Nekomutativní Gröbnerovy báze
|
|
- Przybysław Król
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: Matematické metody informační bezpečnosti Praha 2015
2 Děkuji vedoucímu své diplomové práce, RNDr. Janu Št ovíčkovi, Ph.D., za cenné rady, poskytnutí literatury a čas věnovaný kontrole práce. Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne Zuzana Požárková
3 Název práce: Nekomutativní Gröbnerovy báze Autor: Bc. Zuzana Požárková Katedra: Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Abstrakt: V předložené práci definujeme nekomutativní Gröbnerovy báze, včetně potřebných základů nekomutativní algebry a pojmu přípustné uspořádání. Je zde představena nekomutativní varianta Buchbergerova algoritmu a podrobně studována vylepšení vedoucí k efektivnímu výpočtu. Studium netriviálních obstrukcí nás přivádí k analogii Gebauer-Möller kritérií vedoucích k odstranění většině nadbytečných obstrukcí v nekomutativním případě. Uvádíme zde grafickou interpretaci obstrukcí. Vylepšení algoritmu lze také dosáhnout pomocí redundantních polynomů. Tato práce je shrnutím a zpřesněním výsledků některých známých autorů zabývajících se touto problematikou. V práci definované pojmy jsou ilustrovány na příkladech. Předkládáme zde důkazy některých tvrzení, která byla odlišným způsobem dokázána jinými autory. Klíčová slova: Gröbnerova báze, přípustné uspořádání, obstrukce, Buchbergerův algoritmus, Gebauer-Möller kritéria. Title: Non-commutative Gröbner bases Author: Bc. Zuzana Požárková Department: Department of Algebra Supervisor: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Abstract: In the presented work we define non-commutative Gröbner bases including the necessary basis of non-commutative algebra theory and notion admissible ordering. We present non-commutative variant of the Buchberger algorithm and study how the algorithm can be improved. Analogous to the Gebauer-Möller criteria lead us to detect almost all unnecessary obstructions in the non-commutative case. The obstructions are graphically ilustrated. The Buchberger algorithm can be improved within redundant polynomials. This work is a summary and its specification of the results of some known authors engaged in this field. Presented definitions are ilustrated on examples. We perform proves of some of the statements which have been proven differently by other authors. Keywords: Gröbner basis, admissible ordering, obstruction, Buchberger algorithm, Gebauer-Möller criteria.
4 Obsah Úvod 2 1 Základní pojmy Ideály Struktura K X Přípustné uspořádání Normální tvar polynomu Moduly Gröbnerovy báze v K X a jejich vlastnosti Redukce polynomu Definice Gröbnerovy báze Redukovaná Gröbnerova báze Syzygie Výpočet Gröbnerovy báze Obstrukce Buchbergerův algoritmus Vylepšení Buchbergerova algoritmu Redukce obstrukcí Nekomutativní Gebauer-Möller kritéria Redundantní polynomy Závěr 61 Literatura 62 Seznam tabulek 63 1
5 Úvod Gröbnerovy báze jsou od svého objevení Buchbergerem v roce 1965 nenahraditelným výpočetním prostředkem pro práci se soustavami polynomiálních rovnic. Pokud bychom ovšem za proměnné do rovnic chtěli dosadit něco složitějšího než jen čísla, například čtvercové matice, musíme s rovnicemi zacházet mnohem opatrněji. Speciálně nesmíme bez přemýšlení prohazovat pořadí proměnných, musíme se tedy vzdát komutativity. I v tomto případě má k problému Buchbergerův algoritmus co říci. Jistou potíž však přináší fakt, že nekomutativní Gröbnerova báze nemusí být konečná. Proto nekomutativní verze Buchbergerova algoritmu terminuje pouze tehdy, je-li báze konečná. Proč jsou Gröbnerovy báze atraktivní? Hlavní problém, který řeší, lze vysvětlit během pěti minut, algoritmus řešící tento problém se lze naučit za patnáct minut. Avšak teorie schovaná za ním není triviální k dokázání. Navíc mnoho problémů na první pohled z odlišných oblastí matematiky lze redukovat na problém výpočtu Gröbnerovy báze. Základní myšlenku lze shrnout následovně. Dodáme-li dané množině pěknou vlastnost, vznikne nová množina nazývána Gröbnerova báze, která generuje tentýž ideál jako množina původní. Nasnadě je otázka, jak se Gröbnerovy báze využívají. Mnoho problémů je složitých pro obecnou množinu, kdežto pro Gröbnerovu bázi je jejich řešení snadné díky dodané pěkné vlastnosti. V této práci představíme nekomutativní Buchbergerův algoritmus, který převádí libovolnou množinu na ekvivalentní Gröbnerovu bázi. Řešení problému s Gröbnerovou bází lze pak snadno převést zpět na řešení problému s původní množinou. Základní pojmy z nekomutativní algebry, definice přípustného uspořádání a normálního tvaru polynomu jsou uvedeny v první kapitole. Ve druhé kapitole představíme algoritmus pro redukci polynomu a jeho aplikaci. Poté definujeme Gröbnery báze, které jsou vlastním předmětem práce, a popíšeme vztah mezi normálním zbytkem a normální tvarem polynomu. Pozornost je také věnována jednoznačné redukované Gröbnerově bázi. Na závěr druhé kapitoly popíšeme Gröbnerovy báze pomocí syzygií. Ve třetí kapitole je představen Buchbergerův 2
6 algoritmus pro výpočet nekomutativní Gröbnerovy báze, jehož klíčovými prvky jsou obstrukce a příslušné S-polynomy. Algoritmus je v této podobě neefektivní, nebot mnoho obstrukcí nepřidává nový prvek do parciální Gröbnerovy báze. Čtvrtá kapitola se proto věnuje vylepšení Buchbergerova algoritmu pomocí odstranění nadbytečných obstrukcí a redundantních polynomů. 3
7 Kapitola 1 Základní pojmy Tato kapitola se věnuje základním pojmům z nekomutativní algebry. Zavedeme definice a vlastnosti ideálů a modulů. Popíšeme strukturu nekomutativních polynomů nad konečnou množinou proměnných. Dále čtenáře seznámíme s pojmem přípustné uspořádání a uvedeme jeho příklady. Následně definujeme normální tvar polynomu, který má v teorii Gröbnerových bází zásadní význam. Čerpáme z [1], [3] a [7]. 1.1 Ideály Necht R je okruh. Podmnožina I R se nazývá levý (resp. pravý) ideál, pokud 0 I, a ± b I a r a I (resp. a r I) pro každé a, b I a r R. Je-li ideál zároveň pravý i levý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál. Definice. Říkáme, že prvky a 1, a 2,..., a n R generují ideál I, jestliže I je nejmenší ideál obsahující a 1, a 2,..., a n. Ideál I generovaný a 1, a 2,..., a n budeme značit I = a 1, a 2,..., a n. Následující tvrzení říká, že prvky ideálu lze vyjádřit jako lineární kombinaci generátorů. Tvrzení Necht R je okruh a I = a 1, a 2,..., a n. Pak { n } I = r i a i s i ; r i, s i R. i=1 4
