Vztah funkce a grafu funkce
|
|
- Eleonora Janowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Matej Drahovský Vztah funkce a grafu funkce Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc. Matematika Obecná matematika Praha 13
2 Týmto by som sa chcel pod akovat vedúcemu mojej práce prof. RNDr. Luděkovi Zajíčkovi, DrSc. za trpezlivé a poučné vedenie tejto práce a za jeho čas. Taktiež by som sa chcel pod akovat RNDr. Slávke Drahovskej za pomoc pri kontrole úpravy a gramatiky práce.
3 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 11/ Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 6 odst. 1 autorského zákona. V dne Podpis autora
4 Název práce: Vztah funkce a grafu funkce Autor: Matej Drahovský Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: V předložené práci studujeme vztah funkce, respektive zobrazení mezi metrickými prostory, a jejího grafu, tedy podmnožiny kartézského součinu dvou metrických prostorů. Hlavní oblastí zájmu pro nás budou reálné funkce jedné reálné proměnné, no jestli to bude možné, budou tvrzení formulována i pro zobrazení mezi jinými prostory. V první kapitole studujeme funkce s uzavřeným grafem. Tito funkce nejdříve charakterizujeme pomocí jejich hromadných hodnot a poté, za určitých předpokladů, charakterizujeme množinu bodů nespojitosti funkce s uzavřeným grafem. Ve druhé kapitole zavedeme pojem Hausdorffovy vzdálenosti podmnožin metrického prostoru a ukážeme vztah mezi různými druhy konvergence funkcí a konvergencí Hausdorffovy vzdálenosti jejich grafů k nule. V poslední kapitole formulujeme Gibbsův jev z teorie Fourierových řad jako konvergenci Hausdorffovy vzdálenosti grafů částečných součtů Fourierovej řady od vhodně upraveného grafu aproximované funkce k nule. Klíčová slova: Graf funkce, Hausdorffova vzdálenost, Gibbsův jev Title: Relations of a function and its graph Author: Matej Drahovský Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: In presented work we study relation between a real function, or a map between two metric spaces, and its graph, a subset of Cartesian product of two metric spaces. Mainly, we will focus on real function of one real variable, but if possible theorems will be concerning maps between other metric spaces. In first chapter we study functions with closed graph. First we characterize these functions by their limit points and then, under some additional conditions, we characterize set of points of discontinuity of a function with closed graph. In second chapter, we introduce Hausdorff distance of subsets of metric space and we will show relations between different types of convergence of functions and convergence of Hausdorff distance of their graphs to zero. In the last chapter, we define Gibbs phenomenon from the theory of Fourier series as convergence of Hausdorff distance of graphs of partial sums of Fourier series from modified graph of approximated function to zero. Keywords: Graph of function, Hausdorff distance, Gibbs phenomenon
5 Názov práce: Vzt ah funkcie a grafu funkcie Autor: Matej Drahovský Katedra: Katedra matematické analýzy Vedúci bakalárskej práce: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: V predloženej práci študujeme vzt ah funkcie, respektíve zobrazenia medzi metrickými priestormi, a jej grafu, teda podmnožiny kartézkého súčinu dvoch metrických priestorov. Hlavnou oblast ou záujmu pre nás budú reálne funkcie jednej reálnej premennej, no ak to bude možné, budú tvrdenia formulované aj pre zobrazenia medzi inými priestormi. V prvej kapitole študujeme funkcie s uzavretým grafom. Tieto funkcie najskôr charakterizujeme pomocou ich hromadných hodnôt a potom, za určitých predpokladov, charakterizujeme množinu bodov nespojitosti funkcie s uzavretým grafom. V druhej kapitole zavedieme pojem Hausdorffovej vzdialenosti podmnožín metrického priestoru a ukážeme vzt ah medzi rôznymi druhmi konvergencie funkcií a konvergencii Hausdorffovej vzdialenosti ich grafov k nule. V poslednej kapitole formulujeme Gibbsov jav z teórie Fourierových rád ako konvergenciu Hausdorffovej vzdialenosti grafov čiastočných súčtov Fourierovej rady od vhodne upraveného grafu aproximovanej funkcie k nule. Kl účové slová: Graf funkcie, Hausdorffova vzdialenost, Gibbsov jav
6 Obsah 1 Funkcie s uzavretým grafom 3 Hausdorffova vzdialenost 5 3 Gibbsov jav 9 1
7 Úvod V následujúcej práci budeme vyšetrovat vzt ah medzi funkciou a jej grafom. Budeme sa zaoberat prevažne reálnymi funkciami jednej reálnej premennej, ale vo viacerých prípadoch sú tvrdenia formulované pre zobrazenia medzi metrickými priestormi. Grafom zobrazenia f : (X, ρ) (Y, σ) medzi metrickými priestormi (X, ρ) a (Y, σ) rozumieme množinu {(x, f (x)) X Y : x X}, ktorú budeme značit G f. Ide teda o podmnožinu kartézskeho súčinu množín X a Y. Aby sme mohli hovorit o väčšine z v tejto práci študovaných vlastností, musíme si na X Y zaviest metriku. Asi najprirodzenejšou vol bou metriky na X Y je takzvaná Euklidovská metrika, definovaná pre x 1, x X a y 1, y Y ako ρ ((x 1, y 1 ), (x, y )) = (ρ (x 1, x )) + (σ (y 1, y )). Dôkaz, že toto zobrazenie je na X Y metrikou, môžme nájst napríklad v [Čech(197)]. V tretej kapitole budeme viackrát používat ρ ((x 1, y 1 ), (x, y )) ρ (x 1, x )+σ (y 1, y ), čo dostaneme z nezápornosti metriky následujúcou úvahou: ρ (x 1, x ) σ (y 1, y ) ρ (x 1, x ) + σ (y 1, y ) (ρ (x 1, x )) + ρ (x 1, x ) σ (y 1, y ) + (σ (y 1, y )) (ρ ((x 1, y 1 ), (x, y ))) (ρ (x 1, x ) + σ (y 1, y )) ρ ((x 1, y 1 ), (x, y )) ρ (x 1, x ) + σ (y 1, y ). V prvej kapitole budeme charakterizovat zobrazenia, ktorých graf je uzavretá množina pomocou množiny hromadných hodnôt funkcie v danom bode. Pre zobrazenie f : (X, ρ) R z metrického priestoru (X, ρ) do reálnej priamky so štandardnou metrikou a bod x X, týmto myslíme množinu {y R : existuje postupnost x n X taká, že x n x a f (x n ) y}, a túto množinu budeme značit H f (x). Ďalej gul u v metrickom priestore (X, ρ) so stredom v bode x X a polomerom δ >, budeme značit B ρ (x, δ), a rozumieme tým množinu {y X : ρ (x, y) < δ}. Pre M X, uzáver M budeme značit M. Značením f 1 [K] rozumieme vzor množiny K v zobrazení f. Prvé dve kapitoly sú zhrnutím výsledkov, ku ktorým som došiel riešením príkladov z Témy v skriptách [Lukeš(198)] respektíve námetov vedúceho práce. Posledná kapitola je z námetov vedúceho práce a z [Jarník(1955)], kapitola XIII, 5, cvičenie 5.
