Całka krzywoliniowa niezorientowana Niech R 3 będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- γ taką, że

Transkrypt

1 Całka krzywoliniowa niezorientowana Niech R będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- taką, że t α, β : r t = ( t, y t, z t ) ef. Mówimy, że krzywa jest kawałkami gładka funkcja r t ma przedziałami ciągłą pochodną i r t tam, gdzie istnieje Mówimy, że krzywa jest zwyczajna funkcja r t jest różnowartościowa Mówimy, że krzywa jest zamknięta r α = r β Rozważmy funkcję pomocniczą g: α, β,, -, gdzie oznacza długośd krzywej, daną wzorem t α, β : g t t α = r τ dτ, przy czym r τ =, τ - +,y τ - +,z τ - Zauważmy, że g(t) oznacza długośd fragmentu krzywej od punktu r( ) do r(t) ef. Parametryzacją łukową (naturalną) krzywej nazywamy funkcję r :,, - taką, że p, : r p = r g p = ( p, y p, z p ) Oznaczmy przez A = r α, B = r(β) wtedy krzywą możemy oznaczyd jako = AB. z r τ = ( τ, y τ, z τ ) y t r p = r τ = r g (p) g( )=p p

2 Niech f: R będzie funkcją ograniczoną Wybieramy podział P n przedziału *, ]: α = t < t < < t n = β Oznaczamy t i = t i t i oraz δ n = ma i=,,n t i (średnica podziału P n ) Wybieramy punkty pośrednie ti,t i, t i - Podział P n = *t, t,, t n + wyznacza podział krzywej ozn. n = T, T,, T n, gdzie T = A = r α,, T i = r t i,, T n = B = r(β) Punktom pośrednim ti odpowiadają punkty pośrednie na krzywej T i = r(ti) Oznaczmy s i = T i T i oraz ρ n = ma s i (średnica podziału n ) i=,,n Zauważamy, że δ n n ρ n n ef. umą całkową dla funkcji f i krzywej odpowiadającą podziałowi P n i zbiorowi punktów n pośrednich *ti+ nazywamy liczbę ς n = f( T i ) s i i= Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu sum całkowych dla funkcji f i krzywej odpowiadających ciągowi podziałów P n i zbiorom punktów pośrednich *ti+ przy δ n n, która nie zależy od wyboru podziałów P n i zbiorów punktów pośrednich ti, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po krzywej. Oznaczamy ją f, y, z ds. Mamy więc f, y, z ds = lim δn n i= f( T i ) s i Zauważmy, że = lim δn n i= s i = ds

3 Tw: własności całki krzywoliniowej niezorientowanej Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe niezorientowane z funkcji f i g po krzywej = AB, to:. αf + βg, y, z ds. f, y, z ds AB = α f, y, z ds = f, y, z ds BA. Jeżeli C AB, to f, y, z ds AB + β g, y, z ds = f, y, z ds+ AC f, y, z ds CB Tw: Jeżeli krzywa = AB jest krzywą kawałkami gładką opisaną parametryzacją r(t) i funkcja f jest ciągła na, to istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji f po krzywej i f, y, z ds β = f(r t ) r t dt α Np.. Oblicz z y ds = y z ds, : r t = t, t, t, t, 5, t t 4 t t dt = t + dt = 4 5 5t = 9. Oblicz + y ds, : ( ) + y = = + cost wprowadzamy współrzędne biegunowe, t,,- y = sint r t = ( sint) +cos t = + y ds = ( + cost + cos t + sin t)dt = (t + sint) = 4

4 . Oblicz długośd krzywej przecięcia się powierzchni + y + z = 4 i + y = z = cosφcosθ wprowadzamy współrzędne sferyczne y = sinφcosθ, θ,, φ,,- z = sinθ z drugiego równania mamy 4cos φcos θ + 4sin φcos θ = 6sinθ 4cos θ 6sinθ = sin θ + sinθ = sinθ = sinθ = θ = 6 czyli = cosφ y = sinφ z =, φ,,- r φ = ( sinφ) +cos φ = = ds = dφ =

5 Całka krzywoliniowa zorientowana Niech R będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- taką, że t α, β : r t = ( t, y t, z t ) Wybieramy podział P n przedziału *, ]: α = t < t < < t n = β Oznaczamy t i = t i t i oraz δ n = ma i=,,n t i (średnica podziału P n ) Wybieramy punkty pośrednie ti,t i, t i - Podział P n = *t, t,, t n + wyznacza podział n = T, T,, T n krzywej, gdzie T = A = r α,, T i = r t i,, T n = B = r(β) Punktom pośrednim ti odpowiadają punkty pośrednie na krzywej T i = r(ti) Oznaczmy przez r i = r t i r t i = T i T i Niech funkcja F: R nazywana polem wektorowym będzie określona jako, y, z : F, y, z = (P, y, z, Q, y, z, R, y, z ) ef. umą całkową dla pola F i krzywej odpowiadającą podziałowi P n i zbiorowi punktów n pośrednich *ti+ nazywamy liczbę ς n = F( T i ) r i i= Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu sum całkowych dla pola F i krzywej odpowiadających ciągowi podziałów P n i zbiorom punktów pośrednich *ti+ przy δ n n, która nie zależy od wyboru podziałów P n i zbiorów punktów pośrednich ti, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną z pola F po krzywej. Oznaczamy ją F, y, z dr.

