1 Zbiory i odwzorowania

Transkrypt

1 MATEMATYKA biory i odwzorowania Liczby zespolone 4 4 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych 6 6 Algebra liniowa Wektory w przestrzeni. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 6 6 Ciagi i szeregi liczbowe 4 4 Przestrzeń metryczna Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 6 8 Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 8 6 Całka nieoznaczona 6 6 Całka oznaczona 6 6 Równania różniczkowe zwyczajne 8 8 Prace kontrolne 4 6 6

2 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA biory i odwzorowania. Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej biór liczb naturalnych N = {,, 3, 4,...} oraz naturalne uporzadkowanie tego zbioru, w którym po każdej liczbie naturalnej n następuje liczba naturalna n +,sa pojęciami pierwotnymi. Wszystkie własności liczb naturalnych wynikaja zkilkuwłasności podstawowych, które przyjmuje się bez dowodu jako aksjomaty teorii liczb naturalnych. Do aksjomatów tych należy zasada indukcji zupełnej, która formułuje twierdzenie: Twierdzenie. Jeżeli W jest własnościaokreślon awzbiorzen itak a, że:. liczba ma własność W,. dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja: jeżeli n ma własność W,ton + ma własność W to każda liczba naturalna ma własność W. Wykażemy, że dla wszystkich liczb naturalnych i nie mniejszych od 5 zachodzi nierówność n >n () W tym celu udowodnimy, że funkcja f (n) = n n przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich n naturalnych nie mniejszych od 5. Dla n = n =5mamy f (n )=f (n) = 3 5 >. Mamywykazać, że dla n 5 prawdziwa jest implikacja W wyniku przekształceń otrzymujemy f (n) > f (n +)> f (n +) = n+ (n +) = n n n = = n n + n n = n n + n n = = f (n)+(n 3) (n +)+ Widać st ad, że dla n 5 spełniona jest nierówność (). Potęgę a n owykładniku n naturalnym i podstawie a dowolnej definiujemy indukcyjne za pomocarówności:. a = a,. a n+ = a a n dla dowolnego n naturalnego. powyższych równości wynika, że a = a a, a 3 = a a a itd. Możemy to wyrazić jednym wzorem a n = a a a... a {z } n razy Uwaga. W zbiorze liczb naturalnych dodawanie i mnożenie sa działaniami wewnetrz- nymi ikażde z tych działań jestłaczne. atem N jest półgrupazewzgl edu na dodawanie i półgrupazewzgl edu na mnożenie.

3 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA. Liczby całkowite i liczby wymierne biór liczb całkowitych = {..., 3,,,,,, 3,...} składa się z:. liczb całkowitych dodatnich +, +, +3,..., które uważamy za identyczne z liczbami naturalnymi,, 3,...,. liczb całkowitych ujemnych,, 3,..., któresa liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych, 3. liczby zero, która jest liczbacałkowit aneutraln a(anidodatni a, ani ujemna). Dwie liczby nazywamy liczbami wzajemnie przeciwnymi, jeżeli ich suma jest zerem. Liczbę przeciwnadon oznaczamy n, a liczbę przeciwn ado n oznaczamy ( n) =n. Liczba przeciwna do zera jest zero. Uwaga. W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnożenie sa działaniami wewnetrznymi. Liczbawymiern a nazywamy liczbę, która można przedstawić wpostaciułamka zwykłego m n n 6= którego licznik m jest dowolna liczbacałkowit a, a mianownik n jest liczbacałkowit aróżn a od zera. biór liczb wymiernych oznaczamy Q. amiast m piszemy często m/n. Liczbę n całkowita m utożsamiamy z ułamkiem m. Przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka zwykłego jest możliwe na nieskończenie wiele sposobów, bowiem m n = km k 6= kn Ułamek m n nazywamy skróconym, jeżeli jego licznik i mianownik nie maj a wspólnego podzielnika, a mianownik jest liczbacałkowit adodatni a. Uwaga.3 W zbiorze liczb wymiernych dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie sa działaniami wewnetrznymi. Możemy teraz rozszerzyć definicję potęgi na wykładnik zero i wykładnik całkowity ujemny dla dowolnej podstawy niezerowej a = a n =/a n dla a 6= 3

4 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA.3 Liczby rzeczywiste.3. Liczby niewymierne Wśród wielkości rozważanych w geometrii satakie,któreniedaj asięwyrazićzapomoc a liczb wymiernych. Do wielkości tych należa:. pole okręgu o promieniu,. długość przek atnej kwadratu o boku jednostkowym, 3. długość krawędzi sześcianu o objętości równej itp. Dla wyrażenia tych wielkości rozszerzono pojęcie liczby wprowadzajac liczby niewymierne. Poszczególne liczby niewymierne sa dane jako pierwiastki pewnych równań, jako granice pewnych ciagów lub za pomocainnychwarunków. Uważamy, że liczba niewymierna jest przez dany warunek określona, jeżeli warunek ten pozwala o każdej liczbie wymiernej rozstrzygnać czy jest mniejsza, czy większa od danej liczby niewymiernej. Warunek ten rozdziela zbiór liczb wymiernych na dwie klasy: dolnaigórn a. Mówimy, że liczba niewymierna jest przekrojem zbioru liczb wymiernych. Jednocześnie warunek ten pozwala wyznaczyć przybliżenie wymierne danej liczby niewymiernej z dowolnie małym bdem. ilustrujemy to opisem. Długość x krawędzi sześcianu o objętości jest liczba wyznaczona przez warunek x 3 =. Okazuje się, że sześcian dowolnej liczby wymiernej jest albo większy albo mniejszy od tej wartości. Wówczas zaliczamy dana liczbę wymiern a do klasy górnej lub dolnej. Jest to przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczajacy liczbę 3. Sprawdzenie Klasa Przekrój Klasa Sprawdzenie warunku dolna górna warunku 3 = = 7. 3 = = = = Tak więc liczby wymierne.5 i.6 saprzybliżeniami liczby niewymiernej 3 zbłędem mniejszym od.. Wpowyższy sposób możemy wyznaczyć przybliżenie wymierne liczby 3 zbłędem dowolnie małym..3. Przekrój Dedekinda Definicja. Podział zbioru liczb wymiernych na dwa podzbiory A, B niepuste i takie, że. każda liczba wymierna należy do A lub do B,. każdaliczbawymiernanależaca do A jest mniejsza od każdej liczby wymiernej należacej do B nazywamy przekrojem zbioru liczb wymiernych. Nie jest możliwe, aby w klasie A istniała liczbanajwiększa a iabyjednocześnie w klasie B istniała liczba najmniejsza b, gdyż wtedy średnia arytmetyczna nie mogłaby należeć do żadnej 4

5 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA zklasa, B iwaruneknie byłby spełniony. Fakt ten wyrażamy wówiac: wzbiorzeliczb wymiernych nie ma skoków. Jest możliwe, że w klasie A istnieje liczba największa c, awklasieb nie ma liczby najmniejszej, lub odwrotnie, w klasie B istnieje liczba najmniejsza c, awklasiea nie ma liczby największej. Wówczas mówimy, że przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza liczbę wymiern a c. Jeżeli w klasie A nie ma liczby największej, ani w klasie B nie ma liczby najmniejszej, to mówimy, że przekrój ujawnia lukę w zbiorze liczb wymiernych oraz wyznacza liczbę niewymierna, która tę lukęzapełnia. Jednolite ujęcie liczb wymiernych i niewymiernych za pomoca przekrojów wprowadził Dedekind..3.3 Liczby rzeczywiste Wszystkie liczby wymierne i niewymierne (wszystkie przekroje Dedekinda) razem wzięte tworza zbiór liczb rzeczywistych R. Przy wykonywaniu działań na liczbach rzeczywistych posługujemy się przybliżeniami wymiernymi tych liczb. Pokażemy to na przykładzie sumy 3 +. Bior ac przybliżenia dziesiętne tych liczb, dolne i górne, z błędem mniejszym od. idodaj ac je.5 < 3 <.6.4 < < < 3 + < 3.58 otrzymujemy przybliżenia sumy z błędem mniejszym od.. Uwaga.4 W zbiorze liczb rzeczywistych R dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie (przez liczberóżn aodzera)orazpot egowanie przy wykładniku całkowitym sa działaniami wewnetrznymi. Definicja. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia naturalnego n liczby rzeczywistej c nazywamy liczbe rzeczywista x = n c () która jest rozwiazaniem równania przy zastrzeżeniu, że jeżeli n jest liczba parzysta, to x i c. x n = c (3) Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego liczby ujemnej nie istnieje,bowiemrównanie (3) nie ma rozwiazania, gdy n jest parzyste, a c <. Jeżeli pierwiastek arytmetyczny istnieje, to jest określony jednoznacznie: n =, n =, 3 8=, 3 8=, 4 6 =, 4 6 nie istnieje. Definicja.3 Poteg e a m/n owykładniku wymiernym m n liczba naturalna, definiujemy wzorem a m n = n a m dla a> ograniczajac sie do przypadku, gdy podstawa a jest liczbadodatni a. 5,gdziem jest liczb acałkowit a, a n (4)

6 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA Ograniczenie to wynika z faktu, że dla a prawastrona(4)może tracić sens lub mieć wartość zależna nie tylko od wartości wykładnika wymiernego m, ale i od postaci, w jakiej ten n wykładnik napisano, np. ( ( ) /5 = 5 = (.). = ( ) / = q( ) =+ Wynika stad, że przekształcenie n am = kn a km może być stosowane,jeżeli a>. Definiujac liczby rzeczywiste za pomoca przekrojów w zbiorze liczb wymiernych, możemy teraz konstruować w analogiczny sposób przekroje w zbiorze liczb rzeczywistych. Udowadnia się, że każdy przekrój w zbiorze liczb rzeczywistych wyznacza jakaś liczbę rzeczywista. Oznacza to, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma skoków i nie ma luk. Fakt ten wyrażamy mówiac, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciagły..3.4 Wartość bezwzględna (moduł) Definicja.4 Wartość bezwzgledn a(moduł) liczby rzeczywistej x oznaczamy symbolem x idefiniujemy nastepuj aco: moduł zera jest zerem, moduł liczby dodatniej x jest równy x, moduł liczby ujemnej x jest równy liczbie przeciwnej do liczby x, awiec x = ½ x dla x x dla x< (5) Na przykład: a = a, a = ( a )=a, cos x = (cos x ) = sin x. Następnie mamy przykład uproszczenia wyrażenia w.definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że w = w dla w w = w dla w< Jeżeli nie wiemy, jakaliczb ajestw, tozgodniezdefinicja (5) piszemy w = w dla w R Natomiast x +x += q ½ (x +) x + dla x = x + = x dla x< 6

7 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA Twierdzenie. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe sanast epujace zwiazki x moduł dowolnej liczby jest nieujemny x = x = moduł liczby jest zerem wtw, gdy liczba jest zerem x = x liczby przeciwne majamoduły jednakowe xy = x y moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów x y = x moduł ilorazu jest równy ilorazowi modułów y x + y x + y moduł sumy jest niewiekszy od sumy modułów x y x y moduł różnicy jest niemniejszy do różnicy modułów x y x ± y x + y moduł sumy lub różnicy jest niewiekszy od sumy modułów i niemniejszy od różnicy modułów.4 Działania na zbiorach biór jest w matematyce pojęciem pierwotnym. Przedmioty należace do pewnego zbioru nazywamy elementami tego zbioru. danie: przedmiot a należy do zbioru A zapisujemy a A aprzeczenie tego zdania, że a nie należy do A (a nie jest elementem zbioru A) zapisujemy a/ A Mówimy, że zbiór A zawiera się wzbiorzeb i piszemy A B gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Mówimy wówczas, że A jest podzbiorem zbioru B, a B jest nadzbiorem zbioru A. Uwaga.5 Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem. Mówimy, że zbiory A i B sa identyczne i piszemy A = B, jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B ikażdy element zbioru B jest elementem zbioru A. Awięc (A = B) (A B) (B A) (6) Przestrzeń. biory rozważane w pewnym zagadnieniu sa zwykle podzbiorami pewnego ustalonego zbioru X,zwanegoprzestrzenia. Przestrzenia może być zbiór punktów przestrzeni geometrycznej, zbiór liczb rzeczywistych R, zbiór wielomianów itp. biory skończone i nieskończone. Niech n oznacza dowolnaliczbę naturalna lub. biórzłożony z n elementów nazywamy zbiorem skończonym (n elementowym). biór nazywamy nieskończonym, jeżeli dla każdego n istnieje w tym zbiorze podzbiór złożony z n elementów. Na przykład, zbiór podzielników dowolnej liczby naturalnej jest skończony, natomiast zbiór jej wielokrotności jest nieskończony. Jeżeli zbiór jest skończony, to możnagozdefiniować wymieniajac wszystkie jego elementy. danie: A jest zbiorem złożonym z elementów a,a,a 3,...,a n zapisujemy i rozumiemy przez to, że: wtw czytamy: wtedy i tylko wtedy A = {a,a,a 3,..., a n } 7

8 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA. każdy z przedmiotów a,a,a 3,...,a n należy do zbioru A,. tylko przedmioty a,a,a 3,..., a n należadozbiorua. Jeżeli zbiór jest nieskończonym podzbiorem pewnej przestrzeni, to definiujemy go podajac warunek, który jest spełniony przez wszystkie elementy tego zbioru. Na przykład: A jest zbiorem złożonym z elementów przestrzeni X spełniajacych warunek W A = {x X : W (x)} Jeżeli nie ma watpliwości, o jaka przestrzeń chodzi, to mówimy: A jest zbiorem tych x, które spełniajawarunekw i piszemy: Niech będadanedwazbiorya, B. A = {x : W (x)} Definicja.5 Suma zbiorów nazywamy zbiór utworzony ze wszystkich elementów zbioru A i wszystkich elementów zbioru B A B = {x :(x A) (x B)} Definicja.6 Iloczynem (cześci awspóln a) zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów zbioru A, któresaelementamizbiorub A B = {x :(x A) (x B)} Definicja.7 Różnica zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów zbioru A, którenies a elementami zbioru B A \ B = {x :(x A) (x / B)} Definicja.8 Mówimy, że zbiory A, B sa rozłaczne, jeżeli ich iloczyn jest zbiorem pustym (nie istnieje element, który należy do A idob). Definicja.9 Jeżeli zbiór A jest podzbiorem pewnej przestrzeni X, toróżnice X\B nazywamy dopełnieniem (uzupełnieniem) zbioru A..4. Produkt kartezjański Niech będa danedwazbiory X, Y. Nie wykluczamy możliwości, że X, Y oznaczaja jeden i ten sam zbiór. Jeżeli tak jest, to mówimy, że X i Y sa dwoma egzemplarzami tego samego zbioru. Niech x oznacza dowolny element zbioru X, ay dowolny element zbioru Y.Utwórzmy parę (x, y) w której x jest pierwszym wyrazem, a y drugim. biór takich par nazywamy produktem kartezjańskim zbiorów X, Y (lub produktem) i oznaczamy Przykład. X Y = {(x, y) :(x X) (y Y )} 8

