Dve bariéry, rezonančné tunelovanie

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dve bariéry, rezonančné tunelovanie"

Wiktoria Lis
4 lat temu
Przeglądów:

1 Dve bariéry, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU March 15, 2011 Typeset by FoilTEX

2 Obsah Chebyshevova identita Rezonančné tunelovanie cez dve bariéry Metastabilné stavy Prechod dvoma bariérami: vlnový baĺık Prechod dvoma bariérami: EM vlna Typeset by FoilTEX 1

3 Chebyshevova identita Matematická identita: Majme maticu M ( a b M = c d ). (1) det M=1, vlastné hodnoty sú λ 1 = e iql a λ 2 = e iql. (2) Potom N-tá mocnina M ( ) N M N a b = = c d Kde U N je dané vzt ahom ( aun 1 U N 2 bu N 1 cu N 1 du N 1 U N 2 ). (3) U N = sin(n + 1)ql, Tr M = λ 1 + λ 2 = 2cosql. U 1 = 0, U 0 = 1. (4) sinql Typeset by FoilTEX 2

4 Dôkaz Matematickou indukciou: (1) Pre N = 1 ChI platí (2) Nech platí pre N 1, potom ukážeme, že plátí aj pre N + 1 Vyjadríme M N+1 = MM N aun 1 U = M( N 2 bu N 1 cu N 1 du N 1 U N 2 = (a2 + bc)u N 1 au N 2 ] c [(a + d)u N 1 U N 2 ) ] b [(a + d)u N 1 U N 2 (d 2 + bc)u N 1 du N 2 (5) Počítajme napr. maticový prvok (M N+1 ) 11 : (a 2 + bc)u N 1 au N 2 = [a(a + d) ad + bc]u N 1 au N 2 = a[(a + d)u N 1 U N 2 ] U N 1 = au N U N 1 (6) Typeset by FoilTEX 3

5 kde sme využili, že a + d = 2cosql a ad bc = det M = 1, a identitu U N 2cosql U N 1 U N 2 (7) Naozaj, U N (ql) = sin(n + 1)ql sinql = sinnqlcosql + cosnqlsinql sinql (8) U N 2 (ql) = sin(n 1)ql sinql = sinnqlcosql cosnqlsinql. (9) sinql Sčítaním oboch rovníc dostaneme U N + U N 2 = 2cosqlsinNql sinql = 2cosql U n (10) Takže máme ( M N+1 aun U = N 1 bu N cu N du N U N 1 ), (11) Typeset by FoilTEX 4

6 Význam Chebyshevovej identity Analyzujme prechod cez N rovnakých prekážok. Ak poznáme M pre jednu prekážku, tak výsledná transfer matica je M N. Transmisia cez jednu prekážku je T = t 2 = 1 M 22 2 (12) Teraz využijeme, že transfer matica ( ) M11 M M = 12 M M 21 M 11 = M22, M 12 = M21 (13) 22 det M = M 11 M 22 M 12 M 21 = M 22 2 M 12 2 = 1 Takže môžeme transmisiu vyjadrit aj ako T = M 12 2 (14) Typeset by FoilTEX 5

7 Alebo T = t 2 = t 2 t 2 + r 2 = r 2 t 2 (15) ( t 2 + r 2 = 1). Z vyjadrenia transfer matice vieme, že M 12 = r t, (16) Ak teda máme T 1 = M (17) potom transmisia cez N rovnakých bariér je T N = M 12 2 U N 1 2. (18) Typeset by FoilTEX 6

8 T N = 1 + r 2 t 2 1 sin 2, Nql sin 2 ql (19) Takže zo znalosti vlastností jedinej prekážky okamžite vieme nájst transmisiu cez l ubovol ný pčet rovnakých prekážok. Typeset by FoilTEX 7

9 Príklad l = 2a + 2b 2a 2b E V 0 Transfer matica jednej prekážky je teraz M = ( e i2kb 0 0 e i2kb Transmisia cez jednu prekážku je ) M bariera (20) T = M 12 2 (21) Typeset by FoilTEX 8

10 Transmisia cez N prekážok je T = M 12 2sin2 (Nql) sin 2 ql a (22) kde l = 2a + 2b a cosql = cos2k a cos2kb 1 2 ( ) k k + k sin2k a sin2kb, (23) k k a k sú zviazané vzt ahmi E = k 2 a E V 0 = (k ) 2. Typeset by FoilTEX 9

11 Rezonančné tunelovanie cez dve bariéry Uvažujme prípad N = 2, a E < V 0. Vtedy elektrón len tuneluje cez bariéru, k = iκ = i E V 0. Napriek tomu, cez dve bariéry elektrón môže prejst s T = 1: V 0 2a 2b 2a Naozaj: transmisia cez dve bariéry je T = M 12 2 cos 2 ql (24) Matica M je teraz definovaná ako ( e i2kb ) 0 M = 0 e i2kb M barrier (25) Typeset by FoilTEX 10