6 Mamy więc F, y, z dr = lim δn n i= F( T i ) r i ponieważ wektor dr = (d,dy,dz), to całkę krzywoliniową zorientowaną zapisujemy też jako F(, y, z) dr = P(, y, z)d + Q(, y, z)dy + R(, y, z)dz Tw: własności całki krzywoliniowej zorientowanej Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe zorientowane z pól F i G po krzywej = AB, to:. αf + βg, y, z dr. F, y, z dr AB = α F, y, z dr = F, y, z dr BA. Jeżeli C AB, to F, y, z dr AB + β G, y, z dr = F, y, z dr+ AC F, y, z dr CB Tw: Jeżeli krzywa = AB jest krzywą kawałkami gładką opisaną parametryzacją r(t) i pole F jest ciągłe na, to istnieje całka krzywoliniowa zorientowana z pola F po krzywej i β =,P( t, α F(, y, z) dr y t, z t ) (t) + Q t, y t, z t y t + R t, y t, z t z t -dt =

7 Np.. Oblicz yd + dy + ydz, : odcinek od A=(-,,) do B=(,,-) = + t parametryzujemy odcinek y = + t z = 4t, t,,- yd + dy + ydz = + t + + t + + t + t 4 dt = =, 6 t + 6t + t- = 8 6. Oblicz d y dy, AB: łuk hiperboli y= od A=(-/, -) do B=(-, -) AB = t parametryzujemy krzywą y = t [-/, -] t d y dy = (t AB t ( t ))dt =, t t - = ef. Cyrkulacją pola F = (P, Q, R) po krzywej zamkniętej nazywamy curl F = F(, y, z) dr Np.. Oblicz curl F dla F=(,,-y,) : z = + y z = otrzymujemy równanie krzywej +y =9 i parametryzujemy = cos t y = sin t z = t [,]

8 curl F =, ( sin t) + cos t sin t -dt =,cost + sint- =. Oblicz curl F, gdzie F=(+z,+y,y+z), : brzeg trójkąta (,,),(,,),(,,). parametryzujemy każdy z odcinków AB: = t y = t z = t = t, t,,-, BC: = t y = z = + t, t,,-, CA: y = t, t,,- z = t curl F = *, t + t + ( t + t) + (t + t) - + t + + t + t t + + t + t + t + t + t + t dt =,7t 5t- = ef. Mówimy, że F(, y, z) dr nie zależy od drogi całkowania F(, y, z) dr = F(, y, z) dr, gdzie = AB i = AB oraz : r t, t,α, β-, : r t, t α, β sa parametryzacjami obydwu krzywych. ef. Mówimy, że obszar jest jednospójny, jeżeli każde dwa punkty tego obszaru można połączyd krzywą całkowicie zawartą w tym obszarze. Tw: Jeżeli pole F jest ciągłe w obszarze jednospójnym, to F(, y, z) dr nie zależy od drogi całkowania ( ) pole F jest potencjalne (tzn. istnieje funkcja G taka, że F(,y,z) = (,y,z) G)

9 ef. Rotacją pola F w punkcie (,y,z ) nazywamy wektor rot (,y,z )F =,y,z F = = y z y = P Q R P Q ( R y, y, z Q z, y, z, P z, y, z R, y, z, Q, y, z P y, y, z ) Tw: Jeżeli F jest polem ciągłym i różniczkowalnym w obszarze powierzchniowo jednospójnym, to F jest potencjalne rot (,y,z) F = dla dowolnego (,y,z) Np.. Zbadaj, czy pole jest potencjalne, jeżeli tak, to wylicz potencjał dla F(,y)=(e lny ey,e y e y ln) rot (,y,z) F = e lny ey e y z y ey ln e lny ey =,, e y ey e y + ey =,, zatem pole jest potencjalne i liczymy potencjał G = e lny ey G, y = e lny e y ln + C(y) G y = e y ey ln e y y ey ln

10 e. F, y, z = (4y 5 y, 5, z ) y ey ln + C y = e y ey ln C y = C G, y = e lny e y ln + C rot F = y z y 4y 5 y 5 z 4y 5 y 5 =,, = (,,) pole jest potencjalne i liczymy potencjał G = 4y 5 y G, y, z = y 5 y + C(y, z) G y = 5 C(y, z) + y 5 C(y, z) + = 5 y C y, z = C (z) G z = z C z z = z C z = z + C G, y, z = y 5 y + z + C

11 . Oblicz ye y d + e y dy A =, B =, AB rot F = y z y =,, e y + y e y ( + y) = (,,) ye y e y ye y e y pole jest potencjalne więc liczymy całkę po odcinku AB =, = t parametryzacja odcinka AB: t [, ] y = t ye y d + AB e y dy = t e t + t e t ( ) dt = t e t dt = u = t du = t dt = eu du = e e = e 4. yz d + y z dy + z y dz A =,, B =,, AB rot F = y z y yz y z z y yz y z = +, y + y, z + z = (,,) pole jest potencjalne i liczymy potencjał G, y, z = yz G, y, z = yz + C(y, z)

12 czyli potencjał ma postad stąd całka G, y, z G y, y, z = y C y, z z z + y = y z C y, z = y + C (z) G z, y, z = z y y + C z = z y = C z = z + C y yz + +C z = yz + y + z + C AB yz d + y z dy + z y dz = G B G(A) =

13 Rozważmy zbiór R. Całka podwójna ef. Kulą o środku w punkcie, y i promieniu r> nazywamy zbiór K, y, r = *, y :, y, y < r+ ef. Mówimy że zbiór jest ograniczony istnieje kula K istnieje prostokąt *a,b] [c,d+ zawierający zbiór Punktem brzegowym zbioru nazywamy punkt spełniający warunek, że w każdej kuli o środku w tym punkcie, leżą zarówno punkty należące do, jak i do niego nie należące. Brzegiem obszaru nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru i oznaczamy. = *, y : r >, y,, y K, y, r :, y, y +, y, r zawierająca zbiór c Mówimy, że jest zorientowany dodatnio poruszając się po krzywej zgodnie z orientacją, zbiór pozostaje po lewej stronie (poruszamy się po krzywej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

14 ef. Mówimy, że zbiór jest normalny względem osi OX istnieją funkcje () i () takie, że brzeg zbioru jest sumą wykresów tych funkcji określonych na *a,b] Możemy wtedy zbór opisad jako = *, y : a, b φ() y ()+ ef. Mówimy, że zbiór jest normalny względem osi OY istnieją funkcje (y) i (y) takie, że brzeg zbioru jest sumą wykresów tych funkcji określonych na *c,d] Możemy wtedy zbór opisad jako = *, y : y c, d φ(y) (y)+ y () y (y) (y) () obszar normalny względem osi OX obszar normalny względem osi OY

15 Niech zbiór R będzie ograniczony [a,b] [c,d] okonujemy podziału przedziałów *a,b] i [c,d] a... n b, c y y y... yk d Powstaje podział prostokąta *a,b] [c,d] P nk = * ij = i, j y j, y j : i =,, n; j =,, k+ y j = y j y j Oznaczmy przez y średnicę prostokąta ij, gdzie i = i i, oraz przez średnicę podziału P nk Wybierzmy punkty pośrednie ( i, y j ) ( i, j y j, y j ) oraz zbiór punktów pośrednich X = *( i, y j ) : i =,, n; j =,, k+ Niech s nk = ij ij ma nk ij i j ij oraz nk = ij ij s nk ( i, y j ) ij gdzie ij oznacza pole prostokąta ij nk ef. Jeżeli istnieją granice lim s nk oraz δ nk lim nk, które są sobie równe, to mówimy, że δ nk zbór jest mierzalny (ma pole) i = lim δ nk s nk

16 Niech teraz funkcja f: R będzie ograniczona. ef. umą całkową dla funkcji f podziałup nk i zbioru punktów pośrednich X nazywamy liczbę n k ς nk = f i, y j ij i= j= Jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum całkowych dla funkcji f podziału P nk i zbioru punktów pośrednich X przy δ nk, która nie zależy od wyboru podziału P nk i zbioru X, to nazywamy ją całką podwójną z funkcji f po obszarze. Oznaczamy f, y d dy. Jeżeli istnieje całka z funkcji f po obszarze, to mówimy, że f jest całkowalna na. Piszemy wtedy f, y d dy = lim δ nk n i= k j= f i, y j ij. Wniosek: Jeżeli zbiór jest mierzalny, to = d dy Tw. własności całki podwójnej Jeżeli R jest mierzalny i f, g są całkowalne na, to:. αf + βg, y d dy = α f, y d dy + β g, y d dy. Jeżeli = oraz =, to f, y d dy = f, y d dy +. Jeżeli f, y g, y dla (, y), to f, y d dy f, y d dy g, y d dy

17 4. tw. o wartości średniej Jeżeli f jest ciągła w, to (, y) : f, y d dy = ef. Całkami iterowanymi dla całki podwójnej a b c d f, y dy Tw: o zamianie całki podwójnej na iterowaną Jeżeli f jest ciągła w =*a,b][c,d], to d f(, y) f, y d dy nazywamy każdą z całek d, f, y d c a b dy b d d b f, y ddy = f, y dy d = f, y d dy a c c a b a d c inny zapis: f, y dy b a d c d = d f(, y)dy Wniosek: Jeżeli f jest ciągła w obszarze normalnym względem osi OX, to: ψ() f(, y)ddy = d f(, y)dy a φ() b Uwaga: Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla obszaru normalnego względem osi OY

18 Np.. Oblicz d e d dy y y dy = y e d = e = 4 4 e =,, e + d = e + = 9 e e. oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y=, y=, y=, y= = ddy = d dy + d dy + d = d + d + + ln + ln dy = d = ln = + ln + ln + ln + + ln + = ln

19 . Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y =, y =, y= - = + : 4 : y y ddy = d dy = 4 =,y- d = + d = 4 4, = 4 ddy = d dy = = 7 ln + d =,ln + - = ln lub traktujemy jako normalny względem osi OY = dy d = y y y + y dy =,ln y + y - = 7 ln

20 4. Oblicz cos ( + y), =,, cos(+y) cos( + y) dy d = d cos + y dy d cos + y dy + d cos + y dy = = sin ( + y) + sin ( + y) d sin ( + y) = sin d d + + d sind =, + cos- + + cos = + cos(+y) cos(+y)<

21 Tw: Greena Jeżeli R jest normalny względem obydwu osi i F(,y)=(P(,y),Q(,y)) jest polem ciągłym, P i Q są ciągłe w, oraz jest dodatnio zorientowany, to: y P, y d + Q, y dy = Q ddy P y Wniosek: Jeżeli jest normalny względem obydwu osi i jest dodatnio zorientowany, to = dy = yd = (dy yd) Np.. Oblicz: d + dy, : + y = zorientowana dodatnio d + dy = ddy = +y. + y d + + y dy, jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A,, B =,, C = (,5) + y d + + y dy = y ddy = ΔABC

22 4 = d y dy + d y dy = = (4 (4 ) + ( + ) )d + + ( ( + ) + ( + ) )d = = 4,75 + 8,75 4,75 d + 7, ,75 6,75 d = = 4,667. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą = = sin t cos tdt = 8 = cos t y = sin, t,,] t cos t sin t cost + sin t cos t sint dt = sin tdt = 6 ( cos4t)dt = 6