9 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA Na płaszczyźnie obieramy prostokatny układ kartezjański Oxy. Wówczaskażdemu punktowi płaszczyzny odpowiada para (x, y) liczb rzeczywistych i każdej parze (x, y) liczb rzeczywistych odpowiada punkt płaszczyzny. biór par (x, y) liczb rzeczywistych jest produktem R R. Produktem zbiorów {, } i {,, 3} jest zbiór par (, ) (, ) (, 3) (, ) (, ) (, 3) Produktem zbiorów {,,...,m} i {,,...,n} jest zbiór par (, ) (, ) (,n) (, ) (, ) (,n) (m, ) (m, ) (m, n) Produkt N = N Njest to zbiór par (i, j) liczb naturalnych (, ) (, ) (,j) (, ) (, ) (,j) (i, ) (i, ) (i, j).5 biory liczb. Kres górny, kres dolny Wpunkcietymbędziemy rozważać tylko podzbiory przestrzeni liczb rzeczywistych R. Litera będzie oznaczać podzbiór liczb rzeczywistych R. Poniżej przedstawiamy zapis ogólny zbioru liczb x spełniajacych warunek W oraz przykłady zbiorów x : W (x) {x : x =9} = { 3, +3} zbiór elementowy {x : x =} = {} zbiór elementowy {x : x < } zbiór elementowy, czyli pusty {x : x < 9} = {x : 3 <x<3} zbiór nieskończony Najważniejszy rodzaj zbiorów to przedziały. Definiujemy je poniżej, zakładajac, że a R, b R i a<b. Definicja zbioru Symbol Nazwa {x : a x b} <a; b> przedział domknięty {x : a < x < b} (a; b) przedział otwarty {x : a x < b} < a; b) przedział lewostronnie domknięty, prawostronnie otwarty {x : a < x b} (a; b > przedział lewostronnie otwarty, prawostronnie domknięty 9

10 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA Okażdym z powyższych przedziałów mówimy, że ma końce a, b, długość b a (skończona) i że jest ograniczony. Poniższe przedziały Definicja zbioru Symbol Nazwa {x : a x} < a; + ) przedział lewostronnie domknięty, prawostronnie nieograniczony {x : a < x} (a; + ) przedział otwarty, prawostronnie nieograniczony {x : x b} ( ; b > przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty {x : x < b} ( ; b) przedział otwarty, lewostronnie nieograniczony nazywamy nieograniczonymi, mówiac, że majadługość nieskończona, że maja jeden koniec w skończoności, a drugi w nieskończoności. apis ( ; + ) oznacza całaprzestrzeń R. Definicja. Elementem najwiekszym zbioru liczb nazywamy teliczb e, która należy do zbioru ijestwi eksza od każdej z pozostałych liczb należacych do zbioru. Liczb et e oznaczamy max (maksimum ) Definicja. Elementem najmniejszym zbioru liczb nazywamy teliczb e, która należy do zbioru i jest mniejsza od każdej z pozostałych liczb należacychdozbioru. Liczb et e oznaczamy min (minimum ) Wkażdym skończonym zbiorze liczb istnieje element największy i element najmniejszy, np. min.,. ª =. max{x, x} = x W zbiorze nieskończonym element największy i najmniejszy moga nie istnieć, np. max N nie istnieje max (; ) nie istnieje Definicja. Liczbe b nazywamy ograniczeniem górnym zbioru, jeżeli dla każdego x należacego do jest x b x b x Definicja.3 biór nazywamy ograniczonym od góry, jeżeli istnieje ograniczenie górne zbioru x b x b Definicja.4 Liczbe a nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru, jeżeli dla każdego x należacego do jest a x a x x Definicja.5 biór nazywamy ograniczonym od dołu, jeżeli istnieje ograniczenie dolne zbioru a x x b

11 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA Definicja.6 biór nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór ten jest ograniczony od góry i od dołu. W przeciwnym razie zbiór nazywamy nieograniczonym. Uwaga.6 biór liczb naturalnych jest nieograniczony. biór odwrotności liczb naturalnych jest ograniczony. Definicja.7 Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnychtego zbioru. Kres górny zbioru oznaczamy sup (supremum ) Definicja.8 Kresem dolnym zbioru nazywamy najwieksze z ograniczeń dolnych tego zbioru. Kres dolny zbioru oznaczamy inf (infimum ) Uwaga.7 Kresem górnym przedziału (; ) jest liczba. Kresemdolnymzbioruodwrotności liczb naturalnych jest liczba. Twierdzenie.3 Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego od góry istnieje jeden kres górny. Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego od dołu istnieje jeden kres dolny. Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego istnieje dokładnie jeden kres górny i dokładnie jeden kres dolny..6 Odwzorowania (funkcje) Definicja.9 Odwzorowanie jest w matematyce pojeciem pierwotnym. X Y amiast odwzorowanie mówimy też przekształcenie albo funkcja. W Niech będa dane przestrzeń X, D której dowolny element oznaczamy x f ( x) przez x oraz przestrzeń Y, której dowolny element oznaczamy y = f (x). akładamy, że zbiory X i Y sa niepuste. Niech D będzie pewnym Rysunek : Odwzorowanie f(x). niepustym podzbiorem przes- trzeni X, co zapiszemy D X (patrz rys. ), a W pewnym niepustym podzbiorem przestrzeni Y : W Y. Jeżeli każdemu elementowi zbioru D został przyporzadkowany dokładnie jeden element zbioru Y,tomówimy,że zostało określone odwzorowanie zbioru D wzbióry czyli funkcja odwzorowuj aca zbiór D wzbióry. Funkcję tę oznaczamy przez f f : D Y (czytamy: f jest funkcjaodwzorowuj aca zbiórd wzbióry ). Każdy element zbioru D nazywamy argumentem funkcji f, azbiórd dziedzinafunkcjif. Element zbioru Y,który funkcja f przyporzadkowuje argumentowi x oznaczamy f (x) x f (x) inazywamywartościafunkcjiodpowiadaj ac a argumentowi x. Pełny zapis omówionej funkcji ma postać: f : D Y x f (x)

12 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA biór wszystkich wartości funkcji oznaczamy W inazywamyprzeciwdziedzina funkcji. apis f : R R x f (x) =x 6x + czytamy: f jest funkcjaokreślon anazbiorze liczb rzeczywistych i majac a wartości w zbiorze liczb rzeczywistych dane wzorem f (x) =x 6x +. Definicję tęizapis często skracamy, mówiac: f (x) jest funkcja określonawzorem f (x) =x 6x + dla x R Y W f ( x) = x 6x +.5 D = X W naszym przykładzie D = X = Rysunek : Odwzorowanie f(x) =x 6x +. R, Y= R. Abywyznaczyć przeciwdziedzinę W,zauważamy, że wartość funkcji f (x) = x 6x+ = (x 3) + może byćrówna imoże być dowoln aliczb awiększa od. atem przeciwdziedzina W jest przedziałem < ; ) (patrz rys. ). Uwaga.8 X i Y moga byćróżnymi przestrzeniami; w szczególności może być X = Y. Dziedzina D jest podzbiorem przestrzeni X, przyczymjestmożliwe, że D = X. Przeciwdziedzina W jest podzbiorem przestrzeni Y,alemoże zachodzić W = Y. Jednoznaczność funkcji określenia funkcji wynika, że każdemu argumentowi przyporzadkowana jest tylko jedna wartość funkcji. Fakt ten wyrażamy, mówiac, że funkcja jest jednoznaczna. Funkcja różnowartościowa (odwracalna) Jeżelifunkcjamatęwłasność, że każda jej wartośćjestprzyporzadkowana tylko jednemu argumentowi, czyli, że każdym dwom różnym argumentom odpowiadajaróżne wartości funkcji x D (x 6= x f (x ) 6= f (x )) x D to mówimy, że funkcja jest różnowartościowa, czyli odwracalna, atakże jest wzajemnie jednoznaczna. Funkcja odwrotna Niech f (x) będzie funkcja różnowartościowa o dziedzinie D i przeciwdziedzinie W. Definicja. Funkcj aodwrotn a do funkcji f nazywamy funkcje, której dziedzinajestw, a przeciwdziedzina D iktórakażdemu y należacemu do W przyporzadkowuje ten element x zbioru D, któremu funkcja f przyporzadkowała y. Jeżeli funkcjeodwrotn adof oznaczymy ϕ, to (ϕ (y) =x f (x) =y) y W Jeżeli ϕ jest funkcjaodwrotn adof, totakże f jest funkcjaodwrotn adoϕ (f (x) =y ϕ (y) =x) x D zatem f i ϕ sa funkcjami wzajemnie odwrotnymi