8 Kapitola 1 Funkcie s uzavretým grafom Veta 1. Nech (X, ρ) je metrický priestor a f : X R je l ubovol né zobrazenie. Potom f má uzavretý graf práve vtedy, ked pre každé x X je množina hromadných hodnôt funkcie f v tomto bode podmnožinou množiny {f (x), ± }. Dôkaz. Nech pre nejaké x X existuje postupnost x n, konvergujúca k x, pre ktorú platí: f (x n ) y f (x). Potom ρ ((x, y), G f ) ρ ((x, y), (x n, f (x n ))) + ρ ((x n, f (x n )), G f ) = ρ ((x, y), (x n, f (x n ))) a pravá strana konverguje k nule. Teda (x, y) G f. Ked že (x, y) / G f dostávame, že f nemá uzavretý graf. Nech pre každé x X je H f (x) {f (x), ± } a nech (x, y) G f. Potom existuje postupnost (x n, f (x n )) konvergujúca k (x, y). Ked že konvergencia v súčine metrických priestorov je ekvivalentná konvergencii po zložkách dostávame, že x n x a f (x n ) y. Z toho y H f (x) a teda y = f (x) a G f je uzavretá množina. Dôsledok. Nech (X, ρ) je metrický priestor a zobrazenie f : X R je spojité. Potom f má uzavretý graf. Dôkaz. Pre spojité zobrazenie platí v každom bode H f (x) = {f(x)}. Dôsledok. Nech f : R R je lokálne obmedzená. Potom f je spojitá práve vtedy, ked má uzavretý graf. Dôkaz. Podl a predošlého dôsledku má spojitá funkcia uzavretý graf. Ak je funkcia lokálne obmedzená, tak množina jej hromadných hodnôt je v každom bode obmedzená. Takže ak má lokálne obmedzená funkcia uzavretý graf, musí mat v každom bode len jedinú hromadnú hodnotu a táto je rovná hodnote funkcie v danom bode. Potom ale je funkcia spojitá. Veta. Nech (X, ρ) je metrický priestor a M X je riedka, uzavretá množina. Potom existuje zobrazenie f : X R, s uzavretým grafom, ktoré je nespojité práve na množine M. Dôkaz. Definujme f (x) = { 1 ρ(x,m), x / M, x M. Potom f je spojité na množine X\M, pretože ρ (x, M) je spojité pre x X a nenulové na X\M z uzavretosti množiny M. Ked že M je riedka, tak pre každé 3
9 ( x M a každé n N existuje x n B ρ x, 1 n) X\M. Potom f (xn ) > n a teda f nie je spojitá v žiadnom bode množiny M. Zostáva dokázat, že f má uzavretý graf. Ak x X\M, tak f je spojitá v x a teda H f (x) = {f (x)}. Ak x M, tak pre y B ρ (x, δ) platí: f (y) {} ( 1, ). Takže hromadnými hodnotami δ funkcie f v bode x môže byt len, čo je hodnota f v tomto bode, alebo. Teda f má uzavretý graf podl a vety (1). Tvrdenie 3. Nech (X, ρ) je metrický priestor a f : X R je zobrazenie s uzavretým grafom. Potom množina bodov nespojitosti f je uzavrená. Dôkaz. Označme množinu bodov nespojitosti funkcie f ako M a nech x M. Pre každé n N existuje bod y n M taký, že ρ (x, y) < 1. Ked že f nie je n ( spojitá v bode y n, existuje k nemu podl a vety (1) bod z n B ρ y, 1 n) taký, že f (z n ) > n. Potom ρ (x, z n ) < 1 a teda je hromadnou hodnotou funkcie f v n bode x. Takže x nie je bodom spojitosti a teda M je uzavretá množina. Tvrdenie. Nech (X, ρ) je metrický priestor a f : X R je zobrazenie s uzavretým grafom. Potom vzor každej kompaktnej podmnožiny R je uzavrená množina. Dôkaz. Nech K R je kompaktná a x f 1 [K]. Nech x n je postupnost bodov z f 1 [K], konvergujúca k x. Potom f (x n ) je postupnost bodov v kompakte a teda môžme vybrat konvergentnú podpostupnost f (x nk ). Označme limitu tejto postupnosti b K. Ked že x nk x dostávame, že (x, b) G f = G f. Takže b = f (x) K a teda f 1 [K] je uzavrená. Veta 5. Nech (X, ρ) je Bairov metrický priestor. Nech f : X R má uzavretý graf a označme M množinu bodov nespojitosti zobrazenia f. Potom M je riedka, uzavretá mnozina. Dôkaz. Už vieme, že M je uzavretá množina. Nech existuje a X a ε > také, že f nie je spojitá v žiadnom bode množiny B ρ (a, ε). Pre k Z definujme F k := f 1 [[k, k + 1]] B ρ (a, ε). Podl a predošlého tvrdenia sú F k uzavrené množiny a zjavne F k = B ρ (a, ε). Ak x F k pre nejaké k Z tak x je bodom nespojitosti f a teda podl a vety (1) pre každé δ > existuje y B ρ (x, δ) také, že f (y) > max { k, k + 1 }. Takže F k je pre každé k Z riedka množina v X a teda aj v B ρ (a, ε). Ked že (X, ρ) je Bairov, je aj B ρ (a, ε) Bairov a teda zjednotenie F k nemoze byt hustou podmnožinou B ρ (a, ε) čo je spor. Takže množina bodov spojitosti funkcie f je hustá, otvorená množina, z čoho M je riedka množina.