12 kde M barrier je transfer matica pravouhlej potenciálovej bariéry. Transmisia cez dve bariéry môže byt T = 1, ak cosql = 0 2cosql = 2cosh2κ acos2kb ( ) k κ κ sinh2κ asin2kb = 0. (26) k cot 2kb = 1 2 ( ) k κ κ tanh2κ a. (27) k Všimnime si, že v limite a tanh2κ a = 1 a dostaneme rovnicu pre vlastné stavy elektrónu v potenciálovej jame. cot 2kb = 1 2 ( ) k κ κ k (28) Typeset by FoilTEX 11

13 Numerické riešenie 1 V0=10, sirka bariery 2*a, rezonancne stavy E/V a Výška bariéry V 0 = 100, šírka bariér 2a narastá. b = 1. Rezonančné stavy rýchlo konvergujú k vlastným stavom potenciálovej jamy s β = 10. Typeset by FoilTEX 12

14 Nie je to celé také jednoduché. Rezonančné tunelovanie totiž znamená, že prúd nal avo aj napravo od bariér je rovný jednej: j = 1. Prúd v priestore medzi bariérami musí byt preto tiež rovný jednej. Ak vyjadríme vlnovú funkciu medzi bariérami Ψ(x) = Ae ikx + Be ikx, (29) potom j = A 2 B 2. Nájdeme koeficienty A a B z transfer matice: ( A B ) = M ( 1 0 ) = ( M11 M 12 M 21 M 22 )( 1 0 ) (30) kde M je transfer matica pre tunelovanie cez bariéru. Dostaneme A = M 11 = cosh2κa + i 2 ( k κ κ ) sinh 2κa (31) k Typeset by FoilTEX 13

15 B = M 21 = i 2 ( k κ + κ ) sinh 2κa (32) k Preto prúd, j = A 2 B 2 = cosh 2 2κa sinh 2 2κa 1 (33) je naozaj = 1, ale je rozdielom dvoch exponenciálne vel kých prúdov tečucich opačným smerom. na ich vytvorenie potreujeme napumpovat medzi bariéry strašne vel a elektrónov, čo môže trvat vel mi dlho. Typeset by FoilTEX 14

16 Univerzalita Všimnite si, že v rovniciach pre viazané stavy, rezonančné stavy vystupujé len bezrozmerné parametre kb, κa, E/V 0 a β 2 = 2ma 2 V 0 / h 2. Preto sa vypočítané energie nezmenia, ak preškálujeme a α a b α b, V 0 α 2 V 0 Archimedes: Nezávisí od vel kosti, ale od pomeru Pozor: tieto škálovacie pravidlá platia pre elektrón, kde máme disperzný zákon E k 2. Neočakávajte ich platnost v iných prípadoch. Typeset by FoilTEX 15

17 Prechod elektrónu cez dve bariéry dve bariery, V=4, a=5, b=10 k0=2 sigmak=0.1 deltat=k0 Ψ Baĺık sa narodil v čase t = 0 v x = 50. Postupuje doprava a postupne sa rozširuje, kým nenarazí na bariéru. Typeset by FoilTEX 16

18 Rezonančné tunelovanie rovinnej EM vlny 1 eps=-10 Transmisia cez single a double barrieru eps=-10 a=0.1 b= k Transmisia ako funkcia vlnového vektora k pre jednu bariéru a pre dve bariéry. ǫ = 10 (kov). Poloha bariér je zafixovaná, mení sa k, resp. frekvencia vlny. Typeset by FoilTEX 17

19 Transmission olc Ak fixujem frekvenciu, a mením vzdialenost bariér, dostanem periodickú závislost transmisie s vel mi ostrými maximami. V tomto priṕade sa uvažuje reálny kov s absorbciou, preto je výška maxím < 1. Typeset by FoilTEX 18

20 Prechod EM vlny cez dve bariéry Prechod EM vlny, k0=2, sigmak=0.01 eps = Transmisia cez jednu bariéru: T 1 = 0.42, cez dve bariéry T 2 = 0.3 Typeset by FoilTEX 19

21 Metastabilný stav Prechod EM vlny, k0=2, sigmak=0.01 eps = Vlna, ktorá vnikla medzi bariérami, zostane nejaký čas uväznená, pretože tranmsisia cez bariéru je pomerne malá - vytvára metastabilný stav, ktorý postupne vyžaruje do okolia. Typeset by FoilTEX 20

22 Prechod EM vlny cez dve kovové bariéry a=0.1, b=5, eps=-10 k0=2 sigmak=0.1 x Permitivita kovu je záporná. Pre jednoduchost neuvažujeme k-závislost permitivity (ǫ = 10). Typeset by FoilTEX 21

23 a=0.1, b=5, eps=-10 k0=2 sigmak=0.1 x Časový vývoj metastabilného stavu. Transmisia cez jednu kovovú vrstvu je T 1 = Po každom náraze na bariéru vyžiari malé množstvo (stále menšie) energie. Rozloženie pol a medzi bariérami už nie je gaussovské, lebo transmisia cez bariéry závisí od k. Typeset by FoilTEX 22

Podobne dokumenty

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid