliv bychom ji sndno mohli spočítt jko objem polokoule krát hustot. Polokoule vznikne rotcí čtvrtkruhu omezeného přímkmi x,x grfy funkcí f(x) x, g(x).díky homogennitě je hustot konstntní, tj. γ(x) γ. Tudíž M π γ( x )dx 3 γπ3. Pro sttický moment vzhledem k rovině yz pltí ] [ ] M yz π xγ( x )dx πγ [ x x4 4 πγ 4 4 πγ Tudíž T (ξ,, ), ξ M 4 πγ yz M γπ3 8. Příkld.8 Nlezněte momenty setrvčnosti oblouku steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t [,π/] vzhledem k souřdnicovým osám x, y. Sttické momenty jsou obecně definovány jko r dm,kder je kolmávzdálenost elementu hmotnosti dm vůči příslušné ose. Momenty setrvčnosti jsou obecně definovány jko r dm, kder je kolmá vzdálenost elementu hmotnosti dm vůči příslušné ose. Odtud plyne, že z již uvedených vzthů prosttickémomentylze sndno dostt vzthy pro momenty setrvčnosti, stčí uprvit mocninu činitele vyjdřujícího kolmou vzdálenost k ose. Speciálně prohmotný oblouk tk dostneme vzthy I x I y t t t při stejném oznčení veličin jko výše. t μ(t)ψ (t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt, μ(t)ϕ (t) (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt, Návod. Je μ(t) μ>, ϕ(t) cos 3 t, ψ(t) sin 3 (t), t,t π/. Zřejmě ϕ (t) 3 cos t sin t, ψ (t) 3 sin t cos t, tedy I x π/ μ sin 6 t 9 cos 4 t sin t +9 sin 4 t cos t dt π/ 3μ 3 sin 7 t cos t dt. Použitím substituce x sin t dostneme [ x I x 3μ 3 x 7 dx 3μ ] 3 8 μ3.

16 Anlogicky I y π/ μ cos 6 t 9 cos 4 t sin t +9 sin 4 t cos t dt π/ 3μ 3 cos 7 t sin t dt. Použitím substituce x cos t dostneme I x 3μ 3 x 7 dx 3μ 3 [ x8 8 Což vzhledem k symetrii není překvpivé. ] 3 8 μ3..3 Příkldy s fyzikální témtikou Příkld.9 Přímočrý pohyb těles je dný funkcí s ct 3,kdes(t) je délk dráhy z čs t. Velikost odporové síly prostředí jef o kv,kdek>.vypočítejte práci, kterou vykonjí odporové síly, pokud těleso projde dráhu od s do s. Návod. Pltí, že v ds dt 3ct,tedyF o kv 9kc t 4.Těleso se pohybuje od čsu t dočsu t 3 c.práce odporových sil je t t W F d s F ds 9kc t 4 3ct dt 7kc 3 t 6 dt t t 7 [ 7 kc3 t 7] t t kc3 3 c k 3 7 c.

17 Příkld. Při průchodu rdioktivního záření vrstvoulátky o tloušt ce h poklesl jeho intenzit n polovinu původní hodnoty.jká bude intenzit tohoto záření poprůchodu vrstvou o tloušt ce H? (Úlohu řešte z předpokldu, že intenzit záření bsorbovného tenkou vrstvou látky je přímo úměrnátloušt ce vrstvy intenzitě dopdjícího záření.) Návod. Bud I intenzit dopdjícího záření. Při průchodu tenkou vrstvou o tloušt ce dx poklesne intenzit zářeníodi kidx, tudížsplňuje diferenciální rovnici I (x) ki(x), která má(jediné) řešení I(x) I e kx. To lze njít npříkld integrcí obou strn vzthu di I kdx nebot potom I I di H I kdx log I I kh I I e kh I I e kh Konstntu k můžeme určit z podmínky H h, I I /. Tedy e kh kh log log k h. Při průchodu vrstvou tloušt ky H klesne intenzit záření o hodnotu ( ) ] H/h I I(H) I I e H h log I [.

18

19 Kpitol Newtonův integrál. Konvergence integrálu. Přímý výpočet Jestliže F je primitivní funkcí k funkci f n intervlu (, b), b +, existujíčísl F (+) lim x + F (x), F (b ) lim x b F (x), potom definujeme Newtonův (určitý) integrál z funkce f n intervlu (, b) N f(x)dx [F (x)] b : F (b ) F (+), kdykoliv má prvástrnsmysl. Řekneme, že (Newtonův) integrál konverguje, kdykoliv existuje je konečný. Znménko N budeme v dlším textu vynechávt symbolem myslet vždy Newtonův integrál. Příkld. Určete + x dx. Návod. Funkce F (x) x je primitivní funkcí k funkci f n intervlu (, + ). Tudíž + [ x dx ] + lim x x + x lim ( x + x ). (Limitní zápis většinou dále vynecháváme, lze-li výpočet limity provést prostým doszením.) Příkld. Určete e 3x dx. Návod. e 3x dx ] [ e 3x

20 Příkld.3 Určete x ln x dx. Návod. Použijeme metodu per prtes, u lnx, v x. Pku x v x /, tudíž [ ] x x ln x dx ln x x dx [ ] [ ] x [ ] lim x + x ln x lim x x ln x [ ] Příkld.4 Určete e x cos bx dx. Návod. Oznčme I e x cos bx dx hledný integrál. Použijeme dvkrát metodu per prtes, poprvé nu e x, v cosbx. Pk u e x v b sin bx, tudíž e x cos bx dx [ b e x sin(bx) ] + b e x sin(bx) dx výrz v hrnté závorce je v limitě v nule zprv (doszením) i v plus nekonečnu (podle věty omezená krát nulová funkce) nulový, tedy b e x sin(bx) dx b Tudíž jsme dostli rovnost e x sin(bx) dx. b Nyní použijeme per prtes ještě jednou n u e x, v sinbx. Pku e x v b cos bx, tudíž [ ] b e x cos(bx) odkud vyjádříme, že Příkld.5 Určete π/ I b b I, ) I (+ b tg x dx. b I + b. b e x cos(bx) dx [ b ] b + b I. Návod. π/ π/ sin x tg x dx cos x dx použijeme substituci t cosx, dt sin x dx, [ ] t dt [ln t] lim ln t lim ln t [ ( )] +. t t +