13 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA.7 Typy odwzorowań Definicja. Niech D = N, a Y bedzie dowolnym zbiorem. Odwzorowanie N w Y nazywamy ciagiem nieskończonym lub krótko ciagiem. Niech n będzie dowoln a liczbanaturaln a. Element zbioru Y przyporzadkowany liczbie n nazywamy n tym wyrazem ciagu i oznaczamy a n. Liczbom saprzyporz adkowane wyrazy,, 3,..., n, n+,... a,a,a 3,..., a n,a n+,... Sam ciag (czyli odwzorowanie) oznaczamy symbolem (a,a,...) lub (a n ) Wzależności od rodzaju elementów zbioru Y mamy różne rodzaje ciagów. Na przykład:. jeżeli Y = R, tomamyci ag liczb rzeczywistych;. jeżeli Y jest zbiorem punktów pewnej sfery, to mamy ciag punktów na tej sferze; 3. jeżeli Y jest zbiorem sfer, to mamy ciag sfer (ciag sfer współśrodkowych o promieniach /n); 4. jeżeli Y jest zbiorem wielomianów, to mamy ciag wielomianów. Definicja. Jeżeli D = {,, 3,...,k}, odwzorowanie nazywamy ciagiem skończonym k wyrazowym. Liczbom saprzyporz adkowane wyrazy,, 3,...,k a,a,a 3,..., a k Ciag skończony o powyższych wyrazach oznaczamy (a,a,a 3,..., a k ) Jeżeli D = N N, to odwzorowanie nazywamy ciagiem dwuwskaźnikowym. Dziedzina jest tu zbiór par liczb naturalnych. Niech i, j będa dowolnymi liczbami naturalnymi. Element dowolnego zbioru Y przyporzadkowany parze (i, j) nazywamy wyrazem o wskaźnikach i, j i oznaczamy a ij lub a i,j.takwięc parom liczb (, ) (, ) (,j) (, ) (, ) (,j) (i, ) (i, ) (i, j) 3

14 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA saprzyporz adkowane wyrazy a a a j a a a j a i a i a ij Ciag dwuwskaźnikowy oznaczamy symbolem (a ij ) lub (a i,j ) Jeżeli w ciagu dwuwskaźnikowym ustalimy pierwszy wskaźnik, nadajac mu na przykład wartość i, to otrzymamy ciag (a i,a i,...,a ij,...) który nazywamy i tymwierszemdanegociagu dwuwskaźnikowego. Podobnie ustalajac drugi wskaźnik j, otrzymamy ciag zwany j takolumn a. Jeżeli D = {,,...,m} {,,...,n}, to odwzorowanie nazywamy macierzadwuwskaź- nikowa albo macierzaprostok atna. Dziedzina jest zbiorem par liczb naturalnych (i, j), gdzie: i m, j n. ElementpewnegozbioruY przyporzadkowany parze (i, j) nazywamy wyrazem owskaźnikach i, j danej macierzy i oznaczamy a ij. Macierz zapisujemy w postaci tablicy a a a n a a a n lub [a ij] i m,j n a m a m a mn przy czym i nazywamy wskaźnikiem wiersza, a j wskaźnikiem kolumny. Parę liczb (m, n) nazywamy wymiarem macierzy. Jeżeli m = n, macierznazywamy kwadratowa imówimy oniej,że jest stopnia n Rysunek 3: Odwzorowanie prostokatne. Rysunek 4: Odwzorowanie biegunowe. Odwzorowanie nazywamy:. funkcja rzeczywista, jeżeli Y = R;. funkcja zmiennej rzeczywistej, jeżeli X = R; 3. funkcja rzeczywista, zmiennej rzeczywistej, jeżeli X = Y = R. 4

15 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA Definicja.3 Wykresem dowolnego odwzorowania nazywamy zbiór par (x, y), gdziex jest dowolnym elementem dziedziny, a y przyporzadkowanym mu przez odwzorowanie elementem przeciwdziedziny. W sensie praktycznym wykresem nazywamy obraz geometryczny, z którego w przybliżeniu można odczytaćwartości funkcjiisposób,wjakisa one przyporzadkowane argumentom (patrz rys. 3 i 4). Jeżeli X = R R, Y = R, to odwzorowanie nazywamy funkcja rzeczywistadwóch zmiennych rzeczywistych. Argumentem tej funkcji jest para liczb rzeczywistych, wartościa funkcji - liczba rzeczywista: y = f (x) x =(x,x ) lub z = f (x, y) biór par (x, y) liczb rzeczywistych można utożsamiać zezbiorempunktów P płaszczyzny; liczby x, y sa współrzędnymi tego punktu. Jeżeli X = R R R, Y = R, toodwzorowanienazywamy funkcja rzeczywista trzech zmiennych rzeczywistych. Argumentem tej funkcji jest trójka liczb rzeczywistych, wartościa funkcji - liczba rzeczywista: y = f (x) x =(x,x,x 3 ) lub u = f (x, y, z) biór trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych można utożsamiać ze zbiorem punktów P powierzchni; liczby x, y sa współrzędnymi tego punktu. Dla funkcji trzech zmiennych nie istnieje interpretacja geometryczna, analogiczna do tych, jakie przedstawiamy dla funkcji i zmiennych. Natomiast możliwa jest interpretacja geometryczno-fizyczna. Możemy uważać, że u jest pewnaskalarn a wielkościa fizyczna(np. temperatura, gęstość) przyporzadkowan a punktowi(x, y, z). Funkcja tak interpretowana nazywa się wfizyce polem skalarnym..8 Symbole i wzory Symbol sumy Symbolem sumy jest grecka litera P (sigma duże). Symbolem tym posługujemy się, gdy składniki sumy sa wyrazami pewnego ciagu, na przykład sumę zapisujemy w postaci a + a + a a n n> nx a k (7) k= apis ten odczytujemy: suma a k od k =do k = n. Literak jest tu wskaźnikiem sumowania, liczby i n sa granicami sumowania (dolnaigórn a). Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych od do 8 zapisujemy 8X = k 5 k=

16 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA Symbolem sumy posługujemy się także w ogólniejszych przypadkach. Niech będzie dany ciag nieskończony (a,a,...), a granice sumowania niech będa dowolnymi liczbami naturalnymi p, q, gdziep<q. Wówczas symbol sumy ma następujacy sens qx a k = a p + a p a q (8) k=p Dodatkowo, dla przypadku, gdy p = q, przyjmujemy px a k = a p (9) k=p Symbol sumy można też rozszerzyć naprzypadek,gdywskaźnik sumowania przybiera wartość lub wartości całkowite ujemne, o ile odpowiadajace tym wartościom składniki sumy sa określone, na przykład X x k = x + x + x + x + x dla x 6= k= Własność.miana litery oznaczajacej wskaźnik sumowania nie zmienia znaczenia sumy nx a k = k= nx a j = j= nx a i = a + a a n () i= Własność.Jeżeli wyraz stojacy pod znakiemsumy jestniezależny od wskaźnika sumowania, to należy rozumieć, że wszystkie składniki sumy majajednakow awartość isumarównasi e iloczynowi tej wartości przez liczbeskładników nx k= c = c + c + {z...+ } c = nc () n razy Własność.3Czynnik niezależny od wskaźnika sumowania można wyłaczyć przed znak sumy (lub wprowadzić podznak sumy) nx nx ta k = t a k () k= Własność.4Obie granice sumowania można podwyższyć odowolnaliczb e r, jeżeli jednocześniewwyraziestoj acym pod znakiem sumy odejmiemy od wskaźnika sumowania tesam aliczb e r nx Xn+r a k = a k r = a + a a n (3) k= k=+r Suma podwójna Niech będzie dany ciag dwuwskaźnikowy o wyrazach a ij,gdziei =,,...m; j =,,...n k= a a a n a a a n a m a m a mn (4) 6