8 Důkaz. Necht a i I, pak r i a i s i I pro libovolná s i, r i R. Tedy i jejich součet je v I a každý prvek tvaru r i a i s i musí náležet I. Navíc tyto prvky tvoří množinu uzavřenou na všechny operace a tudíž z minimality plyne, že ani jiné prvky neobsahuje. Říkáme, že ideál I je konečně generovaný, jestliže má konečnou množinu generátorů. Množinu generátorů B nazýváme iredundantní, jestliže žádná vlastní podmnožina množiny B negeneruje ideál I. Obecně není pravda, že každý ideál je konečně generovaný. S tím souvisí i následující pojem. Definice. Okruh R se nazývá noetherovský, pokud v R neexistuje nekonečná rostoucí posloupnost ideálů I 1 I 2 I Lemma Necht R je okruh. Pak R je noetherovský právě tehdy, když je každý ideál v R konečně generovaný. Důkaz. Nejprve sporem dokážeme, že v noetherovském okruhu R je každý ideál konečně generovaný. Předpokládejme, že ideál I R není konečně generován. Definujme následující posloupnost ideálů. Položme I 1 = a 1, kde a 1 I je libovolně zvoleno. Dále, indukcí, zvolme a i+1 takové, že a i+1 I\I i a položme I i+1 = a 1,..., a i+1. Takové a i+1 existuje, protože ideál I není konečně generován. Získali jsme nekonečnou posloupnost ideálů I 1 I 2..., což je spor. Nyní dokážeme druhou implikaci. Pro spor uvažujme nekonečnou rostoucí posloupnost ideálů I 1 I 2... a položme I = j=1 I j. Potom I je také ideál a předpokládejme, že je konečně generován prvky a 1,..., a n, nebot okruh R je noetherovský. Pak a 1,..., a n I = j=1 I j, takže pro každé i existuje j i splňující a i I ji. Označme k = max i=1,...,n j i. Potom a 1,..., a n I k, tedy a 1,..., a n = I k = I k+1... = I, což je spor. 1.2 Struktura K X Necht X je konečná množina proměnných (abeceda). Slovo nad X je prvek tvaru w = x 1... x k, kde k N a x 1,..., x k X. Délku k slova w označme w. Prázdné slovo (tj. slovo nulové délky) budeme značit 1 a množinu všech slov na X budeme značit X. Necht w = x 1... x l X. Násobení slov w a w definujeme jako zřetězení ww = x 1... x k x 1... x l. Množina X spolu s operací násobení a neutrálním prvkem 1 tvoří monoid. 5
9 Každé slovo tvaru w = x i x i+1... x j, kde 1 i j k, nazýváme podslovo slova w = x 1... x k (nebo také říkáme, že w je násobek w ). Speciálně w nazýváme prefix, jestliže i = 1, a sufix, jestliže j = k. O dvou slovech w, w X říkáme, že jsou nesoudělná, pokud w není podslovo w a ani w není podslovo w. Necht K je těleso. Pak K X = { c w w; c w K a c w 0 jen pro konečně mnoho w X } w X je nekomutativní okruh polynomů generovaný X nad tělesem K (nebo také volná asociativní K-algebra generovaná X), kde operace sčítání + a násobení definujeme předpisy w X u X c w w + w X c u u v X c ww = c v v = w X w X ( w=uv (c w + c w)w, c u c v)w. Množinu {w X ; c w 0} nazýváme nosič polynomu f = w X c ww a značíme ji Supp(f). Nejjednodušší ideály v okruhu K X jsou generované množinou slov a mají následující vlastnost. Tvrzení Necht S X je množina slov, která generuje ideál I = S K X. Potom existuje iredundantní množinu generátorů ideálu I, která je určena jednoznačně a je tvořená pouze slovy. Speciálně, pro každé slovo w I existuje w S takové, že w je násobek slova w. Důkaz. Uvažujme množinu B X všech slov I takových, že neobsahují jiná slova I jako svá vlastní podslova. Dokážeme, že B je iredundantní množina generátorů, která je určena jednoznačně. Necht slovo w je prvek ideálu I a w je nejmenší podslovo w takové, že ještě stále leží v ideálu I. Z definice množiny B plyne, že w B. Odtud společně s Tvrzením dostáváme, že B generuje ideál I. Nyní ukážeme, že je iredundantní. Pro spor předpokládejme, že existuje B B taková, že generuje I. Necht w B\B. Musí tedy existovat slova β B, a, b X taková, že w = aβ b. Z definice B plyne, že w = β, což je spor. Předpokládejme, že máme dvě různé iredundantní množiny generátorů B a B ideálu I. Vezměme prvek β B \B. Podobně jako v předchozím případě dostáváme, že β B. Tím je dokázána jednoznačnost. 6
10 Mějme nekomutativní polynom f = n i=1 c iw i, kde c i K a w i X jsou po dvou různá slova. Jestliže f I, pak zřejmě také w i I pro všechna i = 1,..., n. Necht w = k i=1 p iw i p i, kde w i S, p i, p i K X, i = 1,..., k. Potom musí existovat index i {1,..., k} takový, že w Supp(p i w i p i). Proto platí i druhá část tvrzení. Pokud z množiny generátorů odebereme ta slova, která mají v této množině vlastní podslova, a odstraníme všechna opakování slov, dostaneme iredundantní množinu generátorů. Poznámka. Nekomutativní okruh polynomů K X není noetherovský, jestliže X 2. Například uvažujme K x, y a nekonečnou rostoucí posloupnost ideálů I 1 I 2..., kde I i = xyx, xy 2,..., xy i x. Tedy K x, y není noetherovský. To vede ke komplikacím výpočtu Gröbnerovy báze. 1.3 Přípustné uspořádání Definice. Uspořádání σ na X se nazývá přípustné, jestliže pro všechna slova w 1, w 2, w 3, w 4 X platí následující podmínky: (1) w 1 σ w 2 nebo w 2 σ w 1, tj. σ je úplné, (2) je-li w 1 σ w 2, pak w 3 w 1 w 4 σ w 3 w 2 w 4, tj. σ je kompatibilní s násobením, (3) neexistuje nekonečná klesající posloupnost slov w 1 > σ w 2 > σ..., tj. σ je terminující. Je-li σ přípustné uspořádání, potom w σ 1 pro všechna slova w X. Kdyby existovalo slovo w X takové, že w < σ 1, pak by podle druhé podmínky platilo w i = w i 1 > σ w i w = w i+1 pro každé i N. Díky tranzitivitě bychom dostali nekonečnou klesající posloupnost 1 > σ w > σ w 2 > σ..., což by bylo ve sporu s třetí podmínkou. Jestliže w 1 X je podslovo w 2 X (tj. a, b X taková, že w 2 = aw 1 b), pak w 1 < σ w 2, nebot z 1 σ a a 1 σ b plyne w 1 = 1w 1 σ aw 1 = aw 1 1 σ aw 1 b. V praxi se nejčastěji jako přípustné uspořádání používá tzv. délkově lexikografické uspořádání. Pro jeho definování však nejprve připomeňme známé lexikografické uspořádání. Definice (Lexikografické uspořádání LEX). Pro slova w 1, w 2 X položme w 1 LEX w 2, jestliže w 1 = w 2 w pro nějaké w X, nebo w 1 = wx i w 7
11 a w 2 = wx j w pro nějaká slova w, w, w X a nějaké prvky x i, x j X takové, že i < j. Poznámka. Lexikografické uspořádání není přípustné. Uvažujme monoid x 1, x 2. Potom platí x 2 2 > LEX x 2 a x 2 2x 1 < LEX x 2 x 1. Tedy není splněna kompatibilnost s násobením. Navíc neplatí ani třetí podmínka, nebot existuje nekonečná klesající posloupnost x 2 x 1 > LEX x 2 2x 1 > LEX x 3 2x 1 > LEX.... V literatuře se setkáme s názvem levostranné lexikografické uspořádání. Pravostranné se definuje symetricky. Ačkoliv lexikografické uspořádání není přípustné, pomáhá definovat přípustná uspořádání, kde hraje roli při shodě. Nyní můžeme definovat zmíněné délkově lexikografické uspořádání. Definice (Délkově lexikografické uspořádání LLEX). Pro slova w 1, w 2 X položme { w1 > w w 1 > LLEX w 2 2, w 1 = w 2 a w 1 > LEX w 2. V tomto uspořádání se tedy nejprve porovnává délka slov a až při rovnosti o pořadí rozhoduje lexikografické uspořádání. Příklady. Uvažujme monoid x 1, x 2. (1) Máme x 2 < LLEX x 2 2, nebot x 2 = 1 < 2 = x 2 2. (2) Máme x 2 2x 1 > LLEX x 2 x 1, nebot x 2 2x 1 = 3 > 2 = x 2 x 1. (3) Máme x 1 x 2 2 < LLEX x 2 1x 2, nebot x 1 x 2 2 = 3 = x 2 1x 2 a x 2 1x 2 < LEX x 1 x 2 2. Necht α = (α 1,..., α k ) je vektor nezáporných reálných čísel (nazýváme ho váhový vektor) a necht je dáno slovo w = x i1... x is X. Váhou slova w rozumíme výraz s j=1 α i j a značíme ji W α (w). Definice (Váhovaně lexikografické uspořádání GLEX). Pro slova w 1, w 2 X položme { Wα (w w 1 > GLEX w 2 1 ) > W α (w 2 ), W α (w 1 ) = W α (w 2 ) a w 1 > LEX w 2, kde α je předem daný váhový vektor. 8
