Matematika III Stechiometrie stručný

Transkrypt

1 Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS

2 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2

3 umožňuje jednotný přístup modelování pro jakoukoliv sít. To platí pro všechny fyzické systémy, kde dynamické proměnné (například chemické koncentrace, populace druhů v ekologii, komodity v ekonomii, atd.) splňují soustavu lineárních omezení zvaných stechiometrie. Chemický systém je množina reakčních stechiometrií, které specifikují počet molekul produkovaných a spotřebovaných v každé chemické reakci, a vektorová funkce v j (x) pro každou reakci, tzv. rychlost reakce. Reakční rychlost je definována jako množství chemické sloučeniny, které vznikne nebo zanikne (v molech nebo jednotkách hmotnosti) v jednotce objemu za jednotku času. Rychlost reakce závisí na koncentraci chemické látky x. Je také funkcí některých rychlostních konstant, které lze někdy zjistit pouze experimentálně. Stechiometrie a rychlosti reakcí plně definují soustavu diferenciálních rovnic, kterou lze řešit numericky. Chemická sít je množina (na parametru závislých) chemických systémů.

4 Zápis chemické reakce Zápis chemické reakce Chemická reakce je proces vedoucí za vhodných podmínek ke změně chemické struktury chemických látek. Látky, které do reakce vstupují nazýváme reaktanty, látky z reakce vystupující jsou produkty. Při tomto procesu dochází k zániku a vzniku chemických vazeb. Chemické reakce popisujeme pomocí chemických rovnic. Jak mezi sebou souvisí množství reaktantů a produktů? Zákon zachování hmotnosti součet hmotností reaktantů se rovná součtu hmotností produktů (počty atomů určitého druhu jsou na obou stranách rovnice stejné). Počet molekul reaktantů a produktů (počet mol) udávají stechiometrické koeficienty. V systémech s chemickou reakcí platí dohoda o znaméncích: Stechiometrické koeficienty reaktantů... znaménko produktů... znaménko +

5 Mějme m chemických látek, které se účastní r reakcí, takových, že alespoň n látek vstupuje alespoň do jedné reakce, n m, pak lze elementární chemickou reakci zapsat ve tvaru R j : n νij L x i i=1 m νij R x i, j = 1,..., r, i=1 kde νij L, νij R N jsou levé a pravé stechiometrické koeficienty látky x i v reakci R j. Prvních n látek jsou reaktanty nebo meziprodukty, zbývajících m n jsou produkty. Přepišme tuto rovnici jako a označme R j : Dostaneme matici koeficientů n (νij R νij L )x i = 0 i=1 ν ij = ν R ij ν L ij, ν ij Z. ν = (ν ij ), i = 1,..., n, j = 1,... r. (1) Matice ν Z n r se nazývá stechiometrická matice.

6 Příklad Elementární chemická reakce A + 2 X 3 X. [ ] } 1... A Pak stechiometrická matice ν = chemické složky, 1... X }{{} sloupec reakce Jak zjistit lineárně nezávislé reakce v systému? Počet lineárně nezávislých chemických reakcí v systému je roven hodnosti h(ν T ) stechiometrické matice ν T. Ukažme si na příkladu. Příklad Zjistěte hodnost stechiometrické matice a najděte lineárně nezávislé chemické reakce v systému O 2 2 O O 3 O 2 + O O + O + M O 2 + M O + O 2 + M O 3 + M O + O 3 2 O 2

7 Řešení Sestavíme matici ν: 1.r 2.r 3.r 4.r 5.r O O O M Zde zase máme složky v řádcích, reakce ve sloupcích. Počítejme hodnost matice ν T (reakce v řádcích, složky ve sloupcích) ν T = [ ] Tedy hodnost stechiometrické matice je 2, lineárně nezávislé jsou reakce 1 a 2 nebo 1 a 4 nebo 1 a 5. V systému reakcí vystupují tři nezávislé složky O, O 2 a O 3 (sloupce) ve dvou nezávislých reakcích (řádky).

8 Příklad Reversibilní reakce A + 2B 3C + D. Příklad ν = Posloupnost chemických reakcí. 2A + B C A + 2B D 2A + B. ν =

9 Uvažujme obecný nelineární dynamický systém: n složek, m chemických reakcí ẋ = ν v(x)... rovnice evoluce systému, kde ν R n r, ν ij = ν R ij ν L ij, v(x)... vektor reakčních rychlostí, v j (x) = k j n i=1 x νk ij i }{{} mocninná kinetika, ν k ij... reakční řády pro elementární reakce Poznámka Chemické složky lze rozdělit na interní a externí. Koncentrace interních složek se s časem mění, jsou to dynamické proměnné. Koncentrace externích složek zůstává téměř konstantní během celé reakce, nejsou to dynamické proměnné. To nám dovoluje vynechat externí složky z reakcí a uvažovat pouze pseudoreakce mezi interními složkami.

10 Pseudoreakce Necht A, B jsou externí složky, X, Y interní. Pak místo reakce a reakční rychlosti reakce + reakční rychlost A + X B + Y v = k AX uvažujeme pseudoreakci a odpovídající reakční rychlost pseudoreakce + reakční rychlost X Y v = kx, k = k A Příklad Oregonátor popisují následující pseudoreakce a reakční rychlosti: R 1 Y X v 1 = k 1 Y R 2 X + Y v 2 = k 2 XY R 3 X 2X + 2Z v 3 = k 3 X R 4 2X v 4 = k 4 X 2 R 5 2Z fy v 5 = k 5 Z Symbol značí, že po vynechání externích složek je jedna strana pseudoreakce prázdná.

11 Označme v(k, x) = (v 1, v 2,..., v 5 ) T, x = (X, Y, Z ) T, k = (k 1, k 2, k 3, k 4, k 5 ) T. Pak stechiometrická matice a časový vývoj koncentrace x je ν = R 1 R 2 R 3 R 4 R f X Y Z, dx d t = ν v(k, x) Pro stacionární stavy systému pak máme dx d t = f (x) := ν v(x) = 0.