17 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA Suma wyrazów i tego wiersza wyraża się wzorem nx a ik dla i =,,...m k= Suma wszystkich takich sum wyraża się iterowanym znakiemsumy à mx nx! a ik i= k= (5) Suma wyrazów k tej kolumny wyraża się symbolem mx a ik dla k =,,...n i= Suma wszystkich takich sum wyraża się również iterowanym znakiem sumy à nx X m! a ik k= i= (6) Uwaga.9 Sumy iterowane (5) i (6) różniasi ekolejnościa sumowania, lecz sarówne, gdyż każda z nich jest suma wszystkich wyrazów ciagu (4) à mx nx! à nx m! X a ik = a ik = X a ik (7) i= k= k= i= i=,...m k=,...n Symbol iloczynu Do oznaczenia iloczynu posługujemy się greckaliter a Y (pi duże) ny a k = a a... a n (8) k= 4Y sin kx =sinx sin x sin 3x sin 4x k= 3Y (z j) =z (z ) (z ) (z 3) j= log Średnie ny nx a i = log a i a i > i =,,...n i= i= 7

18 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA Niech będzie dany ciag liczb dodatnich a,a,...,a n.definiujemy A (a,...,a n )= n nx k= a k = a a n n v uut Y n G (a,...,a n )= n a k = n a... a n k= Ã! nx H (a,...,a n )= = n a k v k= u K (a,...,a n )= t nx n k= n a a n a k = r a a n n średnia arytmetyczna średnia geometryczna średnia harmoniczna średnia kwadratowa (9) Można udowodnić, że dla dowolnych dodatnich a,...,a n zachodzi min (a,...,a n ) H G A K max (a,...,a n ) Silnia Symbol n! (czytamy: n silnia) oznacza funkcję, któradlan =,,,... definiujemy indukcyjnie wzorami! = (n +)!=(n +)n! () Mamy więc:! =! =,! =, 3! = 3=6, 4! = 3 4=4iogólniedla dowolnego n naturalnego n! = 3... n Silnia podwójna Do oznaczenia iloczynu kolejnych liczb parzystych lub kolejnych liczb nieparzystych używamy tak zwanej silnii podwójnej, oznaczanej podwójnym wykrzyknikiem Symbol Newtona ³ n Symbol Newtona k 4 6 8=8!! =9!! (czytamy: n po k), w którym element górny n jest dowolnaliczb a, a element dolny k jest liczba naturalna, oznacza liczbę ³ n = k n (n ) (n ) (n k +) 3... k n R k N w którym mianownik jest iloczynem k kolejnych liczb naturalnych od do k, a licznik jest iloczynem liczby n oraz liczb otrzymywanych przez pomniejszanie liczby n okolejneliczby naturalne, przy czym licznik ma zawierać tyle samo czynników co mianownik. Ponadto ³ n = n R Przykłady 8

19 MATEMATYKA. BIORY I ODWOROWANIA µ 4 = µ 4 = 4 3 µ 3 3 =4 4 = 4 3 ( ) = µ / (/) ( /) ( 3/) = 3 3 = 6 µ 4 = 4 µ 4 µ = 4 = 4 3 µ 4 µ = 5 ( ) ( 3) ( 4) = = Ã! =.99 = 4 3 =6 = = ³ n Jeżeli górny element symbolu Newtona k elementu, to zachodzarówności ³ n k ³ n k ³ n + k µ n k + jest liczbanaturaln a, nie mniejsza od dolnego = = = n! µ k!(n k)! n µ n k n + k + Dwumian Newtona (a + b) n Satokolejnepotęgi dwumianu a + b owykładnikach n =,,,... (a + b) = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 Współczynniki stojace przy poszczególnych wyrazach rozwinięcia dwumianu (a + b) n tworza tak zwany trójkat Pascala: Wzór dwumienny Newtona n = n = n = n = n = (a + b) n = = nx k= ³ n k a n k b k = ³ n a n + ³ n ³ n ³ n ³ n a n b + a n b + a n 3 b b 3 n n () 9

20 . BIORY I ODWOROWANIA MATEMATYKA lub (a + b) n = nx k= ³ n k a n k b k = = a n + na n b + n (n ) a n b + n (n ) (n ) a n 3 b b n () 3

21 MATEMATYKA. TEORIA LICB ESPOLONYCH Teoria liczb zespolonych. Trochę historii Liczby zespolone po raz pierwszy pojawiły się w XVI wieku przy rozwiazywaniu równania trzeciego stopnia (wzory Cardano). Włoscy matematycy poszukiwali rozwiazań równania typu N. Tartoglia S. del Ferro G. Cardano z 3 + pz + q = wktórymniewiadomaz iwspółczynniki p, q sa liczbami rzeczywistymi. Podczas analiz natknęli sięnaprob- lem, polegajacy na konieczności wyciaga- nia pierwiastków kwadratowych z liczb i = =? ujemnych. Wymienieni uczeni wprowadzili, jako pojęcie pierwotne, now a i i =?? Recepta według wielkość, nazwana jednościaurojon a S. Lem, Cyberiada, rozdz.iii, Smoki prawdopodobieństwa Smok x Smok = Niedosmok (w ilości.6) i (często również oznaczanaprzezj) przyjmujac jako aksjomat równość i = i i Analogia = Rysunek 5: Smoki S. Lema a jednostka urojona. tych liczb już potrafili rozwiazać równanie Następnie utworzyli liczby, nazwane liczbami zespolonymi x + iy x, y, R i wykonywali na nich działania według znanych reguł matematyki. Przy pomocy z 3 + pz + q = Uzyskali wzór, zwany dziś wzorem Cardano. Był to sukces, choć w tamtych czasach nie było jasne, czym tak na prawdę s a liczby zespolone. Wyjaśnili to później Euler, Gauss ihamilton. Było to pierwsze zastosowanie liczb zespolonych w historii matematyki. Dzisiaj wiemy, że: i = i 4 = i = i i = i i = i = i 3 = i i =? ćwiczenia

22 . TEORIA LICB ESPOLONYCH MATEMATYKA. Liczby zespolone Definicja. Liczby zepolone to uporzadkowane pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których dodawanie i mnożenie określamy za pomocawzorów: (a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) (3) Ponadto zachodzi równość (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (4) (a, b) =(c, d) (a = c) (b = d) (5) Tak zdefiniowane działania na liczbach zespolonych maja te same algebraiczne własności co dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych. Przykład. Obliczyć sum e i iloczyn liczb zespolonych (, ) i (3, 7). Rozwiazanie. godnie z (3) i (4) mamy: (, ) + (3, 7) = ( + 3, +7)=(5, 6) (, ) (3, 7) = ( 3+ 7, 7 3) = (3, ) Twierdzenie. biór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym wzgledem dodawania i mnożenia. Definicja. Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnica liczb zespolonych. A więc (a, b) (c, d) =(a c, b d) (6) Definicja.3 Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia. Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych. Liczba zespolona (x, y) jest ilorazem liczby zespolonej (a, b) i liczby zespolonej (c, d), co oznaczamy (a, b) :(c, d) lub (a,b) (c,d),gdy (x, y)(c, d) =(a, b) Awięc (x, y) = µ (a, b) ac + bd (c, d) = bc, ad c + d c + d (7) Przykład. Obliczyć iloraz (, ) (3, 7) Rozwiazanie. godnie z (7) mamy (, ) (3, 7) = µ 3 7, 7 ( ) = µ 58, 7 58