12 Položíme-li α = (1,..., 1), dostáváme délkově lexikografické uspořádání. V případě α = (0,..., 0) se jedná o lexikografické uspořádání. Přípustné uspořádání nám pomáhá definovat další pojmy pro nekomutativní polynomy. Definice. Necht σ je přípustné uspořádání na X a necht f K X \{0}. Pak polynom f lze jednoznačně zapsat ve tvaru f = c 1 w c s w s, kde c 1,..., c s K\{0} a w 1,..., w s X jsou taková, že w 1 > σ... > σ w s. Slovo LT σ (f) = w 1 X nazýváme vedoucí term vzhledem k σ a prvek LC σ (f) = c 1 K\{0} vedoucí koeficient vzhledem k σ. Vedoucím monočlenem LM σ (f) vzhledem k σ rozumíme výraz LC σ (f) LT σ (f) = c 1 w 1. Polynom nazýváme monický, jestliže LC σ (f) = 1. Vedoucí term, koeficient a monočlen není pro nulový polynom definován. V následující poznámce jsou shrnuty základní vlastnosti vedoucích termů. Poznámka. Necht f, f 1, f 2 K X \{0} jsou polynomy. (1) Necht f 1 + f 2 0. Pak LT σ (f 1 + f 2 ) σ max σ {LT σ (f 1 ), LT σ (f 2 )}. Navíc LT σ (f 1 + f 2 ) = max σ {LT σ (f 1 ), LT σ (f 2 )} právě tehdy, když LT σ (f 1 ) LT σ (f 2 ) nebo LC σ (f 1 ) + LC σ (f 2 ) 0. (2) Pro všechna slova w, w X platí LT σ (wfw ) = wlt σ (f)w. (3) LT σ (f 1 f 2 ) = LT σ (f 1 )LT σ (f 2 ). 1.4 Normální tvar polynomu Necht σ je přípustné uspořádání na X a I K X je oboustranný ideál. Označme množinu a množinu LT σ {I} = {LT σ (f); f I\{0}} X O σ (I) = X \LT σ {I}. Lze snadno nahlédnout, že množina O σ (I) má následující vlastnost. Jestliže w O σ (I) a w = w 1 w 2, pak w 1 O σ (I) a w 2 O σ (I). Tvrzení Necht σ je přípustné uspořádání na X a I K X je ideál. Pak K X = I Span K O σ (I). 9
13 Důkaz. Nejprve dokážeme, že I Span K O σ (I) = {0}. Uvažujme polynom f Span K O σ (I)\{0}. Kdyby f I, pak by LT σ (f) LT σ {I}. To je ve sporu s tím, že LT σ (f) O σ (I), nebot f Span K O σ (I). Dále sporem dokážeme, že K X = I + Span K O σ (I). Necht f K X je polynom s minimálním vedoucím termem LT σ (f) takový, že f / I+Span K O σ (I). Necht LT σ (f) O σ (I). Zřejmě LT σ ( f LCσ (f)lt σ (f) ) < LT σ (f). Pak dostáváme f LC σ (f)lt σ (f) = f 1 + f 1, kde f 1 I a f 1 Span K O σ (I). Odtud f = f 1 + ( f 1 + LC σ (f)lt σ (f) ) I + Span K O σ (I), což je spor. Nyní necht LT σ (f) LT σ {I}. Potom existuje polynom g I takový, že LT σ (f) = LT σ (g). Zřejmě LT σ ( f LC σ(f) LC σ(g) g) < LT σ (f). Odtud máme kde f 2 I a f 2 Span K O σ (I). Celkem což je opět spor. f = f LC σ(f) LC σ (g) g = f 2 + f 2, ( f 2 + LC ) σ(f) LC σ (g) g + f 2 I + Span K O σ (I), Důsledek Necht σ je přípustné uspořádání na X a I K X je ideál. Pak pro každý polynom f K X existuje právě jeden polynom ˆf Span K O σ (I) takový, že f ˆf I. Důkaz. Stačí dokázat jednoznačnost. Uvažujme polynom f K X. Dále pro spor předpokládejme, že existují dva polynomy ˆf 1, ˆf 2 Span K O σ (I) splňující f ˆf 1, f ˆf 2 I. Pak (f ˆf 1 ) (f ˆf 2 ) = ˆf 1 ˆf 2 I Span K O σ (I). Navíc I Span K O σ (I) = {0} podle předchozího tvrzení. Odtud ˆf 1 = ˆf 2. Definice. Necht I K X je ideál a necht f K X je polynom. Pak polynom ˆf Span K O σ (I), který je dle určen jednoznačně, nazýváme normální tvar f modulo I vzhledem σ a značíme ho N σ,i (f). 10
14 Polynomu f K X říkáme normální polynom modulo I vzhledem k σ, jestliže f = N σ,i (f). Podobně slovu w X říkáme normální slovo, jestliže w = N σ,i (w). Polynom f K X je normální polynom právě tehdy, když f Span K O σ (I), a slovo w X je normální slovo právě tehdy, když w O σ (I). Nyní uvedeme několik pravidel pro počítání s normálním tvarem. Poznámka. Necht I K X je ideál a f, f 1, f 2 K X je polynomy. (1) N σ,i (N σ,i (f)) = N σ,i (f). (2) N σ,i (f 1 f 2 ) = N σ,i (f 1 ) N σ,i (f 2 ). (3) N σ,i (f 1 f 2 ) = N σ,i (N σ,i (f 1 )N σ,i (f 2 )). (4) Platí rovnost N σ,i (f 1 ) = N σ,i (f 2 ) právě tehdy, když f 1 f 2 I. Speciálně f I právě tehdy, když N σ,i (f) = 0. Pokud bude z kontextu zřejmé, jaké přípustné uspořádání a ideál míníme, budeme zkráceně říkat vedoucí term f, normální tvar f, atd. 1.5 Moduly Definice. Necht R je okruh. Levý R-modul M je Abelovská grupa (M, +) společně s operací : R M M taková, že pro všechna m, m M a r, r R platí: 1 R m = m, r (r m) = (rr ) m, r (m + m ) = r m + r m, (r + r ) m = r m + r m. Pravý R-modul se definuje symetricky s operací : M R M. Definice. Necht R a S jsou dva okruhy. Pak R-S-bimodul M je Abelovská grupa (M, +) taková, že M je levý R-modul a pravý S-modul. r R, s S a m M : (rm)s = r(ms). 11
15 Speciálně R-R-bimodul nazýváme oboustranný R-modul. Definice. Necht R je okruh a M je oboustranný R-modul. (1) Necht N M je podgrupa grupy M. Pak modul N nazýváme oboustranný R-podmodul M, jestliže R N R N. (2) Podmnožina B M se nazývá množinou generátorů R-podmodulu N M, jestliže N je nejmenší R-podmodul v M obsahující B. V tomto případě N = { n i=1 r iβ i r i; β i B, r i, r i R} a píšeme N = B. Nyní uvedeme definici instance bimodulu, který bude jedním z hlavních objektů našeho zájmu. Necht K X je nekomutativní okruh polynomů generovaný X nad tělesem K. Definice. Bimodul F k = (K X K K X ) k nazveme volný bimodul nad K X hodnosti k s kanonickou bází {ɛ 1,..., ɛ k }, kde ɛ i = (0,..., 0, 1 1, 0,..., 0), pro i = 1,..., k, přičemž 1 1 leží na i-té pozici. Prvek ɛ i se nazývá standardní bázický vektor v F k. Označme T(F k ) = {wɛ i w ; i {1,..., k}, w, w X } množinu všech termů v F k. 12
16 Kapitola 2 Gröbnerovy báze v K X a jejich vlastnosti V této kapitole uvedeme algoritmus pro redukci polynomu a jeho aplikaci. Ve druhé části definujeme Gröbnerovy báze a popíšeme jejich vlastnosti. Na závěr předvedeme výpočet redukované Gröbnerovy báze. Kapitola vychází z [2], [3] a [8]. 2.1 Redukce polynomu V této části představíme algoritmus pro redukci polynomu, který je klíčovou ingrediencí v teorii Gröbnerových bází. Algoritmus 1 Redukce polynomu vstup: f, g 1,..., g s K X \{0}, s 1 výstup: reprezentace polynomu f = s ki i=1 j=1 c ijw ij g i w ij + r 1: k 1 =... = k s := 0, r := 0 a p := f 2: while p 0 do 3: if LT σ (p) je násobek nějakého LT σ (g i ) then 4: najdi nejmenší 1 i s: LT σ (p) = wlt σ (g i )w pro w, w X 5: k i := k i + 1 6: 7: c iki := LCσ(p) LC σ(g i ) w iki := w 8: w ik i := w 13
