KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Transkrypt

1 KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE Strona 1

2 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest to a) Przedział liczbowy b) Pewien zbiór liczb rzeczywistych c) Funkcja przyporządkowująca zdarzeniom liczby z pewnego przedziału liczbowego d) Zmienna w równaniu Pytanie 2 Prawdopodobieństwo w zmiennej losowej ciągłej to a) Wartości funkcji gęstości b) Funkcja gęstości c) Dystrybuanta d) Całka oznaczona (lub niewłaściwa) z funkcji gęstości Pytanie 3 Zmienna losowa X jest zmienną losową ciągłą. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość pomiędzy liczbami a ib możemy obliczyć a) Obliczając wartości dystrybuanty zmiennej X w punktach a ib i odejmując mniejszą od większej b) Obliczając wartości funkcji gęstości zmiennej X w punktach a ib i odejmując mniejszą od większej x c) Obliczając całkę f t dt dla x a, b b d) Licząc całkę oznaczoną z dystrybuanty: a F x dx Strona 2

3 Pytanie 4 Dystrybuanta w ciągłej zmiennej losowej oznacza a) Zupełnie coś innego, niż w dyskretnej zmiennej losowej b) To samo, co w dyskretnej zmiennej losowej, tzn. P X x c) Liczbę d) Funkcję ciągłą ale niekoniecznie rosnącą (jak w zmiennej losowej dyskretnej) Pytanie 5 Jaki jest alternatywny wzór do obliczenia wariancji? a) 2 D X EX EX 2 2 D X E X EX b) c) 2 D X E X EX d) D 2 X EX 2 EX 2 Pytanie 6 Która z charakterystyk liczbowych dyskretnej zmiennej losowej nie ma odpowiednika w charakterystykach liczbowych ciągłej zmiennej losowej? a) Żadna nie ma odpowiednika b) Kwantyl c) Dominanta d) Wszystkie mają odpowiedniki Pytanie 7 Wykres funkcji gęstości musi spełniać warunek: a) Przedstawiać funkcję rosnącą b) Przedstawiać funkcję ciągłą c) Pole pod wykresem a osią OX powinno być równe 1 d) Powinien mieć asymptotę poziomą y 1 Strona 3

4 Pytanie 8 Prawdą jest, że a) Dystrybuanta to pochodna z funkcji gęstości b) Funkcja gęstości to pochodna z dystrybuanty c) Funkcja gęstości to całka z dystrybuanty d) Dystrybuanta to całka ze zmiennej losowej Pytanie 9 Dwa parametry rozkładu normalnego to: a) Wartość oczekiwana i wariancja b) Wariancja i mediana c) Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe d) Wartość oczekiwana i zmienna standaryzowana Z Pytanie 10 Po co standaryzuje się zmienną losową X przechodząc na zmienną losową Z? a) Aby przejść z dowolnego rozkładu na rozkład normalny b) Aby przejść z rozkładu normalnego na dowolny inny rozkład c) Aby przejść z dowolnego rozkładu normalnego Nm, na rozkład normalny N 0,1 d) Aby przejść z rozkładu normalnego N 0,1 na dowolny rozkład normalny Nm, Strona 4

5 Część 2: ZADANIA Zadanie 1 Zmienna losowa ma rozkład o gęstości: f x x xe dla x 0 0 dla pozostalych x Oblicz jej dystrybuantę, a także: P1 X 2, P X 3, P X 1 Zadanie 2 Dobierz stałą a, tak, żeby funkcja: f x a cos x dla x dla pozostalych x była funkcją gęstości, wyznaczyć jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną i P X 6 Zadanie 3 Zmienna losowa funkcję gęstości postaci: f x 0 dla x x dla x 1, x dla x 0, dla x 3 Wyznacz jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną, dominantę, wariancję, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności, współczynnik asymetrii, współczynnik koncentracji. Strona 5

6 Zadanie 4 Zmienna losowa X typu ciągłego ma dystrybuantę postaci: 0 dla x 1 1 F x 21 dla 1 x 2 x 1 dla x 2 1 Wyznacz jej funkcję gęstości, P X Zadanie i wartość oczekiwaną. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(0,1). Wyznacz: a) P X 0,9 b) P X 1 c) P0,6 X 1,5 d) P0, 2 X 0,76 e) P X 0,25 f) P X 2 g) P X 0,1 h) P1 X 0,5 i) P1 X 1 j) P X 0,5 k) P X 2 Zadanie 6 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(-2,3). Wyznacz: a) P2, 2 X 1,9 b) P X 0 c) P X 1 Strona 6

7 Zadanie 7 Błąd pomiaru długości w pewnym doświadczeniu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, z wartością oczekiwaną błędu równą 2mm i odchyleniu standardowym 3mm. Oblicz prawdopodobieństwo, że przy mierzeniu pomyliliśmy się o więcej niż 4 milimetry. Zadanie 8 Masa wyprodukowanych w zakładzie samochodów jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(1600kg,100kg). a) Jaki procent samochodów wyprodukowanych w tym zakładzie ma masę ponad 1700kg? b) Pod uwagę bierzemy 10% najcięższych samochodów wyprodukowanych przez ten zakład. Ile waży najlżejszy z nich? Zadanie 9 Czas przeglądu samochodu w warsztacie jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 0,5 godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas przeglądu samochodu jest mniejszy niż 2 godziny? KONIEC Strona 7