10 Kapitola Hausdorffova vzdialenost Nech (X, ρ) je metrický priestor. Pre neprázdne množiny A, B X definujme { } ρ H (A, B) := max sup ρ (x, B), sup ρ (x, A). x A x B Túto hodnotu budeme nazývat Hausdorffovou odchýlkou množín A a B. V tejto kapitole budeme skúmat vzt ah medzi konvergenciou funkcií a Hausdorffovou odchýlkou ich grafov. Veta 6. Nech (X, ρ) je metrický priestor. Označme K systém všetkých neprázdnych, kompaktných podmnožín X. Potom (K, ρ H ) je metrický priestor. Dôkaz. Jednoduchým dosadením do definície a z nezápornosti metriky dostávame pre A, B X neprázdne ρ H (A, B) = ρ H (B, A). Nech ρ H (A, B) =. Potom pre všetky x A je ρ (x, B) = a pre všetky x B je ρ (x, A) =. Takže A B a B A. Ked že A, B sú uzavreté, dostávame A B B A A a teda A = B. Nech A, B, C sú neprázdne podmnožiny (X, ρ) a nech a A, b B a c C potom z trojuholníkovej nerovnosti platí: ρ (a, c) ρ (a, b)+ρ (b, c). Ďalej z definície vzdialenosti bodu od množiny platí: ρ (a, C) ρ (a, c), čím dostávame ρ (a, C) ρ (a, b)+ρ (b, c), z čoho infimom cez c C dostávame ρ (a, C) ρ (a, b)+ρ (b, C) ρ (a, b) + ρ H (B, C), kde posledná nerovnost vyplýva z definície ρ H. Infimom cez b B a použitím ρ (a, B) ρ H (A, B) dostávame ρ (a, C) ρ H (A, B)+ρ H (B, C) pre každé a A, z čoho vyplýva sup a A ρ (a, C) ρ H (A, B) + ρ H (B, C). Analogickým postupom dokážeme, že sup c C ρ (c, A) ρ H (A, B) + ρ H (B, C) a získavame, že pre každé A, B, C X neprázdne platí: ρ H (A, C) ρ H (A, B) + ρ H (B, C). Zostáva dokázat, že na množine všetkých kompaktných podmnožín X je ρ H konečná. Ak A, B X sú neprázdne kompaktné množiny, potom existujú x X a n N také, že A, B B (x, n) a teda pre a A a b B platí ρ (a, b) n z čoho ρ H (A, B) n. Z dôkazu je zrejmé, že ρ H je metrikou na každom systéme neprázdnych, uzavrených podmnožín (X, ρ) na ktorom je konečná a tiež, že ak Hausdorffova vzdialenost dvoch množín je nula, tak každá z týchto množín je podmnožinou uzáveru tej druhej, teda môžeme hovorit aspoň čiastočne o konvergencii. 5
11 Veta 7. Nech (X, ρ), (Y, σ) sú metrické priestory, nech f n, f : (X, ρ) (Y, σ) sú funkcie a nech f n f na (X, ρ). Potom ρ H (G fn, G f ). Dôkaz. Nech máme dané ε >. Z rovnomernej konvergencie funkcií nájdeme n N také, že pre každé n n a každé x X platí: σ (f n (x) f (x)) ε. Potom pre x X je ρ ((x, f n (x)), G f ) ρ ((x, f n (x)), (x, f (x))) < ε, z čoho vyplýva sup y Gfn ρ (y, G f ) ε. Podobne dostávame sup y G f ρ (y, G fn ) ε a teda ρ H (G fn, G f ) < ε pre každé n n. Obdobné tvrdenie všeobecne neplatí ak zameníme rovnomernú konvergenciu za lokálne rovnomernú, ako ukazuje následujúci príklad. Príklad. Za f n, f : (, 1) R zvol me funkcie f n (x) = x n a f ako identicky nulovú funkciu. Potom f n konvergujú lokálne rovnomerne k f a pritom pre každé n N platí ρ H (G fn, G f ) lim k ρ (( 1 1 k, ( 1 1 k) n ), Gf ) = 1. Existujú dve rôzne reálne funkcie, f, g, pre ktoré platí ρ H (G f, G g ) =. Túto vlastnost majú napríklad funkcie f (x) = g (x) = sin 1 pre x, f () = x, g () = 1. Pre toto nie je možné bez dodatočných predpokladov na funkcie f n a f implikáciu vo vete (7) obrátit (ak uvažujeme ϕ n (x) = f (x) a ϕ (x) = g (x) pre každé x R, tak zjavne ρ H (G ϕn, G ϕ ) a ϕ n ϕ takže nemôžu konvergovat ani rovnomerne). Následujúce tvrdenie ukazuje, že toto nenastáva, ak je f spojité zobrazenie. Tvrdenie 8. Nech (X, ρ), (Y, σ) sú metrické priestory a nech f je spojité zobrazenie z X do Y. Potom pre každé g : X Y platí: ak ρ H (G f, G g ) = tak f = g na X. Dôkaz. Nech existuje g : X Y také, že ρ H (G f, G g ) = a pre x X platí f (x ) g (x ). Označme ε := σ (f (x ), h (x )). Ked že f je spojité, existuje δ > také, že pre všetky x B ρ (x, δ) je σ (f (x) f (x )) ε. Potom ρ ((x, g (x )), G f ) min { ε, δ} > čo je spor s ρ H (G f, G g ) =. Ako ukáže následujúci príklad, ani predpoklad spojitosti zobrazení f n a f nestačí na to aby sme mohli implikáciu vo vete 7 obrátit. Príklad. Nech f (x) = x a f n (x) = ( x n) 1 pre x ( R a n N. Potom pre každé n N a pre každé x R je ρ ((x, x ), G fn ) ρ (x, x ), ( x + 1, x)) = 1. n n Ďalej pre x R je ( ρ ((x, x 1 ) ) ) (, G f ρ ((x, x 1 ) ), n n (x 1n (, x 1 ) )) = 1 n n. Takže ρ H (G fn, G f ) 1 pre každé n N. Na druhej strane ale f n n nekonvergujú rovnomerne k f, pretože ak pre n N, a ε > zvolíme x > nε + 1, tak platí: n f n (x) f (x) = x x + 1 x n n = 1 1 x n n > ε. Následujúca veta ukazuje, že implkáciu môžeme otočit za predpokladu rovnomernej spojitosti limitnej funkcie. Veta 9. Nech (X, ρ), (Y, σ) sú metrické priestory, nech f n, f : (X, ρ) (Y, σ) sú funkcie a nech f je rovnomerne spojitá. Nech ρ H (G fn, G f ). Potom f n f. 6
12 Dôkaz. Nech máme dané ε >. Nájdeme δ > také, že pre x, y X, ρ (x, y) < δ platí: σ (f (x), f (y)) < ε a δ < ε. Ďalej nájdeme n N tak, aby pre n n platilo: ρ H (G fn, G f ) < δ. Zvol me n N a x X l ubovol né. Potom existuje y X také, že ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) ρ H (G fn, G f ) < δ < ε. Naviac platí ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) ρ (x, y), čo dáva σ (f (x), f (y)) < ε, a ε > ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) σ (f n (x), f (y)). To nám dáva σ (f n (x) f (x)) σ (f n (x), f (y)) + σ (f (y), f (x)) < ε a teda f n konvergujú rovnomerne k f. Veta 1. Nech a, b R, a < b. Pre neklesajúcu funkciu f : [a, b] R označme A (f) := { (x, y) R : x (a, b), f (x ) y f (x + ) } { (a, y) R : f (a) y f (a + ) } { (b, y) R : f (b ) y f (b) }. Nech f, f n : [a, b] R sú neklesajúce funkcie. Potom je ekvivalentné: 1. lim n f n (x) = f (x) ak x je bodom spojitosti f, alebo krajným bodom intervalu [a, b];. lim n f n (x) = f (x) pre všetky x z nejakej hustej množiny W [a, b], obsahujúcej a a b; 3. ρ H (A (f n ), A (f)). Dôkaz. 