17 9: p := p c iki w iki g i w ik i 10: else 11: r := r + LM σ (p) 12: p := p LM σ (p) 13: return trojice (c 11, w 11, w 11),..., (c sks, w sks, w sk s ) a polynom r Věta Algoritmus 1 vrací reprezentaci polynomu f = s k i c ij w ij g i w ij + r, i=1 j=1 kde c ij K\{0}, w ij, w ij X pro všechna i {1,..., s}, j {1,..., k i }, a r K X takové, že jsou splněny následující podmínky. (1) Žádný prvek Supp(r) není obsažen v LT σ(g 1 ),..., LT σ (g s ). (2) Jestliže r 0, pak LT σ (r) LT σ (f). Pro všechna i {1,..., s} a všechna j {1,..., k i } platí LT σ (w ij g i w ij) σ LT σ (f). (3) Pro všechna i {1,..., s} a všechna j {1,..., k i } platí LT σ (w ij g i w ij) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g i 1 ). Důkaz. (1) Plyne z toho, že polynom r je tvořen termy LT σ (p), pro které neexistuje i takové, že LT σ (p) je násobkem LT σ (g i ). (2) Zřejmě pro r 0 máme LT σ (r) σ LT σ (f), nebot v každé iteraci odečítáme od p vedoucí monočlen LM σ (p). Druhá část tvrzení plyne z předešlého a z rovnosti LT σ (p) = wlt σ (g i )w = LT σ (wg i w ). (3) Vždy hledáme nejmenší 1 i s takové, že LT σ (p) = wlt σ (g i )w je násobkem LT σ (g i ). Tyto tři vlastnosti činí z algoritmu silný nástroj v teorii Gröbnerových bází. Následující příklad ukazuje, že výsledné trojice (c 11, w 11, w 11),..., (c sks, w sks, w sk s ) a polynom r K X splňující podmínky z věty nejsou jednoznačně určeny přípustným uspořádáním σ a polynomy f, g 1,..., g s K X \{0}. V algoritmu může existovat více než jeden pár (w, w ) splňující LT σ (p) = wlt σ (g i )w. 14
18 Příklad. Uvažujme Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z. Polynom f = zy 2 xy zredukujeme dvojicí polynomů g 1 = yx + y a g 2 = y 2 + z. Máme LT σ (g 1 ) = yx a LT σ (g 2 ) = y 2. Dále postupujeme podle algoritmu 1. (1) k 1 = k 2 = 0, r = 0 a p = f = zy 2 xy. (2) Platí LT σ (p) = zylt σ (g 1 )y, tedy položme k 1 = 1, c 11 = LCσ(p) LC σ(g 1 ) = 1, w 11 = zy, w 11 = y a p = p c 11 w 11 g 1 w 11 = zy 3. (3) Dále máme LT σ (p) = zlt σ (g 2 )y, tedy k 2 = 1, c 21 = LCσ(p) LC σ(g 2 ) = 1, w 21 = z, w 21 = y a p = p c 21 w 21 g 2 w 21 = z 2 y. (4) Nyní LT σ (p) = z 2 y není násobkem LT σ (g 1 ) ani LT σ (g 2 ), proto položme r = r + LM σ (p) = z 2 y a p = p LM σ (p) = 0. Tedy reprezentace polynomu f = zyg 1 y zg 2 y + z 2 y je výstupem tohoto algoritmu. Všimněme si, že v kroku (3) jsme jako dvojici (w 11, w 11) mohli zvolit (zy, 1). Pak bychom dostali f = zyg 1 y zyg 2 + zyz. Pro odstranění nejednoznačnosti použijeme doplňující podmínku (strategii) na výběr dvojice (w, w ) splňující rovnost LT σ (p) = wlt σ (g i )w. Jednou z možných strategií tzv. levou redukcí polynomu je volba dvojice (w, w ) tak, aby délka slova w byla minimální možná (tj. slovo LT σ (g i ) je nejvíce levé podslovo LT σ (p)). Podobně můžeme požadovat, aby délka slova w byla nejmenší možná. Takovou strategii nazýváme pravou redukci polynomu. Pokud bychom požadovali w = 1, obdrželi bychom prefixovou redukci polynomu, která má své uplatnění při výpočtu Gröbnerovy báze pravého ideálu. Důsledek Jestliže v algoritmu 1 zafixujeme strategii pro výběr dvojic (w, w ), potom výsledné trojice (c 11, w 11, w 11),..., (c sks, w sks, w sk s ) a polynom r K X splňující podmínky z věty jsou jednoznačně určeny přípustným uspořádáním σ a polynomy f, g 1,..., g s K X \{0}. Důkaz. Předpokládejme, že existují jiné trojice (d 11, v 11, v 11),..., (d sls, v sls, v sl s ) a polynom r K X splňující také podmínky z věty Potom 0 = s k i ( c ij w ij g i w ij l i i=1 j=1 j=1 d ij v ij g i v ij) + (r r ). 15
19 Pokud LT σ (w ik g i w ik ) = LT σ(v il g i v il ), pak w ik = v il a w ik = v il, nebot platí w ik LT σ (g i )w ik = LT σ(w ik g i w ik ) = LT σ(v il g i v il ) = v illt σ (g i )v il a máme zafixovanou strategii pro volbu párů (w, w ) a (v, v ). Položme k s A s = c sj w sj g s w sj j=1 l s j=1 d sj v sj g s v sj. Dále máme LT σ (w s1 g s w s1) > σ LT σ (w sj g s w sj) pro všechna j {2,..., k s } a také LT σ (v s1 g s v s1) > σ LT σ (v sj g s v sj) pro všechna j {2,..., l s }, nebot posloupnost LT σ (p) je ostře klesající. Podle věty (3) platí, že LT σ (w s1 g s w s1) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s 1 ) a LT σ (v s1 g s v s1) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s 1 ). Z věty (1) plyne LT σ (r r ) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s ). Odtud dostáváme rovnost LT σ (w s1 g s w s1) = LT σ (v s1 g s v s1). Proto (c s1, w s1, w s1) = (d s1, v s1, v s1) a tedy k s A s = c sj w sj g s w sj j=2 l s j=2 d sj v sj g s v sj. Stejným postupem se ukáže, že k i = l i pro všechna i {1,..., s} a (c ij, w ij, w ij) = (d ij, v ij, v ij) pro všechna i {1,..., s} a j {1,..., k i }. Odtud r = r. Pokud nebude uvedeno jinak, budeme uvažovat levou redukci polynomu. Definice. Necht s 1, f, g 1,..., g s K X \{0}. Označme G = (g 1,..., g s ) (K X \{0}) s. Polynom r K X, který je výstupem algoritmu 1, nazýváme normální zbytek po redukci polynomem f vzhledem k G a značíme jej NR σ,g (f). Normální zbytek NR σ,g (f) závisí na pořadí polynomů v G, jak je vidět na následujícím příkladu. Příklad. Uvažujme opět Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, polynomy f = zy 2 xy, g 1 = yx + y a g 2 = y 2 + z. Nyní položme g 1 = g 2 a g 2 = g 1. Pak dostáváme (1) k 1 = k 2 = 0, r = 0 a p = f = zy 2 xy. (2) Platí LT σ (p) = zlt σ (g 1)xy, tedy položme k 1 = 1, c 11 = LCσ(p) LC σ(g 1 ) = 1, w 11 = z, w 11 = xy a p = p c 11 w 11 g 1w 11 = z 2 xy. (3) Nyní LT σ (p) = z 2 xy není násobkem LT σ (g 1) ani LT σ (g 2), proto položme r = r + LM σ (p) = z 2 xy a p = p LM σ (p) = 0. 16