23 Tw: zamiana zmiennych w całce podwójnej Jeżeli Δ, R, u:δ (t,s) (,y) jest wzajemnie jednoznaczna, ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe,, y t s t, y w Δ oraz J s (t,s)(,y) dla dowolnych (t,s) Δ oraz f: jest ciągła, to f, y ddy = f t, s, y t, s J (t,s), y Δ dtds Np. Oblicz. ln( +y ) ddy =, y : + y e +y Wprowadzamy współrzędne biegunowe: = rcost y = rsint r e e dr ln(r ) r J (r,t), y = r dt = e r e t,,- cost rsint sint rcost ln r r dr = = rcos t + rsin t = r k = ln r dk = r r dr = k dk =. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi + y y = i + y 4y = = = rcost y = rsint ddy y + y 4y rsint r 4rsint sint r 4sint sint t,,-

24 4sint = dt r dr = 8 sin t dt = sin t = ( cost) = 6 sint = t sint

25 Całka powierzchniowa niezorientowana Niech będzie powierzchnią zawartą w R. ef. Kulą o środku w punkcie (, y, z ) i promieniu r > w przestrzeni R nazywamy zbiór K, y, z, r = *, y, z :, y, z, y, z < r+ Mówimy, że powierzchnia jest ograniczona istnieje kula K, y, z, r zawierająca. ef. Parametryzacją powierzchni nazywamy funkcję r: R taką, że u, v : r u, v = ( u, v, y u, v, z u, v ) Wniosek: Jeżeli jest powierzchnią ograniczoną i r u, v, (u, v) jest parametryzacją, to zbiór jest ograniczony ef. Mówimy, że powierzchnia jest gładka parametryzacja r u, v, (u, v) jest różnowartościowa, ma ciągłą różniczkę w zbiorze oraz r u (u, v) r v (u, v) dla dowolnego (u, v) z v r(u, v) (u, v) y u

26 Niech będzie powierzchnią regularną, ograniczoną z parametryzacją r u, v, (u, v). jest zbiorem ograniczonym a, b,c, d- Wybieramy podziały przedziałów a, b i,c, d-: a = u < u < < u n = b i c = v < v < < v m = d Niech P nm będzie podziałem zbioru P nm = * ij = ( u i, u i v j, v j ) : i =,, n ; j =,, m+ Średnicą podziału P nm nazywamy liczbę δ nm = ma i=,,n j=,,m u i = u i u i, v j = v j v j ( u i ) +( v j ), gdzie Podział P nm generuje podział nm powierzchni z nm = * ij = r ij : i =,, n ; j =,, m+ ij v ij = r( ij ) y d ij c a b u

27 Wybierzmy punkty na powierzchni wyznaczające wierzchołki powierzchni ij : A = r u i, v j, B = r u i, v j, C = r u i, v j, = r(u i, v j ) W punkcie A prowadzimy płaszczyznę styczną do powierzchni i wyznaczamy równoległobok B ij rozpięty na wektorach r u (u i, v j ) u i oraz r v (u i, v j ) v j =r(u i, v j ) Ponieważ r u i,v j r u i,v j u i r u u i, v j r u i,v j r u i,v j v j r v u i, v j, to dla u i, v j pole płata powierzchniowego ij i pole równoległoboku B ij są prawie równe A=r(u i, v j ) C=r(u i, v j ) Obliczamy pole równoległoboku B ij B=r(u i, v j ) B ij = r u u i, v j u i r v u i, v j v j = r u u i, v j r v u i, v j u i v j n i= uma pól wszystkich równoległoboków ς nm = r u u i, v j r v u i, v j u i v j ef. Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu sum ς nm przy średnicy podziału P nm zmierzającej do zera δ nm, która nie zależy od wyboru ciągu podziałów P nm, to granice tę nazywamy polem płata powierzchniowego = lim ς nm = δ nm lim δ nm n m i= j= m j= r u u i, v j r v u i, v j u i v j

28 Wniosek: Jeżeli jest powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, (u, v), to = r u u, v r v u, v dudv = ucosv Np. Oblicz pole płata powierzchniowego : y = usinv, u,, v,,- z = v r u = cosv, sinv,, r v = usinv, ucosv, r u r cosv sinv cosv sinv v = usinv ucosv usinv ucosv = sinv, cosv, ucos v + usin v = du sin v + cos v + u dv = + u du 4,ln + u + u + u u + u + u - = 4 ln + + Niech będzie powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, u, v funkcją ograniczoną. = oraz f: R będzie Wybieramy podział zbioru P nm = ij = u i, u i v j, v j : i =,, n ; j =,, m, gdzie a, b,c, d- oraz a = u < u < < u n = b i c = v < v < < v m = d Wybieramy punkty pośrednie u i, vj ij Podział P nm generuje podział nm powierzchni : nm = * ij = r ij oraz punkty pośrednie M ij = r u i, vj ij : i =,, n ; j =,, m+

29 ef. umą całkową dla funkcji f podziału P nm i zbioru punktów pośrednich,m ij - nazywamy liczbę n m ς nm = f M ij ij, gdzie ij oznacza pole płata powierzchniowego ij i= j= Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu sum całkowych dla funkcji f podziału P nm i zbioru punktów pośrednich,m ij - przy średnicy podziału P nm zmierzającej do zera δ nm, która nie zależy od wyboru ciągu podziałów P nm i zbiorów punktów pośrednich {M ij }, to granicę tę nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po powierzchni i oznaczamy f, y, z d = lim δ nm ς nm = lim δ nm n m i= j= f M ij ij f, y, z d. Tw: własności całki powierzchniowej niezorientowanej Jeżeli jest powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, u, v, wektor n = r u r v r u r v jest wersorem normalnym do powierzchni oraz istnieją całki z funkcji f i g po powierzchni, to. αf + βg, y, z d = α f, y, z d + β g, y, z d. f, y, z d = f, y, z d, gdzie jest powierzchnią z wersorem normalnym n. Jeżeli = i =, to f, y, z d = f, y, z d + f, y, z d Tw: Jeżeli jest powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, u, v i f: R jest ciągła, to f, y, z d = f u, v, y u, v, z u, v r u u, v r v u, v dudv

30 Np. Oblicz. +y d, : z = ucosv y = usinv z = u, u,, v,,- r u r v = r u = cosv, sinv, u, r v = usinv, ucosv, cosv sinv u cosv sinv usinv ucosv usinv ucosv = u cosv, u sinv, u + y d = z du u cos v + u sin v u = u 4u + du = 6,4u + - = 6 4u 4 cos v + 4u 4 sin v + u dv 7. z d, jest powierzchnią czworościanu wyznaczonego przez płaszczyzny układu współrzędnych i płaszczyznę +y+z=. = 4,,-,,- y,,- : y, : z, : z y, z = y = =,,- 4 : y z = y =

31 z d = d dy + d ( y) dy = 4 ( )4 = 4 + d = z dz + dy y z dz ( ) d + + d + =. + y d wprowadzamy współrzędne sferyczne r φ r θ =, jest górną półsferą + y + z = R = Rcosφcosθ y = Rsinφcosθ z = Rsinθ, φ,, θ,, - Rsinφcosθ Rcosφcosθ Rsinφcosθ Rcosφcosθ Rcosφsinθ Rsinφsinθ Rcosθ Rcosφsinθ Rsinφsinθ = = R cosφcos θ, R sinφcos θ, R cosθsinθ + y d = dφ = R 4 cos θdθ = R cos θ R 4 cos 4 θ + R 4 cos θsin θdθ R 4,sinθ sin θ- = 4 R4 =

32 Całka powierzchniowa zorientowana Niech będzie powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, u, v, wektor n(u, v) = r u (u,v) r v (u,v) wersorem normalnym do powierzchni w punkcie u, v r u (u,v) r v (u,v) Niech pole wektorowe F: R, F = (P, Q, R) będzie ograniczone Wybieramy podział zbioru P nm = ij = u i, u i v j, v j : i =,, n ; j =,, m, gdzie a, b,c, d- oraz a = u < u < < u n = b i c = v < v < < v m = d Wybieramy punkty pośrednie u i, vj Podział P nm generuje podział nm powierzchni nm = * ij = r ij : i =,, n ; j =,, m+ oraz punkty pośrednie M ij = r u i, vj ij ij. ef. umą całkową dla pola F podziału P nm i zbioru punktów pośrednich,m ij - nazywamy liczbę n m ς nm = i= j= F M ij n ij ij, gdzie ij oznacza pole płata powierzchniowego ij, a n ij = n u i, vj jest wersorem normalnym do powierzchni w punkcie pośrednim Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu sum całkowych dla pola F podziału P nm i zbioru punktów pośrednich,m ij - przy średnicy podziału P nm zmierzającej do zera δ nm, która nie zależy od wyboru ciągu podziałów P nm i zbiorów punktów pośrednich,m ij -, to granicę tę nazywamy całką powierzchniową zorientowaną z pola F po powierzchni i oznaczamy F, y, z d.

33 F, y, z d = lim δ nm ς nm = lim δ nm n m i= j= F M ij n ij ij inny zapis całki powierzchniowej zorientowanej: d = nd = r u r v r u r v r u r v dudv = u y u z u v y v z v u y u v y v dudv = = y u du z v dv z u du y v dv, z u du v dv u du z v dv, u du y v dv y u du v dv ozn = F, y, z d = (dydz, dzd, ddy) = P, y, z dydz + Q, y, z dzd + R, y, z ddy Tw: własności całki powierzchniowej zorientowanej Jeżeli jest powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, u, v, wektor n = r u r v r u r v jest wersorem normalnym do powierzchni oraz istnieją całki z pól F i G po powierzchni, to. αf + βg, y, z d = α F, y, z d + β G, y, z d. F, y, z d = F, y, z d, gdzie jest powierzchnią z wersorem normalnym n. Jeżeli = i =, to F, y, z d = F, y, z d + F, y, z d

34 Tw: Jeżeli jest powierzchnią gładką o parametryzacji r u, v, u, v, wektor n = r u r v jest wersorem normalnym do powierzchni oraz F: R jest ciągłe, to F, y, z d = F(r u, v ) ( r u (u, v) r v (u, v))dudv ef. trumieniem pola F=(P,Q,R) przez powierzchnię w kierunku wersora normalnego n nazywamy całkę F, y, z d r u r v ef. Jeżeli powierzchnia ogranicza pewien obszar R, to mówimy, że jest zorientowana dodatnio, jeżeli wersor normalny do jest skierowany na zewnątrz. Np. Oblicz strumieo pola F przez powierzchnię :. dla pola F=(-z,y+z,-y) przez zewnętrzną stronę powierzchni walca +y = odciętą płaszczyznami z= i z= (z ) z F, y, z d = z dydz + y + z dzd + y ddy s = cosφ y = sinφ, cosφ φ,, ] z = d = (r φ r h )dφd = = φ y φ z φ φ y φ h y h z h h y h dφd = n sinφ cosφ sinφ cosφ = dφd = cosφ, sinφ, dφd, n = cosφ, sinφ, y

35 s z dydz + y + z dzd + y ddy = cosφ = dφ cosφ cosφ + sinφ + sinφ + (cosφ sinφ) -d = cos φ cos φ + sin φcosφ + sinφcos φ dφ = = = sinφ 6 sin φ + sin φ 6 cos φ = 4. dla pola F=(z,-,y), gdzie jest górną stroną płaszczyzny +6y+z=6 w I oktancie F, y, z d y z = y +, d =,5 = zdydz dzd + yddy s ddy =,, ddy, n = 7, 6 7, 7 n z y

