Układy inercjalne i nieinercjalne w zadaniach

Transkrypt

1 FOTON 98 Jeień Układy inercjalne i nieinercjalne w zadaniach Jadwia Salach Zadanie 1 Urzędnik pracujący w biurowcu wiadł do windy która ruzył dół i przez 1 ekundę jechała z przypiezenie o wartości a 4 /. W chwili ruzenia windy urzędnik upuścił klucze z ręki która znajdowała ię wówcza nyokości h 1 nad podłoą windy. a) Oblicz cza padania kluczy przeprowadzając rozuowanie w układzie nieinercjalny związany z windą. b) Oblicz ten cz inercjalny układzie odnieienia związany z biurowce. c) Oblicz cza padania kluczy w przypadku dy winda tała lub poruzała ię ruche jednotajny. d) Porównaj wyniki i podaj ich krótką interpretację. Rozwiązanie Dane: a 4 / h 1 10 / ; obliczyć t. a) W układzie nieinercjalny związany z windą na klucze działają dwie iły: ciężkości r i iła bezwładności F b a (ry. 1). Przypiezenie kluczy wzlęde windy artość F b a a h t t h t h a Ry. 1

2 54 FOTON 98 Jeień 007 b) W układzie inercjalny biurowca na klucze działa tylko iła ciężkości zate klucze padają z przypiezenie r. Droa jaką przebywają klucze w ty układzie odnieienia jet uą dró: h i droi b którą w czaie t przebywa windzlęde biurowca. h + b t h + at ( a) t h t h a 058. c) W windzie poczywającej lub poruzającej ię ruche jednotajny na klucze działa tylko iła ciężkości która nadaje i przypiezenie r. t h t h Cza ten obliczono w układzie inercjalny związany z windą. Układ ten jet identyczny z układe biurowca jeśli winda poczywa. Jeśli winda poruza ię ruche jednotajny to układ związany z windą jet też układe inercjalny ale różny od układu biurowca. Winda poruza ię w dół ze tałą prędkością v r zwróconą w dół (oczywiście v << c). W układzie biurowca upuzczone klucze ają prędkość początkową v r wykonują rzut pionowy w dół i ają do przebycia droę równą h + vt. h + v t vt + kąd otrzyujey cza t h 045 ięc taki a jak w układzie win- dy. t Gdyby winda poruzała ię ze tałą prędkością zwróconą w órę to w układzie odnieienia biurowca odpowiednie równanie iałoby potać: t h vt vt + t h 0 45 (prędkość początkowa kluczy byłaby zwrócon órę iałaby więc wpółrzędną v x v bo oś x jet zwrócon dół).

3 FOTON 98 Jeień ax Uwaa: W otatni przypadku ożna by także potąpić inaczej: Obliczyć cza t padania kluczy jako uę czaów: wznozenia v i padaniobodneo z wyokości h + h vt. Wówcza należałoby rozwiązać równanie kwadra- t p towe hax + h v ( tp + twz ) dzie hax v a twzn v. Po rozwiązaniu równania należy do czau padania dodać czznozenia. Otrzyay taki ynik ale liczenia jet znacznie więcej. d) Cza padania kluczy w windzie poruzającej ię z przypiezenie zwrócony w dół jet dłużzy od czau ich padani windzie poczywającej lub poruzającej ię ruche jednotajny i to ty dłużzy i więkzą wartość a przypiezenie windy. Czay te obliczone (zierzone) przez oberwatorów w układzie inercjalny i nieinercjalny ą jednakowe ale wydłużenie ię czau padania (dy a 0 ) każdy z tych oberwatorów wytłuaczy inaczej: wedłu oberwator windzie jet tak dlateo że klucze padają z niejzy przypiezenie edłu oberwatora związaneo z budynkie dlateo że klucze uzą przebyć więkzą droę. Zadanie Na rurze toru powietrzneo tworzącej z pozioe kąt α 30 uiezczono etalowy uchwyt obciążony klockie o łącznej aie 150. Dzięki poduzce powietrznej wytworzonej iedzy uchwyte a rurą prawie zupełnie wyeliinowano opory ruchu (ryunek 1). Tor powietrzny zaocowano na platforie oącej poruzać ię pozioo. Ry. 1 Oblicz wartość i podaj zwrot przypiezenia z który powinna poruzać ię platfora aby uchwyt z klockie a) w układzie laboratoryjny padał wobodnie; oblicz wartość jaką będzie iało wówcza przypiezenie uchwytu wzlęde toru b) nie przeuwał ię wzlęde toru powietrzneo. c) Oblicz wartość iły naciku uchwytu na rurę toru powietrzneo w przypadku a) i b).

