Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12"

Mateusz Skiba
5 lat temu
Przeglądów:

1 Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 1

2 Logika V. Karnaughovy mapy. Syntax VL: Hilbertův axiomatický systém. Formální důkaz. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 1

3 Karnaughovy mapy Každá formule výrokové logiky lze vyjádřit jako disjunkce konečně mintermů. Karnaughova mapa - algoritmus pro hledání minimální booleovské funkce. (A B C) (A B C) (A B C) ((A B) (A C)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 1

4 Sémantika vs. syntax Sémantika: Pravdivost je určena významem. pravdivostní tabulky, splnitelná formule, tautologie, kontradikce, splnitelná teorie, sporná teorie, tautologický důsledek Syntax: Pravdivost je definována jako dokazatelnost. Gottlob Frege 1879 Begriffschrift (Pojmové písmo) 6 axiomů + 1 odvozovací pravidlo logicismus 1893, 1903 Grundgesetze der Arithmetik princip neomezené abstrakce NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 1

David Hilbert David Hilbert 1900 - Mezinárodní matematický kongres v Paříži 23 problémů Axiomatizce matematiky dvacátá léta

5 David Hilbert David Hilbert Mezinárodní matematický kongres v Paříži 23 problémů Axiomatizce matematiky dvacátá léta - Hilbertův program Důkaz bezespornosti matematiky NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 1

6 Hilbertovský (fregovský) výrokový kalkulus Jazyk, formule. Jazyk výrokové logiky Jazyk výrokové logiky obsahuje: množina prvotních formuĺı A, B, C,..., logické spojky,, závorky (, ). Výroková formule I. Prvotní formule je výroková formule. II. Jsou-li A, B výrokové formule, pak jsou i A, (A B) výrokové formule. III. Každá výroková formule vznikne konečným užitím pravidel I. a II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 1

7 Hilbertovský (fregovský) kalkul Hilbertovský kalkulus Axiomy: H1: A (B A)) H2: (A (B C)) ((A B) (A C)) H3: ( B A) (A B) Odvozovací pravidlo (modus ponens): MP: Z A, A B, odvoď B. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 1

8 Definice důkazu Důkaz Posloupnost formuĺı A 1,...A n je důkazem formule A, jestliže A n je A a pro každé A i, 1 i n, platí 1 A i je axiom nebo 2 A i vznikne z předchozích A j, j i, pravidlem modus ponens. Píšeme A. Důkaz z teorie Posloupnost formuĺı A 1,...A n je důkazem formule A z teorie T, jestliže A n je A a pro každé A i, 1 i n, platí, že 1 A i je axiom nebo 2 A i vznikne z předchozích A j, j i pravidlem modus ponens nebo 3 A i je formule teorie T. Píšeme T A. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 1

9 Příklady důkazů A A? A B A? A A A (B A) A B A (MP) (H1) T = { N H, H} T N? T N H formule teorie ( N H) (H N) (H3) T H N MP T H formule teorie T N MP Platí, že jestliže T B, pak T, A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 1

10 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti) Je-li A dokazatelná, pak A je tautologie. Je-li T A, pak T = A. Důkaz (indukcí dle délky důkazu): n = 1: Všechny axiomy jsou tautologie. Dokážeme. n n + 1: Ze dvou tautologií odvodíme pomocí modus ponens tautologii. Dokážeme. n = 1: Je-li A axiom nebo formule teorie T, pak T = A n n + 1: Ze dvou tautologických důsledků odvodíme pomocí MP tautologický důsledek. Konvence: T {A} B zapisujeme jako T, A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 1

11 Z A je dokazatelné A Věta (A A) Důkaz: A ((A A) A) (H1) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) (H2) (A ((A A)) (A A) (MP) A (A A)) (H1) A A (MP) Q.E.D. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 1

12 Věta o dedukci Věta (O dedukci) Platí T A B právě když T, A B. : Jestliže T A B, pak T, A B. Triviální. : Jestliže T, A B, pak T A B. Indukcí dle délky n důkazu B. a) n = 1: Pak B je axiom nebo je prvek T, pak T B. b) n n + 1: Platí pro A 1,..., A n 1, dokážeme pro A n. 1 B je axiom nebo prvek T, pak stejně jako minule. 2 B bylo odvozeno pomocí MP z C B, C, pro které věta platí. T A C, indukční předpoklad T A (C B), indukční předpoklad (A (C B)) ((A C) (A B)) (H2) T (A C) (A B) (MP) T A B (MP) NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 1

13 Věta o zaměnitelnosti předpokladů Věta (O zaměnitelnosti předpokladů) T A (B C)) právě, když T B (A C)) Důkaz: T A (B C)) T, A B C (VD) T, A, B C (VD) T, B A C (VD) T B (A C)) (VD) Q.E.D. Například též: T A (B (C (D E))) právě, když T D (B (A (C E))) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika V. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 1

Podobne dokumenty

Kompaktnost v neklasických logikách

Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.