36 s zddy dzd + yddy = = d,( y + ) + y -dy = = d =, =. dla F=(,+y,z-y), gdzie jest zewnętrzną stroną sfery +y +z =4 w I oktancie F, y, z d = cosφcosθ y = sinφcosθ, φ,, θ,, - z = sinθ sinφcosθ cosφcosθ d = cosφsinθ sinφsinθ cosθ = dydz + + y dzd + z y ddy sinφcosθ cosφcosθ cosφsinθ sinφsinθ dφdθ = = 4cosφcos θ, 4sinφcos θ, 4cosθsinθ dφdθ n = cosφcosθ, sinφcosθ, sinθ z n y

37 dydz + + y dzd + z y ddy = dφ +8sin φcos θ + 8cosθsin θ 8sinφsinθcos θ-dθ = (8cos φcos θ + 8cosφsinφcos θ + = 8, + cosφsinφ sinθ sin θ + sin θ + sinφcos θ- dφ = = 8 ( + cosφsinφ + sinφ)dφ = 8 φ 6 cosφ + cosφ = 4 4. dla F =, z, z, gdzie jest całkowitą powierzchnią zewnętrzna walca +y, z,,] F, y, z d = = rcosφ : y = rsinφ, φ,, r,,- z = cosφ sinφ cosφ sinφ d = rsinφ rcosφ rsinφ rcosφ drdφ = =,, r drdφ, n = (,,) dydz + z dzd + z ddy = = dydz + z dzd + z ddy n z n n y

38 = rcosφ : y = rsinφ, φ,, r,,- z = cosφ sinφ cosφ sinφ d = rsinφ rcosφ rsinφ rcosφ drdφ = =,, r drdφ, n = (,,) dydz + z dzd + z ddy 4 = dr rdφ = r = 4 = cosφ : y = sinφ, φ,,,,- z = d = sinφ cosφ sinφ cosφ ddφ = = cosφ, sinφ, ddφ, n = ( cosφ, sinφ, ) dydz + z dzd + z ddy = d cos φ cos φ sinφ dφ =, sinφ 6 φ + cosφ cos φ- d = d = F, y, z d = 4 + =

39 Tw. tokesa Jeżeli jest powierzchnią gładką zadaną parametryzacją r(u,v)=((u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) z wersorem normalnym n = r u r v, której brzeg jest zorientowany dodatnio oraz pole r u r v F=(P,Q,R) ma ciągłą różniczkę w, to P(, y, z)d + Q(, y, z)dy + R(, y, z)dz = s rotf(, y, z) d Np. Oblicz:. y d + y z dy + z dz, gdzie jest brzegiem wewnętrznej powierzchni półsfery z = 9 y zorientowanym dodatnio parametryzujemy półsferę = cosφcosθ y = sinφcosθ z = sinθ θ,, φ,,- sinφcosθ cosφcosθ cosφsinθ sinφsinθ cosθ = 9cosφcos θ, 9sinφcos θ, 9cosθsinθ n = cosφcosθ, sinφcosθ, sinθ sinφcosθ cosφcosθ cosφsinθ sinφsinθ = z n y

40 z tw. tokesa rotf= y z y y z z =,, y d + y z dy + z dz = = (9cos θ(cosφ + sinφ) + 9cosθsinθ)dφdθ = 9 4 cosφ + sinφ sinθ 9 + cosφ + sinφ θ 9 4 cosθ dφ = 9 = dφ 9cos θ cosφ + sinφ + 9cosθsinθ dθ =. F dr rot F =, gdzie F=(,y,z) i jest brzegiem zewnętrznej strony paraboloidy z=- -y, z y z y z y y zorientowanym dodatnio = (,,) i z tw. tokesa F dr = d + ydy + zdz = dydz + dzd + ddy =

41 . F dr, gdzie F=(+y,y+z,z++y) i jest brzegiem zewnętrznej strony stożka z = + y, z zorientowanym dodatnio rot F = y z y = (,, ) + y y + z z + + y = rcosφ + y y + z z parametryzujemy stożek y = rsinφ, φ,,-, r,,- z = r cosφ sinφ cosφ sinφ rsinφ rcosφ rsinφ rcosφ = ( rcosφ, rsinφ, r) n n = ( cosφ, sinφ, ) + y dydz + y + z dzd + z + + y ddy = K = dφ rsinφ r dr = sinφ dφ = cosφ + φ = y

42 Całka potrójna Rozważmy zbiór R. ef. Mówimy że zbiór jest ograniczony istnieje kula K, y, z, r zawierająca zbiór istnieje prostopadłościan [a,b] [c,d] [e,h] zawierający zbiór Punktem brzegowym zbioru nazywamy punkt spełniający warunek, że w każdej kuli o środku w tym punkcie, leżą zarówno punkty należące do, jak i do niego nie należące. Brzegiem obszaru nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru i oznaczamy. = *, y, z : r >, y, z,, y, z K, y, z, r :, y, z, y, z + Mówimy, że jest zorientowany dodatnio wersor normalny do powierzchni jest skierowany na zewnątrz zbioru w każdym punkcie tej powierzchni n