1. implikuje. pretože množina bodov spojitosti neklesajúcej funkcie je hustá. Nech platí:. a nech máme dané ε >. Pre x (a, b) nájdeme x l [ x ε, x) W, x r ( x, x + ] ε W a n (x) N také, že pre n n (x) je f n (x l ) f (x l ) < ε a f n (x r ) f (x r ) < ε. Označme δ x := min {x x l, x r x}. Pre a definujeme a l = a, nájdeme n (a) a definujeme δ a = a r a, pre b definujeme zasa b r := b a n (b) a δ b zvolíme obdobne ako pre a. Ked že [a, b] je kompakt a systém {B (x, δ x ) : x [a, b]} tvorí jeho otvorené pokrytie, existujú x 1, x,.., x k také, že k i=1 B (x i, δ xi ) = [a, b]. Položme n := max i {1,,...,k} {n (x i )}. Nech n n a (x, y ) A (f n ). Potom existuje i {1,,..., k} také, že x B (x i, δ xi ). Nech x l, x r sú príslušné vol be n (x i ) a δ xi. Potom z toho, že f n je neklesajúca a vol by x l, x r dostávame nerovnost f (x l ) ε f n (x l ) f n (x ) f n (x r ) f (x r ) + ε. (..1) Ked že x l x i δ xi < x i + δ xi x r, tak x [x l, x r ] a y [f n (x l ), f n (x r )]. Z definície A (f) je zjavné, že pre y [f (x l ), f (x r )] existuje x [x l, x r ] také, že (x, y) A (f) (stačí volit x také, že f (x ) y f (x + ), čo môžeme na základe toho, že funkcia neklesá). Takže z nerovnosti..1 k y existuje y [f (x l ), f (x r )] také, že y y < ε. Potom zjavne ρ ((x, y ), A (f)) ρ ((x, y ), (x, y)) x x + y y < ε pretože x, x [x l, x r ]. Nech n n a (x, y ) A (f). Nájdeme i, x l, x r ako v predošlom prípade. Tentokrát použijeme nerovnost f n (x l ) ε f (x l) f (x ) f (x r ) f n (x r ) + ε, 7
13 ktorá vznikla podobne ako predošlá nerovnost. Použitím rovnakej úvahy ako minule dostávame ρ ((x, y ), A (f n )) < ε, z čoho už vyplýva: ρ H (A (f), A (f n )) < ε pre všetky n n. Nech teraz platí podmienka 3. Nech x (a, b) je bodom spojitosti funkcie f a f n (x) nekonvergujú k f (x). Potom nájdeme ε > také, že pre každé n N existuje n n také, že f n (x) f (x) ε. Zo spojitosti funkcie f v x nájdeme δ > také, že ε > δ a pre y (x δ, x + δ) platí: f (x) f (y) < ε. Ked že ρ H (A (f n ), A (f)) konverguje k nule, nájdeme n N také, že pre všetky n n je ρ H (A (f n ), A (f)) < δ. Nájdeme n 1 > n také, že f n1 (x) f (x) ε. Potom A (f) [x δ, x + δ] R [x δ, x + δ] [ f (x) ε, f (x) + ε ], z čoho ρ ((x, f n1 (x)), A (f)) sa bud nadobúda v bode A (f) mimo [x δ, x + δ] R, alebo niekde v [x δ, x + δ] [ f (x) ε, f (x) + ε ]. Od oboch týchto množín je ale vzdialenost bodu (x, f n1 (x)) aspoň δ, z čoho ρ H (A (f n1 ), A (f)) ρ ((x, f n1 (x)), A (f)) δ, čo je spor s vol bou n. Takže (f n (x)) konverguje k f (x), ak x je bodom spojitosti funkcie f. Vyšetrujme teraz konvergenciu (f n (a)). Ak by množina {f n (a) : n N} nebola obmedzená, dostávame spor s ρ H (A (f n ), A (f)), pretože A (f) je obmedzená množina, a (a, f n (a)) A (f n ) by mali od tejto množiny l ubovol ne vel kú vzdialenost pre vhodné n N. Takže {f n (a) : n N} je obmedzená množina a môžeme z nej vybrat konvergentnú podpostupnost {f nk (a)} k N. Označme limitu tejto postupnosti ako c R. Z ρ H (A (f n ), A (f)) dostávame ρ ((a, c), A (f)) =, inak nájdeme k N také, že pre každé k k je f nk (a) c < δ a zároveň ρ H (A (f), A (f nk )) < δ. Potom ale z trojuholníkovej nerovnosti dostávame ρ ((a, f nk (a)), A (f)) ρ ((a, c), A (f)) ρ ((a, c), A (f)) δ a zároveň ρ ((a, f nk (a)), A (f)) ρ H (A (f), A (f nk )) < δ, čo je spor. Ked že A (f) je uzavretá množina (ide o doplnenie grafu funkcie f o zvislé usečky tam, kde je f nespojitá, podrobný dôkaz uzavretosti A (f) je podobný dôkazu uzavretosti množiny G z následujúcej vety, ktorý je uvedený v jednej z poznámok za touto vetou), dostávame (a, c) A (f), z čoho c [f (a), f (a + )]. Ak by c f (a) = δ > tak nájdeme k N také, že pre všetky k k je f nk (a) c < δ, teda f n k (a) f (a) δ, z čoho ρ H (A (f), A (f nk )) ρ ((a, f (a)), A (f nk )) δ pre všetky k k čo je spor s ρ H (A (f n ), A (f)). Takže c = f (a) je jediný hromadný bod obmedzenej množiny {f n (a) : n N} a teda aj limitou postupnosti f n (a). Pre postupnost f n (b) dostaneme požadovaný záver analogicky. V prvom príklade v tejto kapitole sme ukázali, že tvrdenie neplatí ak definičný obor funkcií je otvorený interval. Následujúci príklad ukáže, že tvrdenie všeobecne neplatí ani bez predpokladu monotónie. Príklad. Nech f je identicky nulová na [, 1] a nech f n : [, 1] R sú definované následovne, x 1 ; n f n (x) = nx, x [ 1 n, n] 1 ; nx, x [, 1 n]. Potom f, f n sú spojité na [, 1], takže A (f) = G f a A (f n ) = G fn. Ďalej pre každé x [, 1] f n (x) konverguje k f (x) a konečne ρ H (G f, G fn ) = 1 pre každé n N. 8
