GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2"

Transkrypt

1 GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část /

2 Minulá přednáška Gaussova eliminační metoda (GEM) jako universální a systematická metoda řešení soustav lineárních rovnic (nad F). Dnešní přednáška.. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část /

3 Příklad Nalezněte všechny matice X, které splňují rovnost a R α X = X R α, kde R α : R R je matice rotace o úhel α, α [0; π). Rozměrová zkouška: musí platit X : R R. Rešeními jsou například matice E, O, a R α. Jak nalézt všechna řešení? ( Předvedeme ) universální metodu. x x Označme X =. Potom x x ( ) cos α x sin α x R α X = cos α x sin α x a sin α x + cos α x sin α x + cos α x ( ) cos α x + sin α x X R α = sin α x + cos α x. cos α x + sin α x sin α x + cos α x a Geometrický význam: hledáme všechny transformace X roviny, které jsou záměnné s rotací o úhel α. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 3/

4 Příklad (pokrač.) Rovnost R α X = X R α je ekvivalentní rovnosti R α X X R α = O,. Stačí tedy vyřešit soustavu čtyř rovnic sin α x sin α x = 0 sin α x sin α x = 0 sin α x sin α x = 0 sin α x + sin α x = 0 V maticovém zápisu (po skončení GEM) máme řešit soustavu sin α 0 0 sin α 0 0 sin α sin α v závislosti na parametru α [0; π). Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 4/

5 Příklad (pokrač.) 3 Pro sin α = 0 má soustava tvar ( ) x x a tudíž řešení je tvaru X =, kde x x x, x, x a x jsou libovolná reálná čísla. Závěr: s rotacemi R 0 (o úhel 0) a R π (o úhel π) je záměnná libovolná transformace roviny. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 5/

6 Příklad (pokrač.) 4 Pro sin α 0 má soustava tvar 0 a řešení span(, 0 0 ) Závěr: s rotací R α, kde α [0; π) ( \ {0, π}, ) jsou záměnné ( ) 0 0 transformace roviny tvaru X = a + b, 0 0 kde a, b jsou libovolná reálná čísla. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 6/

7 Poznámky Předchozí metoda (rozměrová zkouška pro hledanou matici X a následné řešení velké soustavy rovnic) je universální metodou pro řešení maticových rovnic, kde neznámá matice X vystupuje pouze v první mocnině. Jak už to u universálních metod bývá: v některých případech je taková metoda zbytečně zdlouhavá. Předvedeme speciální metodu řešení maticových rovnic tvaru a A X = B. a Protože rovnost X A = B je ekvivalentní rovnosti A T X T = B T, získáme tak i metodu pro řešení rovnic tvaru X A = B. Při takovém výpočtu musíme ovšem velmi obezřetně zacházet s transposicemi matic. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 7/

8 Převod maticové rovnice na více soustav lineárních rovnic Maticovou rovnici A X = B, kde matice A : F s F r, a matice B : F p F r, převedeme na p soustav kde B = (b b... b p ). A x = b,..., A x = b p Každou takovou soustavu A x = b i vyřešíme předešlými postupy. a Řešení A X = B existuje právě tehdy, když každá soustava A x = b i má řešení. 3 Pokud má každá soustava A x = b i řešení, pak sesazením všech řešení x,... x s jednotlivých soustav dostaneme řešení původní maticové rovnice: X = (x x... x p ). a Jak uvidíme, lze takový systém soustav řešit simultánně. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 8/

9 Příklad Nad R vyřešte rovnici ( ) X = 3 ( ). Protože X : R R 3, máme řešit dvě soustavy: ( ) ( ) ( ) x = x = 3 3 ( ) Obě soustavy mají stejnou matici soustavy, lze je tedy řešit simultánně: Simultánní GEM: ( 3 ) ( 0 5 Podle Frobeniovy věty mají obě soustavy řešení. ) R R R Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 9/

10 Příklad (pokrač.) ( ) Zápis kóduje dvě soustavy s řešeními 0 5 (v pořadí soustav zleva doprava): span( ) span( ) 5 3 Sesazení řešení dohromady : celkové řešení je tvaru 3 7a 7b X = a b = 0 0 +a 0 +b 0 + 5a + 5b kde a, b jsou libovolná reálná čísla. a a Jde tedy o rovinu v prostoru Lin(R, R 3 ). Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 0/