20 V tomto případě je výstupem algoritmu reprezentace f = zg 1xy z 2 xy, tedy dostáváme jiný normální zbytek. Normální zbytek polynomu f zatím není normální tvar f modulo ideál G. Kvůli jeho nejednoznačnosti ho tedy nelze použít pro ověření, zda polynom f leží v ideálu G. Jestliže NR σ,g (f) = 0, pak f G. Na druhou stranu polynom f může mít nenulový normální zbytek, z čehož však nelze usuzovat, že neleží v ideálu G. Může totiž existovat jiné uspořádání polynomů v G, pro které redukční algoritmus dává nulový zbytek polynomu f. Dodáme-li G speciální vlastnost, již na pořadí polynomů záležet nebude. Objektům s touto vlastností říkáme Gröbnerovy báze a jsou hlavním tématem následujících kapitol. Na závěr této podkapitoly ukážeme důležitou aplikaci algoritmu pro redukci polynomu. Necht σ je přípustné uspořádání na X a I K X je oboustranný ideál. Označme ideál LT σ (I) = LT σ (f); f I\{0} K X. Pro množinu polynomů G K X \{0} označme množinu LT σ {G} = {LT σ (g); g G} X a ideál LT σ (G) generovaný LT σ {G}. Definice. Necht G K X \{0} je množina polynomů. O množině G říkáme, že je redukovaná vzhledem k přípustnému uspořádání σ, jestliže žádný prvek Supp(g) není obsažen v LT σ (G\{g}) pro všechny polynomy g G. Následující lemma je přímým důsledkem věty Lemma Necht G K X \{0} je množina polynomů, která generuje ideál I. Dále necht polynom g G má normální zbytek g vzhledem k G\{g}. Jestliže g 0, pak (G\{g}) {g } je také množina generátorů ideálu I. Pro výpočet redukované množiny generátorů ideálu lze tedy využít algoritmus pro redukci polynomu. Algoritmus 2 Redukce množiny vstup: konečná množina G K X \{0} taková, že generuje ideál I, tj. I = G výstup: redukovaná množina generátorů G ideálu I 1: i := 1 a n := G 2: while i n do 3: vypočítej normální zbytek g i polynomu g i vzhledem k G\{g i, 0} 17
21 4: 5: if g i = 0 then vyměň g i za 0 6: i := i + 1 7: goto 2 8: if g i g i then 9: nahrad polynom g i polynomem g i 10: i := 1 11: goto 2 12: i := i : return G = {g G; g 0} Tvrzení Algoritmus 2 počítá redukovanou množinu generátorů ideálu I. Důkaz. Pokud se algoritmus zastaví, pak z věty a lemmatu plyne, že výstupem algoritmu je redukovaná množina generátorů ideálu I. Nyní dokážeme, že algoritmus po konečně krocích skončí. Na desátém řádku dojde ke snížení indexu i, pouze když g i 0 a současně g i g i. Podle věty (2) platí LT σ (g i) LT σ (g i ). Nerovnost LT σ (g i) < LT σ (g i ) může nastat jen konečně krát, nebot σ je přípustné uspořádání. Necht tedy platí LT σ (g i) = LT σ (g i ) pro nějaké pevné i = k. K navýšení indexu i dojde, jestliže g i = 0, nebo není-li g i násobkem žádného vedoucího termu z G\{0, g i }. Tedy pro všechna j {1,..., k 1} a g j 0 není g j násobkem žádného vedoucího termu z G\{0, g j } a podle předpokladu ani násobkem žádného vedoucího termu z G\{0, g j, g i } {g i}. Tedy po výměně g i za g i se index i sníží na 1, ale v následujících iterací dojde ke zvýšení na k beze změny g j pro všechna j {1,..., k 1}. Zřejmě g k není násobkem vedoucích termů z G\{0, g k }. Proto index i se zvýší na k + 1. Redukovaných množin generátorů ideálu I může existovat více, jak je vidět v následujícím příkladu. Příklad. Uvažujme opět Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, polynomy f = zy 2 xy, g 1 = yx + y a g 2 = y 2 + z. Necht ideál I Q x, y, z je generovaný množinou {f, g 1, g 2 }. Podle příkladu pod algoritmem 1 množiny {z 2 y, yx + y, y 2 + z} a {zyz, yx + y, y 2 + z} generují ideál I. Je snadné ověřit, že obě množiny jsou redukované. Vedoucí termy v redukované množině ideálu jsou navzájem nesoudělná slova. Později se nám tato vlastnost bude hodit, protože pro Gröbnerovy báze existují jednoznačně určené redukované množiny generátorů. 18
22 2.2 Definice Gröbnerovy báze Gröbnerova báze je množina polynomů s vlastností, že normální tvar polynomu lze jednoznačně nalézt jako normální zbytek redukcí polynomu prvky této báze, jak dokážeme v této podkapitole. Nejprve připomeňme značení použité v minulé sekci. Necht σ je přípustné uspořádání na X a I K X je oboustranný ideál. Označme ideál LT σ (I) = LT σ (f); f I\{0} K X. Dále pro množinu polynomů G K X \{0} označme množinu LT σ {G} = {LT σ (g); g G} X a ideál LT σ (G) generovaný LT σ {G}. Jestliže I = G, pak zřejmě LT σ (G) LT σ (I). Obecně jsou však tyto ideály různé. Příklad. Uvažujme Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, polynomy g 1, g 2 G, kde g 1 = xy + 1 a g 2 = y Pak g 1 y xg 2 = (xy 2 + y) (xy 2 + x) = y x I = g 1, g 2. Zřejmě x LT σ (I), ale zároveň x / LT σ (G) = xy, y 2. Nás však budou zajímat ty množiny generátorů, pro něž si jsou tyto ideály rovny. Definice. Necht σ je přípustné uspořádání na X a necht G je podmnožina polynomů ideálu I K X, která generuje ideál I = G. Množina G se nazývá Gröbnerova báze ideálu I vzhledem k uspořádání σ, jestliže LT σ (G) = LT σ (I). Volba přípustného uspořádání je důležitá, nebot určuje množinu vedoucích termů ideálu. Tedy pokud dvě přípustná uspořádání 1 a 2 nesouhlasí (ve významu LT 1 {I} LT 2 {I}), pak Gröbnerovy báze ideálu I se mohou lišit vzhledem k 1 a 2. Pokud nebude uvedeno jinak, budeme uvažovat přípustné uspořádání σ na X. Jestliže vedoucí term LT σ (f) polynomu f K X leží v LT σ (G), pak LT σ (f) je násobek vedoucího termu nějakého polynomu g z G podle definice Gröbnerovy báze G. Také vedoucí term polynomu, který vznikne redukcí polynomu f polynomem g, musí být násobkem vedoucího termu nějakého polynomu z G atd. Tuto vlastnost využijeme při rozhodování, zda polynom leží v daném ideálu. Lze tedy snadno dokázat, že množina G je Gröbnerova báze ideálu I vzhledem k uspořádání σ právě, když pro každý polynom f I\{0} existuje reprezentace f = k c i w i g i w i, i=1 19
23 kde c i K\{0}, w i, w i X, a polynomy g i G jsou takové, že LT σ (f) σ LT σ (w i g i w i) pro všechna i {1,..., k}. Definice. Necht f K X \{0} a G K X \{0}. Říkáme, že polynom f má Gröbnerovu reprezentaci v termech množiny G, jestliže existují prvky c 1,..., c k K\{0}, slova w 1,..., w k, w 1,..., w k X a polynomy g 1,..., g k G takové, že f = k i=1 c iw i g i w i a LT σ (f) σ LT σ (w i g i w i) pro všechna i {1,..., k}. Nyní se podíváme na vztah mezi normálním tvarem polynomu modulo ideál generovaný Gröbnerovou bází a normálním zbytkem polynomu, který vznikne redukcí polynomu prvky Gröbnerovy báze. Věta Necht G K X \{0} je množina polynomů, která generuje ideál I = G. Navíc necht G je Gröbnerova báze ideálu I a necht G je uspořádaná n-tice polynomů z G. Pak pro všechny polynomy f K X platí NR σ,g (f) = N σ,i (f). Důkaz. Podle věty (1) žádný prvek Supp(NR σ,g (f)) není obsažen v LT σ (G). Podle definice Gröbnerovy báze máme LT σ {I} LT σ (I) = LT σ (G). Odtud plyne, že žádný prvek Supp(NR σ,g (f)) není obsažen v LT σ {I}. Tedy NR σ,g (f) Span K O σ (I). Odtud máme f NR σ,g (f) I a z důsledku plyne, že NR σ,g (f) = N σ,i (f). Jak bylo ukázáno dříve, normální tvar polynomu je určen jednoznačně. Jestliže množina G je Gröbnerova báze, pak normální zbytek již není závislý na pořadí polynomů množiny G. Navíc také nezáleží na strategii, kterou v algoritmu 1 použijeme. Určit normální tvar polynomu tedy znamená vypočítat normální zbytek vhledem ke Gröbnerově bázi. Problém určit, zda existuje konečná Gröbnerova báze pro ideál v nekomutativním okruhu polynomů, je nerozhodnutelný. 2.3 Redukovaná Gröbnerova báze Obecně má ideál I K X mnoho Gröbnerových bází. Například necht G je Gröbnerova báze ideálu I K X \{0} a necht f I\G je nenulový polynom. Zřejmě I = G {f}. Protože podle definice LT σ (G) = LT σ (I), pak také LT σ (G {f}) = LT σ (I). Odtud plyne, že G {f} je také Gröbnerova báze ideálu I. 20