14 Kapitola 3 Gibbsov jav V tejto kapitole formulujeme Gibbsov jav ako približovanie sa grafov čiastočných súčtou Fourierovej rady k mierne pozmenenému grafu funkcie príslušnej tejto rade. Najprv ale pre zjednodušenie uvedieme tvrdenie, ktoré je trochu upravenou verziou vety 1. Veta 11. Nech M R a existuje ε > také, že pre x, y M rôzne, je x y > ε. Nech f : R R je taká funkcia, že pre každé ε > existuje δ > také, že pre každé x < y R spĺňajúce [x, y] M = platí: ak x y < δ, potom f(x) f(y) < ε a nech f nie je spojitá v bodoch množiny M. Nech f n : R R sú spojité. Nech pre každé c M sú a c, b c reálne čísla spĺňajúce a c min {f (c + ), f (c )} max {f (c + ), f (c )} b c. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné: 1. Pre množinu G := {(x, f (x)) : x R\M} {(c, y) : c M, a c y b c } platí: lim n ρ H (G, G fn ) =.. Pre každé ε > platí: (a) f n f na množine F ε := R\ c M (c ε, c + ε), (b) existuje δ > a n N také, že pre každé c M a n n a pre všetky x (c δ, c + δ) je a c ε < f n (x) < b c + ε, (c) pre každé δ > existuje n N také, že pre n n a c M existujú x, x (c δ, c + δ) také, že f n (x ) a c < ε, f n (x ) b c < ε. Poznámka. Prvý predpoklad na funkciu f môžme preformulovat napríklad následovne: f je na každej komponente priestoru R\M rovnomerne spojitá, a to dokonca rovnako (čiže δ z definície rovnomernej spojitosti je pre dané ε > rovnaké pre všetky komponenty). Poznámka. Nech c M a ε >. Nájdeme δ > také, že pre x, y z rovnakej komponenty R\M platí: ak x y < δ, tak f(x) f(y) < ε a (c δ, c) M =. Nech x n c. Nájdeme n N také, že x n c < δ pre n n. Potom x n, x m sú pre n, m n v rovnakej komponente R\M a teda f (x n ) f (x m ) < ε. Takže f (x n ) je Cauchyovská postupnost v úplnom priestore a teda konverguje k y R. Potom nájdeme n 1 N také, že n 1 n a f (x n1 ) y < ε. Pre x (c δ, c) potom platí: f (x) y f (x) f (x n1 ) + f (x n1 ) y < ε a teda f (c ) = y. Analogicky by sme dokázali, že f má v bode c aj druhú jednostrannú limitu a 9
15 teda predpoklady na a c a b c majú zmysel. Tiež to znamená, že funkcia f má v každom bode R vlastné jednostranné limity (pre body z R\M dostávame zo spojitosti) a špeciálne, že v bodoch množiny M má funkcia f nespojitosti typu skok (t.j. pravá a l avá jednostranná limita existuje, ale nerovnajú sa). Poznámka. Nech (x n, y n ) {(c, y) : c M, a c y b c } je konvergentná postupnost. Potom konverguje po zložkách, teda existujú x, y R také, že x n x a y n y. Ked že [x 1, x + 1] je kompaktná množina, je M [x 1, x + 1] konečná množina, a teda existuje δ > také, že M [x δ, x + δ] {x}. Ďalej existuje n N také, že pre n n je x n x < δ a teda x M a pre n n 1 je x n = x. Potom pre n n je y n [a x, b x ], co je uzavretá množina, teda y [a x, b x ]. Čiže (x, y) {(c, y) : c M, a c y b c } a táto množina je teda uzavretá. Nech (x, y) {(x, f (x)) : x R\M}. Nech x n je postupnost reálnych čísel spĺňajúca (x n, f (x n )) (x, y). Ak x / M, tak je bodom spojitosti a teda y = f (x) a (x, y) {(x, f (x)) : x R\M}. Nech x M. Potom od určitého n sú bud všetky x n väčšie ako x alebo sú všetky x n menšie ako x, inak dostávame spor s tým, že f (x n ) konverguje a f (x + ) f (x ). Potom z existencie jednostranných limít dostávame, že y je bud f (x + ) alebo f (x ). Takže z vol by a c, b c platí: {(x, f (x)) : x R\M} G. Takže G = {(x, f (x)) : x R\M} {(c, y) : c M, a c y b c } = {(x, f (x)) : x R\M} {(c, y) : c M, a c y b c } G kde sme pri druhej rovnosti použili M N = M N a uzavretost druhej množiny. Ked že z definície uzáveru platí: G G, dostávame G = G a teda G je uzavretá množina. Dôkaz. Ak M =, tak f je rovnomerne spojitá a tvrdenie platí podl a viet z predošlej kapitoly. Nech M. Nech platí (1) a nech máme dané ε >. Nech je dané η >. Z predpokladov na f nájdeme δ kladné, menšie ako ε také, že pre každé x, y F ε spĺňajúce x y < δ platí f (x) f (y) < η (z predpokladu ε > δ a x, y F ε platí: pre x < y, [x, y] M = ). Zvol me n N také, že ρ H (G, G fn ) < min { η, δ } pre n n. Pre l ubovolné x F ε a n n potom platí: δ ρ ((x, f n (x)), G). Ked že G je uzavretá množina, existuje bod (y, z) G taký, že ρ ((x, f n (x)), G) = ρ ((x, f n (x)), (y, z)) x y a teda y / M, z čoho dostávame, že z = f (y) a x, y sú v rovnakej komponente súvislosti množiny R\M, čo dáva f (x) f (y) < η. Zároveň platí: η ρ ((x, f n (x)), G), a teda η ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) f n (x) f (y). Dohromady dostávame: f n (x) f (x) f n (x) f (y) + f (y) f (x) < η pre každé x F ε a n n. Takže pre každé ε > platí: f n f na F ε. Zvol me δ > tak, aby pre x, y v rovnakej komponente R\M spĺňajúce x y < δ, platilo: f (x) f (y) < ε, δ < ε a δ < ε. Zvol me n N tak, aby pre každé n n platilo: ρ H (G, G fn ) δ. Nech máme c M, x (c δ, c + δ) a n n. Potom ρ ((x, f n (x)), G) < δ, a teda existuje bod (y, z) G taký, že ρ ((x, f n (x)), (y, z)) < δ < ε. Ak y = c, tak z [a c, b c ] a f n (x) z < ε, čiže a c ε < f n (x) < b c + ε. Nech y < c. Potom z = f (y) a pre každé w (y, c) je y w < δ, pretože w (y, c) (c δ, c) (c ε, c) R\M sú y, w v rovnakej komponente R\M a teda f (y) f (w) < ε. Nájdeme w (y, c) také, že f (c ) f (w) < ε a dostávame: f (y) f (c ) f (y) f (w) + 1
16 f (w) f (c ) < ε. Takže f n (x) f (c ) f n (x) f (y) + f (y) f (c ) < ε, kde sme použili f n (x) z < ε a f (y) = z. Ked že f (c ) [a c, b c ], dostávame a c ε < f n (x) < b c + ε. Pre y > dokážeme analogicky. Takže platí aj podmienka (b). Nech máme dané δ >. Nájdeme n N také, že pre každé n n platí: ρ H (G, G fn ) < min {δ, ε}. Nech c M a n n. Potom z ρ ((c, a c ), G fn ) < min {δ, ε} existuje bod x R taký, že ρ ((c, a c ), (x, f n (x))) < min {δ, ε} a teda x c < δ a f n (x) a c < ε. Takže x je hl adané x, x nájdeme analogicky z ρ ((c, b c ), G fn ) < min {δ, ε}. Takže sú splnené všetky tvrdenia v (). Nech platí druhá čast a nech máme dané ε >. Zvol me δ 1 > a n N také, že pre každé c M a n n a pre všetky x (c δ 1, c + δ 1 ) je a c ε < f n (x) < b c + ε. Zvol me δ > také, že pre x, y v rovnakej komponente R\M spĺňajúce x y < δ platí: f (x) f (y) < ε a nech δ < min { δ 1, δ, ε, ε 16 }. Ked že f n f na F δ, existuje n 1 n také, že pre n n 1 a x F δ je f (x) f n (x) < ε a teda aj a ρ ((x, f (x)), G fn ) ρ ((x, f (x)), (x, f n (x))) = f (x) f n (x) < ε ρ ((x, f n (x)), G) ρ ((x, f (x)), (x, f n (x))) = f (x) f n (x) < ε. Nech teraz x (c δ, c + δ) pre nejaké c M a n n 