11 Poznámka Víme, že pro regulární matici A : F n F n má soustava A X = B jediné řešení, a sice X = A B. Toto jediné řešení lze nalézt postupem, kterému se někdy říká Gaussova-Jordanova eliminace: eleminace řádkovými úpravami nekončí po dosažení horní trojúhelníkové matice, ale pokračujuje nulováním i nad hlavní diagonálou. Získáváme tak postup (A B) (E n A B) Speciálně: pro regulární A : F n F n lze nalézt A postupem (A E n ) (E n A ) Více viz cvičení a skripta, Příklad Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část /

12 Příklad Nad R nalezněte (jakoukoli) soustavu tvaru A x = b, která má řešení 3 + span(, 0 ) Myšlenky postupu: 3 Zadané řešení tvoří rovinu v R 3, která prochází bodem a 6 má směr určený vektory, Tudíž: hledanou soustavu očekáváme ve tvaru (a a a 3 b), neboli a x + a y + a 3 z = b. Jak najít soustavu (a a a 3 b) systematicky? Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část /

13 Příklad, pokrač. Podle Frobeniovy věty je ( ) 3 ( ) ( ) 6 + span( 0, 0 4 ) řešením soustavy A x = b, kde ( ) ( ) Vektory 0, 0 4 jsou lineárně nezávislé; tvoří tudíž fundamentální systém soustavy A x = o, kde def(a) = a A má tři sloupce. To umožní nalézt A = (a a a 3 ). ( ) 3 Vektor je partikulární řešení soustavy A x = b, neboli 6 ( ) 3 A 6 = b. Matici A známe, můžeme dopočítat b = (b). Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 3/

14 Příklad, pokrač. 3 Nalezení A: Protože má platit (a a a 3 ) 0 = 0, musí platit 4 ( 0 4) a a = 0. a 3 Protože má platit (a a a 3 ) = 0, 0 musí platit ( 0) a a = 0 ( ) a a 3 Tudíž a je fundamentální systém soustavy a 3 ( ) ( ) ( ) a 0 4 0, neboli (např.) a 0 0 = a a 3 A = ( ). Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 4/

15 Příklad, pokrač. 4 Nalezení b. Protože A = ( ) a A b =. ( ) 3 = b, je 6 5 Závěr: hledaná soustava je (například) ( ). Poznámky Předchozí příklad nalezl obecnou rovnici roviny z jejího parametrického zadání. Postup využíval platnosti Frobeniovy věty a základních vlastností matic. Očekáváme: podobný postup bude fungovat pro nalezení soustavy A x = b nad tělesem F, která má řešení p + span(x,..., x d ) kde vektory x,..., x d jsou lineárně nezávislé. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 5/

16 Definice Zápisu p + span(x,..., x d ) v F s, kde vektory x,..., x d jsou lineárně nezávislé, říkáme afinní podprostor dimense d v prostoru F s. a Seznamu (x,..., x d ) říkáme směr (také: zaměření) tohoto afinního podprostoru. a Viz nepovinná Kapitola 7 skript. Ilustrační obrázek x p x x Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 6/

17 Tvrzení Ke každému afinnímu podprostoru p + span(x,..., x d ) dimense d v F s existuje alespoň jedna soustava tvaru A x = b, která má p + span(x,..., x d ) jako množinu řešení. Důkaz. Podrobně na přednášce; hlavní myšlenky jsou: Musí platit A x i = o pro i =,..., d a A p = b. Označme X = (x,..., x d ). Protože seznam (x,..., x d ) je lineárně nezávislý, platí d = rank(x) = rank(x T ). Soustava a X T a = o má s d prvků ve svém fundamentálním systému. Označme tento systém jako (a,..., a s d ). 3 Známe A = (a,..., a s d ) T a dopočteme b z rovnice A p = b. a Pozor: matici X T známe, neznámá je označena jako a. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 7/

18 Příklad Nad R nalezněte (jakoukoli) soustavu tvaru A x = b, která má řešení + span(, 0, 0 ) Označme X = , potom XT = 0 0. Platí = rank(x) = rank(x T ). Matice A má jako řádky fundamentální systém soustavy X T a = o. Protože rank(x T ) = 3, bude mít matice A dva lineárně nezávislé řádky. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 8/

19 Příklad (pokrač.) 3 Fundamentální systém soustavy X T a = o, neboli homogenní soustavy / / / , je například 5/ , /4 3/ / / /4 Užitečný trik: a proto je i 4 5/4 = 5 4, 4 /4 3/4 0 = fundamentální systém soustavy X T a = o. ( ) Můžeme tedy psát: A = a Fundamentální systém tvoří bázi jádra matice soustavy. A nenulové skalární násobky prvků jakékoli báze opět tvoří bázi. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 9/

20 Příklad (pokrač.) 4 Dopočteme b z rovnice A 0 = b. ( ) ( ) Tudíž b = =. 5 Odpověd : afinní podprostor 0 + span( 0, 0, 0 0 ) v R5 je 0 0 ( ) řešením soustavy nad R Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část 0/

21 Závěrečné poznámky GEM je sice universální metodou řešení soustav lineárních rovnic, nad R (nebo C) je však numericky nestabilní. V praxi je pro řešení (zvláště velkých) soustav lineárních rovnic nad R (nebo C) nutno použít jiné metody (například iterační Gaussovu-Seidelovu metodu, a a jiné). Tyto metody jsou mimo sylabus standardní přednášky z lineární algebry. Jak řešit soustavy s parametrem? GEM je universální metodou! Při řešení soustav s parametrem pomocí GEM musíme být velmi opatrní na provádění elementárních úprav. Pro soustavy se čtvercovou maticí vyvineme později další metodu řešení (kombinaci GEM a Cramerovy věty). 3 Nepovinné: Nad R lze mít i další geometrický pohled na GEM (tzv. Householderovy reflexe). a Viz Poznámku skript. Jiří Velebil: B6B0LAG : GEM a soustavy, část /

1 Soustava lineárních rovnic

1 Soustava lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text

Bardziej szczegółowo

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter

Bardziej szczegółowo

Linea rnı (ne)za vislost

Linea rnı (ne)za vislost [1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování

Bardziej szczegółowo

Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 1/5 Upozornění Řada z následujících

Bardziej szczegółowo

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární

Bardziej szczegółowo

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19 (6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)

Bardziej szczegółowo

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25

Bardziej szczegółowo

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst

Bardziej szczegółowo

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16 Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a

Bardziej szczegółowo

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen

Bardziej szczegółowo

5. a 12. prosince 2018

5. a 12. prosince 2018 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html

Bardziej szczegółowo

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006 Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce

Bardziej szczegółowo

Matematika III Stechiometrie stručný

Matematika III Stechiometrie stručný Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup

Bardziej szczegółowo

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě

Bardziej szczegółowo

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010 Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010

Bardziej szczegółowo

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?

Bardziej szczegółowo

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z

Bardziej szczegółowo

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019 Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f

Bardziej szczegółowo

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou. Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATIKA 3.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce

Bardziej szczegółowo

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské

Bardziej szczegółowo

Matematika 2, vzorová písemka 1

Matematika 2, vzorová písemka 1 Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět

Bardziej szczegółowo

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D. Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i

Bardziej szczegółowo

algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy

algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy 1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat

Bardziej szczegółowo

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................

Bardziej szczegółowo

(13) Fourierovy řady

(13) Fourierovy řady (13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx

Bardziej szczegółowo

(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.

(A B) ij = k. (A) ik (B) jk. Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!

Bardziej szczegółowo

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární

Bardziej szczegółowo

Úvodní informace. 18. února 2019

Úvodní informace. 18. února 2019 Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz

Bardziej szczegółowo

Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,

Bardziej szczegółowo

Lineární algebra - iterační metody

Lineární algebra - iterační metody Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je

Bardziej szczegółowo

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 1 1/20

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 1 1/20 Lineární kódy, část 1 Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 7.1.2016: Lineární kódy, část 1 1/20 Dnešní přednáška 1 Základní myšlenky

Bardziej szczegółowo

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité

Bardziej szczegółowo

Kapitola 2. Nelineární rovnice

Kapitola 2. Nelineární rovnice Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a

Bardziej szczegółowo

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Bardziej szczegółowo

Numerické metody minimalizace

Numerické metody minimalizace Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace

Bardziej szczegółowo

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální

Bardziej szczegółowo

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018 Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y

Bardziej szczegółowo

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :

Bardziej szczegółowo

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy. 1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny

Bardziej szczegółowo

1 Předmluva Značení... 3

1 Předmluva Značení... 3 Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními

Bardziej szczegółowo

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7 Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí

Bardziej szczegółowo

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid

Bardziej szczegółowo

Rovnice proudění Slapový model

Rovnice proudění Slapový model do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny. MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:

Bardziej szczegółowo

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 2016-2017 ( ) Numerické metody a statistika 2016-2017 1 / 17 Číslo předmětu: 714-0781/02 Rozsah: 2+2 Hodnocení: 6 kreditů Přednáší: Radek Kučera

Bardziej szczegółowo

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta

Bardziej szczegółowo

Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.

Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice

Bardziej szczegółowo

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 (2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25

Bardziej szczegółowo

David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky

David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský

Bardziej szczegółowo

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid

Bardziej szczegółowo

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala

Bardziej szczegółowo

DFT. verze:

DFT. verze: Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály

Bardziej szczegółowo

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body. Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza 2. Kubr Milan

Matematická analýza 2. Kubr Milan Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................

Bardziej szczegółowo

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...

Bardziej szczegółowo

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17

Bardziej szczegółowo

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:

Bardziej szczegółowo

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument) KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A

Bardziej szczegółowo

Nekomutativní Gröbnerovy báze

Nekomutativní Gröbnerovy báze Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní

Bardziej szczegółowo

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T

Bardziej szczegółowo

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky

Bardziej szczegółowo

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,

Bardziej szczegółowo

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme

Bardziej szczegółowo

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých

Bardziej szczegółowo

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2. Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5

Bardziej szczegółowo

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Bardziej szczegółowo

Univerzita Palackého v Olomouci

Univerzita Palackého v Olomouci Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly

Bardziej szczegółowo

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Bardziej szczegółowo

Úvod do TEXu. Brno, L A TEX dokumenty a matematika.

Úvod do TEXu. Brno, L A TEX dokumenty a matematika. Úvod do TEXu 3 L A TEX dokumenty a matematika. Matematický mód Matematická prostředí v PlainTEXu a L A TEXu Mezery a písma v matematickém módu Matematické značky a symboly Konstrukce v matematickém módu

Bardziej szczegółowo

02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací

02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací 02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................

Bardziej szczegółowo

Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém

Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém s Coulombovým třením Petr Beremlijski, Jaroslav Haslinger, Michal Kočvara, Radek Kučera a Jiří V. Outrata Katedra aplikované matematik Fakulta elektrotechnik

Bardziej szczegółowo

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná

Bardziej szczegółowo

Fakulta elektrotechnická. Algoritmy pro

Fakulta elektrotechnická. Algoritmy pro České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra řídicí techniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Algoritmy pro nelineární prediktivní řízení Praha, 2006 Miroslav Čermák Prohlášení Prohlašuji, že jsem

Bardziej szczegółowo

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura

Bardziej szczegółowo

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,

Bardziej szczegółowo

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,

Bardziej szczegółowo

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy! Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.

Bardziej szczegółowo

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018 Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv

Bardziej szczegółowo

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,

Bardziej szczegółowo

Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.

Teorie.   kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje. 8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě

Bardziej szczegółowo

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Obor: Matematické inženýrství Optimální výrobní program Semestrální práce - matematika a byznys Vypracovala: Radka Zahradníková

Bardziej szczegółowo

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52 í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr

Bardziej szczegółowo

Jan Kotera. Vlnky a zpracování obrazu

Jan Kotera. Vlnky a zpracování obrazu Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PÁCE Jan Kotera Vlnky a zpracování obrazu Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. NDr. Miloš Zahradník, CSc. Studijní

Bardziej szczegółowo

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ]. II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.

Bardziej szczegółowo

nejsou citlivé na monotónní transformace vstupů, dost dobře se vyrovnají s nerelevantními vstupy.

nejsou citlivé na monotónní transformace vstupů, dost dobře se vyrovnají s nerelevantními vstupy. Přednosti rozhodovacích stromů Přirozeně pracují s kategoriálními i spojitými veličinami, přirozeně pracují s chybějícími hodnotami, jsou robustní vzhledem k outliers vybočujícím pozorováním, nejsou citlivé

Bardziej szczegółowo

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Úvod, opakování, soustavy sil Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.broovsky@vsb.c WWW:

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.

Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a. Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít

Bardziej szczegółowo

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Bardziej szczegółowo

Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze

Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Diplomová práce Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze Plzeň, 2018 Bc. Martin Kaisler cistylist listzadani1

Bardziej szczegółowo

6 Dedekindovy řezy (30 bodů)

6 Dedekindovy řezy (30 bodů) Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind

Bardziej szczegółowo

Hana Marková Pseudospektrum matice

Hana Marková Pseudospektrum matice Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Hana Marková Pseudospektrum matice Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc. Studijní

Bardziej szczegółowo