24 Definice. Necht G je Gröbnerova báze ideálu I K X \{0}. Polynom f G nazýváme redundantní, jestliže G\{f} je také Gröbnerova báze. Redundantní polynomy lze snadno detekovat, jak dokážeme později. Nyní zformulujeme lemma, které se nám bude za tímto účelem hodit. Lemma Necht I K X \{0} je ideál a necht G I\{0} je jeho podmnožina. Jestliže LT σ (G) = LT σ (I), pak G je Gröbnerova báze. Důkaz. Stačí dokázat, že I = G. Pro spor předpokládejme, že G I. Uvažujme polynom f I\ G mající minimální vedoucí term LT σ (f) vzhledem k přípustnému uspořádání σ vůči všem polynomům z I\ G. Existují c K\{0}, w, w X a polynom g G takový, že LM σ (f) = LM σ (cwgw ) a f cwgw I\ G, nebot LT σ (f) LT σ {I} a LT σ (G) = LT σ (I). Což je ve sporu s volbou f, protože LT σ (f cwgw ) < σ LT σ (f). Lemma Necht I K X \{0} je ideál a G je Gröbnerova báze ideálu I. Polynom f G je redundantní, jestliže LT σ (f) je násobkem LT σ (g) pro nějaké g G\{f}. Důkaz. Podle definice Gröbnerovy báze je G I a platí LT σ (G) = LT σ (I). Podle předpokladu LT σ (G\{f}) = LT σ (I). Zřejmě G\{f} I. Tedy z lemmatu a definice redundantního polynomu již tvrzení plyne. Po odstranění redundantních polynomů zmenšíme velikost Gröbnerovy báze, navíc pro každý ideál lze definovat jednoznačně určenou Gröbnerovu bázi následovně. Definice. Necht G je Gröbnerova báze ideálu I K X \{0}. Množině G říkáme, že je redukovaná Gröbnerova báze ideálu I, jestliže množina G je redukovaná a LC σ (g) = 1 pro všechny polynomy g G. Tvrzení Pro každý ideál I K X \{0} existuje právě jedna redukovaná Gröbnerova báze. Důkaz. Nejprve dokážeme existenci. Necht LT σ {G} LT σ {I} je minimální množina slov taková, že LT σ (G) = LT σ (I). Položme G = {LT σ (g) N σ,i (LT σ (g)); g G}. Ukážeme, že G je redukovaná Gröbnerova báze. Podle důsledku máme LT σ (g) N σ,i (LT σ (g) I pro všechna g G, proto G I. Zřejmě LT σ {G } = 21
25 LT σ {G} a tedy LT σ (G ) = LT σ (I). Z lemmatu plyne, že G je Gröbnerova báze. Z definice G již dostáváme, že G je redukovaná a vedoucí koeficienty polynomů z G jsou rovny jedné. Nyní dokážeme jednoznačnost. Předpokládejme, že existují dvě redukované Gröbnerovy báze G a H. Zřejmě LT σ {G} = LT σ {H}. Necht g G a h H jsou polynomy takové, že LT σ (g) = LT σ (h). Pak g h I. Protože G i H jsou redukované, máme g h Span K O σ (I). Odtud již z důsledku plyne, že g h = 0. Redukovaná Gröbnerova báze nemusí být konečná. Je-li však dána konečná Gröbnerova báze, můžeme pomocí algoritmu 2 vypočítat Gröbnerovu bázi G = {g 1,... g k }, která neobsahuje redundantní polynomy, a redukovanou Gröbnerovu bázi G = {g 1,..., g k } dopočítáme tak, že položíme g i := i = 1,..., k. 2.4 Syzygie g i LC σ(g i ) pro každé V této části popíšeme Gröbnerovy báze pomocí modulů syzygií. V následujícím textu se budeme držet níže uvedeného značení. Pro k 1 necht G = (g 1,..., g k ), kde g 1,..., g k K X \{0}, a dále necht LM σ (G) = (LM σ (g 1 ),..., LM σ (g k )). Navíc necht F k = (K X K K X ) k je volný oboustranný K X -modul hodnosti k s kanonickou bází {ɛ 1,..., ɛ k }, kde ɛ i = (0,..., 0, 1 1, 0,..., 0), pro i = 1,..., k, přičemž 1 1 leží na i-té pozici. Označme T(F k ) = {wɛ i w ; i {1,..., k}, w, w X } množinu všech termů v F k. Definice. Prvek k i=1 j N c ijw ij ɛ i w ij F k nazýváme oboustrannou syzygií G, jestliže platí k c ij w ij g i w ij = 0. i=1 j N Necht Syz(G) je množina všech oboustranných syzygií G. Pak Syz(G) je oboustranný K X -modul. Množinu Syz(G) nazýváme oboustranný modul syzygií G. 22
26 Podobně oboustranná syzygie LM σ (G) je prvek k takový, že k i=1 i=1 j N c ijw ij ɛ i w ij F k j N c ijw ij LM σ (g i )w ij = 0. Množina všech oboustranných syzygií LM σ (G) tvoří oboustranný K X -modul, který značíme Syz(LM σ (G)). Pokud nebude uvedeno jinak, budeme zkráceně říkat syzygie a modul syzygií. Příklad. Uvažujme Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, a množinu G = (g 1, g 2 ), kde g 1 = yx + zy a g 2 = 3y 2 + zx. Lze snadno ověřit, že ɛ 1 g 2 g 1 ɛ 2, g 2 ɛ 1 ɛ 2 g 1 (Q x, y, z Q x, y, z ) 2 jsou syzygie G a 3y 2 ɛ 1 ɛ 2 yx, 3yɛ 1 ɛ 2 x (Q x, y, z Q x, y, z ) 2 jsou syzygie LM σ (G). Definice. Necht m = k i=1 (1) Slovo j N c ijw ij ɛ i w ij F k \{0}. max {w ijlt σ (g i )w ij; i {1,..., k}, j N, c ij 0} X σ nazýváme σ-stupeň m a značíme ho deg σ,g (m). (2) Položme { c ij w ij ɛ i w ij cij w = ij ɛ i w ij, jestliže c ij 0 a w ij LT σ (g i )w ij = deg σ,g (m), 0 jinak. Prvku k i=1 j N c ij w ij ɛ i w ij F k \{0} říkáme σ-vedoucí forma m a značíme ho LF σ,g (m). (3) Pro libovolné slovo w X označme F k (w) = { k c ij w ij ɛ ij w ij F k ; i=1 j N k c ij w ij LT σ (g i )w ij Kw}. Jestliže m F k (deg σ,g (m)), pak prvek m nazýváme homogenní σ-stupně deg σ,g (m). Příklad. Uvažujme opět Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, a množinu G = (g 1, g 2 ), kde g 1 = yx + zy a g 2 = 3y 2 + zx. i=1 j N (1) Pro m 1 = ɛ 1 g 2 g 1 ɛ 2 (Q x, y, z Q x, y, z ) 2 máme deg σ,g (m 1 ) = max σ {LT σ (g 1 )y 2, LT σ (g 1 )zx, yxlt σ (g 2 ), zylt σ (g 2 )} = max σ {yx y 2, yx zx, yx y 2, zy y 2 } = yxy 2, LF σ,g (m 1 ) = 3ɛ 1 y 2 yxɛ 2 m 1. Tedy prvek m 1 není homogenní σ-stupně yxy 2. 23
27 (2) Pro m 2 = 3yɛ 1 ɛ 2 x (Q x, y, z Q x, y, z ) 2 máme deg σ,g (m 2 ) = max σ {ylt σ (g 1 ), LT σ (g 2 )x} = max σ {y yx, y 2 x} = y 2 x, LF σ,g (m 2 ) = 3yɛ 1 ɛ 2 x = m 2. Tedy prvek m 2 je homogenní σ-stupně y 2 x. Nyní se dívejme na nekomutativní okruh polynomů K X jako na oboustranný K X -modul. Necht M K X je oboustranný K X -podmodul generovaný množinou {g 1,..., g k } a N K X je oboustranný K X -podmodul generovaný množinou {LM σ (g 1 ),..., LM σ (g k )}. Dále necht λ : F k M je homomorfismus K X -bimodulů daný předpisem ɛ i g i pro i = 1,..., k, a necht Λ : F k N je homomorfismus K X -bimodulů daný předpisem ɛ i LM σ (g i ) pro i = 1,..., k. Potom máme Syz(G) = ker(λ) a Syz(LM σ (G)) = ker(λ). Lemma Pro všechny m F k \Syz(G) platí LT σ (λ(m)) σ Navíc rovnost nastává právě, když LF σ,g (m) / Syz(LM σ (G)). Důkaz. Necht m = k i=1 j N c ijw ij ɛ i w ij F k \Syz(G), tedy k λ(m) = c ij w ij g i w ij 0. i=1 j N Z definice σ-stupně m plyne LT σ (λ(m)) σ deg σ,g (m) právě, když se koeficienty deg σ,g (m) v k i=1 deg σ,g (m). deg σ,g (m). Navíc LT σ (λ(m)) < σ j N c ijw ij g i w ij navzájem vyruší. To je ekvivalentní podmínce Λ(LF σ,g (m)) = 0, jinými slovy LF σ,g (m) Syz(LM σ (G)). Příklad. Uvažujme opět Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, a množinu G = (g 1, g 2 ), kde g 1 = yx + zy a g 2 = 3y 2 + zx. Necht M Q x, y, z je ideál generovaný {g 1, g 2 } a necht N Q x, y, z je ideál generovaný {LM σ (g 1 ), LM σ (g 2 )}. (1) Pro m 2 = 3yɛ 1 ɛ 2 x (Q x, y, z Q x, y, z ) 2 máme λ(m 2 ) = 3yg 1 g 2 x = 3yzy zx 2 0. Tedy m 2 Syz(G), LT σ (λ(m 2 )) = yzy a LM σ (λ(m 2 )) = 3yzy. Z předchozího příkladu víme, že deg σ,g (m 2 ) = y 2 x a LF σ,g (m) = 3yɛ 1 ɛ 2 x = m 2. Tedy deg σ,g (m 2 ) > σ LT σ (λ(m 2 )). Dále máme Λ(LF σ,g (m 2 )) = 3yLM σ (g 1 ) LM σ (g 2 )x = 3y 2 x 3y 2 x = 0, tedy LF σ,g (m 2 ) Syz(LM σ (G)). 24