23 MATEMATYKA. TEORIA LICB ESPOLONYCH biór liczb zespolonych (a, ) można utożsamić ze zbiorem liczb rzeczywistych R, asymbol (a, ) możemy zastapić symbolema. biór liczb zespolonych oznaczamy lub (niekiedy) C.Ponieważ (a, b) =(a, ) (, ) + (b, ) (, ) = a +b (, ) (8) więc do zapisania dowolnej liczby zespolonej wystarczaja liczby rzeczywiste i liczba zespolona postaci (, ), któr a oznaczamy symbolem i oraz nazywamy jednościaurojon a. Awięc i =(, ) (9) (a, b) =a + bi (3) Prawastrona(3)jestpostaciaalgebraiczn a (lub kartezjańska) liczby zespolonej. Liczbę rzeczywista a nazywamy częścia rzeczywista, a liczbę rzeczywista b - częściaurojon a liczby zespolonej z = a + bi. apisujemyto 3 a =Re(a + bi) b =Im(a + bi) (3) Natomiast, jak pamiętamy, jedność urojona i spełnia warunek i = (3) czyli (, ) (, ) = (, ). Jest to nierzeczywiste rozwiazanie równania x =. Wielkość tę oznaczamyrównieżjakoi =. Uwaga. Dwie liczby zespolone z i z sarówne,jeżeli ich cześci rzeczywiste i urojone sa sobie równe, tzn. Re z =Rez i Im z =Imz..3 Płaszczyzna zespolona b i y oś urojona r = (a + b ) / ϕ z = a + bi oś rzeczywista a Rysunek 6: Płaszczyzna zespolona. Od łacińskiego słowa complexus - zespolony. 3 Re od real (ang.); Im od imagine (ang.). 4 Jest on skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. x Płaszczyzna zespolona jest płaszczyzna z prostokatnym układem współrzędnych, której punkty sa rozumiane jako liczby zespolone. Liczbę zespolona z = a + bi przedstawiamy w tym układzie jako punkt o współrzędnych (a, b) lub jako wektor o współrzędnych [a, b] zaczepiony w poczatku układu. Każdemu punktowi (a, b) płaszczyzny odpowiada wówczas dokładnie jedna liczba zespolona postaci z = a+bi, a liczbie zespolonej z = a+bi odpowiada punkt o współrzędnych (a, b) -patrzrys.6. We współrzędnych biegunowych (r, ϕ) położenie punktu (a, b) na płaszczyźnie wyznaczamy jednoznacznie przez podanie długości r promienia wodzacego punktu (a, b) i kata ϕ 4, który tworzy promień r zosi aodciętych. 3

24 . TEORIA LICB ESPOLONYCH MATEMATYKA Modułem liczby zespolonej z = a+bi nazywamy liczbę równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej r = z = a + bi = a + b (33) Tak wię, moduł liczby z równa się odległości punktu z od poczatku układu współrzędnych, czyli długości wektora z. Argumentem liczby zespolonej z = a + bi 6= nazywa się każda liczbę rzeczywista ϕ określona równaniami cos ϕ = a r = Re z a = z a + b (34) sin ϕ = b r = Im z b = z a + b Argument ϕ liczby z oznaczamy: ϕ =argz. Jest on miara łukowak ata skierowanego, który tworzy oś rzeczywista x zwektoremz. Każda liczba zespolona z 6= ma nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli ϕ jest jednym z argumentów liczby z, to wszystkie inne jej argumenty wyrażajasięwzorem arg z = ϕ +kπ (35) gdzie: k liczba całkowita. Argumentem głównym liczby zespolonej nazywa się taki argument, który zawiera się w przedziale h π, πi (wartość taka jest dokładnie jedna). Nie określa się argumentu liczby..4 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Postać trygonometryczna liczby zespolonej 5 jest to przedstawienie punktu płaszczyzny odpowiadajacego liczbie zespolonej z zapisanej we współrzędnych biegunowych. Ważne sa tu następujace twierdzenia: Twierdzenie. Każdaliczb ezespolon a z 6= można przedstawić wpostaci zwanej postacia trygonometryczna liczby zespolonej. z = z (cos ϕ + i sin ϕ) (36) Twierdzenie.3 Jeżeli z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (37) gdzie: r, tor jest modułem z liczby z, liczbaϕ jest jednym z argumentów liczby z. Przykład.3 Liczba zespolona w postaci algebraicznej z =+ 3i ma postać trygonometryczna (biegunowa) ³ z = cos π 3 + i sin π 3 5 Postać tęczęsto nazywa się postacia biegunowa liczby zespolonej. 4

25 MATEMATYKA. TEORIA LICB ESPOLONYCH Rozwiazanie.3 Wykorzystamy wzory (33) i (34) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z = r a + b = +³ 3 = 4= Awi ec cos ϕ = sin ϕ = +3 = 3 z = ³ cos π 3 + i sin π 3.5 Postać wykładnicza liczby zespolonej stad ϕ = π 3 Do przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej wykorzystujemy wzór Eulera e iϕ =cosϕ + i sin ϕ (38) Uwaga. Dowodzi sie, że e w równaniu (38) jest liczba niewymierna i że jest ona w przybliżeniu równa Wprowadził ja w XVIII wieku szwajcarski matematyk Leonard Euler. Liczba e jest podstawa logarytmu naturalnego, oznaczanego symbolem ln. Awięc z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ (39) Ponieważ z e i( ϕ) = z e iϕ = z (cos ϕ i sin ϕ) (4) zatem cos ϕ = eiϕ + e iϕ sin ϕ = eiϕ e iϕ (4) i.6 Liczby zespolone, sprzężone, przeciwne i odwrotne Jeżeli z jest liczba zespolona, to przez z i ( z) oznaczamy liczby z = a bi, z = a bi (4) -z z z x Jeżeli z 6=, to przez z z = a + ib = Rysunek 7: Liczba zespolona, sprzężona i przeciwna. Uwaga.3 Liczba nie ma liczby odwrotnej. Liczbę z nazywamy sprzężona doz (niekiedy zamiast z piszemy z ), a ( z) - przeciwnadoz (rys. 7). Dla liczb z i z zachodzarelacje: Re z =Rez Im z = Im z (43) Liczbami zespolonymi sprzężonymi sa i = i +5i = 5i 7i = +7i oznaczamy liczbę zespolon a a ib (a + ib)(a ib) = a a + b inazywamyj a liczbaodwrotn a do z. 5 b a + b i (44)

26 . TEORIA LICB ESPOLONYCH MATEMATYKA.7 Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych Sa todziałania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb zespolonych: (a + b i)+(a + b i)=(a + a )+(b + b ) i (a + b i) (a + b i)=(a a )+(b b ) i (a + b i)(a + b i)=(a a b b )+(a b + a b ) i (a + b i):(a + b i)= a + b i a + b i = (45) = (a + b i)(a b i) (a + b i)(a b i) = a a + b b + b a a b i a + b a + b Przy dzieleniu liczb zespolonych należy uwolnić mianownik odliczbyzespolonej,mnoż ac licznik i mianownik przez liczbę sprzężonazliczb a znajdujac asięwmianowniku. Przykład.4 Wykonaj działania algebraiczne: ( + 3i) +( + 4i), (4 + 3i) ( + i), ( + 3i)( +i), +3i. i Rozwiazanie.4 ( + 3i)+(+4i)=(+)+(3+4)i =3+7i (4 + 3i) ( + i) =(4 ) + (3 ) i =3+i ( + 3i)( +i) = +6i +4i 3i = 8+i +3i i ( + 3i)(+i) = ( i)(+i) = +5i =.5+.5i Geometryczna interpretacja liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej pozwala na ilustrowanie podstawowych działań arytmetycznych wykonywanych na liczbach zespolonych (rys. 8 ). Interpretacja mnożenia (rys. 9) i dzielenia (rys. ) opiera się nanastępujacych wzorach z z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) z (cos ϕ + i sin ϕ )= = z z (cos (ϕ + ϕ )+i sin (ϕ + ϕ )) (46) z z = z e iϕ z e iϕ = z z e i(ϕ +ϕ ) (47) z z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) z (cos ϕ + i sin ϕ ) = z z (cos (ϕ ϕ )+i sin (ϕ ϕ )) (48) z (patrz przypis 6 ). = z z z e iϕ e iϕ = z z ei(ϕ ϕ ) (49) 6 (cos ϕ + i sin ϕ )(cosϕ + i sin ϕ )= 6