4 56 FOTON 98 Jeień 007 Przeprowadź rozuowanie w układzie nieinercjalny związany z platforą oraz w układzie inercjalny (laboratoryjny). Rozwiązanie Dane: α / ; obliczyć a 1 a N 1 N. 1. Rozwiązanie w układzie nieinercjalny związany z platforą a) W układzie nieinercjalny na uchwyt działają iły: ciężkości r i bezwładności F b 1 a 1. Wypadkowa tych ił nadaje uchwytowi przypiezenie a r w jet więc zwróconzdłuż toru ku dołowi. Wynika z teo że iła bezwładności ui być zwrócon lewo (ry. ) więc przypiezenie platfory a r 1 jet zwrócone w prawo. F b 1 α a1 ctα ct Ry. a 1 ctα 173. b) Jeśli w układzie nieinercjalny uchwyt poczywa to jeo przypiezenie w ty układzie jet równe zeru. Oznacza to że iły działające na uchwyt równoważą ię. Są to iły: F b i F. Z ryunku 3 wynika ze iła bezwładności r F r b (o kierunku pozioy) ui być zwrócon prawo a zate przypiezenie platfory a r jet zwrócone w lewo. F b α a tα t a tα 58. Ry. 3 c) Siłzajeneo naciku uchwytu i toru powietrzneo w przypadku a) a wartość równą zeru ( N 1 0 ) przypadku b) jak wynika z ryunku 3 ( F ; trzecia zaada dynaiki). N

5 FOTON 98 Jeień F coα F N 17 N. coα. Rozwiązanie w układzie laboratoryjny (inercjalny) a) Przypiezenie uchwytu równe r jet uą jeo przypiezeń: przypiezenia wzlędneo a r w (wzlęde platfory czyli toru powietrzneo) i przypiezenia platfory a 1 r r aw + a 1. Ilutruje to ryunek 4 z któreo widać że platfora będzie ię poruzała z przypiezenie zwrócony w prawo. tα a1 a 10 1 a1 ctα tα Ry Wartość przypiezenizlędneo a 0 w. inα 05 b) Gdy uchwyt będzie poczywał wzlęde toru czyli jeo przypiezenie wzlęde platfory będzie równe zeru to w układzie laboratoryjny przypiezenie uchwytu będzie równe przypiezeniu platfory a r. Przypiezenie to nadaje uchwytowi wypadkowa iły ciężkości i iły prężytości toru F. Kierunek iły F r jet protopadły do toru. Ponieważ przypiezenie a r a kie runek pozioy taki kierunek ui ieć także iłypadkowa oba te wektory ą zwrócone w lewo (ry. 5). Fw a tα tα a t α a Ry. 5 c) Wartość iły naciku na tor jet w każdy przypadku równartości iły prężytości toru (III zaada dynaiki). W przypadku a) wartość ta jet równa

6 58 FOTON 98 Jeień 007 zeru ( N 1 0) bowie przypiezenie r w układzie inercjalny nadaje uchwytowi wyłącznie iła ciężkości. W przypadku b) wartość iły prężytości jak widać z ryunku 5 jet równa 015k 10 coα F F 3 N 1 7 N F coα 3 N 3 N 1 7N.