28 (2) Pro m 3 = 3xɛ 1 x yɛ 2 x (Q x, y, z Q x, y, z ) 2 máme deg σ,g (m 3 ) = max σ {xlt σ (g 1 )x, ylt σ (g 2 )x} = max σ {x yx x, y y 2 x} = xyx 2, LF σ,g (m 3 ) = 3xɛ 1 x m 3. Tedy prvek m 3 není homogenní σ-stupně xyx 2. Dále λ(m 3 ) = 3xg 1 x yg 2 x = 3xyx 2 + 3xzyx 3y 3 x 3yzx 2 0. Tedy m 3 Syz(G), LT σ (λ(m 3 )) = xyx 2 a LM σ (λ(m 3 )) = xyx 2. Dostáváme deg σ,g (m 3 ) = LT σ (λ(m 3 )). Dále máme Λ(LF σ,g (m 3 )) = 3xLM σ (g 1 )x = 3xyx 2 0, proto LF σ,g (m 3 ) / Syz(LM σ (G)). 25
29 Kapitola 3 Výpočet Gröbnerovy báze V minulé kapitole jsme studovali Gröbnerovy báze v K X, ukázali jsme několik jejich pěkných vlastností. V následující části se zaměříme na výpočet Gröbnerovy báze. Jistou potíž přináší fakt, že Gröbnerova báze nemusí být v nekomutativním okruhu polynomů konečná, dokonce i redukovaná Gröbnerova báze může být nekonečná. V kapitole čerpáme z [2], [4], [6] a [8]. 3.1 Obstrukce V této části představíme pojmy obstrukce a S-polynom, které jsou klíčové pro výpočet Gröbnerovy báze. Pro jejich definování budeme potřebovat následující značení. Pro k 1 necht F k = (K X K K X ) k je volný oboustranný K X -modul hodnosti k s kanonickou bází {ɛ 1,..., ɛ k }, kde ɛ i = (0,..., 0, 1 1, 0,..., 0), pro i = 1,..., k, přičemž 1 1 leží na i-té pozici. Označme množinu všech termů v F k. T(F k ) = {wɛ i w ; i {1,..., k}, w, w X } Definice. Necht G = {g 1,..., g k } K X \{0}, kde k 1, je množina polynomů. Necht i, j {1,..., k} jsou taková, že i j. Prvek o i,j (w i, w i; w j, w j) = 1 LC σ (g i ) w iɛ i w i 1 LC σ (g j ) w jɛ j w j F k \{0}, 26
30 kde slova w i, w i, w j, w j X jsou taková, že w i LT σ (g i )w i = w j LT σ (g j )w j, nazýváme obstrukce polynomů g i a g j. Pokud i = j, potom tento prvek nazýváme vlastní obstrukce polynomu g i. Množinu všech obstrukcí polynomů g i a g j budeme značit Obs(i, j). Necht o i,j (w i, w i; w j, w j) Obs(i, j) je obstrukce polynomů g i a g j. Polynom S i,j (w i, w i; w j, w j) = 1 LC σ (g i ) w ig i w i 1 LC σ (g j ) w jg j w j K X nazýváme S-polynom obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j). Pro všechna i, j {1,..., k}, i j, je množina Obs(i, j) neprázdná, nebot pro všechna slova w X obsahuje triviální prvky o i,j (LT σ (g j )w, 1; 1, wlt σ (g i )) a o i,j (1, wlt σ (g j ); LT σ (g i )w, 1). Příklad. Vrat me se k příkladu, který jsme uvažovali v minulé kapitole. Tedy mějme Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, a množinu G = (g 1, g 2 ), kde g 1 = yx + zy a g 2 = 3y 2 + zx. Polynom S 1,2 (y, 1; 1; x) = y 2 x + zyz y 2 x 1 3 zx2 je S-polynom obstrukce o 1,2 (y, 1; 1; x) = yɛ ɛ 2x. Lemma Necht i, j {1,..., k} a i j. (1) Každý prvek o i,j (w i, w i; w j, w j) Obs(i, j) je syzygie LM σ (G) a je homogenní σ-stupně w i LT σ (g i )w i = w j LT σ (g j )w j. (2) Syz(LM σ (G)) = 1 i j k Obs(i, j). Důkaz. (1) Plyne z definice syzygie a obstrukce. (2) Stačí dokázat, že Syz(LM σ (G)) 1 i j k Obs(i, j). Uvažujme prvek m = k i=1 j N c ijw ij ɛ i w ij Syz(LM σ (G))\{0}. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že m je homogenní σ-stupně deg σ,g (m) a všechny termy prvku m jsou po dvou různé. Potom Supp(m) 2, nebot m 0 a máme rovnost k i=1 j N c ijw ij LM σ (g i )w ij = 0. Proto musí existovat w ij ɛ i w ij, w kl ɛ k w kl Supp(m) takové, že w ij LT σ (g i )w ij = w kl LT σ (g k )w kl. 27
31 Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že i k. Odtud již plyne, že o i,k (w ij, w ij; w kl, w kl ) = 1 w LC σ(g i ) ijɛ i w ij 1 w LC σ(g k ) klɛ k w kl Obs(i, k). Položme m = m c ij LC σ (g i )o i,k (w ij, w ij; w kl, w kl). Pak Supp(m ) Supp(m) 1. Stejně postupujeme, dokud m 0. Příklad. Uvažujme opět Q x, y, z spolu s přípustným uspořádáním σ = LLEX, x > σ y > σ z, a množinu G = (g 1, g 2 ), kde g 1 = yx + zy a g 2 = 3y 2 + zx. Máme LM σ (G) = (yx, 3y 2 ) a dále Obs(1, 1) = {yxwɛ 1 ɛ 1 wyx, ɛ 1 wyx yxwɛ 1 ; w X }, Obs(1, 2) = {yɛ 1 1ɛ 3 2x} {y 2 wɛ 1 1ɛ 3 1wyx, ɛ 1 wy 2 1yxwɛ 3 2; w X }, Obs(2, 2) = {yɛ 2 ɛ 2 y} {y 2 wɛ 2 ɛ 2 wy 2, ɛ 2 wy 2 y 2 wɛ 2 ; w X }. Lze snadno ověřit, že obstrukce ɛ 1 x k yx yx k+1 ɛ 1 nelze vygenerovat pomocí 1 i j 2 Obs(i, j)\{ɛ 1 x k yx yx k+1 ɛ 1 } pro všechna k N\{0}. Tedy obecně množina 1 i j k Obs(i, j) nemusí být konečně generovaná. Definice. Říkáme, že prvek m Syz(LM σ(g)\{0} má zvednutí v Syz(G), jestliže existuje prvek m Syz(G) takový, že LF σ,g (m) = m. Tvrzení Necht G K X \{0} je konečná množina polynomů, která generuje ideál I = G. Dále necht k = G a G je uspořádaná k-tice polynomů G. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní. (1) Množina G je Gröbnerova báze ideálu I. (2) Každá obstrukce z 1 i j k Obs(i, j) má zvednutí v Syz(G). Důkaz. Nejprve dokážeme, že z podmínky (1) plyne podmínka (2). Necht m je prvkem 1 i j k Obs(i, j). Z definice obstrukce plyne, že Λ(m) = 0 a LF σ,g (m) = m. Kdyby λ(m) = 0, pak m je zvednutí sebe sama. Nyní předpokládejme, že λ(m) 0. Protože G je Gröbnerova báze ideálu I, lze prvek λ(m) zapsat ve tvaru λ(m) = s l=1 c lw l g il w l, kde c l K\{0}, w l, w l X, a polynomy g il G jsou takové, že LT σ (λ(m)) σ LT σ (w l g il w l ) pro všechna l {1,..., s}. Položme h = s l=1 c lw l ɛ il w l F k. Potom m h Syz(G) a LT σ (λ(m)) = LT σ (λ(h)) = deg σ,g (h). Z rovnosti LF σ,g (m) = Syz(LM σ (G)) a lemmatu