1. Potom z a c ε < f n (x) < b c + ε existuje z [a c, b c ] také, že f n (x) z < ε a teda ρ ((x, f n (x)), G) ρ ((x, f n (x)), (c, z)) x c + f n (x) z < 9 16 ε. Nech (x, y) G, x (c δ, c + δ) pre nejaké c M. Ak x < c, tak existuje x < y < c také, že f (y) f (c ) < ε potom, ked že x y δ a x, y sú v rovnakej komponente R\M, dostávame f (x) f (c ) f (x) f (y) + f (y) f (c ) < ε. Analogicky dostávame pre x > c nerovnost f (x) f (c + ) < ε. Takže, z f (c ), f (c + ) [a c, b c ] dostávame f (x) [ a c ε, b c + ] ε pre x (c δ, c + δ), x c. Ked že pre x = c je y [a c, b c ], máme y [ a c ε, b c + ] ε. Nech máme n n 1 také, že pre n n a c M existujú x, x (c δ, c + δ) také, že f n (x ) a c < ε a f n (x ) b c < ε. Nech máme n n a tomuto n príslušné x, x. Ked že f n je spojitá, musí nadobúdat medzi x a x všetky hodnoty z intervalu [ a c + ε, b [ c ] ε a teda k y nájdeme z ac + ε, b c ] ε také, že y z 3ε, k tomuto z nájdeme w (c δ, c + δ) také, že f n (w) = z. Potom ρ ((x, y), G fn ) ρ ((x, y), (w, z)) x z + y z < 7 8 ε. Spojením predchádzajúcich nerovností dostávame: sup (x,y) Gfn ρ ((x, y), G) 9 ε < ε a sup 16 (x,y) G ρ ((x, y), G fn ) 7ε < ε pre každé n n 8. Takže dostávame: ρ H (G fn, G). Nasledujúce tri tvrdenia sú dokázané napríklad v [Jarník(1955)] (postupne ide o vetu 181,18 a 185). Veta 1. (Rieman) Nech ϕ L (a, b) pre a < b. Potom pre a α b a a β b platí: lim µ β α β ϕ (x) cos (µx) dx = lim ϕ (x) sin (µx) dx =. µ α 11
17 Navyše konvergencia je rovnomerná vzhl adom k (α, β) [a, b]. Veta 13. Nech f P (π). Zvol me l ubovolné δ (, π ) a položme s m (x, δ) = 1 π δ (f (x + t) + f (x t)) sin [(m + 1) t] dt. sin t Potom lim m (s m (x) s m (x, δ)) = a to rovnomerne pre každé x R a pevné δ. Veta 1. (Dirichlet-Jordan) Nech f P (π) je reálna funkcia s konečnou variáciou na intervale [a, b]. Potom platí: 1. Pre každé x (a, b) je Fourierova rada funkcie f v bode x konvergentná a ma súčet 1 (f (x +) + f (x )).. Ak f je spojitá na [a, b], tak je jej Fourierova rada lokálne rovnomerne konvergentná na (a, b). Veta 15. Nech f P (π) je reálna funkcia s konečnou variáciou na [ π, π]. Nech množina bodov nespojitosti funkcie f je lokálne konečná. Nech s m : R R značí m-ty čiastočný súčet Fourierovej rady príslušnej funkcii f. Pre a, b R označme a, b uzavrený interval s krajnými bodmi a a b. Ďalej položme k := 1 π π sin x x G := dx, d x = (f (x + ) f (x )) a { f (x, y) R (x+ ) + f (x ) : y Potom platí: lim m ρ H (G, G sm ) =. + kd x, f (x +) + f (x ) kd x }. Poznámka. Množina G v tvrdení vety je špeciálnym prípadom množiny G vo vete 11 pretože ak x je bodom spojitosti f dostávame d x = a f(x +)+f(x ) = f(x). Za a c, b c pre c M potom položíme vhodnú z dvojice f(x +)+f(x ) +kd x, f(x +)+f(x ) kd x. Dôkaz. Ak M = tak f je spojitá funkcia a teda z toho, že je periodická a z Dirichletovej-Jordanovej vety platí: s m f na R. Ďalej G = G f a podl a vety v predošlej kapitole platí: lim m ρ H (G, G sm ) =. Nech d alej M. Ked že ani čiastočné súčty Fourierovej rady ani množina G sa nezmenia, ak zmeníme f na lokálne konečnej množine, môžeme predpokladat, že pre každé x R platí: f (x) = 1 (f (x +) + f (x )). Označme M množinu bodov nespojitosti funkcie f. Nech pre každé n N existujú x n, y n M rôzne také, že x y 1. Pre n N nájdeme k n n také, že < x n k n π < π. Potom π < y n k n π < π. Označme ẋ n := x n k n π a ẏ n := y n k n π. Potom z toho, že f je π-periodická sú ẋ n, y n M a ẋ n ẏ n < 1. Potom ale musí byt množina [ π, π] M nekonečná, pretože v nej existujú n body o l ubovolne malej vzdialenosti. To je spor s tým, že M je lokálne konečná. Takže množina M spĺňa predpoklady vety 11. Nech K je komponenta R\M potom K je otvorený a obmedzený interval (obmedzený, pretože ak x M tak x + π M a teda diam K π, interval pretože je to súvislá podmnožina R a otvorená je preto, lebo ak x K, tak 1
18 ρ (x, M) = δ >, teda (x δ, x + δ) K, pretože to je súvislá množina s bodom v komponente K). Ked že f má v každom bode R vlastné jednostranné limity, môžeme ju predefinovat tak, že f K je spojitá (stačí v krajných bodoch K položit f rovné príslušnej jednostrannej limite). Potom f K je rovnomerne spojitá, pretože K je kompaktná množina. Takže špeciálne f K je rovnomerne spojitá (ked že K je otvorený interval, tak f bola rovnomerne spojitá na K aj pred predefinovaním). Nech K 1,..., K n pre n N sú také komponenty R\M, že pre x [ π, π] R\M existuje i {1,,..., n}, že x K i (ked že M je lokálne konečná množina, je týchto komponent skutočne konečne vel a). Nech máme dané ε >. Z rovnomernej spojitosti f na K i pre i {1,,..., n} nájdeme δ i > také, že pre x, y K i, x y < δ i platí: f (x) f (y) < ε. Položme δ := min {δ i : i {1,,..., n}}. Nech x, y sú v rovnakej komponente R\M a x y < δ. Nájdeme k Z také, že x kπ [ π, π] a nech K i je komponenta obsahujúca x kπ. Potom y kπ K i, pretože aj komponenty sa periodicky opakujú. Ďalej x kπ (y kπ) = x y < δ δ i a teda ε > f (x kπ) f (y kπ) = f (x) f (y) a f spĺňa predpoklady vety 11. Funkcie s m sú spojité z definície (ide o konečný súčet spojitých funkcií) takže tiež spĺňajú predpoklady vety 11. Neskôr uvidíme, že k > 1, nech c M a f (c +) f (c ) >. Potom a a c = f (c +) + f (c ) b c = f (c +) + f (c ) kd c < f (c +) + f (c ) + kd c > f (c +) + f (c ) f (c +) f (c ) + f (c +) f (c ) = f (c ) = f (c + ). Podobne dostaneme pre f (c + ) f (c ) > nerovnosti a c < f (c ) a b c > f (c + ) (zachovávame a c < b c ), teda aj a c, b c spĺňajú predpoklady vety 11. Podla Dirichlet-Jourdanovej vety na každom uzavretom intervale, neobsahujúcom bod nespojitosti konvergujú čiastočné súčty Fourierovej rady k funkcii rovnomerne a z periodicity funkcie l ahko dostávame, že pre každé ε > platí: f n f na množine F ε := R\ c M (c ε, c + ε). Zostáva dokázat, že čiastočné súčty spĺňajú aj podmienky (b) a (c) z vety (11). Predtým ale ešte vyšetríme priebeh funkcii s m na okolí bodov nespojitosti funkcie f. Nech c M. Nech δ > je také, že f je spojitá na (c δ, c) (c, c + δ). Nech g je π-periodická funkcia spĺňajúca: 1 c π < x < c, g c (x) = x {c, c + π}, 1 c < x < c + π. Označme d := f (c + ) f (c ) a položme h c (x) := f (x) d c g c (x). Potom h c je spojitá funkcia na (c δ, c + δ), pretože lim h c (x) = f (c ) + d x c = f (c +) + f (c ) = f (c + ) d = lim x c + h c (x). 13
19 Pre ξ δ platí: ( s m c + ξ, δ ) = 1 π = d π = d π = d π Podl a vety (13) platí: ( lim m + 1 π δ δ δ δ +s hc m ξ s m (c + ξ) d π (f (c + ξ + t) + f (c + ξ t)) (g c (c + ξ + t) + g c (c + ξ t)) (h c (c + ξ + t) + h c (c + ξ t)) sin [(m + 1) t] dt sin t sin [(m + 1) t] dt + sin t sin [(m + 1) t] dt sin t 1 sin [(m + 1) t] (sign (ξ + t) + sign (ξ t)) dt sin t ( c + ξ, δ ) ( sin [(m + 1) t] dt + s hc m c + ξ, δ ). sin t ξ ( sin [(m + 1) t] dt s hc m c + ξ, δ sin t ) ) = a to rovnomerne pre ξ δ. Opätovným použitím tejto vety dostávame vzt ah ( ( lim s hc m (c + ξ) s hc m c + ξ, δ )) = m rovnomerne pre ξ δ, kde shc m (x) onačuje m-ty čiastočný súčet Forurierovej rady funkcie h c. Z Dirichletovej-Jordanovej vety vieme, že s hc m h c na [ c δ, c + δ ] a dohromady dostávame ( lim s m (c + ξ) d ) ξ sin [(m + 1) t] dt h c (c + ξ) = d (3..1) m π sin t rovnomerne pre ξ δ. Ked že 1 1 je obmedzená funkcia na [ π, ] π sin t t a δ < π dostávame z Riemanovej vety ξ ( d 1 lim m π sin t 1 ) sin [(m + 1) t] dt = t rovnomerne pre ξ δ. Ďalej substitúciou v = (m + 1) t dostávame ξ sin [(m + 1) t] mξ sin v dt = t v dv + (m+ 1 )ξ kde (m+ )ξ 1 sin v mξ dv pre ξ δ. Položme F (x) := x v (3..1) dostávame lim (s m (c + ξ) df (mξ) h (c + ξ)) =, m 1 mξ sin v v dv, sin vdv. Dosadením do v
20 a to rovnomerne pre ξ δ. Vyšetrime priebeh funkcie F. Použitím substitúcie v = t a nepárnosti funkcie sínus dostávame F ( x) = 1 π = 1 π x x sin t dt = 1 t π x sin ( v) dv = 1 v π sin t dt t x sin v dv = F (x), v takže F je nepárna funkcia, preto { nám ju stačí vyšetrovat pre x. Jej prvou sin x deriváciou je funkcia F, x x (x) =, jej druhá derivácia je v bodoch 1, x = x = kπ, k N, nenulová a teda F ma lokálne extrémy práve v bodoch x = kπ, k N. Z priebehu funkcie sin x zist ujeme, že F je rastúca na (kπ π, kπ) pre x k N nepárne a klesajúca na (kπ π, kπ) pre k N párne. Pre k N platí: kπ kπ π sin x x dx kπ = kπ π sin x kπ+π x dx > Rovnosti platia, pretože sin x x nekladná. Nerovnost dostávame zo vzt ahu kπ+π kπ+π sin x kπ x+π kπ+π sin x kπ x že kπ+π sin x kπ x kπ+π sin x kπ x kπ+π sin x kπ x dx sin x x dx = kπ+π kπ sin x x kπ+π dx = kπ sin x x dx. je na intervale [kπ, kπ + π] bud nezáporná alebo sin x kπ kπ x dx = kπ π sin(x+π) x+π dx = > sin x pre x. Nech k N je nepárne, potom máme: x+π sin x dx + kπ+π sin xdx < z predošlej nerovnosti a z toho, kπ x kπ+π x dx <. Pre k N {} párne z podobných dôvodov dostávame: dx = kπ+π sin x dx+ kπ+π sin x dx >. Ked že F (kπ + π) = F (kπ)+ kπ x kπ+π x dx dostávame z predošlých výsledkov F (π) > F (3π) > F (5π) >... a = F () < F (π) < F (π) <.... Ďalej platí: lim x F (x) = 1, ale výpočet tejto limity je pomerne zdĺhavý a preto ho nebudeme uvádzat (je to vypočítané napríklad v [Jarník(1955)], kapitola VIII, príklad 1). Takže F je v x = nulová, potom rastie až po x = π, kde nadobúda svojho globálneho maxima, potom F s postupným klesaním amplitúdy osciluje okolo hodnoty 1, ktorá je jej limitou. Pre x záporné dostávame priebeh F z toho, že ide o nepárnu funkciu. Nech máme dané ε >. Zvol me δ > tak, aby pre každé c M bola f spojitá na (c δ, c + δ) \ {c} a pre x (c δ, c) a y (c, c + δ) platilo: f (x) f (c ) < ε a f (y) f (c +) < ε (takéto δ existuje, pretože M je izolovaná množina a pre jednostranné limity nám z periodicity f stačí volit najmenšie z konečne vel a δ pre jednotlive limity). Nájdeme m N také, že pre každé c M a ξ δ je s m (c + ξ) d c F (mξ) h c (c + ξ) < ε a m δ > π. Nech c M, m m a x ( c, c + ) δ. Nech ξ := x c a dc >, potom máme: d c F (mξ) + h c (c + ξ) ε < s m (c + ξ) < d c F (mξ) + h c (c + ξ) + ε použijeme F (π) = F ( π) F (mξ) F (π) a dostávame: d c F (π) + h c (c + ξ) ε < s m (c + ξ) < d c F (π) + h c (c + ξ) + ε. 15
21 Vieme: h c (c + ξ) = f (c + ξ) d c g c (c + ξ) = f (c + ξ) dc = f (c + ξ) f(c +) f(c ) a f (c + ) ε < f (c + ξ) < f (c +) + ε. Použitím týchto vzt ahov a k = F (π) dostávame: d c k + f (c +) + f (c ) ε < s m (c + ξ) < d c k + f (c +) + f (c ) Analogickým postupom dostávame podobné nerovnosti aj pre x ( c δ, c) a d c <. Takže s m spĺňajú aj predpoklad (b). Nech máme dané ε > a δ >. Nájdeme δ > také, že pre každé c M je f spojitá na (c δ, c + δ ) \ {c}, pre x (c δ, c) a y (c, c + δ) platí: f (x) f (c ) < ε a f (y) f (c +) < ε, a δ > δ. Nájdeme m N také, že pre každé c M a ξ δ je s m (c + ξ) d c F (mξ) h c (c + ξ) < ε a δ m > π. Nech máme c M, m m a nech ξ > je také, že mξ = π. Chceme s m (c + ξ ) f (c) d c k < ε. Z predpokladov je f (c) = f(c +)+f(c ) a k = F (π) = F (mξ ). Dosadením a jednoduchou úpravou dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k = s m (c + ξ ) + f (c +) f (c ) f (c + ) d c F (π). + ε. Dosadíme za zlomok a použitím trojuholníkovej nerovnosti dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k s m (c + ξ ) + d c f (c + ξ ) d c F (π) + f (c + ξ ) f (c + ) Druhý člen môžeme odhadnút ε a 1 nahradíme g c (c + ξ ) a dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k < s m (c + ξ ) + d c g c (c + ξ ) f (c + ξ ) d c F (π) + ε. Posledným dosadením dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k < s m (c + ξ ) h c (c + ξ ) d c F (π) + ε. Použijeme s m (c + ξ) d c F (mξ) h c (c + ξ) < ε a dostávame požadovanú nerovnost. Podobným postupom s využitím mξ = π a F ( π) = F (π) dostávame nerovnost s m (c ξ ) f (c) + d c k < ε. Takže hl adané x a x sú c + ξ a c ξ, a teda funkcie s m spĺňajú aj posledný predpoklad na to, aby sme mohli použit vetu 11. Použitím vety 11 dostávame ρ H (G, G sm ), čím je veta dokázaná. 16