43 ef. Mówimy, że zbiór jest normalny względem płaszczyzny OXY istnieją funkcje (,y) i (,y) takie, że brzeg zbioru jest sumą wykresów tych funkcji określonych na R Możemy wtedy zbór opisad jako = *, y, z : (, y) φ(, y) z (, y)+ ef. Mówimy, że zbiór jest normalny względem płaszczyzny OXZ istnieją funkcje (,z) i (,z) takie, że brzeg zbioru jest sumą wykresów tych funkcji określonych na R Możemy wtedy zbór opisad jako = *, y, z : (, z) φ(, z) y (, z)+ ef. Mówimy, że zbiór jest normalny względem płaszczyzny OYZ istnieją funkcje (y,z) i (y,z) takie, że brzeg zbioru jest sumą wykresów tych funkcji określonych na R Możemy wtedy zbór opisad jako = *, y, z : (y, z) φ(y, z) (y, z)+ z zbiór normalny względem płaszczyzny OXY z (,z) (,z) (,y) (,y) y zbiór normalny względem płaszczyzny OXZ y

44 Niech zbiór R będzie ograniczony [a,b] [c,d] [e,h] okonujemy podziału przedziałów *a,b], [c,d] i [e,h] a = < < < n = b, c = y < y < < y k = d, e = z < z < < z l = Powstaje podział prostopadłościanu *a,b] [c,d] [e,h] P nkl = * iju = i, j y j, y j,z u, z u -: i =,, n; j =,, k; u =,, l+ Oznaczmy przez iju = ( i ) +( y j ) +( z u ) średnicę prostopadłościanu ij, gdzie i = i i, y j = y j y j, z u = z u z u, oraz przez δ nkl = ma iju średnicę podziału P nkl Wybierzmy punkty pośrednie ( i, y j, zu) ( i, j y j, y j z u, z u ) oraz zbiór punktów pośrednich X = *( i, y j, zu) : i =,, n; j =,, k; u =,, l+ Niech s nkl = iju iju oraz nkl = iju iju gdzie iju oznacza objętośd prostopadłościanu iju ef. Jeżeli istnieją granice właściwe lim s nkl oraz lim nkl, które są sobie równe, to δ nkl δ nkl mówimy, że zbór jest mierzalny (ma objętośd) i = lim s nkl δ nkl

45 Niech teraz funkcja f: R będzie ograniczona. ef. umą całkową dla funkcji f podziałup nkl i zbioru punktów pośrednich X nazywamy liczbę ς nkl = f i, y j, zu n i= k j= l u= iju Jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum całkowych dla funkcji f podziału P nkl i zbioru punktów pośrednich X przy δ nkl, która nie zależy od wyboru podziału P nkl i zbioru X, to nazywamy ją całką potrójną z funkcji f po obszarze. Oznaczamy f, y, ddydz. Jeżeli istnieje całka z funkcji f po obszarze, to mówimy, że f jest całkowalna w. Piszemy wtedy f, y, ddydz = lim δ nkl n i= k j= l u= f i, y j, zu iju Wniosek: Jeżeli zbiór jest mierzalny, to = Tw. własności całki potrójnej Jeżeli R jest mierzalny i f, g są całkowalne w, to:. αf + βg, y, z ddydz = α. Jeżeli = oraz =, to ddydz f, y, z ddydz + β g, y, z ddydz f, y, z ddydz =. Jeżeli f, y, z g, y, z dla (, y, z), to f, y, z ddydz + f, y, z ddydz f, y, z ddydz g, y, z ddydz

46 4. tw. o wartości średniej Jeżeli f jest ciągła w, to (, y, z ) : f, y, z ddydz = ef. Całkami iterowanymi dla całki potrójnej a b f, y, z dydz f, y, z ddydz d, f, y, z d a b f(, y, z ) nazywamy każdą z całek dydz Analogiczną definicję możemy wypowiedzied dla zbioru postaci = [e,h], gdzie R. Tw: o zamianie całki potrójnej na iterowaną Jeżeli f jest ciągła w =*a,b], gdzie R, to f, y, z ddydz b a b = f, y, z dydz inny zapis: f, y, z dydz Wniosek: Jeżeli =*a,b] [c,d] [e,h], to a d b a d = = d f, y, z dydz f, y, z ddydz a b b = d a f, y, z d d dy c Wniosek: Jeżeli f jest ciągła w obszarze normalnym względem płaszczyzny OXY, to: ψ(,y) dydz h f, y, z dz e f, y, z ddydz = ddy f(, y, z)dz φ(,y) Uwaga: Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla obszaru normalnego względem płaszczyzn OXZ i OYZ

47 Np. Oblicz całki z. zddydz, gdzie : = d zddydz = d dy y dy y z y = y z dz =, y y - d = d y = 7 9. y z ddydz, gdzie jest ograniczony powierzchniami z=y, z=o, y=, =, = = d y z ddydz 4 5 y 6 dy = d = 4 dy 7 d y y z dz = 64 = z y

48 . ( +y )ddydz, jest ograniczony powierzchniami z = + y i z= ( +y )ddydz = ddy + y dz = +y +y zmieniamy zmienne w całce podwójnej = rcosφ y = rsinφ, φ,, r,,-, J r,φ, y = r = dr r r rdφ = r r 4 dr = Np. Oblicz objętośd brył:. jest ograniczony powierzchniami = y, + y + z = 4, y =, z = dla y płaszczyzna +y+z=4 przecina płaszczyznę z= wzdłuż prostej +y=4 punkt wspólny krzywych = y i + y = 4 to (,) lub (8,-) = ddydz = dy =, 4 y 4 y - y 4 y y dy = d = 8 8y 6y + 4y y 4 dy = 4 y. jest ograniczony powierzchniami + y =, + y + z =, z =. = ddydz = +y ddy 5 y dz dz = = z z y y