32 plyne, že deg σ,g (m) > σ LT σ (λ(m)). Odtud dostáváme deg σ,g (m) > σ deg σ,g (h) a LF σ,g (m h) = LF σ,g (m) = m, tedy m h je zvednutí m v Syz(G). Nyní dokážeme, že (2) implikuje (1). Necht f I. Pak polynom f má reprezentaci f = s l=1 c lw l g il w l, kde c l K\{0}, w l, w l X, a polynomy g i l G pro všechna l {1,..., s}. Protože σ je přípustné uspořádání, musí existovat reprezentace polynomu f mající minimální max σ {LT σ (w l g il w l ; l {1,..., s}}. Pro spor předpokládejme, že max σ {LT σ (w l g il w l ; l {1,..., s}} > σ LT σ (f). Položme m = s l=1 c lw l ɛ il w l F k s minimálním σ-stupněm, kde λ(m) = f. Podle předpokladu deg σ,g (m) > σ LT σ (f) = LT σ (λ(m)). Z lemmatu plyne, že LF σ,g (m) Syz(LM σ (G)), a podle lemmatu platí rovnost Syz(LM σ (G)) = 1 i j k Obs(i, j). Proto musí existovat c 1,..., c r K X \{0}, w 1,..., w r, w 1,..., w r X a m 1,..., m r 1 i j k Obs(i, j), takové, že LF σ,g (m) = r h=1 c h w h m h w h. Dle druhé podmínky má každá obstrukce z 1 i j kobs(i, j) zvednutí v Syz(G), předpokládejme, že syzygie m h Syz(G) je zvednutí m h, tj. LF σ,g (m h ) = m h pro všechny h {1,..., r}. Odtud dostáváme rovnost r r LF σ,g (m) = c h w h LF σ,g (m h ) w h = LF σ,g ( c h w h m h w h). h=1 Tedy deg σ,g (m r h=1 c h w h m h w h ) < σ deg σ,g (m) a λ(m r h=1 c h w h m h w h ) = λ(m), což je ve sporu s minimalitou σ-stupně m. Proto musí platit nerovnost max σ {LT σ (w l g il w l ; l {1,..., s}} σ LT σ (f), a tedy G je Gröbnerova báze ideálu I, nebot polynom má f má Gröbnerovu reprezentaci v termech množiny G. Poznámka. Tvrzení platí také v případě, kdy G je nekonečná množina. Nejprve oindexujeme prvky množiny G libovolnou uspořádanou množinou a dál pokračujeme stejně jako v důkaze pro množinu konečnou. Zda má obstrukce zvednutí, lze ověřit pomocí jejího S-polynomu, jak ukazuje následující tvrzení. Tvrzení Necht G K X \{0} je konečná množina polynomů, která generuje ideál I = G. Dále necht k = G a G je uspořádaná k-tice polynomů G. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní. (1) Množina G je Gröbnerova báze ideálu I. (2) S-polynom každé obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j) 1 i j k Obs(i, j) má reprezentaci s S i,j (w i, w i; w j, w j) = c l w l g il w l, 29 l=1 h=1
33 kde c l K, w l, w l X a g i l G pro všechna l {1,..., s} jsou taková, že LT σ (w l g il w l ) σ LT σ (S i,j (w i, w i; w j, w j)), jestliže c l 0 pro nějaké l {1,..., s}. (3) S-polynom každé obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j) 1 i j k Obs(i, j) má reprezentaci s S i,j (w i, w i; w j, w j) = c l w l g il w l, kde c l K, w l, w l X a g i l G pro všechna l {1,..., s} jsou taková, že LT σ (w l g il w l ) < σ LT σ (w i g i w i)), jestliže c l 0 pro nějaké l {1,..., s}. Důkaz. Podmínka (1) implikuje (2), nebot S i,j (w i, w i; w j, w j) I. Podmínka (3) plyne z (2), protože z definice S-polynomu máme LT σ (S i,j (w i, w i; w j, w j)) < σ LT σ (w i g i w i). Abychom ukázali, že podmínka (3) implikuje podmínku (1), stačí dokázat, že každá obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j) 1 i j k Obs(i, j) má zvednutí v Syz(G). Jestliže S i,j (w i, w i; w j, w j) = 0, pak obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j) je zvednutí sebe sama. Dále předpokládejme, že polynom S i,j (w i, w i; w j, w j) je nenulový. Mějme reprezentaci S i,j (w i, w i; w j, w j) = s l=1 c lw l g il w l jako v podmínce (3). Položme s m = o i,j (w i, w i; w j, w j) c l w l ɛ il w l. Zřejmě m F k. Odtud již máme LF σ,g (m) = o i,j (w i, w i; w j, w j) a m Syz(G). Tedy m je zvednutí obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j). Stejně jako u předchozího tvrzení lze dokázat, že věta platí i pro nekonečné množiny polynomů. Definice. Reprezentaci S-polynomu obstrukce o i,j (w i, w i; w j, w j) z podmínek (2) a (3) říkáme Gröbnerova reprezentace S i,j (w i, w i; w j, w j) v termech množiny G. Reprezentaci S-polynomu lze zřejmě vypočítat pomocí algoritmu 1. l=1 l=1 3.2 Buchbergerův algoritmus V této části představíme Buchbergerovo kritérium, které odvodíme z tvrzení 3.1.3, a Buchbergerův algoritmus pro výpočet Gröbnerovy báze konečně generovaných ideálů. Buchbergerův algoritmus je založen na myšlence, že je dostatečné 30
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowo02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowoKompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoInternet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowo1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoÚstav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets
Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoNDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoParadoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoPetr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156
Vysvětlování modelovacích chyb Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Co nás čeká 1 Konjunktivní dotazy 2 Vyhodnocování konjunktivních dotazů v jazyce ALC
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. algoritmu. Katedra algebry
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jiří Lechner Dekodér konvolučního kódu pomocí Viterbiho algoritmu Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Tůma,
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoZadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoTvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém
Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém s Coulombovým třením Petr Beremlijski, Jaroslav Haslinger, Michal Kočvara, Radek Kučera a Jiří V. Outrata Katedra aplikované matematik Fakulta elektrotechnik
Bardziej szczegółowoUniverzita Palackého v Olomouci
Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly
Bardziej szczegółowoÚvod do Informatiky (FI:IB000)
Fakulta Informatiky Masarykova Univerzita Úvod do Informatiky (FI:IB000) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. hlineny@fi.muni.cz 15. března 2010 Obsažný a dobře přístupný úvod do nezbytných formálních matematických
Bardziej szczegółowoPoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoDavid Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoKarel Vostruha. evolučních rovnic hyperbolického typu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Karel Vostruha Asymptotické chování nelineárních evolučních rovnic hyperbolického typu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 1 1/20
Lineární kódy, část 1 Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 7.1.2016: Lineární kódy, část 1 1/20 Dnešní přednáška 1 Základní myšlenky
Bardziej szczegółowoPowyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Bardziej szczegółowoRozvíjení matematických talentů. kolektiv autorů. Praha 2019
Rozvíjení matematických talentů na středních školách I kolektiv autorů Praha 2019 Publikace byla vydána v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání (OP VVV) a jeho projektu Zvyšování kvality
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II STUDIJNÍ MATERIÁL Tento studijní materiál byl zpracován s podporou projektu OPVK ESF Rozvoj a modernizace doktorského studijního
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowoTGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Bardziej szczegółowo