22 Literatúra [Čech(197)] Čech, E. (197). Bodové množiny. Academia, Praha. [Jarník(1955)] Jarník, V. (1955). Integrální počet II. Academia, Praha. [Lukeš(198)] Lukeš, J. (198). Problémy z matematické analýzy. Univerzita Karlova, Praha. 17
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowoFormálne jazyky Automaty. Formálne jazyky. 1 Automaty. IB110 Podzim
Formálne jazyky 1 Automaty 2 Generatívne výpočtové modely IB110 Podzim 2010 1 Jednosmerné TS alebo konečné automaty TS sú robustné voči modifikáciam existuje modifikácia, ktorá zmení (zmenší) výpočtovú
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowoZdroje informácie. Stanislav Palúch. 5. marca Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita
Zdroje informácie Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. marca 2012 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Zdroje informácie 1/39 Reálne
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoDve bariéry, rezonančné tunelovanie
Dve bariéry, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU March 15, 2011 Typeset by FoilTEX Obsah Chebyshevova identita Rezonančné tunelovanie cez dve bariéry Metastabilné stavy Prechod dvoma bariérami:
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoTvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém
Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém s Coulombovým třením Petr Beremlijski, Jaroslav Haslinger, Michal Kočvara, Radek Kučera a Jiří V. Outrata Katedra aplikované matematik Fakulta elektrotechnik
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoKarel Vostruha. evolučních rovnic hyperbolického typu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Karel Vostruha Asymptotické chování nelineárních evolučních rovnic hyperbolického typu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoInternet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoMatematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.
Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoPříručka k rychlé instalaci: NWD2105. Základní informace. 1. Instalace softwaru
Příručka k rychlé instalaci: NWD2105 Základní informace NWD2105 je bezdrátový USB adaptér určený pro použití s počítačem. NWD2105 je kompatibilní s technologií WPS (Wi-Fi Protected Setup). A: LED kontrolka
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowoKombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoMonitoring kolónií svišťa vrchovského tatranského (Marmota marmota latirostris) na poľsko-slovenskej hranici a pytliactvo
Rozwój turystyki kulturowej i przyrodniczej na pograniczu polsko-słowackim PPWSZ, Nowy Targ 2012, s. 83 86 Rozvoj kultúrneho a prírodného turizmu na slovensko-poľskom pohraničí PPWSZ, Nowy Targ 2012, s.
Bardziej szczegółowoObsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n ] a r +q = a a r 3q =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v v v v n 3q q q q r q = r 3q = E = E q E 3q E q = k q rq 3 k 3q r 3q 3 r q = k q rq 3 = kq 4 3 ) 4 q d b d c d d X d ± = d r = x y T d ± r ±
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowonumerického riešenia diferenciálnych rovníc
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc reálny problém presné riešenie matematický model (často diferenciálna rovnica) numerické riešenie Ciel prednášky: uviest niektoré zo spôsobov numerického riešenia
Bardziej szczegółowoMatematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019
Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoConvolution semigroups with linear Jacobi parameters
Convolution semigroups with linear Jacobi parameters Michael Anshelevich; Wojciech Młotkowski Texas A&M University; University of Wrocław February 14, 2011 Jacobi parameters. µ = measure with finite moments,
Bardziej szczegółowoMatematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Stručné poznámky z MA4 LS 2011/2012 Proseminář z matematické analýzy Zapisovatelé: Zúčastnění posluchači Přednášející: Mgr. Robert Šámal, Ph.D.
Bardziej szczegółowoAerodynamics I Compressible flow past an airfoil
Aerodynamics I Compressible flow past an airfoil transonic flow past the RAE-8 airfoil (M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 ) Potential equation in compressible flows Full potential theory Let us introduce
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoRegister and win! www.kaercher.com
Register and win! www.kaercher.com A B A, B A B 2 6 A régi készülékek értékes újrahasznosítható anyagokat tartalmaznak, amelyeket tanácsos újra felhasználni. Szárazelemek, olaj és hasonló anyagok ne kerüljenek
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoKompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
Bardziej szczegółowoO pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego
O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine
Bardziej szczegółowo