49 zmieniamy zmienne w całce podwójnej = rcosφ y = rsinφ, φ,, r,,-, J r,φ, y = r = dr rcosφ rsinφ rdφ = (rφ r sinφ + r cosφ) = dr = 6rdr = z y. jest ograniczony powierzchniami + y y =, z = + y, z =. +y = ddydz = ddy dz = +y y zmieniamy zmienne w całce podwójnej = rcosφ y = rsinφ, J r,φ, y = r poszukujemy przedziałów zmienności nowych zmiennych r rsinφ r sinφ = dφ r,sinφ, φ,, - sinφ r rdr = 4 6sin 4 φdφ = ( cosφ + + cos4φ )dφ = z y 4. jest ograniczony powierzchniami + y = 4, + z = 4 4 = ddydz = ddy dz = +y 4 4

50 zmieniamy zmienne w całce podwójnej = rcosφ y = rsinφ, φ,, r,,-, J r,φ, y = r = dφ = = 6 = 6 4 r cos φ rdr = cos φ 4 r cos φ dφ = sinφ cos φ dφ = 6 sinφ sinφ cos φ dφ sinφ sinφ cos φ cosφ cosφ cosφ cosφ = 8 z dφ + tgφ y Niech pole F=(P,Q,R) będzie różniczkowalne w punkcie (,y,z ) ef. ywergencją pola F w punkcie (,y,z ) nazywamy liczbę div (,y,z )F = P, y, z + Q y, y, z + R z, y, z Tw: Gaussa-Ostrogradskiego Jeżeli pole F=(P,Q,R) ma ciągłą różniczkę w obszarze normalnym względem płaszczyzn układu współrzędnych oraz jest powierzchnią zorientowaną dodatnio z wersorem normalnym n, to F(, y, z) d div(, y, z) Fddzdy

51 Np. Oblicz całkę F(, y, z) d. dla F=(,y,z), gdzie jest zewnętrzną powierzchnią sfery +y +z =9 4 F ds ( ) ddydz ddydz y z 9. dla F=(y,yz,z), gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni czworościanu ograniczonego płaszczyznami =, y=, z=, +y+z= y F d ( y z ) ddydz d dy ( y z) dz d y y y dy 9 8 [( )( ) ( ) ( ) ] d 6 8. dla F=(, y, z ), gdzie jest zewnętrzną powierzchnią sześcianu ograniczonego płaszczyznami =, =, y=, y=, z=, z= F d ( y z) ddydz d dy ( y z) dz d y dy d

52 4. dla F=(+y, y+z, z+), gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni walca ograniczonego +y =4, z=, z= F d ( ) ddydz ddy dz ddy y 4 y 4 5. dla F=(, y, z ), gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni figury ograniczonej z= + y, z= = rcosφ wprowadzamy współrzędne biegunowe y = rsinφ i badamy zmiennośd parametrów r cos φ + r sin φ = r, φ,,- J r,φ, y = r F d ( y z) ddydz ddy ( y z) dz y y dr r cos sin r r r d ( r r ) sin cos r r r dr r r dr 4

53 6. dla F=(y, -y, ), gdzie jest zewnętrzną stroną sfery +y +z =9 dla, y, z F d (y y) ddydz Tw: zamiana zmiennych w całce potrójnej Jeżeli Ω, R, u: Ω (t,s,k) (,y,z) jest wzajemnie jednoznaczna, ciągła i ma wszystkie pochodne cząstkowe ciągłe w Ω oraz J (t,s,k) (,y,z) dla dowolnych (t,s,k) Ω oraz f: jest ciągła, to f, y, z ddydz = f t, s, k, y t, s, k, z(t, s, k) J (t,s,k), y, z Ω dtdsdk Np. Oblicz f, y, ddydz :. dla f, y, z = z + y + z, gdzie jest ograniczony powierzchnią + y + z = 4 dla, z, y wprowadzamy współrzędne sferyczne = rcosφcosθ y = rsinφcosθ z = rsinθ z równania powierzchni widad, że r,,- oraz rsinθ, rcosφcosθ, rsinφcosθ rcosφcosθ θ,, cosφ sinφφ cosφ φ,, - 4 liczymy jakobian cosφcosθ sinφcosθ sinθ rsinφcosθ rcosφcosθ rcosφsinθ rsinφsinθ rcosθ = r cosθ

54 z + y + z ddydz = dθ 4 dφ = sin θcosθdθ r sin θ r r cosθdr = 8. f, y, z =, gdzie jest ograniczona powierzchniami +y +z + y + z = 4 i + y + z = 9 = rcosφcosθ wprowadzamy współrzędne sferyczne y = rsinφcosθ, r,, φ,, θ, z = rsinθ J r,φ,θ, y, z = r cosθ ddydz + y + z = dθ dφ r cosθ r dr =. f, y, z = + y, gdzie : z + y + y + z = rcosφcosθ wprowadzamy współrzędne sferyczne y = rsinφcosθ, r,, φ,, z = rsinθ badamy zmiennośd : rsinθ rcosθ θ, 4 J r,φ,θ, y, z = r cosθ =

55 ( +y )ddydz = dr dφ 4 r cos θ r cosθdθ = 5 ( 5 ) = 5 sinθ sin θ 4 = 4. f, y, z =, gdzie : + y + z = rcosφcosθ wprowadzamy współrzędne sferyczne y = rsinφcosθ z = rsinθ J r,φ,θ, y, z = r cosθ badamy zmiennośd parametrów r 4rcosφcosθ θ,, φ,, = 5 cos 7 φdφ ddydz = dφ cos 8 θdθ = 5 r,cosφcosθ cosφcosθ dθ r 5 8 θ + 7 sinθ sin4θ + 96 sin6θ + cos φcos θ r cosθ dr = 5 64 sinφ sinφ + 7 sin5φ + 4 sin8θ = 7 4, sin7φ 6 4 -