27 MATEMATYKA. TEORIA LICB ESPOLONYCH Twierdzenie.4 Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych równa sieiloczynowimodułów, a argument równa sie sumie argumentów tych liczb. Twierdzenie.5 Moduł ilorazu dwóch liczb zespolonych równa sie ilorazowi modułów, a argument równa sie różnicy argumentów tych liczb. -z y z z + z z z z Rysunek 8: Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych. Twierdzenie.4 pozwala wyznaczyć na płaszczyźnie zespolonej położenie iloczynu P = z z,gdyznamypołożenie punktów z, z oraz liczby. Przy konstrukcji korzystamy zpodobieństwa trójkatów P z i z 7. achodzi tu relacja P z = z (5) Stad P = z z (5) Na podstawie Twierdzenia.5 wyznaczamy na płaszczyźnie zespolonej iloraz P = z z liczb zespolonych (patrz rys. ). W tym przypadku zachodzi z P = z stad P = z z (5) y P y z z A P A ϕ ϕ ϕ z ϕ z P x ϕ ϕ z P z x Rysunek 9: Mnożenie liczb zespolonych. Rysunek : Dzielenie liczb zespolonych. Obliczyć iloczynz z iiloraz z z. Przykład.5 Niech ³ z =4 cos π 6 + i sin π 6 ³ z = cos π 3 + i sin π 3 =cosϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ + i (sin ϕ cos ϕ +cosϕ sin ϕ )=cos(ϕ + ϕ )+i sin (ϕ + ϕ ) cos ϕ +i sin ϕ cos ϕ +i sin ϕ = (cos ϕ +i sin ϕ )(cos ϕ i sin ϕ ) = cos ϕ +sin ϕ =cosϕ cos ϕ +sinϕ sin ϕ + i (sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ )=cos(ϕ ϕ )+i sin (ϕ ϕ ) 7 A Można również bezpośrednio skorzystać z twierdzenia Talesa: z = z. 7

28 . TEORIA LICB ESPOLONYCH MATEMATYKA Rozwiazanie.5 Korzystamy z Twierdzeń.4i.5: ³ z z =8 cos π + i sin π =8i z ³ = cos π z 6 i sin π Ã! 3 = 6 i = 3 i Przykład.6 Niech Obliczyć iloczyn z z z 3. z =.5(cos35 + i sin 35 ) z =.6(cos43 + i sin 43 ) z 3 =5.8(cos57 + i sin 57 ) Rozwiazanie.6 z z z 3 = [cos( )+i sin ( )] = = 8.7(cos75 + i sin 75 ).8 Potęgowanie liczb zespolonych Potęgę z n owykładniku naturalnym definiujemy indukcyjnie za pomocarówności z =, z n+ = z n z (53) Jeżeli z 6=,to definicję uogólnia się na wykładniki całkowite z n = (54) z n Do obliczania potęgi liczb zespolonych służy wzór de Moivre a: z n =( z (cos ϕ + i sin ϕ)) n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) (55) Wpostaciwykładniczej zapisujemy go następujaco z n = z e iϕ n = z n e nϕi (56) Przykład.7 Niech z = + ³ i = cos π 4 + i sin π.obliczyć z. 4 Rozwiazanie.7 ³ z = cos π + i sin π =4i Przykład.8 Na podstawie wzorów Newtona i de Moivre a otrzymujemy wzory na sinus i kosinus wielokrotności kata. Rozwiazanie.8 Na przykład dla sin 3ϕ i cos 3ϕ mamy relacje: zwzorunewtona (cos ϕ + i sin ϕ) 3 =cos 3 ϕ +3i cos ϕ sin ϕ 3cosϕ sin ϕ i sin 3 ϕ = = cos 3 ϕ 3cosϕ sin ϕ + i 3cos ϕ sin ϕ sin 3 ϕ 8

29 MATEMATYKA. TEORIA LICB ESPOLONYCH z wzoru de Moivre a (cos ϕ + i sin ϕ) 3 =cos3ϕ + i sin 3ϕ równości liczb zespolonych z = z jeżeli a = a i b = b otrzymujemy wzory: cos 3ϕ =cos 3 ϕ 3cosϕ sin ϕ sin 3ϕ =3cos ϕ sin ϕ sin 3 ϕ.9 Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy każdatak aliczbę zespolona w, że w n = z. Twierdzenie.6 Jeżeli z = z (cos ϕ + i sin ϕ) 6= to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n tego stopnia liczby z (czyli rozwiazań równania w n = z). Pierwiastki te otrzymujemy z wzoru w k = np µ z cos ϕ +kπ + i sin ϕ +kπ (57) n n k =,,...,n. Wszystkie liczby w k (k =,,...,n ) majarównemoduły, punkty odpowiadaj p ace tym liczbom leżanaokr egu o środku w poczatku układu współrzednych i promieniu n z ; dzielaokr eg na n równych łuków. n W dziedzinie liczb zespolonych symbol a dla a 6=, n =, 3,..., nie jest jednoznaczny. Oznacza on dowolnazn liczb (57). Jedynie dla a =symbol n a ma dokładnie jednawartość i jest nia. Wracajac do rozwiazań równania w n = z otrzymujemy w n = w n (cos nθ + i sin nθ) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Moduły obu stron musza być równe, a argumenty moga różnić sięowielokrotność π, więc w n = z i nθ = ϕ +kπ, k =, ±, ±,... Stad w = np z, θ = ϕ +kπ n wśród argumentów θ = ϕ+kπ, gdziek =, ±, ±,..., istnieje dokładnie n takich, których n różnice nie sa wielokrotnościa liczby π. S atoliczby θ = ϕ +kπ n, k =,,...,n Mówi o tym Twierdzenie.6. 9

30 . TEORIA LICB ESPOLONYCH MATEMATYKA Przykład.9 Obliczyć q 3 + 3i Rozwiazanie.9 Moduł liczby zespolonej z =+ 3i równa sie + 3i = +3= 4=. Argumentspełnia równania: cos ϕ =, sin ϕ = 3.Czyliϕ = π. Na podstawie wzoru (57) 3 otrzymujemy w = 3 ³ cos π 9 + i sin π, k = 9 w = 3 µ cos 7π 9 + i sin 7π 9 w = 3 µ cos 3π 9 3π + i sin 9, k =, k = y ε y w z = 3 w x ε x ε w Rysunek : Pierwiastki 3 stopnia z + 3i. Rysunek : Pierwiastki 3 stopnia z liczby. Rozwiazanie. Rozwiazania te sa przedstawione na rysunku. Pierwiastkami n tego stopnia z jedności saliczby ε k =cos kπ kπ + i sin (58) n n k =,,,...,n. Otrzymujemy je podstawiajac do (57) ϕ =i z =(=cos+i sin ). Pierwiastki te leżanaokr egu jednostkowym i dziela gonan =3równych łuków. Przykład. Obliczyć 3,czylirozwi azać równanie z 3 =. Rozwiazanie. Ponieważ =cos+i sin, to 3 =cos kπ 3 + i sin kπ 3 3

31 MATEMATYKA. TEORIA LICB ESPOLONYCH k =,,. St ad ε =cos+i sin =, k = ε =cos π 3 + i sin π 3 = + 3 i, k = ε =cos 4π 3 + i sin 4π 3 = 3 i, k = Przykład. Obliczyć i,tzn.rozwi azać równanie w i =. Rozwiazanie. Mamy znaleźć pierwiastki w i w,gdyw = i. Ponieważ dla k =,. atem + i =cos π + i sin π to w k = i =cos w =cos π 4 + i sin π 4 = π +kπ π + i sin +kπ ( + i) w =cos 5π 4 + i sin 5π 4 = ( + i) 3

32 3. MACIERE I WYNACNIKI MATEMATYKA 3 Macierze i wyznaczniki 3. Definicja macierzy. Działania na macierzach. Definicja 3. Macierza nazywamy prostokatn atablic e liczb rzeczywistych lub zespolonych a a... a m a a... a m (59) a n a n... a nm reguły oznaczamyj adużymi pojedynczymi i pogrubionymi literami A, B itd. W ramach wykładu będziemy omawiać wyłacznie macierze rzeczywiste. Symbole występuja- ce w tablicy (59) nazywamy elementami macierzy. apisa ik oznacza, że element a znajduje się wi tym wierszu i k tej kolumnie macierzy A lub znajduje się na przecięciu i tego wiersza i k tej kolumny. k a a... a m A = a a... a m a ik i (6) a n a n... a nm O macierzy mówimy, że jest wymiaru n m (n na m lub n razy m, n liczba wierszy, m liczba kolumn). Możemy ja zapisać w postaci skróconej A =[a ik ] n m lub A =[a ik ](i =,,...,n; k =,,...,m) (6) Wśród macierzy prostokatnych w szczególności wyróżniamy macierz wierszowa X = x x... x n (6) oraz macierz kolumnowa Y = Oba rodzaje powyższych macierzy nazywamy wektorem lub wektorem wierszowym i wektorem kolumnowym. Gdy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn (n = m), to macierz (6) jest macierzakwadratow astopnian; liczbę n nazywamy stopniem macierzy. Definicja 3. Dwie macierze A =[a ik ], B =[b ik ] tego samego wymiaru n m nazywamy równymi, jeżeli wszystkie odpowiednie elementy obu macierzy sarówne,tzn. y y. y m a ik = b ik dla i =,,...,n; k =,,...,m 3 (63)

33 MATEMATYKA 3. MACIERE I WYNACNIKI Relacja równości macierzy jest zwrotna, tzn. A = A symetryczna, tzn. jeżeli A = B, to B = A przechodnia, tzn. jeżeli A = B i B = C, toa = C. Definicja 3.3 Macierzatransponowan a (przestawiona) nazywamy macierz, która powstaje z danej macierzy przez zamiane wierszy na kolumny z zachowaniem ich kolejności, tj. pierwszy wiersz staje siepierwsz akolumn a, drugi wiersz - drugakolumn a itd. Oznaczamy jasymbolem A T lub A 8. Jeżeli A =[a ik ] n m,toa T =[a ki ] m n =[b ik ]. Ponadto, jeżeli A T = A, toa jest macierza symetryczna. to Jeżeli A = A T = a b c a b c d e f (64) d e = A = A (65) f Transpozycj a wektora wierszowego jest wektor kolumnowy (i odwrotnie). Definicja 3.4 Macierzazerow a nazywamy taka macierz dowolnego wymiaru, której wszystkieelementys a równe zeru, tzn. a ik =dla i =,,...,n, k =,,...,m.macierzzerow a wymiaru n m oznacza siesymbolem n m lub wprost symbolem. Przykładymacierzyzerowych: =[], 3 =, 4 = (66) 3. Szczególne rodzaje macierzy kwadratowych Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy pewne ich charakterystyczne postacie, które pojawiajasięprzyrozwi azywaniu układów równań algebraicznych lub innych zagadnień fizyki matematycznej. Definicja 3.5 Macierza symetryczna nazywamy macierz kwadratow a, której elementy położone symetrycznie wzgledem przekatnej głównej sarówne,czylia ik = a ki (i, k =,,...,n). Na przykład a b c d A sym = b k v s c v l p (67) d s p m Macierz symetryczna jest macierzarówn aswojejtranspozycji,a sym = A T. 8 Niekiedy A 33

34 3. MACIERE I WYNACNIKI MATEMATYKA Definicja 3.6 Macierzadiagonaln a nazywamy macierz kwadratowa, której wszystkie elementy położone poza przekatn agwn as arównezeru,czylia ik =przy i 6= k (i, k =,,...,n). Na przykład D = k l (68) m W praktyce inżynierskiej bardzo często mamy do czynienia z macierzami trójdiagonalnymi D = D = lub macierzami pięciodiagonalnymi. Elementy różne od zera niekoniecznie muszaznajdować się naprzek atnych głównych D 3 = Ogólniemacierzetakienazywamymacierzami wstęgowymi. (69) (7) Definicja 3.7 Macierzajednostkow a nazywamy macierz diagonalna, której elementy położone na przekatnej głównej sarówne, czyli I = (7) W zapisie ogólnym mamy dla i = k a ik = dla i 6= k (7) (i, k, =,,...,n). Macierz jednostkowa oznacza sięczęsto [δ ik ] n lub [δ ik ],gdzietakzwanysymbol (lub delta) Kroneckera δ ik jest zdefiniowany wzorem dla i = k δ ik = dla i 6= k 34 (73)

35 MATEMATYKA 3. MACIERE I WYNACNIKI Przez macierz trójkatn a rozumiemy macierz l... l l... L = l n l n... l nn r r... r n r... r n R = U = r nn macierz trójkatna dolna macierz trójkatna górna (74) 3.3 Działania na macierzach Dodawanie macierzy jest możliwe tylko w przypadku macierzy tego samego wymiaru. Sumę dwóch macierzy A =[a ik ] i B =[b ik ] tego samego wymiaru n m tworzymy w ten sposób, że dodajemy do siebie elementy o tych samych wskaźnikach wiersza i kolumny, tzn. [a ik ] n m +[b ik ] n m =[a ik + b ik ] n m (75) Dodawanie macierzy tego samego wymiaru jest łaczne oraz przemienne A+(B + C) =(A + B)+C (76) A + B = B + A (77) Odejmowanie macierzy jest wykonalne również tylko w przypadku macierzy tego samego wymiaru. Różnicę macierzya =[a ik ] i B =[b ik ] określa się zapomoc awzoru [a ik ] n m [b ik ] n m =[a ik b ik ] n m (78) Iloczyn liczby α przez macierz A =[a ik ] określamy jako macierz [α a ik ],któr aotrzymujemy z macierzy A przez pomnożenie każdego (!) jej elementu przez liczbę α, tzn. α [a ik ]=[α a ik ] (79) Wformieprzykładu obliczymy elementy macierzy = 7 = = 5 4 (8) Mnożenie macierzy przez macierz jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy. Iloczynem macierzy A = [a ij ] wymiaru n r imacierzyb =[b jk ] wymiaru r m nazywamy macierz C =[c ik ] wymiaru n m, w której element c ik położony w i tym wierszu i k tej kolumnie macierzy C równy 35

36 3. MACIERE I WYNACNIKI MATEMATYKA jest sumie iloczynów odpowiednich elementów i tego wiersza macierzy A i elementów k tej kolumny macierzy B, tzn. c ik = a i b k + a i b k a ir b rk = rx a ij b jk (8) j= Przy mnożeniu macierzy często stosuje się poniższy schemat m kolumn r wierszy B k - ta kolumna n wierszy A i - ty wiersz AB cik Nosi on nazwę schematu Falka. Rysunek 3: Schemat Falka. Przykład 3. Obliczyć iloczyn macierzy A = 3 4 B = Rozwiazanie 3. Macierz A jest wymiaru 3, ab wymiaru 4; mnożenie jest wiec wykonalne. godnie ze schematem Falka mamy y Nastepnie obliczamy kolejne elementy macierzy C = A B ( )

37 MATEMATYKA 3. MACIERE I WYNACNIKI Ostatecznie Awi ec A B = AB = = C Uwaga 3. Wtymprzykładzie iloczyn BA nie istnieje. Macierz B ma 4 kolumny, a macierz A tylko 3 wiersze. Oznacza to, że w przypadku iloczynu dwóch macierzy własność przemienności nie jest spełniona, gdyż: AB niezawszerównasi e BA, awi ec AB 6= BA, BA może nie istnieć. Przykład 3. ObliczyćiloczynymacierzyAB i BA a) A = 3 B = b) A = 3 B = 3 3 Rozwiazanie 3. Mnożenie AB jest wykonalne, ponieważ A ma wymiar, ab wymiar. W tym przypadku jest również wykonalne mnożenie BA, ponieważmacierzb ma jedna kolumne, a macierz A jeden wiersz. Mamy wiec a) AB : y 3 czyli AB =[] 3 BA : 3 y czyli BA = Widzimy, że AB 6= BA. b) AB : y 3 3 czyli AB =[ ] BA : 3 y czyli BA =